Geraden- und Ebenengleichungen und Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen erstellt von Petra Bader

Geraden- und Ebenengleichungen und Lagebeziehungen zwischen

Geraden und Ebenen

erstellt von Petra Bader

I. Lehrplan-bezug

II. Geraden- und Ebenen-gleichungen

III. Lagebe-ziehungen zwischen Geraden und Ebenen

I. Lehrplanbezug

Lehrplanbezug

Grundkurs in Klasse 13:13.4 Geraden- und Ebenengleichungen in Vektor- und

Koordinatenschreibweise (7 Stunden)

13.5 Lagebeziehungen zwischen Punkten, Geraden und Ebenen (7 Stunden)

Leistungskurs in Klasse 12:12.4 Geraden- und Ebenengleichungen in Vektor- und

Koordinatenschreibweise (6 Stunden)

12.5 Lagebeziehungen zwischen Punkten, Geraden und Ebenen (11 Stunden)

I. Lehrplan-bezug



I. Lehrplanbezug

Geraden- und Ebenengleichungen in vektorieller Parameterform

Geraden- und Ebenengleichungen in KoordinatenformA1x1+A2x2+A3 = 0; AiR

Hinweis auf Nichteindeutigkeit der Darstellung; geeignete Zeichnungen und Skizzen

Gewinnen der Koordinatenform durch Eliminieren der Parameter; auch umgekehrt Aufstellen einer Parameterform aus einer Koordinatenform;Zusammenhang mit der Geradengleichung aus der Mittelstufe;Achsenabschnittsform;Spurpunkte und Spurgeraden;achsenparallele Geraden bzw. Ebenen;zeichnerische Darstellungen

Vektoren ermöglichen die einfache Beschreibung von Geraden und Ebenen des Anschauungsraums durch Gleichungen in Parameterform. Eliminieren der Parameter führt zur Koordinatendarstellung von Geraden in der Ebene und von Ebenen im Raum.

GK 13.4 und LK 12.4: Geraden- u. Ebenengleichungen in Vektor- u. Koordinatenschreibweise

ukax

I. Lehrplan-bezug



I. Lehrplanbezug

GK 13.5 und LK 12.5: Lagebeziehungen zwischen Punkten, Geraden und Ebenen

Lagebeziehungen von Punkten und Geraden in der Ebene

Lagebeziehungen von Punkten, Geraden und Ebenen im Raum

auch geometrische Deutung von linearen (2,2)-Systemen

geometrische Interpretation rechnerischer Ergebnisse;

auch zeichnerische Darstellung einfacher räumlicher Situationen

geometrische Deutung von linearen (3,3)-Systemen

Die Schüler sollen lernen, Lagebeziehungen von Punkten, Geraden und Ebenen rechnerisch zu untersuchen, Schnittpunkte bzw. Schnittgeraden sicher zu bestimmen und sich die gegenseitige räumliche Lage der geometrischen Objekte vorzustellen.

I. Lehrplan-bezug



II. Geraden- und Ebenen-gleichungen in Vektor- u. Koordinatenschreibweise

Geradengleichung in vektorieller ParameterformZwei-Punkte-Gleichung

kR

Punkt-Richtungs-Gleichung

kR

II.1.1 Geradengleichung in vektorieller Form

abkax x

b

a

ab

ukax

x

y

z

AB

X

O

x

a

u

x

y

z

A

X

O

I. Lehrplan-bezug




Bemerkungen zur Parameterdarstellung von Geraden

Bemerkungen:

1. Beide Vektorgleichungen sind gleichwertig.

2. Eine Gerade kann durch verschiedene Parameterdarstellungen beschrieben werden; für die Punkt-Richtungs-Gleichung beispielsweise eignet sich jeder Punkt der Geraden als Antragspunkt und auch jeder Vektor , k R\{0}, als Richtungsvektor.

=> Nicht die Parameterdarstellung, sondern eine Parameterdarstellung der Geraden

ukv

I. Lehrplan-bezug




II.1.2 Geradengleichung in Koordinatenform

Im zweidimensionalen Punktraum R² kann man den Parameter k aus der Geradengleichung eliminieren:

A1x1+A2x2+A3 = 0; AiR

I. Lehrplan-bezug




II.2 Darstellungsformen von Ebenen

Allgemein gilt: Eine Ebene E wird von zwei linear unabhängigen Vektoren „aufgespannt“.

ACundAB

A

C

B

X

E

)},(|{),,( RlkAClABkAXXCBAE

AB

AC

I. Lehrplan-bezug




II.2.1 Ebenengleichungen in vektorieller Parameterform (1)

a) Drei-Punkt-Gleichung

ac A

C

B

X

0

ab

ab

x

c

k,l R),()( aclabkax

E

I. Lehrplan-bezug



II. Geraden- und Ebenen-gleichungen in Vektor- u. KoordinatenschreibweiseII.2.1 Ebenengleichungen in vektorieller Parameterform

(2)

b) Punkt-Richtungs-Gleichung

u

A

E

X

0

a x

k,l R,vlukax

v

h

g

I. Lehrplan-bezug




II.2.2 Ebenengleichungen in Koordinatenform

A1x1 + A2x2 + A3x3 + A4 = 0, Ai R

I. Lehrplan-bezug



III. Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen

III.1. Lagebeziehungen zwischen Geraden

Im R² und R³ gibt es folgende Möglichkeiten:

1. Die beiden g und h schneiden sich: {S} = g∩h.

2. Die beiden Geraden g und h sind parallel und g h. Man sagt: g und h sind echt parallel

3. Die beiden Geraden g und h fallen zusammen: g = h. Man sagt: g und h sind entartet parallel.

Nur im R³:4. Die beiden Geraden g und h schneiden

sich nicht und sind nicht parallel. Man sagt: g und h sind zueinander windschief.

S

g

h

h

g

h

g

hg

I. Lehrplan-bezug




Bestimmung der Lage zweier Geraden

Gegeben:

Berechne:

Entscheide:

Entscheide:

linear unabhängig2112 ,, uuaa

g und h fallenzusammen

g=h

g und h sindecht parallel

gh=

g und h schneiden sich

gh={S}

g und h sindwindschief

gh=

ja

ja janein

nein

nein

1. Möglichkeit: Man untersucht die beiden Richtungs-vektoren und den Differenzenvektor der Antragspunkte auf ihre lineare Unab-hängigkeit.

1a

2a

2u1u

12 aa

linear unabhängig21,uu

linear unabhängig112 ,uaa

I. Lehrplan-bezug




Bestimmung der Lage zweier Geraden

2. Möglichkeit: Berechnung gemeinsamer Punkte Hat das Gleichungssystem:

- genau eine Lösung, so schneiden sich die Geraden (Schnittpunkt)

- keine Lösung, so sind die Geraden im R² echt parallel und im R³ echt parallel oder windschief (mit Hilfe der Richtungsvektoren unterscheidbar)

- unendlich viele Lösungen, so fallen die Geraden zusammen

I. Lehrplan-bezug




III.2.1 Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen

wlvkaxE

1: uraxg

2: k, l, r R

1. Gerade und Ebene schneiden sich; Schnittpunkt S

2. Gerade und Ebene sind echt parallel

3. Gerade liegt in der Ebene

gE={S}

linear unabhängigwvu ,,

gE=

1. linear abhängig2. lin. unabh.

wvu ,,wvaa ,,12

gE=g

1. linear abhängig2. lin. abh.

wvu ,,wvaa ,,12

w

0

1a

v S

E

gu

2a

E

0A2

A1

g

E

A2

A1

12 aa

E

A1

0

A2

g

u

u

u u

w

w

v

v

2a

2a

1a

1a

12 aa

I. Lehrplan-bezug




Bestimmung der Lage einer Gerade in Bezug auf Ebene

Gegeben:

Entscheide:

Entscheide:

g liegt in EgE =g

g echt parallel zu E

gE=

g schneidet EgE={S}

ja

ja

nein

nein

1. Möglichkeit: Untersuchung der linearen Unabhängigkeit

1a

v

2auw

Berechne: 12 aa

linear unabhängig

wvu

,,

linear unabhängig

wvaa

,,12

I. Lehrplan-bezug




Bestimmung der Lage einer Gerade in Bezug auf Ebene

2. Möglichkeit: Berechnung gemeinsamer Punkte Hat das inhomogene Gleichungssystem:

- keine Nullzeile auf der linken Seite genau eine Lösung (Parameterwerte für den Schnittpunkt)

- Nullzeile auf der linken Seite und rechte Seite ungleich Null keine Lösung (Gerade ist echt parallel zur Ebene)

- eine vollständige Nullzeile unendlich viele Lösungen (Gerade liegt in der Ebene)

I. Lehrplan-bezug




1. Ebenen schneiden sich; Schnittgerade g

III.2.2 Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen

1111 : wlvkaxE k, l, r, s R

2. Die beiden Ebenen sind echt parallel

3. Beide Ebenen fallen zusammen(entartet parallel)

2w

0

2v

0

A2

2w

2v

E2

1a

2a

A2

E1=E2A1

0

A2

E2

E1

A11v

1w

1a

2a

g

E1

1v

1w

12 aa

A1

2a1a

1v

2v

2w

12 aa

1w

2222 : wsvraxE

E1E2=

1. 2.

wvu ,,wvaa ,,12

u. l.,, 1112 wvaa

a. l.,,und,, 211211 wwvvwv

E1=E2

1.2.

a. l.,,und,, 211211 wwvvwv

a. l.,, 1112 wvaa

E1E2=g

wvu ,,

u. l.,,oder,, 211211 wwvvwv

I. Lehrplan-bezug




Bestimmung der Lage von zwei Ebenen

Gegeben:

Entscheide:

Entscheide:

1111 ,,: wvaE

2222 ,,: wvaE

E1 echt parallel E2

E1E2=

E1 und E2

schneiden sichE1E2=g

ja

ja

nein

nein

Berechne: 12 aa

linear unabhängig1112 ,, wvaa

211 ,, vwv

linear unabhängig211 ,,voder ww

E1 und E2

fallen zusammen E1=E2

Documents

Geraden- und Ebenengleichungen und Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen erstellt von Petra Bader