Fuzzy ArithmetikFuzzy-Zahlen, Erweiterungsprinzip

Fuzzy-Zahlen

Fuzzy-ZahlenEin Spezialfall von Fuzzy-Mengen sind Fuzzy-Zahlen(Verallgemeinerung des Konzepts von Zahlen)

ungefhr 50km/h, etwa 2 Meter, circa 25C ...

Zwischen Fuzzy-Mengen sind nur logische Operationen (z.B. und, oder) mglich, fr Fuzzy-Zahlen sind zustzlich arithmetische Operationen (z.B. +, -, *, \, y=x2 etc.) mglich.

Eine Fuzzy-Zahl ist eine normalisierte, konvexe Fuzzy-Menge ber dem Raum der reellen Zahlen, wenn sie folgende Eigenschaften hat(1) A(x0)=1 fr genau ein x0, x0 heit dann Mittelwert(2) A ist stckweise stetig

Fuzzy-Zahlen

A x =0 x0

Eine Fuzzy-Zahl heit positiv, falls fr die Zugehrigkeitsfunktiongilt:

Entsprechend heit die Fuzzy-Zahl negativ.

0 1 2 3 4

x 0 1 2 3 4 x

1,01,0

5 6

konvex nicht konvex!

Fuzzy-IntervallFuzzy-Zahl

Darber hinaus kann jede reelle Zahl xeR als Spezialfall einer Fuzzy-Zahl aufgefasst werden ((x)=1, sonst 0)

Erweiterungsprinzip

ErweiterungsprinzipFundamentales Prinzip von Zadeh (1965) was die Anwendung klassischer mathematischer Konzepte auf Fuzzy-Mengen erlaubt.

Dadurch wird es u.a. mglich Abbildungs- und Funktionsbegriffe indie Fuzzy-Theorie hineinzutragen und Rechenregeln zwischen Fuzzy-Mengen zu definieren.

Definition: Es sei f eine klassische Funktionf : X Y

die zwischen den Grundmengen X und Y definiert ist. Ferner sei A eine ber der Grundmenge X definierte Fuzzymenge mit der Zugehrigkeitsfunktion A(x). Dann lsst sich die f -Erweiterung von Aerklren, indem man als Ergebnis eine neue Fuzzy-Menge B=f (A)

erhlt.

B y={ sup {Ax ; y= f x , xX }0 falls kein existiert, so dass xX f x = y

Erweiterungsprinzip(Zadeh 1965)

Einstellinge klassische Funktion: f : X Y ; y= f x

A Fuzzy-Menge ber endlichem X

Was versteht man unter f(A)?

f A y:= maxxX mit f x= y

A x

Existiert zu einem y kein Urbild, so wird der Zugehrigkeitswert 0 verwendet.

Die Fuzzy-Menge f(A) wird als f-Erweiterung von A bezeichnet.

Erweiterungsprinzip

B(y2)= max (0.4,0.5,0.3)

A={(x1,0.7),(x

2,0.1),(x

3,0.4),(x

4,0.5),(x

5,0.3)}

x1

x2

x3

x4

x5

y1

y2

y3

fX YY={ y

1 , y

2 , y

3}

B=f(A)={(y1,0.7),(y

3,0.1),(y

2,0.4),(y

2,0.5),(y

2,0.3)}

fr y2 nicht eindeutig !?

Erweiterungsprinzip

f x =x2

10

5

0 1 2 3 40,51,0

0 1 2 3 4

A(x)

y=f (x)

x

B(y)

Gesucht: Bild der Fuzzy-Zahl A = ungefhr 2

B = f (A)

1,0

Erweiterungsprinzip2-stellige Operationen

Definition: Seien A=A(X), B=B(Y) Fuzzy-Mengen und f : X Y Z mit f(x,y)=z eine klassische zweistellige Funktion. Als f-Erweiterungvon A,B wird die Fuzzy-Menge C=f(A,B) in folgender Weise erklrt:

x

und fr solche , die keine - Bilder sind

arithmetische Operationen

AB z = supz=x y

min { A x , B y }= sup

xmin { A x , B xz }

Addition

Subtraktion

AB z = supz=x y

min { A x , B y }= sup

xmin { A x , B zx }

arithmetische Operationen

Division A /B z = supz=x / y

min { A x , B y }= sup

xmin { A x , B x / z }

AB z = supz=xy

min { A x , B y }= sup

xmin { A x , B z / x }

Multiplikation

Fuzzy-Arithmetik

LR-Fuzzy-ZahlenDas Rechnen mit unscharfen Zahlen kann durch spezielle Forderungen vereinfacht werden.

Fuzzy-Zahlen in LR-Darstellung

linker Teilast und rechter Teilast

A x ={Lmx fr xmR xm fr xmMonotone Referenzfunktionen L(x), R(x)

LR-Fuzzy-ZahlenWerden Fuzzy-Zahlen in LR-Darstellung miteinander verknpft, lassen sich die Rechenergebnisse wieder im selben Schema darstellen.

hufigste Form sind LR-Zahlen vom Dreieckstyp(lineare Referenzfunktionen L,R)

0

(x)

x

1,0

m

A:=m , ,LRA

Fuzzy-Zahlenarithmetische Operationen

0

(x)

x

1,0 A B A+B

x y x+y

LR-Fuzzy-ZahlenAddition

zwei LR-Fuzzy-Zahlen

ABx ={ L mnx fr xmnR xmn fr xmnAB:= mn , , LR

A:= m , , LR B:=n , , LR

Negative LR-Fuzzy-Zahlund

Subtraktion

A:= m , , LR A:= m , , RL

A:= m , , LR B:= n , , RLAB:= mn , , LR

Multiplikation/DivisionMultiplikation, Inversion, Division ergeben im Allgemeinen keine Dreiecks-Fuzzy-Zahlen

knnen aber hufig durch Dreiecks-Fuzzy-Zahlen angenhert werden.

Erfordert geeignete Approximation

AA/BBA AA

Multiplikation/DivisionNherungsformeln :

AB:=mn , , LR