Fuzzy Logic & Control - Prof. Dr. D. Danziger und Prof. Dr. N. Wulff Fuzzy Logic & Control 13 Fuzzy

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  • Prof. Dr.-Ing. Doris Danziger Prof. Dr. rer. nat. Nikolaus Wulff

    Fuzzy Logic & Control

    Warum einfach, wenn es auch schwer geht?

  • 2Prof. Dr. D. Danziger und Prof. Dr. N. Wulff Fuzzy Logic & Control

    Fuzzy Prädikatenlogik

    • Die Prädikatenlogik erweitert die Aussagenlogik mit den Junktoren ∧,∨ und ¬ um den Existenz- quantor ∃ und den „Für Alle“-Quantor ∀.

    • Dies gestattet Aussagen der Form „es gibt ein x mit der Eigenschaft P(x)“ oder „für alle x gilt P(x)“.

    • Wahrheitswerte τ (truth values) von Aussagen die Quantoren enthalten lassen sich üblicherweise bestimmen als:

    ∀ x : P  x = inf x∈

    {P x }

    ∃ x : P  x = sup x∈

    {P x }

  • 3Prof. Dr. D. Danziger und Prof. Dr. N. Wulff Fuzzy Logic & Control

    Fuzzy Relationen

    • Es seien Ω und Ψ zwei Mengen. Das Kreuzprodukt ΩΨ ist die Menge aller geordneten Tupel (x,y) mit x ∈ Ω und y ∈ Ψ . Eine fuzzy Relation R(x,y) ist eine Teilmenge R ⊆ ΩΨ mit Werten in [0,1], welche die Beziehung zwischen x und y beschreibt. – Für diskrete Mengen lässt sich R als fuzzy Matrix

    schreiben.

    • Relationen lassen sich verketten. Sei Ξ eine weitere Menge und U(y,z) eine Relation auf ΨΞ dann gilt für die Relation V = R°U mit V(x,z) ⊆ ΩΞ:

    V x , z = sup y∈

    R x , y∧U  y , z

  • 4Prof. Dr. D. Danziger und Prof. Dr. N. Wulff Fuzzy Logic & Control

    Bemerkungen: Fuzzy Relationen

    • Bei diskreten Mengen kann die Verkettung durch die Matrizenmultiplikation abgebildet werden. – Die Elemente ajk sind Wahrheitswerte. Die Multi-

    plikation wird per AND- und die Addition per OR- Verknüpfung berechnet. Meistens max-min...

    • Der Fuzzy Vergleich ist ein Beispiel für eine Equivalenzrelation ≃ R(Ω,Ω). Ähnliche Relationen sind

  • 5Prof. Dr. D. Danziger und Prof. Dr. N. Wulff Fuzzy Logic & Control

    Fuzzy Vergleich als Relation

    • Wie groß ist der Wahrheitsgehalt der Aussage A ist (ungefähr) gleich B, d.h. τ(A≃B)?

    • Nach dem Zadehschen Erweiterungsprinzip ist dies gleich dem Wert der maximalen Übereinstimmung von A und B.

    • Der Wahrheitsgehalt von W(A≃B) ist bei dem Wert x0 mit der größtmöglichen Übereinstimmung von A und B gegeben, z. B mit dem Min-Operator bei dem größten Wert für den A(x0)=B(x0) gilt.

    A≃B = sup x∈

    A x∧B  x

  • 6Prof. Dr. D. Danziger und Prof. Dr. N. Wulff Fuzzy Logic & Control

    Fuzzy Logik • Ein Objekt x gehört nicht nur eindeutig zu einer

    Menge A, sondern kann auch zugleich zu deren Komplement gehören, falls

    • •

    • Dies bedeutet in der Fuzzy-Logik gilt kein Satz vom Widerspruch (dies hängt von der T-Norm ab!):

    • •

    • Auch der Satz vom ausgeschlossenem Dritten ist nicht mehr uneingeschränkt gültig:

    A x ∉ {0,1 }

    ∃ x∈ : ¬A x∧ A x ≠0

    ∃ x∈ : ¬A x ∨ A x ≠1

  • 7Prof. Dr. D. Danziger und Prof. Dr. N. Wulff Fuzzy Logic & Control

    Unscharfe Logik

    • Klassische Logik kennt nur die Werte 0 oder 1. • Fuzzy Logik definiert Wahrheitsgehalt als Menge mit

    einer Zugehörigkeit μw(x) ∈[0,1] mit μf = ¬μw = 1 - μw • Epimenides: μw = μf  1 - μw  μw = 0.5

    wahrfalsch

    1.0

    wahrfalsch

    1.0

    wf

    0.5

    „jein“

    Klassische Logik Fuzzy Logik 

  • 8Prof. Dr. D. Danziger und Prof. Dr. N. Wulff Fuzzy Logic & Control

    Vergleich Fuzzy Logik & Control

    • Wodrin liegt der wesentliche Unterschied zwischen logischen Aussagen und Fuzzy Reglern?

    • Regler arbeiten meist auf einer Strecke mit scharfen Eingängen und Rückführung der defuzzifizieren Ausgangs.

    • Fuzzy Logik benötigt Algorithmen, die mit Fuzzy Mengen Mehrfachverkettungen ermöglichen, ohne sofortiger Defuzzifizierung und Rückführung.

    • Logik System müssen daher mit unscharfen Fuzzy Mengen und nicht nur auf scharfen Eingangswerten operieren können!

  • 9Prof. Dr. D. Danziger und Prof. Dr. N. Wulff Fuzzy Logic & Control

    Kühlung mit „scharfer Regelung“ Das Beispiel einer Kühlung soll den Vorteil von Fuzzy Regeln erläutern. • Häufig sind scharfe Regeln unangemessen:

    R1 if (temp

  • 10Prof. Dr. D. Danziger und Prof. Dr. N. Wulff Fuzzy Logic & Control

    Scharfe Laptop Kühlung

    30 60 90 120 T /°C

    off

    low

    high

    very high

    Fan current

    AC/DC

    • 59°C  „low“ jedoch 61°C  „high“ unstetig. • Kühlung wird bei 60°mit „low-high“ oszillieren.

    0 mA

    50 mA

    100 mA

    150 mA

  • 11Prof. Dr. D. Danziger und Prof. Dr. N. Wulff Fuzzy Logic & Control

    Regeln mit linguistischen Variablen

    • Die Regeln werden „unscharf“ formuliert:

    • „off“, „low“, „high“ etc. bezeichnen linguistische Variablen, die durch Fuzzy Mengen beschrieben werden.

    R1 if „very cold“ then „fan off“ R2 if „cold“ then „fan low“ R3 if „warm or hot“ then „fan high“ R4 if „hot“ then „fan very high“

  • 12Prof. Dr. D. Danziger und Prof. Dr. N. Wulff Fuzzy Logic & Control

    • 59°C  • 61°C

    Linguistische Variablen

    30 60 90 120 T /°C

    off

    0.5

    1.0

    ( )T very hot hot warm cold

    Fuzzyfizierung

    Zuordnung der Temperatur zu den Fuzzy Mengen...

  • 13Prof. Dr. D. Danziger und Prof. Dr. N. Wulff Fuzzy Logic & Control

    Fuzzy Fan Status

    • 59°C low  high = 98 mA • 61°Chigh  very =102 mA

    Dieselben „sprunghaften Regeln“ erlauben unscharf formuliert eine stetige Regelung!

    Defuzzifizierung

    50 100 150 Fan current I/mA off

    0.5

    1.0

    (I)

    200

    very high high lowoff

  • 14Prof. Dr. D. Danziger und Prof. Dr. N. Wulff Fuzzy Logic & Control

    Truth Value

    • Der Wahrheitswert τ(A) wird in der Fuzzy Logik mit dem Grad an Zugehörigkeit τ(A)(x) = μA(x) zur Fuzzy Menge A identifiziert. Kleinbuchstaben stehen häufig für den jeweiligen Wahrheitswert.

    • In einer Regel „if x ∈ P then y ∈ Q“, wird der Implikationsoperator I(p, q) nur aus den Wahrheits- werten p und q der Prämisse und Implikation für eine gewählte Belegung (x,y) berechnet:

    PQ = I  p , q p :=P  x q :=Q  y

  • 15Prof. Dr. D. Danziger und Prof. Dr. N. Wulff Fuzzy Logic & Control

    Fuzzy Implikation

    • Die Übersetzung der klassischen Implikation in eine Fuzzy Logik ist nicht eineindeutig. Es gibt mehrere Vorschläge für die Implikation P → Q:

    • Obige Formeln, sind abgeleitet mit Min-Max als t- und s-Norm, auch dies ist frei wählbar! Allgemein wird P → Q mit einer Funktion I(p,q) berechnet.

    PQ ⇔ ¬P∨Q ⇔ ¬P∨P∧Q

    PQ = max 1− p ,q

    PQ = max 1− p ,min  p , q

    „klassisch wahr“

    0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1

    P→QP Q

  • 16Prof. Dr. D. Danziger und Prof. Dr. N. Wulff Fuzzy Logic & Control

    Implikationsoperatoren

    • Bereits bei der klassischen Implikation, gibt es verschiedene Definitionen, entsprechend existieren unterschiedliche Varianten des fuzzifizierten Implikationsoperators, z.B. Gödel, Łukasiewicz.

    • Für den Schluss P∧(P → Q), mit approximativer Prämisse , soll als Konklusion erfolgen:

    • Mamdani ersetzt (P → Q) durch min(P,Q) und • Larsen wählt das Produkt (P → Q) = P*Q. • Beide sind für P=0 falsch(!) da klassisch I(0,Q)=1.

    PQ = min 1,1− pq

    Q = P∧PQ Q≃QP≃P

  • 17Prof. Dr. D. Danziger und Prof. Dr. N. Wulff Fuzzy Logic & Control

    Mamdani Approximation

    • Die Rechtfertigung für die Vereinfachung nach Mamdani/Larsen lautet, in einem Expertensystem wird eine Regel mit τ(P)=0 nicht feuern und der „falsche Implikationsoperator“ trägt nichts zum Ergebniss bei...

    • Hierdurch „vereinfacht“ sich der Ausdruck für die Implikation

    auf Grund der Assoziativität von ∧ zu: Q ≈ P∧P

    =: q

    ∧Q = q∧Q

    Q = P∧PQ

  • 18Prof. Dr. D. Danziger und Prof. Dr. N. Wulff Fuzzy Logic & Control

    Der generalisierte Modus Ponens

    • Die klassische Implikation in fuzzyfizierter Version lautet:

    – – –

    • Im Fall der vereinfachten Mamdani Implikation mit MinMax Norm ergibt dies:

    Q  y = min p ,Q  y

    p = sup x∈