Formfunktionen (Interpolation): Bedeutung ... - fem-helden.de · Für die in der FEM angewendeten Lagrange-Polynome gilt weiterhin, dass die Stützstellen (auch Null- oder Einsstellen)

Dr.-Ing. Martin ZimmermannLehrstuhl für Konstruktionslehre und CAD

Universität Bayreuth

Formfunktionen (Interpolation):Bedeutung und praktischer Einsatz

Dr.-Ing. Martin Zimmermann 2

Einleitung, Problem und Motivation

Beschreibungsform über das einzelne Element ?????

Elemente

Knoten

- Elemente über Knoten- Knoten über KoordinatenUnd wie funktioniert es wirklich, was macht das Element zum Element ?

Ziel: Erkenntnis des Verhaltens eines kleinsten unteilbaren Teilchens (Elementes) in der FEM.

Steifigkeit


Interpolation allgemein

Als Interpolation kann die Erfassung einer Anzahl Punkte durch eine analytisch

beschreibbare Kurve definiert werden, die deckungsgleich auf diesen Punkten liegt und

die damit die Punkte abbildet oder repräsentiert.

Punkte

Interpolierende

);...;;...;;();...;;...;;...;;(

);...;;...;;...;;();;...;;...;;(

1010

111101001000

klilllkjijjj

kiki

xxxxxxxxxxxxxxxx

A

ljki

...0...0

Dimension

Anzahl Punkte

Aufgabe: Interpolation von (l+1)-Punkten des (k+1)-dimensionalen Raumes


nach Wirkung:Stückweise (linear) Geschlossen (kubisch)

nach Funktion:

• Polynominterpolation: Ansatz über Polynome wählen• kubische Spline-Interpolation: spezielle Form für Polynome, Randbedingungen, lässt

sich eindeutig ab zwei Punkten bilden• logarithmische Interpolation: Bestimmung der Parameter einer logarithmischen Funktion

(funktioniert nur stückweise zwischen zwei Punkten)

nach mathematischem Problem:

• linear• nichtlinear

Interpolationsmethoden


Polynominterpolation

Quadratische Polynomfunktion


Kubische Spline-Interpolation 1

Quelle: Rieg (Vorlesung:Ingenieurmathematische Anwendungen)


Kubische Spline-Interpolation 2

kubische Funktion 1

kubische Funktion 2


Vergleich der Interpolationen

- kubische Spline-Interpolation ist:

- für beliebig viele Punkte (Stützstellen) geeignet und daher sehr flexibel- kubische Spline-Interpolation ist über die Knoten hinweg stetig in der

Funktion, der ersten Ableitung, der zweiten Ableitung- aber: komplexe Berechnung

- allg. Polynominterpolation:

- Grad richtet sich nach Anzahl zu interpolierender Punkte- wird für FE-Rechnung verwendet


Lagrange-Polynome 1

- spezielle Klasse an Polynomen- relevant für FE-Rechnung da:

- für ein natürliches Koordinatensystem genormt,- hinsichtlich der Funktionswerte an einer zugehörigen Stützstelle auf 1 genormt,- für ein isoparametrisches Elementkonzept verwendungsfähig.

isoparametrisches Elementkonzept:

Für die Forminterpolation einesElementes werden die gleichenInterpolationsfunktionen, wie fürdie Verschiebungsinterpolationangesetzt. Diese sind durch eineAnzahl Parameter (Knotenkoordinaten)bestimmt.

1

s=+1

s=-1

s=0

x

yz Px

Py = f(s(P))Pz

0 0P


Lagrange-Polynome 2

Für eine Formfunktion, die entlang einer gegebenen natürlichen Koordinate mit i Knotenverlaufen soll gilt:Die allgemeinen Regeln für Formfunktionen [entnommen aus Rieg].

•jeder Knoten i besitzt genau eine ihm zugehörige Formfunktion Ni

•die Formfunktion ist in dem ihr zugehörigen Knoten EINS, in allen anderen NULL

Hinweis 1:Da eine allgemeine Polynominterpolation Anwendung finden muss gilt:Der Polynomgrad wird durch die Anzahl Knoten längs einer Koordinate bestimmt(2 Knoten heißt -> linearer Ansatz, 3 Knoten heißt -> quadratischer Ansatz … ).

Für ein Polynom n-ten Grades gilt mit den n reellen Nullstellen xi die Regel:

y x( )

n

x xi kubischesPolynom

allgemein:


Lagrange-Polynome 3

Für die in der FEM angewendeten Lagrange-Polynome gilt weiterhin, dass die Stützstellen (auch Null- oder Einsstellen) im Intervall der natürlichen Koordinate x zwischen [-1;1] liegen und gleichverteilt hinsichtlich der natürlichen Koordinate sind.

Damit die Forderung erfüllt wird, dass die Funktion in dem ihr zugehörigen Knoten u EINS wird, muss der Polynomterm um den Betrag des Polynoms an der Stelle xu mit i=1..n normiert werden:

Nach einer derartigen Vorschrift gebildete Polynome werden Lagrange-Polynome bezeichnet.

y x( )n

x xi

n

xu xi


Beispiel eindimensionale Lagrange-Interpolation

Für das Lagrange-Polynom 4. Ordnung ergibt sich der unten dargestellte Verlauf.

1 0.5 0 0.5 1

0.5

0

0.5

1

y x 4 0( )

y x 4 1( )

y x 4 2( )

y x 4 3( )

y x 4 4( )

x


Mehrdimensionale Interpolation mit Lagrange-Funktionen

Für die ebenen Lagrange-Polynome 4. Ordnung ergibt sich der oben dargestellte Verlauf für drei verschiednen Knoten.

Für flächige Formfunktionen ergeben sich Polynome durch einfache Multiplikation der einzelnen Formfunktionen.


Ebene Koordinateninterpolation (Schema)

14

12

3

111

4

5

1

11

67

8 9

Formfunktionen für Scheibe mit quadratischen Ansatz

Werte für Punkte rechts:

1 = 12 = 03 = 04 = 05 = 0

1 = 02 = 03 = 04 = 05 = 1

1 = 02 = 03 = 04 = 15 = 0

1 = 02 = 03 = 14 = 05 = 0

1 = 02 = 03 = 14 = 05 = 0

1 = 02 = 13 = 04 = 05 = 0

Werte für Punkte oben:


Ebene Koordinateninterpolation

n

k

kit

ki xrrhx

11,...,

Die Interpolationsfunktionen werden nun genutzt um Geometrie und Verschiebungen im Rahmen des isoparametrischen Elementansatzes zu interpolieren. Dazu soll ein quadratischer Flächenansatz betrachtet werden.

Es gilt die Koordinateninterpolationsvorschrift:

6

15

74

8 9

2

3

r1

r2

x1=x

x2=y

P(r1,r2)

x

y

n

k

kit

ki urrhu

11,...,


Bedeutung des Ansatzgrades

Reines Extrusionsgitter (2D Gitter in 3D Gitter umgewandelt) keine x-/y Änderung über z

Hier keine Extrusion möglich

Geometrieabbildung miserabel!Abbildung durch linear Elemente! Verbesserungsansatz ähnlich π

Bauteilkonturen

Viel bessere Abbildung der original Geometrieform durch quadratischen Elementansatz des Hexaeders (Hex20)

TET4 - linear

TET10 - quadratisch


Verschiebungen

E

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0.1

1

1.1

0

0.5

1

0.5

0

0.5

0

0

1.1

1

0.1

0.5

1

0.5

0.5

Verschiebungen bei isoparametrischem Elementkonzept

Nr. x y

E

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

1.1

0

0.5

1

0.5

0

0.5

0

0

1.1

1

0.1

0.5

1

0.5

0.5

Punktewolke über die natürlichen Koordinaten


Relevanz der Formfunktionen 1

N(x,y)=Formfunktionen (lineare Scheibe)

Am Beispiel der Verzerrungen –ebener Verzerrungszustand (dreieckige Scheibe)

UBUNL

vuvuvu

NNNNNN

yx

y

xu

vuvuvu

NNNNNN

rrvrru

ULrrvrru

yx

y

x

xv

yuyvxu

ij

xy

yy

xx

3

3

2

2

1

1

321

321

3

3

2

2

1

1

321

321

21

21

21

21

000000

0

0

000000

),(),(

),(),(

0

0


Relevanz der Formfunktionen 2

K

V

Ti dVW C

UBFUdVBCB

V

T

Elementsteifigkeitsmatrix

UB

Notwendigkeit der numerischen Integration über die Formfunktionen zum Erhalt der Steifigkeitsmatrix.


Integration (von Polynomen)

Gauss-Quadratur:

- Ermöglicht die Integration einer Funktion F(r) numerisch mit Fehlern!- meist (auch hier) normiert auf natürliches Intervall für r [-1,1]- Es werden Stützpunkte und zu diesen Punkten Gewichtungsfaktoren herangezogen.

- Besonderheit:

- Bei dieser Art der Integration wird bei n Stützstellen an Stelle der Funktion F(r) ein zu F(r) gut passendes Polynom vom Grad 2n-1 integriert [K.J. Bathe, 1990].

- D.h.: Liegt ein Polynom vom Grad 2n-1 vor, so wird dieses exakt integriert.

- Gezeigt wurde, dass die Größen über einem Element durch Polynome repräsentiert werden.

- daher Verwandtschaft zur FEM

Unverzerrte reguläre rechteckige, hexaedrische Elemente lassen sich zumindest im Rahmen der linearen FEM recht gut mit einer annehmbaren Integrationsordnung integrieren. (Bsp.: quadratischer Hexaeder: 3-5)

g

ggrFdrrF


Zusammenfassung

- Formfunktionen sind in der FEA Polynome.

- Es gibt Form- und Verschiebungsinterpolationsfunktionen – beide sind gleich bei der Anwendung eines isoparametrischen Elementkonzeptes.

- Eine Strategie zur Interpolation von Elementen (das Innere der Elemente) wurde aufgezeigt.

- Damit und mit einem Ausblick auf die Integrationsroutinen ist der Grundstein für die Elementableitung / Elemententwicklung gelegt.


Literatur

[1] Klaus-Jürgen Bathe: Finite-Elemente-Methoden. Berlin: Springer; 2000

[2] Josef Betten: Finite Elemente für Ingenieure 1,2. Berlin: Springer; 1997

[3] Dietrich Braess: Finite Elemente. Berlin: Springer; 1997

[4] O.C. Zienkiewicz & R.L. Taylor: The Finite Element Method. Vol. 1,2. Oxford: Butterworth Heinemann; 2002

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