43
f : D R D R n R y = f (x )= f (x , x , ..., x n ) f (x , y )= x - x · y + y g (x , y , z )= xy - z +x · y + z I I

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Funktionen mehrerer Veränderlicher

Betrachtet werden Funktionen f : D → R mitDe�nitionsbereich D ⊂ Rn und Wertebereich R, d. h. man hatdie Funktionsgleichung

y = f (x) = f (x1, x2, ..., xn)

Beispiele: f (x , y) = 2x2 − x · y + y 2,

g(x , y , z) = xy − ez+x2 · sin y + 3z

Anwendungen

I Beschreibung dreidimensionaler Objekte wie Kugel,Zylinder, ...

I ortsabhängige physikalische Gröÿen wie Temperatur,Druck hängen von drei Ortsvariablen ab

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Darstellung

Der Graph {(x , y , z) ∈ R3 : z = f (x , y)} einer Funktionzweier Veränderlicher ist eine Fläche im dreidimensionalenRaum.

Alternativ ist eine Darstellung durch Höhenlinien möglich.mehrdim13.pdf, Seite 2

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Höhenlinien der Funktion f (x , y) = sin(x2 + y 2) · cos x · sin ymehrdim13.pdf, Seite 3

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Stetigkeit (bei 2 Variablen)

Die Funktion f (x , y) ist stetig an der Stelle (x0, y0) ∈ D ⊂ R2,wenn für Folgen (xn)→ x0 und (yn)→ y0 giltlimn→∞ f (xn, yn) = f (x0, y0).

Das heiÿt: Wenn sich (x , y) in der x , y�Ebene dem Punkt(x0, y0) annähert, so nähern sich die Funktionswerte f (x , y)dem Wert f (x0, y0) an.

Stetigkeit auf D

f (x , y) heiÿt stetig auf D, wenn f in jedem Punkt (x0, y0) ∈ Dstetig ist.

Anschaulich: Die Funktion f (x , y) ist stetig, wenn ihr Grapheine zusammenhängende Fläche ohne �Sprungstellen�, �Risse�etc. ist.

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Beispiel f (x , y) = x2 · sin yIst (x0, y0) ∈ R2 beliebig sowie (xn) und (yn) Folgen mitlim xn = x0 und lim yn = y0, so gilt nach den Rechenregeln fürGrenzwerte

limn→∞ f (xn, yn) = limn→∞(x2n · sin yn)

= (limn→∞ x2n ) · (limn→∞ sin yn)

= (limn→∞ xn)2 · sin(limn→∞ yn)

= x20 · sin y0 = f (x0, y0)

Also ist f an der Stelle (x0, y0) stetig. Da (x0, y0) beliebig war,ist f (x , y) auf D = R2 stetig.

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Eigenschaften stetiger Funktionen

Summen, Di�erenzen, Produkte und Quotienten (fallsNenner 6= 0) stetiger Fuktionen von D ⊂ Rn nach R sindwieder stetig, ebenso die Verkettung f ◦ g , wenn g : D → Rund f : R→ R stetig sind.

Damit gilt: Aus �Standardfunktionen� wie Polynomen,Wurzel-, Exponential-, Logarithmus- undSinus-/Cosinusfunktionen zusammengesetzte Funktionenmehrerer Variablen sind i. d. R. stetig.

Fall D ⊂ Rn mit n > 2

Stetigkeit für Funktionen mit n Variablen wird analog de�niert,z. B. im Fall n = 3 muss gelten

limn→∞ f (xn, yn, zn) = f (x0, y0, z0),

wenn xn → x0, yn → y0 und zn → z0,

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Partielle Ableitungen

einer Funktion f : D → R sind de�niert als Ableitungen nacheiner Variablen, wobei die übrigen Variablen als Konstantenbetrachtet werden:

∂f

∂xi= lim

∆x→0

f (x1, ..., xi−1, xi + ∆x , xi+1, ..., xn)− f (x1, ..., xi , ..., xn)

∆x,

falls der Grenzwert existiert.

Alternative Notation: fxi

Berechnung

Berechnet werden partielle Ableitungen fxi = ∂f∂xi

wieAbleitungen einer Funktion einer Variablen, indem alleVariabeln bis auf xi als Konstanten betrachtet werden.

Dabei können alle bekannten Ableitungsregeln benutzt werden.

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BeispieleI Für f (x , y) = 2x2−x · y + y 2 ist

fx = fx(x , y) = ∂f∂x

= ∂f∂x

(x , y) = 4x−y und

fy = fy (x , y) = ∂f∂y

= ∂f∂y

(x , y) = −x + 2y

I f (x , y , z) = ex2−y2 + 2xz · sin z − 3xyz + y

z· cos y

⇒ fx = fx(x , y , z) = 2x · ex2−y2 + 2z · sin z − 3yz ,

fy = −2y · ex2−y2 − 3xz + 1z· cos y − y

z· sin y und

fz = 2x · sin z + 2xz · cos z − 3xy − 1z2· y · cos y .

BemerkungDie partiellen Ableitungen sind wieder Funktionen von nVariablen, was in der Notation fx(x , y) etc. zum Ausdruckgebracht wird.

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Der Gradient

einer Abbildung f : D → R ist der n�dimensionale Vektor, dersich aus den partiellen Ableitungen zusammensetzt:

grad f = ∇f =

(∂f

∂x1,∂f

∂x2, ...,

∂f

∂xn

),

oft auch als Spaltenvektor geschrieben.

BeispielFür f (x , y) = 2x2 − xy + y 2 ist

grad f (x , y) =(fx(x , y)fy (x , y)

)=(

4x − y−x + 2y

)bzw. für spezielle Werte von (x , y)

grad f (0; 0) =(

0

0

), grad f (0; 1) =

(−12

),

grad f (1; 0) =(

4

−1

)oder grad f (1; 2) =

(2

3

).

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Gradient geometrisch

Der Gradientenvektor zeigt immer in Richtung der gröÿtenSteigung, sein Betrag entspricht dem Betrag der Steigung.

Beispiel: Gradient von f (x , y) = cos x · cos y

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Linearisierung

Ähnlich wie bei der Tangente einer Funktion einer Variablenkann zu einer Funktion f (x , y) eine lineare Funktion T (x , y)bestimmt werden, deren Graph sich an einer vorgegebenenStelle (x0, y0) an den Graphen von f �anschmiegt�.

T (x , y) wird so gewählt, dass gilt T (x0, y0) = f (x0, y0),

Tx(x0, y0) = fx(x0, y0) und Ty (x0, y0) = fy (x0, y0),

d. h. an der Stelle (x0, y0) stimmen der Funktionswert undbeide partielle Ableitungen von f und T überein.

Im Fall (x0; y0) = (0; 0) erhält man

T (x , y) = f (0; 0) + fx(0; 0) · x + fy (0; 0) · y

= f (0; 0) +

⟨(fx(0; 0)fy (0; 0)

),(xy

)⟩= f (0; 0) +

⟨grad f (0; 0),

(xy

)⟩mehrdim13.pdf, Seite 11

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Geometrisch

Der Graph der linearisierten Funktion T (x , y) ist eineTangentialebene am Graphen von f .

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Beispiel

Für f(xy

)= ey · sin x + (x − 1) · y ist

grad f(

xy

)=(

ey · cos x + y

ey · sin x + x − 1

)⇒ grad f

(0

0

)=(

1

−1

).

Die Tangentialebene an der Stelle(

xy

)=

(0

0

)ist damit

gegeben durch

T(xy

)= f

(0

0

)+

⟨(1

−1

),(xy

)⟩= 0 + x − y

Damit können Funktionswerte für (x , y) nahe (0, 0)näherungsweise bestimmt werden. Z. B. erhält man

f(

0, 2−0, 1

)≈ T

(0, 2−0, 1

)= 0, 2− (−0, 1) = 0, 3.

Der exakte Wert liegt bei 0,26.

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Entwicklungspunkt 6= 0

An der Stelle(x0y0

)erhält man die Tangentialebenedurch die Gleichung

T(xy

)

= f(x0y0

)+

⟨grad f

(x0y0

),(x − x0y − y0

)⟩

= f(x0y0

)+∂f

∂x

(x0y0

)·(x−x0)+

∂f

∂y

(x0y0

)·(y−y0)

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Beispiel

Die Tangentialebene an f(xy

)= 2x − 1

2(x2 + y 2) an der

Stelle(x0y0

)=(

1

1

)hat die Gleichung

T(xy

)= f

(1

1

)+ fx

(1

1

)· (x − 1) + fy

(1

1

)· (y − 1)

= 1 + (x − 1)− (y − 1) = 1 + x − y

Benutzt wurde dabei fx = ∂f∂x

= 2− x ⇒ fx

(1

1

)= 1

und fy = ∂f∂y

= −y ⇒ fy

(1

1

)= −1.

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Verallgemeinerung: Tangentialraum im Rn

Der Tangentialraum einer di�erenzierbaren Funktionf : D → R im Punkt x0 ∈ D mit D ⊂ Rn hat die Gleichung

T (x) = f (x0) + 〈grad f (x0), x − x0〉

Beispiel

f (x1, x2, x3, x4) = x1 · ex2 + x23 + x24 − 1 hat an der Stelle

(x1, x2, x3, x4) = (1; 0;−1; 1) den Tangentialraum

T (x) = T (x1, x2, x3, x4) = 2 +

⟨ 1

1

−22

,

x1 − 1

x2x3 + 1

x4 − 1

= 2 + x1 − 1 + x2 − 2(x3 + 1) + 2(x4 − 1)

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Totale Di�erenzierbarkeit

Die Existenz der partiellen Ableitungen garantiert noch nicht,dass die Tangentialebene T (x) die Funktion f (x) tatsächlichapproximiert.

Dazu muss f in x0 total di�erenzierbar sein:

De�nition

f : D → R heiÿt total di�erenzierbar im Punkt x0 ∈ D, wennin x0 alle partiellen Ableitungen fx1(x0), ..., fxn(x0) existierenund für den Tangentialraum T (x) gilt

|f (x)− T (x)| = o(‖x − x0‖)⇔ limx→x0

|f (x)− T (x)|‖x − x0‖

= 0.

Satz

Ist f auf D stetig partiell di�erenzierbar, d. h. die partiellenAbleitungen fx1 , ..., fxn existieren für alle x ∈ D und sind stetig,so ist f auf ganz D total di�erenzierbar.

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Bemerkung

Die Existenz der partiellen Ableitungen im Punkt x0 reichtnicht aus für totale Di�erenzierbarkeit. Wichtig ist, dass allepartiellen Ableitungen in einer Umgebung von x0 de�niert undstetig sind.

Beispiel f : R2 → R,

f (x , y) = sgn (x · y) =

1, falls x , y > 0 oder x , y < 00, falls x = 0 oder y = 0−1, falls x > 0 und y < 0 oder umgekehrt

Im Punkt (x0, y0) = (0, 0) ist f nicht stetig. Für festes y0 = 0gilt jedoch f (x , 0) ≡ 0, ebenso f (0, y) ≡ 0 für festes x0 = 0.

Daher existieren die partiellen Ableitungen ∂f∂x

(0, 0) = ∂f∂y

(0, 0) = 0.

Diese liefern jedoch keine lineare Approximation von f (x , y)�in der Nähe� von (0, 0).

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Beispiel f (x , y) = − 5

√x2 · y 2

Entlang beider Koordinatenachsen ist die Funktion konstant 0.Daher ist f an der Stelle (x0; y0) = (0; 0) partielldi�erenzierbar, wobei beide partiellen Ableitungen gleich 0sind. Die Tangentialebene liefert jedoch keine guteApproximation �in der Nähe�.

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Totales Di�erential

Mit ∆x = x − x0 ∈ Rn und ∆y = f (x)− f (x0) ∈ R gilt füreine total di�erenzierbare Funktion y = f (x) in der Nähe vonx0 mit dem Tangentialraum T (x)

∆y = f (x)− f (x0) ≈ T (x)− f (x0) = 〈grad f (x0),∆x〉

= fx1(x0) ·∆x1 + fx2(x0) ·∆x2 + ... + fxn(x0) ·∆xn

Mit ∆x → 0 erhält man als symbolischen Ausdruck das totaleDi�erential

dy = fx1dx1 + fx2dx2 + ... + fxndxn

Die partielle Ableitung fxi ist der Faktor, um den mulipliziertsich kleine Änderungen der Variable xi auf den Funktionswerty = f (x) auswirken.

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Beispiel

Die Funktion z = f (x , y) = x2 · sin y hat das totale Di�erential

dz = fx dx + fy dy = 2x · sin y dx + x2 · cos y dy

Interpretation im Beispiel

An der Stelle (x ; y) = (1; 0) hat eine kleine Änderung desx�Wertes um ∆x und des y�Wertes um ∆y eine Änderungdes z�Wertes um

∆z = 2x · sin y ·∆x + x2 · cos y ·∆y = 0 ·∆x + 1 ·∆y = ∆y

zur Folge. Mit ∆x = ∆y = 0, 1 erhält man dann z. B.

f (1, 1; 0, 1) ≈ f (1; 0) + 0, 1 = 0, 1.

Diese Rechnung beruht auf der Annäherung von f (x , y) an dieTangebtialebene an der Stelle (1; 0).Nichtlineare E�ekte bleiben dabei unberücksichtigt.

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Anwendung: Fehlerrechnung

Beispiel: Sei R = R(u, i) = uider elektrische Widerstand, der

als Funktion der zwei Variablen u und i betrachtet wird.

Gemessen wurde u = 110± 2 und i = 22± 0, 4, daraus wirdR = 110

22= 5 berechnet. Gefragt ist, wie sich Messfehler bei u

und i auf die Genauigkeit für R auswirken.

Dazu betrachtet man das totale Di�erential

dR =∂R

∂udu +

∂R

∂idi =

1idu − u

i2di

Bei den gemessenen Werten ist 1i

= 122

und − ui2

= − 522.

Damit hat ein Messfehler ∆u bei u eine Ungenauigkeit von≈ 1

22∆U für R zur Folge, ein Messfehler ∆i ergibt eine

Ungenauigkeit ≈ − 522

∆i für R .

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Fortsetzung Beispiel Fehler bei R = ui

Da für u und i jeweils Abweichungen nach unten und nachoben möglich sind, muss der maximale Gesamtfehler alsBetrag abgeschätzt werden:

|∆R | ≈∣∣∣∣ 122∆u − 5

22∆i

∣∣∣∣ ≤ 122|∆u|+ 5

22|∆i |

Mit |∆u| ≤ 2 und |∆i | ≤ 0, 4 erhält man somit

|∆R | ≤ 111

+ 111. d. h. die Messung liefert R = 5± 2

11.

Allgemeines Fehlerfortp�anzungsgesetz

Für y = f (x1, ..., xn) gilt für �kleine� ∆xi

|∆y | ≤∣∣∣∣ ∂f∂x1

∣∣∣∣ · |∆x1|+∣∣∣∣ ∂f∂x2

∣∣∣∣ · |∆x2|+ ... +

∣∣∣∣ ∂f∂xn∣∣∣∣ · |∆xn|

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Weiteres Beispiel

Der Radius r = 10 cm eines Zylinders wird mit einerGenauigkeit ∆r = ±0, 1 cm gemessen, die Höhe h = 20 cmmit einer Genauigkeit ∆h = ±0, 5 cm.

Für das Volumen V = V (r , h) = π · r 2 · h erhält man damiteine Genauigkeit (in cm3)

|∆V | ≤∣∣∂V∂r

∣∣ · |∆r | +∣∣∂V∂h

∣∣ · |∆h|= 2πr · h · |∆r |+ π · r 2 · |∆h|= 400π · 0, 1 + 100π · 0, 5 = 90π ≈ 283

Somit kann das Volumen V = 2000π ≈ 6283 cm3 mit einerGenauigkeit von ±283 cm3 berechnet werden.

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Richtungsableitung

Für einen Vektor v ∈ Rn und t ∈ R erhält man durchApproximation über die Tangentialebene in x0 fürx = x0 + t · v :f (x0 + t · v)− f (x0) ≈ T (x)− f (x0)

= 〈grad f (x0), t · v〉 = t · 〈grad f (x0), v〉Der Ausdruck ∂f

∂v(x0) = 〈grad f (x0), v〉 ist die

Richtungsableitung von f : D → R im Punkt x0 in Richtungdes Vektors v ∈ Rn.

Sie gibt die Steigung an, mit der sich die Funktionswerteändern, wenn sich x vom Punkt x0 in Richtung des Vektors vändert.

BemerkungDa der Vektor v i. d. R. nur eine Richtung anzeigen soll, ist esoft sinnvoll, ihn als Einheitsvektor zu wählen.

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BeispielMit f (x , y) = 2x − 1

2(x2 + y 2) ist grad f

(1

1

)=(

1

−1

).

Die Richtungsableitung in Richtung des Vektors v = 1√5

(2

1

)ist damit

∂f

∂v

(1

1

)=

⟨(1

−1

),1√5

(2

1

)⟩=

1√5

Mit v =(

1

0

)erhält man

∂f

∂v

(1

1

)=

⟨(1

−1

),(

1

0

)⟩= 1 =

∂f

∂x

(1

1

)

Allgemein ist die Richtungsableitung in Richtung des i�tenStandard�Einheitsvektors gleich der partiellen Ableitung nachder zugehörigen Variable xi (dies folgt unmittelbar aus derDe�nition).

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Vektorwertige Funktionen

Analog zu Funktionen f : D → R lassen sich auf D ⊂ Rn

Funktionen

f : D → Rm, f (x) =

f1(x1, ..., xn)f2(x1, ..., xn)

.

.

.

fm(x1, ..., xn)

betrachten.

Beispiele dafür sind lineare Abbildungen

f : Rn → Rm, f (x) = Ax mit einer n ×m�Matrix A.

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Bemerkung

Jede vektorwertige Funktion f : D → Rm setzt sich zusammenaus ihren Komponenten, den n skalarwertigen Funktionen

f1 : D → R, f2 : D → R, ..., fm : D → R.

f ist genau dann stetig, wenn alle Komponenten stetig sind.

Auch Ableitungen lassen sich für alle Komponenten getrenntbestimmen.

Beispiel

f(xy

)=(

4x − y2

2xy + 1

)ist eine stetige Funktion R2 → R2

mit den Komponenten

f1(x , y) = 4x − y 2 und f2(x , y) = 2xy + 1.

mehrdim13.pdf, Seite 28

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Ableitung vektorwertiger Funktionen

Zu f : D → Rn können m · n partielle Ableitungen ∂fi∂xj

füri = 1, ...,m und j = 1, ..., n betrachtet werden.

Diese werden zusammengefasst in der Jacobi�Matrix

∂f

∂x=

∂f1∂x1

... ∂f1∂xn

.

.

....

∂fm∂x1

... ∂fm∂xn

Dabei ist die i�te Zeile der Jacobi�Matrix der Gradient deri�ten Komponente fi von f .

Beispiel

Die Jacobi�Matrix von

f (x , y) =

(4x − y2

2xy + 1

)ist

∂f

∂x=

(4 −2y2y 2x

)mehrdim13.pdf, Seite 29

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Totale Ableitung

Sind alle partiellen Ableitungen stetig in x0, so gilt mit derJacobi�Matrix A = ∂f

∂x(x0)

f (x) = f (x0) + A(x − x0) + R(x) mit limx→x0

‖R(x)‖‖x − x0‖

= 0,

d. h. die Jacobi�Matrix liefert die Approximation von f in derNähe von x0 durch eine lineare Abbildung.

Beispiel

f (x , y) =

(4x − y2

2xy + 1

)mit (x0, y0) = (1; 1):

f (x , y) ≈ f (1; 1) + ∂f∂x

(1; 1) ·((

xy

)−(

1

1

))=

(3

3

)+

(4 −22 2

)((xy

)−(

1

1

))mehrdim13.pdf, Seite 30

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Extremwerte für Funktionen f : D → RHat f in einem inneren Punkt des De�nitionsbereichs einrelatives (lokales) Maximum oder Minimum, so muss gelten

grad f = 0⇔ fx1 = fx2 = ... = fxn = 0

Beispiel f (x , y) = x2 − 3x + x · y + y 2

Es folgt

grad f = 0⇔{

2x + y = 3x + 2y = 0

⇔{

x = 2y = −1

Um festzustellen, ob es sich um ein Maximum, Minimum odereinen Sattelpunkt handelt, können die zweiten partiellen

Ableitungen betrachtet werden.

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Zweite partielle Ableitungen

Di�erenziert man die partielle Ableitung fxi nach xj , so erhältman die zweite partielle Ableitung

fxixj =∂2f

∂xi∂xj=∂fxi∂xj

Beispiel f (x , y) = x2 − 3x + x · y + y 2

Aus fx = ∂f∂x

= 2x − 3 + y und fy = ∂f∂y

= x + 2y folgt

fxx = ∂2f∂x2

= 2, fxy = ∂2f∂y∂x

= fyx = ∂2f∂x∂y

= 1

und fyy = ∂2f∂y2

= 2

Allgemein gilt fxixj = fxjxi , d. h. die Reihenfolge derDi�erenziation kann vertauscht werden.

mehrdim13.pdf, Seite 32

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Hesse�Matrix

Die Hesse�Matrix Hf fasst die zweiten partiellen Ableitungenzusammen (d. h. Hf ist die Jacobi�Matrix des Gradienten):

Hf =∂2f

∂x2= (aij) =

(fxixj)ni ,j=1

Im Beispiel f (x , y) = x2 − 3x + x · y + y 2 ist

Hf =(

fxx fxyfyx fyy

)=(

2 1

1 2

)unabhängig von x und y .

Im Allgemeinen jedoch sind die Einträge der Hesse�MatrixFunktionen.

Die Hesse�Matrix ist immer symmetrisch, d. h. aji = aij .

mehrdim13.pdf, Seite 33

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Kriterien für Maximum und Minimum

Ist grad f(x0y0

)= 0, so ist zu prüfen, ob Hf = Hf

(x0y0

)an der

Stelle(x0y0

)positiv de�nit, negativ de�nit oder inde�nit ist,

um zu entscheiden, ob ein Minimum, Maximum oder einSattelpunkt vorliegt.

I Sind alle Eigenwerte von Hf > 0 (Hf ist positiv de�nit),so liegt ein lokales Minimum vor.

I Sind alle Eigenwerte von Hf < 0 (Hf ist negativ de�nit),so liegt ein lokales Maximum vor.

I Hat Hf sowohl positive als auch negative Eigenwerte (Hf

ist inde�nit), so liegt weder ein Maximum noch einMinimum, sondern ein Sattelpunkt vor.

I Hat Hf den Eigenwert 0, so ist keine allgemeine Aussagemöglich.

mehrdim13.pdf, Seite 34

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Spezialfall n = 2Bei einer Funktion f (x , y) mit zwei Veränderlichen kann wiefolgt vorgegangen werden:

Ist grad f (x0; y0) =(fx(x0; y0)fy (x0; y0)

)=(

0

0

), so kann die

Determinante der Hesse�Matrix

Hf = Hf (x0; y0) =(

fxx(x0; y0) fxy (x0; y0)fyx(x0; y0) fyy (x0; y0)

)bestimmt werden.

Dabei gilt:I Ist detHf = fxx · fyy − f 2xy < 0, so so hat f weder einMinimum noch ein Maximum, sondern einen Sattelpunkt.

I Ist detHf > 0 und fxx < 0, so hat f ein lokales Maximum.I Ist detHf > 0 und fxx > 0, so hat f ein lokales Minimum.I Ist detHf = 0, so lässt sich keine allgemeine Aussagemachen, ob ein Maximum, Minimum oder ein Sattelpunktvorliegt.

mehrdim13.pdf, Seite 35

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Im Beispiel f (x , y) = x2 − 3x + x · y + y 2

war die einzige Nullstelle des Gradienten gegeben durch(x0; y0) = (2; −1).

Weiter ist

detHf (x0; y0) = det(

2 1

1 2

)= 2 · 2− 1 · 1 = 3 > 0

und fxx(x0; y0) = 2 > 0, also hat f in (x0; y0) = (2; −1) einlokales Minimum.

Bemerkung/WarnungDie obigen Kriterien für Maxima/Minima mit Hilfe derDeterminante sind nur für Funktionen mit zwei Variablenanwendbar. Im Fall n ≥ 3 müssen die Eigenwerte oder dieHauptminoren der Hesse�Matrix betrachtet werden.

mehrdim13.pdf, Seite 36

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Weiteres Beispiel

Gesucht sind die relativen Extremstellen vonf (x , y) = sin x · cos y im Bereich 0 ≤ x , y < 2π.

Zunächst wird der Gradient berechnet:

grad f(xy

)=(

cos x · cos y− sin x · sin y

).

Damit der Gradient der Nullvektor ist, müssen zweiGleichungen erfüllt sein:

(1) cos x · cos y = 0⇔ x = π

2oder x = 3

2π oder y = π

2oder y = 3

2π,

(2) sin x · sin y = 0⇔ x = 0 oder x = π oder y = 0 oder y = π.

mehrdim13.pdf, Seite 37

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Fortsetzung Beispiel f (x , y) = sin x · cos yEs gibt 8 Punkte, die beide Bedingungen erfüllen:(x1y1

)=(π/20

),(x2y2

)=(π/2π

),(x3y3

)=(

3π/20

),(

x4y4

)=(

3π/2π

),(x5y5

)=(

0

π/2

),(x6y6

)=(

0

3π/2

),(

x7y7

)=(

ππ/2

)und

(x8y8

)=(

π3π/2

).

Um festzustellen, welche dieser Nullstellen des GradientenMinima, welche Maxima und welche Sattelpunkte sind, mussdie Hesse�Matrix bestimmt werden:

Hf

(xy

)=(− sin x · cos y − cos x · sin y− cos x · sin y − sin x · cos y

)

mehrdim13.pdf, Seite 38

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Fortsetzung Beispiel f (x , y) = sin x · cos yDie �Kandidaten� für Minima/Maxima in die Hesse�Matrixeingesetzt liefern:

Hf

(x1y1

)= Hf

(x4y4

)=(−1 0

0 −1

).

Hier ist die Determinante +1 > 0. Wegen fxx = −1 < 0 liegenlokale Maxima vor.

Hf

(x2y2

)= Hf

(x3y3

)=(

1 0

0 1

).

Hier ist die Determinante ebenfalls +1 > 0. Wegenfxx = +1 > 0 liegen lokale Minima vor.

Hf

(x5y5

)= Hf

(x8y8

)=(

0 −1−1 0

).

Hier ist die Determinante −1 < 0, also liegen Sattelpunkte vor.

Ein ähnliches Ergebnis erhält man für die beiden übrigenKandidaten (x6, y6) und (x7, y7).

mehrdim13.pdf, Seite 39

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Quadratische Approximation

Die �mehrdimensionale Version� der quadratischenApproximationf (x + h) ≈ T2(x + h) = f (x) + f ′(x) · h + f ′′(x)

2· h2 erfolgt mit

Hilfe der durch die Hesse�Matrix A = Hf (x0) de�niertenquadratischen Form:

f (x + h) = f (x) + 〈grad f (x), h〉+12〈h,Ah〉+ R2(x + h),

wobei limh→0‖R2(x+h)‖‖h‖2 = 0.

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Im Beispiel f (x , y) = x2 − 3x + x · y + y 2

mit Entwicklungspunkt (x , y) = 0:

f (h1, h2) ≈

0 +

⟨(−30

),

(h1h2

)⟩+

12

⟨(h1h2

),

(2 1

1 2

)(h1h2

)⟩

= −3h1 + 12

⟨(h1h2

),(

2h1 + h2h1 + 2h2

)⟩= −3h1 + h21 + h1h2 + h22.

Hier stimmt f mit seiner quadratischen Approximationüberein, d. h. R2(h) ≡ 0. Dies liegt daran, dass f selbst einPolynom 2. Grades in (x , y) ist.

mehrdim13.pdf, Seite 41

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Höhere partielle Ableitungen

Ähnlich wie 2. partielle Ableitungen könnnen durch mehrfachesDi�erentieren auch Ableitungen der Ordnung 3 und höherberechnet werden.

Beispiele

fxxx = ∂fxx∂x

, fxyz = ∂fxy∂z

, fxyzz = ∂fxyz∂z

, fxyxy = ∂fxyx∂y

Allgemein gilt:

Die Reihenfolge der Di�erenziation ist vertauschbar.

Zum Beispiel ist fxyz = fxzy = fyzx sowie fyxyx = fxxyy .

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Beispiel

f (x , y , z) = ex2−y2 + 2xz · sin z − 3xyz + y

z· cos y

Zu den 1. partiellen Ableitungen

fx = 2x · ex2−y2 + 2z · sin z − 3yz ,

fy = −2y · ex2−y2 − 3xz + 1z· cos y − y

z· sin y und

fz = 2x · sin z + 2xz · cos z − 3xy − 1z2· y · cos y .

siehe früheres Beispiel.

Weiter ist fxy = ∂fx∂y

= −4xyex2−y2 − 3z = ∂fy∂x

= fyx sowie

fxyz = ∂fxy∂z

= −3 = fyxz = fyxz = fyzx = fzxy = fzyx

Andere höhere partielle Ableitungen sind z. B.

fxyx = −4y(1 + 2x2)ex2−y2 = fyxx = fxxy und

fxyxy = −4(1− 2y 2)(1 + 2x2)ex2−y2

= fxxyy = fxyyx = fyyxx = fyxxy = fyxyxmehrdim13.pdf, Seite 43