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Fortschreibung geschlossener Bestiinde von Versorgungsberechtigten mittels Kommutationszahlen
Von Waldemar SchSbe (Miinehen)
Mit der rechnungsm~Bigen Fortsehreibung eines Bestandes yon Personen, die einer Versorgungseinrichtung angehSren, und des Bestandes ihrer rentenbereehtigten Hinterbliebenen haben sich in letzter Zeit Hans-Rudol] Dienst [1] und Nikolaus MinUet [2] besch~ftigt. W~hrend in der Arbeit des Zweitgenannten auf Fragen der Er- neuerung des Bestandes durch Zug/inge das Hauptgewieht gelegt ist, befaBt sieh der erstere mit einem geschlossenen Bestande. Beiden ist gemeinsam, dab der Formel- apparat rekursiv aufgebaut ist und insofern yon den iiblichen Methoden versiehe- mngsmathematiseher Berechnungen betr~ehtHch abweieht; insbesondere ist dadurch der Umfang der Rechenarbeiten wesentlich yon der Li~nge des Zeitraums abh~ngig, fiber den die rechnungsm~Bige Fortsehreibung erstreekt werden soU. AuBerdem wird dem praktiseh h~ufigen Falle steigender Anspriiche yon beiden Autoren weniger Be- aehtung gesehenkt.
Im folgenden soU dargelegt warden, dab die Fortsehreibung (ohne Erneuerung) aueh in das Schema der Kommutationszahlen gebraeht werden kann. Das bietet dan Vor- tell, dab -- wenn die Kommutationszahlen einmal vorliegen - - d e r Rechenaufwand yon der Zeitspanne der Fortsehreibung unabh~ngig und daher im Vergleich zur re- kursiven Fortschreibung im allgemeinen bedeutend vermindert wird; auBerdem lassen sieh steigende Anwartschaften in aller Strenge behandeln. Natiirlieh bietet eine Fort. sehreibung der Anzahl der aktiv bleibenden Berechtigten nicht die geringste Schwie- rigkeit, da die Aktiven-Ausseheideordnung als grundlegend immer zur Verfiigung steht./~dmlich einfaeh liegt es bei der Weiterentwicklung der Rentnerbest/~nde. Es braueht daher im wesentliehen nur yon der Entstehung yon Ruhegeldern und Witwen- renten aus Anwartschaften die Rede zu sein, wobei sich die aus anfangs bereits laufen- den Ruhegeldern entstehenden Witwenrenten beil~ufig mit erledigen.
Der Grundgedanke der Bereehnung des Leistungsbarwerts in der Pensionsrentenver- sieherung besteht darin, dem wirtschaftlichen Tatbestand folgend den Kapitalwert der Leistungen an den aktiven Bereehtigten und gegebenenfalls seine Ehefrau, die ihrer Natur naeh aufgesehobene Renten sind, formelm/iBig auf Barwerte sofort be- ginnender lebensl~nglicher Renten von gleiehbleibender HShe zurtickzufiihren. Fiir den Ansprueh auf Ruhegeld (Invalidenrente und beim Alter z beginnende Alters- rente), das der Einfachheit halber als j~hrlich im voraus zahlbar angenommen wird, bildet man n~mlich die Kommutationszahl
D~ ~ -- l~aixvX+~ • i~ix+½ ftir x < z, D~ A I aa=A
und such bei der Bewertung der Witwenrentenanwartschaft naeh der Kollektiv- methode wird je nachdem, yon welchem Zeitpunkt an die rentenbereehtigte Ehefrau prinzipielt feststeht, alles entweder auf Barwerte laufender Witwenrenten allein oder auf Barwerte yon laufenden Witwenrenten und Verbindungsrenten zwischen In. validen und Frauen zuriickgefiihrt.
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Die Einheitsbarwerte laufender Renten ihrerseits bestehen fomelmiiBig aus Summen der Form pray m, wobei m die Zeitspanne zwisehen der einzehaen Rentenf~Uigkeit und dem Bewertungsstichtag der Rente und p die zugeh6rige Erlebenswahrseheinlichkeit darstellt. In den Summen kommen zwar, da iiblicherweise mit den Barwerten j~hrlich zahlbarer Leibrenten gearbeitet und unterj~hrliche Zahlungsweise nur durch eine Korrektur beriicksichtigt wird, nieht alle vertragliehen Rentenzahlungstermine wirk- lich vor, doch steht nichts im Wege, den Ausdruck pray m gegebenenfalls auch for ein beliebiges Zeitintervall von nicht negativer Liinge anzuwenden; er ist darm, wenn v = 1 gesetzt und Pm noch mit dem Jahresbetrag der Rente multipliziert gedaeht wird, als Erwartungswert des Betrags der nach m Jahren noch laufeuden Rente zu deuten.
Der Barwert eines Pensionsrentenanspruehs enth~l~ nun, wenn er in der besehriebenen Weise auf Barwerte laufender Renten zuriickgefiihrt wird, Renten verschiedenen technisehen Beginns; wird fiir einen Bestand gleichaltriger Berechtigter ein kiinftiger Zeitpunkt vorgegeben, beispielsweise dureh Angabe des erreichten Alters u der Berechtigten, so ergibt sieh der Erwartungswert der statistisehen Rente zu diesem ,,Zeitpunkt u" aus der Formel f'or den Barwert des Pensionsrentenanspmchs dadureh, dal3 man ihn in der beschriebenen Weise in Barwerte laufender Renten aufl6st und dann jeden solehen Einheitsbarwert durch Pm ersetzt, wobei natiirlieh die Spanne m, auf die sieh die Erlebenswahrscheinliehkeit bezieht, fiir die versehie- denen in einem Kapitalwert letzten Endes vorkommenden Rentenbarwerte unter- schiedlieh sein wird. Aber m darf, wie gesagt, nicht negativ sein; die Barwerte solcher in der Formel f'or den Kapitalwert vorkommenden laufenden Renten, die erst beginnen, nachdem der Berechtigte das Alter u iiberschritten hat, sind durch 0 zu ersetzen. Die Alter x, z und u sollen der Einfachheit halber s~mtlich als ganz- nzahlig vorausgesetzt werde.
Wir bezeichnen fOr einen Pensionsansprueh, der beim Alter x des Berechtigten be- steht, den auf einen Bereehtigten bezogenen Erwartungswert fiir den statistisehen Betrag des laufenden Ruhegelds im Zeitpunkt u, d. h. beim Alter u des Bereehtigten, mit Ea,~u oder E(R), den Erwartungswert des statistischen Betrags der laufenden Witwenrente mit Ea, w oder E(W), wobei angenommen wird, dal3 der Ansprueh der Witwe 100% des Anspruehs betr~gt, den der Bereehtigte beim Ausscheiden aus der Aktivit~t erreieht hatte.
1. RuhegelcIanspruch
Um die Formel fiir E (R) zun~ehst unter der Annahme u < z zu gewinnen, ist naeh dem Gesagten die Kommutationszahl D ai in der Formel fiir den Barwert zu ersetzen dureh
l'u 1 p i x ' ~ + , f a l l s x < u ,
dagegen dureh 0, falls x ~ u. Es liegt nahe, sich bei der Summenbildung den kon- stanten Faktor liu ausgeklammert zu denken und dementsprechend die HilfsgrSl3e
~a, lxaaix (x < z) (1) • - - 1 1 + ½
,310
und weiterhin deren beim Altersrentenbeginn x =- z mit geeigneten SchluBwerten einsetzende, yon u aber unabh/ingige Summen
Z - - 1 ^ at l ~ a t ^ a ! Nx = ~, ~'t + N z und
t = x ~ - I (2)
= ~,t + Sz t = x
elnzufiihren, ohne dab es auf die Werte yon ~l~ i und Sz ai flit den Augenblick ank/ime. Der Fak tor liu ist dann nachtr/~glich anzubringen. Ffir x < u < z ist demnach bel gleichbleibender Rentenanwar tsehaf t vom Jahresbetrage 1 der Erwar tungswer t der statistischen Jahresrente im Zei tpunkt u f'tir einen Aktiven des Alters x, d. h. die sich bei der rechnungsm/~Bigen Bestandsfortschreibung ergebende Anzahl der Ruhegeld- empf~nger,
~ a i ~ a i
Ea,R ~ *'x --~'Ul~ a . lui (3a)
und fiir die naeh der Staffel 1, 2, 3 . . . . steigende Anwartschaf t
< ~ l ~ - ( u - x ) ^~i " ~ a R _ _ y x - - N u liu. (3b) ~ x , u -- , 1~
Nu, rfihren daher, daB die in dem Produkt " ai i Die Abzugsglieder, z. B. ^ ai D x 1 u steckende i i Erlebenswahrscheinliehkeit p = lu/lx+ ~ ffir x >_ u durch 0 zu ersetzen, sin solehes I)
also in die Summe nicht mit aufzunehmen ist. Der Formelappara t paBt sich aufs ge- naueste dem Formelappara t ffir sine aufs Alter u abgekfirzte gleichbleibende oder steigende Anwartschaft an.
Ffir die gMehbleibende Anwartschaft , mit anderen Wor ten ffir die Best immung der Anzahl der Ruhegeldempfiinger, kommt der hier eingeschlagene Weg mathemat isch darauf hinaus, die inhomogene Rekursionsformel ffir die GrSBe pi in der Zimmer- mannsehen Zerfallordnung
l~+a __ lu.ii (1 - - qiu) + Puaiu • (1 -- } qlu) (u < z - - 1)
i l i u + l _ _ ~ )a i 1 t lu+l - - lu" llu i u u+l dureh die Umformung ii ii lu+l = l~aiu, lu+~
l~+ 1 1~ D.̂ ~i = :~l ^~i oder - - N u + l in die Gestal t ltu+l 1}i - -
1~+1 ii = N i l ~-- - - Nu+l Pu + const liu+l + ^~i lu ^ ~l
zu bringen und hierdurch geschlossen aufzulSsen, wobei die Kons tan te durch die An- fangsbedingung 1 t = 0 als I~lax i e rkannt wird.
Ers t reekt sieh die Fortschreibung fiber die Altersgrenze x = z hinaus, so ist es zweek- m/iBig, die Absterbeordnung lix der Inval iden als in der Art gegeben vorauszusetzen, dab an der Altersgrenze kein Sprung eintri t t . Unterl iegen die Altersrentner derselben Sterblichkeit wie die alten Invaliden, so wird man 1~ ai ffir x = z endgfiltig dureh den SehluBwert
^ a i ^ a i _ _ l a a / l i Nz = D z - - - z / ,
3 1 1
festlegen und, wenn bei steigenden Anwartsehaften die letzte Steigerung als bei Altersrentenbeginn eintretend angenommen wird, aueh ~ i __ 1~i setzen; fOr x > z soll jedoch ]~i __ I~i = ~xai ____ 0 sein. Dann werden for alle u ~ z die Erwartungs- werte des statistischen Ruhegelds bei gleichbleibender bzw. steigender Anwartsehaft durch die Formeln gegeben
lx a .liu bzw. ~ a R _ _ _ . l ~ (X<Z). (4)
Haben jedoch die Altersrentner eine besondere Sterblichkeit gem£B der Absterbe- ordnung lx A (x >-- z), bei der die Gleiehheit yon 1~ und 1~ nieht gefordert zu werden braueht, so muB man for u > z zwei Rentnerbest//nde betrachten und den Erwartungs- wert dementsprechend zusammensetzen. Statt fOr den Invalidenbestand die Formeln (3a), (3b) auch noeh bei u ---- z anzuwenden, wird man einfaeher die SehluBwerte Nz%i* = Szai* ---- 0 setzen und dadurch die Gr6Benreihen Nx al*, ~i* anstatt der ~ i , S~i abweichend festlegen. Wird noch -zlaa/1A~-z mit ~ A bezeiehnet, so werden die Erwar- tungswerte des statistischen Ruhegeldbetrags for u _>-- z gegeben durch
E~R u = 1 1~ai" I~ J- ~aA ]A~
( 4 ' ) a R _ l [$al*]i ^aA A
- - 1)D, lu). ~ x ~ - l~a ~ * " ~ + (Z - - X +
Es kann niitzlieh sein, die hierin auftretenden GrSBen f~aA (konstant for alle x zu ~ Z
verwenden !) und (z -- x -k 1) D~A aufzufassen als die einmal bzw. zweimal absteigend summierte Folge 0 . . . . 0, I)z aA, so dab neben den ~ f . , ~ i , noch GrSBenreihen ~A, ~A in einer hier allerdings trivialen Weise dureh Aufsummieren entstehen. Diese Be- traehtungsweise ist namentlich for den komplizierteren Saehverhalt im dritten Ab- schnitt geeignet. Steht hSchstens z selbst als Endalter u der Fortschreibung zur Dis- kussion, so kommt man natiirlieh immer mit den einfaeheren Formeln des Falles der einheitlichen Alterssterblichkeit aus.
2. Witwenrentenanspruch /iir die im Versorgungs/alle vorhandene Ehe/rau
Um den Erwartungswert der Witwenrente zu ermitteln, 1/iBt sich die kollektive Witwenmethode haupts/~chllch auf zwei Arten anwenden, die sich dureh den Zeit- punkt unterscheiden, an dem die rentenbereehtigte Ehefrau als Person oder gegebenen- falls ihr Nichtvorhandensein festgestellt wird. Welehe Reehenweise paBt, h~ngt streng genommen allein vom Versorgungsstatut ab, doch kann die Frage der praktischen IIandhabung hierbei wesentlleh mitspreehen. Einfacher ist der Fall zu behandeln, dab der Famflienstand bei Ausscheiden des Mannes aus der Aktivit~t (also im Versorgungsfalle sehlechthin) maBgebend ist und keine Frau mit Wirkung fiir den Versorgungsanspruch nachgeheiratet werden kann. Da das betreffende Alter des Mannes notwendig ~ z ist und gerade in dem for Ver- sorgungsf/~lle haupts/~chlich in Betracht kommenden Altersbereich die durchsehnitt- liche Altersdifferenz der Ehegatten wenig variiert, wird es for die Praxis vielfach ge- ntigen, eine konstante Altersdifferenz ~ anzunehmen. Dann wird der Formelapparat auch for eine beliebig lange Zeitspanne der Fortschreibung iiberraschend einfach, ins- besondere wenn man, wie es for das Folgende vorerst geschehen soll, auch noch die Alterssterbliehkeit der Ruhegeldempf£nger als einheitlich voraussetzt.
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Die KommutationszaM ftir die Kapitalisierung der Witwenrentenanwartschaft lautet in diesem Falle, wenn wieder der Einfachheit halber j/ihrliche Rentenzahlung angenommen wird,
Dax w = lxaa (q~a. ~+½_~ + ix (~+~-~ -- ..i F ax+~, x +~-e) ) hx+~V x+~
__ ( (lxaa laxa+l) ~xF+½_O __ ]aa; :;i -- -- -x ,x ~x+~, xF+~--e) hx+~ v x+~ ftir x < z,
woraus sich nach dem an die Spitze gestellten Prinzip und selbstverstgndlich un- abh/~ngig yon der Rentenzahlungsweise die GrundgrSlle f'tir die Anzahl der Witwen- renten in der Form darbietet
~ a w = ( __ lax, l) lxF+~_ e lxaa ix. lix+½ lxF+½_e) hx+ ½ D~,u (I aa 1~_ ~ 1~ 1~_ ~
nebst einem entsprechenden Ausdruck f'tir das Alter x = z.
*o~bersichtlicher ist die Darstellung in der Gestalt
Dxtu~ aw = D~ F" lu F- e -- ~)aP. lui luF_ e m i t
~ a ~a lzaahz f)axF= Ix - - l x + l u fiir x < z bzw. -- f i i rx = z u n d (5) 1F+~_~ ,,x+~ IF_0
aa" laah~ ~aV __ lx axhx+~ fiir x < z bzw. -- fiir x = z 1~1,_~ ~x 1 ~ + ~ 1 ~ + ½ _ ~ i F "
Das l~$t sich so denten, dab zwei kiinftige, aus dem anfiinglichen Aktivenbestande hervorgehende Best~nde nebeneinander betrachtet werden, die kurz als R-Frauen und R-Paare bezeichnet werden sollen; die Bezeichnungen aF und aP weisen darauf hin. Unter R-Frauen sind dabei solche Ehefrauen zu verstehen, deren Mann aus der Aktivit~t bereits ausgeschieden, gegebenenfalls verstorben ist; es handelt sich also um Witwen (sei es nach Aktiventod, sei es nach Invalidentod) und Ehefrauen yon Rent- nern. Andererseits soUen als R-Paare solche Ehepaare bezeichnet werden, bei denen der Mann ein Rentner ist. Die" Nx^ aF, Nx ^ aP, ~aF, ~aV ergeben sich als Summen und Doppelsummen analog zu (2).
Die Erwartungswerte der statistischen Rente des Bestandes der R-Frauen und des Bestandes der R-Paare werden nun getrennt voneinander, jedesmal abet genau parallel der im ersten Abschnitt erSrterten Berechnung des Erwartungswerts des sta- tistischen Ruhegeldes ermittelt. Die Formeln lauten ftir die gleichbleibende Anwart- schaft 1
R - F r a u e n :
R-Paare:
~ a F ~aF ~ a F E (RF) -- *'x ~,u F ~'x • luF_~ f'tir u >-- z 1~ a • lu_ ~ fiir u < z bzw. = la a _ (6)
~TaP ~ a P aP E ( R P ) - - ~ ' x ~,u ~ F I~P.1 F f a r u z. l~ a i u 1 u_~ ftir u < z bzw. = 1~ a l 1 _>-- (6')
Fiir die steigende Anwartsehaft 1, 2, 3 . . . . sind die l~-Gr6Ben in genau derselben Weise wie in den Formeln (3b) und (4) durch S-Gr66en zu ersetzen.
Dadurch, daI3 der Witwenrentenanspruch gleich 100% des Ruhegeldanspruchs vor- ausgesetzt wurde, ist bei den R-Paaren eine begriffliche Unterscheidung, welchen An- spruch man im Auge hat, nieht notwendig.
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Hat man also einmal die GrSBenreihen ~l und erforderlichenfalls auch die S bereit- gestellt, so ist die Auswertung der Endformeln insofern bequem, als fiir die drei Be- st~nde der Ruhegeldempf~nger, der R-Frauen und der R-Paare nach einheitliehem Schema zu rechnen ist. Selbst eine betr/ichtliche L/inge des Zeitraums, fiber den die rechnungsm~Bige Fortschreibung erstreckt wird, bedeutet keine Erschwerung, es gilt sogar das Gegenteil insofern, als die Formeln einfaeher sind, wenn sich die Fortschrei- bung mindestens bis zur Altersgrenze erstreckt. Zu den Witwenrentenbcst~nden gelangt man nun, yon einem Aktiven ausgehend, un- mittelbar durch folgende Differenzbildung:
E (W) = E (RF) -- E (RP), E (W) : E (RF) -- E (RP). (7)
Fiir den entsprechenden Erwartungswert, bezogen auf einen verheirateten Invaliden des Alters x, ist, da hier nur eine gleichbleibende Anwartschaft in Betracht kommt, lediglich die Differenz der Erlebenswahrscheinlichkeiten der Frau und des Paares zu bflden; fiir den unverheirateten Invaliden ergibt sich 0. Bei einer Deckungskapitalberechnung auf den Endtermin der Bestandsfortschreibung stellt der in leieht verst/~ndlicher Weise abgekfirzte Ausdruck E (RF). a F -- E (RP)- a iF (gegebenenfalls auch mit den E zu bilden) den Erwartungswert des Deckungskapitals solcher laufenden Witwenrenten und Witwenrentenanwartschaften der Rentner dar, die w/ihrend der Zeitspanne der Fortschreibung aus Anwartschaften yon Aktiven hervorgegangen sind. Wird E (RP) auch noch mit a i und a F kapitalisiert, so lassen slch bei dieser Deckungskapitalberechnung die Ruhegeldanspriiche der verheirateten und der nicht verheirateten Rentner und auBerdem die Anspriiche aus laufenden Witwen- renten und anwartschaftliehen Witwenrenten der Rentner voneinander trennen. Weicht die Alterssterblichkeit der Invaliden yon derjenigen der Altersrentner ab, so hat man fiir Zeitpunkte, an denen das Alter des Mannes jenseits der Altersgrenze liegt, zwei Best/~nde von R-Paaren, aber nur einen yon R-Frauen zu betrachten. Der Formelapparat ist entsprechend der bei den Ruhegeldern in Formel (4') vorgenomme- nen Abspaltung des SchluBgliedes unschwer zu gewinnen.
3. Witwenrentenanspruch /iir die beim Tode vorhandene Ehe/rau
Ist die Wi~we sehleehthin rentenbezugsberechtigt, so mull bekanntlich dis Anwart- schaft des Aktiven auf Witwenrente auf diejcnige des Invaliden zuriickgefiihrt werden. Uberdies ist der Bereich der Todesalter des Mannes, bei denen die Person der berechtigten Ehefrau oder gegebenenfalls ihr Nichtvorhandensein festgestellt wird, so ausgedehnt, dab mit einer einheitlichen Altersdifferenz kaum mehr gearbeitet werden daft. Selbst bei einer Fortschreibungsdauer yon nur 10 Jahren kSnnen mehr als 50 Witwenbest/~nde auftreten, die sich in der RentenhShe (gem/~B dem Alter des Mannes beim Ausscheiden aus der Aktivit/~t), im Altersunterschied (gem/iB dem Alter des Mannes beim Tode) sowie darin unterscheiden kSnnen, ob der Mann zuletzt aktiv oder invalid oder Altersrentner war. Wird die Abkiirzung ~x ---- x -- yx eingefiihrt, die, wie vielfach iiblich, die Alters- differenz im Alter x ~- ½ (nicht x) des Mannes darsteUt, so ergibt zun~chst die fiir alle x definicrte HilfsgrSBe
i w _ i hx+~ ~x - - ]x C~" lxF+~_~. (8)
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nach Multiplikation mit lur_~, die reehnungsm~Bige Anzahl soleher Witwen im ,,Zeit- punkt u", die aus ltx Invaliden des Alters x durch Tod vor Erreichen des Alters x + 1 entstehen (x + 1 =< u), so dab der Erwartungswert E ~ der Anzahl der Witwen dureh
U - - 1
i . iw __ lx Ex,u - - ~ ~ i w l F .. t = x
gegeben wird.
Bei Betraehtung der Gesamtheit der InvaHden, die aus I aa Aktiven w~hrend des A ltersjahres x (x < z) erst entstehen, (und zwar nach (1) im Alter x + ~ in der Anzahl
Ix+~) , u~ ihrer Witwen ist es am einfaehsten, den ersten Summanden der Summe in (9) zu halbieren, indem man dabei vernaehl~ssigt, dab z. B. der Sehwerpunkt der InvaUdentodesf~He um ~ Jahr yon der Jahresmitte abweieht° Die Anzahl der zu den Versorgungsf~Hen des ersten Jahres geh6renden Witwen, soweit sie im Zeitpunkt u (u ~ x + I) am Leben sind, ist also dureh
" a w _ _ hx+aluF-z- ÷ b~,(u~ ' ¢,iwlF . __½ ¢.i~ 1F D x i u - - l ~ a q ~ a IF+~_6, \ t f x ~ t u - m ~ x u - ~ x /
gegeben; daher soU noeh die von u unabh~ngige Hilfszahl
{12a~a a h~+½ ^ai ^iw - ~ Dx Dx fiir x < z 9 , a w _ _ 5~ - ~ 1~+~_~. (10)
f i irx ~ z
eingefiihrt werden, die begrifflieh darauf hinauskommt, dab man, um schon das Altersjahr der Invalidisierung als normal mit Todesf~llen yon Invaliden besetzt an- sehen zu kSnnen, das Zuviel bei der Aktivensterbliehkeit absetzt. Man binder sich zweekm~Big in dieser Einzelheit nieht an das Prinzip der Herleitung aus dem Formel- apparat fiir Leistungsbarwerte, weil in letzterem, wie eine genauere Uberlegung zeigt, bei Invalidentod implizit mit einer gemittelten, also unter Umst~nden halb- zahligen Altersdifferenz gearbeitet wird.
31. Damit ist f'tir die Witwenzahl der Ausdruek gewonnen U - - 1
~ a w ~r~aaw l F ~)axi ~r, i w 1r .. u) (11) D~,u - ~ u-~ . + F, (x < ~ - 1 2 t * U - - t,V
t ~ x
aus dem noch u--1 u--1
~aw Z ~ a w ~~w Z ~ a , ~ (11') Nx, u ~- D t t u , Sx~u ~ Ntlu t = x t = x
Ob x > z ist, ist gleichgiiltig; Formel (11) gilt n~mlich auch fiir x = z, hervorgehen. falls die Alterssterblichkeit einheitlich ist, und ergibt fiir x > z riehtig 0. Die Er- wartungswerte der statistischen Witwenrente bei gleiehbleibender und steigender Anwartsehaft ergeben sich ffir x ~ z in der Gestalt
a W _ _ ~ a W a a ExLu -- Nx,J1x , <~w = ~ a w aa Exlu Sxlu/lx . (12)
Hier ist nicht nur im Gegensatz zu den Endformeln des zweiten Abschnitts die Multi- lu_ ~ sehon vollzogen, sondern iiberdies das Endalter u tiefer eingebaut, plikation mit F
nieht nur durch die Obergrenze der Summationen. Es kann durchaus lohnend sein, f'tir alle Endalter oder eine ausgew~hlte Folge yon Endaltern u dieses System dureh- zurechnen, das den Erwartungswert des statistischen Betrags der Witwenrente im
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festen Zeitpunkt u for alle Beginnalter x unmittelbar liefert, allerdings ohne Auf- teilung nach dem Alter tier Witwen. Um aueh das Durchschnittsalter der Witwen im Zeitpunkt u zu ermitteln, miiBte man die Berechnung der D, ~q und etwa aueh S mit der Ab/~nderung wiederholen, dab iiberall luF_~ dureh St" 1F-a ersetzt wird, und das Ergebnis der abge/~nderten Berechnung dureh dasjenige der eigentliehen Bereehnung (ohne den Faktor ~t) dividieren.
32. Man kann jedoch auf folgende Weise die Witwenbest/~nde naeh dem Altersunter- sehied trennen und sieh gleiehzeitig yon dem einsehneidenden Einflult der Wahl des Endalters u weitgehend 15sen. Wenn die Witwen eines vorgegebenen Altersunter- sehieds 6 isoliert werden sollen, so braucht man lediglieh in (11) die Lebendenzahl 1F durch 1 oder 0 zu ersetzen, je naehdem ob 6x bzw. ~t mit dem vorgegebenen iibereinstimInt oder nieht; naehtr~glieh hat man noeh mit luF_~ zu multiplizieren.
Da erfahrungsgem/~B der Altersuntersehied ~x mit waehsendem x monoton steigt, kSnnen Grenzalter g~ so eingefiihrt werden, da$ ~x = 6 genau fiir g~ < x < g~+l er- fiiilt ist. Fiir die n/~ehsten Uberlegungen sei 6 lest vorgegeben, ohne dab dies in den Bezeiehnungen immer zum Ausdruck gebraeht wird. Dadureh, dab man FOr Alter x auSerhalb des soeben definierten Intervalles r lu-sz dutch 0 ersetzt, fallen for solehe x die Gr6$en ~iw und D aaw heraus, so dall z. B. for u > g~+l in (11) die Obergrenze der inneren Summa dutch g~+l -- 1 ersetzt werden darf.
Es t reten demgem/~B im folgenden vom Endalter u unabh/~ngige kommutationszahl- /~hnliche Summen und Doppelsummen auf, die jeweils nur in einem Intervall g~ < x < g~+l einheitlieh definiert sind; trotzdem ergibt sieh so die Definition FOr alle x, weft ja jedes x in einem solehen Intervall liegt, n/~mlieh in dem fiir ~ = ~ gebildeten. Die Bereehnung dieser GrSllenreihen maeht nieht mehr Miihe als bei gewShnlichen Kommutationszahlen, es ist lediglieh die fortlaufend gebildete absteigende Summe immer dann zu ,,15sehen", wenn ein Grenzalter g untersehritten wird.
In enger Anlehnung an den Formelapparat zur Bereehnung des Leistungsbarwerts warden eingeftihrt
^ i w _ _ ^ iW ~x - >~ for < Dt g~ = x < g~+l x < t < g 6 + l
^ a w ^ a a w ^ a i ^ i w Dx = D x + D x N x (13) ^ a w _ _ ^ a w
x < t < g ~ + l
A a w _ _ " a w - - Sx -- ~ l'qt [ for ge < x < g~+l x < t < g e + l J
Diese Begriffe sind vom Endalter u unabh/~ngig. Da ~)aaw ffir x > z und bal FOr x > z versehwinden, ergeben sieh D~ w, N aw und S aw fiir Alter jenseits der Altersgrenze zu 0; leere Summen treten abet nieht auf.
Ist nun u vorgegeben und x < u, so entsteht aus (11) dutch das besehriebene Aus- blenden tier einen Altersdifferenz ~ eine Hilfsgr6$e gem/~B folgenden Formeln
~ ) ~ i / ~ i w ^ i w ~ , g o - - N u )
^ a i ^ i w Dx Ng~ ^aw Dx ^ aw ~ a l ~ltw
I ) X ~ a J X ~ ' l l
0
fails ~x < ~ = ~u
falls Ox < ~ < ~u
falls ~x = ~ < ~u
fails ~x = ~ = ~u
sonst, also Ffir ~ < ~x oder ~u < 0.
(14)
3 1 6
Fiir das Folgende mSge abkiirzend und abtindernd ~x mit ~ und ~u mit ~" bezeichnet werden, wi~hrend ~' irgendeine ganze Zahl zwischen ~ und ~" bedeuten sell; die zu- gehSrigen Grenzalter seien g, g" und dazwisehen g'. Bei der Fortschreibung veto Alter x zum Alter u treten dann die ganzen Zahlen ~ bis ~" (mit evtl. Ausnahme der letzten) als Altersdifferenzen auf. Indem man jede der GrSBen (14) mit der zugehSri- gen Anzahl der Lebenden aus der Absterbeordnung der Frauen multipliziert und die Summe bildet, erht~lt man endgtiltig die Anzahl "aw Dx~u der Witwen, die aus den Ver- sorgungsf~Uen des Alters x hervorgehen, in ihrer Aufteflung naeh Altersuntersehieden. In dem einfachsten Falle ~ ----- ~" ist
DxJu = lu-~ -- Dx Nu ) und im Falle ~ < ~"
~ " - - 1 ~ a w 1F ~ , a w F lu_~ ' ^ a i ^ i w ! I F ~ ,a i ^ i w ^ i w Dxm ----- "u- 0 ~'x ÷ Dx Ng' -1- "u- ~" ~x (Ng., -- Nu ) ,
~ ' = $ + 1
wobei die mittlere Summe leer sein kann. Falls u ein Grenzalter, ngmlich u = g" sein sollte, fgllt das letzte Gli~l weg.
Man fiihrt zweckmgBig folgende vom Endalter u unabhgngigen Ausdriicke ein _ ~a i "iw Hx, t - - ~-x N t
H i t = (~axi _ _ Nt^ai) Nt^iw _~. Nt^ a w ( 1 5 )
Ga i~ ~ i w a w H II - - ( S ~ - - S [ ~ ( t - - x ) ~ , t J~'t + ( S [ ~ ÷ ( t - - x ) ~ t ), x , t - -
so dab ~ w aueh als H I x und ~w als H n bezeichnet werden kann. Die Ausdriieke , X,X HI. t u n d H n. t erfassen, von l~ a Aktiven des Alters x ausgehend, die vom Zeitpunkt t an entstehenden Witwen der Altersdifferenz ~t getrennt danaeh, ob der Mann das Alter t als Invalide oder als Aktiver erlebt. Zwisehen diesen Funktionen bestehen die fast selbstverst~ndlichen Beziehungen
i HIx H n HI~ Hx, t = H I , t - - H x + l , t , , t = x , t - - x+l , t .
In den naehstehenden Endformeln fiir die Zghler yon (12) bedeuten, wie immer, x und u das Beginn- uud das Endalter der Fortsehreibung, ferner ~ : ~x, $' und ~" = ~u mSgliche Altersdifferenzen, steigend geordnet, und g, g', g" (g kommt nicht vor) die Alter des Mannes, bei denen diese Altersdifferenzen einsetzen. Die Formelu fiir Dxlu~ aw sind der 13bersiehtlichkeit wegen nochmals aufgefiihrt.
1. Fiir ~ = ~": ~W F ~ ~w Dx!u = 1,_~ (Dx -- Hx, u)
~ a w = 1 F ^ a w = l u - ~ ( H I , x - - H I , u) (16a) Nx~u u - ~ (Nx - - H ~ , u )
~aw 1 F H 1 F ~HII II s ~ . u - ~ ( ~ : - H~ . u) = u - ~ ~ ~. x - - Hx , u)
(alles Ausdriicke veto Charakter aufsteigender, mit dem Alter x beginnender Summa- tion). 2. Ftir ~ < ~":
8 " - - 1 ~ a w __ 1F -~,aw F I u - ~ ' H x , g ' D~,u--.~-~-~ + ~ +lL~,,(Hx,~,, H~,u)
6"-1 ~ a w 1F ~ a w F ~ lu_~, HI, s, V I + lu-v , (Hx, g,, HI, u) (16b) Nx,u = ~u-~ ~x +
~ ' = 6 + 1
~ a w = F I F l f f l I luF_~,, ( H I I , g , , Hx,IIu) S~,u 1 . _ ~ x a w + ~ + -- • ~U--6 ' "t~x, g ' ~ ' = 8 + 1
317
Zum Beweise geniigt es wohl, die Koeffizienten yon 1 F_ 6, und lu ~_ ~,, in der mittleren Formel yon (16b) dureh Bildung der Summe der DaWx;, ~,u-" best/~tigen. Der erstere ergibt sich, wenn ~ das auf g' folgende Grenzalter bezeichnet, zu
~, Hi, g, + ~ ~)[ w : ~ (HI g, -- Ht+~,: g,) + Ng,̂ aw-- (HIx, g, -- HI, g,) -[- HI , , , , : H ~ x , , , , - - xK_t<g' g ' K t < ~ x ~ t < g '
der letztere zu
(Ht, g" - - Ht, u) -~- ~, (~[w _ _ Ht, u) x_Kt<g" g"_~t<u
~(tttIg,, H[+: ,~ , , )+ ^~w_ _ - (N~,, ~ ) ~ tt ~ - - I-It + 1,.) -- ( t,tl x ~ t < g " x ~ t < u
I I I I I I I I - - . )=Hx.g ' , - -Hx.u. - - (Hx.g,,--Hg,, ' g,,) ~ (Hg,,. g,,--Hu.u)--(Hx, u--Hu,
We in den SchluBformeln (16a) und (16b) eine Abh~ngigkeit vom Endalter u besteht, ist sie, auBer bei (~", g" selbst, immer zum Ausdruck gebracht. Die Erwartungswerte
E (W), ]~ (W) folgen nun nach (12).
Ist u seinerseits ein Grenzalter, nach der Bezeichnungsweise also u ---- g", so f~llt das Glied mit luF_~,, yon selbst weg. Man k6nnte solehe wegfallenden Glieder vermeiden, indem man ~" als den zum Alter u -- 1 gehSrigen Altersunterschied einfiihrt, miiBte dann aber vorsehreiben, daB die Abzugsglieder Hx, u usw. wegzulassen sind, wenn u ein Grenzalter ist.
Ob bei der reehnungsm/iBigen Fortschreibung die Altersgrenze z iiberschritten wird oder nicht, hat auf die Auswertung keinen Einfiu~, auBer dab jenseits der Altersgrenze manches einfacher wird. Freilich ist hier immer eine einheitliche Alterssterblichkeit angenommen; will man davon abweichen, so w/~ren die b~ l, *,x~ai, Sx'ai (x _A z) gemi/B der Bemerkung am SchluB des ersten Abschnitts aufzuspalten und auBerdem fiir x ~ z neben den ~lxW , ~ixW noch entsprechende Gr6f~enreihen ~)x Aw, ~x Aw aufzustellen, his zuletzt alles in D,.̂ aw zusammenfiieBt.
Beide fiir den Sachverhalt des dritten Abschnitts entwickelten Auswertungsmethoden 31 und 32, die als rtickw/~rts- und vorw~rtsrechnend unterschieden werden k6nnen, sind in den Einzelheiten einigermal~en weitl~ufig; die zweite hat den Vorteil, auch f'tir Beispielsrechnungen geeignet zu sein, ohne daB wegen des Endalters besondere Vor- bereitungen zu treffen w~ren. Bei praktischer Anwendung sollte immer gepriift werden, ob man nicht mit den einfacheren Annahmen des zweiten Abschnitts oder wenigstens mit einer vergr6berten Skala der Altersuntersehiede auskommt.
In der eingefiigten Tabelle sind fiir ein Modell aUe bier er6rterten Kommutations- zahlenr~hen ausgereehnet wiedergegeben. Es ist fiir alle 55 _~ x < u ~ 60 brauchbar. In den N- und S-Spalten wurden fiir das letzte Alter 60, weft es als vor der Alters- grenze liegend gedacht wird, witlkiirliehe, sieh bei der Auswertung identiseh heraus- hebende Zahlen eingesetzt. Die Reehnung fiir x ----- 55, u = 60, die dem Leser fiber- lassen bleibe, ergibt, wenn die Anwartschaft nach der Staffel 1, 2, 3, 4, 5 steigt und die Witwenrente 100% betr/~gt, dab ausgehend yon 81600 Aktiven des Alters 55 nach 5 Jahren vorhanden sind 61600 Aktive (trivial) und 10 883 Ruhegeldempfi/nger mit Rentenbetrag 34756, ferner unter den Annahmen des zweiten Abschnitts 7099 Witwen des einheitlichen Alters 57 mit Rentenbetrag 21837, dagegen unter den An- nahmen des dritten Abschnitts 7216 Witwen der Alter 57, 56, 55 mit Rentenbetrag 22110, deren Aufteflung auf die drei Alter sieh aus der Bereehnung ergibt.
318
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59
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2700
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600
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1,40
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0,04
3215
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0,03
7823
0,
4518
47
3,53
4517
0,
0415
08
0,41
4024
3,
0826
70
0,04
5576
0,
3725
16
2,66
8646
0,
0500
97
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6940
2,
2961
30
0,05
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0,
2768
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0,03
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5109
87 *
Die rekursive Fortschreibung, die bei diesem Beispiel noch zu iibersehen ist, liefert dieselben Ergebnisse. Der Vortefl einer For tschreibung mit Kommuta t ionszahlen gegeniiber der rekursiven Fortschreibung ist offenkundig, wenn die Fortschreibungs- dauern l~nger sind oder die Anfangs- und ScMuBalter variiert werden sollen.
Eingegangen am 1O. Mai 1961.
L I T E R A T U R V E R Z E I C H N I S
[1] Dienst, H.-R.: Entwicklungswahrseheinlichkeiten fOx mehrj&hrige Zeitr&ume bei Pensions- kassenbest&nden. Ver6ffentl. des Bundesaufsichtsamts flit das Versieherungs- mad Bauspar- wesen 1953, S. 250 und 1955, S. 55.
[2] MiiUer, N.: Ein praktisches Verfahren der Bestandsentwieklung einer Personengesamtheit unter genauer Beriicksichtigung des Neuzugangs. BlOtter der Deutschen Gesellsehaft fox Ver- sicherungsmathematik Band I I I S. 197.
Summary
In order to estimate, without recurrence relations, the number of surviving annuitants and widows at some future point of time, starting from a fixed number of active persons, a set of commutation columns of a new type is constructed. The use of these is equivalent to the methods of actuarial valuation of the usual kind of constant or increasing contingent reversions. In this way the initial and final ages can be varied without difficulty. In estimating the number of widows, account can be taken of whether or not the widows' pension is payable in respect of marriages after retirement.
320
