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tale: 1/24 Dynamik komplexer Systeme Fraktale

Fraktale: 1/24 Dynamik komplexer Systeme Fraktale

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Fraktale: 1/24

Dynamik komplexer Systeme

Fraktale

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Dimensionen

• 0-dimensionale Menge– Punkt

– endliche Punktwolke

• 1-dimensionale Menge– Linie

• Gerade, Strecke, Kreisumfang, Gesamtkantenlänge eines Würfels

• 2-dimensionale Menge– Fläche

• Ebene, Kreisfläche, Kugeloberfläche

• 3-dimensionale Menge– Volumen

• Raum, Kugelvolumen

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Fraktale: 3/24

Topologische Dimension

• Wenn man zur Beschreibung eines Punktes einer Menge mindestens D reelle Zahlen braucht, dann ist die topologische Dimension dieser Menge D.

• Die topologische Dimension einer Menge ist immer eine ganze Zahl.

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Hausdorff Dimension

• Die Zahl N der Kugeln mit Radius R, die mindestens benötigt wird, um eine Strecke

zu überdecken,ist umgekehrt proportional zum Radius:

• N(R) 1 / R

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Hausdorff Dimension

• Die Zahl N der Kugeln mit Radius R, die mindestens benötigt wird, um eine Strecke

zu überdecken,ist umgekehrt proportional zum Radius hoch eins:

• N(R) 1 / R1

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Fraktale: 6/24

Hausdorff Dimension

• Die Zahl N der Kugeln mit Radius R, die mindestens benötigt wird, um eine Fläche

zu überdecken,ist umgekehrt proportional zum Radius zum Quadrat:

• N(R) 1 / R2

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Hausdorff Dimension

• Die Zahl N der Kugeln mit Radius R, die mindestens benötigt wird, um einen Raum

zu überdecken,ist umgekehrt proportional zum Radius hoch drei:

• N(R) 1 / R3

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Hausdorff Dimension

• Die Zahl N der Kugeln mit Radius R, die mindestens benötigt wird, um eine D-dimensionale Menge

zu überdecken,ist umgekehrt proportional zum Radius hoch D:

• N(R) 1 / RD = RD

• Die Dimension D ist nicht immer ganzzahlig.

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How Long Is the West Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension

Benoît B. Mandelbrot (1967), Science 156, 636-638

• N(R) RD (R bedeutet hier: Zirkelschritte)• gemessene Länge L(R) R N(R) = R1D

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Fraktale: 10/24

How Long Is the West Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension

Benoît B. Mandelbrot (1967), Science 156, 636-638

• N(R) RD (R bedeutet hier: Zirkelschritte)• gemessene Länge L(R) R N(R) = R1D

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

0 500 1000 1500

Länge des Maßstabs R [km]

Läng

e de

r K

üste

L(R

) [k

m]R [km] N(R) L(R) [km]

986,48 0,79 778,30548,64 1,45 792,80209,90 4,81 1009,30101,89 12,85 1309,0029,95 59,91 1794,9010,43 251,80 2626,30

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• Potenzförmige Zusammenhänge werden leicht erkennbar in der

How Long Is the West Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension

Benoît B. Mandelbrot (1967), Science 156, 636-638

• N(R) RD (R bedeutet hier: Zirkelschritte)• gemessene Länge L(R) R N(R) = R1D

doppeltlogarithmischen Darstellung (log-log-Plot)

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

0 500 1000 1500

Länge des Maßstabs R [km]

Läng

e de

r K

üste

L(R

) [k

m]

L(R) = R1D

log(L(R)) = log() + (1D) log(R)

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• Potenzförmige Zusammenhänge werden leicht erkennbar in der

How Long Is the West Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension

Benoît B. Mandelbrot (1967), Science 156, 636-638

• N(R) RD (R bedeutet hier: Zirkelschritte)• gemessene Länge L(R) R N(R) = R1D

doppeltlogarithmischen Darstellung (log-log-Plot)

100

1000

10000

10 100 1000

R [km], logarithmisch

L(R

) [k

m],

loga

rith

mis

ch

L(R) = R1D

log(L(R)) = log() + (1D) log(R)

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How Long Is the West Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension

Benoît B. Mandelbrot (1967), Science 156, 636-638

• N(R) RD (R bedeutet hier: Zirkelschritte)• gemessene Länge L(R) R N(R) = R1D

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Fraktale: 14/24

Die Koch-Kurve

• Konstruktion durch Iteration:– Jeder Streckenabschnitt wird in drei gleiche Teile geteilt.

– Das mittlere Stück wird durch zwei Stücke gleicher Länge ersetzt.

Ausgangskonfiguration

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Die Koch-Kurve

• Konstruktion durch Iteration:– Jeder Streckenabschnitt wird in drei gleiche Teile geteilt.

– Das mittlere Stück wird durch zwei Stücke gleicher Länge ersetzt.

1 Iteration

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Fraktale: 16/24

Die Koch-Kurve

• Konstruktion durch Iteration:– Jeder Streckenabschnitt wird in drei gleiche Teile geteilt.

– Das mittlere Stück wird durch zwei Stücke gleicher Länge ersetzt.

2 Iterationen

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Fraktale: 17/24

Die Koch-Kurve

• Konstruktion durch Iteration:– Jeder Streckenabschnitt wird in drei gleiche Teile geteilt.

– Das mittlere Stück wird durch zwei Stücke gleicher Länge ersetzt.

3 Iterationen

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Fraktale: 18/24

Die Koch-Kurve

• Konstruktion durch Iteration:– Jeder Streckenabschnitt wird in drei gleiche Teile geteilt.

– Das mittlere Stück wird durch zwei Stücke gleicher Länge ersetzt.

4 Iterationen

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Fraktale: 19/24

Die Koch-Kurve

• Konstruktion durch Iteration:– Jeder Streckenabschnitt wird in drei gleiche Teile geteilt.

– Das mittlere Stück wird durch zwei Stücke gleicher Länge ersetzt.

5 Iterationen

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Fraktale: 20/24

Die Koch-Kurve

• Konstruktion durch Iteration:– Jeder Streckenabschnitt wird in drei gleiche Teile geteilt.

– Das mittlere Stück wird durch zwei Stücke gleicher Länge ersetzt.

6 Iterationen

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Fraktale: 21/24

Die Koch-Kurve

• Konstruktion durch Iteration:– Jeder Streckenabschnitt wird in drei gleiche Teile geteilt.

– Das mittlere Stück wird durch zwei Stücke gleicher Länge ersetzt.

7 Iterationen

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Fraktale: 22/24

2 Iterationen

Wie lang ist eine Koch-Kurve?

• Ausgangssituation: z.B. 1 m

• nach 1 Iteration: 4/3 m

• nach 2 Iterationen: 16/9 m

• nach n Iterationen: (4/3)n m

• nach Iterationen... m

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Fraktale: 23/24

Selbstähnlichkeit

• Eine Menge ist streng selbstähnlich, wenn eine Vergrößerung einer Teilmenge zu derselben Struktur führt wie die Struktur der gesamten Menge.

• Die Koch-Kurve ist streng selbstähnlich.• Die Mandelbrot-Menge (s. Chaos) ist

quasi selbstähnlich: ähnliche Struktur• Die Westküste Britanniens ist

statistisch selbstähnlich: ähnliche statistische Eigenschaften

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Fraktale: 24/24

N(R/m) = k N(R) N(R) RD N(R) = RD

(R/m)D = k RD

mD = k D = log(k) / log(m)

Selbstähnlichkeit und Hausdorff-Dimension

• Eine selbstähnliche Menge sei aus k Teilmengen zusammengesetzt, die der Gesamtmenge im Maßstab 1 : m entsprechen.

• Für die Gesamtmenge benötigt man N(R) Kugeln des Radius R zur Überdeckung.

• Für eine der k Teilmengen benötigt man dieselbe Zahl von Kugeln mit Radius R/m.

• Die Gesamtmenge kann man auch überdecken mit k N(R) Kugeln des Radius R/m.

N(R/m)