43
Fuzzy Logik, Franka Zander, Dezember 2004 Fuzzy Logik

Fuzzy Logik -  · Fuzzy Logik, Franka Zander, Dezember 2004 3/43 1.1 Einleitung Fuzzy – unscharf, verschwommen, vage Seit ca. 1965 entwickelte sich Zweig der Angewandten

  • Upload
    others

  • View
    3

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Fuzzy Logik, Franka Zander, Dezember 2004

Fuzzy Logik

Fuzzy Logik, Franka Zander, Dezember 2004 2/43

Inhaltsverzeichnis1. Unscharfe Mengen

1.1 Einleitung1.2 Unscharfe Mengen und deren Verknüpfung1.3 Unscharfe Zahlen

2. Unscharfe Logik und Steuerung2.1 Fuzzifizierung2.2 Inferenz2.3 Defuzzifizierung

3. Unscharfe Arithmetik3.1 Verknüpfung unscharfer Zahlen3.2 Größenvergleich unscharfer Zahlen

Fuzzy Logik, Franka Zander, Dezember 2004 3/43

1.1 EinleitungFuzzy – unscharf, verschwommen, vageSeit ca. 1965 entwickelte sich Zweig der Angewandten Mathematik („Fuzzy-Methoden“, L. A. Zadeh)Vollständige Messbarkeit nicht möglich → subjektive Beurteilung nötig

Fuzzy Logik, Franka Zander, Dezember 2004 4/43

Beispiele unscharfer Begriffe:Ausreichende Festigkeit eines WerkstoffesGesundheitsschädliche StrahlendosisGünstiger KursX und Y sind fast gleichNormale Betriebstemperatur

Fuzzy Logik, Franka Zander, Dezember 2004 5/43

Möglichkeiten im Falle einer unscharfen Situation:1) Verzicht auf rationale Modellierung2) Verwendung von scharfen Modellen3) Einsatz von unscharfen Methoden, die die Unschärfe

zum Gegenstand der Modellierung machen → Robustheit der Ergebnisse

Fuzzy Logik, Franka Zander, Dezember 2004 6/43

Beispiel einer unscharfen Schlussweise:Die meisten Schweden sind großDie meisten Schweden sind blondNils ist Schwede

→ Nils ist wahrscheinlich groß und blond

Fuzzy Logik, Franka Zander, Dezember 2004 7/43

Mit stochastischen Methoden behandelt:90 % der Schweden sind ≥ 175 cm90 % der Schweden sind „blond“

→ P(„blond“ und „≥ 175“) = 81 %→ Nils ist mit 81 % Wahrscheinlichkeit groß und

blondMerkmale „groß“ und „blond“ müssen scharf definiert werdenEs gehen statistische Zusatzannahmen ein (hier: Unabhängigkeit der Merkmale „groß“ und „blond“)

Fuzzy Logik, Franka Zander, Dezember 2004 8/43

Beispiel einer Steuerung mit scharfen Angaben:Gehe 497 m geradeaus bis zur Straßenkreuzung mit 16,5 m DiagonaleSchwenke 87° gegen UhrzeigersinnGehe weitere 6% der zurückgelegten DistanzBis zum Bauwerk, das Licht von 520 nm Wellenlänge ausstrahlt

Fuzzy Logik, Franka Zander, Dezember 2004 9/43

Beispiel der Steuerung mit unscharfen Angaben:Gehe ca. einen halben Kilometer bis zur KreuzungDann linksDann noch eine kurze DistanzBis zum grünen Haus

Fuzzy Logik, Franka Zander, Dezember 2004 10/43

Unscharfe Steuerung ist in unscharfen Situationen robuster → wird großtechnologisch eingesetztAnwendungsbeispiele sind Fuzzy-Steuerungen bei:

WaschmaschinenKlimaanlagenCamcordern und KamerasStaubsaugernU-Bahn in Sendai (Japan), seit 1987 in Betrieb

Fuzzy Logik, Franka Zander, Dezember 2004 11/43

1.2 Unscharfe Mengen und deren Verknüpfung

„Ein Argument, das nur überzeugt, wenn es präzise ist, verliert alle Kraft, wenn die Annahmen, auf denen es beruht, leicht geändert werden; ein unpräzises aber überzeugendes Argument bleibt eher stabil unter Änderung der zugrundeliegenden Axiome“ (J. Schartz, 1962)

Fuzzy Logik, Franka Zander, Dezember 2004 12/43

Klassische Mengenlehre:Teilmenge A von X ist eine Ansammlung von gewissen Elementen von XVon jedem Element steht fest, ob es zu A gehört oder nichtZugehörigkeitsfunktion:

mA(x) = 1, wenn x zu A gehörtmA(x) = 0, wenn x nicht zu A gehört

Fuzzy Logik, Franka Zander, Dezember 2004 13/43

Beispiel:X ist Menge der reellen ZahlenMenge A – alle reellen Zahlen kleiner oder gleich 8

Fuzzy Logik, Franka Zander, Dezember 2004 14/43

Unscharfe Mengenlehre:Auch graduelle Zugehörigkeitsfunktionen zulassenUnscharfe Teilmenge A von X wird durch Zugehörigkeitsfunktion mA(x) auf X zu beschreiben sein, die beliebige Werte annehmen kannNormierung: 0 ≤ mA(x) ≤ 1mA(x) wird als Zugehörigkeitsgrad von x zur Menge A interpretiert

Fuzzy Logik, Franka Zander, Dezember 2004 15/43

Beispiel:Bestimmter Messwert soll die Sicherheitsgrenze von 8 nicht überschreitenMenge der Messwerte im sicheren Bereich:

Fuzzy Logik, Franka Zander, Dezember 2004 16/43

A, B seien unscharfe Mengen mit Zugehörigkeitsfunktionen mA(x), mB(x)Unscharfer Durchschnitt A∩B:

mA∩B(x) = min (mA(x), mB(x))Unscharfe Vereinigung A∪B:

mA∪B(x) = max (mA(x), mB(x))

Fuzzy Logik, Franka Zander, Dezember 2004 17/43

A – Menge der „Messwerte im sicheren Bereich“B – Menge der „Messwerte in der Nähe von 10“

Zugehörigkeitsfunktion mA∩B(x):

Zugehörigkeitsfunktion mA∪B(x):

Fuzzy Logik, Franka Zander, Dezember 2004 18/43

1.3 Unscharfe ZahlenUnscharfe Zahl a:

Spezielle unscharfe Menge von Zahlen mit einer Zugehörigkeitsfunktion mA(x)Funktion hat linken ansteigenden Bereich, einen eindeutigen zentralen Wert z mit mA(x) = 1 und einen rechten abfallenden BereichFunktion ist oberhalbstetig

Fuzzy Logik, Franka Zander, Dezember 2004 19/43

Sprechweise: „eine Zahl ungefähr gleich z“Die ansteigenden bzw. abfallenden Teile können linear, quadratisch, exponentiell sein; begrenzt oder ins Unendliche reichend; symmetrisch oder unsymmetrischZentraler Plateaubereich:

Fuzzy Logik, Franka Zander, Dezember 2004 20/43

Rechteckszahlen: a = ⟨aL,aR⟩

Dreieckszahlen: a = ⟨aL,aM,aR⟩

Fuzzy Logik, Franka Zander, Dezember 2004 21/43

Günstig, wenn keine besondere Information über die Art der Unschärfe vorliegtFälle aL = aM oder aM = aR sind zugelassenaL = aM = aR → scharfe Zahl als Spezialfall

Fuzzy Logik, Franka Zander, Dezember 2004 22/43

Trapezzahlen: analog Dreieckszahlen, jedoch mit zentralem Plateaubereich, also von der Form a = ⟨aL,aML,aMR,aR⟩

Fuzzy Logik, Franka Zander, Dezember 2004 23/43

Polygone Zahlen: sind durch Niveaus 0 = α0 < α1 < ... < αn und Knickpunkte aL0 ≤ aL1 ≤ ... ≤ aLn ≤ aRn ≤ ... ≤ aR1 ≤aR0 mit m(aLi) = m(aRi) = αi charakterisiert

Fuzzy Logik, Franka Zander, Dezember 2004 24/43

Quadratische Zahlen: Begrenzungen durch Parabelbögen gegeben

Fuzzy Logik, Franka Zander, Dezember 2004 25/43

2. Unscharfe Logik und Steuerung 2.1 Fuzzifizierung

Für V = 90 km/h gilt:mVmittel(90) = 3/4, mVgroß(90) = 1/4

Fuzzy Logik, Franka Zander, Dezember 2004 26/43

Für den Abstand von 100 m gilt:mAklein(100) = 2/3, mAmittel(100) = 1/3

Fuzzy Logik, Franka Zander, Dezember 2004 27/43

2.2 InferenzMehr als eine Eingangsvariable → deren Kombination („Aggregation“) muss festgelegt werden (Zugehörigkeitsgrad der Verknüpfungen „und“und „oder“)

Fuzzy Logik, Franka Zander, Dezember 2004 28/43

Kernstück der Fuzzysteuerung – Liste der Schlussregeln

Fuzzy Logik, Franka Zander, Dezember 2004 29/43

Schlussfolgerung erhält denselben Zugehörigkeitsgrad wie die PrämissePrämissen:

mP2(90, 100) = min(3/4, 2/3) = 2/3 (mittel)mP3(90, 100) = min(3/4, 1/3) = 1/3 (klein)mP4(90, 100) = min(1/4, 2/3) = 1/4 (groß)mP5(90, 100) = min(1/4, 1/3) = 1/4 (mittel)

Tritt dieselbe Schlussfolgerung mehrmals auf → Maximum der Zugehörigkeitsgrade

Fuzzy Logik, Franka Zander, Dezember 2004 30/43

Bremsdruck:mBklein = 1/3 (aus P3)mBmittel = max(2/3, 1/4) = 2/3 (aus P2 und P5)mBgroß = 1/4 (aus P4)

Fuzzy Logik, Franka Zander, Dezember 2004 31/43

2.3 DefuzzifizierungSteuerinstrument verlangt scharfe AnweisungSchwerpunkt der Fläche unter dem Zugehörigkeitsgrad verwenden → 1,9 bar

Fuzzy Logik, Franka Zander, Dezember 2004 32/43

3. Unscharfe Arithmetik3.1 Verknüpfung unscharfer Zahlen

a) RechteckszahlenSumme und Differenz zweier Rechteckszahlen a = ⟨aL, aR⟩, b = ⟨bL, bR⟩ ist wieder eine RechteckszahlSumme: ⟨aL, aR⟩ + ⟨bL, bR⟩ = ⟨aL + bL, aR + bR⟩Differenz: ⟨aL, aR⟩ – ⟨bL, bR⟩ = ⟨aL – bR, aR – bL⟩

Fuzzy Logik, Franka Zander, Dezember 2004 33/43

Zahlenbeispiel:

Fuzzy Logik, Franka Zander, Dezember 2004 34/43

b) DreieckszahlenSumme und Differenz zweier Dreieckszahlen a = ⟨aL, aM, aR⟩, b = ⟨bL, bM, bR⟩ ist wieder eine DreieckszahlSumme: ⟨ aL, aM, aR ⟩ + ⟨ bL, bM, bR ⟩ = ⟨aL + bL, aM + bM, aR + bR⟩Differenz: ⟨ aL, aM, aR ⟩ – ⟨ bL, bM, bR ⟩ = ⟨aL – bR, aM – bM, aR – bL⟩

Fuzzy Logik, Franka Zander, Dezember 2004 35/43

Zahlenbeispiel:

Fuzzy Logik, Franka Zander, Dezember 2004 36/43

c) TrapezzahlenSumme und Differenz zweier Trapezzahlen a = ⟨aL, aML, aMR, aR⟩, b = ⟨bL, bML, bMR, bR⟩ ist wieder eine TrapezzahlSumme: ⟨ aL, aML, aMR, aR ⟩ + ⟨ bL, bML, bMR, bR ⟩= ⟨aL + bL, aML + bML, aMR + bMR, aR + bR⟩Differenz: ⟨ aL, aML, aMR, aR ⟩ – ⟨ bL, bML, bMR, bR ⟩= ⟨aL – bR, aML – bMR, aMR – bML, aR – bL⟩

Fuzzy Logik, Franka Zander, Dezember 2004 37/43

Zahlenbeispiel:

Fuzzy Logik, Franka Zander, Dezember 2004 38/43

Addition und Subtraktion von polygonen Zahlen erfolgt analogIm Allgemeinen ist (a – b) + b ≠ a

→ unscharfe Addition und Subtraktion haben nicht alle gewohnten algebraischen Eigenschaften

Fuzzy Logik, Franka Zander, Dezember 2004 39/43

3.2 Größenvergleich unscharfer ZahlenKeine natürliche Anordnung

mmax(a,b)(x) = sup min(ma(y), mb(z))x=max(y,z)

Fuzzy Logik, Franka Zander, Dezember 2004 40/43

Seien a = ⟨aL, aM, aR⟩, b = ⟨bL, bM, bR⟩ zwei Dreieckszahlen und a ≤ b falls gilt:

aL ≤ bL, aM ≤ bM, aR ≤ bR

→ es gibt unvergleichbare Zahlen, für die weder a ≤ b noch b ≤ a gilt

Fuzzy Logik, Franka Zander, Dezember 2004 41/43

Dreieckszahl c heißt Supremum von a und b, c = sup(a,b) falls gilt:

i) a ≤ c und b ≤ cii) c ist die kleinste Dreieckszahl mit dieser Eigenschaft

→ sup(a,b) = ⟨max(aL,bL), max(aM,bM), max(aR,bR)⟩

Fuzzy Logik, Franka Zander, Dezember 2004 42/43

Beispiel: a = ⟨3,5,8⟩, b = ⟨2,6,7⟩; sup(a,b) = ⟨3,6,8⟩

Fuzzy Logik, Franka Zander, Dezember 2004 43/43

Vielen Dank für eure Aufmerksamkeit!