Fourier-Reihen & Fourier - Transformationeitidaten.fh-pforzheim.de/.../mathe_3/mathe_3_Fourier_Folien.pdf · Fourier-Analyse von Musikinstrumenten Allerdings: Idealisierte Betrachtung

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Mathe 3 / Analysis 3

Blankenbach / WS2012 / 23.09.2012 1

Fourier-Reihen & Fourier - Transformation

Prof. Dr. Karlheinz Blankenbach

Hochschule Pforzheim

Tiefenbronner Str. 65

75175 Pforzheim

Überblick / Anwendungen:

Die Fourier-Transformation dient beispielsweisezur Analyse von Signalen (Signalverarbeitung),

der Filterung und der Analyse von Schwingungen.

Empfohlene Literatur:

- Böhme: Analysis 2, Springer

- Latussek et al. : Lehr- und Übungsbuch Mathematik V, Fachbuchverlag Leipzig-Köln

- Papula : Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler, Band 2, Vieweg

- Westermann : Mathematik für Ingenieure mit MAPLE, Band 2, Springer

- Burg et al. : Höhere Mathematik für Ingenieure, Band III, Teubner

- Tilman Butz: Fourier-Transformation für Fußgänger, Teubner

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1. Fourier - Reihenentwicklung (Wiederholung aus 2. Sem)

Fourier-Reihenentwicklung – warum, wozu ?:

- Methode zur Darstellung von Funktionen durch (unendliche) Reihen

„gut“ für Mikrocontroller falls mathematische Funktion nicht im Compiler

implementiert ist oder „eingebaute“ Compilerfunktion zu langsam.

- Anwendungen: Differentiation, Integration, „Spektrum“, …

1.1 Einschub zur Wiederholung: Allgemeines zu Reihen

Anwendungen: - Darstellung von Funktionen mit Reihen Numerik

- Integrierbarkeit von 'unlösbaren' Integralen

- Frequenzanalyse nach FOURIER

- In der Technik sind viele Zusammenhänge als Reihen angenähert

(oft auch, weil keine exakte Formel existiert bzw. experimentell ermittelt)

Bsp: Hooke‟sches Gesetz, T-abhängiger Längenausdehnung bzw.

elektrischer Widerstand: X = Xo (1 + T)

Definition: a1 + a2 + a3 + ... + an + ... = an

n

1

(R - 1)

an : n-tes Reihenglied

Reihe ist - konvergent, wenn an

n

1

= S (Grenzwert S existiert, S < ) (R - 2)

- divergent: Grenzwert S existiert nicht an

n

1

=

Ideal: Unendliche Reihe

Reale Numerik: endliche Reihe an

n

N

1

= <sN> (R - 3)

Partialsumme

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Vorgehensweise bei Reihen: 1) existiert S ?

2) wenn ja (konvergent), bestimme S bzw. <sN>

Beispiele: nn

1

= 1 + 2 + 3 + 4 + ... + = → divergent

1 1

1

1

21 nn

... = konvergent ?

Reihendefinitionen:

- geometrisch : an = a qn-1

- alternierend : a1 - a2 + a3 - …

- Potenzreihe : a0 + a1x + a2x² + … (Polynom)

- arithmetisch : an = a + (n-1) d

- harmonisch : an = 1/n

Geometrische Reihen

Def.: 1n

1n

qa

= a + aq + aq² + aq³ + .... (R - 4)

Konvergenzbed.: |q| < 1

Summe: q1

aS

für |q| < 1 (R - 5)

Bsp: ...4

1

2

11

2

1

2

1

1n

1n

1n

→ q = 1/2 also konvergent, a = 1

→ 2

2

11

1S

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Alternierende Reihen

Def.:

1n

n

1na1 = a1 - a2 + a3 - a4 + .... (R - 6)

Leibnitz - Konvergenzkriterium:

1) an > an+1 (R - 7)

2) 0alim nn

alternierende Reihe konvergent, wenn beide Bed. erfüllt

Bsp: ...3

1

2

11

n

11

1n

1n

an = 1/n

Leibnitz: 1) 1 1

1n n

2) limn n

1

0 → Reihe ist konvergent

Potenzreihen

Def.:

0n

n

n xa = ao + a1x + a2x2 + a3x

3 + .... (R - 8)

mit an R

Potenzreihe = Polynom

Konvergenzradius 1n

n

n a

alimr

(R - 9)

- konvergent : |x| < r

- divergent : |x| > r

- keine Aussage : |x| = r

Bsp: ...2

x

1

x1

!n

x 2

0n

n

)1n(lim!n

)!1n(lim

a

alimr

nn1n

n

n

→ Reihe konvergent für alle x R (Fakultät > Potenz)

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Potenzdarstellung von Funktionen

konvergente Potenzreihe stellt eine reelle Zahl dar:

n

0n

n xa)x(fy

(R - 10)

somit gilt auch:

- Differential y f xd

dxa x n a xn

n

n

n

n

n' '( )

0 1

1

- Integral F x f x dx a x dx ax

nCn

n

n

n

n

n

( ) ( )

0 0

1

1

Bsp: ( )

x n

n 0

1 - x + x² - x³ + ...

mit a = 1, q = -x : geometrische Reihe

( )

xx

n

n 0

1

1 für |x|< 1

f(x) = 1 / (1+x) (Summe)

Diff. und Int. Mit obiger Reihendefinition und Summe

Diff: f‟(x) = -1/(1+x)² = -1 + 2x - 3x² + ... = ( )

1 1

1

n n

n

n x

(so erhält man auch Summen von ‚neuen‟ Reihen)

Int : f x dxdx

xx( ) ln( )

1

1 ‚zu Fuß unmöglich‟ – aus Formelsammlung

C...3

³x

2

²xxdx)x(

0n

n

= ln(1+x) !

C aus ln 1 = 0 für x=0 C = 0

ln(1+x) x – x²/2 + x³/3 …

Anwendung: Numerik

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Beispiele von Potenzreihen (aus Papula Formelsammlung)

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MacLaurin - Reihe

Kann y = f(x) in eine konvergente Potenzreihe entwickelt werden,

so ist dies nur mit der ML - Reihe möglich:

0n

n)n(

nn

x!n

)0(fx

!n

)0(f...²x

!2

)0(''fx

!1

)0('f)0(f)x(f (R - 11)

Achtung: Entwicklung nur um x = 0 !

Beispiele: - lineare Näherung f(x) f(0) + f‟(0) x

F = 0 + D x Hookesches Gesetz für Feder

R = Ro + Ro T aus Ro (1 + T)

V = Vo + Vo T aus Vo (1 + T)

- f(x) = ex

f(x) = f‟(x) = f‟‟(x) = ……..= ex

f(0) = f‟(0) = f‟‟(0) = ……..= e0 = 1

→ ex = 1 + x/1 ! + x²/2! + x³/3!

- y = x²

- f(0) = 0

- f‟(x) = 2x ; f‟(0) = 0

- f‟‟(x) = 2 ; f‟‟(0) = 2

- f‟‟‟ und folgende: Null

→ f(x) = 0 + 0 + 2/2 x² + 0 + … = x²

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Taylor - Reihe

- allgemeiner Fall der MacLaurin - Reihe für x0 = 0

- Entwicklung um ‚beliebigen‟ Wert x0 , der bekannt sein muß

- h ist Abstand von x0

0n

no

)n(no

n

oooo h

!n

)x(fh

!n

)x(f...²h

!2

)x(''fh

!1

)x('f)x(f)hx(f (R - 12)

Bsp: e1,4

e1 = 2,718 bekannt -> xo = 1, xo + h = 1,4 h = 0,4

f(1 + 0,4) = e1 + e1h + e1/2! h² + e1/3! h³ + ...

= e1 ( 1 + h + h²/2 + h³/6 + ... )

Vergleich (an der Tafel) MacLaurin und Taylor

für f(x) = ex mit x = 2 , für Taylor : exo mit xo = 1 also e1 = 2,72 ‚bekannt‟

Exakt: 7,389

n MacLaurin Taylor

0 e0 = 1,00 e1 = 2,72

1 3,00 5,44

2 5,00 6,80

3 6,33 7,25

4 7,00 7,36

5 7,27 7,38

Mit Taylor-Reihe kommt man ‚schneller‟, d.h. für kleiner n, dem exakten Wert näher.

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Näherungspolynome (aus Papula Formelsammlung)

… liefern (nur) in der Nähe des Nullpunkte brauchbare Ergebnisse !

(Bsp: sinx = x und e-x = 1 - x geht für größere x, z.B. 2 ‚schief‟)

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1.2 Fourier – Reihen

Vorteil Fourier im Vergleich zu Taylor- und MacLaurin-Reihe:

- basiert auf periodischen Vorgängen, welche technische

Schwingungen besser als Potenzreihen beschreiben !

- Analyse des Frequenzspektrums (→ Fouriertrafo)

Fourier-Analyse von Musikinstrumenten

Allerdings: Idealisierte Betrachtung (scharfe Peaks) für Reihen.

Bei Messung und Fourier-Transformation verbreitern sich diese Peaks.

rel. Lautstärke

Frequenz

fo

2fo 3fo 4fo 5fo

Trompete rel. Lautstärke

Frequenz

fo

2fo 3fo 4fo 5fo

Horn

rel. Lautstärke

Frequenz

fo

2fo 3fo 4fo 5fo

Oboe rel. Lautstärke

Frequenz

fo

2fo 3fo 4fo 5fo

Clarinette

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Periodische Funktionen

Def.: f(t + P) = f(t) mit P = n T n = 0, 1, 2, … , T : Periodendauer

Beispiele einfachster periodischer Funktionen:

- y = A cos t

- y = A sin t

mit A : Amplitude

= 2 / T : Kreisfrequenz, wichtig bei Fourier-Reihe: sin(kt), cos(kt), aus T

f = 1 / T : Frequenz

→ = 2 f

Integrationseigenschaften periodischer Funktionen:

Verschieben der Integrationsgrenzen ist erlaubt:

∫ ( )

= ∫ ( )

Def.: - Gerade Funktion : g (t) = g (-t) symmetrisch zur Y-Achse

- Ungerade Funktion : u (-t) = -u (t) symmetrisch zum Ursprung

Beispiele:

- Cosinus : y = A cos t : y (t) = y (-t) → gerade

- Sinus : y = A sin t : y (-t) = -y (t) → ungerade

‟Hausaufgabe‟ : Rechteck-, Dreieck-, Kippspannung, Gleichgerichteter Sinus, …

y

t

Periodendauer T

A

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1.2.1 Definition der Fourier – Reihe

Ziel: Zerlegung einer periodischen Funktion nach Sinus und Cosinus

Def.:

1k

kko tksinbtkcosaa)t(f

mit den Fourier – Koeffizienten (k reelle ganze Zahlen):

relative

Amplitude

Zeit t

(Periode T mit T = 2/ )

Ort ‚x’

a0

(DC-Anteil)

T

0

dt)t(fT

1

2

0

dx)x(f2

1

ak

T

0

dt)tkcos()t(fT

2

2

0

dxkxcos)x(f1

bk

T

0

dt)tksin()t(fT

2

2

0

dxkxsin)x(f1

Bemerkungen

Die Integrationsgrenzen können verschoben werden. Salopp formuliert: Man muß ‚nur‟

darauf achten, dass über eine ganze Periode integriert wird:

T

0

TTo

To

dt)t(fT

1dt)t(f

T

1

Man findet auch oft eine Fourier-Reihenentwicklung nach ‚x‟.

In der Technik meist zeitabhängige Messwerte etc. deshalb Zeit (Periode T) verwenden !

Vereinfachung für folgende Fälle (Symmetrie):

Funktion Definition alle Bsp.

gerade f(-t) = f(t) bk = 0 cos

ungerade f(-t) = - f(t) ak = 0

(inkl. ao)

sin

d.h. Approximation nur durch Sinus bzw. Cosinus !

1k

kko xksinbxkcosaa)x(f

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Vereinfachung für Rechnung mit Periode T:

Def.:

1k

kko

1k

kko tksinAatksinbtkcosaa)t(f

mit k

kk

2

k

2

kka

btan;baA , Rest siehe oben

Anmerkung: Dirichletsche Bedingungen

Die Entwicklung einer periodischen Funktion in eine Fourier-Reihe ist unter folgenden

Voraussetzungen (sog. Dirichletsche Bedingungen) möglich:

1. Das Periodenintervall lässt sich in endlich viele Teilintervalle zerlegen, in denen die

Funktion stetig und monoton ist

2. In den Unstetigkeitsstellen existiert sowohl der links- als auch rechtsseitige Grenzwert

(es kommen nur Sprungunstetigkeiten mit endlichen Sprüngen in Betracht)

Diese Bedingung ist z.B. nicht für Tangens als periodische Funktion erfüllt!

Beispiele:

zu 1. : Rechteck- bzw. Sägezahnsignal sind stetig und monoton in Teilintervallen

zu 2. : Dreiecksfunktion an der ‚Spitze‟ Unstetigkeit mit endlichem Sprung

Hilfreiche Integrale und Definitionen :

-

0kfürT

0kfür0dttkcos

T

0

- kallefür0dttksinT

0

- )(cos)(cos2

1sinsin

- )(cos)(cos2

1coscos

- )(sin)(sin2

1cossin

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Bsp: Fourier-Reihe eines Sägezahn-Signales

ftt für t

für t( )

| |

| |

0

mit f(t + 2) = f(t)

=T

t

f(t)

0

T

„Kochrezept“:

1. Bestimmung von aus Periodendauer: T = 2 (hier, aus Defintion, siehe auch Skizze);

Definition der Periodendauer T = 1/f = 2/

T = 2 = 2/ = 1

2. Sind Dirichletsche Bedingungen erfüllt?

3. Symmetrie ? (vereinfacht Rechnung):

ungerade Funktion, da f(-t) = -f(t) alle ak = 0 (inkl ao )

4. DC-Anteil ? hier keiner wg. Symmetrie (3.)

5. Berechnung der Fourierkoeffizienten

bT

f t k t dtk

T

2

0

sin (Verschiebung der Integrationsgrenzen möglich)

mit f(t) = t (s.o.), T = 2 und = 1 :

dtkttbk sin1

²

sincos1Pr k

kt

k

kttbknIntegratioodukt

Bem.: sin(k) = sin(k{-}) = 0

k

kkk

k

k

k

k

kb

kk

k

cos2

)cos(cos1

0)cos()(

)1(0cos1

)cos()cos(

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kk

bk cos2

„Klappt das im Mikrocontroller?“ „Nein“, da „ungenau“

Überlegung zur Vereinfachung: Welche Werte nehmen die bk‟s an?

cos(k) wird für alle k‟s (reelle ganze Zahlen) nur „+1“ oder „-1“

bk

k gerade

k ungerade kk

k

2 1

11

21

( )

6. Explizites Hinschreiben der Fourier-Reihe

1

1

11:

)(sin2

)1()(sin)(k

k

khier

k ktk

tkbtf

Def. Rel. Amplitude , k „Frequenz“

7. Explizite Beschreibung der ersten Glieder

k 1 2 3

Amplitude 2 - 1 + 2/3

f(t) 2 sint - sin2t + 2/3 sin3t

Hier: = 1 (s.o.)

(Bedeutung)

Grundfrequenz

des Sägezahns

1. harmonische

Oberwelle

2. harmonische

Oberwelle

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Die bk‟s ‚fallen‟ relativ langsam, da die ‚Spitzen‟ des Sägezahnes nachgebildet werden müssen.

Fourier-Darstellung Sägezahn

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

t

y

Sägezahn (nicht maßstäblich)

bis k=1

bis k=2

bis k=3

Nullstellen-Versatz durch EXCEL-Schrittweite

Fourier - Koeffizienten Sägezahn (Spektrum)

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

1,8

2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

k

|bk|

Liniendiagramm, da einzelne diskrete 'x-Werte', hier k

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Beispiele für Fourier-Reihen (aus Papula Mathematische Formelsammlung)

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Rechtecksignal

Gegeben:

2tfür1

t0für1)t(f

1. Bestimmung von aus Periodendauer: T = 2 = 2/

Definition Kreisfrequenz = 2/T = 1

2. Sind Dirichletsche Bedingungen erfüllt?

3. Symmetrie ? (vereinfacht Rechnung):

ungerade Funktion, da f(-t) = -f(t) alle ak = 0 (inkl ao )

4. DC-Anteil ? hier keiner wg. Symmetrie (3.)

auch aus Skizze: kein DC-Anteil (DC = 0) erkennbar a0 = 0

5. Berechnung der Fourierkoeffizienten

2

00

)(sin1

)sin(1

)(sin2

dtktdtktdttktfT

b

T

k

2

0)(cos

1)(cos

1kt

kkt

kbk

1

1

)cos(12

)cos(11)cos(1

)cos()2cos(1

1)cos(1

kk

kkk

kkk

kk

bk

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- k gerade = cosk= +1 () = 0 bk = 0

- k ungerade = cosk= -1 () = +2 bk = 4 / k ist aber ”ungeschickt”

”besser”: ungerade durch 2k-1 ”ausdrücken”

k 2k – 1 )12(

4)2(

)12(

2

kkbk

6. Explizites Hinschreiben der Fourier-Reihe

})12{(sin)12(

4)(

1

tkk

tfk

7. Explizite Beschreibung der ersten Glieder

Die ersten 3 Glieder der Reihenentwicklung:

t5sin

5

1t3sin

3

1tsin

4t5sin

5

4t3sin

3

4tsin

4)t(f

1k

kko tksinbtkcosaa)t(f

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Rechteck-Signal durch Fourier-Reihe approximiert

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Komplexe Darstellung der Fourier-Reihe

es galt:

1k

kko tksinbtkcosaa)t(f (Reihe)

mit ej = cos jsin (Euler)

erhält man: coskt = 1/2 (ejkt + e-jkt )

sinkt = 1/j2 (ejkt - e-jkt )

akcoskt + bksinkt = 1/2(ak - jbk) ejkt + 1/2(ak + jbk) e

-jkt

Substitution: ck c-k

1k

tkj

k

tkj

ko ececa)t(f

wegen:

1k

tkj

k

1k

tkj

k ecec

folgt: tkj

k

kec)t(f

bzw. xkj

k

k ec)x(f

„-‟ entspricht negativen Frequenzen !

ao Co

mit dte)t(fT

1C

T

0

tkj

k dxe)x(f

2

1C

2

0

xkj

k

Beziehungen zwischen ak, bk, Ak und Ck:

Co = ao ; ak = 2 Re {Ck} ; bk = - 2 Im {Ck} ; kkkk ²b²aC2A

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Beispiel: Rechteckfunktion komplex

f(x) = f(x + 2)

ungeradekk

j

geradek

kundkmit

kjkk

j

k

j

kjj

j

kjNR

eekj

ekj

dxedxexfC

jjerweiternju

kjkjxkj

xkjxkj

k

0

0sin1cos

1)(sin)(cos2

1:

1

2

11

2

1

12

1)(

2

1

1

0

0

0

2

0

2

1

22

111

2

1)(

2

10

0

2

0

0

0

xdxdxexfC xj

Damit lautet die komplexe Fourier-Reihe ausgeschrieben:

( )

∑

∑

( ) ( )

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Beginn: k = 0, -1, +1, -3, +3

Ziel: f(x) „reell“

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2.1.2 Fourier - Transformation

Technik: - Meßzeit begrenzt, nicht

- oft nicht periodische Funktionen (z.B. Sprache)

deshalb Fourier-Reihe oft nicht Mittel der Wahl

- „Trick“ des Fourier-Integrales hierbei: periodische Fortsetzung

- Ergebnis der Fourier-Transformation ist ein kontinuierliches Spektrum

Fourier-Reihe Fourier-Integral

Signal

t

f(t)

Messung

+

. . . . . .

|<----->| Periode T

t

f(t)

Messung periodische Fortsetzung

- T/2 + T/2

0 T

Messzeit

Spektrum

f

a

diskret

f

a

kontinuierlich

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Vergleich Fourier- Reihe und Fourier –Transformation

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Fourier – Transformation

Bezeichnung: f(t) F()

komplexe Darstellung (ejt = cost jsint)

Definition der Integrale

Summe Integral Einzelglieder Fourier-Transformierte

diskret kontinuierlich

Fourier-

Reihe

tkj

k

kec)t(f

- für c.c.

dte)t(fT

1C

T

0

tkj

k

Fourier-

Integral

F() ist Fouriertransformierte von f(t) : Spektraldarstellung

im Allgemeinen komplex, d.h. Amplitude + Phase

ACHTUNG: - Nie = 2 / T verwenden wie bei Fourier-Reihe!

- Vereinfachung für reelle gerade bzw. ungerade Funktionen f(t) – siehe 9 !

Aufsplittung von F() in Real- und Imaginärteil e-jt = cost - jsint :

PhaseR

I

BetragIRF

IjRF

dtttfjdtttfdtetfF tj

:)(

)()(

:)²()²()(

)()()(

)sin()()cos()()()(

A() = |F()| : Amplitudenspektrum : Praxis !

ft F e dj t

( ) ( )

1

2

F ft e dtj t

( ) ( )

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Beispiele Rechteck-Signale vs. Optik (Beugung)

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Tabelle Fourier-Transformierte (aus Föllinger, HÜTHIG)

Vergleiche Rechteckimpuls und sinx/x (Si)

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Fourier-Transformierte und Fensterfunktionen

Vorgehensweise: Erfassung (z.B. Oszi) und Multiplikation im Zeitbereich mit Fensterfunktion

Fensterfunktionen dämpfen die Nebenzipfel (Frequenz im Original nicht vorhanden!) zu Lasten der Amplitude des Hauptmaximums

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Weitere Fensterfunktionen (aus Butz: FT für Fußgänger, Teubner)

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Frequenz – „Auflösung“ verschiedener Fensterfunktionen

(aus Butz: FT für Fußgänger, Teubner)

Gegeben ist folgende Funktion: f(t) = cos(t) + 10-2 cos(1,15 t) + 10-3 cos(1,25 t) + 10-3 cos(2 t) + 10-4 cos(2,75 t) + 10-5 cos(3t)

Frequenz 1 1,15 1,25 2 2,75 3

Amplitude 1 10-2 10-3 10-2 10-4 10-5

Frage: Mit welcher Fensterfunktion wird das Signal mit benachbarten Frequenzen und teilweise

geringen Amplituden aufgelöst?

ET/IT & TI


Blankenbach / WS2012 / 23.09.2012 38

Fourier-Fenster-Funktion: Rechteck ‘Spaltfunktion’ (Zoom, s.u.)

Verbreiterung des 10 Hz-Peaks

Fouriertransformierte einer zeitlich begrenzten Cosinusschwingung

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

f /Hz

|F|

(Amplitudenspektrum) fo = 10 Hz, Meßdauer 1s : 10 gemessene Schwingungen

Fouriertransformierte einer zeitlich begrenzten Cosinusschwingung

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

f /Hz

|F|

(Amplitudenspektrum) fo = 10 Hz, Meßdauer 10s : 100 gemessene Schwingungen

Nebenzipfeldämpfung durch mehr Perioden, aber Gefahr der Unterabtastung

ET/IT & TI


Blankenbach / WS2012 / 23.09.2012 39

Beispiel: Fourier-Transformation eines RLC-Schwingkreis mit schwacher Dämpfung

Gedämpfte Schwingungen

-1

-0,5

0

0,5

1

0 1 2 3 4 5 6

Zeit

Amplitude

schw ach gedämpft

Kriechfall

Aperiodischer Grenzfall

Einhüllende

FT gedämpfte Schwingung

0

2

4

6

8

10

0 0,5 1 1,5 2 2,5

rel. Frequenz (w/ws)

rel. Amplitude

A (d= 0,1)

A (d = 0,25)

A (d = 1)

ET/IT & TI


Blankenbach / WS2012 / 23.09.2012 40

Übungsaufgaben Fourier-Reihen und -Transformation

1. Entwickle die Funktion

2,,0t

2t

t0

für

0

a

a

)t(f

mit f(t+2) = f(t) in eine Fourier-Reihe und skizziere das Ergebnis.

Lsg: 1mit...5

t5sin

3

t3sin

1

tsina4)t(f

...,3,1k4

...,4,2k0

k

abk

2. Entwickle die Funktion f tt

tfür

t

t( )

sin

sin

0

0

mit f(t+2) = f(t) in eine Fourier-Reihe (Tipp: k = 2k und skizziere das Ergebnis.

Lsg: 1mit...35

t6sin

15

t4cos

3

t2cos42)t(f

aungerade = 0 ; agerade = 4/(1-k²)

3. Berechne Fouriertransformierte eines Dreieckimpulses und skizziere das Ergebnis

f(t)

t0

A

Tmess/2-

Lösung:

2

T²sin

²T

A8)(F m

m

4. Berechne die FT des doppelten Rechteckpuls und skizziere das Ergebnis

t-3T 3T-T T

1

0

f(t)

Lösung: F T T( ) sin cos

4

2

Documents

Fourier-Reihen & Fourier - Transformationeitidaten.fh-pforzheim.de/.../mathe_3/mathe_3_Fourier_Folien.pdf · Fourier-Analyse von Musikinstrumenten Allerdings: Idealisierte Betrachtung