Geometrie Geometria max. punti: 35 Durata: 60 minuti · È data la seguente piramide regolare a base esagonale. Il lato dell’esagono 𝑠 Il lato dell’esagono 𝑠 misura 3.0

Unterschrift Prüfungskandidat/in: Ort / Datum:

Firma della candidata / del candidato: Luogo / data:

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Geometrie max. Punkte: 35 Dauer: 60 Minuten

Geometria max. punti: 35 Durata: 60 minuti

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Einheitsprüfung / esame uniformato 2019 Fach / Materia: Geometrie – Geometria

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Der Lösungsweg ist vollständig anzugeben. Alle notwendigen Rechnungen und Konstruktionen sind auf dem Lösungsblatt durchzuführen. Probierlösungen und Lösungen ohne Herleitung ergeben keine Punkte. Die Konstruktionslinien müssen sichtbar sein. Konstruktionen können mit Bleistift durchgeführt werden. Die Lösung ist hervorzuheben. Der Taschenrechner darf verwendet werden. Il procedimento di soluzione deve essere completo. Tutti i calcoli necessari e le costruzioni sono da eseguire sul foglio delle soluzioni. Tentativi di soluzione o soluzioni senza deduzioni non si valutano. Le linee di costruzione devono essere visibili. Le costruzioni possono essere eseguite a matita. La soluzione va evidenziata. L’uso della calcolatrice tascabile è permesso.

Punkte punti

1. Gegeben ist der folgende Würfel mit der Kantenlänge 5 𝑐𝑚.

𝑀 ist die Seitenmitte. È dato il seguente dado i cui lati misurano 5 𝑐𝑚.

M è il punto medio dello spigolo.

a) Berechne den Flächeninhalt der Fläche 𝐴𝐵𝐺𝐻. Runde auf eine Stelle nach dem Komma. Calcola la superficie dell’area 𝐴𝐵𝐺𝐻. Arrotonda a un posto dopo la virgola.

b) Berechne die Länge der Strecke 𝐴𝑀.

Calcola la lunghezza del segmento 𝐴𝑀.

2

1

M



Punkte punti

2. Gegeben sind die Punkte 𝑃(2 / 3) und 𝑄(7 / 5) im Koordinatensystem.

Konstruiere den kürzesten Weg einer Kugel, die von 𝑃 nach 𝑄 rollt. Dabei soll die Kugel zuerst die x-Achse (Wand) treffen. Markiere mit Farbe diesen Punkt 𝑋 auf der x-Achse.

Sono dati i punti 𝑃(2 / 3) e 𝑄(7 / 5) nel sistema di coordinate. Costruisci la via

più breve percorsa da una pallina che rotola da 𝑃 a 𝑄, tenendo conto che la pallina deve prima toccare l’asse x (parete). Segna con il colore questo punto 𝑋 sull’asse x.

2



Punkte punti

3. Konstruktion mit Zirkel und Lineal: Costruzione con compasso e riga: a) Spiegle das folgende Dreieck ABC am Mittelpunkt der Seite AC:

Costruisci la figura immagine del seguente triangolo ABC con una simmetria centrale. Il centro di simmetria è il punto medio del lato AC.

b) Was für eine neue Figur ist dabei entstanden? Quale nuova figura risulta dalla proiezione?

Lösung/Soluzione: ……………………………………………………………….

c) Von einem Dreieck kennt man die Länge der Schwerlinie 𝑠𝑏 = 5 𝑐𝑚, sowie

die Seitenlängen 𝑏 = 5.2 𝑐𝑚 und 𝑐 = 6 𝑐𝑚. Konstruiere dieses Dreieck mit Zirkel und Lineal. Di un triangolo si conosce la lunghezza della mediana 𝑠𝑏 = 5 𝑐𝑚, così come la lunghezza dei lati 𝑏 = 5.2 𝑐𝑚 e 𝑐 = 6 𝑐𝑚. Costruisci questo triangolo con il compasso e la riga.

1

1

1



D C

BM

𝛼

𝛽

𝛾2 𝛾1

A

90°

15° 𝛼

휀

𝛿 A

B

Geben Sie hier eine Formel ein.

M

P Q

w

5°

Punkte punti

4. Die Abbildungen sind nicht massstabsgetreu. Le figure non sono in scala. a) w ist die Winkelhalbierende des Winkels ∠ AMQ.

Berechne die Winkel 𝛿, 𝛼 und 휀.

w è la bisettrice dell’angolo ∠ 𝐴𝑀𝑄. Calcola l’ampiezza degli angoli 𝛿, 𝛼 e 휀.

𝛿 = ……..

𝛼 = ……..

휀 = ……..

b) Gegeben ist das Trapez ABCD mit 𝛽 = 56° und 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ = 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ . Berechne die Grösse der Winkel 𝛾2 und 𝛼.

È dato il trapezio ABCD con 𝛽 = 56° e 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ = 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ . Calcola l’ampiezza degli angoli 𝛾2 e 𝛼.

𝛾2 = ………

𝛼 = ……….

3

2



Punkte punti

5. a) Skizziere im Würfel den Körper aus den drei Ansichten. Schizza nel cubo il solido corrispondente alle tre proiezioni. von vorne / frontale von rechts / da destra von oben / dall’alto

Zum Probieren: Prova:

LÖSUNG: SOLUZIONE:

b) Welcher Körper wird im Würfel dargestellt? Quale solido viene rappresentato nel cubo?

Lösung/Soluzione: …………………………………………………

1

1



Punkte punti

6. Die Abbildung ist nicht massstabsgetreu. Bestimme x, wobei die schraffierte Fläche gleich gross ist wie die Fläche A. La figura non è in scala. Determina x tenendo conto del fatto che la superficie tratteggiata è grande quanto la superficie A.

3



Punkte punti

7. Gegeben ist dieses Prisma: È dato il seguente prisma:

a) Berechne sein Volumen, wenn die Häuschenlänge 1cm lang ist. Calcola il suo volume, se la lunghezza di un quadratino è di 1 cm.

b) Skizziere die Ansicht von oben: Schizza la proiezione dall’alto: Zum Probieren: Prova:

LÖSUNG: SOLUZIONE:

2

1



Punkte punti

c) Das Prisma wird nun einmal nach hinten gekippt und anschliessend von oben betrachtet im Uhrzeigersinn um 90° gedreht. Skizziere für diese Endposition alle sichtbaren Linien. Il prisma viene ora ribaltato all’indietro e quindi, osservandolo dall’alto, rotato in senso orario di 90°. Schizza tutte le linee visibili del prisma nella posizione finale. Zum Probieren: Prova:

LÖSUNG: SOLUZIONE:

2



Punkte punti

8. Die Figur ist aus einem Quadrat und einem Trapez aufgebaut. Der Flächeninhalt

der gesamten Figur beträgt 288 𝑐𝑚2, wobei das Quadrat und das Trapez den gleichen Flächeninhalt haben. La figura è formata da un quadrato e da un trapezio. La superficie dell’intera

figura è di 288 𝑐𝑚2. La superficie del quadrato e la superficie del trapezio sono uguali. a) Berechne die Höhe ℎ des Trapezes.

Calcola l’altezza ℎ del trapezio.

b) Berechne die Länge des Schenkels 𝑎.

Calcola la lunghezza del lato 𝑎.

2

2

𝑠

𝑎

𝑠

𝑠

𝑠

𝑎

2𝑠

ℎ



Punkte punti

9. Berechne für diesen Quader die unbekannte Kantenlänge 𝑥. Die Oberfläche

des Quaders beträgt 𝑆 = 1212 𝑐𝑚2. Calcola per questo parallelepipedo la lunghezza del lato 𝑥. La superficie del

parallelepipedo è di 𝑆 = 1212 𝑐𝑚2.

2

18 𝑐𝑚

12 𝑐𝑚

𝑥 𝑐𝑚



Punkte punti

10. Gegeben ist die folgende regelmässige Sechseckspyramide mit der Seitenlänge 𝑠 = 3.0 𝑐𝑚 und der Pyramidenhöhe ℎ = 4.0 𝑐𝑚.

È data la seguente piramide regolare a base esagonale. Il lato dell’esagono 𝑠 misura 3.0 cm e l’altezza della piramide ℎ misura 4.0 cm. a) Berechne die Seitenkante 𝑘.

Calcola lo spigolo laterale 𝑘.

b) Berechne den Flächeninhalt des regelmässigen Sechsecks am Boden (Grundfäche). Runde auf zwei Stellen nach dem Komma. Calcola la superficie dell’esagono regolare alla base (superficie della base). Arrotonda a due posti dopo la virgola.

2

2

ℎ

𝑘

𝑠



M

Punkte punti

c) Konstruiere das Netz dieser Pyramide. Der Mittelpunkt M des Sechsecks ist gegeben. Costruisci lo sviluppo di questa piramide. È dato il centro della base dell’esagono M.

2

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Geometrie Geometria max. punti: 35 Durata: 60 minuti · È data la seguente piramide regolare a base esagonale. Il lato dell’esagono 𝑠 Il lato dell’esagono 𝑠 misura 3.0