36 ARCH. MATH.

GewShnliche Differential-Ungleichungen im Banachraum

Von

~VOLFGANG WALTER

Einleitung. Es sei d das Intervall [0, T], Jo das lntervall (0, T], Rn der reelle Euklidisehe Raum. Die auftretenden Funktionen seien reellwertig. I s t /(t , g) eine in Jo • R 1 erkl/~rte Funktion, v (t) eine in do differenzierbare Funktion, so definieren wir

(Pv) (t) = v'(t) - - / ( t , v(t)) .

Es besteht dann der wohlbekannte Satz fiber ])ifferential-Ungleiehungen:

(A) Sind die Funkt ionen v, w in J stetig und in Jo di//erenzierbar, ist /erner

(~) v(O) < w(O),

(b) P v < P w in Jo,

so [olgt v (t) < w (t) in J .

Dieser Satz geht auf PEnROZ~ [7] (wenn nieht welter) zurfick. Der Beweis ist sehr einfach ; vgl. z.B. WALTEn ([10], Satz 8 V). Man spricht auch yon cinem ,,Monotonie- satz", well aus ihm folgt, dab das Anfangswertproblem y ' = / ( t , y), y(O) -~ Yo ein monotones Problem ist: Is t w ( O ) > Yo, w ' > / ( t , w), so folgt w > y in J , w ist , ,Oberfunktion" (PnHRON). Entsprechend sind Unterfunktionen definiert. In der obi- gen Formulierung werden an / keine l~egularit/itsforderungen gestellt. Der Satz kann noch allgemeiner ibrmuliert werden, indem man in der Definition von P v die Ab- leitung v' durch (z. B.) die obere linksseitige Dini-Derivierte D - v ersetzt. Er gilt dann sogar fiir stetige Funktionen v, w. Vergleiche dazu die Bemerkungen bei WALTER ([10], S. 57 und S. 62).

Setzt man voraus, dal] / in J • R 1 stetig ist, so kann man auf Grund des obigen Satzes sehr einfaeh die Existenz yon Maximal- und Minimalintegralen beweiscn. Ebenso ergibt sich dann cinfach ein abge/~nderter Monotoniesatz:

(B) Ist (bei stetigem /) y* das Maximalintegral, y , das Minimalintegral des A n/angs- wertproblems y' = /(t, y), y (0) ~ Yo, so /olgt aus

(a) v(O) < yo bzw. w(O) > Yo,

(b) v' <=/(t, v) bzw. w' > / ( t , w) in J

die Ungleichung v <= y* bzw. w > y , in J .

Vol. XX, 1 9 6 9 Differcntial-Ungleichungen im Banachraum 37

Geniigt /(t, y) einer Eindeutigkeitsbedingung, so lgf t sieh der Monotoniesatz in einer dritten, handlichen Form aussprechen.

(C) Aus

(a) v(0) ~ w(0), (b) P v <~ P w in J ]olgt

v < w in J ,

]alls] einer Lipschitzbedi~gung in y (es geniigen schwiichere Eindeutiffkeitsbedingungen) geniigt.

Beweise dazu finden sieh etwa bei WAbT~R ([10], Nr. 8). Die ~bertragung des Monotoniesatzes auf Systeme yon gewShnlichen Differential-

gleichungen ist nur unter einsehr/inkenden Voraussetzungen fiber [ mSglich. Es sei Y ~- (Yl . . . . , Yn) ~ R n. Wir definieren Ungleiehungen zwischen Vektoren komponen- tenweise: y ~ z bzw. y < z ist mit y~ ~z~ bzw. y~< z~ fiir i = 1, . . . , n gleich- bedeutend. Ein wichtiger Begriff ist die

Quasimonotonie. Die Vektorfunktion [(t, y): J x /~n __> Ru heif~t quasimonoton Waehsend (in y), wenn ffir jades i = 1 . . . . . n gilt:

/~(t,y)<--_/l(t,z), falls yl~--z~ und y 1 < z l ffir ]~=i

ist, d.h. also, wenn fiir ~ . i die Komponente ]~: in Yi schwach monoton wachsend ist. Der Monotoniesatz ist, wie schon angedeutet, bei Systemen i.a. falseh. ]st jedoch ]

in y quasimonoton wachsend und P v wieder gem/iB P v : v ' - - ](t, v) definiert, so ist er in der Form (A) wSrtlieh auch ffir Systeme gfiltig. Ebenso lassen sieh dann Maximal. und MinimMintegrale konstruieren und der Satz (B) beweisen. Aueh Satz (C) bleibt erhalten.

Diese Tatsachen wurden im wesentlichen von M. MOLLE~ [6] und E. KAMKE [1] erltdeckt. Beweise (die fibrigens einfach sind), ebenso Verseh~rfungen und Hinweise auf neuere Literatur finden sich bei WALTEtr ([10], Nr. 12).

In der vorliegenden Arbeit wird der Monotoniesatz auf Differentialgleichungen im ]~anaehraum ausgedehnt. Dabei ist B ein reeller Banaehraum, / eine Abbildung J • B --> B. Beim Anfangswertproblem ist eine in J (ira Sinne der starken Topologie) differenzierbare Funktion u (t) : J --> B m i t u ' ---= / (t, u) in J , u (0) = u0 c B gesueht. ~)a man Quasimonotonie nur formulieren kann, wenn in B aul3erdem eir~e Ordnung defi~liert ist und wenn man yon der Komponente eines Elementes aus B sprechen kann, betrachten wir nur Funktionenraume und legen die natiirliehe Ordnung zu- grunde.

Die hier dargestellten Ergebnisse wurden angeregt durch Untersuehungen im Zu- Sarnmenhang mit der sogenannten Linienmethode ffir parabolisehe Differentialglei- ehungen. Das ist eine N/~herungsmethode zur LSsung von Anfangswertproblemen f/ir Parabolische Differentialgleichungen, bei welcher die x-Ableitungen durch endliche Differenzen ersetzt werden, die t-Ableitung dagegen unge~ndert bleibt. Die Linien- methode ffihrt eine parabolische Differentialgleichung in ein System yon gewShn-

3 8 W . W A L T E R ARCH. MATH.

lichen Differentialgleichungen fiber. I m einfachsten Fall der W/irmeleitungsgleichung

~ t ~ U x x

erh/flt man, wenn h > 0 lest gew/~hlt ist, mit der Bezeiehnung ui(t) ~ u(t, ih) das System

�9 Ut+I ~- u ~ - i - - 2u~ ~ i : h 2

In entspreehender Weise transformiert sich eine allgemeine lineare oder niehtlineare parabolische Differentialgleichung. Die Linienmethode ist in den letzten Jahren wegen theoretiseher und praktiseher Vorteile gegenfiber dem Differenzenverfahren Gegen- stand zahlreicher Untersuchungen gewesen.

Der Verfasser hat in zwei vor kurzem fertiggestellten Arbeiten [12], [13] (in ihnen finder man auch weitere Litcraturangaben fiber die Linienmethode) die Linien- methode bei der nichtlinearen parabofischen Differentialgleichung

u~ = I (t, x , u , u~ , Ux~)

untersucht und dabei Konvergenz- und Existenzs/~tze bewiesen. Die diesen Arbeiten zugrundeliegenden Beweisideen stfitzen sich auf die Tatsache, dal3 das aus einer para- bolischen Differentialgleichung mit Hilfe der IAnienmethode gewonnene System yon gewShnlichen Differentialgleichungen quasimonoton waehsend ist.

Die zitierten Monotonies/~tze ffir gew6hnliche Systeme erscheinen, wenn man sie auf ein solches aus einer parabolisehen Differentialgleichung erwachsenes Differential- gleichungs-System anwendet, als diskrete Analoga zu den bekannten Monotonie- s/~tzen ffir parabolisehe Differentialgleichungen, insbesondere zum Lemma von NAGUMO-WESTPHAL (vgl. dazu etwa WALTER [10], Nr. 24).

Wendet man die Linienmethode auf das Cauchy-Problem fiir eine parabolisehe Differentialgleichung an, so ergibt sich die Schwierigkeit, dab man ein System von abz/ihlbar unendlieh vielen gewShnliehen Differentialgleichungen ffir unendlich viele Funktionen u~ crh//lt, d.h. eine gewShnliehe Differentialgleiehung in einem Banach- schen Folgenraum. Am SehluB dieser Arbeit werden wir als Anwendung einen Kon- vergenzsatz ffir das Cauchy-Problem bei einer nichtlinearen parabolischen Differen- tia]gleichung beweisen. Die in der vorliegenden Arbeit entwiekelte Theorie erlaubt es auch, Existenzbeweise fiir das Cauchy-Problem auf dem Weg fiber die Linien- methode zu ffihren. Darauf werden wir an anderer Stelle zurfickkommen.

Die bier vorliegenden Ergebnisse haben Berfihrungspunkte mit Arbeiten von MLAK und OLECH [4], [5]. Die Autoren beweisen dort die Existenz eines Maximal- und eines Minimalintegrals ffir ein abz/~hlbar unendlich-dimensionales Anfangswert- problem u'----/(t, u), u(0) ---- u0 unter den folgenden Voraussetzungen: Jede Kom- ponente/~ von [ (i = 1, 2, 3 . . . . ) ist beschr//nkt sowie stetig in dem Sinne, da[~ aus t~ -+ to, x~-+ x ~ (~ -> oo) komponentenweise (also x~ --> x ~ ffir jedes i) folgt

/~ (t~, z~) -~ tt (to, xO)

ffir ]edes i. Es wird welter bewiesen: ist u* das Maximalintegral und v' ~ / ( t , v), v(0) ~ u0, so gilt v ~ u*. Dabei kann v' dutch eine Dini-Derivierte yon v ersetzt werden.

Vol. XX, 1 9 6 9 Differential-Ungleidmngen im Banachraum 39

Diese Ergebnisse lassen sich nicht auf den bier behandelten Fall yon Differential- gleiehungen ira Banachraum anwenden, da ihnen ein scharfer und dami~ einschr/in- kender Stetigkeitsbegriff zugrunde liegt. Betrachtet man etwa den Raum I~ aller reellen besehr~nkten Zahlenfolgen x = (x~) mit der Norm Ix I = sup Ix~l, so ist die reellwertige Funktion g (x ) -~ 2 -~ x~ in l~ stetig, sogar Lipschitz-stetig mit der Lipschitzkonst~nte 1, jedoch nicht stetig im obigen Sinn. Dasselbe gilt ffir die vektor- wertige Funktion ] (t, x) mit/~ = g ffir alle i (die genannte Funktion q ist nicht ffir beliebige Zahlenfolgen x = (xi) definiert, abet man kann das Beispiel leieht abs iadem man z.B. x~ ersetzt dutch (sgn xt)min(/xi I, I)}.

Es sei erw/ihnt, dal~ man Differenti~l-Ungleiehungen auch in einem Banaehraum mit einer dutch einen positiven Kegel abstrakt definierten Ordnungsbeziehung be- trachten kann. Monotonies/~tze, bei denen ] (t, y) als in y (im Sinne dieser Ordnung) monoton waehsend angenommen wird, werden versehiedentlieh bewiesen; vgl. SZAI~SKI ([9], Ch~p. XIE, insbes. w 70). Dieser Monotoniebegriffist ffir die Anwendungen, welche wir im Auge haben, zu seharf. Grob gesagt, wird vorausgesetzt, dab die Komponente f~ aueh in y~ monoton waehsend ist.

1. Bezeiehaungen und Hilissiitze, Es sei A eine nichtleere Menge (Indexmenge) und L der reelle lineare Raum allot Funktionen A ---> _R1, wobei wir fiir x ~ L die :[ndexschreibweise x = (xa)~ea oder kurz x ~-(x~) benutzen. Es sei p -~ (Pa) ein lest gewiihltes Element aus L mit p~ > 0 fikr cr A und B der Banaehraum aller x ~ L, fiir welehe die dureh

Ixl := npip lx l A} definierte Norm endlioh ist.

Es sei J das Intervall [0, T], Jo = (0, T] mit T :> 0. Ftir Funktionen v: J -§ B Sind die Begriffe Stetigkeit und Differenzierbarkcit im Sinne der Normtopologie zu verstehen. Ein Stetigkeitsmodnl d(s) ist eine fiir s e R 1 stetige, fiir s ~ 0 monoton Waehsende Funktion mit den Eigenschaften d(0) ~ 0 und d(s) = d(--~).

Unmittelbar aus der Definition ergibt sieh: {I) Die Funktion v: J --> B ist in J dann und nut dann stetig, wenn ein Stetig-

keitsmodul d mit

p~lv~( t l ) - v~ ( t e ) [~d( t l - t2 ) fiir ~ e A und t ~ , t ~ J existiert.

(II) Die Funktion v ist genau dann an der Stelle to e J differenzierbar mit der Ableitung v'(to), wenn ein Stetigkeitsmodul d mit

t far . h a P~ 7 --- to exiatiert.

(III) Ist v eine stetige Funk~ion von J nach B, so ist die ree]lwertige Funktion

~b(t) = inf{p~va(t): ~eA}

ebenfa}ls in J stetig (folgt leieht aus (I)). In B hetraehten wit die natfirliche Ordnung

40 W. WALTER ARCH. MATH.

Weiter fiihren wir die (zun~chst etwas ungew6hnlieh erseheinende) Definition

,5 x ~ y < = > e s g i b t e i n 6 ~ 0 mit x ~ + ~ - ~ y a fiir a ~ A

ein. I s t A einc endliche Menge, so ist diese Definition mit ,,x. ~ y . fiir a e A " iden- tisch, nicht jedoeh ffir unendliches A.

Die Elemente e und e~ (fl E A) von B sind gems

e = , e ~= (e ~ ) mit e ~ = l , e ~ 0 fiir ~ . f l

definiert. Es ist also x ~ y genau d~nn, wenn ein positives (~ mit x + 5e ~ y existiert,. Es sei D c B, J ein Interv~ll und /(t, y) eine auf J • D erkl~rte Funk t ion mit

Werten in B. Die Funk t ion / heifit quasimono!on waehsend in y, wenn fiir jedcs e A gilt

] . (t, y) ~ / . (t, z) f/it t e J ; y , z ~ D ; y . : z . und Ya~=za fiir / 3 4 . .

2. Der Monotoniesatz (Form A). Es sei J = [0, T] , do ~-- (0, T] , D eine Teilmenge yon B und /(t, y) eine in y quasimonoton waehsende Funktion Jo X D --> B. Die Funk- tionen v, w von J nach D seien in J stetig, in Jo di[/erenzierbar, und es gelte mit der Bezeichnung P v :-= v ' - - /(t, v)

(a) v(O) < w(O),

(b) P v ~ P w in Jo.

Dann iot v ~ w i n J ,

wenn auflerdem ]~ in der Variablen y . in ]olgendem Sinne halbstellg ist: Zu

(to, yn) ~ Jo • D

existiert ein Stetigkeitsmodul d (.~) derart, daft

p a { / ~ ( t o , Y o + s e " ) - - / . ( t o , yo)} ~ - - d ( p a s ) / i~r ~ e A und s ~ O

und Yo + s e" E D gilt.

B e w e i s . Es sei u--~ w -- v und

(t) = in f{p , u . (t): r162 e A}.

Die Funk t ion ~b ist in J stetig, und es ist (unter Be~chtung der Definition vo~ v ~ w) ~b (0) ~ 0. Die Behaup tung ist mi t ~b (t) ~ 0 in J identisch. Nehmen wir an, sie sei fa]sch. Dann existiert eine erste Nullstelle to yon ~b, to c Jo. Nach Voraus- setzung (b) existiert ein 6 ~ 0 mit

~'~(to) >= ~ p-~ + ]~(to, W(to)) -- ].(to, v(to)) fiir : t e A .

Nun folg~ aus der Quasimonotonie und wegen w~ (to) ~ v~ (to) ffir ulle fl

].(to, W(to)) ~= /.(to, v(to) + e~(w~(to) -- v~(to)) = ].(to, v(to) + e"u~(to)),

Vol. XX, 1 9 6 9 Differential-Ungleichungen im Banachraum 41

also, wenn d der naeh Vorausse tzung zu (to, v(to)) geh6rende Ste t igkei t smodul ist,

(*) p~u'~(to) >= 5 q- p~{/~(to, v(to) -~ eaua(to)) - - /~( to , v(to))}

>= 6 -- d(p~u~(to)).

Andererseits exist iert nach (II) ein tl mi t 0 < tl < to derar t , dab

" ~ t a ( t D ) - - u a ( t i ) , t:a mi t ]e~ I <(~/2 to - t l - u s fro) + p ~ =

ftir alle :r e A ist. Nun ist ua(tl)pa ~ q)(tl) > 0, wiihrend es wegen (/)(to) = 0 siehcr Indizes 0r mi t ua(to)p~ < q0(tl) gibt. Ffir solche Indizes ist der Differenzenquot ient auf der linken Seite der letzten Formelzeile negat iv, d .h. es ist pau'~(to) < 5/2. I s t aber P~u~(to) hinreichend klein, so ist d(pau~(to)) < 5/2, und aus der Ungleichung (*) folgt P~u~(to) > 6/2. Dieser Widerspruch zeigt die Rieht igkei t der Behauptmag d(t) ~ 0 in J .

Der hier gegebene Beweis ist kompliz ier ter als der bekann te Beweis bei end[ichem d . Das r i ihrt ira wesentl ichen daher, dab m a n je tz t aus der Ann~hme (/)(to) = 0 nieht mehr auf die Exis tenz ehles ~ mi t u~ (to) = 0 schlieBen kann (wenn es ein solches ~r gibt, so folgt der Widerspruch sofort aus u'~(to) =< 0). Diese Schwierigkeit raaeht es such notwendig, eine Ste t igkei tsvorausse tzung fiber ] beziiglich ya auf- ZUnehmen, w/~hrend der entsprechende endliche Satz ohne jede Regular i t / i tsvoraus- setzung gtiltig ist.

DaB der Satz ohne Ste t igkei t svorausse tzungcn falseh wit-d, zeigt das

Beispiel 1. Es sei J = [0, 1], A = N die Menge der natfirl iehen Zahlen, Pi = 1 ffir i ~ N (d.h. B der R a u m loo) und [~(t, y) = -- 2y~/(s~ -- t) mit si ~ l q- 1/i.

Ftir v ~ (v 0 ~_ 0 gilt P v = 0, ffir w = (ei - - t) gilt

(Pw)~ ---- w~ -- /~(t, w) = -- l ~- 2 = l .

t i ler ist zwar wl(t) > 0 in J , abe t nicht w(1) > 0. Das Beispiel litBt die Frage often, ob der Monotoniesatz ohne Ste t igkei tsvoraus-

setzung riehtig bliebe, wenn die Beh~uptung abgesehwtieht wrirde zu re(t) < w~(t) oder etwa vet(t) ~ w:c(t) in J . Dem ist jedoch nicht so; man vergleiche dazu

Beispiel 2. Es sei wie in Beispiel 1 J = [0, 1] und B der Fo lgenraum loo. Ferner sei (e~) eh~e streng mono ton fallende Folge mi t 1/2 < ei < 1 und

/ ~ ( t , y ) = { 4y~( t - -s~) 3 ffir O<=t < ~ i , - - 3 1 y i l 2 / a q - ( t - - e i + l ) - a y i + l fiir ei ~ t ~ 1.

Fiir v ~ 0 gilt P v = 0, ffir w = ((s~ - - t) s) ergibt sieh nach einfacher Rechnung

( P w ) i ~ - w ~ - - / i ( t , w ) _ > l ffir 0 - < t - - < l und i e N .

Alle Voraussetzungen des Monotoniesatzes (bis au f die Stet igkei t yon [i in Yi) sind also erffillt, abe t es ist v~ (t) = 0 > w~ (t) fiir t > ez.

SehlieBlich belegen wit du tch ein Beispiel, dab unsere Definition yon x < y not- Wendig fiir die Gfiltigkeit des Monotoniesatzes ist. D~s Beispiel wird_ zeigen, dab der

4 2 W. WALTER ARCH. MATH.

Monotoniesatz schon dann falsch ist, wenn man in (a) die scharfe Ungleichung v(0) < w(0) bel/tBt, jedoch (b) in der schw/~cheren Form , , ( P v ) e < (Pw)~ in J ffir jedes ~ e A" annimmt. Dabei hat / Stetigkeitseigensehaften, die fiber das im Mono- toniesatz Geforderte welt hinausgehen. Nun also zum

Beispiel 3. Es seien J , B, v, w, (s~) wie in Beispiel 2 gew/ihlt, jedoeh

/i (t, y) = - - 4 [ yf [2/a + ~ (t) Yi+I,

wobei :r eine ffir 0 ~< t--< e~+l verschwindende, ffir e~+l < t <__ 1 positive, an- sonsten beliebige Funktion ist.

Man weist ohne Mfihe nach, dab t

wi > [l (t, w) in J ist.

3. ~ber die Zulassung yon Gleichheitszeichen. I m Monotoniesatz k6nnen die <-Zeiehen dureh ~ ersetzt werden, wenn [ einer Lipschitzbedingung in y oder ciner allgemeineren Eindeutigkeitsbedingung genfigt. ]:)as ist, nebenbei bemerkt, kein Widerspruch zu Beispiel 3, da die dort angegebene Funktion / keine Lipschitz- bedingung erftillt. Es gilt der folgende

Monotoniesatz (Form C). Es sei J = [0, T], Jo = (0, T] und D eine Teilmenge yon B. Die Funktionen v, w seien in J stetig und in Jo di//erenzierbar mit Werten in D, die Funktion [: Jo • D - > B sei quasimonoton wachsend in y, und sie geni~ge einer A bschiitzunff

/ ( t , y ) - - / ( t , z ) ~ _ ( ~ ) ( t , y - - z ) ]i~r t E J o , y , z ~ D und y ~ z

sowie der Stetiglceitsvoraussetzung des Monotoniesatzes (Form A ). Dabei babe die Funk- tion so : Jo • B+ ---> B (B+ ist die Menffe der x E B mit x ~ O) die [olgende Eigenseha]t

(E) Zu gegebenem o~ ~ A und s > 0 existiert eine in J stetiffe, in Jo di//erenzierbare Funlction ~ derart, daft w (t) + ~ (t) ~ D /i~r t ~ Jo und

~ ' > w ( t , ~ ) in Jo, ~ ( 0 ) > 0 , o(t):>O und o~(t)<=e in J ist.

Dann /olgt aus

(a) v(0) _-< w(0), (b) P v g P w in J

die Ungleichung v(t) ~ w ( t ) in J .

Bewei s . Es sei ~ = w- t -~ , wobei ~ die Eigensehaften yon (E) hat. I)ann ist v(0) < ~(0) sowie

P(o = w' + ~ ' - - [(t, w + Q) > w' + o~(t, ~) -- /(t, w + O) >= w ' - - [(t, w) = P w ,

also P(v > Pv. Aus dem Monotoniesatz yon Abschnitt 2 folgt v < ~, also

v~ ~ w ~ + ~ ~ w ~ + ~ .

Da hier ~ und e > 0 beliebig vorgegeben werden kSnnen, folgt v ~= w.

Vol. XX, 1 9 6 9 Differential-Ungleidmngen im Banad~raum 43

Es ist nicht sehwer, spezielle Bedingungen anzugeben, welche hinreichend ffir (E) sind. Hier soll eine solche Bedingung angegeben werden, bei welcher das Nachprfifen yon (E) leicht f/~llt, die aber doch so umfassend ist, dal3 die interessanten Sonderf&lle (Bedingungen yon Lipschitz, Osgood ...) enthalten sind.

(El) Die reellwertige Funktion q(t, x) sei stetig in J x {x ~ RI: x > 0}, es sei q(t, 0) =_ 0, und das Anfangswertproblem

r qS) in J , ~b(0)=0

besitze nut die L6sung ~b ~ 0. Die Funktion co(t, y ) : = eq(t, [y[) hat dann die Eigenschaft (E). Dabei ist

I)er Beweis benutzt die bekannte Tatsache, dab zu ~ > 0 ein ~ > 0 derart exi- Stiert, dab das Anfangswertproblem

a '=q( t ,a )+~, a(0)=

eille in J existierende LSsung a(t) mit 0 < a(t) < s besitzt (Beweisskizze: die Folge der L6sungen (an) yon an ---- q(t, min(1, an)) A- 1/n, an(O) ---- 1/n konvergiert mono- ton fallend und gleichmggig in J gegen 0). Die Funktion E = ea ist stetig differen- zierbar in J, und es gilt ~ (0) = e ~ > 0 und [ Q (t)] = (r (t) ] e [ = ~ (t), also

~'(t) = e(~' = e5 -~- eq(t, [El) > eq(t, [El) = ~o(t, ~).

Damit ist das folgende Korollar bewiesen:

Korollar. Geniigt die Funktion [ der Voraussetzung des Monotoniesatzes (Form A) ,~owie der Absch~itzung

p~{ /~( t , y ) - - l~ ( t , z ) } <=q(t, l y - - z [ ) /fir y > z ,

u e A und y, z ~ D, t ~ Jo, wobei q die Eigenscha]t (El) hat, so gilt der Monotoniesatz in der Form C.

Iasbesondere ist eine Normabsch/itzung

I / ( t , y ) - / ( t , Z ) l g q ( t , l y - z l ) ffir y, z e D

hinreichend fiir dessen Giiltigkeit. Da q(t, x) - - - -Lx zur Klasse (El) gehSrt, f/~llt darunter auch die Lipschitzbedingung [/(t, y) -- [ (t, z) [ < L[ y -- z [.

I)ie Bedingung (El) ist in der Theorie der gew5hnlichen Differentialgleichungen bekannt als Eindeutigkeitsbedingung von PERrr [8]. Beil/~ufig sei erwiihnt, da6 die Ersetzung yon (El) durch die (noch allgemeinere) bekannte Eindeutigkeits- bediagung yon KAMKE bier auf Schwierigkeiten stSBt. Dagegen ist es ohne weiteres m(iglich, (El) dutch die (ebenfalls allgemeinere) Bedingung d'4 von WALT~.R ([10], S. 72) ZU ersetzen.

Die im Korollar zum Ausdruck kommende Tatsache, dab man nut eine elnseitige .Absch/~tzung ffir y > z ben6tigt, ist wichtig. Sie bedeutet, grob gesagt, da6 /~ in ]eder Variablen y~ nicht allzu stark anwachsen darf. Dagegen ist es erlaubt, da6 ]~ in y~ so stark f/~llt, wie es die vergleichsweise schwaehe Forderung im Monotoniesatz (Form A) zuliiitt.

4~ W. WALTER ARCH. MATH.

4. Bemerkungen und Anwendungcn. Die bisherigen Ergebnisse kann man etwa so zusammcnfassen: Der ftir Systeme yon n gew6hnlichen Differentialgleichungen be- kanntc Monotoniesatz l~Bt sich in den beiden in der Einleitung genannten ~ ormen A und C auf unendliehe Systeme (genauer auf Differentialgleichungen im Banachraum in der hier prizisierten Form) fibertragen, wobei jcdoeh an zwei Stellen mehr als nut formale Unterschiedc auftreten. Erstens mul~ an ] eine, wenn auch sehwache, Stetig- keitsforderung gestellt werden. Sie betrifft bet /~ die Variable y~ und besagt, dal3/~ in ya nicht allzu stark fallen daft. Zweitens ist in der Form A des Satzcs die Un- gleichung x < y nieht so definiert, wie man es erwarten wfirde, sondern gemini3

x < y <:~inf(pa(ya - - x~): ~ e A } > 0.

Dutch Beispiele wurde belegt, dal~ es sich in beiden Fhllen nm in der Natur der Sache liegende Unterschiede handelt.

Dal~ iibrigens unsere Definition des Ungleichheitszcichens ganz natiirlich ist, ergibt sich aus der folgenden Bemerkung. Bczeiehnet man mit B+ die Menge aller x E/7 mit x~ ~ 0 fiir ~ E A (positiver Kegel), so ist x ~ y genau dann, wenn y - - x ~ B, ist, und x < y genau dann, wenn y -- x im lnnern yon B+ liegt.

Wie steht es nun mit der Form B des Satzes ? Die bekannten Existenzs~tze ffir Differentialgleichungen im Banachraum sind derart, dab die dabei an / gestellte~ Forderungen neben der Existenz auch die Eindeutigkeit des Anfangsproblems nacll sieh ziehen. Sie sind genauer yon der am Ende von Abschnitt 3 genannten Form

(*) [ l( t ,y) - l ( t ,z)[ ~ q(t, l y - z[) ,

wobei q die Eigenschaften von (Ei) besitzt. Diese Abschiitzung ist hinreiehend (l) ffir die Eindeutigkeit der Anfangswertaufgabe (2) for die Stetigkeitsbedingung im Monotoniesatz (Form A); (3) zusammen mit der Quasimonotonie fiir die Giiltigkeit' des Monotoniesatzes (Form C); (4) znsammen mit der Stetigkeit yon ] in t fiir die Konvergenz des Verfahrens der sukzessiven Approximation und damit ffir die Exi" stvnz einer L6sung der Anfangswertaufgabe, wenn q(I, x) aul~erdem monoton wach" send in x ist (vgl. etwa ~r [11]). Unter der Voraussetzung (*) ist also, d~ Maximalintegral und Minimalintegral zusammenfallen, die Form B cin Spezialfall der Form C des Monotoniesatzes.

Als Beispiel ffir die Anwendung beweisen wit einen Abschitzungssatz for das Cauchy-Problem bei parabolischen Diffcrentialgleiehungen. Wir betrachten daS Problem

(P) ut-----/(t ,x,u, uz, uzx) , (t ,x) c J • l , u(0, x ) = q ) ( x ) fflr x e R i

fiir eine Funktion u ~ u(t, x). Das mit Hilfe der Linienmethode gewonnene zugeh6rige Problem (Ph) lautet

(Ph) v~( t ) - - - / ( t , x~ ,v i ,Sv l , 52vi) fiir t ~ J , v l ( O ) : q ) ( x ~ ) ( i c Z ) .

Dabei ist Z die Mcnge dcr ganzen Zahlen, h > 0 lest gewShlt, xi ~ hi und

(~Vt - - v~+l--Vih ' (~2Vi ~-- Vi~l-~V~h 2t-2v~

Fiir M > 0 werde mit SM der ,,Streifen" J • R i • {(z, p, r) e R3: [z I, [P I, I r I --< M}

Vo], XX, ! 969 Differential-Ungleidmngen im Banachraum 45

begraehget. Die Funktion [ --~ [(t, x, z, p, r) sei stegig in J • R 4 sowio fiir jedes M hn S~reifen SM gleichm/i6ig stetig als Funktion yon t. Ferner m6gen zu M zwei positive Konstanten ~ und L existieren, so dal3

(**) [ (t, x, z, p, r) -- / (t, x, z, p, ~) ">-~_~(r-~) ffir r ~ ,

[ ( t , x , z , p , r ) - / ( t , x , 2 , ~ , # ) ~ L ( i z - - : l + I P - - P ] + I r - ' r i }

isL Wenn die Argumente in SM liegen.

Konverg'enzsatz. Das Problem (P) besitze eine in J • R1 mitsamt ihren Ableitunge~ ux, uzz ffleichm~ifli9 stetiqe und beschriinkte LSsung u (alas bedeutet, daft ~b, 05', qg" be~chr~inkt und 91eichm~i[3i9 steti!l ist). ~ber / mSffen die !tenannte~ Voraussetzu~g~n gelten. Dann be~itzt das Problem (Pn) [i~r ]edes hinreichend kleine h ~ 0 genau eine Lb'~ung v vh (vi)~e z . Dabei wird (Pn) au/ge[a/3t als gewShnliche Di//erentialglei. chung im Banachraum B der Funktionen x: Z --> R mit der Maximum-Norm, ( Index- SChreibweise) ix ] = sup {] xi 1: i e Z}. Ferner besteht I~onvergenz,

sup ( lu ( t , i h ) - - v~ ' ( t ) l : t c J , i ~ Z } = o ( 1 ) [ i~r h-->O.

I , t sogar uzzx fflelchmdflig stetig bzw. Uxxxx beschrSnkt in J • R 1, so kann in der Be- hauptung o(1) dutch die schgir/ere Au,.sage o(h) bzw. O(h 2) ersetzl werden.

Beweis . M sei so gewiihlt, da6 ],al, luxl, lUxxl g M -- 1 ist. Es sei ~b(z) = z fiir I z [ ~ M , ~b(z)= • f i i r ~ z ~ M und

/*(t , x, z, p, r) = ~r + l(t, x, q~(z), r q~(r)) - ~ r

Dabei sei ~ die gem~B (* *) zu M gehSrende Konstante. Fiir [* gelten ebenfalls die beidell Absehs (* *), und zwar ffir beliebige (t, x, z, p, r) + J • 1r Fiir 0 ~ h ~ ~./L ist dann die Funktion

g,( t ,y , -1 , y i , y t + l ) ~ - / * ( t , x , , y i , y'+'-y'h , y,+t+y,-1-2y,)]+.~

mOnoton wachsend in y/+l und y~-I (das folgt aus den beiden/-Abschht.zungen). Sehreibt man (bei festem h) die Differentialgleiehung (Pit) in der Form v'--~ g (t, v),

so ist g (t, y) quasimonoton wachsend und Lipschitz-stctig in y mit einer Lipschitz- ( , ,) k~aStante ~ L 1 + ~ + /~- , aul3erdem stetig in t. Das folgt aus den Annahmen fiber/. Also hat das Problem * (Pj,), bei welchem [ du reh /* ersetzt wurde, Eir jedes h ~ 0 genau eine in J existierende LSsung v -~ v h.

Nun sei u~ :-~ u (t, x 0. Die Funktionen ~t (t), fl~ (t) und die Zahlcn if, ~ seien gemS]3

u~(t, x~) - - &~ + :~, u~( t , x~) = 5'% + fl~,

i,t i , t definiert.

Es gentigt also (u 0 den Gleichungen +

46 W. WALTER ARCH. MATH.

I s t Q (t) L6sung des Anfangswer tp rob lems

e ' ~- -L(O-f -~ ~-f i ) , ~(0) = O, so gilt

u i ! e ' -~ ]*(t, xi, u i , &el + ~ , 52ut -]- fl~) • L( e ~- ~ + /~ )

-- ]*(t,x~, u~ :]: 0, ~(u~ • e), ~2(u14- 0)),

letzteres wegen (**) und

Ferner ist (u~ + 0) (0) ~ v~ (0). D a m i t ist der Monotoniesatz in der F o r m C anwend- bar, und es folgt l u ~ - v~[ < ~, genauer

~ + f i ( e Z ' l - - 1 ) ffir t ~ J . lu i t , x~) - v~(t)l ~_ - - ~

Hieraus folgen alle Behaup tungen sehr rasch. I s t die Ablei tung Uxz bzw. Uzxx gleichmi~i~ig stet ig bzw. uxxxx beschri inkt in J • R I, so sind die GrSl~en ~ --~ ~ (h),

= ~(h) yon der GrSl]enordnung o (1) bzw. o (h) bzw. O (h2), und dasselbe gilt dann ffir ~, da L fest ist. Ferncr ist, sobald o < 1 ist, v a auch LSsung des ursprfinglichen Problems (Ph), und zwar die einzige LSsung.

Dieses Resu l t a t ist natt irl ich auf die l ineare Differentialgleichung

ut = a (t, x) uxx + b (t, x) Ux + c (t, x) u + d (t, x)

und auf die quasilineare Differentialgleichung

ut = A (t, x, u, ux) u~x + B (t, x, u, ux)

anwendbar . :Die Vorausse tzungen lauten dabei im l inearen Fall: a, ]bl, ]c I, [dl g L, a > g > 0, die Koeff izienten sind stet ig sowie gleichm~Big stet ig in t -Richtung. I m quasil inearen Fall ist hinreichend, dab A (t, x, z, p), B (t, x, z, p) ffir ] z ], [ p] < M beschr~nkt , stet ig und gleichmiil~ig stet ig in t sind sowie Ablei tungen Az, A v , Bz, Bv mit denselben Eigcnschaf ten haben. I m Fal l dcr Gleichung ut = uzx wurde das obige Ergebnis mi t anderen Methoden yon KA~rN~N [2], [3] abgeleitet .

Der obige Konvergenzsa tz geht davon aus, da$ eine L6sung u mi t gewissen Eigen- schaf ten existiert . Es ist mSglich, aber natfir l ich schwieriger, sich von dieser Vor- aussetzung f re izumachen und auf der Grundlage der L in ienmethode einen Exis tenz- satz zu beweisen. D a r a u f werden wit an anderer Stellc zurf ickkommen.

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Eingegangen am 6. 4. 1968

Anschrift des Autors: Wolfgang Walter ~latheraatisches Institut der Universit~t 75 Karlsruhe