Gebietsteilung durch eine Kurve zweiter Ordnung. Von

Karl Kommerell in Ttibingen.

Bei der synthetischen Behandlung der Kurven zweiter Ordnung wird die Eigensehaft einer solchen Kurve, die projektive Ebene gleieh einer Jordankurve in zwei v6!lig getrennte Gebiete zu teilen, mit Hilfe der Stetigkeit bewiesen. Dabei ist mir n ~ ein Beweis bekannt, der alle Anfozderungen an Strenge erfiillt: ich meine den Beweis yon Eariques in seinen ,,Vorlesungen fiber projektive Geometrie" (fibers. yon Fle'meher, 1903, w 69, S. 241 If.). Den Beweis, den Reye in seiner ,,Geometrie der Lage" (3. Aufl. 1886, I, S. 95) gibt, wird man heute nieht mehr aI8 ge- nfigend erachten, und bei Sturm, ,,Die Lehre von den geometrisehen Ver- wandtschaften" (Bd. I, 1908, S. 146), kann yon einem Beweis kaum die Rede sein. Enriques schliel~t sich bei seiner Grundlegung der projektiven Geometrie an den klassisehen Standpunkt v. Staudts an und benutzt also Stetigkeitsaxiome.

Nun kann man ~ber den Fundamentalsatz der proiektiven Geometrie ohne Benutzung von Stetigkeits~xiomen mit I-Iilfe des Desarguesschen und Pasealschen Satzes flit ein Geradenpaa~ gewianen, wie es Schur in seinen ,,Grundlagen der Geometrid' (1909, S. 49f.) getau hat. In einer schSnen Note 1) hat dann Schur die Polarentheorie der Kegelsehnitte mit Hilfe des Desarguesschen Satzes und des Pascalschen Satzes flit eine Kurve zweiter Ordnung entwickelt. Bei einem solehen Aufbau der pro- jektiven Geometrie entsteht dann das Bedtirfnis flit einen Beweis des Satzes, wonach eine Kurve zweiter Ordnung die projektive Ebene in zwei getrennte Gebiete zerleg~, der ohne Stetigkeitsaxiome auskommt. Dies ist der Anlal] flit die folgenden Entwieklungen.

Dabei bedienen wit uns des Pasch-Axioms (P-A); in der I4_Jlber~,- sehen Axiomgruppe ist es das Axiom II , : ,,Es seien A, B, C drei night in gerader Linie getegene Punkte ~nd a eine Gerade in d.er Ebene A, B, C,

1) ,,~ber den Hauptsa~z der Polarentheorie der Kegelsehnitte", Sitzungsber. d. Bayr. Akad. d. Wiss., math.-naturw. Abtlg., Jahrg. 1927, S. 259f.

308 K. Kommerell.

die keinen der drei Punkte trittt; wenn dann die Gerade a d~'ch einen Punkt der Strecke A B 9eht, so geht sie auch entweder dutch einen Punkt der Strecke B Coder clutch einen Punkt der Sirecke A C".

Wit beweisen zuerst den

S a tz . Jede Gerade, die dutch einen inneren Punkt in der Ebene einer Kurve zweiter Ordnung geht, schneidet die Ku~'ve'~).

Dabei soll ein ,,innerer" Punkt ein solcher sein, yon dem aus es keine Tangenten an die Kurve gibt, oder fiir den die Involution kon- jugierter Strahlen elliptisch ist, d . h . keine DoppelstraMen besitzt. Schueidet man die Involution konjugierter Strahlen des inneren Punktes P mit seiner Polaren ~, so erh~lt man auf ihr die Involution konjugierter Punkte, die nun auch elliptisch ist.

Eine die Kurve schneidende, abet nicht dutch den Mittelpunkt gehende Gerade aus P treffe P in Q, und die Polare q yon Q schneide

in R, d a n n i s t P QR ein Polardreieck. Q R tr~gt eine elliptische In-

Fig. 1.

volution, PQ als Sekante eine hyperbolische Involution konjugierter Punkte.

1. F a l l (Fig. 1). Die Gerade dutch den inneren Punkt P t~'ef/e Q R in einem Punkt P', der zwischen Q uncl R Iiegt. A sei ein Punkt auf P P', tier zwischen P und P' liegt. Nach dem (P-A), angewendet auf das Dreieck P P' R, schneider Q A die Gerade P R in einem Punkt Q', der zwisohen P and R liegt; ebenso schneider R A

die Gerade PQ in einem Punkt R', der zwischen Pund Q liegt. Die Polare a yon A schneide PQ in R", Q B in P" uud R P in Q", dann sind (P' P"), (Q' Q"), (I~'R") konjugierte. Punkte, da z.B. der Verbindungslinie der Pankte A und P der Schnittpunkt ihrer Polaren a und p, d .h . P" a]s Pol eut- spricht. Da die Involution konjugierter Punkte auf Q R elliptisch, auf PQ hyperbolisch ist, so liegt P" nicht zwischen Q und R und damit auch nicht zwischen Q und P', der Punkt R" dagegen liegt zwJschen P und Q. Nach dem (P-A), angewendet auf das Dreieck P P' Q, schneider P" R" = a die Gerade P P' in einem Punkt A', der zwiscben P und P', liegt uncl zu A konjugiert ist. Die Iuvolution (P, P'), (A, A') konjugierter Punkte ist also hyperboliseh, uncl P P' schneider die Kurve. Nach dem

~) Den Fall, wo der innere Punkt P d e r Mittelpunkt, also die Gerade ~ in Fig. 1 und 2 die unendlich ferne Oer~de iat, iib~rgehen wir. Dutch leich~e Ab- ~nderung des im Text Gesagten ergibt sieh der Beweis. Im iibrigen k6nnen dieser Fall und die welter unten erw~hnten Sondeff&lle dureh eine passend gew~hlte Zentralprojektion auf die im Text behanclelten Fklle zuriiekgefiihrt werden.

Gebietsteilung durch eine Kurve zweiter Ordnung. 309

(P-A), angewendet auf alas Dreieck PQ R, schneide~ P" R" = a die Oe- fade P R in dem Punkt Q" zwJschen P und R. Die Involution (P, R), (Q', Q") konjugierter Punk~e ist wieder hyperbolisch, und datum schneidet auvh PR die Kurve.

2. F a l l (Fig. 2). Die Gerade dutch P schneide die Gerade Q R in einem Punlct P', der nioht zwischen Q und R liegt. Man kann annehmen, dab Q zwischen R und P' liegt: anderenfalls vertausche man die Namen der Punkte Q und R. A sei wieder ein Punkt yon P P' zwischen P und P'. R A schneider nach dem (P-A) fiir das Dreieck P P'Q die Oerade P Q in einem Punkt R' zwischen P und Q. Der zu R' konjugierte Punkt R" auf PQ liegt zwischen P und Q, und dez zu P' konjugierte P" auf Q R zwischen Q und R, also nicht zwischen Q und P'. P" R" ist jetzt die Polare a von A und schneidet nach dem (P-A) flit das Drei- eck PP'Q die Gerade PP ' in einem Punkt A' zwischen P und P', dem konjugierten zu A. Die Involution konjugierter Punkte (P, P'), (A, A') ist also hyperbolisch, und P P' schneider die Kurve, womit der Satz bewiesen ist.

Nennt man ~iuflere Punkte in der Ebene einez Kurve zweiter Ordnung solche, yon denen aus zwei Tangenten an die Kurve gehen, so ist jeder Punkt einer Geraden, die die Kurve nicht schneider, fiir die also die Involution konjugierter Punkte elhptisch ist (vgl. die Gerade Q R in Fig. 1 und 2) ein ~iu~erer; denn die Polare irgendeines ihrer

p. p,

~rp

Fig. 3.

Punkte P", n~mlich P P', schneider die Kurve. Sind J und K die Schnittpunkte, so sind J P" und K P" die Taugenten aus P".

A]le Punkte einer Tangente t aul~er dem Berilhrungspunkte T sind ~iu~ere Punkte; denn ist t' eine andere Tangente, so schneiden die Kurventangenten aus t und t' projektive Punktreihen aus. Ist A ein yon T verschieclener Punkt yon t, A' dez entsprechencle auf t', so ist A A' Tangente und verschieden yon $. Von A gehen also zwei Kurven- tangenten aus, n~imlich t uad A A'.

Ob nun innere Punkte wirklich existiezen, folgt aus dem Vorher- gehenden nicht: Seien darum (Fig. 3) U, V zwei Kurvenpunkte und R der Schnittpunkt der Tangenten in U, V -- clef Pol yon U I z --, so tege man dutch R eine behebige Sekante R X Y , welche U V in P trifft.

310 K. Kommerell.

Die Tangenten in den Kurvenpunkten X, Y schneiden sich in einem Punkt Q yon U V, und es ist jetzt das Dreieck P Q R ein Polardreieck. Wit behaupten nun, dal~ P ein innerer Punkt ist.

BeweisS) . Wir kehren zu Fig. 1 zurfick, wo, wie in Fig. 3, P R und PQ hyperbolische Involutionen konjugierter Punkte tragen. P' sei wiecler ein Punkt zwischen Q und R, und A ein Punkt zwischen p und P'. R A schneider PQ in einem Punkt R', der zwischen P und Q liegt, und QA schneider P R in einem Punkt Q' zwischen P und R. Der zu R' konjugierte Punk~ R" auf PQ liegt zwischen P und Q, and der zu Q' konjugierte Q" auf P R liegt zwischen P und R, da P Q und P R hyperbolische Involutionen konjugierter Punkte tragen. Nach dem (P-A) flit das Dreieck PQR schneidet Q"R", d.h. die Polare a yon A, die Gerade Q R in einem Punkt P", dem konjugierten zu P', der nicht zwischen Q und R liegt. Die Involution konjugierter Strahlen (PQ, PR) und (PP ' , P P") aus P ist also elliptisch, und P ist, wie behauptet warde, ein innere~" Punkt.

Die Schni~tpunkte U V (Fig. 3) der Geraden PQ mit der Kurve be- grenzen nun auf der Gesamtgeraden U F zwei Kontinua: wit behaupten nun, daI~ al]e inneren Punkte des Kontinuums, in dem P liegt, innere Punkte in bezug auf die Kurve zweiter Ordnung sind.

B e w e i s . Wie in der Fig. 3 bereits angenommen wurde, heLGe der- jenige der be/den Schnit~punkte U, F, der zwisehen P uud Q liegt, V. Das Kontinuum, in dem P liegt, zerf~llt in die Teflkontinua UP und P F, und datum sind zwei Ffi,lle zu unterscheiden~).

1. F a l l (Fig. 4). R' sei e~n Punkt zwischen P ,tnd V, dann liegt der zu R' koujugierte Punkt R" yon UV zwischen V und Q: R', R" werden n~n}ich yon U, F (harmonisch) getrenn~ und yon P, Q niche, da die Involution (P, Q), (R', R") hyperbolisch ist. Isfi nun A ein Punkt auf RR' zwischen R und R', so schneider QA nach dem (P-A), an- gewendet auf das D~eieck P R R', die Gerade P R in emem Punkt Q', der zwischen P und R liegt: da namlich U F P Q vier harmonische Punkte sind, so liegt Q nicht zwischen P und V und datum auch nicht zwischen P und R', und A wurde ja zwischen 1~ and R' angenommen.

'8) 1n der Figur wurde ~,genommen, dab weder Q noeh R i m Unendliehen liegb. Wir fibergehen der Kiirze halber diese Fa'le, die ~hnlich zu behandeln sind, nnd verweisen im iibrigen auf den Schlul3 tier FuSnote auf S. 308.

4) In der Figur wurde angenommen, dab alas Kon~inuum, Jn dem P liegt, die Strevke U V ist. Es k6nnte nun auch U ins Unendliche fallen, od,r P k6nnte aullerhalb der S~recke U V liegen. I)iese Falle erled'gen sich ganz analog. Aueh den Fall, dab U F Durehmesser ist, also Re in unendlich ferner Punkt ist, iiber- gehen wir. Es sei nochmals ~uf den Schlut} der Fut3note auf S. 308 verwiesen.

Gebietsteilung durch eine Kurve zweiter Ordnung. 311

Der zu Q' konjugierte Punkt Q" auf P R liegt aueh zwisehen P und R, da P R eine hyperbolische Involution tr~gt. Q" R" ist die Polare a yon A und schneider nach dem (P-A), angewendet auf das Dreieek P RR', die Gerade R R' in dam zu A konjugierten Punk% A' zwischen R und R'. Die Involution (R, R'), (A, A') ist hyperboliseh, R R' schneider die Kurve, und R' is$ aus demselben Grunde innerer Punkt wie in Fig. 3 P a l s

Sehnitt yon U V und X Y. 2. F a l l (Fig. 5). R' sei ein Punkt zwischen U und P. Der zu R'

konjugierte Punkt R" auf U V liegt, da R', R" yea U, V (harmoniseh) getrennt liegen, nieht zwisehen U und V, also auch nieht zwischen R' und P. A sei wieder ein Punk% zwisehen R und R', dann sehneidet A Q aus P R den Punkt Q' aus, der zwischen P und R liegt. Der zu Q' konjugierte Punkt Q" auf P R liegt wie oben aueh zwisehen P und /~.

,q

Fig. 4.

R

Fig. 5,

Nach dem (P-A), angewendet aui das Dreieek P R R ' , schneider Q"R", d.h. die Polare a yon A, die Gerade R R' in dem zu A konjugierten Punk% A' zwisehen R und R'. Die Involution (R, R'), (A, A') ist hyper- bolisch, R R" schneider die Kurve, und R' ist aus demselben Orunde innerer Punkt, wie in Fig. 3 P a l s Schnitt yon U Y und X Y.

Das ganze yon U, V begrenzte Kontinuum U V, in dem P liegt, mit Ausnahme der Begrenzungspunkte U, V (Kurvenpuakte), besteht also aus inneven Punlcten.

Durchl~uft P in Fig. 3 das Intervall tier inneren Punkte, so dnrch- l~uft tier konjugierte Punkt Q, der ja nach dem obigen stets ein ~uBerer Punkt ist, alas offene Restintervall der Gesamtgeraden U V. Dieses of]ene Restintervall besteht also aus lauter •ufleren Punkten. Daraus folgt: Von einem beliebigen inneren Punkt A kann man naeh einem beliebigen inneren Punkt B auf gerader Linie gehen, wobei nut innere Punk%e passiert werden. Entsprechendes gilt flit zwei ~uBere Punkte. Dagegen ist es unmSglich, auf gerader Linie yon dem inneren Punkt A naoh dem/iuBeren Punkt B zu gelangen, ohne die Kurve zu t~effen. Ja man sieht aueh leicht ein, dab es keinen Polygonweg gibt, der, ohne einen Kuzvenpnn~ zu treffen, yon A nach B Iiihrt. Damit ist unser Ziel erreicht.

312 K. Kommerell, Gebietsteilung dutch eine Kurve zweiter Ordnung.

Wit beweisen zum Schlu~ noch den

Sa tz . Von einem Polar~reieck einer Kurve zweiter Ordnu~ liegt ste~s eine JEcke im Gebiet der inneren Punkte, die zwei anderen JEcIcen liegen i~ Gebiet der aufleren Pun~e.

Zum Beweis gehe man in Fig. 3 yon dem ~uBeren Punk~ Q aus, so schneidet seine Po]are X Y die Kurve, die zwei anderen Ecken P und R werden yon X, Y harmonisch getrennt; der eine dieser ist also ein iunerer, der andere ein ~iu~erer Punkt. Geht man yon dem inneren Punkr P aus, so schneider P R stets die Kurve in zwei Punkten X uud Y. R ist jetzt ein ~iuBerer Punkt, und die Tangenten in X und Y best~m_men a]s Schnittpunkt die dritte Ecke Q, die ein gu~erer Punkt ist.

Ttibingen, den 8. Juni 1933.

(~,,ingegsngen am 11. 6. 1933.)