Fourier-Summen

Überlagerung von harmonischen Schwingungen

Inhalt

Summen aus harmonischen Schwingungen • Zwei „Harmonische“ mit ähnlicher Frequenz

– „Schwebung“• Harmonische mit Vielfachen einer Grundfrequenz

– Summe von zwei bis zu fünf dieser Schwingungen

Summe aus zwei harmonischen Schwingungen mit ähnlichen Frequenzen

Frequenz der blauen Funktion: 0,95 Hz

Frequenz der schwarzen Funktion: 1,00 Hz

Resultierendes Signal: Schwebung

Die Frequenz der Schwebung ist viel kleiner als die der einzelnen Schwingungen

Summe aus Harmonischen Funktionen mit Vielfachen einer Grundfrequenz

Harmonische Funktion der Grundfrequenz

Amplitude: f(t) = cos 2πf·t

Zwei harmonische Funktionen

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

-1,2 -0,8 -0,4 0 0,4 0,8 1,2

t [s]

Am

plitu

de f=1 [Hz]

f=2 [Hz]

Amplitude der zweiten Funktion: f(t) = cos 2π·2f·t

Drei harmonische Funktionen

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

-1,2 -0,8 -0,4 0 0,4 0,8 1,2

t [s]

Am

pli

tud

e

f=1 [Hz]

f=2 [Hz]

f=3 [Hz]

Amplitude der dritten Funktion: f(t) = cos 2π·3f·t

Vier harmonische Funktionen

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

-1,2 -0,8 -0,4 0 0,4 0,8 1,2

t [s]

Am

pli

tud

e f=1 [Hz]

f=2 [Hz]

f=3 [Hz]

f=4 [Hz]

Amplitude der vierten Funktion: f(t) = cos 2π·4f·t

Fünf harmonische Funktionen

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

-1,2 -0,8 -0,4 0 0,4 0,8 1,2

t [s]

Am

pli

tud

e

f=1 [Hz]

f=2 [Hz]

f=3 [Hz]

f=4 [Hz]

f=5 [Hz]

Amplitude der fünften Funktion: f(t) = cos 2π·5f·t

Erster Summand: „Harmonische“ der Grundfrequenz

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

-1,2 -0,8 -0,4 0 0,4 0,8 1,2

Summe 1

f(t) = cos 2π·1·t

Summe aus zwei harmonischen Funktionen

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

-1,2 -0,8 -0,4 0 0,4 0,8 1,2

Summe 1

Summe 2

f(t) = cos 2π·1·t + cos 2π·2·t

Summe aus drei harmonischen Funktionen

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

-1,2 -0,8 -0,4 0 0,4 0,8 1,2

Summe 1

Summe 2

Summe 3

f(t) = cos 2π·1·t + cos 2π·2·t + cos 2π·3·t

Summe aus vier harmonischen Funktionen

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

-1,2 -0,8 -0,4 0 0,4 0,8 1,2

Summe 1

Summe 2

Summe 3

Summe 4

f(t) = cos 2π·1·t + cos 2π·2·t + cos 2π·3·t + cos 2π·4·t

Summe aus fünf harmonischen Funktionen

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

-1,2 -0,8 -0,4 0 0,4 0,8 1,2

Summe 1

Summe 2

Summe 3

Summe 4

Summe 5

f(t) = cos 2π·1·t + cos 2π·2·t + cos 2π·3·t + cos 2π·4·t + cos 2π·5·t

Summe aus Harmonischen mit Vielfachen einer Grundfrequenz

An Stellen der Maxima der Grundschwingung erscheinen:

• Ausgeprägte Maxima – Verstärkt um die Anzahl der Summanden– Breite proportional zum Kehrwert der Anzahl

der Summanden• Zwischen diesen schmalen, hohen Maxima ist die

Amplitude praktisch verschwindend klein• Einem Paukenschlag kann deshalb keine

einzelne Frequenz („Ton“) zugeordnet werden: Er ist die Summe aus harmonischen Schwingungen zu einem „breiten Frequenzband“

Zusammenfassung

• Die Überlagerung von harmonischen Schwingungen ähnlicher Frequenz führt zu Schwebungen

• Die Überlagerung von harmonischen mit Vielfachen einer Grundfrequenz zeigt an Stellen der Maxima der Grundfrequenz– Schmale, aber um die Anzahl der Summanden

verstärkte Maxima– Ein in der Zeit kurzes, „schlagartiges“ Ereignis besteht

demnach aus vielen Schwingungen unterschiedlicher Frequenzen zu einem „breiten Frequenzband“

• Je kürzer das Signal, desto breiter ist das Band

Quelle für die Rechnungen: Harmonische_Mappe1.xls

finis