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Fraktale: 1/24
Dynamik komplexer Systeme
Fraktale
Fraktale: 2/24
Dimensionen
• 0-dimensionale Menge– Punkt
– endliche Punktwolke
• 1-dimensionale Menge– Linie
• Gerade, Strecke, Kreisumfang, Gesamtkantenlänge eines Würfels
• 2-dimensionale Menge– Fläche
• Ebene, Kreisfläche, Kugeloberfläche
• 3-dimensionale Menge– Volumen
• Raum, Kugelvolumen
Fraktale: 3/24
Topologische Dimension
• Wenn man zur Beschreibung eines Punktes einer Menge mindestens D reelle Zahlen braucht, dann ist die topologische Dimension dieser Menge D.
• Die topologische Dimension einer Menge ist immer eine ganze Zahl.
Fraktale: 4/24
Hausdorff Dimension
• Die Zahl N der Kugeln mit Radius R, die mindestens benötigt wird, um eine Strecke
zu überdecken,ist umgekehrt proportional zum Radius:
• N(R) 1 / R
Fraktale: 5/24
Hausdorff Dimension
• Die Zahl N der Kugeln mit Radius R, die mindestens benötigt wird, um eine Strecke
zu überdecken,ist umgekehrt proportional zum Radius hoch eins:
• N(R) 1 / R1
Fraktale: 6/24
Hausdorff Dimension
• Die Zahl N der Kugeln mit Radius R, die mindestens benötigt wird, um eine Fläche
zu überdecken,ist umgekehrt proportional zum Radius zum Quadrat:
• N(R) 1 / R2
Fraktale: 7/24
Hausdorff Dimension
• Die Zahl N der Kugeln mit Radius R, die mindestens benötigt wird, um einen Raum
zu überdecken,ist umgekehrt proportional zum Radius hoch drei:
• N(R) 1 / R3
Fraktale: 8/24
Hausdorff Dimension
• Die Zahl N der Kugeln mit Radius R, die mindestens benötigt wird, um eine D-dimensionale Menge
zu überdecken,ist umgekehrt proportional zum Radius hoch D:
• N(R) 1 / RD = RD
• Die Dimension D ist nicht immer ganzzahlig.
Fraktale: 9/24
How Long Is the West Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension
Benoît B. Mandelbrot (1967), Science 156, 636-638
• N(R) RD (R bedeutet hier: Zirkelschritte)• gemessene Länge L(R) R N(R) = R1D
Fraktale: 10/24
How Long Is the West Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension
Benoît B. Mandelbrot (1967), Science 156, 636-638
• N(R) RD (R bedeutet hier: Zirkelschritte)• gemessene Länge L(R) R N(R) = R1D
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 500 1000 1500
Länge des Maßstabs R [km]
Läng
e de
r K
üste
L(R
) [k
m]R [km] N(R) L(R) [km]
986,48 0,79 778,30548,64 1,45 792,80209,90 4,81 1009,30101,89 12,85 1309,0029,95 59,91 1794,9010,43 251,80 2626,30
Fraktale: 11/24
• Potenzförmige Zusammenhänge werden leicht erkennbar in der
How Long Is the West Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension
Benoît B. Mandelbrot (1967), Science 156, 636-638
• N(R) RD (R bedeutet hier: Zirkelschritte)• gemessene Länge L(R) R N(R) = R1D
doppeltlogarithmischen Darstellung (log-log-Plot)
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 500 1000 1500
Länge des Maßstabs R [km]
Läng
e de
r K
üste
L(R
) [k
m]
L(R) = R1D
log(L(R)) = log() + (1D) log(R)
Fraktale: 12/24
• Potenzförmige Zusammenhänge werden leicht erkennbar in der
How Long Is the West Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension
Benoît B. Mandelbrot (1967), Science 156, 636-638
• N(R) RD (R bedeutet hier: Zirkelschritte)• gemessene Länge L(R) R N(R) = R1D
doppeltlogarithmischen Darstellung (log-log-Plot)
100
1000
10000
10 100 1000
R [km], logarithmisch
L(R
) [k
m],
loga
rith
mis
ch
L(R) = R1D
log(L(R)) = log() + (1D) log(R)
Fraktale: 13/24
How Long Is the West Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension
Benoît B. Mandelbrot (1967), Science 156, 636-638
• N(R) RD (R bedeutet hier: Zirkelschritte)• gemessene Länge L(R) R N(R) = R1D
Fraktale: 14/24
Die Koch-Kurve
• Konstruktion durch Iteration:– Jeder Streckenabschnitt wird in drei gleiche Teile geteilt.
– Das mittlere Stück wird durch zwei Stücke gleicher Länge ersetzt.
Ausgangskonfiguration
Fraktale: 15/24
Die Koch-Kurve
• Konstruktion durch Iteration:– Jeder Streckenabschnitt wird in drei gleiche Teile geteilt.
– Das mittlere Stück wird durch zwei Stücke gleicher Länge ersetzt.
1 Iteration
Fraktale: 16/24
Die Koch-Kurve
• Konstruktion durch Iteration:– Jeder Streckenabschnitt wird in drei gleiche Teile geteilt.
– Das mittlere Stück wird durch zwei Stücke gleicher Länge ersetzt.
2 Iterationen
Fraktale: 17/24
Die Koch-Kurve
• Konstruktion durch Iteration:– Jeder Streckenabschnitt wird in drei gleiche Teile geteilt.
– Das mittlere Stück wird durch zwei Stücke gleicher Länge ersetzt.
3 Iterationen
Fraktale: 18/24
Die Koch-Kurve
• Konstruktion durch Iteration:– Jeder Streckenabschnitt wird in drei gleiche Teile geteilt.
– Das mittlere Stück wird durch zwei Stücke gleicher Länge ersetzt.
4 Iterationen
Fraktale: 19/24
Die Koch-Kurve
• Konstruktion durch Iteration:– Jeder Streckenabschnitt wird in drei gleiche Teile geteilt.
– Das mittlere Stück wird durch zwei Stücke gleicher Länge ersetzt.
5 Iterationen
Fraktale: 20/24
Die Koch-Kurve
• Konstruktion durch Iteration:– Jeder Streckenabschnitt wird in drei gleiche Teile geteilt.
– Das mittlere Stück wird durch zwei Stücke gleicher Länge ersetzt.
6 Iterationen
Fraktale: 21/24
Die Koch-Kurve
• Konstruktion durch Iteration:– Jeder Streckenabschnitt wird in drei gleiche Teile geteilt.
– Das mittlere Stück wird durch zwei Stücke gleicher Länge ersetzt.
7 Iterationen
Fraktale: 22/24
2 Iterationen
Wie lang ist eine Koch-Kurve?
• Ausgangssituation: z.B. 1 m
• nach 1 Iteration: 4/3 m
• nach 2 Iterationen: 16/9 m
• nach n Iterationen: (4/3)n m
• nach Iterationen... m
Fraktale: 23/24
Selbstähnlichkeit
• Eine Menge ist streng selbstähnlich, wenn eine Vergrößerung einer Teilmenge zu derselben Struktur führt wie die Struktur der gesamten Menge.
• Die Koch-Kurve ist streng selbstähnlich.• Die Mandelbrot-Menge (s. Chaos) ist
quasi selbstähnlich: ähnliche Struktur• Die Westküste Britanniens ist
statistisch selbstähnlich: ähnliche statistische Eigenschaften
Fraktale: 24/24
N(R/m) = k N(R) N(R) RD N(R) = RD
(R/m)D = k RD
mD = k D = log(k) / log(m)
Selbstähnlichkeit und Hausdorff-Dimension
• Eine selbstähnliche Menge sei aus k Teilmengen zusammengesetzt, die der Gesamtmenge im Maßstab 1 : m entsprechen.
• Für die Gesamtmenge benötigt man N(R) Kugeln des Radius R zur Überdeckung.
• Für eine der k Teilmengen benötigt man dieselbe Zahl von Kugeln mit Radius R/m.
• Die Gesamtmenge kann man auch überdecken mit k N(R) Kugeln des Radius R/m.
N(R/m)