Funktionen

Welche Funktionen kennt ihr???

2 3f(x) x

Graph:

IW=IR

Allgemeine Form:

Gerade

Definitions-menge: ID=IR

Werte-menge:

y = mx + t

Nullstelle:3

2x

Lineare Funktion

Definitions-menge:

13 5

4f(x) x² x

Graph: Parabel

ID=IR

Werte-menge:

4y / yIW

Allgemeine Form:

y=ax²+bx+c

Tiefpunkt: T(6/-4)

Nullstellen:x1=2

x2=10

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

f(x)

Wertetabelle für 0 x 12 : Quadratische Funktion

5 2,25 -30 -1,75 -3,75 -4 0 2,25 5-3,75 -3 -1,75

Volumen des Würfels?

1

11

Für das Volumen eines Würfels kann allgemein geschrieben werden:

x 1 2 3 4

V(x) 1 648

3x x x x

2 2

2

3 3

3

4 4

4

x x

x

27

Jedem x wird eindeutig ein y zugeordnet, deshalb spricht man auch hier von einer Funktion. f(x)=x³

Potenzfunktionen

Abhängig vom Exponenten n unterscheiden sich die Graphen der Potenzfunktionen erheblich.

Sonderfälle:n = 0 f(x) = 1n = 1 f(x) = x

0nEine Funktion der Form f(x) x mit n /

heißt Potenzfunktion n ter Ordnung

Def. :

.

n = 0 f(x) = 1 Graph ?

n = 1 f(x) = x Graph ?

Wie aber sieht eine Funktion f(x) = x³ aus ???

Die Wertetabelle!!!

Eine „alte Bekannte“ kann uns dabei weiterhelfen:

x -2 -1,5 -1 -0,5 -0,25 0 0,25 0,5 1 1,5 2

f(x)=x³ -8 -3,375 -1 -0,125 -0,016 0 0,016 0,125 1 3,375 8

x -2 -1,5 -1 -0,5 -0,25 0 0,25 0,5 1 1,5 2

f(x)=x³ -8 -3,375 -1 -0,125 -0,016 0 0,016 0,125 1 3,375 8

g(x)=x5 -32 -7,594 -1 -0,031 -0,001 0 0,001 0,03 1 7,594 32

Steckbrief: 1) Potenzfunktionen mit ganzzahligen positiven ungeraden Exponenten

Graph:Kubische Parabel

Definitions-Menge: ID=IR

Werte-Menge: IW=IR

Symmetrie-eigenschaft:

Punktsymmetrischzum Koordinaten-

ursprung

GemeinsamePunkte:

P1(0/0); P2(1/1); P3(-1/-1)

Auswirkung von n auf den Verlauf des

Graphen:

Je größer n ist, desto steiler

verlaufen die Parabeln

Beispiele: f(x) = x³, g(x) = x5; h(x) = x7

Prüfe dein Wissen!Prüfe dein Wissen!

1) Links ist der Graph einer Potenz-funktion mit ganzzahligem positiven ungeraden Exponenten abgebildet.

F

2) Die Wertemenge ist

3) Die Definitionsmenge ist

4) Der Graph ist achsensymmetrischzur y-Achse

R

x

x

Beurteile, ob die Aussage richtig oder falsch ist:

x

xIW=IR

0ID IR

Das waren Potenzfunktionen mit ganzzahligen positiven ungeraden Exponenten.

Nun ist es Zeit für

ein Rätsel!

Der Frachter "Kleine Prinzessin" liegt im Hamburger Hafen. Der Matrose Hein streicht das Schiff. Seine Strickleiter reicht bis 10 cm über das Wasser, die Sprossen sind je 25 cm voneinander entfernt. Hein steht auf der untersten Sprosse, als die Flut kommt. Der Wasserspiegel steigt um 65 cm. Wie viele Sprossen muss er höher steigen, damit er keine nassen Füße bekommt?

Hein muss keine Stufe hoch gehen, weil das Schiff ja mit steigt.

Und noch ein Rätsel!

Wie viele Karten hat das Kartenspiel noch?Ein Kartenspiel, das normalerweise 52 Karten hat, ist nicht mehr komplett.

Wenn man die Karten gleichmäßig auf 9 Personen aufteilt, bleiben 2 Karten übrig.Wenn man sie auf 4 Personen aufteilt, bleiben 3 übrig.Wenn man sie auf 7 Personen aufteilt bleiben 5 übrig.

Wie viele Karten sind im Spiel?

Es fehlen 5 Karten; 47 sind im Spiel!

Steckbrief: 2) Potenzfunktionen mit ganzzahligen positiven geraden Exponenten

Graph: Parabel

Definitions-Menge: ID=IR

Werte-Menge:

Symmetrie-eigenschaft:

AchsensymmetrischZur y-Achse

GemeinsamePunkte:

P1(0/0); P2(1/1); P3(-1/1)

Auswirkung von n auf den Verlauf des

Graphen:

Je größer n wird, desto schlanker

verlaufen die Parabeln.

Beispiele: f(x) = x², g(x) = x4; h(x) = x6

+0IW=IR

x -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2

f(x)=x²

g(x)=x4

4 2,25 1 0,25 0 0,25 1 2,25 4

16 5,06 5,06 161 10,06 0,060

Prüfe dein Wissen!

Beurteile, ob die Aussage richtig oder falsch ist:

1) Links ist der Graph einer Potenz-funktion mit ganzzahligem positiven ungeraden Exponenten abgebildet.

F

2) Die Wertemenge ist 0IW IR

3) Die Definitionsmenge ist 0ID IR

4) Der Graph ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.

R

x

x

x

x

Ermittle mögliche Funktionsgleichungen:

Eigenschaften:1) D= R2) W= R+

0

3) P(1/1); Q(-1/1); R(0/0)

f(x)=x2 f(x)=x4

Eigenschaften:1) D= R 2) W= R 3) P(1/1); Q(-1/-1); R(0/0)

f(x)=x3 f(x)=x5

1) Zeichne die Graphen der Funktionen f(x) = - x³ und g(x) = - x5

in ein Koordinatensystema) Erläutere, welche Zusammenhänge zu den Graphen der Funktionen h(x) = x³ und k(x)= x5 bestehen.b) Bestimme jeweils den Definitionsbereich ID und den Wertebereich ID.

2) Zeichne die Graphen der Funktionen f(x) = - x² und g(x) = - x4

in ein Koordinatensystema) Was lässt sich aus der Zeichnung ersehen?b) Bestimme jeweils den Definitionsbereich ID und den Wertebereich ID.

Arbeitsaufträge: