From Circuit Theory to System Theory. Lotfi Zadeh, 1954: System Theory Fuzzy Set Theorie

From Circuit Theory to System Theory

Lotfi Zadeh, 1954: System Theory Fuzzy Set Theorie

• System: „an aggregation or assemblage of objects united by some form of interaction or interdependence“ (Webster‘s dictionary)

• Beispiele:- Partikel, die sich gegenseitig anziehen,- eine Gruppe von Menschen, die eine Gesellschaft bilden,- ein Komplex miteinander verwobener Industriezweige,- ein elektrisches Netzwerk- ein Computer mit groß-integrierten Schaltkreisen


Input-output-relationship: y = f(u)



A: z = f(x, y, w)B: u = g(z, v)C: v = h(u)

w = k(u)

Blockdiagramm

Linearer gerichteter Graph

Matrix


Fuzzy Set Theorie

Fuzzy Set TheorieZadeh, 1963: Linear System Theory

Welche Attribute der Objekte des Systems müssen betrachtet werden?

Welche mathematischen Beziehungen bestehen zwischen den relevanten Attributen der Objekte des Systems?

Welche mathematischen Beziehungen bestehen zwischen den Attributen der verschiedenen Objekte des Systems, m. a. W.: welche Beziehungen repräsentieren ihre Interaktionen?

Die in der Mechanik relevanten Attribute einer Partikel M sind: Masse, Position, Geschwindigkeit, Beschleunigung, aufgewendete Kraft.

Die Attribute der Feder sind die Feder-konstante k, die kraftfreie Federlänge l0 sowie die Federlänge unter Spannung (bzw. Druck) l.

Beziehungen zwischen den Attributen von M1 bzw. M2 durch das Newtonsche Kraftgesetz gegeben:

111 xmF 222 xmF

Zwischen den Attributen des Systems S3 Hooke‘s Gesetz,

)( 3033 llkF

Wechselwirkungen repräsentierenden Beziehungen: 123 xxl

31 FfF

32 FF

Die totale auf M1 wirkende Kraft ist die Differenz zwischen der externen Kraft f und der von der Feder ausgeübten Kraft, und die totale an M2 angreifende Kraft ist die von der Feder ausgeübte Kraft


Identische Gleichungssysteme können zur Berechnung von Systemen völlig unterschiedlicher wissenschaftlicher Bereiche dienen.

Den gleichen Differentialgleichungen, die ein mechanisches System beschreiben, gehorcht auch ein elektrisches Netzwerk.

Ein Objekt sei mit zwei Anschlussvariablen v1 und v2 versehen, die folgende Differentialgleichung erfüllen:

121

2

22 v

dt

vd

dt

dv

Dieses Objekt könne auf verschiedene Weisen realisiert werden.


Erste Realisierungsmöglichkeit: ein elektrisches Netzwerk. • v1: Input-Spannung • v2: in das Netzwerk fließender Strom.

Zweite Realisierungsmöglichkeit: mechanisches System • v2: die Partikel M angreifende Kraft • v1: die Geschwindigkeit von M


v1 = f1(u1, u2,..., um)v2 = f2(u1, u2,..., um)_ _ _ _ _ _ _ _ _ vn = fn(u1, u2,..., um)

v = f(u)

Multipol (multipole)

Fuzzy Set TheorieZadehs System Theory

st+1 = f(st ,ut), t = 0, 1, 2, ...

yt = g(st ,ut)

y : output

u : input

s : state

Fuzzy Set TheorieZadehs System Theory

Fuzzy Set TheorieSiebschaltungen, Filter

IRE Transactions on Information Theory: März, Juni 1956

„The Bandwagon“ „What is Information Theory?“

Fuzzy Set Theorie

Fuzzy Set TheorieClaude Elwood Shannon: The Bandwagon

Indeed, the hard core of information theory is, essentially, a branch of mathematics, a strictly deductive system.

Research rather than exposition is the keynote, and our critical thresholds should be raised.

Norbert Wiener: What is Information Theory?

I am pleading in this editorial that Information Theory go back of its slogans and return to the point of view from which it originated: that of the general statistical concept of communication.

I hope that these Transactions may encourage this integrated view of communication theory by extending its hospitality to papers which, why they bear on communication theory, cross its boundaries, and have a scope covering the related statistical theories. In my opinion we are in a dangerous age of overspecialization.

Fuzzy Set Theorie

R. Bellman, R. Kalaba, 1957: On the Role of Dynamic Programming in Statistical Communication Theory

Fuzzy Set Theorie

IRE Transactions on Information Theory: März 1958

„What Is Optimal?“

Lotfi A. Zadeh

Hinsichtlich eines Kriteriums A gelte:

• Design D1 ist besser als D2 und

• Design D2 ist besser als D3.

Hinsichtlich eines Kriteriums B gelte aber:

• Design D2 ist besser als D3, und


Hinsichtlich eines Kriteriums C gilt noch:

• Design D3 ist besser als D1, und


Fuzzy Set Theorie

A System is a big black box

Of which we can‘t unlock the locks,

And all we can find out about

Is what goes in and what goes out.

Perceiving input-output pairs,

Related by parameters,

Permits us, sometimes, to relate

An input, output, and a state.

If this relation‘s good and stable

Then to predict we may be able,

But if this fails us – heaven forbid!

We‘ll be compelled to force the lid! Kenneth E. Boulding

Proceedings of the Second Systems Symposium at Case Institute of Technology,

April 1963, Cleveland, Ohio

Views on General Systems Theory Fuzzy Set Theorie

Zadeh, 1962: From Cercuit Theory to System Theory

In fact, there is a fairly wide gap between what might be regarded as „animate“ system theorists and „inanimate“ system theorists at the present time, and it is not at all certain that this gap will be narrowed, much less closed, in the near future.

There are some who feel that this gap reflects the fundamental inadequacy of the conventional mathematics – the mathematics of precisely-defined points, functions, sets, probability measures, etc. - for coping with the analysis of biological systems, and that to deal effectively with such systems, which are generally orders of magnitude more complex than man-made systems, we need a radically different kind of mathematics, the mathematics of fuzzy or cloudy quantities which are not describable in terms of probability distributions.

Indeed, the need for such mathematics is becoming increasingly apparent even in the realm of inanimate systems, for in most practical cases the a priori data as well as the criteria by which the performance of a man-made system is judged are far from being precisely specified or having accurately-known probability distributions.

In: Proceedings of the IRE, May 1962, pp. 856-865.

Fuzzy Set Theorie

Eine Teilmenge (constraint set) C von sei durch Einschränkungen an das System S definiert.Auf sei eine partielle Ordnung „“ definiert, wodurch jedem System S in die folgenden drei disjunkten Teilmengen von zugeordnet werden können:

>(S): Teilmenge aller Systeme, die besser als S sind (superior).(S): Teilmenge aller Systeme, die schlechter oder gleich S sind

(inferior).~(S): Teilmenge aller Systeme, die mit S nicht vergleichbar sind.

>(S) (S) ~(S) = .

Definition 1: Ein System S0 ist in C nichtinferior, wenn gilt: C >(S0) = Ø.

(Es gibt somit kein System in C, das besser als S0 ist.)

Definition 2: Ein System S0 ist in C optimal, wenn gilt: C (S0).

(Jedes System in C ist somit schlechter (inferior) als S0 oder gleich S0.)

L. A. Zadeh, 1963: Optimality and Non-Scalar-Valued Performance Criteria

Fuzzy Set Theorie

Ist die Menge aller betrachteten Systeme durch ein skalares Kriterium vollständig geordnet, dann gilt:

~(S0)= und >(S0) und (S0)

sind komplementäre Mengen.

Wenn C >(S0) = , dann gilt sicher: (S0) C.

Nichtinferiorität und Optimalität sind äquivalent; Unterschied der Begriffe ist nicht erkennbar.


Fuzzy Set Theorie

Vorschlag: Partielle Ordnung von durch vektorwertiges Leistungskriterium berücksichtigen:

System S sei durch x = (x1, ..., xn) charakterisiert, dessen reellwertige Komponenten z. B. die Werte von n veränderlichen Parametern des Systems S sind. C sei Teilmenge des n-dimensionalen Euklidischen Raumes.

Die Leistung des Systems S werde durch einen m-dimensionalen-Vektor p(x) = [p1(x), ..., pm(x)] gemessen, wobei pi(x), i = 1, ..., m, reellwertige Funktion von x ist.

Es gilt nun S ≥ S´ p(x) ≥ p(x‘). Das heißt also: pi(x) ≥ pi (x‘), i = 1, ..., m.


Fuzzy Set Theorie

Illustration:

Fall, >(S) oder äquivalent dazu >(x) ist ein fester Kegel mit Scheitelpunkt bei x.

Die Constraint-Menge C ist eine abge-schlossene beschränkte Teilmenge im Vektorraum.

Beispiel: pi(x), i = 1, ..., m ist von der Form:

p1(x) = aiix1+ ... + anxn

i,

mit ai = (aii, ..., an

i) ein konstanter Vektor, nämlich der Gradient von pi(x), d.h. ai = grad pi(x). In diesem Falle ist >(x) der Polarkegel des Kegels, der durch die ai aufgespannt wird.


Fuzzy Set Theorie

Definition 1 Ein nichtinferiorer Punkt kann kein Punkt im Inneren der Menge C sein.

Wenn C darüber hinaus eine konvexe Menge ist, dann ist die Menge aller nichtinferioren Punkte auf dem Rand von C die Menge aller Punkte x0, durch die Hyperebenen verlaufen können, so dass die Mengen C und >(x0) durch diese Hyperebenen separiert werden.

Illustration:

Die Menge ist die stark gezeichnete Linie auf dem Rand von C. Ist x0 ein solcher Punkt und ist die (vom Inneren der Menge C wegzeigende) Normale auf der Hyperebene in diesem Punkt x0, dann gehört zum Polarkegel der Menge >(x0), denn bildet keinen stumpfen Winkel mit den Vektoren in >(x0).


Fuzzy Set Theorie

1964: Lotfi Zadeh, Vortrag in Dayton, Ohio (Wright-Patterson Air Base)

Fuzzy Set Theorie

Richard Bellman

Robert Kalaba

Lotfi A. Zadeh

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From Circuit Theory to System Theory. Lotfi Zadeh, 1954: System Theory Fuzzy Set Theorie