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Arch. Math., Vol. 37, 418--424 ( 1 9 8 1 ) 0003-889X/81/3705-0007 $ 01.50 + 0.20/0 1981 Birkh~iuser Verlag, Basel Geschlechter yon zentralen Erweiterungen Von HA,~S OPOLK.a_ 1. Einleitung. Sei k ein KSrper,/~ ein separabel algebraischer Abschlul3 yon k und sei K c/~ eine endliehe Galoiserweite~ng yon k. Eine K umfassende endliehe Galois- erweiterung L c $ yon k mit der Eigensehaft, daS die Galoisgruppe G(L/K) im Zentrum der Galoisgruppe G(L/k) enthalten ist, heist eine zentrale Erweiterung yon K/k. Zwei zentrale Erweiterungen Lz, L2 yon K/k heiSen yore gleiehen Ge- schleeht, fails eine endliehe abelsehe Erweiterung K'/k existiert, so daS L1 K' ---- L2 K'. In der vorliegenden 5Tote werden die folgenden Aussagen bewiesen. Satz 1. Sei k eine endliche Erweiterung von Q oder Q~ und sei K/k eine endliche Galoiserweiterung mit Galoisgruppe G. Die Geschlechter you zentralen Erweiterungen yon K/k entsprechen bi]ektiv den Faktorgruppen von H -1 (G, CK). HierIcei ist CK die IdelklassengTuppe yon K im Globalen bzw. die multiplikative Gruppe K* yon K im Lokalen, und fiir jeden G-Modul M und jede ganze Zahl n bezeichnet H n (G, M) die entsprechende n-te Tatesche Kohomologiegruppe. Insbeson- dere ist also H -1 (G, M) = M~'/M z, wobei, in der multiplikativen Schreibweise, ~IN = {x e M [ ~TOrmK/~(X) = ~}, M z ---- < { a x / x l x ~ M , G~G}}. Ist k eine endliche Erweiterung yon Q und K/]c eine endliche Erweiterung, so be- zeichnen wit mit S -~ S (K/k) die Menge der Primstellen yon k, die in K verzwei- gen. Ist v eine Primstelle yon Ic, so bezeichnen wir mit ~ eine :Fortsetzung yon v auf /c. Satz 2. Sei K/k eine endliche Galoiserweiterung yon ZahlkSrpern und seien L, L" zwei :entrale Erweiterungen von K/lc. Gilt dann ]i~r K/k der Hassesche Normensatz, so ge- h6ren L und L' genau dann zum gleichen Geschlecht, wenn die entsprechenden lokalen Erweiterungen L~ und L~ /i~r allev ~ S z~m gleichen Geschlecht geh6ren.

Geschlechter von zentralen Erweiterungen

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Arch. Math., Vol. 37, 418--424 ( 1 9 8 1 ) 0003-889X/81/3705-0007 $ 01.50 + 0.20/0 �9 1981 Birkh~iuser Verlag, Basel

G e s c h l e c h t e r y o n z e n t r a l e n E r w e i t e r u n g e n

Von

HA,~S OPOLK.a_

1. Einleitung. Sei k ein KSrper,/~ ein separabel algebraischer Abschlul3 yon k und sei K c/~ eine endliehe Galoiserweite~ng yon k. Eine K umfassende endliehe Galois- erweiterung L c $ yon k mit der Eigensehaft, daS die Galoisgruppe G(L/K) im Zentrum der Galoisgruppe G(L/k) enthalten ist, heist eine zentrale Erweiterung yon K/k. Zwei zentrale Erweiterungen Lz, L2 yon K/k heiSen yore gleiehen Ge- schleeht, fails eine endliehe abelsehe Erweiterung K ' / k existiert, so daS L1 K' ---- L2 K' . In der vorliegenden 5Tote werden die folgenden Aussagen bewiesen.

Satz 1. Sei k eine endliche Erweiterung von Q oder Q~ und sei K/k eine endliche Galoiserweiterung mit Galoisgruppe G. Die Geschlechter you zentralen Erweiterungen yon K/k entsprechen bi]ektiv den Faktorgruppen von H -1 (G, CK).

HierIcei ist CK die IdelklassengTuppe yon K im Globalen bzw. die multiplikative Gruppe K* yon K im Lokalen, und fiir jeden G-Modul M und jede ganze Zahl n bezeichnet H n (G, M) die entsprechende n-te Tatesche Kohomologiegruppe. Insbeson- dere ist also

H -1 (G, M) = M~'/M z,

wobei, in der multiplikativen Schreibweise,

~IN = {x e M [ ~TOrmK/~ (X) = ~}, M z ---- < { a x / x l x ~ M , G~G}}.

Ist k eine endliche Erweiterung yon Q und K/]c eine endliche Erweiterung, so be- zeichnen wit mit S -~ S (K/k) die Menge der Primstellen yon k, die in K verzwei- gen. Ist v eine Primstelle yon Ic, so bezeichnen wir mit ~ eine :Fortsetzung yon v auf /c.

Satz 2. Sei K/k eine endliche Galoiserweiterung yon ZahlkSrpern und seien L, L" zwei :entrale Erweiterungen von K/lc. Gilt dann ]i~r K/k der Hassesche Normensatz, so ge- h6ren L und L' genau dann zum gleichen Geschlecht, wenn die entsprechenden lokalen Erweiterungen L~ und L~ /i~r allev ~ S z~m gleichen Geschlecht geh6ren.

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Satz 3. Sei k eine endliche Erweiteru~q yon Q und sei K/k eine endliche Galoiserweite- rung. Dann lS[3t sich ]edes Geschlecht zentraler Erweiterungen von K/k dutch eine zen- trale Erweiterung L v o n K/k mit der Eigenscha/t L : K <= (e �9 n) t repr~isentieren.

Dabei ist t der Rang yon H2(G, C*). I s t G erzeugbar mit rl Elementen und r2 de- finierenden Relationen, so gilt nach [4], V, 25.2 die Abseh~tzung t ~ r2 - - rz. e ist da~ kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen nvmv, v ~ S, wobei nv den lokalen Grad K~: kv und my die maximale Ordnung einer in kv enthaltenen Einheitswurzel yon nv-Potenzordnung bezeichnet, und n ---- K : k.

In Spezialf~llen l~13t sich die in Satz 3 angegebene Schr~nke verbessern. Darauf wird im letzten Abschnitt kurz eingegangen. Stets ist jedoch die Ordnung der nach Satz I zu einem Geschlecht gehSrigen Faktorgruppe yon C~/C~- eine untere Sehranke ffir den Grad L : K jedes Repr~sentanten dieses Geschlechtes.

2. Die Trivialit~it des Schur-Hultilalikators. In diesem Abschnitt sei k eine endliehe Erweiterung yon Q oder Qp. Grundlegend fiir uns ist der folgende Satz, der bereits fragmentarisch in einer Arbeit yon A. Scholz [9] enthalten ist und der in der vor- liegenden Form zuerst yon Tare formuliert wurde. Ein Beweis finder sich z. B, in [8], w 6.

(2.1) Satz. Der Schur-Multiplikator der absoluten Galoisgruppe .q -~ ~ = G([c/lc) yon lc i,st trivial.

Der Schur-Multiplikator yon ~ ist die zweite Kohomologie~uppe H2(g, U) der proendlichen Gruppe .q in bezug auf den diskreten ,q-Modul U der komplexen Zahlen yore Betrag 1 beziiglich der trivialen Gruppenoperation.

Fiir eine topologische Gruppe C bezeiehnen wir mit C :---- Horn (C, U) die Gruppe der stetigen t tomomorphismen yon C in U. Fiir eine endliehe Erweiterung K yon k sei ~K-----G(fc/K) die absolute GaloisgTuppe yon K und .q~). , die Galoisgruppe der maximalen abelschen Erweiterung yon K in/~. Aus (2.1) folgt unter Benutzung der exakten Sequenz yon Hochschild-Serre:

(2.2) Satz. Die/olgende Sequenz ist exakt inf ~ res ~ . T

1 -+G-->gk--> q~K-+H2(G, U) ->1 .

Hier bezeichnet v diejenige Transgressionsabbildung, die zum Bild ~20 e H 2 (G, gKab~J der Fundamentalklasse ~2 e H 2 (G, CK) unter der dutch das universelle Artinsymbol ~: CK -~ . ~ induzierten Abbildung yon KohomologiegTuppen

~*: H2(G, CK) --> He(G, ,q~

gehSrt.

3. Beweis yon Satz 1. Das Cupprodukt mit der Fundamentalklasse f ie H ~ (G, CK) liefert nach dem Dualit~tssatz yon Tare und Poitou einen Isomorphismus

H - 3 (G, 7/) _~ H - 1 (a, CK).

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Das Cupprodukt liefert eine perfekte Dualit~t

H-3 (G, Z) ~ H3 (G, 7/) ̂ .

Aul3erdem existiert bekanntlieh ein Isomorphismus

H a (G, 7/) __~ H 2 (G, U).

Eine FaktorHuppe yon H -1 (G, CK) wird somit zu einer UnterHuppe % / ~ H 2 (G, U). Sei X c ~ eine endliche Menge yon G-invarianten Charakteren mit der Eigenschaft r (X) = ~r Sei Z(X, %/) der Fixk5rper zu

('~ Ker X. geX

.L (X, %/) ist eine endliche zentrale Erweiterung yon K/t~. Ist X' c j~ eine andere Teilmenge mit den gleichen Eigenschaften wit X, also mit ~ (X') ~ %/, so existiert nach (2.2) zu zwei Charakteren Z e X bzw. Z' e X' mit T()/) ~- ~(Z') ein Charakter 2 e ~k, so dab Z' ----- 2 Ig~" Z. Daraus ergibt sieh

Ker )/' n Ker ~ I~ ----- Ker Z n Ker 2 [~,

und es folgt, dal3 L(X' , %/) zum gleiehen Geschlecht gehSrt wie L(X, %/). Sind umgekehrt L, Z' zwei endliche zentrale Erweiterungen yon K/]c vom gleichen Ge- schlecht, so erkennt man ebenfalls aus der exakten Sequenz in (2.2), daI3

~(inf(G(L/K) )) = ~(inf(G(L'/g)^)).

Damit ist Satz 1 bewiesen.

4. Beweis yon Satz 2. IkTach Tate [1], S. 198, ist der Zahlknoten

{a e/~* t a ist lokal iiberall Norm in K}

~'~ = f ( K / k ) -- {a e/r a ist globale Norm in K}

dual zum Kern 5(f-----J/Y(K//c) der Lokalisierungsabbildung

(4.1) t: H2(G, U) -->LI H2(G~, U). YeS

Gilt fiir K/]c der Hassesche l~ormensatz, so ist 5/E und somit auch ~ trivial, d.h. ist injektiv. Sind daher %/bzw. %/' die nach Satz 1 zum Geschlecht yon L bzw. L" gehSrenden Untergruppen yon H 2 (G, U), so gilt % / ~ %/' genau dann, wenn t (%/) = t(%/'), d.h. wenn fiir alle v e S die zu Z~ und L~ gehSrenden Geschlechter gleich sind.

5. Ein Einbettungskriterium. Sei k ein ZahlkSrper mit absoluter Galoisgruppe g und sei K/]c eine endliche Galoiserweiterung mit GaloisHuppe G. Sei weiterhin A ein endlicher abelseher G-l~[odul und sei durch ~ H 2 ( G , A ) ein Einbettungs- problem vorgegeben. Die Gruppe ~ ---- Horn (A,/c*) wird durch X ~(a) :---- (Z (a"-~)) ", Z e ~ , a e A, zu einem g-Modul. Jedem Z e ~ sei seine Fixgruppe gz ~ g zugeord- net. Dann ist Z: A --> ~* ein gz-Homomorphismus. Wir betrachten zu jedem Z die

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folgende Abbildung Z: i n f res ~ z*

(5.1) Z: H~(G,A)-~H~(~,A)-->H-(~z,A) . - -~HZ(~x, fc*);

dabei bezeichnet Z* die durch Z induzierte Abbildung. Z(s) ist ein Element der Brauergruppe des ~ixk6rpers k z yon .qz- Es gilt der folgende Satz, vgl. [3], S. 88 und S. 96 in Verbindung mit [6], 4.7, S. 80.

(5.2) Satz. Operiert G trivial au/ A, so ist der Zer/aU aller Algebrenldassen Z(-e), ;4 e -~, gleichbedeutend mit der eigentlichen L6sbarlceit des durch -~ E H 2 (G, A) gestellten E i nbet tung s pr ob le ms .

Sei v eine Primstelle yon k und sei ~ eine Fortsetzung yon v auf It. Ffir jeden Charakter Z e ~ sei gz,~ die Zerlegungsgruppe der Einschr~nkung yon ~ auf den ~ixkSrper k z yon gx, oder, was dasselbe ist, die Fixgruppe innerhalb g~ des Charak- ters Z- Zu g gehSren nun Abbildungen Z~ yon H 2 (G~, A) in die lokale Brauergruppe H2(gy.,~, fc*v) des KSrpers kv, z. Durch Anwendung des Hauptsatzes in der Theorie der Algebren fiber ZahlkSrpern erkennt man, daI3 Z(~.) genau dann zerfi~llt, wenn alle lokalen Algebrenklassen ~ (res~(~)) zerfallen.

6. Beweis yon Satz 3. Wir beweisen zuni~chst folgenden Hilfssatz.

(6.1) Hilfssatz. Sei k eine endliche Erweiterung von Q und KIlo eine endliche Galois- erweiterung mit Galoisgruppe G = G(K/k). Sei d ~ H 2 (G, U) eine Untergruppe und ]i~r v e S ----- S (K/k) sei d ~ das Bild yon d in H 2 (G~, U) unter der Restriktions. abbildung. Sei 1(~r der minimale Grad i~ber K eines Reprgisentanten des nach Satz 1 zu d geh6renden Geschlechtes yon zentralen Erweiterungen yon K/k und l ( d 0 babe die analoge Bedeutung /fir d ~ . Dann gilt:

l ( d ) ~ (kgV(l(d~)(K :k))) r ~ d . v ~ S

Beweis . Sei f e d eine Kohomologieklasse yon zentralen Faktorensystemen und sei (f~ die yon f erzeugte zyklisehe Untergruppe yon d . Es genfigt zu zeigen, dab

(*) l ( ( f ) ) ~ kgV(l((])~) �9 (K: k); v ~ S

denn dann ergibt sich die Behauptung, indem man f eine Basis yon ~/durchlaufen li~l~t. Da U divisibel ist, ls s iehfdureh ein zentrales Faktorensystem ]: G • G--~ Wm reprs wenn m die Ordnung yon f u n d Wm die Gruppe der m-ten Einheits- wurzeln bezeichnet. Setze n : = kgV(l(( ]~))- (K:/c), v e S. Bekanntlieh ist m ein Teiler yon n und daher Wm c Wn. Das Faktorensystem ] definiert ein Faktoren- system /: G • G ~ Wm ~ Wn und damit eine zentrale Gruppenerweiterung

1--> Wn -~ ~ --> G--> I ,

die/~hnlich wie die Schursche Darstellungsgruppe gebildet ist. Es ergibt sich schnell, da~ f unter der Inflationsabbildung inf: H2(G, U)--> H2(G, U) trivial ist, so dab nach der exakten Sequenz yon ttochschild-Serre f i m Bild der Trans~oTessionsabbil-

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dung ~f: Hom(Wn, U)--~ H2(G, U) enthal ten ist. Gelingt es zu zeigen, dal~ das durch / gestellte Einbet tungsproblem 15sbar ist, so ist, weft dann Tf bekanntl ieh durch die in (2.2) beschriebene Transgressionsabbildung induziert wird, die in (*) behauptete Absch~tzung bewiesen. U m nun die LSsbarkeit des angegebenen Ein- bet tungsproblems zu zeigen, wenden wir (5.2) an. Das dort angegebene Kri ter ium 1/~uft in unserem Spezialfall da rauf hinaus, den lokalen Zerfall des verschri~nkten Algebrenproduktes (K(~n)/k (~n),/) zu beweisen; ~n bezeichnet eine primitive n-re Einheitswurzel. Wir benutzen dabei das folgende gruppentheoret ische Resultat .

(6.2) Hilfssatz. Fi~r ]ede endliche Gruppe G gilt

exp G- exp H ~(G, U) teilt ] G 1 .

Einen Beweis dieser zuerst yon Alperin und Kuo gemachten Beobaehtung findet der Leser z.B. in Hupper t [4], V, 24.6, S. 640. Er ist schnell e rbmcht , indem man die Beh~uptung zun~chst auf p-Gruppen reduziert und dann fiir eine U n t e r ~ u p p e I ~ G yon der Ordnung exp G die Abbildung

rcs 2 . cor o H~ (G, U) -~- H (I. U) ~ H - (G, U) G : I

betrachtet . N u n sind wir in der Lage, den lokalen Zerfall der Algebra (K (~n)/k(~n), /) zu be-

weisen. Fiir jede Primstelle v yon k bezeiehne /~ die Restr ikt ion yon / auf G~. Sei v ~ S. Dann ist C 7 zyklisch. Daher existiert eine Funk t ion ~: G;--~ U, so dab /~---- c$~. W e g e n / m = 1 ist ~m ein Charakter yon G;. Daher ist ~ ' c x P a _ 1. Naeh (6.2) sind daher alle Werte yon ~ in lCv(~n) enthal ten und der Zerfall der obigen Algebra an der Stelle v ist somit gesichert (er folgt auch sofort aus der Tatsache, dab v in K unverzweigt ist). Sei nun v e S. I m Geschlecht, das nach Satz 1 zu (f~} gehSrt, existiert nach Annahme eine zentrale Erwei terung L ~ yon K~/lCv, so dal~ L~: K ; = l~----l((/~}) und - - naeh der exakten Sequenz yon Hochschild-Serre - - f~ unter der Inflations~bbildung inf: H2(C~v, U)--~H2(G(L~/kv), U) trivial wird. Daraus ergibt sich die Existenz einer Funkt ion ~: G (L~/kv) --> U, so daI3 inf(/;) = 5~.. Wegen ]m = 1 ist r162 ein Charakter yon G (L~/kv). Dami t gilt cr m z. expG __ 1, nach (6.2) daher ~n _~ 1 und die obige Algebra zerf~l]t aueh an der Stelle v e S. Dami t ist der Beweis yon (6.1) beendet.

U m nun den Beweis yon Satz 3 zu beenden, interpretieren wir aufgrund von Satz 1 eine Aussage in [5], S. 13, wie folgt:

(6.3) tlilissatz. Sei k eine endliche Erweiterung von ~p und sei K /k eine endliche Galoiserweiterung mit Galoisgruppe G. Dann existiert im Geschlecht yon H 2 (G, U) eine zentrale Erweiterung L v o n K/lc mit der Eigenscha/t L: K ~ n �9 m, wobei n -~ K : k �9 end m die maximale Ordnung einer in k enthaltenen EinheitswT~rzel von n-Potenz- ordnung bezeichnet.

B e w e i s . Nach [4], S. 13 ist zu zeigen, dal~ K *nm N K *~ in K *I enthal ten ist. Sei x ~ K* und sei ~ormg/lc(x) nm - - - - 1. Dann ist NormK/~(x) eine in k enthal tene

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Einheitswurzel yon n-Potenzordnung. Nach Definition yon m i s t daher

Normg/~(x) ~ - - 1.

Da der Exponent yon K*~'/K *z in n aufgeht, ist x mn~ K *z, wie gewfinseht.

Die Behauptung yon Satz 3 ergibt sich nun dureh Zusammensetzen yon (6.1) und (6.3).

7. Bemerkungen. Die in Satz 3 gegebene Absch/~tzung 1/~Bt sich verbessern, indem man die in der Definition yon e auftauchenden Zahlen nv dutch den Exponenten yon H 2 (G~, U) ersetzt. In Spezialf/~llen kann sogar der kleinstmSgliche Grad erreicht werden, z.B. wenn in K hSehstens eine Primstelle yon k verzweigt ist, vgl. [7], und auch bei der Erweiterung Q (~m)/Q, 2 ~" m, vgl. [2].

Sei K/k eine endliche Galoiserweiterung yon ZahlkSrpern mit Galois~uppe G. Es besteht die MSglichkeit, einen Repr/~sentanten des nach Satz 1 zu H 2 (G, U) gehSren- den Geschlechtes yon zentralen Erweiterungen durch eine lokal-global Konstrukt ion zu beschreiben: Sei dazu jeweils L ~ ein Repr/s zu H2(G~, U), v e S. Der Existenzsatz yon Grunwald-Hasse-Wang liefert eine globale Erweiterung N/K mit der Eigensehaft .N~/K; = L~/K~ fiir v e S. Sei M = N . a (N) . . . , a e G die Galois- Hiille yon 2V. Das Bild yon inf: H2(G, U) --~H2(G(M/k), U) ist dann in ~F'(M/k) enthalten. Sei L ein Repr/~sentant zu Yd (M/k). Das folgende kommuta t ive Diagramm zeigt, daf3 inf: Ha(G, U)-->H2(G(L/k), U) trivial ist.

H 2 (G (L/k), U) --~ I._I H~" (G (L/k)~, U) v

1 -+ --> Ha (G (M/k), U) T[ it2 (a (MIk) , U) V

V

:' " ~ K/k ist dann ein Repr~sen- Die maximale in L enthaltene zentrale Erwezterun~ yon rant zu H 2 (G, U).

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Eingegangen am 14. 8. 1980")

Anschr~t des Autors:

Hans Opollu~ Mathem~fisches Institut Roxeler Sir. 64 D-4400 M~nster

*) Eine N e u ~ u n g ging am 18. 2. 1981 ein.