Fragen zum Kapitel 1 - members.aon.atmembers.aon.at/angie-online/downloads/Mathematik_I_Fragenkatalog.pdfMathematik für Informatiker I 1/61 Fragen zum Kapitel 1.1 1. Was ist eine

Mathematik für Informatiker I 1/61

Fragen zum Kapitel 1.1

1. Was ist eine Aussage? 1 P

2. Was bedeuten Negation, Konjunktion, Disjunktion? Wie sehen die Zeichen für diese Operationen aus?

3 P

3. Was bedeutet äquivalent? 1 P

4. Wie lauten die folgenden Regeln? Idempotenzregeln, Kommutativgesetze, Assoziativgesetze, Distributivgesetze, Doppelte Negationsregel, De Morgansche Gesetze, Absorptionsgesetzte)

13 P

5. Was bedeuten Tautologie bzw. Antinomie? 2 P

6. Was bedeuten Implikation bzw. Äquivalenz? Wie sehen die Zeichen für diese Operationen aus?

2 P

7. Was sind Prämissen (Voraussetzung, Hypothese) und Konklusionen (Folgerung)?

2 P

8. Wie lauten die folgenden Regeln? Transskriptionsregeln, Kontrapositionsregeln

4 P

Übungsbeispiele: 1.1.3 1.1.7 1.1.9 1.1.10 1.1.11 1.1.12 1.1.13 1.1.15 1.1.18 1.1.20 1.1.23 1.1.24


Antworten zu Kapitel 1.1 1. siehe Seite 11, F1 2. siehe Seite 12, F2 3. siehe Seite 15, F3 4. siehe Seite 16, F4 5. siehe Seite 19, F5 6. siehe Seite 21, F6 7. siehe Seite 21, F7 8. siehe Seite 25, F8


Fragen zum Kapitel 1.2 9. Was ist ein Universum? 1 P

10. Was ist ein Prädikat 1 P

11. Wie heißen die 2 Methoden, mit denen man aus dem Prädikat P(x) Aussagen gewinnt?

2 P

12. ___ harmonisiert mit „und“, aber nicht mit „oder“. ___ harmonisiert mit „oder“, aber nicht mit „und“

2 P

Übungsbeispiele: 1.2.3 1.2.6 1.2.9 1.2.12 1.2.15 1.2.17



Antworten zu Kapitel 1.2 9. siehe Seite 30, F9 10. siehe Seite 31, F10 11. siehe Seite 31, F11 12. siehe Seite 36, F12


Fragen zum Kapitel 1.3 13. Ist ein Universum U eine Menge? 1 P

14. Was ist eine Inklusion (Teilmenge)? Wann tritt sie auf? 2 P

15. Ergänze: M __ M und 0 __ M 2 P

16. Was ist eine echte Teilmenge? Wie schreibt man sie an? 2 P

17. Wie lauten die 3 wichtigsten Mengenbildungsverfahren? Wie schreibt man sie an?

3 P

18. Wie lauten die 11 Gesetze zu den Zeichen , , ? 11 P

19. Was ist ein Durchschnitt, was ein Vereinigungsprozess? Wie werden sie angeschrieben?

4 P

20. Was ist eine „Familie von Mengen“? 1 P

21. Geordnete Paare: Wann sind 2 Paare gleich? 1 P

22. Was ist ein direktes oder cartesisches Produkt? 1 P

GESAMT 28 P Übungsbeispiele: 1.3.7 1.3.16 1.3.18 1.3.21 1.3.22 1.3.23 1.3.24 1.3.26 1.3.28 1.3.30 1.3.31 1.3.32 1.3.33 1.3.36

1.3.38 1.3.39



Antworten zu Kapitel 1.3 13. Ja; siehe Seite 47, F17 14. siehe Seite 52, F18 15. siehe Seite 55, F19; M M 0 M 16. siehe Seite 56, F20 17. siehe Seite 57 ff, F21 18. siehe Seite 60, F22 19. siehe Seite 62 f, F23 20. siehe Seite 65, F24 21. siehe Seite 68, F25 22. siehe Seite 68, F26


Fragen zum Kapitel 1.4 23. Eine Abbildung ist gegeben durch welche 3 Daten? 3 P

24. Wie wird diese Abbildung angeschrieben? Definitionsbereich M, Wertebereich N

2 P

25. Wenn M eine Teilmenge von N ist, wie heißt dann die Abbildung inM,N : M N, x inM,N(x) := x ? (2 Begriffe)

2 P

26. Wenn M = N, wie nennt man dann idM? (2 Begriffe 2 P

27. Wann sind 2 Abbildungen f und g gleich? 3 P

28. Was bedeutet g f? 1 P

29. Worauf muss man bei Kompositionen bzw. Verkettungen achten? 1 P

30. Welche 2 Eigenschaften haben Kompositionen von Abbildungen? 2 P

31. Was ist ein Urbild? 1 P

32. Was bedeuten die Fachbegriffe injektiv, surjektiv und bijektiv? 3 P

33. Wie kann man die Surjektivitätseigenschaft erzwingen? 1 P

34. Wie kann man die Injektivitätseigenschaft erzwingen? 1 P

GESAMT 22 P Übungsbeispiele: 1.4.3 1.4.6 1.4.10 1.4.16 1.4.18 1.4.22 1.4.26



Antworten zu Kapitel 1.4 23. siehe Seite 72, F27 24. siehe Seite 72, F28 25. siehe Seite 73, F29 26. siehe Seite 73, F30 27. siehe Seite 75, F31 28. siehe Seite 76, F32 29. siehe Seite 76, F33 30. siehe Seite 78, F34 31. siehe Seite 79, F35 32. siehe Seite 80, F36 33. siehe Seite 85, F37 34. siehe Seite 86, F38


Fragen zum Kapitel 1.5 35. Durch welche 3 Eigenschaften ist nach Peano die Menge N

charakterisiert? 3 P

36. Welchen beiden Bedingungen muss P(n) genügen, damit P(n) für alle n N gilt?

2 P

37. Für was benutzt man das Induktionsprinzip? 2 P

38. Wie lautet die erweiterte Induktionsannahme? 1 P

39. Endliche Mengen: Wie kann man die Anzahl der Elemente von der Menge M noch nennen? Wie schreibt man sie an?

2 P

GESAMT 10 P Übungsbeispiele: 1.5.7 1.5.11 1.5.14



Antworten zu Kapitel 1.5 35. siehe Seite 88, F39 36. siehe Seite 89, F40 37. siehe Seite 92, F41 38. siehe Seite 95, F42 39. siehe Seite 95, F43


Fragen zum Kapitel 2.1 – 2.2 40. Ein Körper ist eine Menge K zusammen mit 2 Operationen auf K. Wie

heißen diese Operationen und aus welcher Menge stammen die Operanden bzw. das Ergebnis?

6 P

41. Wie lauten die Axiome des Körperbegriffes? (K0 – K4.1*)

8 P

42. Beweise: - Es gibt genau ein Element 0 K mit a + 0 = a - Es gibt genau ein Element 1 K mit a * 1 = a Wie nennt man diese Elemente 0 und 1.

6 P

43. Beweise: - Zu jedem a K gibt es genau ein a’ K mit a + a’ = 0 - Zu jedem a K gibt es genau ein a* K mit a * a*= 1 Wie nennt man diese Elemente a’ und a*.

6 P

44. Welche 4 Propositionen gibt es noch? Seite 144, 2.1.11 a0, 1 0, Kürzungsregel in K, nullteilerfrei

4 P

45. Was besagen die allgemeinen Assoziativgesetze bzw. Kommunikativgesetze der Addition und der Multiplikation?

4 P

46. Nenne die allgemeine Schreibweise des Summen- und Produktzeichens. 2 P

47. Was ist eine Summationsgrenze? 2 P

48. Wie lautet das allgemeingültige Beispiel einer Indexverschiebung bei (Summen und bei Produkten?)

2 P

49. Wann spricht man von einer leeren Summe bzw. von einem leeren Produkt?

2 P

50. Wie lauten die Rechenregeln bei Summen? - obere Summationsgrenze (m + n) - (ai + bi) - allgemeine Distributivgesetz

3 P

51. Wie lauten die 5 Additiven Vorzeichenregeln und die 2 Multiplikativen Vorzeichenregeln?

7 P

52. Wie lauten die 7 Rechenregeln über Vielfache? 7 P

53. Wie lauten die 2 Rechenregeln über Produkte? 2 P

54. Wie heißen die Teile einer Potenz? 2 P

55. Wie lauten die 8 Regeln der Bruchrechnung? 8 P

GESAMT 71 P Übungsbeispiele siehe Antwortseite


Antworten zu Kapitel 2.1 – 2.2 40. siehe Seite 137, F44 41. siehe Seite 137f, F45 42. siehe Seite 141, 142, F46 43. siehe Seite 142, 143, F47 44. siehe Seite 144, F48 45. siehe Seite 146, 155, F49 46. siehe Seite 147, 156, F50 47. siehe Seite 148, F51 48. siehe Seite 148, 156, F52 49. siehe Seite 149, 156, F53 50. siehe Seite 150, F54 51. siehe Seite 152, F55 52. siehe Seite 154, F56 53. siehe Seite 157, F57 54. siehe Seite 158, F58 55. siehe Seite 159, F59 Übungsbeispiele: 2.1.4 2.1.5 2.1.7 2.1.10 2.1.12 2.2.2 2.2.3 2.2.5 2.2.6 2.2.8 2.2.9 2.2.12 2.2.17

2.2.21 2.2.23 2.2.25 2.2.26 2.2.27



Fragen zu den Kapiteln 2.3 – 2.4

56. Nenne 3 Operatoren, mit deren Hilfe man Reelle Zahlen der Größe nach verglichen kann?

3 P

57. Es gibt 2 zusammengesetzte Operatoren, mit denen man ebenfalls Reelle Zahlen der Größe nach vergleichen kann. Wie heißen diese und aus welchen anderen Operatoren sind sie zusammengesetzt?

2 P

58. Die größere zweier verschiedener reeller Zahlen a, b heißt... Die kleinere zweier verschiedener reeller Zahlen a, b heißt...

2 P

59. Wie kann man die Addition und die Multiplikation geometrisch darstellen?

2 P

60. Welche 3 Eigenschaften hat das Rechnen mit Ungleichungen: 3 P

61. Nenne allgemeine Beispiele für diese 3 Eigenschaften? 4 P

62. Was ist ein Betrag? 1 P

63. Wie lauten die Vorschriften für Addition und Multiplikation für den Körper der komplexen Zahlen für alle (a, b), (a’, b’) R2.

2 P

64. Ist R eine Teilmenge von C? Begründe, deine Antwort 2 P

65. Stellt man die komplexe Zahl z eindeutig in der Form z = a + bi mit a, b R dar, wie bezeichnet man dann a und b?

2 P

66. Wann ist die Zahl z reell und wann ist sie rein imaginär? 2 P

67. Wann genau verschwindet die komplexe Zahl z? 1 P

68. Wie heißen die Achsen in der komplexen Ebene? 2 P

69. Setze fort und erläutere: |z| := ___________ Wie nennt man |z|?

3 P

70. Sei z = a + bi dann ist z := _________ Wie nennt man z? Wie kommt z geometrisch zustande?

3 P

71. Berechne 1/z = _______ ! 2 P

72. Sei z = a + bi, z’ = a’ + b’i. Stelle z + z’ und z * z’ geometrisch dar! 2 P

73. Definiere cos φ und sin φ mit den Begriffen Ankathete, Gegenkathete, Hypothenuse. Definiere weiters z = a + bi mit cos φ und sin φ.

2 P

GESAMT 40 P


Antworten zu Kapitel 2.3 – 2.4 56. siehe Seite 163f, F60; <, = und > 57. siehe Seite 164, F61; ≤ und ≥ 58. siehe Seite 164, F62

Maximum von a, b max(a, b); Minimum von a, b min(a, b) 59. siehe Seite 164f, F63 60. siehe Seite 165f, F64; transitiv, additiv, multiplikativ 61. siehe Seite 165f, F65 62. siehe Seite 166, F66 63. siehe Seite 167, F67 64. siehe Seite 168, F68 65. siehe Seite 171, F69

a heißt Realteil von z, a =: Re z; b heißt Imaginärteil von z, b =: Im z 66. siehe Seite 171, F70 67. siehe Seite 171, F71

Eine komplexe Zahl z verschwindet genau dann, wenn Re z = Im z = 0. z = Re z + (Im z)i = 0 + 0i = 0

68. siehe Seite 174, F72 x-Achse ... reelle Achse; y-Achse ... imaginäre Achse

69. siehe Seite 177, F73 70. siehe Seite 178, F74 71. siehe Seite 181, F75 72. siehe Seite 182-186, F76 73. siehe Seite 183, 184, F77 Übungsbeispiele: 2.3.1 2.3.10 2.3.14 2.3.15 2.4.2 2.4.4 2.4.7 2.4.9 2.4.10

2.4.11 2.4.15 2.4.20 2.4.21




74. Wie lautet die Kurzdefinition eines Vektors? 1 P

75. Durch was wird ein Vektor vollständig bestimmt? Wann sind 2 Vektoren gleich?

3 P

76. Was bedeutet der Begriff freie Vektoren? 1 P

77. Wie werden 2 Vektoren sowie deren Summe geometrisch dargestellt? 3 P

78. Was ist eine Skalare, was ein Vektor? 1 P

79. Wie wird die skalare Multiplikation geometrisch dargestellt? 3 P

80. Was ist ein Nullvektor? Wie entsteht er und wie wird er angeschrieben? 3 P

81. Wie heißt die horizontale und wie die vertikale Achse in einem rechtwinkeligen Koordinatensystem für Vektoren? Wie nennt man den Schnittpunkt dieser beiden Achsen?

3 P

82. Erläutere weshalb eine Beziehung zwischen Vektor u und dem Punkt P bzw. zwischen dem Vektor u und dem Paar (a, b) R besteht.

4 P

83. Was bedeutet ||u||, wie wird ||u|| berechnet und wo findet man ||u|| in einem rechtwinkeligen Koordinatensystem?

3 P

84. Was bedeutet <u, v>? 1 P

85. Was versteht man unter einem Vektorraum über K (oder K-Vektorraum)? Wie ist er definiert?

10 P

86. Ist eine skalare Multiplikation eine Operation? 2 P

87. Wie lauten die Rechenregeln über Summen bei Vektorräumen? 3 P

88. Was ist eine Negative auf ein Element von V? Was ist eine Differenz von v und w (beides Elemente von V)? Wie nennt man v wie nennt man w?

4 P

89. Wie lauten die Rechenregeln über Vorzeichen und Vielfache bei Vektorräumen?

11 P

90. Was heißt (als Spalten geschriebene) n-Tupel über K? Wann sind 2 n-Tupel gleich?

2 P

91. Wie wird mit Tupeln addiert? Wie wird skalar multipliziert? 2 P

92. Was ist ein Vektor? Was ist ein Vektorraum? 2 P

GESAMT 62 P Übungsbeispiele siehe Antwortseite


Antworten zu den Kapiteln 2.5 – 2.6 74. siehe Seite 188, F78 75. siehe Seite 188, F79 76. siehe Seite 189, F80 77. siehe Seite 189, 190, F81 78. siehe Seite 191, 201, F82 79. siehe Seite 191, 192, F83 80. siehe Seite 192, F84 81. siehe Seite 194, F85 82. siehe Seite 195, F86 83. siehe Seite 197, F87 84. siehe Seite 197, F88 85. siehe Seite 199, 200, F89 86. siehe Seite 200, F90 87. siehe Seite 202, F91 88. siehe Seite 203, F92 89. siehe Seite 204, F93 90. siehe Seite 207, F94 91. siehe Seite 207, 208, F95 92. Ein Vektor ist ein Element eines Vektorraumes. Somit befinden sich alle Vektoren

in einem Vektorraum. Übungsbeispiele: 2.5.6 2.5.7 2.6.3 2.6.4 2.6.8 2.6.9 2.6.13 2.6.14 2.6.17




93. Welche 3 Bedingungen müssen erfüllt sein, damit U ein Unter(vektor)raum (oder Teil(vektorraum) von V ist?

3 P

94. Wie kann man die Axiome der Addition und der skalaren Multiplikation eines Unter(vektor)raumes vereinigen?

1 P

95. Ergänze: U ist höchstens dann ein Untervektorraum von V, wenn U ________ von V enthält.

1 P

96. Was versteht man unter den trivialen Unterräumen von V? Einer dieser trivialen Unterräume hat noch einen anderen Namen. Welcher trivialer Unterraum ist gemeint und wie lautet sein Name?

4 P

97. Wie heißt {0}? (2 Namen) 2 P

GESAMT 11 P Übungsbeispiele: 3.1.6 3.1.8



Antworten zum Kapitel 3.1 93. siehe Seite 245, F97 94. siehe Seite 245, F98 95. siehe Seite 246, F99 96. siehe Seite 247, F100 97. siehe Seite 248, F101



98. Wie lautet das Schema des linearen Gleichungssystems über K von n Gleichungen in n Unbekannten?

1 P

99. Welche Gestalt nimmt dieses Schema unter Verwendung des Summenzeichens an?

1 P

100. aijxj = bj bei 1 <= i <= m. Wie nennt man: - aij - den Spaltenvektor Kn - L(G) := {x Kn | x Lösung von G}

3 P

101. Wann ist ein lineares Gleichungssystem lösbar, homogen, inhomogen?

3 P

102. Was bedeutet das zu G gehörige homogene lineare Gleichungssystem oder die Homogenisierung von G?

1 P

103. Erläutere das „Gaußsche Eliminationsverfahren“ 2 P

104. Wieviele Lösungen enthält: - 0x = 0 - 0x = 1

2 P

105. Erläutere weshalb die Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems ein Untervektorraum des n-dimensionalen Spaltenraumes Kn ist und weshalb die Lösungsmenge eines inhomogenen linearen Gleichungssystems kein Untervektor ist.

2 P

106. Welche Gestalt muss ein Ausdruck haben, dass man von einer Linearkombination spricht?

1 P

107. Wie bezeichnet man ai (1 <= i <= m)? Wann ist eine Linearkombination trivial? Wann heißt ein Vektor v V Linearkombination von v1, ..., vm?

3 P

108. Was bedeutet Lin(M) für eine Teilmenge M von V (3 Namen)? 3 P

109. Wie lauten die 8 Rechenregeln über die lineare Hülle? 8 P

110. Was versteht man unter einem Erzeugendensystem? Wann ist V endlich erzeugt?

3 P

111. Was ist der j-te Einheitsvektor von Kn? 1 P

112. Wie wird e1 = 1, e2 = 2 und u = a1e1 + a2e2 + a3e3 grafisch dargestellt?

3 P

GESAMT 37 P



Antworten zu den Kapiteln 3.2 – 3.3 98. siehe Seite 251, F102 99. siehe Seite 252, F103 100. siehe Seite 253, F104 101. siehe Seite 253, F105 102. siehe Seite 253, F106 103. siehe Seite 256f, F107 104. siehe Seite 257, F108 105. siehe Seite 257, 259, F108 106. siehe Seite 263, F110 107. siehe Seite 263f, F111 108. siehe Seite 266, F112 109. siehe Seite 267, F113 110. siehe Seite 270, F114 111. siehe Seite 271, F115 112. siehe Seite 272, 274 F116 Übungsbeispiele: 3.2.5 3.2.6 3.2.10 3.2.15 3.3.3 3.3.5 3.3.9 3.3.10 3.3.11




113. Wann heißen endlich viele Vektoren linear unabhängig bzw. linear abhängig?

2 P

114. Wann sind Vektoren sicher linear abhängig? 2 P

115. Spezialfall: (m = 1) Wann ist ein einzelner Vektor v linear unabhängig?

1 P

116. Wann heißt eine Teilmenge M von V linear unabhängig bzw. linear abhängig?

3 P

117. Wodurch ist die Basis eines Vektorraumes definiert? 2 P

118. Was ist die Standardbasis bzw. die kanonische Basis von Kn? 1 P

119. Austauschsatz: Seien M eine endliche linear unabhängige Teilmenge und E ein Erzeugendensystem von V. Dann gibt es eine Teilmenge E’ von E. Welche 4 Eigenschaften hat E’?

4 P

120. Seien M eine linear unabhängige Teilmenge und E ein endliches Erzeugendensystem von V. Dann ist M _______ und es gilt |M| |E|

2 P

121. Sei V endlich erzeugt, dann gibt 6 Regeln zu Basen. Nenne diese!

6 P

122. Wie heißt die Anzahl der Elemente von B (B = Basis von V)? Wie wird diese Bezeichnung mathematisch angeschrieben?

2 P

123. Wann ist ein Vektorraum endlich-dimensional oder unendlich-dimensional? Nenne jeweils noch die 2. Bezeichnung für e-d und une-d!

4 P

124. Sei V endlich-dimensional. Welche 3 Aussagen sind für eine beliebige Teilmenge B von V äquivalent? Was bedeutet maximal linear unabhängig? Was bedeutet minimales Erzeugendensystem von V?

5 P

125. Sei V endlich-dimensional, n := dim V und B eine Teilmenge von V. Es gibt 3 Aussagen, wovon 2 jeweils die dritte implizieren. Nenne diese!

3 P

126. Was bedeutet die Aussage dass die Menge N0 wohlgeordnet sei?

1 P

127. Sei V endlich-dimensional und U ein Untervektorraum von V, dann gelten 2 Aussagen. Nenne diese!

2 P

128. Was verstehen wir unter einer Geraden, was unter einer Ebene? 2 P

GESAMT 42 P


Antworten zu den Kapiteln 3.4 – 3.6 113. siehe Seite 275, F117 114. siehe Seite 276, F118 115. siehe Seite 277, F119 116. siehe Seite 281, F120 117. siehe Seite 281, F121 118. siehe Seite 282, F122 119. siehe Seite 285, F123 120. siehe Seite 287, F124 121. siehe Seite 289, F125 122. siehe Seite 290f, F126 123. siehe Seite 291, F127 124. siehe Seite 291, F128 125. siehe Seite 294, F129 126. siehe Seite 294, F130 127. siehe Seite 296, F131 128. siehe Seite 298, F132 Übungsbeispiele: 3.4.3 3.4.4 3.4.6 3.4.9 3.4.14 3.5.4 3.6.4 3.6.5 3.6.9 3.6.17




129. Ergänze rang M := _______ 1 P

130. Nenne die 3 elementaren Eigenschaften des Ranges von Teilmengen!

5 P

131. Es seien m, n N und G ein lineares Gleichungssystem von m Gleichungen in n Unbekannten über K (v1, ..., vn, w sind vorgegebne Spaltenvektoren aus Kn). 5 Aussagen sind äquivalent. Nenne diese!

5 P

132. Was ist ein System von Fundamentallösungen von G (G ist ein homogenes lineares Gleichungssystem mit m Gleichungen in n Unbekannten über K)?

2 P

133. U und U’ sind Untervektorräume von V. Welche der folgenden Ausdrücke sind ebenfalls Untervektorräume von V (nennen gegebenenfalls Umstände, wann die Ausdrücke Untervektorräume von V darstellen)? - U U’ - U U’ - U \ U’

4 P

134. Ist ein Durchschnitt bzw. eine Vereinigung beliebiger Familien von Untervektorräumen wieder ein Untervektorraum?

2 P

135. Was ist eine Art Ersatz für die Vereinigung von Untervektorräume? Wie nennt man diesen Untervektorraum von V. Welche Aussage gilt außerdem?

3 P

136. Weshalb ist U + U’ der richtige Ersatz für U U’? 1 P

137. Wenn der Nullvektor das einzige Element eines Durchschnittes ist, gelten 3 Aussagen, welche?

3 P

138. Wie wird U + U’ bezeichnet, wenn eine der Aussagen von F 141 gilt?

1 P

139. Wie heißt U1 + ... + Um, wenn es sich dabei um einen Untervektorraum von V handelt?

1 P

140. Ergänze: dim (U + U’) = ____________ 2 P

141. Was ist ein zu U komplementärer Untervektorraum? 1 P

142. Ist V endlich-dimensional, so sind 2 Aussagen äquivalent. Nenne diese!

2 P

GESAMT 33 P


Antworten zu den Kapiteln 3.7 – 3.8 129. siehe Seite 299, F133 130. siehe Seite 299, F134 131. siehe Seite 302, F135 132. siehe Seite 303, F136 133. siehe Seite 305, F137 134. siehe Seite 305f, F138 135. siehe Seite 306, F139 136. siehe Seite 307, F140 137. siehe Seite 308, F141 138. siehe Seite 308, F142 139. siehe Seite 309, F143 140. siehe Seite 310, F144 141. siehe Seite 311, F145 142. siehe Seite 312, F146 Übungsbeispiele: 3.7.2 3.7.5 3.7.10 3.8.2 3.8.3 3.8.9 3.8.10 3.8.14




143. Welche 2 Bedingungen müssen erfüllt sein, damit eine Abbildung f : V W linear ist? Vereine die 2 Bedingungen zu einer?

3 P

144. Was ist eine Nullabbildung (= Nullhomomorphismus) von V in W? Wann ist diese Abbildung injektiv, wann surjektiv?

3 P

145. Sind die folgenden Abbildungen linear, surjektiv, injektiv oder bijektiv? identische Abbildung, kanonische Injektion, kanonische Projektion Sind tw(v) := v + w oder f(x) := x + 1 linear?

8 P

146. Beweise dass die Abbildungen auf Seite 345 linear sind! 3 P

147. Was ist ein HomK(V,W)? 1 P

148. Es gilt f, g sind Elemente von Hom(V,W) und a ist Element von K. Wie lautet dann die Summe von f und g, das a-fache von f, die Addition und die skalare Multiplikation von Hom(V,W)

4 P

149. Was ist ein (Vektorraum-)Isomorphismus von V auf W? Was ist ein (Vektorraum-)Endomorphismus von V?

2 P

150. Was ist ein Isomorphismus, was ein Endomorphismus? identische Abbildung, kanonische Injektion, kanonische Projektion

3 P

151. Was ist der Kern von f? Was das Bild von f? 2 P

152. Wann ist f : V W surjektiv? Wann ist f injektiv? Wann ist f bijektiv?

3 P

153. Wie berechnet man dim V? 1 P

GESAMT 33 P Übungsbeispiele: 4.1.2 4.1.5 4.1.6 4.1.7 4.1.11 4.1.12 4.1.15 4.1.16

4.1.18 4.1.20 4.2.4 4.2.6 4.2.8 4.2.10 4.2.15 4.2.19



Antworten zu den Kapiteln 4.1 – 4.2 143. siehe Seiten 339, 342, F147 144. siehe Seiten 339f, F148 145. siehe Seiten 340f, 344f, F149 146. siehe Seite 345, F150 147. siehe Seite 346, F151 148. siehe Seite 346, F152 149. siehe Seite 349, F153 150. siehe Seite 350, F154 151. siehe Seite 354, F155 152. siehe Seiten 354, 357, 362, F156 153. siehe Seite 360, F157



154. Was ist der Rang der Abbildung f : V W? 1 P

155. Welchen Wert hat der Rang bei der Nullabbildung, der Identität von V, der kanonischen Injektion und bei der kanonischen Projektion?

4 P

156. Seien f : V W und g : U V rang (f g) = = rang f + rang g – dim V <= <=

4 P

157. Wie berechnet man die Dimension eines Lösungsraumes eines Gleichungssystems?

1 P

158. Ergänze: Die Dimension des Lösungsraumes eines homogenen linearen Gleichungssystems von m Gleichungen in n Unbekannten ist min. ... Insbesondere hat ein homogenes lineares Gleichungssystem sicher dann eine nicht-triviale Lösung, wenn...

2 P

159. Was versteht man unter einer m x n – Matrix (über K)? 1 P

160. A = (aij)1<=i<=m,1<=j<=n Wie nennt man i, j, aij?

3 P

161. Wann sind 2 Matrizen gleich? 2 P

162. Was ist an den Spezialfällen n = 1, m = 1, m = n, m = n = 1, Diagonalmatrix, Nullmatrix, Einheitsmatrix so besonders?

7 P

163. Was ist eine Hauptdiagonale von A? Was ist Epq? 1 P

164. Was versteht man unter einer Summe von A und B, dem a-fachen von A, einer Addition und einer skalaren Multiplikation im Zusammenhang mit Matrizen?

4 P

165. Was ist ein Spaltenrang von A? Was ist der Zeilenrang von A? In welchen Verhältnis stehen diese 2 Größen zueinander?

6 P

166. A Element von Matmn(K) und r Element von N0 Über was gibt r Auskunft?

3 P

167. Was ist die Transponierte von A (transponierte Matrix oder gespiegelte Matrix von A)?

1 P

GESAMT 40 P


Antworten zu den Kapiteln 4.3 – 4.5 154. siehe Seite 365, F158 155. siehe Seite 366, F159 156. siehe Seite 367, F160 157. siehe Seite 370, F161 158. siehe Seiten 370f, F162 159. siehe Seite 373, F163 160. siehe Seite 373, F164 161. siehe Seite 374, F165 162. siehe Seiten 375f, F166 163. siehe Seite 376, 378, F167 164. siehe Seite 377, F168 165. siehe Seiten 384, 386, 389f, 392, F169 166. siehe Seiten 384, 386, F170 167. siehe Seite 387, F171 Übungsbeispiele: 4.3.5 4.3.7 4.3.15 4.4.4 4.4.7 4.4.11 4.4.16 4.5.3 4.5.6 4.5.11 4.5.12 4.5.19 4.5.20 4.5.22 4.5.27




168. Nenne die 4 Elementaren Zeilenumformungen und die 4 Elementaren Spaltenumformungen!

8 P

169. Was versteht man unter einer iterierten elementaren Zeilen- bzw. Spaltenumformung?

2 P

170. Ergänze: Eine Matrix B geht aus einer Matrix A genau dann durch eine (iterierte) elementare Zeilenumformung hervor, wenn ... Elementare Umformung verändern nicht ... Nach elementaren Umformung kann man ... unmittelbar ablesen.

3 P

171. Nenne die 3 Schritte des Gaußschen Eliminationsverfahrens! 3 P

172. Was ist eine Koeffizientenmatrix von G; was die rechte Seite von G?

2 P

173. Nenne die 3 Schritte des Gaußschen Algorithmus! 3 P

GESAMT 21 P Übungsbeispiele: 4.6.1 4.6.5 4.6.7 4.6.10 4.6.12 4.6.14 4.7.2 4.7.5 4.7.8 4.8.1 4.8.4 4.8.6 4.8.13 4.8.14



Antworten zu den Kapiteln 4.6 – 4.8 168. siehe Seite 395, F172 169. siehe Seite 395, F173 170. siehe Seiten 398f, F174 171. siehe Seiten 414f, F175 172. siehe Seite 416, F176 173. siehe Seiten 418f, F177



174. Wie ist die Matrizenmultiplikation von Matm,n(K) und Matn,p(K) bzw. das Produkt cij definiert?

2 P

175. Wann ist das Produkt zweier Matrizen A, B definiert? 1 P

176. Welche Eigenschaften hat die Matrizenmultiplikation? 5 P

177. Welche Eigenschaften hat die Matrizenmultiplikation nicht? 2 P

178. Seien m, p beliebig, n = 1. Was ist das Ergebnis? Seien m = p = 1, n beliebig. Was ist das Ergebnis?

2 P

179. Wie ist die Determinante bzw. die Spur von A = (a b) Elem. von Mat2(K) (c d) definiert?

2 P

180. Seien rang A = 0 rang A = 1 rang A = 2. Was lässt sich dann über A bzw. über det A sagen?

3 P

181. Wie berechnet man A-Kreuz? 1 P

182. Was ist eine Blockmatrix? 1 P

183. Seien A = (A11 A12), B = (B11 B12) (A21 A22), (B21 B22) Wie sind dann A + B, aA (a Element von K) und A * B definiert?

3 P

184. Sei A Element von Matm,n(K). la : Kn Km, v lA(v) := ? A = (v1, ..., vn) Spaltenvektoren; Bild lA = ? l : Matm,n(K) Hom(Kn, Km), A l(A) := ? B Element von Matn,p(K); lAB = ?

4 P

185. rang A = ? rang A + rang B – n <= ? <= ?

3 P

186. Was versteht man unter dem Bild von A bzw. unter dem Kern von A, wenn A Element von Matm,n(K) ist?

2 P

187. Sei A = (v1, ..., vn) Spaltenvektoren. Bild A = ? Kern A = ? rang A = ?

3 P

188. Sei A Element von Matm,n(K). dim Kern A = ? Sei A eine quadratische Matrix A Element von Matn(K). Kern A = ?, Bild A = ?, rang A = ?

3 P


GESAMT 22 P

Antworten zu den Kapiteln 5.1 – 5.3 174. siehe Seite 457, F178 175. siehe Seiten 457f, F179 176. siehe Seite 460, F180 177. siehe Seite 462, F181 178. siehe Seiten 463f, F182 179. siehe Seiten 468, F183 180. siehe Seite 469, F184 181. siehe Seite 471, F185 182. siehe Seite 472, F186 183. siehe Seiten 473f, F187 184. siehe Seiten 476f, F188

Av; Lin (v1,...,vn); lA; lA o lB 185. siehe Seite 479, F189

rang lA; rang(AB); min(rang A, rang B) 186. siehe Seite 479, F190

Bild A := {Av | v Element von Kn} Kern A := {v Element von Kn | Av = 0}

187. siehe Seite 480, F191 Bild A = Bild lA = Lin (v1, ..., vn); Kern A = Kern lA; rang A = dim Bild A

188. siehe Seite 481, F192 dim Kern A = n – rang A; Kern A = {0}, Bild A = Kn, rang A = n

Übungsbeispiele: 5.1.4 5.1.5 5.1.6 5.1.10 5.1.11 5.2.3 5.2.4 5.2.6

5.2.9 5.2.10 5.2.13 5.3.1 5.3.4 5.3.6 5.3.10



189. Wann spricht man von einer invertierbaren Matrix? Wie lauten andere Bezeichnungen für invertierbare Matrizen (2)?

3 P

190. Wie nennt man P-1? 1 P

191. Ist die Nullmatrix invertierbar? 1 P

192. Mit was sind die folgenden Matrizen invertierbar? 1n, P-1, PQ, aP, tP

5 P

193. Was bedeutet GLn(K) := { P Matn(K) : P ist ______ }? Von was ist GL die Abkürzung? Wie lautet die deutsche Übersetzung? Welche 2 Besonderheiten hat GL?

5 P

194. Was besagt der Äquivalenzsatz für Invertierbarkeit? P Matn(K)

8 P

195. Welche 2 Bedingungen müssen erfüllt sein, damit G x G G, (a, b) ab eine Gruppe ist?

2 P

196. Sei G eine Gruppe mit aa-1 = a-1a = e. Wie nennt man e und a-1? 2 P

197. Wann spricht man von einer additiven Gruppe? 1 P

198. Was ist eine Elementarmatrix n-ten Grades über K? 1 P

199. Was sagt der Normalformensatz aus? 1 P

200. Welche Aussagen sind für A Matn(K) äquivalent? 4 P

201. Man will mit Hilfe des Gaußschen Algorithmus das Inverse von A berechnen. Die Berechnung kann ein positives oder ein negatives Ende haben. Wann ist das Verfahren beendet und welche Schlüsse kann man ziehen?

4 P

202. Wie lässt sich G (lineares Gleichungssystem in Matrixform) durch A, w und x darstellen? Erkläre A, w und x!

4 P

203. Wann ist G homogen? 1 P

204. Was ist eine erweiterte Matrix von G? 1 P

205. Lösbarkeitskriterium: G : Ax = w mit A Matm,n(K), w Km Welche 3 Aussagen sind äquivalent?

3 P

206. Was sind die Kriterien für die universelle Lösbarkeit von A Matm,n(K)? 2 P

207. Was sind die Kriterien für die eindeutige Lösbarkeit von A Matm,n(K)? 3 P

208. Was sind die Kriterien für universelle eindeutige Lösbarkeit von A? 2 P

209. Nenne den Äquivalenzsatz für universelle eindeutige Lösbarkeit von quadratischen Matrizen!

5 P

210. Was ist der Kern von A? Was ist das Bild von A? 2 P

211. Zeige die Gestalt von G nach der Durchführung des Gaußschen Algorithmus, wenn G lösbar, eindeutig lösbar und unlösbar ist!

3 P

GESAMT 64 P



Antworten zu den Kapiteln 5.4 – 5.6 189. siehe Seite 482, F193 190. siehe Seite 483, F194 191. siehe Seite 483, F195 192. siehe Seite 484, F196 193. siehe Seiten 485f, F197 194. siehe Seite 486, F198 195. siehe Seite 490, F199 196. siehe Seiten 490f, F200 197. siehe Seite 491, F201 198. siehe Seite 492, F202 199. siehe Seite 495, F203 200. siehe Seiten 495f, F204 201. siehe Seite 497, F205 202. siehe Seite 501, F206 203. siehe Seite 502, F207 204. siehe Seiten 502f, F208 205. siehe Seite 504, F209 206. siehe Seiten 504f, F210 207. siehe Seiten 505f, F211 208. siehe Seite 506, F212 209. siehe Seite 506, F213 210. siehe Seiten 508f, F214 211. siehe Seiten 509f, F215 Übungsbeispiele: 5.4.5 5.4.9 5.4.10 5.4.12 5.5.3 5.5.4 5.5.5

5.5.10 5.6.5 5.6.7 5.6.9 5.6.10 5.6.13 5.6.15



212. Welche 2 Bedingungen GB1 und GB2 erfüllt eine geordnete Basis? 2 P

213. Wodurch unterscheiden sich geordnete Basen von „normalen“ Basen? 1 P

214. Wie ist eine Matrix von f bezüglich B,C bestimmt? 2 P

215. Wie lautet die Merkregel unter 6.1.7? 2 P

216. Ergänze: dim HomK(V,W) = __________ dim EndK(V) = ________ MA

C(f g) = __________ MB(f g) = __________ 4 P

217. Me(n)e(m)(lA) = ________ A

l(A) := _______ l-1 = ______ 3 P

218. Was ist der Übersetzungs-Isomorphismus von V auf Kn? 1 P

219. Was bedeutet die Aussage: Das Diagramm ist kommutativ. (algebraisch und geometrisch)

2 P

220. Was wird als die Übergangsmatrix von B zu B’ bezeichnet? 1 P

221. Was besagt der Basiswechsel MB’C’(f) = _________ 1 P

222. Was ist eine Linearform? Was ist ein Dualraum? 2 P

223. Wie wird bewiesen, dass λ eine Linearform ist? Wie sind die Linearformen λ+

μ und aλ auf V punktweise definiert.

3 P

224. Was ist eine Hyperebene von V? Erläutere den Satz 6.3.6. 2 P

225. Was ist die duale Basis von V? 1 P

226. Wie wird die duale Basis berechnet? 3 P

227. Wie wird eine Determinante von A geometrisch gedeutet? (Spezialfälle n = 1, n = 2, n = 3)

4 P

228. Was besagen die Rechte-Hand- und die Rechtsschraubenregel? 2 P

229. Was versteht man unter einer Determinantenfunktion auf Matn(K)? Welche 2 Bedingungen müssen erfüllt sein

4 P

230. Was gilt, wenn Δ : Matn(K) K eine Determinantenfunktion ist? 4 P

231. Was besagt der Existenz- und Eindeutigkeitssatz für Determinanten? 3 P

232. Nenne die Formel der Determinanten von A in den Spezialfällen n = 1, n = 2, n = 3 und allgemein für n > 3.

4 P

GESAMT 51


Antworten zu den Kapiteln 6.1 – 6.4 212. siehe Seite 535, F216 213. siehe Seite 535, F217 214. siehe Seiten 538f, F218 215. siehe Seite 539, F219 216. siehe Seiten 543 und 545, F220 217. siehe Seite 546, F221 218. siehe Seite 548, F222 219. siehe Seite 549, F223 220. siehe Seite 551, F224 221. siehe Seite 552, F225 222. siehe Seite 555, F226 223. siehe Seite 555, F227 224. siehe Seite 557, F228 225. siehe Seite 559, F229 226. siehe Seiten 561f, F230 227. siehe Seiten 564 – 566, F231 228. siehe Seite 566, F232 229. siehe Seite 568, F233 230. siehe Seite 569, F234 231. siehe Seite 572, F235 232. siehe Seite 574, F236 Übungsbeispiele: 6.1.10

6.2.4

6.2.6

6.2.13

6.2.14

6.3.3

6.3.4

6.3.8

6.3.9

6.3.12

6.3.16

6.3.17

6.4.1

6.4.2

6.4.4

6.4.5

6.4.8

6.4.11

6.4.12

6.4.14

6.4.15




233. Wann verschwindet die Determinante einer Matrix? 3 P

234. Ergänze: Die Determinante ist ________ in jeder Spalte (Zeile). 1 P

235. Was bedeutet: Die Determinante von Matn(K) ist homogen vom Grade n.

1 P

236. Ergänze: Die Determinante einer Matrix ändert sich nicht, wenn man... Die Det. einer Matrix ändert ihr Vorzeichen, wenn man... (jeweils für S und Z)

4 P

237. Welchen Wert hat det A, wenn A Matn(K) invertierbar ist? Welche Aussagen sind dann äquivalent?

4 P

238. Wie lautet die Cramersche Regel?

2 P

GESAMT 15 P Übungsbeispiele: 6.5.11 6.5.15 6.5.21


Antworten zum Kapitel 6.5 233. siehe Seite 577, F237 234. siehe Seiten 577 und 580, F238 235. siehe Seite 578, F239 236. siehe Seiten 578 und 580, F240 237. siehe Seiten 584f, F241 238. siehe Seite 586, F242



239. Wie sind a#ij und A# definiert? Wie nennt man a#

ij und A#? 4 P

240. Was wird als (n-1)-reihige Unterdeterminante der Matrix A bezeichnet?

1 P

241. Wie rechnet man a#ij mit det Aji aus? 1 P

242. Worum handelt es sich bei einem Schachbrettmuster und für was verwendet man es?

2 P

243. AA# = ______ = ______ A-1 = ________ * A# 3 P

244. Nenne jeweils den Entwicklungssatz nach einer Spalte bzw. Zeile!

2 P

245. Was besagt die Vandermondesche Determinantenformel? 2 P

246. Sei M eine Menge. Was ist eine Permutation von M. Wie nennt man die Menge aller Permutationen von M?

2 P

247. Die Menge Sn aller Permut. ist ______ und besteht aus ____ Elementen.

2 P

248. Was besagt der Leibnizsche Darstellungssatz? 2 P

249. Was ist ein Fehlstand? 1 P

250. Wie bezeichnet man die Gesamtheit aller Abbildungen von M in K?

1 P

251. Welche Verknüpfungen werden für f und g Abb(M,K) und a K erklärt?

3 P

252. Was ist eine konstante Abbildung? 1 P

253. Welche Eigenschaften hat die punktweise definierte Multiplikation (f,g) fg?

4 P

254. Wann heißt eine Abbildung f Polynom(funktion) über K? 1 P

255. Was enthält die Menge Pol K? 1 P

256. Was sind konstante Polynome, Nullpolynome und Monome? 3 P

257. Was ist grad f, a0, ..., am, am, a0? Was bedeutet normiert?

5 P

258. Welchen Grad hat das Nullpolynom? 1 P

259. Pol K ist nullteilerfrei. Was bedeutet das? 2 P


GESAMT 44 P


Antworten zu den Kapiteln 7.1 – 7.3 239. siehe Seite 618 F245 240. siehe Seite 619, F44 241. siehe Seite 620, F245 242. siehe Seite 622, F246 243. siehe Seiten 623f, F247 244. siehe Seite 625, F248 245. siehe Seiten 627-629, F249 246. siehe Seite 633, F250 247. siehe Seite 634, F251 248. siehe Seiten 635f, F252 249. siehe Seite 637, F253 250. siehe Seite 641, F254 251. siehe Seite 641, F255 252. siehe Seite 642, F256 253. siehe Seite 643, F257 254. siehe Seite 645, F258 255. siehe Seite 645, F259 256. siehe Seiten 646f, F260 257. siehe Seite 651, F261 258. siehe Seite 651, F262 259. siehe Seiten 652, F263 Übungsbeispiele: 7.1.4

7.1.7

7.1.8

7.1.10

7.1.17

7.1.18

7.2.5

7.2.6

7.2.9

7.2.10

7.3.3

7.3.5

7.3.6

7.3.7

7.3.10

7.3.14

7.3.18

7.3.19



260. Wann ist λ K eine Nullstelle? Was bedeutet f|g für f, g Pol K

2 P

261. Nenne 10 einfache Eigenschaften der Teilbarkeitsrelation mit f, g Pol K!

10 P

262. Wie lässt sich f in Bezug auf die Division mit Rest noch anschreiben?

1 P

263. Was versteht man unter dem Euklidischen Algorithmus? 2 P

264. f ist nicht das Nullpolynom. Wie viele Nullstellen in K besitzt f höchstens?

2 P

265. Ergänze: Jedes reelle Polynom ungeraden Grades besitzt ________.

1 P

266. Was bedeutet algebraisch abgeschlossen? Sind es die Körper Q, R und C?

4 P

267. Wann zerfällt f in Linearfaktoren und was bedeutet das? 2 P

268. Was bedeutet mult(f, λj) := mj? 2 P

269. EigA(λ) := { v Kn | _________ }

EigA(λ) ist ein __________ von Kn, nämlich der Lösungsraum von _________ ( _________ = ___ )

5 P

270. Was sind Eigenwerte von A, der Eigenraum von A zum Eigenwert und Eigenvektoren von A zum Eigenwert.

3 P

271. λ ist Eigenwert von A. Welche 3 Aussagen sind dazu äquivalent? 3 P

272. Was ist das charakteristische Polynom und wie wird es berechnet?

2 P

273. Wie berechnet man das charakteristische Polynom in den Spezialfällen n = 2 und n = 3?

2 P

274. In welchen Zusammenhang stehen Eigenwerte und Nullstellen? 2 P

275. Was bedeutet es, wenn man von der Einsetzung von A in f spricht?

2 P

276. Was besagt der Satz von Hamilton-Cayley? 2 P

277. Was ist eine Diagonalmatrix? Wann heißt A diagonalisierbar? 2 P


278. Eine Matrix welcher Form ist sicher nicht diagonalisierbar?

1 P

279. Nenne die 3 Schritte zur Diagonalisierung einer Matrix A! 6 P

GESAMT 56 P


Antworten zu den Kapiteln 7.4 – 7.6 260. siehe Seite 654, F264 261. siehe Seite 655, F265 262. siehe Seite 655, F266 263. siehe Seiten 656f, F267 264. siehe Seite 658, F268 265. siehe Seite 659, F269 266. siehe Seite 660, F270 267. siehe Seite 660, F271 268. siehe Seite 662, F272 269. siehe Seite 664, F273 270. siehe Seite 665, F274 271. siehe Seite 666, F275 272. siehe Seite 667, F276 273. siehe Seiten 668f, F277 274. siehe Seite 669, F278 275. siehe Seite 671, F279 276. siehe Seite 672, F280 277. siehe Seite 676, F281 278. siehe Seite 679, F282 279. siehe Seiten 680f, F283 Übungsbeispiele: 7.4.3 7.4.7 7.4.16 7.4.17 7.5.3 7.5.5 7.5.8 7.5.10

7.5.13 7.5.16 7.5.17 7.5.19 7.6.7 7.6.10 7.6.11

Documents

Fragen zum Kapitel 1 - members.aon.atmembers.aon.at/angie-online/downloads/Mathematik_I_Fragenkatalog.pdfMathematik für Informatiker I 1/61 Fragen zum Kapitel 1.1 1. Was ist eine