Gams Skript Uebung 140507 - TU Dresden

GAMS-Übung

Fakultät Verkehrswissenschaften „Friedrich List“ Institute of Logistics and Aviation

Professur für Betriebswirtschaftslehre, insb. Verkehrsbetriebslehre und Logistik

Dipl.-Wirt.-Inf. Andrea Förster

TU Dresden, 14.05.2007 © Andrea Förster, TU Dresden Folie 2

Agenda

1: Allgemeines

2: Modellierung von Entscheidungsproblemen

3: Überführung formaler Entscheidungsmodelle in GAMS-Syntax

4: Lösen von Modellen mit GAMS

5: GAMS-Output: Listing

6: Weitere Aspekte

7: Ablaufgestaltung in GAMS (Schleifen, Bedingungen)

8: Gestaltung eigener Ausgabedateien

9: Häufige Fehlermeldungen und mögliche Ursachen


1: Allgemeines


• GAMS = General Algebraic Modeling System

• Merkmale einer deklarativen Programmiersprache:

Beschreibung eines mathematischen Modells

indizierte Variablen und Gleichungen in relationaler Algebra

• Merkmale einer prozeduralen Programmiersprache:

Bedingungen: if-else

Schleifen: loop, while, repeat

1. Allgemeines

GAMS

• aktuelle Version: GAMS Distribution 22.4, Feb 14, 2007

• algebraische Modellierungssprache


• weitere Informationen und Möglichkeit zum Download einer

Demoversion (Größe lösbarer Modelle ist begrenzt) unter:

www.gams.com

1. Allgemeines

GAMS

• Dokumentation in GAMS (auch zum Download, s. Literatur):

• GAMS IDE (Integrated Development Environment)(downloadbar, bzw. Menü Help – Help Topics)

• GAMS - A User´s Guide (Menü Help – GAMS Users Guide)

• A GAMS Tutorial (2. Kapitel des GAMS User´s Guide)

• Sammlung verschiedener Modelle – Model Library (Menü File – Model Library)

• McCarl Guide (Menü Help – McCarl Guide)


GAMSIDE starten (Windows)

Start Programme gamsideo. ä. Pfad (je nach Installation)

neues Projekt anlegen

Projekte sollten alle zusammengehörigen Dateien zusammenfassen. An dem Ort, wo die aktuelle Projektdatei (Dateiendung .gpr) liegt, werden die Ausgabedateien u. ä. (.lst, .log) standardmäßig abgelegt.

File Project New Project

1. Allgemeines

bestehendes Projekt öffnen

File Project Open Project

Projektdateien haben die Dateiendung .gpr.

zurzeit aktuelles Projekt


Neue Eingabedatei anlegen (Dateiendung .gms)

Menü File New

Menü File Save as (wo .gpr-Datei)

1. Allgemeines


2: Modellierung von Entscheidungsproblemen


KonstruktionReale Welt Modellwelt

ProblemMathematisches

Modell

Modell

vereinfachtes Abbild eines realen Problems oder Systems

Mathematisches Modell

vereinfachtes Abbild eines realen Problems, das in mathematischen Symbolen und Termen ausgedrückt wird

Entscheidungs-/Optimierungsmodell

formale Darstellung eines Entscheidungs- oder Planungsproblems, das in seiner einfachsten Form mindestens eine Menge von Alternativen und eine zu bewertende Zielfunktion enthält

Domschke (2005), S. 3

2. Modellierung von Entscheidungsproblemen



Ein Binnenschiffer hat die Möglichkeit, in Dresden Schüttgut zu laden.

Die einzelnen Produkte unterscheiden sich hinsichtlich des Volumens, des

Gewichts und der maximal zu transportierenden Menge in .

Insgesamt besteht die Möglichkeit Ladung bis zu 200 (Volumen) und

bis zu 200 (Gewicht) aufzunehmen.

3mt

Produktbezeichnung

6229364235Erlös in Euro pro

70508011090Max. Ladung

2.21.31.71.91.5Volumen in pro

EDCBA

Aufgrund technischer Rahmenbedingungen können maximal nur drei Aufträgeangenommen werden.

3m

t

ttt


Reales Problem Mathematisches Modell

Zielfunktion

Ziel:= Gesamterlös aus der Fahrt

maximieren

= Schiffsbeladung-Auftragsannahme

= Schiffsbeladung –Auftragsannahme

Gegebene Daten Gegebene Daten (Parameter)

- Volumen des Schiffes

- Tragfähigkeit des Schiffes

zu beachten:

- max. Auftragsanzahl


Restriktion

Restriktion

Restriktionssystem

Restriktion

Definition der verwendeten Symbole (Parameter, Variablen)


Gegebene Daten

- Mengen, Parameter -



Menge J („Behältnis“)


ACB E

DJA∈

Produkt A gehört zur Menge J = istElement der Menge J

Zusammenfassung der Produkte A, B, C, D und E zu einer

Produktmenge J

Relevante Daten der Produkte

Mengen

Produktmenge Jj∈J

},,,,{ EDCBAJ =Elemente der Menge J:

GJG∉

j Element der Menge J


t


Ein Binnenschiffer hat die Möglichkeit, in Dresden Schüttgut zu laden. Die

einzelnen Produkte unterscheiden sich hinsichtlich des Volumens, des




3m

Produktbezeichnung




EDCBA


3m

t

ttt



Parameter

Erlös, Volumen und verfügbare Lademenge sind abhängig vom

jeweiligen Produkt Index j

CB

D

J

jejvjL

A

E

Erlös des Produkts A: 35 t/€Erlös des Produkts E: 62 t/€

Volumen des Produkts E: 2.2 tm /3

Max. Lademenge des Produkts E: 70 t

Max. Lademenge des Produkts A: 90 t

Volumen des Produkts A: 1.5 tm /3

Erlös pro Tonne des Produkts

Volumen pro Tonne des Produkts

verfügbare Lademenge von Produkt ][t]/[ 3 tm

]/[€ tjj

j


Ein Binnenschiffer hat die Möglichkeit, in Dresden Schüttgut zu laden. Die

einzelnen Produkte unterscheiden sich hinsichtlich des Volumens, des




3m

Produktbezeichnung




EDCBA



3m

t

ttt

t



Parameter - Fortsetzung

max. 200 (Gewicht)

max. 200 (Volumen)

Relevante (technische) Daten des Binnenschiffs

t

3m

http://www.river-liners.de.vu/

GRA

max. 3 Aufträge

maximale Tragfähigkeit des Binnenschiffs (Gewicht)

Volumen des Binnenschiffs

maximale Anzahl annehmbarer Aufträge

][t][ 3m


Gesuchte Unbekannte

– (Entscheidungs-) Variablen –




Variablen

jxjyF

Auftrag über Produkt annehmen

A B C D E

ja ja ja ja janein nein nein nein nein

0 0 0 0 0

Gesamterlös?

von Produkt zu transportierende Menge

Entscheidung über Auftragsannahme des Produkts (ja/nein)

j ][tj

Gesamterlös (Zielfunktionswert) [€]

?t ?t ?t ?t ?t


Modellformulierung:

– Zielfunktion,

Nebenbedingungen und

Wertebereiche der Variablen –




Zielfunktion

∑∈

=Jj

jj xeFmax

Ziel ist es, diejenige Kombination an zu transportierenden Produktenund Mengen zu finden, die den Gesamterlös aus der Fahrt maximiert.

EDCBA xxxxxF 6229364235max ++++=

EEDDCCBBAA xexexexexeF ++++=max

Gesamterlös aus der Fahrt

zu transportierende Menge von Produkt A in t

Erlös pro transportierter von Produkt A

t



Unter den Nebenbedingungen

RxvJj

jj ≤∑∈

1. Volumenrestriktion des Schiffes

2002.23.17.19.15.1 ≤++++ EDCBA xxxxx

Einschränkung der Größe der transportierbaren Mengen durch:

Rxvxvxvxvxv EEDDCCBBAA ≤++++

Volumen pro transportierter von Produkt B

tzu transportierende Menge von Produkt B in t

Volumen des Schiffes in t



Unter den Nebenbedingungen - Fortsetzung

GxJj

j ≤∑∈

2. Gewichtsrestriktion des Schiffes

200≤++++ EDCBA xxxxx

Gxxxxx EDCBA ≤++++

Maximale Tragfähigkeit des Schiffes in t

zu transportierende Menge von Produkt B in t



(sog. Kopplungsgleichung)

3. Verfügbare Lademenge der Produkte

• falls ein Produkt transportiert wird, darf maximal dessen verfügbare Lademenge transportiert werden

• ein Produkt kann nur transportiert werden, wenn das Produkt auch geladen wird




jjj yLx ≤ Jj∈

AA yx 90≤

BB yx 110≤ CC yx 80≤ EE yx 70≤DD yx 50≤

Entscheidung über Auftragsannahme

0:0 =→= AA xy1o.0:0 ==→= AAA yyxFälle:

zu transportierende Menge von Produkt A in t

verfügbare Lademenge von Produkt A in t

jLxu.1:0 ≤=→> AA yx AAA Lxy ≤→= :1




AyJj

j ≤∑∈

Es dürfen nur maximal 3 Aufträge angenommen werden.

3≤++++ EDCBA yyyyy

Einschränkung der Anzahl der annehmbaren Aufträge:

Entscheidung über Auftragsannahme Produkt A

maximale Anzahl an Aufträgen (=Produkten) ist 3

Ayyyyy EDCBA ≤++++



Wertebereiche der Entscheidungsvariablen

0≥jx}1,0{∈jy

Jj∈

Jj∈

Variablen : zu transportierende Menge des Produkts

0≥Ex0≥Ax 0≥Bx 0≥Cx 0≥Dx

}1,0{∈Ay }1,0{∈By }1,0{∈Cy }1,0{∈Dy }1,0{∈Ey

ja/nein-Entscheidung, d.h. Wert ist entweder 0 oder 1 (Binärvariablen)

ausschließlich nichtnegative Werte ( 0)

Variablen : Entscheidung über Auftragsannahme

≥jx

jy


Mengen

Produktmenge Jj∈J

Erlös pro Tonne des Produkts

Volumen einer Tonne des Produkts

verfügbare Lademenge von Produkt

jvjL

je



GR

maximale Anzahl annehmbarer Aufträge (=Produkte) AVariablen

von Produkt zu transportierende Menge

Entscheidung über Auftragsannahme des Produkts (ja/nein)

Gesamterlös (Zielfunktionswert)

jxjyF

j ][tj

[€]


][t][t

]/[€ t

][ 3m

]/[ 3 tmj

jj

Parameter


Zielfunktion

∑∈

=Jj

jj xeFmax


RxvJj

jj ≤∑∈

GxJj

j ≤∑∈

jjj yLx ≤ Jj∈

AyJj

j ≤∑∈

Wertebereiche der Entscheidungsvariablen0≥jx

}1,0{∈jyJj∈Jj∈



3: Überführung formaler Entscheidungsmodelle in

GAMS-Syntax


Parameter

Mathematisches Modell GAMS-Modell

Zielfunktion

Nebenbedingungen

VariablenWertebereich variable(s)

equation(s)

2. Überführung formaler Entscheidungsmodelle in GAMS-Syntax

Mathematisches Modell <-> GAMS

set(s)

parameter(s)scalar(s)table(s)

Daten

Mengen (Indizes)

model(s)+


• GAMS-Modell = Sammlung von Anweisungen in GAMS-Sprache


Allgemeine Hinweise

(1) „erklären, dass etwas existiert“

declaration = Festlegung des Typs + Vergabe eines eindeutigen Bezeichners (Namens)

• Erzeugung von entities besteht aus zwei Teilen:

(2) „dem etwas einen bestimmten Wert oder eine bestimmte Form geben“definition = Initialisierung durch Wertzuweisung mit /.../ (Daten) oder

symbolische Definition (Un-/Gleichungen) oder assignment = Wertzuweisung durch Gleichung, in der der Bezeichner

auf der linken Seite steht

• MERKE: Bevor ein Bezeichner (Name eines entities) in Un-/Gleichungen etc. verwendet werden kann, muss er deklariert worden sein.



Erzeugung von entities

• Bezeichner müssen mit einem Buchstaben beginnen, dem bis zu 30 weitere Buchstaben oder Zeichen folgen können.

• keine Unterscheidung zwischen Groß- und Kleinschreibung

• mehrfache Verwendung gleichnamiger Bezeichner ist verboten

Regeln für Bezeichner

TypDesEntities NameDesEntities Kommentar /Wertzuweisung/ ;

declaration definition

• Deklaration und Definition/Assignment können wie oben zusammenoder separat erfolgen (Ausnahme: equations/variables immer separat)

• Mehrere entities gleichen Typs können separat mit je einer Anwei-sung oder zusammen in einer Anweisung deklariert werden (Trennung durch Komma oder Zeilenumbruch).


• Leerzeichen und Leerzeilen zur besseren Lesbarkeit beliebig einsetzbar

• mehrzeilige Anweisungen bzw. mehrere Anweisungen auf einer Zeile sind erlaubt

• alle Anweisungen vorerst immer durch Semikolon abschließen, um Fehler zu vermeiden (nicht alle Semikolons sind zwingend erforderlich)

• Kommas in Dezimalzahlen werden durch Punkte dargestellt

• Kommentare zur Dokumentation (u. a.):

• direkt bei der Deklaration der sets, parameter, equations usw.

• gesamte Zeile: * am Zeilenanfang

• bestimmte Schlüsselworte und Symbole sind reserviert und dürfennicht anderweitig verwendet werden


Weitere Hinweise


set J Produktmenge / A, B, C, D, E / ;

eindeutiger Bezeichner(Name der Menge)

Kommentar (Dokumenta-tion, optional, max. 80 Zei-chen)

Elemente der Menge, Trennung durch Komma oder Zeilenumbruch

Mengen

Produktmenge }),,,,{( EDCBAJJj =∈J


declaration = Festlegung des Typs + Vergabe eines eindeutigen Bezeichners (Namens)

definition = Initialisierung durch Wertzuweisung mit /... /

Abschluss der Anwei-sung

Schlüsselwort zur Declarationvon Mengen

(auch: sets)



parameter e(j) Erlös pro Tonne des Produkts j / A 35B 42C 36D 29E 62 / ;

eindeutiger Bezeichner(Name des Parameters)

Kommentar (optional)

Parameter

Erlös pro Tonne des Produkts je

Domäne = Index

Datenangabe, Trennung durch Zeilenumbruch oder Komma

Index Wert

Schlüsselwortzur Declarationvon Daten in Listenform (mit Index/Indices)

(auch: parameters)Auch möglich: A=35

Deklaration eines entities in einer Anweisung

j




Volumen pro Tonne des Produkts

verfügbare Lademenge von Produkt

jvjL

parameters v(j) Volumen pro Tonne des Produkts j / A 1.5B 1.7C 1.9D 1.3E 2.2 /

L(j) verfügbare Lademenge von Produkt j / A 90B 110C 80D 50E 70 / ;

Deklaration mehrerer entities gleichen Typs in einer Anweisung

jj


Beispiel für Trennung zwischen Declaration und Definition/Assignment





GR

maximale Anzahl annehmbarer Aufträge A

scalars G maximale Tragfähigkeit des Schiffs / 200 /

R Volumen des Binnenschiffs / 200 /

A maximale Anzahl annehmbarer Aufträge / 3 / ;Schlüsselwortzur declarationeinzelner Zahlen (Daten ohne Index) (auch: scalar)

G=200; Assignmentscalars G maximale Tragfähigkeit des Schiffs ; Declaration

Definition



positive variable x(j) von Produkt j zu transportierende Menge ;

eindeutiger Bezeichner(Name der Variable)

Kommentar (optional)

0≥jx Jj∈

Entscheidungsvariablen inkl. Wertebereich

von Produkt zu transportierende Menge jx

Domäne = Index

Abschluss der Anwei-sung

Schlüsselwort zur Declaration einer Variable mit nichtnegativem Wertebereich

(auch: variables)) bis 0( ∞+

j



binary variable y(j) Entscheidung über Auftragsannahme ;

}1,0{∈jy Jj∈

Entscheidungsvariablen inkl. Wertebereich

Entscheidung über Auftragsannahme des Produkts (ja/nein)jy j

Gesamterlös (Zielfunktionswert) F [€]

Schlüsselwort zur Declaration einer Variable mit binärem Wertebereich })1,0({

Schlüsselwort zur Declaration einer unbeschränkten (free) Variable ) bis ( ∞+−∞

Zielfunktionswert muss unbeschränkt sein und darf keinen Index haben

variable F Zielfunktionswert ;


Stufe 1: Declaration

zweistufig: (1) Declaration(2) Definition

equations zf Zielfunktion (Erlösmaximierung) volres Volumenrestriktiongewres Gewichtsrestriktionkoppgl(j) Kopplungsgleichunganzauftr maximale Auftragsanzahl einhalten ;

Zielfunktion/Restriktionen

Domäne (Index)

eindeutiger Bezeichner(Name der equation)

Kommentar (optional) Abschluss der Anwei-sung


Schlüsselwortzur Declarationvon Un-/Gleichungen

(o. equation)



Stufe 2: Definition

Zielfunktion/Restriktionen

∑∈

=Jj

jj xeFBezeichner..

Summenfunktion

Abschluss„mal“

≤≥

„ “ less or equal=g= „ “greater or equal

equal

volres.. sum ( j , v(j)*x(j) ) =l= R ;

gewres.. sum ( j , x(j) ) =l= G ;

koppgl(j).. x(j) =l= L(j)*y(j) ;

anzauftr.. sum ( j , y(j) ) =l= A ;

zf.. F =e= sum ( j , e(j)*x(j) ) ;

Mehrere Indices werden in Klammern gesetzt und durch Komma getrennt, z. B.:sum( (i,j) , …)


model schiffsbeladung / zf, volres, gewres, koppgl, anzauftr / ;

eindeutiger Bezeichner im Modell

enthaltene equations

Modell

Abschluss der Anweisung


Schlüsselwortzur declarationvon Modellen

(auch:models)

model schiffsbeladung / all/ ;

c

alle equations, die deklariert+definiertwurden, sind im Modell enthalten

Gleichbedeutend:


4: Lösen von Entscheidungsmodellen mit

GAMS


solve schiffsbeladung maximizing F using mip ;

Schlüsselwortzum Lösen von Modellen

Bezeichner(Name) des zu lösenden Modells

Richtung der Optimierung (o. minimi-zing)

Modell lösen

4. Lösen von Entscheidungsmodellen mit GAMS

zu optimie-rende Variab-le (Zielfunk-tionswert)

Typ des Modells: mip (mixed inte-ger programming)

da diskrete (binä-re/integer) Va-riablen enthalten

lp: linear programming (weder diskrete Variablen noch nichtlineare Terme)

rmip: relaxed mixed integer programming (Aufhebung der Ganzzahligkeits-forderung für diskrete Variablen)

Weitere relevante Modelltypen:

bewirkt Aufruf eines Solvers: Cplex (standardmäßig voreingestellt für mip-Modelle)


Compilieren – Überprüfung des Quellcodes auf Fehler


Menü File Compile (Shift+F9)

Lösen starten

Menü File Run

bzw. Button mit rotem Pfeil in der Symbolleiste (F9)


zur solve summaryim Listing springen

Process Window

GAMS-Output-Datei =Listing wird geöffnet

(Logfile)


Navigationshilfe im Listing

• .lst-Datei mit gleichem Namen wie .gms-Datei

• Speicherort: wo aktuelle .gpr-Datei)

(.log mit gleichemNamen wie .gms)


5: GAMS – Output:

Listing


Ausschnitt Schiff.lst

Compilation Output - Echo Print

Wiedergabe des Quellcodes

G e n e r a l A l g e b r a i c M o d e l i n g S y s t e mC o m p i l a t i o n

1 *Mengen - Produktmenge2 set j Produktmenge3 /A4 B5 C6 D7 E/ ;8 *Ende der Anweisung910 *Sonstige Daten11 parameters e(j) Erlös pro Tonne des Produkts j / A 3512 B 4213 C 3614 D 2915 E 62 /1617 v(j) Volumen pro Tonne des Produkts j / A 1.518 B 1.919 C 1.720 D 1.321 E 2.2 /22...

5. GAMS – Output: Listing


Equation Listing SOLVE schiffsbeladung Using MIP From line 66

---- zf =E= Zielfunktion (Erlösmaximierung)

zf.. - 35*x(A) - 42*x(B) - 36*x(C) - 29*x(D) - 62*x(E) + F =E= 0 ; (LHS = 0)

---- volres =L= Volumenrestriktion

volres.. 1.5*x(A) + 1.9*x(B) + 1.7*x(C) + 1.3*x(D) + 2.2*x(E) =L= 200 ;

(LHS = 0)

---- gewres =L= Gewichtsrestriktion

gewres.. x(A) + x(B) + x(C) + x(D) + x(E) =L= 200 ; (LHS = 0)

---- koppgl =L= Kopplungsgleichung

koppgl(A).. x(A) - 90*y(A) =L= 0 ; (LHS = 0)

koppgl(B).. x(B) - 110*y(B) =L= 0 ; (LHS = 0)

koppgl(C).. x(C) - 80*y(C) =L= 0 ; (LHS = 0)

REMAINING 2 ENTRIES SKIPPED

Equation Listing

Möglichkeit zur Überprüfung der Richtigkeit der Formulierung

Anzeige der ersten 3 ausformulierten Restriktionen pro equation (default)

(Bsp. hier: koppgl(A), koppgl(B), koppg(C) von koppgl(j))

Ausformulierung der Zielfunktion und der Restriktionen


Form: linke Seite (LHS) Variablen mit Koeffizienten – rechte Seite Konstante



---- koppgl =L= Kopplungsgleichung

koppgl(A).. x(A) - 90*y(A) =L= 0 ; (LHS = 0)

koppgl(B).. x(B) - 110*y(B) =L= 0 ; (LHS = 0)

koppgl(C).. x(C) - 80*y(C) =L= 0 ; (LHS = 0)

koppgl(D).. x(D) - 50*y(D) =L= 0 ; (LHS = 0)

koppgl(E).. x(E) - 70*y(E) =L= 0 ; (LHS = 0)

Equation Listing

model schiffsbeladung /all/;

*Anzeige von bis zu 5 ausformulierten Nebenbedingungen je equation

schiffsbeladung.limrow=5;*Lösen des Modells




Wert der linken Seite zu Beginn ist 0 (alle Variablen haben zu Beginn den Wert 0)d. h. Gleichungen sind nicht erfüllt (infeasible= INFES) (z. B.: 0 ≠ 30)


Column Listing SOLVE schiffsbeladung Using MIP From line 68

---- x von Produkt j zu transportierende Menge

x(A)(.LO, .L, .UP = 0, 0, +INF)

-35 zf1.5 volres1 gewres1 koppgl(A)

x(B)(.LO, .L, .UP = 0, 0, +INF)

-42 zf1.9 volres1 gewres1 koppgl(B)

x(C)(.LO, .L, .UP = 0, 0, +INF)

-36 zf1.7 volres1 gewres1 koppgl(C)

REMAINING 2 ENTRIES SKIPPED

Column ListingAngabe der Koeffizienten der Variablen in allen equationssowie des Wertebereichs und Startwerte


Wert zu Beginn (level value)

obere Schranke (upper bound)

untere Schranke (lower bound)


Koeffizient vor Variable in equation

Anzeige der ersten 3 ausformu-liertenVariablen pro allge-meinerVariable

(Bsp. hier: x(A), x(B), x(C) von x(j))

(Anzahl beeinfluss-bar mit „limcol“)

(Spalte in der Koeffizientenmatrix)


Model Statistics SOLVE schiffsbeladung Using MIP From line 68

MODEL STATISTICS

BLOCKS OF EQUATIONS 5 SINGLE EQUATIONS 9BLOCKS OF VARIABLES 3 SINGLE VARIABLES 11NON ZERO ELEMENTS 31 DISCRETE VARIABLES 5

GENERATION TIME = 0.031 SECONDS 4 Mb WIN220-143 Jul 27, 2005

Model Statistics (mip)


Zeitbedarf zum Generieren des Modells

Anzahl diskreter Variablen


Anzahl aller Elemente in der Koeffi-zien-tenmatrix, die nicht 0 sind

Anzahl allgemeiner equations/ variables

Anzahl ausformulierter equations/variables


Solution Report SOLVE schiffsbeladung Using MIP From line 68

S O L V E S U M M A R Y

MODEL schiffsbeladung OBJECTIVE FTYPE MIP DIRECTION MAXIMIZESOLVER CPLEX FROM LINE 68

**** SOLVER STATUS 1 NORMAL COMPLETION**** MODEL STATUS 1 OPTIMAL**** OBJECTIVE VALUE 5413.3333

RESOURCE USAGE, LIMIT 0.093 1000.000ITERATION COUNT, LIMIT 3 10000

Solve Summary mit Status Reports

Richtung der Optimierung

Name der optimierten Variable (Zielfunktionswert)

Name des gelösten Modells

Typ des Modells

verwendeter Solver

Wert der optimierten Variable (Zielfunktionswert)

vom Solver zur Lösung benötigte Zeit (CPU-Time)

maximal zulässiger Zeitbedarf

vom Solver zur Lösung benötigte Iterationen

maximal zulässige Anzahl Iterationen



wichtige Infos

„solverseitig keine Probleme“ optimale Lösung gefunden


GAMS/Cplex Aug 1, 2005 WIN.CP.CP 22.0 029.032.041.VIS For Cplex 9.1Cplex 9.1.2, GAMS Link 29

Proven optimal solution.

MIP Solution: 5413.333333 (3 iterations, 0 nodes)Final Solve: 5413.333333 (0 iterations)

Best possible: 5413.333333Absolute gap: 0.000000Relative gap: 0.000000

Solve Summary – Solver Report

nachgewiesene optimale Lösung

absolute Abweichung zur besten bekannten Lösung = 0

relative Abweichung zur besten bekannten Lösung= 0

beste mögliche Lösung




LOWER LEVEL UPPER MARGINAL

---- EQU zf . . . 1.000---- EQU volres -INF 200.000 200.000 23.333---- EQU gewres -INF 100.667 200.000 .

zf Zielfunktion (Erlösmaximierung)volres Volumenrestriktiongewres Gewichtsrestriktion

---- EQU koppgl Kopplungsgleichung

....


---- EQU anzauftr -INF 2.000 3.000 .

anzauftr maximale Auftragsanzahl einhalten

---- VAR x von Produkt j zu transportierende Menge


A . 30.667 +INF .B . . +INF -2.333C . . +INF -3.667D . . +INF -1.333E . 70.000 +INF .

Solver Solution Reports

untere Schranke (lower bound)

Wert (level value) obere Schranke (upper bound)

Werte und Schranken der equations(EQU) und Variablen (VAR)



=0


**** REPORT SUMMARY : 0 NONOPT0 INFEASIBLE0 UNBOUNDED

Report SummaryAnzahl

nichtoptimaler

Zeilen/Spalten

nicht lösbarerunbeschränkter


File Summary

**** FILE SUMMARY

Input G:\Schiff.gms

Output G:\Schiff.lst

Speicherort und Name der Eingabe-datei

Speicherort und Name des Listings



wichtige Infos


Display-Anweisung (nach der solve-Anweisung)

Anzeige der Elemente von Mengen, Daten und der optimalen Werte der Variablen nach der Report Summary

display jeRGAx.ly.lF.l ;

Anzeige der optimalen Werte von Variablen mit .l (level value)

Anzeige von Elementen von sets oder der Werte von scalars, parameters

Die Display-Anweisung kann nach der Wertzuweisung eingesetzt werden.



---- 81 SET j Produktmenge

A, B, C, D, E

---- 81 PARAMETER e Erlös pro Tonne des Produkts j

A 35.000, B 42.000, C 36.000, D 29.000, E 62.000

---- 81 PARAMETER R = 200.000 Volumen des Binnenschiffs

PARAMETER G = 200.000 maximale Tragfähigkeit des Binnenschiffs

PARAMETER A = 3.000 maximale Anzahl annehmbarer Aufträge

---- 81 VARIABLE x.L von Produkt j zu transportierende Menge

A 30.667, E 70.000

---- 81 VARIABLE y.L Entscheidung über Auftragsannahme

A 1.000, E 1.000

---- 81 VARIABLE F.L = 5413.333 Zielfunktionswert=Gesamerloes

Display-Anweisung




6. Weitere Aspekte

6.1 Mengen

Definition von Elementen

Mehrere Namen für ein set

Teilmenge aus einem übergeordneten set – subset

Zuweisung von Elementen nach Deklaration

Mehrdimensionale sets

Position von Elementen in Mengen

Anzahl von Elementen in einer Menge

6.2 Daten

6.3 Variablen

6.4 Equations

6.5 Modelltypen und Lösen von Modellen

6.6 Listing, Kommentare, Aufbau von GAMS-Modellen, sonstiges


Sets – Definition von Elementen

set i Knotenmenge / 1, 2, 3, 4, 5, 6 / ;

set i Knotenmenge / 1*6 / ;

• Unterscheiden sich die Elemente eines sets durch eine Erhöhung um den Wert 1 (Elemente mit Zahlen), reicht es aus, nur das erste und das letzte Element anzugeben und beide durch einen * zu verbinden.

• Variieren dürfen nur Zahlen; enthaltene Zeichen in Elementnamen(Buchstaben, +/-) müssen im ersten und letzten Element identisch sein.

• Die im ersten Element enthaltene Zahl muss kleiner als die im letzten Element sein.

6. Weitere Aspekte6.1 Mengen

Gleichbedeutend:

12

34

6

5


Sets – Mehrere Namen für ein set

set i Knotenmenge / 1, 2, 3, 4, 5, 6 / ;

alias( i, k, l) ;

• Einem set dürfen beliebig viele weitere Namen gegeben werden.

• Die Reihenfolge der Bezeichner in der alias-Anweisung ist egal.

• Beachte: Nur ein Bezeichner darf vorher schon deklariert worden sein.

}6,5,4,3 ,2 ,1{=== lki

Trennung der Namen durch Komma



Sets – Teilmenge aus einem übergeordneten set - subset

sets i Knotenmenge /1*6/

q(i) Startknoten /1/ ;

Ist eine Menge von Elementen eine Teilmenge einer übergeordnetenMenge, empfiehlt es sich die übergeordnete Menge in Klammern anzugeben, um Fehler zu vermeiden, die durch eine fehlerhafte Angabe der Elemente der Teilmenge entstehen. Bei der Compilierung wird dadurch ein domain checking durchgeführt, d. h. es wird überprüft, ob die Elemente der Teilmenge wirklich Elemente der übergeordneten Menge sind.

Bezeichner der übergeordneten Menge


12

34

6

5


Sets - Zuweisung (assignment) von Elementen nach Deklaration

sets i Knotenmenge /1*6/q(i) Quelle(Startknoten)s(i) Senker(i) Restknoten (weder Quelle noch Senke) ;

q("1")= yes ; Zugehörigkeit eines Elements zu einer Menge: ja (yes) (=Hinzufügen) oder nein (no) (=Entfernen)

Bezug auf einzelne Elemente: Name des Elements in " " oder ' '

Bei Subsets Bezug auf alle Elemente des übergeordneten Sets: Bezeichner des übergeordneten Sets


Entfernen der Quelle

r(i)= yes ;

r("1")= no ;

r("6")= no ;

s("6")= yes ;

}6,5,4,3 ,2 ,1{=i}6,5,4,3 ,2 {=i

}5,4,3 ,2 {=iEntfernen der Senke

Durch diese Art der Elementzuweisung werden Mengen dynamisch.

12

3

46

5


Sets – Mehrdimensionale sets

sets i Knotenmenge / 1, 2, 3, 4, 5, 6 /

p(i,i) Pfeilmenge / 1.21.32.42.63.4

5.6 / ;

4.5

set p(i,i) Pfeilmenge/ 1.(2,3)

2.(4,6)3.4

Zusammenfassende Schreibweise z.B.


4.(5,6)

Index 1 Index 2

Ein Pfeil verbindet zwei Knoten (=zwei Elemente aus der Menge Knoten) miteinander.

Verbindung der Elemente durch .

Bis zu 10 Dimensionen möglich.

1

2

3

4

6

54.6

5.6 / ;


Sets – Position von Elementen in Mengen

set i Knotenmenge /1*6/ ;parameter e(i) Position eines Knotens in der Menge i ;e(i) = ord(i) ;

---- 10 PARAMETER e Position eines Knotens in der Menge i

1 1.000, 2 2.000, 3 3.000, 4 4.000, 5 5.000, 6 6.000

Sets – Anzahl von Elementen in einer Menge

set i Knotenmenge /1*6/ ;scalar a Anzahl der Knoten in der Menge i ;a = card(i) ;---- 10 PARAMETER a = 6.000 Anzahl der Knoten in

der Menge i


ord() ist nicht bei dynamischen Mengen anwendbar


6. Weitere Aspekte

6.1 Mengen

6.2 Daten

Eingabe mehrdimensionaler Daten in Tabellenform

Einlesen von Daten aus Textdateien

Verwendung vorhandener zur Erzeugung neuer Daten

Bedingte Wertzuweisungen

6.3 Variablen

6.4 Equations




220570630390460M

670420150490500HH

630570290540200B

SKHFDDStandort/Kunde

Entfernung der Standorte zu den Kunden in km

6. Weitere Aspekte6.2 Daten (Tabellen)

Tables – Eingabe mehrdimensionaler Daten in Tabellenform

Beispiel: tabellarisch darstellbare Daten


Domänen = Indices (durch Komma getrennt)

Index 1 Index 2auch: M.DD=460

sets s Standorte / B, HH, M /k Kunden / DD, F, H, K, S / ;

parameter d(s,k) Distanz zwischen Standort s und Kunde k

/ B.DD 200, B.F 540, B.H 290, B.K 570, B.S 630

HH.DD 500, HH.F 490, HH.H 150, HH.K 420, HH.S 670

M.DD 460, M.F 390, M.H 630, M.K 570, M.S 220 / ;


Als Parameter (listenartig):



Zeilenumbruch vor Wertetabelle

Werte müssen den zugehörigen Spaltennamen überlappen ! Wertetabelle nicht in / /!

Alternativ komfortabler in tabellarischer Form:

Index 2

Index 1

Schlüsselwort zur Deklaration von mehrdimensionalen Daten in Tabellenform

table d(s,k) Distanz zwischen Standort s und Kunde k DD F H K S

B 200 540 290 570 630HH 500 490 150 420 670M 460 390 630 570 220 ;




Falls nicht alle Spalten auf eine Zeile passen – Fortsetzung wie folgt:


table d(s,k) Distanz zwischen Standort s und Kunde kDD F H

B 200 540 290 HH 500 490 150 M 460 390 630

+ K SB 570 630HH 420 670M 570 220 ;


• tables haben eine fest vorgegebene Struktur

• es kann nur eine table pro table-Anweisung deklariert werden

• tables können bis zu 10 Dimensionen haben

• für weitere Einzelheiten siehe User‘s Guide


Einlesen von Daten aus Textdateien (am Bsp. einer table)

DD F H K S

B 200 540 290 570 630

HH 500 490 150 420 670

M 460 390 630 570 220

table d(s,k) Distanz zwischen Standort s und Kunde k

$include Distanzen.txt

;

$include D:\Daten\Distanzen.txt

am Ort der aktuellen .gpr-Datei

laut Pfadangabe

Distanzen.txt

Durch Tabstopp getrennte Textdatei (.txt):

6. Weitere Aspekte6.2 Daten (Einlesen)


Einlesen von Daten aus Textdateien (am Bsp. einer table)

dummy,DD,F,H,K,SB,200,540,290,570,630HH,500,490,150,420,670M,460,390,630,570,220

table d(s,k) Distanz zwischen Standort s und Kunde k

$ondelim

$include Distanzen.csv

$offdelim

;

Distanzen.csv

Durch Trennzeichen getrennte Textdatei KOMMA! (.csv):

in erster Zeile und erster Spalte muss ein Eintrag vorhanden sein, gleich welcher

Einträge müssen durch Kommagetrennt sein

6. Weitere Aspekte6.2 Daten (Einlesen)


Verwendung vorhandener Daten zur Erzeugung neuer Daten

table d(s,k) Distanz zwischen Standort s und Kunde k DD F H K S

B 200 540 290 570 630HH 500 490 150 420 670M 460 390 630 570 220 ;

scalar f Frachtkosten pro Stück und 100 km /0.5/ ;

parameter c(s,k) Transportkosten pro Stück zw. s und k ;

c(s,k) = d(s,k) / 100 * f ;

Berechnung von c für jede Kombination aus s und k

auf konkrete Elemente wird über 'Element' Bezug genommen

6. Weitere Aspekte6.2 Daten (Wertzuweisung)


Operatoren für numerische Beziehungen

ungleich<>ne

größer oder gleich>=ge

größer >gt

=

<=

<

gleicheq

kleiner oder gleichle

kleiner alslt

BedeutungOperator

Logische Operatoren

oderor

exklusiv oderxor

undand

nichtnot

BedeutungOperator

0 = falsch (false)

<>0 = wahr (true)

wahr oder falsch

Bedingungen mittels:

6. Weitere Aspekte6.2 Daten (Bedingte Wertzuweisung)


Beispiele für $-Bedingung

$ auf der linken Seite der Anweisung

scalar x

y /6/ ;

x$(y < 5) = 10;

---- 6 PARAMETER x = 0.000

scalar x /2/

y /6/ ;

x$(y < 5) = 10;

---- 6 PARAMETER x = 2.000

Es wird nur dann eine Zuweisung durchgeführt, wenn die Bedingung erfüllt ist. Falls noch kein Wert vorhanden ist, wird der Wert 0zugewiesen, falls die Bedingung nicht erfüllt ist.



Beispiele für $-Bedingung

$ auf der rechten Seite der Anweisung

scalar x /2/

y /6/ ;

x = 10 $(y < 5);

---- 6 PARAMETER x = 0.000

scalar x /2/

y /6/ ;

x = 10 $(y > 5);

---- 6 PARAMETER x = 10.000

Es wird immer eine Zuweisung durchgeführt. Falls die Bedingung nicht erfüllt ist, wird der Wert 0 zugewiesen.



6. Weitere Aspekte

6.1 Mengen

6.2 Daten

6.3 Variablen

Arten von Variablen

Veränderung des Wertebereichs

6.4 Equations




Variablen – Arten von Variablen

nur ganzzahlige Werte innerhalb der Schranken, beide Schranken veränderbar (diskrete Variable)

1000integer

Wert entweder 0 oder 1, nicht veränderbar (diskrete Variable)10binary

untere Schranke veränderbar0negative

obere Schranke veränderbar0positive

beide Schranken veränderbarfree (default)

Anmerkung

Obere Schranke (Upper Bound)

–default –

Untere Schranke (Lower Bound)

–default –Variablentyp

∞+

∞+

∞−

∞−

6. Weitere Aspekte6.3 Variablen


Variablen - Veränderung des Wertebereichs

fester Wert (fixed value) – untere und obere Schranke sind identisch.fx

obere Schranke (upper bound).up

untere Schranke (lower bound).lo

BedeutungSuffix

x.up('B','DD') = 0;

x.lo('M','K') = 100;

x.fx('HH','H') = 50;

Kunde in DD darf nicht von Standort B beliefert werdenKunde in K muss mindestens 100 ME aus M erhaltenKunde in H erhält genau 50 ME aus HH

Variable .Suffix Index bzw. Indizes, hier: gilt nur für bestimmte Variablen

6. Weitere Aspekte6.3 Variablen


6. Weitere Aspekte

6.1 Mengen

6.2 Daten

6.3 Variablen

6.4 Equations

Arten von Equations

Bedingte Equations




Beispiele für $-Bedingung Bedingte Equations

equations nbk(i) Nebenbedingungen als <= Restriktion ;

nbk(i)$(ord(i)=2).. sum( j, a(i,j)*x(j) ) =l= b(i) ;

Es wird lediglich eine Nebenbedingung für das zweite Element derMenge i aufgebaut.

Arten von Equations

6. Weitere Aspekte6.4 Equations

Kleiner-gleich-Bedingung (≤)=l=

Größer-gleich-Bedingung (≥)=g=

Gleichung (=)=e=


Beispiele für $-Bedingung – Bedingte Equations

sets J Menge Strukturvariablen (Spalten) /1*3/

I Menge Nebenbedingungen (Zeilen) /1*3/

KG(i) Menge aller Nebenbedingungen mit kleiner oder gleich /2/

GG(i) Menge aller Nebenbedingungen mit größer oder gleich /1, 3/;.....

equations zf Zielfunktion

nbk(i) Nebenbedingungen als <=-Restriktion

nb(i) Nebenbedingungen als =-Restriktion

nbg(i) Nebenbedingungen als >=-Restriktion ;

zf.. F =e= sum(j, c(j)*x(j));nbk(i)$(kg(i)).. sum(j, a(i,j)*x(j) ) =l= b(i);nb(i)$((not kg(i)) and (not gg(i))).. sum(j, a(i,j)*x(j) ) =e= b(i);nbg(i)$(gg(i)).. sum(j, a(i,j)*x(j) ) =g= b(i);

Die Restriktionen werden nur für diejenigen Elemente der Menge iaufgebaut, die dem entsprechenden subset zugeordnet wurden.

6. Weitere Aspekte6.4 Equations


6. Weitere Aspekte

6.1 Mengen

6.2 Daten

6.3 Variablen

6.4 Equations


Modelltypen

Lösen von linearen Opt.-Problemen (lp)

Einstellen des Optimalitätskriteriums bei mip

Verändern der Zeit- bzw. Iterationsbeschränkung



6. Weitere Aspekte6.5 Modelltypen

relaxed mixed integer programming (Aufheben der Ganzzahligkeits-forderung für diskrete Variablen

rmip

mixed integer programming (diskrete Variablen enthalten)mip

linear programming (keine diskreten (binäre/integer) Variablen enthalten)

lp

AnwendungsgebietModelltyp

Festlegung des relevanten Modelltypen im Quelltext: siehe Folie 45

Modelltypen

bewirkt Aufruf eines Solvers: Cplex(standardmäßig voreingestellt für mip-Modelle)


4321 40705090max xxxxF +++=

362123241321302112

34321

24321

14321

=++−+=+−++=+++−

yxxxxyxxxx

yxxxx

0,,,,,, 3214321 ≥yyyxxxx

unter den Nebenbedingungen

Beispiel: Gleichungssystem

Lösen von linearen Optimierungsproblemen (lp)

6. Weitere Aspekte6.5 Lösen von Modellen


Mengen

Menge der Strukturvariablen (Spalten) mit Jj∈JMenge der Nebenbedingungen (Zeilen) mit I

Variablen

Strukturvariablen (x-Variablen)

Schlupfvariablen (y-Variablen)

Zielfunktionswert

jxiyF

Ii∈

Zielfunktionskoeffizient der Variable

Konstante auf der rechten Seite der Nebenbedingung

Koeffizient in der Restriktion vor Variable (Koeffizientenmatrix) jc jija

ib

j

Beispiel: Allgemeine Modellformulierung

Parameter

i

i




Zielfunktion

∑∈

=Jj

jj xcFmax


Wertebereich der Variablen

0≥jx0≥iy

Jj∈Ii∈

iiJj

jij byxa =+∑∈

Ii∈

Beispiel: Allgemeine Modellformulierung




sets J Menge der Strukturvariablen (Spalten) /1,2,3,4/I Menge der Nebenbedingungen /1,2,3/ ;

parameters b(i) Konstante auf der rechten Seite der Gleichung i /1 30, 2 24, 3 36/c(j) Zielfunktionskoeffizient vor Variable x(j) /1 90

2 503 704 40/ ;

table a(i,j) Koeffizient in den Restriktionen vor Variable x(j) (Koeffizientenmatrix)1 2 3 4

1 2 -1 1 22 1 2 3 -13 3 2 -1 2 ;

positive variables x(j) Strukturvariableny(i) Schlupfvariablen ;

variable F Zielfunktionswert ;equations zf Zielfunktion

nb(i) Nebenbedingungen ;

zf.. F =e= sum(j, c(j)*x(j)) ;nb(i).. sum(j, a(i,j)*x(j) ) + y(i) =e= b(i) ;model aufgabe2_3_6 /all/ ;

solve aufgabe2_3_6 maximizing F using lp ; GS.gms

Beispiel: Allgemeine Modellformulierung in GAMS




Model Statistics SOLVE gs Using LP From line 40

MODEL STATISTICS

BLOCKS OF EQUATIONS 2 SINGLE EQUATIONS 4BLOCKS OF VARIABLES 3 SINGLE VARIABLES 8NON ZERO ELEMENTS 20

GENERATION TIME = 0.063 SECONDS 4 Mb WIN222-145 Apr 21, 2006

Zeitbedarf zum Generieren des Modells

Anzahl aller Elemente in der Koeffi-zien-tenmatrix, die nicht 0 sind

Anzahl allgemeiner equations/ variables

Anzahl ausformulierter equations/variables

Ausschnitt GS.lst


Beispiel: Model Statistics



GAMS/Cplex Apr 21, 2006 WIN.CP.CP 22.2 031.034.041.VIS For Cplex 10.0Cplex 10.0.1, GAMS Link 31

Optimal solution found.Objective : 1513.333333

nachgewiesen optimale Lösung


Ausschnitt GS.lst


Beispiel: Solve Summary – Solver Report



---- EQU zf . . . 1.000

zf Zielfunktion

---- EQU nb Nebenbedingungen


1 30.000 30.000 30.000 18.148 2 24.000 24.000 24.000 21.481 3 36.000 36.000 36.000 12.593

Beispiel: Solver Solution Reports

Simplexmultiplika-toren(marginal/dual value)

Wie viel mal wurde die NB auf die ZF addiert (=Simplexmultiplikatoren )?

Bzw. wie verändert sich der ZFW F, wenn die rechte Seite der equation(Gleichung) (Konstante) um eine marginale Einheit erhöht wird?

iπ

hier: ZFW steigt=verbessert sich (da max), Entschärfung der NB

iπ

Veränderung von F um ∆· iπ

Ausschnitt GS.lst





---- VAR F -INF 1513.333 +INF .

F Zielfunktionswert

---- VAR x Strukturvariablen


1 . . +INF -5.556 2 . 7.333 +INF . 3 . 8.000 +INF . 4 . 14.667 +INF .

---- VAR y Schlupfvariablen


1 . . +INF -18.148 2 . . +INF -21.481 3 . . +INF -12.593

reduzierte Kosten/ Schattenpreise (marginal/dual value)

Wie verändert sich der ZFW F, wenn der Wert der Variable (bzw. ) um eine marginale Einheit ∆ erhöht wird? (=Auf-nahme in die Basis) (reduzierte Kosten )

jx iy

jcVeränderung von F um ∆· jc

GILT NUR BEI NICHT DEGENERIERTEN LÖSUNGEN!

Ausschnitt GS.lst

Beispiel: Solver Solution Reports




Einschub: Vergleich Solver Solution Reports - Simplextableau

1513,33312,59321,48118,1480005,5556

14,6670,1851-0,0370,29621001,1111

7,3330,25920,1481-0,1850010,5555

8-0,1110,22220,22220100,33331x 2x 3x 4x

3x2x4x

1y

F

2y 3y bOptimaltableau Simplexalgorithmus

3211 593,12481,21148,18556,53,1513 yyyxF −−−−=

556,511−== ccx

148,1851−== ccy

481,2162−== ccy

593,1273−== ccy

556,511=−=− ccx

---- VAR x Strukturvariablen


1 . . +INF -5.556 2 . 7.333 +INF . 3 . 8.000 +INF . 4 . 14.667 +INF .

---- VAR y Schlupfvariablen


1 . . +INF -18.148 2 . . +INF -21.481 3 . . +INF -12.593

Ausschnitt GS.lst



---- 42 VARIABLE x.L Strukturvariablen

2 7.333, 3 8.000, 4 14.667

---- 42 VARIABLE y.L Schlupfvariablen

( ALL 0.000 )

---- 42 VARIABLE x.M Strukturvariablen

1 -5.556

---- 42 VARIABLE y.M Schlupfvariablen

1 -18.148, 2 -21.481, 3 -12.593

---- 42 VARIABLE F.L = 1513.333 Zielfunktionswert

---- 42 EQUATION nb.M Nebenbedingungen

1 18.148, 2 21.481, 3 12.593

solve gs maximizing F using lp ;

display x.l, y.lx.m, y.mF.lnb.m ;

Ausgabe des marginal value von variables/equations am Ende des Listings mittels display-Anweisung

Ausschnitt GS.lst

Upper bound.up

Lower bound.lo

Marginal.m

Level.l




set j Produktmenge /1*100/ ;

parameters e(j) Erloes pro Tonne des Produkts j

v(j) Volumen pro Tonne des Produkts j

L(j) verfuegbare Lademenge von Produkt j ;

e(j)=uniform(10,80);

v(j)=uniform(0.5,5);

L(j)=uniform(10,140);

scalars R Volumen des Binnenschiffs /200/

G maximale Tragfaehigkeit des Binnenschiffs /200/

A maximale Anzahl annehmbarer Auftraege /4/ ;

Erweiterung des Beispiels Schiffsbeladung auf 100 Produkte und zufällig generierte Erlöse, Volumina und Lademengen

zwischen 10 und 80 normalverteilte Werte für alle je


Ausschnitt Schiff_big.lgms



Solution satisfies tolerances.

MIP Solution: 13057.128334 (3 iterations, 0 nodes)

Final Solve: 13057.128334 (0 iterations)

Best possible: 13530.634998

Absolute gap: 473.506664

Relative gap: 0.036264

Lösung – Solve Summary GanzzahligeLösung liegt innerhalb der Toleranz, keine Optimalität nachgewiesen

absolute Abweichung der ganzzahligen Lösung zur besten möglichen Lösung

relative Abweichung der ganzzahligenLösung zur besten möglichen Lösung

beste mögliche Lösung

%63,313,13057

51,473=

51,47364,1353013,13057

=

−


Ausschnitt Schiff_big.lst



option optcr=0;


Proven optimal solution.

MIP Solution: 13519.911667 (5 iterations, 0 nodes)

Final Solve: 13519.911667 (2 iterations)

Best possible: 13519.911667

Absolute gap: 0.000000

Relative gap: 0.000000

nachgewiesene optimale ganzzahligeLösung gefunden

optimale Lösung finden (default: 0.1, also 10 % Differenz zulässig)

Einstellen der Genauigkeit erfolgt über die Option optcr (irgendwo) vor dem solve-Statement:





S O L V E S U M M A R Y

MODEL schiffsbeladung OBJECTIVE F

TYPE MIP DIRECTION MAXIMIZE

SOLVER CPLEX FROM LINE 56

**** SOLVER STATUS 1 NORMAL COMPLETION

**** MODEL STATUS 1 OPTIMAL

**** OBJECTIVE VALUE 13519.9117

RESOURCE USAGE, LIMIT 0.109 1000.000

ITERATION COUNT, LIMIT 7 10000

Maximal zulässiger Zeitbedarf zum Lösen (default: 1000 Sekunden)

Maximal zulässige Anzahl von Iterationen zum Lösen (default: 10000 Iterationen)

vom Solver zur Lösung benötigte Zeit (CPU-Zeit)

vom Solver zur Lösung benötigte Iterationen





Cplex 10.0.1, GAMS Link 31

Cplex licensed for 1 use of lp, qp, mip and barrier, with 2 parallel threads.

Resource limit exceeded, no integer solution found.

No solution returned

6. Weitere Aspekte

Bei größeren Problemen kann eine Erhöhung notwendig sein, da bspw. innerhalb der vorgegebenen Zeit keine Lösung gefunden wird.

Bsp. für Zeitüberschreitung:


6.5 Lösen von Modellen



Über model.reslim bzw. model.iterlim (irgendwo) vor dem solve-Statement:

schiffsbeladung.reslim=20000;

solve schiffsbeladung maximizing F using mip ;Erhöhung der Rechenzeit auf 20.000 Sekunden

ITERATION COUNT, LIMIT 7 50000

6. Weitere Aspekte

RESOURCE USAGE, LIMIT 0.109 20000.000


schiffsbeladung.iterlim=50000;


Erhöhung der Iterations-anzahl auf 50.000


6.5 Lösen von Modellen


6. Weitere Aspekte

6.1 Mengen

6.2 Daten

6.3 Variablen

6.4 Equations


Modelltypen

Lösen gemischt-ganzzahliger Opt.-Probleme (mip)





6. Weitere Aspekte6.6 Listing

limcol - Anzahl der aufgelisteten Spalten pro Variable

model gs /all/;gs.limcol=4;solve gs maximizing F using lp ;

analog: limrow - Anzahl der im Equation Listing ausformulierten Zeilen pro Equation

Anzeige von 4 ausformulierten Nebenbedingungen je equation

Column Listing SOLVE gs Using LP From line 40

---- x Strukturvariablenx(1)

(.LO, .L, .UP = 0, 0, +INF)-90 zf2 nb(1)1 nb(2)3 nb(3)

x(2)(.LO, .L, .UP = 0, 0, +INF)

-50 zf-1 nb(1)2 nb(2)2 nb(3)

x(3)(.LO, .L, .UP = 0, 0, +INF)

-70 zf1 nb(1)3 nb(2)-1 nb(3)

REMAINING ENTRY SKIPPEDnun

Column Listing SOLVE gs Using LP From line 40

---- x Strukturvariablenx(1)

(.LO, .L, .UP = 0, 0, +INF)-90 zf2 nb(1)1 nb(2)3 nb(3)

x(2)(.LO, .L, .UP = 0, 0, +INF)

-50 zf-1 nb(1)2 nb(2)2 nb(3)

x(3)(.LO, .L, .UP = 0, 0, +INF)

-70 zf1 nb(1)3 nb(2)-1 nb(3)

x(4)(.LO, .L, .UP = 0, 0, +INF)

-40 zf2 nb(1)-1 nb(2)2 nb(3)

bisher

Ausschnitt GS.lst


Setzen eines Titels bzw. Untertitels im Echo Print (Listing)

$title Lösung der Aufgabe 2.3.6

$stitle Sets

• Titel erscheint in jedem Seitenkopf im Listing, Untertitel nur im Echo Print

• mit $stitle/$title beginnt eine neue Seite im Echo Print

�GAMS Rev 145 x86/MS Windows 10/30/06 08:03:08 Page 2Lösung der Aufgabe 2.3.6Sets

4 5 sets6 J Menge der Strukturvariablen (Spalten) /1*4/7 I Menge der Nebenbedingungen /1*3/ ;

$ immer in der 1. Spalte

6. Weitere Aspekte6.6 Kommentare


Mehrzeilige Kommentare

$title Lösung der Aufgabe 2.3.6$ontextzum Vergleich siehe Simplextableau – Übungsunterlagen mehrzeiliger Kommentar$offtext* Lösung der Aufgabe 2.3.6 (einzeiliger Kommentar)

�GAMS Rev 145 x86/MS Windows 10/30/06 08:06:59 Page 1Lösung der Aufgabe 2.3.6C o m p i l a t i o n

zum Vergleich siehe Simplextableau – Übungsunterlagenmehrzeiliger Kommentar

6 * Lösung der Aufgabe 2.3.6 (einzeiliger Kommentar)

Zeilennummern werden ausgeblendet

6. Weitere Aspekte6.6 Kommentare


DatenMengenParameter

ModellVariablenEquationsModel

Lösung

Bisherige Vorgehensweise Alternative Vorgehensweise

Beachte: Unterschied zwischen Deklaration und Definition

ModellMengenParameterVariablenEquationsModel

DatenMengenParameter

Lösung

DeklarationUnd Definition

DeklarationDeklaration + DefinitionDefinition

Deklaration

Definition

Definition

6. Weitere Aspekte6.6 Aufbau von GAMS-Modellen

Möglichkeiten


U. a. Bereitstellung

• verschiedener Optionen über Kommandozeile (Command Line options), z. B. zum Aussehen des Listings, Systemeinstellungen u. a. m.

• verschiedener Optionen über $-Anweisungen (Dollar Control Options), z. B. zur Formatierung des Outputs, Verwendung von Kommentaren u. a. m.

• verschiedener Optionen über die option-Anweisung, z.B. für die Wahl des zu verwendenden Solvers, solverspezifischeParameter, Inhalt des Listings u. a. m.

• bei Bedarf: siehe User´s Guide

6. Weitere Aspekte6.6 Sonstiges


7:

Ablaufgestaltung in GAMS

(Schleifen, Bedingungen)


7. Ablaufgestaltung in GAMS

Schleifen – loop („wiederhole etwas für alle Elemente einer Menge“)

loop( j,

) ;

loop( j$(y.l(j)=1),Anweisungen ;loop( i,

Anweisungen ;) ;

) ;

Anweisungen ;

loop((i,j),Anweisungen ;

) ;

• keine Deklaration und keine Definition von equations innerhalb loop

geschachtelte Schleife, wobei die Anweisungen nur für die Elemente von j ausgeführt werden, für die die Variable y(j) den Wert 1 hat (bedingte loop)

Menge, für deren Elemente die Anweisungen ausgeführt werden sollen

mehrere Indizes durch Komma trennen und in Klammern setzen



Schleifen – for („wiederhole etwas genau x-mal“)

scalar zaehler, p / 0 /;

for( zaehler = 1 to 10,

) ;display p ;

p = p + 10 ;

• keine Deklaration und keine Definition von equations innerhalb for

---- 16 PARAMETER p = 100.000

von Startwert bis Endwert

scalar zaehler, p / 0 /;for( zaehler = 1 to 10 by 2,

) ;

p = p + 10 ;

---- 16 PARAMETER p = 50.000

Zähler (scalar, kein set)

default: Erhöhung des Zählers pro Durchlauf um 1

Anweisung wird 10mal ausgeführt

Erhöhung des Zählers pro Durchlauf um 2

Anweisung wird 5mal ausgeführt


Schleifen – while („wiederhole etwas solange wie“)

parameter p /0/ ;

while( p<=20, a(s) = a(s) + p *a(s) ;

solve transport minimizing F using lp ;

a(s) = a(s)/(1+p) ;

p = p + 5;

) ;

wiederhole die folgenden Anweisungen solange die Bedingung erfüllt ist

Anweisungen, die pro Durchlauf ausgeführt werden

• keine Deklaration und keine Definition von equations innerhalb while, aber z.B. solve zum mehrfachen Lösen von Modellen



Bedingungen – if-elseif-else

if( y<5,

x = 10 ;

elseif y>5,

x = 2 ;

else x = 0 ;

) ;

• elseif ist optional und kann beliebig oft verwendet werden

• mehrere Bedingungen am besten gut einklammern

• keine Deklaration und keine Definition von equations innerhalb if, aber z.B. solve zum mehrfachen Lösen von Modellen



8:

Gestaltung eigener Ausgabedateien


8. Gestaltung eigener Ausgabedateien

Deklaration + Definition einer Ausgabedatei

file out / Ausgabe_Transport.txt / ;

put out ;

Festlegung, in welche Datei geschrieben werden soll

Schlüsselwort zur Deklaration von Dateien

Eindeutiger Bezeichner(Name)

Dateiname mit Endung und ggf. Pfadangabe; ohne Pfad: Speicherung am Speicherort der aktuellen .gpr-Datei

Schlüsselwort zum Schreiben in Dateien

Bezeichner der Datei, in die ab sofort geschrieben werden soll

Erklärungen am Beispiel Transportplanung


file out /Ausgabe_Transport.txt/;put out;

put "Transportproblem" // ;put a.ts /;

loop(s,put @3, s.tl , @10, a(s)/;

);put /;

Zeilenumbruch /

Ausgabe von Text erfolgt in "…" bzw. '...'

„für jedes Element aus der Menge s wiederhole“

Schreibe das, was folgt, in die 3. Spalte der aktuellen Zeile (@Spaltennr.)

Name des betrachteten Elements (.tl)

Wert des Parameters a(s) des betrachtetenElements

Leerzeile Trennung der Einträge hinter put durch Komma (zu empfehlen) oder Leerzeichen

Schreibe Kommentar zum parameter s

Beispiel



put b.ts /;loop(k,

put @3, k.tl , @10, b(k)/;);put /;

put "Transportkosten: " z.l /;put /;

put "Transportmengen" //;

put "von":8, "nach":8, "Menge":>8 //;loop((s,k),

put s.tl:8, k.tl:8, x.l(s,k):8:2 /;);

Zielfunktionswert (Variable) schreiben

Anzahl der Stellen, die für diesenEintrag reserviert werden (Feldbreite)

Ausrichtung des Eintrags innerhalbder reservierten Feldbreite, hier: rechtsbündig

Anzahl an Dezimalstellen von derFeldbreite, hier: 2 von 8 Stellen (nurbei numerischen Einträgen)

Beispiel - Fortsetzung



Transportproblem

Kapazität am Standort sB 350.00HH 500.00M 550.00

Nachfrage des Kunden kDD 300.00F 300.00K 250.00S 150.00H 350.00

Transportkosten: 1910.00

Transportmengen

von nach Menge

B DD 300.00B F 0.00B K 0.00B S 0.00B H 50.00HH DD 0.00HH F 0.00HH K 200.00HH S 0.00HH H 300.00M DD 0.00M F 300.00M K 50.00M S 150.00M H 0.00

Entstehende Ausgabedatei

Ausgabe_Transport.txt



Transportmengen als Tabelle - Quellcode

put "":10:0;

loop(k,put k.tl:>10 ;

);

put /;

scalar i ;

for(i=1 to 60,put "-";

);

put /;

loop(s,put s.tl:10:0 ;

loop(k,put x.l(s,k):10:2 ;

);

put /;

);

Tabellenkopf erzeugen

Strich über gesamte Tabellenbreite erzeugen

geschachtelte loop-Anweisungzur Ausgabe einer Tabelle

Äußerer loop: Zeilen

Innerer loop: Spalten



DD F K S H

------------------------------------------------------------

B 300.00 0.00 0.00 0.00 50.00

HH 0.00 0.00 200.00 0.00 300.00

M 0.00 300.00 50.00 150.00 0.00

Transportmengen als Tabelle - Ausgabedatei



Zusammenfassung Ausgabeobjekte

• Text in Ausgabedatei schreiben:

• einfacher Text: in "…" bzw. '... '

• Kommentare zu Bezeichnern: Bezeichner.ts

• Namen von Elementen: BezeichnerMenge.tl

• u. a.

• Numerische Objekte in Ausgabedatei schreiben:

• Werte von parameters etc.: Bezeichner(Indexmenge)

• Wert/Schranken von variables/equations: Bezeichner.l/.m/.lo/.up(Indexmenge)

• Mengenzugehörigkeit in Ausgabedatei schreiben:

• Zugehörigkeit von Elemente zu Mengen: Bezeichner(Index)



• Text: linksbündig 0 Stellen

• Namen: linksbündig 12 Stellen

• numerische Objekte: rechtsbündig 12 Stellen

• Elemente von Mengen: rechtsbündig 12 Stellen

Formatierung von Ausgabeobjekten (lokal)

Standardmäßig: Ausrichtung Feldbreite

Anpassung für einzelne Outputobjekte:

Objekt: Ausrichtung Feldbreite:Dezimalstellen

Ausgabe-objekt

Optional:> Rechtsbündig< Linksbündig<> zentriert

Anzahl der Stellen des reservierten Platzes

Anzahl der Dezimalstellen an der Gesamtzahl der Stellen



Weitere Anmerkungen zu Ausgabedateien

Mittels verschiedener Suffixe:

• Möglichkeiten zur globalen Formatierung der Ausgabeobjekte

• diverse Möglichkeiten zur Gestaltung des Seitenlayouts (Seitenformat, Seitenabschnitte)

• Möglichkeit zur einfachen Ausgabe formatierter Dateien zum Einlesen in Excel oder Datenbanken (leerzeichen-, tabstopp- bzw. kommagetrennt)

• Möglichkeiten zur Cursor- und Seitenkontrolle

• u. a. siehe User´s Guide



9:

Häufige Fehlermeldungen und mögliche Ursachen


• Logfile (.log-Datei):

Fehlermeldungen werden mit Zeilenangabe in der Reihenfolge ihres Auftretens im logfile-Fenster angezeigt.

Doppelklick auf die rot markierte Fehlermeldung führt zur fehlerhaften Zeile in der .gms-Datei.

Fehleranzeige

Ein Fehler führt oft zu mehreren Fehlermeldungen, die erste Fehler-meldung ist die wichtigste.

9. Häufige Fehlermeldungen und mögliche Ursachen

• Echo Print (im Listing):

Fehlernummer erscheint im Echo Print direkt in der Zeile unterhalb der (scheinbar) fehlerhaften Zeile an entsprechender Stelle und die Zeile wird durch **** markiert.

Am Ende des Echo Prints werden alle aufgetretenen Fehlernummern mit Beschreibung des Fehlers aufgeführt.

(Beispiele für Fehlermeldungen beziehen sich auf die bisher behandelten Beispiele)


--- Starting compilation--- Schiff.gms(40) 3 Mb 1 Error*** Error 36 in V:\OR_und_Logistik\WS0607\Uebung\GAMS\Schiff.gms

'=' or '..' or ':=' or '$=' operator expectedrest of statement ignored

--- Schiff.gms(48) 3 Mb 2 Errors*** Error 257 in V:\OR_und_Logistik\WS0607\Uebung\GAMS\Schiff.gms

Solve statement not checked because of previous errors--- Schiff.gms(48) 3 Mb 2 Errors*** Status: Compilation error(s)

40 zf F =e= sum(j, c(j)*x(j));**** $36...

48 solve schiffsbeladung maximizing F using lp ;**** $257...Error Messages

36 '=' or '..' or ':=' or '$=' operator expectedrest of statement ignored

257 Solve statement not checked because of previous errors

**** 2 ERROR(S) 0 WARNING(S)

Fehler: Vergessene Punkte bei Definition der Un-/Gleichungen


Schiff.lst

Schiff.log



Unrecognizable item - skip to find a new statementlooking for a ';' or a key word to get started again


Solve statement not checked because of previous errors...

40 zf.. F =e= sum ( j, e(j)*x(j) )41 volres.. sum ( j, v(j)*x(j) ) =l= R ;

**** $409...

48 solve schiffsbeladung maximizing F using mip ;**** $257

Error Messages

257 Solve statement not checked because of previous errors409 Unrecognizable item - skip to find a new statement

looking for a ';' or a key word to get started again



Fehler: Vergessene notwendige Semikolons

Schiff.lst

Schiff.log



'=l=' or '=e=' or '=g=' operator expected--- Schiff.gms(48) 3 Mb 2 Errors*** Error 257 in V:\OR_und_Logistik\WS0607\Uebung\GAMS\Schiff.gms


40 zf.. F = sum ( j, e(j)*x(j) ) ;**** $37...

48 solve schiffsbeladung maximizing F using mip ;**** $257...Error Messages

37 '=l=' or '=e=' or '=g=' operator expected257 Solve statement not checked because of previous errors



Fehler: Falsche Angabe des Relationszeichens

Schiff.lst

Schiff.log


13 v(j) Volumen pro Tonne des Produkts j / A 1,5**** $170

14 B 1.9**** $1$334

15 C 1.716 D 1.317 E 2.2 /

...

Error Messages

1 Real number expected141 Symbol neither initialized nor assigned

A wild shot: You may have spurious commas in the explanatorytext of a declaration. Check symbol reference list.

170 Domain violation for element257 Solve statement not checked because of previous errors334 Illegal data following a data element - rest ignored


Domain violation for element--- Schiff.gms(18) 1 Mb 3 Errors*** Error 1 in V:\OR_und_Logistik\WS0607\Uebung\GAMS\Schiff.gms

Real number expected*** Error 334 in V:\OR_und_Logistik\WS0607\Uebung\GAMS\Schiff.gms

Illegal data following a data element - rest ignored...


Fehler: Komma statt Punkt bei Zahlen

Schiff.lst

Schiff.log


8 parameters e(j) Erloes pro Tonne ... A 35...

40 zf.. F =e= sum ( j, c(j)*x(j) ) ;**** $140...

48 solve schiffsbeladung maximizing F using mip ;**** $257...

Error Messages

140 Unknown symbol257 Solve statement not checked because of previous errors



Unknown symbol--- Schiff.gms(48) 3 Mb 2 Errors*** Error 257 in V:\OR_und_Logistik\WS0607\Uebung\GAMS\Schiff.gms


Fehler: Verwendung nicht deklarierter Symbole


Schiff.lst

Schiff.log


8 parameters e(j) Erloes pro Tonne des Produkts j9

10 v(j) Volumen pro Tonne des Produkts j / A 1.5...

37 zf.. F =e= sum ( j, e(j)*x(j) ) ;...

45 solve schiffsbeladung maximizing F using mip ;**** $66,256**** The following MIP errors were detected in model schiffsbeladung:**** 66 equation zf .. symbol "e" has no values assigned...Error Messages

66 The symbol shown has not been defined or assignedA wild shot: You may have spurious commas in the explanatorytext of a declaration. Check symbol reference list.

256 Error(s) in analyzing solve statement. More detail appearsBelow the solve statement above


--- Starting compilation--- Schiff.gms(45) 3 Mb 2 Errors*** Error 66 in V:\OR_und_Logistik\WS0607\Uebung\GAMS\Schiff.gms

The symbol shown has not been defined or assignedA wild shot: You may have spurious commas in the explanatorytext of a declaration. Check symbol reference list.

*** Error 256 in V:\OR_und_Logistik\WS0607\Uebung\GAMS\Schiff.gmsError(s) in analyzing solve statement. More detail appearsBelow the solve statement above

Fehler: Verwendung von Symbolen, denen kein Wert zugewiesen


Schiff.log

Schiff.lst



Dimension different - The symbol is referenced with more/lessindices as declared

*** Error 149 in V:\OR_und_Logistik\WS0607\Uebung\GAMS\Schiff.gmsUncontrolled set entered as constant



...

34 equations zf Zielfunktion (Erloesmaximierung)35 volres Volumenrestriktion36 gewres Gewichtsrestriktion37 koppgl(j) Kopplungsgleichung

...43 koppgl.. x(j) =l= L(j)*y(j) ;

**** $148 $149 $149 $149...


148 Dimension different - The symbol is referenced with more/lessindices as declared

149 Uncontrolled set entered as constant257 Solve statement not checked because of previous errors


Fehler: Falsche Referenzierung (andere Dimension)

Schiff.lst

Schiff.log



Domain violation for element--- Schiff.gms(49) 3 Mb 2 Errors*** Error 257 in V:\OR_und_Logistik\WS0607\Uebung\GAMS\Schiff.gms

Solve statement not checked because of previous errors--- Schiff.gms(49) 3 Mb 2 Errors...

1 set j Produktmenge2 /A3 B4 C5 D6 E/ ;7 8 parameters e(j) Erloes pro Tonne des Produkts j / A 359 B 4210 C 3611 D 2912 E 6213 F 34/

**** $170...


170 Domain violation for element257 Solve statement not checked because of previous errors


Fehler: Elemente sind nicht definiert

Schiff.lst

Schiff.log



A suffix is missing--- Schiff.gms(34) 3 Mb 1 Error*** Status: Compilation error(s)

50 display F ;**** $143...Error Messages

143 A suffix is missing



Fehler: Fehlender Suffix bei Variablen/Gleichungen in der display-Anweisung (.l, .m, .lo, .up)

Schiff.lst

Schiff.log



Dimension different - The symbol is referenced with more/lessindices as declared

*** Error 194 in V:\OR_und_Logistik\WS0607\Uebung\GAMS\Schiff.gmsSymbol redefined - a second data statement for the same symbol

or a data statement after an assignment...

11 parameters e(j) Erlös pro Tonne des Produkts j / A 35...1617 v(j) Volumen pro Tonne des Produkts j / A 1.518 B 1.919 C 1.720 D 1.321 E 2.2 /22

...30 scalars V Volumen des Binnenschiffs /200/

**** $148 $194...148 Dimension different - The symbol is referenced with more/less

indices as declared194 Symbol redefined - a second data statement for the same symbol

or a data statement after an assignment...

Fehler: Doppelte Verwendung gleichnamiger Bezeichner für verschiedene Items


Schiff.lst

Schiff.log



Explanatory text can not start with '$', '=', or '..'(-or- check for missing ';' on previous line)



24 scalars R =Volumen des Binnenschiffs /200/**** $97...48 solve schiffsbeladung maximizing F using mip ;

**** $257...Error Messages

97 Explanatory text can not start with '$', '=', or '..'(-or- check for missing ';' on previous line)

...

Fehler: Verbotener Beginn von Kommentaren

Abhilfe: „ Kommentar“ bei Beginn mit $, = oder .. (reservierte Symbole), ebenso bei Komma, Semikolon oder Slash im Text


Schiff.lst

Schiff.log



Discrete variables can only appear in MIP, RMIP, MINLPor RMINLP problems.

*** Error 256 in V:\OR_und_Logistik\WS0607\Uebung\GAMS\Schiff.gmsError(s) in analyzing solve statement. More detail appearsBelow the solve statement above

...

48 solve schiffsbeladung using lp maximizing F ;**** $65,256**** The following LP errors were detected in model schiff:**** 65 equation koppgl .. discrete variable "y" not allowed**** 65 equation anzauftr .. discrete variable "y" not allowed...65 Discrete variables can only appear in MIP, RMIP, MINLP

or RMINLP problems.256 Error(s) in analyzing solve statement. More detail appears

Below the solve statement above...


Fehler: Auswahl des falschen Modelltyps

Schiff.lst

Schiff.log


Domschke, W., Drexl, A. (2005): Einführung in Operations Research, 6. Aufl., Berlin u.a.

GAMS Development Corporation (Hrsg.) (2006), GAMS – A User´s Guide, Books on Demand, Norderstedt (bzw. www.gams.com o. GAMS - Menü Help)

Rosenthal, R. E. (2006): A GAMS Tutorial; in: GAMS Development Corporation (Hrsg.) (2006), GAMS – A User´s Guide, Books on Demand, Norderstedt

Entscheidungsprobleme und Modellierung

GAMS

GAMS Homepage: www.gams.com

Literatur

GAMS IDE Documentation (www.gams.com bzw. GAMS - Menü Help –Help Topics)

McCarl, B. A. (2006): McCarl GAMS User Guide Documentation(www.gams.com bzw. GAMS - Menü Help – Help Topics)

Documents

Gams Skript Uebung 140507 - TU Dresden