Geschichte der Mathematik Leonardo Pisani oder besser bekannt als Fibonacci Philipp von Detten

Geschichte der Geschichte der MathematikMathematik

Leonardo Pisani oder Leonardo Pisani oder

besser bekannt als besser bekannt als

FibonacciFibonacci

Philipp von DettenPhilipp von Detten

StrukturStruktur

Kurzer ÜberblickKurzer Überblick Biographie FibonaccisBiographie Fibonaccis Sein Hauptwerk: der „liber Sein Hauptwerk: der „liber

abbaci“abbaci“ Errungenschaften/FazitErrungenschaften/Fazit

Kurzer ÜberblickKurzer Überblick

Kurzer Überblick über die Zeit des Kurzer Überblick über die Zeit des 12. und 13. Jahrhunderts und das 12. und 13. Jahrhunderts und das die Entwicklung des die Entwicklung des BildungssystemsBildungssystems


Einrichtung von Schulen durch die Einrichtung von Schulen durch die RömerRömer

Der „Pädagoge“ von FrüherDer „Pädagoge“ von Früher Gutes Bildungssystem im römischen Gutes Bildungssystem im römischen

Reich (Elementarschulen, Reich (Elementarschulen, weiterführende Schulen, weiterführende Schulen, Universitäten)Universitäten)

Nach dem Zerfall ging das Nach dem Zerfall ging das Bildungssystem teilweise unterBildungssystem teilweise unter


Seit dem 4. Jahrhundert widmeten Seit dem 4. Jahrhundert widmeten sich Mönche dem Archivieren und sich Mönche dem Archivieren und Kopieren von TextenKopieren von Texten

Dazu lernten Mönche und Nonnen Dazu lernten Mönche und Nonnen Lesen und Schreiben und Lesen und Schreiben und übersetzten zahlreiche Bücherübersetzten zahlreiche Bücher


Spätestens zur Zeit Friedrichs des Spätestens zur Zeit Friedrichs des II. kümmerte sich unter anderem II. kümmerte sich unter anderem der Staat wieder um die Bildung der Staat wieder um die Bildung seiner Bürger. (12./13. seiner Bürger. (12./13. Jahrhundert)Jahrhundert)

Eine weitere Gruppe spielte eine Eine weitere Gruppe spielte eine bedeutende Rolle:bedeutende Rolle:

Die großen KaufleuteDie großen Kaufleute


Lesen, Schreiben und Rechnen war Lesen, Schreiben und Rechnen war für sie von existenzieller für sie von existenzieller BedeutungBedeutung

Bildung wurde somit „bürgerlich“Bildung wurde somit „bürgerlich“

Wiederentdeckung der „antiken Wiederentdeckung der „antiken Mathematik“ (in Europa) also Mathematik“ (in Europa) also schon im 12. und 13. Jahrhundert schon im 12. und 13. Jahrhundert


Was bedeutet Schule?Was bedeutet Schule?– Griechischen Ursprungs (σχολή) und Griechischen Ursprungs (σχολή) und

bedeutet soviel wie „Muße“:bedeutet soviel wie „Muße“:

der Ertrag der Arbeit war der Ertrag der Arbeit war mehrmehr als als das, was man am nächsten Tage das, was man am nächsten Tage wieder verzehrtwieder verzehrt

Wie sah es zur Zeit Wie sah es zur Zeit Fibonaccis in Fibonaccis in Europa/Norditalien aus?Europa/Norditalien aus?

Hohes BevölkerungswachstumHohes Bevölkerungswachstum Starker Anstieg der Produktion in Starker Anstieg der Produktion in

der Landwirtschaft durch der Landwirtschaft durch Revolutionen in der Revolutionen in der AgrarwirtschaftAgrarwirtschaft

Papierherstellung wurde Papierherstellung wurde mechanisiertmechanisiert

Pferd als „Nutztier“ entdecktPferd als „Nutztier“ entdeckt

Wie sah es zur Zeit Wie sah es zur Zeit Fibonaccis in Fibonaccis in Europa/Norditalien aus?Europa/Norditalien aus?

Verhältnis zwischen Kirche und Verhältnis zwischen Kirche und Kaufleuten besserte sichKaufleuten besserte sich

Dome wurden aus Kriegsbeuten Dome wurden aus Kriegsbeuten errichteterrichtet

Pisas schiefer Turm stand erst zu Pisas schiefer Turm stand erst zu drei Stockwerkendrei Stockwerken

Der „Niedergang“ Pisas am Der „Niedergang“ Pisas am 6.8.12846.8.1284

Biographie LeonardosBiographie Leonardos


Leonardo von PisaLeonardo von Pisa Geboren etwa 1170 in Pisa als Sohn von Geboren etwa 1170 in Pisa als Sohn von

Guido Bonacci; Guido Bonacci; dieser wird später Notar am Handelshof dieser wird später Notar am Handelshof der pisanischen Kaufleute in Bougie der pisanischen Kaufleute in Bougie (Küstenstadt Algeriens/Nordafrika), wohin (Küstenstadt Algeriens/Nordafrika), wohin er Leonardo zum Studium der er Leonardo zum Studium der Rechenkunst mitnimmt, als dieser ein Rechenkunst mitnimmt, als dieser ein Knabe ist.Knabe ist.

dort wird er durch „wunderbaren dort wird er durch „wunderbaren Unterricht“ in die Kunst der neun Unterricht“ in die Kunst der neun indischen Ziffern eingeführtindischen Ziffern eingeführt


er unternimmt - ob mit seinem Vater er unternimmt - ob mit seinem Vater oder allein als Kaufmann - Reisen nach oder allein als Kaufmann - Reisen nach Ägypten, Syrien, Griechenland, Sizilien Ägypten, Syrien, Griechenland, Sizilien und in die Provence und studierte dort und in die Provence und studierte dort die verschiedenen Varianten der die verschiedenen Varianten der Rechenkunst. Sein Fazit:Rechenkunst. Sein Fazit:

„„Alle diese Methoden seien der Alle diese Methoden seien der indischen unterlegen, ja, sie seien als indischen unterlegen, ja, sie seien als Irrwege zu bezeichnen“ Irrwege zu bezeichnen“


er verfügt Kenntnis über er verfügt Kenntnis über – die Elemente des Euklid, die Elemente des Euklid, – den Almagest des Ptolemaeus und den Almagest des Ptolemaeus und – über ein Buch über Proportionen von Ahmad ibn über ein Buch über Proportionen von Ahmad ibn

YusufYusuf

kehrt um 1200 nach Pisa zurück und verfasst kehrt um 1200 nach Pisa zurück und verfasst 1202 sein Hauptwerk, den „liber abbaci“; 1202 sein Hauptwerk, den „liber abbaci“; schreibt aber auch noch andere Bücher wie schreibt aber auch noch andere Bücher wie „Practica geometriae“ und „Liber „Practica geometriae“ und „Liber quadratorum“, welches Friedrich dem II. quadratorum“, welches Friedrich dem II. gewidmet ist, zu dessen Gelehrtenkreis er gewidmet ist, zu dessen Gelehrtenkreis er auch gehörtauch gehört


als geachteter Magister und auch als geachteter Magister und auch Steuerschätzer lebt er in der Steuerschätzer lebt er in der Stadt Pisa und stirbt nicht vor Stadt Pisa und stirbt nicht vor 1240, da er dort noch in einem 1240, da er dort noch in einem Dekret erwähnt wird Dekret erwähnt wird

… … mehr dazu am Schluss…mehr dazu am Schluss…

Sein Hauptwerk: „liber Sein Hauptwerk: „liber abbaci“abbaci“

Sein Hauptwerk: „liber Sein Hauptwerk: „liber abbaci“abbaci“ Erstes KapitelErstes Kapitel

Übersicht mit AuszügenÜbersicht mit Auszügen

FazitFazit

Einführung der Einführung der indisch-arabischen indisch-arabischen ZiffernZiffern neun indische Ziffern (1-9) und das Zeichen neun indische Ziffern (1-9) und das Zeichen

„0“„0“

Zahl: Bündel von Einheiten unterteilt in Grade:Zahl: Bündel von Einheiten unterteilt in Grade:– Einer: Einer: 1-101-10– Zehner: Zehner: 10-10010-100– Hunderter: Hunderter: 100-1000 …100-1000 …

Dabei folgt Grad auf Grad, wobei bei jedem Dabei folgt Grad auf Grad, wobei bei jedem Schritt aufwärts die unmittelbar Schritt aufwärts die unmittelbar vorhergehende verzehnfacht wird:vorhergehende verzehnfacht wird:Z*10^(Grad -1) mit 1 ≤ z ≤ 9Z*10^(Grad -1) mit 1 ≤ z ≤ 9

Einführung der Einführung der indisch-arabischen indisch-arabischen ZiffernZiffern Schreibweise: Einer ganz rechts, Schreibweise: Einer ganz rechts,

links daneben der nächst höhere links daneben der nächst höhere Grad, etc.Grad, etc.

Betonung: auf die Reihenfolge Betonung: auf die Reihenfolge kommt es an und die Bedeutung der kommt es an und die Bedeutung der „0“ wird hervorgehoben„0“ wird hervorgehoben

Vergleich römisch/arabischer ZahlenVergleich römisch/arabischer Zahlen

FingerzahlenFingerzahlen

Welche Zahlen kann man allein mit Welche Zahlen kann man allein mit seinen 10 Fingern darstellen? seinen 10 Fingern darstellen?

……Darstellung von allen Zahlen von Darstellung von allen Zahlen von

1-9999 möglich!1-9999 möglich! Diese Kommunikation half über Diese Kommunikation half über

Sprachbarrieren hinweg und Sprachbarrieren hinweg und ermöglichte es Kaufleuten aus ermöglichte es Kaufleuten aus verschiedenen Ländern miteinander verschiedenen Ländern miteinander Handel zu treibenHandel zu treiben

Erste OperationenErste Operationen

Tabelle des Eins-und-Eins sowie Tabelle des Eins-und-Eins sowie des Ein-Mal-Eins des Ein-Mal-Eins

Diese sollen auswendig gelernt Diese sollen auswendig gelernt werden und in die Fingersprache werden und in die Fingersprache übersetzt werdenübersetzt werden

Führt zur Verinnerlichung und Führt zur Verinnerlichung und schult die Fingerfertigkeitschult die Fingerfertigkeit

MultiplikationMultiplikation

Es stellt sich heraus, dass der „Liber Es stellt sich heraus, dass der „Liber abbaci“ kein Buch für Anfänger istabbaci“ kein Buch für Anfänger ist

Multiplikation von Zahlen zweiten Multiplikation von Zahlen zweiten Grades Grades

Zahlen n-ten Grades haben n StellenZahlen n-ten Grades haben n Stellen Beispiel: 73*83Beispiel: 73*83 Vorstellung eines weiteren Verfahrens Vorstellung eines weiteren Verfahrens

der schriftlichen Multiplikation:der schriftlichen Multiplikation: Beispiel 4321 * 765Beispiel 4321 * 765


„„Neunerprobe“Neunerprobe“ Grundannahme: Bei Division einer Zahl Grundannahme: Bei Division einer Zahl

durch 9 entsteht der gleiche Rest als wenn durch 9 entsteht der gleiche Rest als wenn man die Quersumme durch 9 dividiertman die Quersumme durch 9 dividiert

BSP: 899 : 9 = 99 + Rest 8BSP: 899 : 9 = 99 + Rest 8 Quersumme 899 = 26, 26 : 9 = 2 + Rest 8Quersumme 899 = 26, 26 : 9 = 2 + Rest 8 Zusätzlich: Der Rest eines Produktes ist Zusätzlich: Der Rest eines Produktes ist

kongruent zum Produkt der Reste modulo kongruent zum Produkt der Reste modulo 99

Beweis zur Neunerregel anhand eines Beweis zur Neunerregel anhand eines BeispielsBeispiels


Distributivgesetz: „Zerlegt man Distributivgesetz: „Zerlegt man die eine Zahl in irgendwelche die eine Zahl in irgendwelche Teile, multipliziert jeden Teil mit Teile, multipliziert jeden Teil mit einer weiteren Zahl und addiert einer weiteren Zahl und addiert alle diese Produkte, so ergibt sich alle diese Produkte, so ergibt sich das gleiche Ergebnis, wie wenn das gleiche Ergebnis, wie wenn man die Ausgangszahl direkt mit man die Ausgangszahl direkt mit der zweiten Zahl multipliziert.“der zweiten Zahl multipliziert.“


Potenzregeln für 10er-Potenzregeln für 10er-Potenzenmit Berufung auf Euklid: Potenzenmit Berufung auf Euklid: 10^a*10^b = 10^(a+b)10^a*10^b = 10^(a+b)

Am Ende des Kapitels werden Am Ende des Kapitels werden noch Verfahren vorgestellt, mit noch Verfahren vorgestellt, mit denen man zwei- und dreistellige denen man zwei- und dreistellige Zahlen im Kopf addiert.Zahlen im Kopf addiert.

Addition und Addition und SubtraktionSubtraktion Zahlen werden untereinander Zahlen werden untereinander

geschrieben, wie wir es heute geschrieben, wie wir es heute auch kennenauch kennen

Erneut: NeunerprobeErneut: Neunerprobe

Beispiel: Praxisorientiert…Beispiel: Praxisorientiert…

DivisionDivision

Bruchschreibweise: Bruchschreibweise:

m/n – wobei Fibonacci Brüche vor m/n – wobei Fibonacci Brüche vor die ganzen Zahlen bei gemischter die ganzen Zahlen bei gemischter Schreibweise schreibtSchreibweise schreibt

Beispiel 1346 : 4Beispiel 1346 : 4

Ergebnis: ½ 336Ergebnis: ½ 336

DivisionDivision

Einschub: Primzahlen - „Zahlen Einschub: Primzahlen - „Zahlen ohne Maß“ohne Maß“

Grund: gemischte Zahlen zu Grund: gemischte Zahlen zu dividieren indem man den Divisor dividieren indem man den Divisor durch das Produkt von Primzahlen durch das Produkt von Primzahlen ausdrückt (Primfaktorzerlegung)ausdrückt (Primfaktorzerlegung)

Einführung einer neuen Einführung einer neuen Schreibweise Schreibweise

Multiplikation, Division, Multiplikation, Division, Addition und Subtraktion Addition und Subtraktion gemischter Zahlengemischter Zahlen

Bei der Addition geht Fibonacci auf Bei der Addition geht Fibonacci auf den „größten gemeinsamen Teiler“ den „größten gemeinsamen Teiler“ und „das kleinste gemeinsame und „das kleinste gemeinsame Vielfache“ einVielfache“ ein

Bei der Division spielt die Bei der Division spielt die Proportionslehre eine wichtige Rolle Proportionslehre eine wichtige Rolle für ihnfür ihn

StammbrücheStammbrüche

Als letztes Kapitel erscheint die Als letztes Kapitel erscheint die Zerlegung von Brüchen in Zerlegung von Brüchen in StammbrücheStammbrüche

7 verschiedene Verfahren! 7 verschiedene Verfahren!

Beispiel: 5/6 = ½ + 1/3Beispiel: 5/6 = ½ + 1/3

ResuméeResumée

Beim „liber abbaci“ handelt es Beim „liber abbaci“ handelt es sich um ein Mathematikbuchsich um ein Mathematikbuch

EnthaltenEnthalten– AlgorithmenAlgorithmen– DistributivgesetzDistributivgesetz– Potenzgesetz für 10er-PotenzenPotenzgesetz für 10er-Potenzen– Modulares Rechnen (Proben)Modulares Rechnen (Proben)

ResuméeResumée

Heutzutage unbrauchbar? Heutzutage unbrauchbar? Keineswegs:Keineswegs:

Widererkennung beim Rechnen im Widererkennung beim Rechnen im Ring mit ganzen Zahlen und im Ring mit ganzen Zahlen und im QuotientenringQuotientenring

Algorithmen des Computers sind Algorithmen des Computers sind ähnlich oder teilweise gleich den ähnlich oder teilweise gleich den angegebenen Algorithmenangegebenen Algorithmen

Weiterer Aufbau des Weiterer Aufbau des liber abbaciliber abbaci Erläuterung des Dreisatzes (mit Erläuterung des Dreisatzes (mit

Hilfe der Proportionslehre)Hilfe der Proportionslehre)

Anwendungsbeispiele:Anwendungsbeispiele:– WarentauschWarentausch– GewichtsumrechnungenGewichtsumrechnungen– GewinnaufteilungGewinnaufteilung– LegierungenLegierungen

Weiterer Aufbau des Weiterer Aufbau des liber abbaciliber abbaci Arithmetische ReihenArithmetische Reihen

Lineare GleichungenLineare Gleichungen

Zyklische VertauschungenZyklische Vertauschungen

Was ist ein Beweis?!Was ist ein Beweis?!

„„Ein Beweis ist ein didaktisches Ein Beweis ist ein didaktisches Hilfsmittel bei der Aufgabe, mich Hilfsmittel bei der Aufgabe, mich oder meinem Gegenüber von der oder meinem Gegenüber von der Richtigkeit meiner Behauptung zu Richtigkeit meiner Behauptung zu überzeugen.“überzeugen.“

Fibonacci Argumentation ist Fibonacci Argumentation ist nachvollziehbar und „lückenlos“ nachvollziehbar und „lückenlos“ nach obiger Definition für H. nach obiger Definition für H. LüneburgLüneburg

Was ist ein Beweis?!Was ist ein Beweis?!

Was wird deutlich? Was wird deutlich?

Fibonacci versteht seine Materie Fibonacci versteht seine Materie und kann verständlich beweisen, und kann verständlich beweisen, wie er zu seinen Auffassungen wie er zu seinen Auffassungen kommt! kommt!

Weiterer Aufbau des Weiterer Aufbau des liber abbaciliber abbaci

Weitere Anwendungsbeispiele:Weitere Anwendungsbeispiele:

„„Reisen“Reisen“ Vollkommene ZahlenVollkommene Zahlen „„Fibonacci-Zahlen“ (einziges Fibonacci-Zahlen“ (einziges

Anwendungsbeispiel zu damaliger Anwendungsbeispiel zu damaliger Zeit: Kaninchenpopulation)Zeit: Kaninchenpopulation)

Weiterer Aufbau des Weiterer Aufbau des liber abbaciliber abbaci Affine EbenenAffine Ebenen Wurzeln aller Art (Quadratwurzeln, Wurzeln aller Art (Quadratwurzeln,

Kubikwurzeln) Kubikwurzeln) Quadratische GleichungenQuadratische Gleichungen Eine quadratische Gleichung hat Eine quadratische Gleichung hat

entweder zwei, eine oder gar keine entweder zwei, eine oder gar keine Lösung (wobei negative Lösungen Lösung (wobei negative Lösungen als „Schulden“ aufgefasst werden)als „Schulden“ aufgefasst werden)

FAZITFAZIT

Was hat Fibonacci mit seinem Werk „liber Was hat Fibonacci mit seinem Werk „liber abbaci“ geschaffen?abbaci“ geschaffen?

Es ist ein „Buch an den Grenzen damaliger Es ist ein „Buch an den Grenzen damaliger Kenntnis“Kenntnis“

Es ist nicht sicher, dass es neue Es ist nicht sicher, dass es neue mathematische Erkenntnisse enthält!mathematische Erkenntnisse enthält!

Grundlage für weitere Entwicklungen Grundlage für weitere Entwicklungen (zahlreiche Verweise von anderen Autoren (zahlreiche Verweise von anderen Autoren zum „liber abbaci“)zum „liber abbaci“)

Fibonacci hat die mathematische Materie Fibonacci hat die mathematische Materie durchdrungen und Lösungen und Regeln durchdrungen und Lösungen und Regeln verifiziert und bewiesen.verifiziert und bewiesen.

Wie erinnert man sich Wie erinnert man sich an Fibonacci?an Fibonacci? Fibonacci-Folge:Fibonacci-Folge:

– Modell einer KaninchenpopulationModell einer Kaninchenpopulation– TreppenproblemTreppenproblem

Verwandtschaft mit dem Verwandtschaft mit dem Goldenen SchnittGoldenen Schnitt– der Quotient zweier aufeinander der Quotient zweier aufeinander

folgender Fibonacci-Zahlen nähert folgender Fibonacci-Zahlen nähert sich dem Goldenen Schnitt an sich dem Goldenen Schnitt an

Wer war Leonardo von Wer war Leonardo von Pisa?Pisa? Als letztes aus dem Als letztes aus dem Constitutum usus pisanae civitatesConstitutum usus pisanae civitates, Zitat , Zitat

und Übersetzung nach H. Lüneburg:und Übersetzung nach H. Lüneburg:„„In Anbetracht unserer Stadt und der Bürger Ehre und Vorteil, In Anbetracht unserer Stadt und der Bürger Ehre und Vorteil, der ihnen wie oft schon bei Bedarf zustatten kommt sowohl der ihnen wie oft schon bei Bedarf zustatten kommt sowohl durch die Gelehrsamkeit als auch durch die emsigen Dienste durch die Gelehrsamkeit als auch durch die emsigen Dienste des ausgezeichneten und klugen Mannes und Lehrers Leonardo des ausgezeichneten und klugen Mannes und Lehrers Leonardo Bigollo, die im Berechnen von (Steuer-)Schätzungen und Bigollo, die im Berechnen von (Steuer-)Schätzungen und Rechnungen für die Stadt und ihre Amtsträger und anderem Rechnungen für die Stadt und ihre Amtsträger und anderem bestehen, setzen wir durch vorliegende Konstitution fest, daß bestehen, setzen wir durch vorliegende Konstitution fest, daß eben diesem Leonardo aus Wertschätzung und Gunst, aufgrund eben diesem Leonardo aus Wertschätzung und Gunst, aufgrund des Verdienstes und aufgrund des Vorrangs seiner Kenntnis des Verdienstes und aufgrund des Vorrangs seiner Kenntnis zum Ausgleich für seine Arbeit, die er ausführt durch Prüfung zum Ausgleich für seine Arbeit, die er ausführt durch Prüfung und Feststellung oben genannter Schätzungen und und Feststellung oben genannter Schätzungen und Rechnungen, von der Gemeinde und ihren Kämmerern - von Rechnungen, von der Gemeinde und ihren Kämmerern - von der Gemeinde berufen und für die Gemeinde handelnd - als der Gemeinde berufen und für die Gemeinde handelnd - als Lohn bzw. sein Gehalt jährlich XX Pfund Pfennige und die Lohn bzw. sein Gehalt jährlich XX Pfund Pfennige und die üblichen Naturralleistungen gegeben werden müssen und daß üblichen Naturralleistungen gegeben werden müssen und daß er der Gemeinde von Pisa und ihren Amtsträgern fortan wie er der Gemeinde von Pisa und ihren Amtsträgern fortan wie gewohnt durch Ausführung von Rechnungen dient.“gewohnt durch Ausführung von Rechnungen dient.“

LiteraturLiteratur

Heinz Lüneburg (1992). „Heinz Lüneburg (1992). „Liber Abbaci oder Liber Abbaci oder Lesevergnügen eines MathematikersLesevergnügen eines Mathematikers.“ .“ Mannheim [et al.]: BI WissenschaftsverlagMannheim [et al.]: BI Wissenschaftsverlag

Heinz Lüneburg (1996). „Leonardo Pisanos Heinz Lüneburg (1996). „Leonardo Pisanos Liber abbaci“, in: Liber abbaci“, in: Der Mathematik-Der Mathematik-Unterricht,Unterricht, 42,3 p.31-42 42,3 p.31-42

L.E.Siegler. „Fibonacci‘s Liber Abaci – a L.E.Siegler. „Fibonacci‘s Liber Abaci – a Translation into Modern English of Translation into Modern English of Leonardo Pisano‘s Book of Calculation“. Leonardo Pisano‘s Book of Calculation“. New York, Berlin, Heidelberg: Springer-New York, Berlin, Heidelberg: Springer-VerlagVerlag

Vielen dank für eure Vielen dank für eure Aufmerksamkeit =)Aufmerksamkeit =)

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