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Exponential- u. Logarithmusfunktionen Melanie Gräbner Los geht´s Klick auf mich!

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Exponential- u. Logarithmusfunktionen

Melanie Gräbner

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Inhalt

• Exponentialfunktion• Euler´sche Zahl• Formel für Wachstum/Zerfallsfunktione

n• Logarithmen• Logarithmusfunktionen• Exponentialgleichung

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Exponentialfunktion

Sind Graphen von Gleichungen nach folgendem Schema:

Wichtig ist dabei für a ist:

Und für y gilt dann:

y = ax ExponentBasis

a > 0 a ≠ 1

y = positiver Wert

Die Basis a ist dabei

bestimmend ob es eine

Zerfalls oder Wachstums-funktion ist.

Die Basis a ist dabei

bestimmend ob es eine

Zerfalls oder Wachstums-funktion ist.

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ExponentialfunktionDie Exponentialfunktion steigt/fällt prozentuell gleich: Wachstumsfunktion = streng monoton steigend

Zerfallsfunktion = streng monoton fallend

x-Achse ist eine sogenannte Asymptote

y = ax

y = ax

Man kann die Exponentialfunktionen

aber auch mit der Basis e darstellen.

Man kann die Exponentialfunktionen

aber auch mit der Basis e darstellen.

y = nie < = 0

Bsp.Wachstumsfunktion

Bsp.Wachstumsfunktion

a > 1

0 < a < 1

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Beispiel Wachstumsfunktiony = 2x

Bsp.Zerfallsfunktion

Bsp.Zerfallsfunktion

x y-3 0,125-2 0,25-1 0,50 11 22 43 8

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BeispielZerfallsfunktiony = 0,5x

x y-3 8-2 4-1 20 11 0,52 0,253 0,125

Wichtig hier ist, dass bei der Zerfallsfunktion 0 < a < 1 gilt.Wichtig hier ist, dass bei der

Zerfallsfunktion 0 < a < 1 gilt.

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Euler´sche Zahl

Ist der Wert

e = 2,718 281 828 459 045

Die Euler´sche Zahl verwendet man häufig

für Exponentialfunktionen.

Die Euler´sche Zahl verwendet man häufig

für Exponentialfunktionen.

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Formel für Wachstum/Zerfallsfunktion

λ = Lambdaλ = Lambda

N(t)= N0*eλ t

N(t)= N0*a t

a= e λ

Wenn λ positiv ist, handelt es sich um eine Wachstumsfunktion. Ist λ negativ ist, handelt es sich um eine Zerfallsfunkton.

Wenn λ positiv ist, handelt es sich um eine Wachstumsfunktion. Ist λ negativ ist, handelt es sich um eine Zerfallsfunkton.

Man kann den Faktor a durch e λ ersetzen.

Man kann den Faktor a durch e λ ersetzen.

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Logarithmen

Logarithmen braucht man zum Berechnender Hochzahl für z.B. Umkehrfunktionen undzum Lösen für Exponentialgleichungen

Meist wird mit dem natürlichen Logarithmus

oder mit dem Zehnerlogarithmus gerechnetBeides kann mit Tasten in den Taschenrechner

eingegeben werden.Nun ein paar wichtige

Rechenregeln.

Beides kann mit Tasten in den Taschenrechner

eingegeben werden.Nun ein paar wichtige

Rechenregeln.

x = loga b

Exponent | Logarithmus der Basis | Numerus

Basis = e (ln)

Basis = 10 (log)

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Rechenregeln

log (u*v) = log u + log v

log (u/v) = log u - log v

log un = n *log uDiese Regeln sind

wichtig für das Lösen von

Gleichungen und Umkehrfunktionen

Bsp.?

Diese Regeln sind wichtig für das

Lösen von Gleichungen und

UmkehrfunktionenBsp.?

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Beispiel

log (10*100) = log (1000) = 3

Log (10*100) = log 10 + log 100 == 1 + 2 = 3

Man sieht hier schön, dass, wenn man u mal v gleich rechnet, das

selbe Ergebnis herauskommt, wie wenn man mit der Formel

rechnet.

Man sieht hier schön, dass, wenn man u mal v gleich rechnet, das

selbe Ergebnis herauskommt, wie wenn man mit der Formel

rechnet.

log (u*v) = log u + log v

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Beispiel

log (100/10) = log (10) = 1

log (100/10) = log 100 - log 10 == 2 - 1 = 1

log (u/v) = log u - log v

Auch hier sieht man das sehr

gut.

Auch hier sieht man das sehr

gut.

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Beispiel

log 103= log 1000 = 3

log 10³ = 3 * log 10 = 3 * 1 = 3

log un = n *log u

Nun gibt es auch noch die

Logarithmus- funktionen

Nun gibt es auch noch die

Logarithmus- funktionen

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LogarithmusfunktionenDie Logarithmusfunktion ist dieUmkehrfunktion der Exponentialfunktion; sie entsteht durch Spiegelung am 1. Median.

Bsp. Zeichnung

Bsp. Zeichnung

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Beispiel

Logarithmusf.

Exponentialf.

1. Median

Nun zum letzten Kapitel

Exponential-gleichungen

Nun zum letzten Kapitel

Exponential-gleichungen

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Exponentialgleichungen

Der zu berechnende Wert x ist eine Hochzahl

Um x auszurechnen kann man in einigenFällen das Ergebnis ohne Hilfe sehen, dochmeist braucht man den Logarithmus, umsie zu lösen.

ax= Ergebnis

Hier noch ein kleines Bsp. zur

Veranschaulichung

Hier noch ein kleines Bsp. zur

Veranschaulichung

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Beispiel

22+x = 162? = 1624 = 1622+2 = 16

2x = 5log 2x = log 5x* log 2 = log 5x = log 5 / log 2

x = 2

x = 1,924…

Beim oberen Beispiel kann man

leicht auf das Ergebnis kommen, indem man eine

einfache Kopfrechnung

durchführt. Um die andere Gleichung zu

lösen, muss man beide Seiten

logarithmieren und dann x auf eine Seite bringen. Wichtig ist, dass man dabei die

Regeln für das Rechnen mit

Logarithmen nicht vergisst.

Beim oberen Beispiel kann man

leicht auf das Ergebnis kommen, indem man eine

einfache Kopfrechnung

durchführt. Um die andere Gleichung zu

lösen, muss man beide Seiten

logarithmieren und dann x auf eine Seite bringen. Wichtig ist, dass man dabei die

Regeln für das Rechnen mit

Logarithmen nicht vergisst.

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DankeDanke