Fuzzy Logic Control - . Dr. D. Danziger und Prof. Dr. N. Wulff Fuzzy Logic Control 2 Fuzzy Theorie • Lofi Zadeh enwickelte 1967 die Fuzzy Theorie. • Er erweiterte die

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    06-Feb-2018

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<ul><li><p>Prof. Dr.-Ing. Doris DanzigerProf. Dr. rer. nat. Nikolaus Wulff</p><p>Fuzzy Logic &amp; Control</p><p>The more, the fuzzier...</p></li><li><p>2Prof. Dr. D. Danziger und Prof. Dr. N. Wulff Fuzzy Logic &amp; Control</p><p>Fuzzy Theorie</p><p> Lofi Zadeh enwickelte 1967 die Fuzzy Theorie. Er erweiterte die klassische Mengenlehre um den </p><p>Begriff der unscharfen Fuzzy Menge. Dies war notwendig, um Dinge unseres alltglichen </p><p>Lebens adquat beschreiben zu knnen: Die Menge Gro der groen Menschen.</p><p> Wann ist ein Mensch gro? Z.B. ab 1.80 m, was ist mit Menschen die 1.79 m gro sind? </p><p>Gehren diese zur Menge Gro oder sind sie Normal? Mit klassischen scharfen Menge lsst sich diese Frage nicht </p><p>vernnftig beantworten.</p></li><li><p>3Prof. Dr. D. Danziger und Prof. Dr. N. Wulff Fuzzy Logic &amp; Control</p><p>Scharf versus unscharf</p><p>1 1</p><p>Gro</p><p>1.80</p><p>Klein</p><p>1.50 1.801.50</p><p>Normal</p><p> Scharfe Einteilung erlaubt nur die Zugehrigkeit zu genau einer Menge.</p><p> Fuzzy Logik erlaubt die Mitgliedschaft in mehreren Mengen gleichzeitig.</p><p> Scharfe Klassifizierung fhrt zu Sprngen... Fuzzy Klassifizierung u. U. zu Mehrdeutigkeiten, </p><p>erlaubt jedoch stetige bergnge...</p><p>GroKlein Normal</p><p>x = 1.75x = 1.75</p></li><li><p>4Prof. Dr. D. Danziger und Prof. Dr. N. Wulff Fuzzy Logic &amp; Control</p><p>Fuzzy Menge</p><p> Eine Fuzzy Menge A ber einer Grundgesamtheit wird beschrieben durch ihre Zugehrigkeits-funktion A: [0,1], d.h. ein Element kann teilweise zur Menge A gehren, da nicht nur die Werte 0 und 1 angenommen werden.</p><p> Zadeh fhrte fr diskrete Mengen die Schreibweise</p><p> und fr kontinuierliche, unendliche Mengen</p><p> ein, wobei A/x nicht als Quotient zu lesen ist.</p><p>A={1/ x1 , ,m/ xm}j=1</p><p>m</p><p> j / x j</p><p>A=x A x/ x</p></li><li><p>5Prof. Dr. D. Danziger und Prof. Dr. N. Wulff Fuzzy Logic &amp; Control</p><p>Einfache Fuzzy Mengen</p><p> Gebruchliche Fuzzy Mengen sind: FuzzyTriangle (Dreieck) FuzzyTrapezoid (Trapez) FuzzyS, Z und P (Parabeln) FuzzyBell (Gausskurve) Fr diese lassen sich effiziente analytisch </p><p>auswertbare Formeln angeben und codieren.</p></li><li><p>6Prof. Dr. D. Danziger und Prof. Dr. N. Wulff Fuzzy Logic &amp; Control</p><p>FuzzySet Darstellung</p><p> Fuzzy Mengen werden hufig graphisch dargestellt, durch ihre Zugehrigkeitsfunktion.</p><p> Numerisch einfach sind Polygone: Triangle und Trapezoid, sowie Parabeln: FuzzyP, FuzzyZ, FuzzyS.</p><p>1.0</p><p>0.5</p><p>21 3 4 5 6 7</p><p>Die Menge etwa 4.7</p><p>Die Zahl 4gehrt zu 0,75</p><p>dazu..0.75</p></li><li><p>7Prof. Dr. D. Danziger und Prof. Dr. N. Wulff Fuzzy Logic &amp; Control</p><p>Fuzzy Mengen cont. Meist wird die Erweiterung von der zweielementigen </p><p>Menge {0,1} auf das Einheitsinterval als Tupel ange-geben und die Menge analytisch definiert: </p><p> Hufig wird A direkt mit der Zugehrigkeitsfunktion identifiziert.</p><p> hnlich wie ukasiewicz und Gdel, musste Zadeh fr seine Fuzzy Mengen die wichtigsten algebraische Eigenschaften neu definieren, wobei er sich vom Erweiterungsprinzip leiten lie: Fr die Belegungen 0 und 1 soll das klassische Ergebnis herauskommen.</p><p>A = { x ,A x x , 0Ax1 }</p><p>A xAx</p></li><li><p>8Prof. Dr. D. Danziger und Prof. Dr. N. Wulff Fuzzy Logic &amp; Control</p><p>Fuzzy Operationen</p><p> Im Folgendem seinen A und B Fuzzy Mengen ber derselben Grundgesamtheit .</p><p> A heit Teilmenge von B wenn</p><p> entsprechend ist die Gleichheit definiert:</p><p> Durchschnitt und Vereinigung zweier Mengen </p><p>AB A xB x x</p><p>AB A x=B x x</p><p>AB x = min A x ,B x x</p><p>AB x = max A x ,B x x</p></li><li><p>9Prof. Dr. D. Danziger und Prof. Dr. N. Wulff Fuzzy Logic &amp; Control</p><p>Bemerkung</p><p> Diese Definitionen von Vereinigung und Durch-schnitt sind nicht die einzig mglichen, viele andere sind je nach Verwendungszweck im Gebrauch. Mathematisch werden die fuzzyfizierten Junktoren durch drei Abbildungen beschrieben:</p><p> (AND) durch eine T-Norm: [0,1][0,1] [0,1]. (OR) durch eine S-Norm: [0,1][0,1] [0,1]. durch das C-Komplement: [0,1] [0,1]. Fordert man, dass die De-Morganschen Gesetze </p><p>gelten sollen, so sind hierbei nur zwei der drei Funktionen unabhngig T(x,y) = C(S(C(x),C(y))).</p></li><li><p>10Prof. Dr. D. Danziger und Prof. Dr. N. Wulff Fuzzy Logic &amp; Control</p><p>T- und S-Normen</p><p>Wichtige algebraische Eigenschaften von Normen: Randbedingung: T(x,1) = x Kommutativitt: T(x, y) = T(y, x) Monotonie: Fr y1 y2 gilt T(x, y1) T(x, y2)</p><p> Assoziativitt: T(x, T(y, z)) = T(T(x, y), z)</p><p> Randbedingung: S(x, 0) = x Kommutativitt: S(x, y) = S(y, x) Monotonie: Fr y1 y2 gilt S(x, y1) S(x, y2)</p><p> Assoziativitt: S(x, S(y, z)) = S(S(x, y), z)</p></li><li><p>11Prof. Dr. D. Danziger und Prof. Dr. N. Wulff Fuzzy Logic &amp; Control</p><p>Eigenschaften von Normen</p><p> Mehrwertige Normen lassen sich auf Grund der Assoziativitt rekursiv definieren:</p><p> Normen sind wahrheitserhaltend (truth-functional), d. h. W(AB) = T(W(A),W(B)) sowie</p><p> W(AB) = S(W(A),W(B))</p><p>T x1 , , xm:=T T x1 , , xm1 , xm</p><p>S x1 , , xm:=S S x1 , , xm1 , xm</p><p>T x1 , x2 , x3 :=T T x1 , x2 , x3</p><p>S x1 , x2 , x3 :=S S x1 , x2 , x3</p></li><li><p>12Prof. Dr. D. Danziger und Prof. Dr. N. Wulff Fuzzy Logic &amp; Control</p><p>Wichtige Fuzzy Normen</p><p> Zadeh MinMax Norm Tm und Sm:</p><p> Algebraisches Produkt / Summe Tp und Sp:</p><p> Beschrnkte Differenz / Summe TL und SL:</p><p> In all diesen Fllen gilt </p><p>ABx = minA x , B xABx = max A x , B x</p><p>ABx = A xB xABx = A xB xAxB x</p><p>ABx = max 0, A xB x1ABx = min1, A xB x</p><p>A x = 1A x</p></li><li><p>13Prof. Dr. D. Danziger und Prof. Dr. N. Wulff Fuzzy Logic &amp; Control</p><p> Zeigen Sie, dass wirklich C(A(x)) = 1 A(x) gilt. Zeigen Sie TL TP Tm Sm SP SL.</p><p> Berechnen Sie Tm und Sm fr mehr als 2 Argumente.</p><p> Berechnen Sie TP und SP fr mehr als 2 Argumente.</p><p> Berechnen Sie TL und SL fr mehr als 2 Argumente.</p><p>Bemerkung: Im JEFIS Projekt sind verschiedene Normen bereits </p><p>implementiert und alle Fuzzy Sets knnen damit parametrisiert werden. Schauen Sie sich die API an.</p><p>bungen</p></li><li><p>14Prof. Dr. D. Danziger und Prof. Dr. N. Wulff Fuzzy Logic &amp; Control</p><p>Fuzzy Basics</p><p> Als Trger (engl. Support) einer Fuzzy Menge A wird die Menge </p><p> bezeichnet. Ein -Schnitt ist die Niveau Menge </p><p> Das 1-Niveau heit Kern der Fuzzy Menge A.</p><p> Trger, Schnitt und Kern sind klassische, scharfe Mengen mit Zugehrigkeit 0 oder 1!</p><p>supp A = { x A x0 }</p><p>A = { x A x }</p><p>kernA = { x A x=1 }A1</p></li><li><p>15Prof. Dr. D. Danziger und Prof. Dr. N. Wulff Fuzzy Logic &amp; Control</p><p>Fuzzy Zahlen</p><p> Durch Fuzzy Mengen lassen sich unscharfe Fuzzy Zahlen definieren, wie z.B. etwa drei.</p><p> Eine Fuzzy Zahl hat eine konvexe Zugehrig-keitsfunktion, die genau in einem Punkt den Wert ()=1 besitzt, d.h. der Kern kern() hat eine scharfe Singularitt an der Stelle .</p><p> Der Trger supp() beschreibt die Unschrfe um den Punkt .</p><p> Fuzzy Zahlen sollen die selben arithmetischen Operationen erlauben, wie die reellen Zahlen, allerdings unter Bercksichtigung des Trgers.</p></li><li><p>16Prof. Dr. D. Danziger und Prof. Dr. N. Wulff Fuzzy Logic &amp; Control</p><p>Fuzzy Arithmetik Gegeben zwei Fuzzy Zahlen A und B, stellt sich die </p><p>Frage der Berechnung von Addition: C = A B Subtraktion: C = A B Multiplikation: C = A B Division: C = A B Eine effiziente Approximation lsst sich mittels </p><p>Fehlerfortpflanzung finden (hier nur symmetrisch): C = (A) (B) = (A+B) (+) C = (A) (B) = (A*B) (B*+A*) C = (A) (B) = (A/B) (B*+A*)/B2</p></li><li><p>17Prof. Dr. D. Danziger und Prof. Dr. N. Wulff Fuzzy Logic &amp; Control</p><p>Beispiele fr Fuzzy Arithmetik</p><p> Visualisierung der Fuzzy Zahlen Arithmetik, deutlich ist die Verbreiterung des Trgers zu erkennen, whrend der Kern den normalen Rechenregeln gengt. Die Fuzzy Arithmetik ist jedoch kein Krper, da i.A. AA-1 1 1 </p><p>1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15</p><p>3 5 3 53 53 53 5</p></li><li><p>18Prof. Dr. D. Danziger und Prof. Dr. N. Wulff Fuzzy Logic &amp; Control</p><p>Fuzzy Vergleich</p><p> Wie gro ist der Wahrheitsgehalt der Aussage A ist (ungefhr) gleich B, d.h. W(AB)?</p><p> Nach dem Zadehschen Erweiterungsprinzip ist dies gleich dem Wert der maximalen bereinstimmung von A und B.</p><p> Fr eine Singleton-Menge A(x) (x0 ) reduziert sich dies fr jede(!) T-Norm zu:</p><p>W AB = supx</p><p>A xB x</p><p>W x0B = supx</p><p>T x0 , B x=B x0</p></li><li><p>19Prof. Dr. D. Danziger und Prof. Dr. N. Wulff Fuzzy Logic &amp; Control</p><p>Fuzzy Vergleich cont.</p><p> Ist A kein Singleton so muss das Supremum der Norm explizit ausgewertet werden, z.B. fr MinMax:</p><p>W AB = supx</p><p>A xB x</p><p>W AB = supx</p><p>min A x , B x= x0</p><p>x0</p><p>(x0)</p><p>1</p><p>(x)A B</p></li><li><p>20Prof. Dr. D. Danziger und Prof. Dr. N. Wulff Fuzzy Logic &amp; Control</p><p>bung</p><p> Berechnen Sie fr welche der drei Normen Tm, TP und TL der Satz vom Widerspruch und der tertium non datur verletzt sind und fr welche nicht.</p><p> Wie lautet die Formel fr den Vergleich wenn die Produkt Norm TP verwendet wird?</p><p> Wie gro ist der Wahrheitswert (x0) fr den Ver-gleich zweier gegebener Dreiecks Fuzzy Mengen A und B unter Verwendung der Tm und TP Norm?</p><p>Fuzzy Logicfuzzy setsFolie 3Folie 4Folie 5Folie 6Folie 7Folie 8Folie 9Folie 10Folie 11Folie 12Folie 13Folie 14Folie 15Folie 16Folie 17Folie 18Folie 19Folie 20</p></li></ul>

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