Forschungsstatistik IIProf. Dr. G. Meinhardt

SS 2005

Fachbereich Sozialwissenschaften, Psychologisches Institut

Johannes Gutenberg Universität Mainz

KLW-23

Heute

1. Der Satz von Bayes & Hypothesenwahrscheinlichkeiten

2. Die Binomialverteilung

3. Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung

4. Anwendungen NV auf Hypothesen

Ankündigungen

1. Versuch: „Entdecken von Merkmalen in Zufallsfeldern“. Es fehlen noch 16 VPn:

Umfang 10 Stundendafür gibt es 5 VPn Stunden + 30 Euro)

Bitte Interessenten in Liste am schwarzen Brett “Experimentelle Psychologie“ eintragen

Die Binomialverteilung

Man werfe eine Münze n mal und zähle die Häufigkeit k, mit der dabei „Kopf“ oben liegt.

Diskrete Verteilung, die mit zunehmendem n normal wird

0 1 2 3 4k

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

p

n = 4

0 1 2 3 4 5 6 7 8k

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

p

0 1 2 3 4 56 7 8 91011121314151617181920212223242526272829303132k

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

p

n = 8 n = 32

[Mathematica-Beispiele]

Die Binomialverteilung

Man wiederhole ein Zufallsexperiment n mal und bestimme die Häufigkeit k, mit der ein bestimmtes Ereignis E eintritt.

Multiplikationssatz der WKn für unabhängige Versuche & Additionssatz auf die disjunkten Folgen anwenden!

Es sei: 1

P E p

P E p q

Bei n Wiederholungen kann das Ereignis „k-mal E“ auf genau n

k

Weisen eintreten. Da sich die einzelnen n über k Folgen gegenseitig ausschliessen, folgt mit dem Additionssatz:

k n knP k n p q

k

[Tafel-Entwicklung]

Die Verteilungsfunktion der Binomialverteilung

Binomialverteilung: Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung

Die Wahrscheinlichkeit, daß höchstens k mal E auftritt, ist:

0

kj n j

j

nP j k n p q

j

Die Wahrscheinlichkeit, daß mindestens k+1 mal E auftritt, ist:

1

1

1

nj n j

j k

nP j k n p q

j

P j k n

Approximation der Binomialverteilung

Die Binomialverteilung hat ebenfalls Mittelwert und Varianz:

2

n p

n p q

Gilt 9n p q so kann die Binomialverteilung durch die Normalverteilung approximiert werden.

Dann gilt ; ;B n p N

[Beispiele]

z - Standardisierung

-15 -10 -5 0 5 10 150.00

0.05

0.10

Wa

hrs

che

inlic

hke

itsd

ich

te

xx

x

z - Standardisierung zur Überführung in Standardnormalverteilung

x xz

s

Wa

hrs

che

inlic

hke

itsd

ich

te-3z -2z -1z 0 1z 2z 3z

0.00

0.05

0.10

f (z)

xz

1z

z

f x

Wahrscheinlichkeitsbestimmung

Benutze austabellierte Standardnormalverteilung

0 0F z P z z

Verteilungsfunktion(Fläche der Dichtefunktion)

Eigenschaften

0F

1F

a b b aP z z z F z F z

-3 -2 -1 1 2 3

0.1

0.2

0.3

0.4

-3 -2 -1 1 2 3

0.1

0.2

0.3

0.4

zbza

Fehler 1. und 2. Art

In der Population gilt

Hypothesenwahrscheinlichkeiten : bedingte WKn

Correct

Rejection

Miss

(Fehler 2. Art)

False Alarm

(Fehler 1. Art)

Hit

H0 H1

H0

H1

Entscheidung für 0 0HP H

1 0HP H 1 1HP H

0 1HP H

Mittelwerteabstand aus WK

Tatsächlich gilt

Wie groß ist der Mittelwerteabstand der Likelihoodfunktionen ?

0.59 0.077

0.41 0.923

H0 H1

H0

H1

Entscheidung für

0 0HP H

1 0HP H 1 1HP H

0 1HP H

Man klassifiziere man nach „Distraktor“ (H0) und „Target“ (H1)

1 1

Mittelwerteabstand

z - Berechnung für jede einzelne Verteilung

H0 – Verteilung:

-3 -2 -1 1 2 3

0.1

0.2

0.3

0.4

-3 -2 -1 1 2 3

0.1

0.2

0.3

0.4

p = 0.59

z0 = F-1{0.59} = 0.23

Correct Rejection

H1 – Verteilung:

p = 0.59

z1 = F-1{0.077} = -1.43

Miss

-3 -2 -1 1 2 3

0.1

0.2

0.3

0.4

-3 -2 -1 1 2 3

0.1

0.2

0.3

0.4

p = 0.077

Abstand in z- Standardisierung

Annahme: beide Likelihoodfunktionen haben dieselbe Varianz

Nun betrachte im z1 Wert den Abstand des Kriteriums k in Bezug auf 0:

Es gilt: 00

kz

Ferner: 11

kz

0 1 0 0 1 01

k kz

1 0 'z z d

0 1'd z z (standardisierter Abstand)