Vol. IV, 1953 477

G e w 6 h n l i c h e D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g e n fflr F u n k t i o n e n

m i t W e r t e n in e i n e m BANACH-Raum x)

Von VLADII~lin ]:~ICItTER in Pullach bei Mtinchmt

KEnNER erOrterte in einer Arbeit 2) die gewShnlichen ])ifferentialgleichungen fiir Funktionen mit Werten in eincm BANAcH-Raum. Er dehnte auf sie die Methodc von PICARD-LII~DEL(~F atls. ])ie vorliegendc Arbeit weist auf einc weitere Uber- tragung dcr Theorie der gewShnlichen Differentialgleichungen (des Existenzsatzes yon PEANO, des Eindeutigkeitssatzes yon KAMKE und des Existenzsatzes fiir lineare l)ifferentialgleichungen) auf diese Funktionen bin. Als Anwendung ergeben sich einige Sittze iiber unendliche Systeme yon Differentialgleichungen, die an einigen Beispielen diskutiert werden.

1. Einige Grundbegrif~e aus tier Analysis der Funk t ionen mi t Wer ten

in einem BANACH-Itaum

1.1. In der ganzen Abhandlung bedeutet E 1 die Menge a.iler reellen Zahlen, P einen BArcAcn-Raum, i, k, m, n, v natiirliche Zahlen, ~, fl, 7, ~, ~7, v reelle Zahlen und x, y, z Punkte eines BAr;ACrr-Raumes.

/ sei eine Abbildung yon E 1 in P oder yon E~ • pa) in P (y=](~) , z = / ( ~ , y ) ,

y ~ P, z E P, ~ E E l ) . ] ist offensichtlie.h eine Funktion mit Werten in einem BA~ACI,-Raum 4).

Die ]~'unktion/(~,y) ist linear in y, wenn fiir x ~ P: y E P, cr El, ~ E E 1 gilt:

(a) l(&x+y) = l($,x) + I(~,Y)

(b) = . )

Offensichtlich ist dann /($,0) ----- 0 ftir allc ~.

~) Die Ausftihrungen dieser Arbeit hatte der Autor im September 1949 auf dem Kongress der polnischea, tschechischen und slovakischen Mathematiker in einem Referat n'fitgeteilt.

"-') KEaN~n, GewShnliche 1)ifferentialgleichungen der a llgemeinen Analysis. Prace matematycz- no-fizyczne, T. XL, 1932.

a) Et X P bedeutet das kartesische Produkt E~ mit P, (~,x) cinch Punkt aus E 1 x P, wo ~ ~F, 1, x E P .

a) Bei K~:nNER abstrakte F~nktio~ genannt.

1.2. Auf ein(' Folgr von Funktionen {/,.} k,~nn man zmlhchst (lie l)efinition (h,r gleichgrtldigen St.etigkeit und don Satz yon hscom 5) iibertragen.

Wit sage]t, die ];'olge der in [~. fi.] stetig(m ];unktion(m {1,.} st, i .qleich.gradig ,detig.

wemt es zu jedem e > 0 ein .~oh.he.~ b > 0 gibt, dab aus I ~' - ~ " 1 </~ die Un~h'i- chung I / , , (U) - 1(~') { < ~" fiir alle ,, folgt.

1)er Satz yon Ascou : :I ' E.s .,el {1,.} eine Folge yon. in [~.fl] gleich,gradiff ,~tet'igen

/ ( ~) 91eichmaflig konvergiert. l)i,, (~be, rtragung des Satzes ist durchtms mSglich, da uns die Voraussetzung 2 ~'

die Anwendung des lfiagonalverfahrens erm6glicht.

1.3. Auch den Begriff der Abh,itung und d~;s Integrals kann man a,uf diese FluN- tiom,n iibertragHi. Wit fiihren nun ihre 1)ofinitionen und einige wi(..htige S~i.tze an.

1 Es existiere der Grenzwert lira ,~ ( / ( # + 5) - - / (~) ) . Wit nennen ihn die erste

6 ~l)

=451eit**nff der Funktio~t, /(~) und bezeichnen ihn nfit d,f(~) odor/ '(~). Es ge]ten fol- ' ' d ~

gende lh , zh ,hungen :

(a) (Ida) + h(~))' = 1~'(~) + t,/(~) (b) (~/(~))' = ~ / ' ( ~

(,',) ( ~ ( ~ ) . 1(~))' = r + ~(~)1 ' (~ ) (d) f(~) ~ ~,, .--~ f ' (~) ~ o .

]fie Beweise dicser Beziehungen sind analog den Beweisen der i~hnlichen S~itze ~tus dot Theorie der reellen ]~'unkt~onen" v).

1.4. ](~) s~,i in [~, fi] crkl~rt. Wit bt'zeicllnen mit ne ine beliebige Tei]ul~g dies,,s ]ntervalls

m~d ~k sei eine beliebige Zahl a.us dem lnterva]l [~_,,~). Die Norm der Teihmg ist das Maximum der Zahlen [ ~_~ - - ~ [, k = 1, 2, . . . , n und wir bezeichnen si(' mit ] ~ i" J('der Teilung ~ und jeder Wahl der Zahlen ~ entspri<'ht ei~e bestimmte

2 Suture(, ,,: = ( ~ - - ~ _ ~ ) / ( ~ ) . \'r flu" jt,(te Nullfolge dcr T(,ilung~,n {~"} (d. ls. k - - I

deren Folge der Normen {I "~'' I} cine Nu]lfoJge ist) und bei I)eliebiger Wahl der Zahhq~ die Folge der Summen {.r konvergiert, da.m~ heil,~t dcr (h'enzwert, der offensi<'ht-

}i<.h eindeutig ist, da.,~ be.~tim.mte Integral de~" Funkti.ot~ /(~). Wir bez(d(']m('n ( ' smit

a

a) E. I(A,MK[,:, I)iff(,r(,ntial~Mchu,,~en r(~(,ller [,'unl<ti~men. ],@)zig 1!145. S.(il l ff. "} Mi i <h,m Strich b[,i d('m In(h,x der i"()lgv b(,zeichnen wir imm('r die Auswahlfoig~'. 7) [(E~Etl, a.a.().. S. 3 5.

Vo]. IV. 1953 ( ;ew6hnlh' .h(, ] ) i f fe ren t ia lgh ,h~ ln ing lq i 479

Die ]?unktionen 1(8),/:(~:), 12(~) . . . . seien in [~r erkliirt. Dann gelten folgl,ndc S/i tze :

p>

a) Wenn [(~) stetig in [~, fi] ist, so existim't das bestimmte Integral f / ( ~ ) d~.

b) Es existiero (las 1)(~stinnnte Integral yon 1(~) in [~,/9] u n d e s sol 1 1(~:) I -< # 19

fiir $ ~ [~, fl], da,nn ist I j " / ( e ) dE I ~ F I f l - - ~ I" r

c) Es existim'en in [~, fl] die best immten Int.egra.le din" Folge der Funktiom,n {!,,}. Es sei lira/,,(~) = / ( ~ ) gMchmii.gig in [e, flJ. Dann existim't da.s Integral yon

d) t(~) sei sfetig in [~r fl]. l)ann ist y(~) = . / ' / (~) & q y<~ die (,iiizig~, LSsung cz

din" ] )ifferentialgld('.hung dy(~) d~ = ](~:)' die die Anfangsbedingung y(~) -- Yo erfiillts) �9

dy 2. Die Dif icrent ialgleichung it~ = 1( ~" Y)

In diesem Abschnitt erSrtern wir die l)ifferentialgleichung

d y . _ ( J ) , ~ - l ( ~ , y ) ,

wo y(~),/(~:, y) ]?unktionen mit Werten ill einem BANAcH-Raum sind. Wir werdm, km'z die 0ber t ragung einiger grundlegender DifferentialgMchungsth(,oreme a n- d<'utmL Vorher fiihren wit noch folgende ])efinition ein.

%1. ])iv Funktion [(~,y) sei im Bereich D : i ~ ~[, i < ~r y ~ K ( K ~ P) erklgrt. Wit sag(m, dal~/(~, y) in (~o, Yo) die Eigenscha/t E+ (E-} besitzt, wmm es ein ]ntervall {~o, ~o + ~] ([~o--~. ~o]}, ~ ~ ~-, gibt, in dem zu oinor Nullfolgc der Tei- hmgen dieses Interwdls

{ d " } =-- { [ ~ , , = < , ~ ; l , [~ ; ,~ ; ] , �9 ' ~' ~" - -

n~u.hsa, hond(' Fo]ge yon Funkt ionen (Po]ygonziig('n) ork]iirt ist:

f y. fiir E = e,) (A) y"(~:)

y (~<) + (~- ~'k)l(~<,y(~<)) fiir ~E(~k._~_,], ~--- 0, J . . . . . ,~,, -1.

0ffensichtlit;h ist y " (~ )~ K. Worm/(~,y) ill (~o, Yt)] die Eigensch~dt E+ mid E- be- sitzt, sag(m wit, sic besitze die Eigenscha/t E. l)iese Definition zeigt sich fiir tt~s Fol- g(,n(le gceignet, denn auf der Existenz einer Folge von P~dygonziigml (A) 1)eruht die

u) SiOIw ]'~l.:il~l.;ll, a. n. (L , S. 5 --.ti.

4 ~ 0 V. }{lClt'rER ARClt. MATIf.

Konstruktion der LSsung im Existenzsatz yon PEANO. (Siehe auch die Bemerkung zu 2.2.)

2.2. Der Existonzsatz yon PEANo: Die Funkt ion [(~,y) sei 1 ~ ste~ig im Bereich D : ] ~ - - ~o I <~ a, y E K, wo K ein kompakter Teil eine8 BxNxcH-Raumes ist und besitze 2 ~ in (~o, Yo) die gigenscha/t E+ (E-). Dann gibt ee wenigstens eine Lbsung y(~) tier Di//erentialgleichung (1), die in [$o,~o + ~ ] ([~:o--K, ~o]) erkltirt ist und die An[angsbedingung Y( $o) := Yo er/i~llt.

Die Ubertragung dieses Existenzsatzes ist m(iglich, denn die Voraussetzung 2 ~ garantiert uns die Existenz der Polygonztige (A) und die Voraussetzung 1 ~ ermSglieht uns die Anwendung des Satzes yon ASCOLI 1.2.

Bemerkunq. Wiire anstatt der Bedingung 1 ~ und 2 ~ folgende Bedingung erfiillt: /(~, y) stetig im Bereieh I $o - - ~ I < a , I Y - - Yo ] -< fl, da.nn w~.re dieser Bereich im allgemeinen nur dann kompakt, wenn der B ,N ,c u -Ra um P eine endliche l)imen- sion h~tte, l)arum wiirde dieses Verfahren in unserem Falle nicht zu einer Verall- gemeinerung auf unendliche Systeme der l)ifferentialgleichungen fiihren. Anders verh/ilt es sich, wenn/ ($ ,y) einer L||)SCHtTz-Bedingung geniigtg).

2.3. Der Eindeutigkeitssatz yon KAMKF, 10): .1. ~ Ev 8ei cf(~, ~t) 8tetig und > 0 in dem Bereich: 0 < ~ < a, n ~ 0. Fiir jedes ~ au8 (O, a) sei z(~) ~ 0 in [0, a l ]d ie

einzige di[/erenzierbare Funktion, die die Lgsung der Di//erentialgleichung d~] = 9 ( $ . 'l)

in (0, ~ ) ist und die Bedingungen Z(0) = Z'(0) -- 0 erliillt. 2 ~ Die Funkt ion 1(~, y). die im Bereich n : I ~o - - ~ ] <-- ~. Y E K ( K ~ P) erkldrt i.qt, er/iille ]iir jede.v !h. Y',- aus K die Ungleichung

i -< v(i l, I yl-y 1).

Dann gibt es in. I) h6chstens eine L6sung der Di//erentialgleichung (l), die die An/angs- bedingung Y ( ~ o ) ~ Yo er]iillt.

Die Obertragung dieses Satzes ist mfglich, weil die Norm [ y I alle nStigen Eigen-

schaften wie die Funktion ~ ] ~ , . [ besitzt. Insbesondere gilt die Ungleichung v = l

D ]/(~) I < !/ '($) I ftir beliebige Differentialquotientenzahl D [](~) l, was zur Uber- tragung des Hilfssatzes (KAMKE, a. a. 0., S. 137) hinreichend ist.

2.4. Ist 1(~, y) linear in y, dann heiltt (1) eine lineare l)ifferentialgleichung. Ihre LOsung kann man in der Form einer unendliehen Reihe yon ]ntegralen sehreiben.

a) lX[ERNER, a. it. O., S. 12.

m) |4.AMKE, a. a. O., S. 139 u. f.

Yol. IV, 1953 GewShnliche Differenti~flgM('.lnmgen 481.

Wit definieren rekursiv folgende Funktionen

(B) v,,(~) = f 1(-~.,,,,_, (,-)) d~-.

Dann lautet der

Existenzsatz fiir lineare Differentialgleichungen: /(~,y) sei stetig [iir

~ [~o --- ~, ~o @ a], y E P, und linear in y. Da~.n ist y(~) = 2 v,,(2) die einzige v = : ( I

L6sung der Di//erentialgleichung (1), d.ie in. [~o - - ~, 2o @ a] erkmrt ist und die An- /angsbedingung Yo(~o)~ Yo er/i~llt.

Zum Beweis dieses Theorems benStigt man folgenden Hilfss~tz:

Wcnn/(2 , y) stetig in 2 E [:r fi] und linear in y ist. d~nn ist sie auch in y stetig, wenn und nur wenn es eine positive Zah] # gibt derart, da.B I/(2, Y) I ~ # l Y I fiir all(, 2 ~ [ a , fl] und y ~ P .

Beweis . Die Bc(|ingung ist notwendig. Es sei / (~,y) stctig in ~ mtd y und die UngMchung sei nicht erfiillt. ])ann gibt es eine solche Folge (($,,, y,,)}, dag !/(~,,, y,,) ]

1 1 > t',, I Y,, I und ,.lim~.~: if,. = ~ . Wir setzen z, --= /i,/i y~ [ y,,. l)ann ist /% t = ~,, ,

also lira z,,--= O. Aus {~,,} w/~hlen wir eine konvergente Folge {~,,.} ~us. Damt ]

lira/(2,..,z,.) = (), was ein Widerspruch ist, denn [/(~v,z,.,) 1 = t*,.'/yr ] [/($'''' y''') [ > 1.

])ie Bcdingung ist hinreiehend. Wenn lira y , . = y, ist nach der Definition s, - ~ o 9

]i,, iy,,--yl =o, ,~]so lira I/(r y , . ) - / (~ i ,y )]= lim.!/(~, Y,.--Y) ] ~< lira ff I Y,.-- Y ] - - ~ 1 , - * ' 2 , o t , ~ ~ : , - ~ c , o i , - ~cx :

~.lso lira 1(2, Y,,) = / ( 2 : Y ) �9

Anhand dieses /-lilfssatzes kaml man leicht die Konvergenz din" Reihe 2 v,.(~)

aufweisen, denn es gilt

1~,,(2) i < i yo i (t, ~ - ~ o i )" - - - p !

Auch der weitere Gedankengang ist g~nz analog dent Beweise dicscs Theorems fiir reellc Funktionen.

Bemerkung. Wenn [(2, y) unabhiingig yon 2 ist, setzen wit [(2, y) == g(Y) �9 Welter definieren wit rckursiv folgende Funktionen

r y (c) g"(y) = g(g,,_, (y)).

4~2 v . 111 ~:IIT I.: II A II I:H, M ATI [.

l)ann ist y ( ~ ) = ~o (.f'(Y,,) I ~ - - 4 o ? ' dy ~-- 7.! (tie einzige Li)sung y o n (lX = g(y)" y (~ ) k a n n v--I)

man symbolis(.h schreib('n y (~) .... e3ly,,~(~ ~,,).

3. U n e n d l i c h e $ y s t e m e yon gewi ihn! ichen Di f fe ren t ia lg le ichungen

Die ])ifferentialglci( 'hung (l) fiir Funkt ionen mit Werten in cinem BANACH- Raum umfalSt aul.~('r den ( 'ndlMwn Systemen au('h unml(lli('he Systeme yon I)ifferen- lia]gMt'htmg('n reeller Fmfl~tiomm. Jn dies('m Abschnit t fiih|'en wh' ('ine Anwen- (hu N (ti(,ser Art an. l)azu bilden wit zu('rst cinch ,~])eziellen Bh~.u:H-Raum.

3.1. |)i,, )h,n~, ' a ll,'r Folg, 'n {~,.}. fnr di(, .die lCeihe ~_.~ I ~,, ] c', ~' > 1 konve, '-

giert, heil.~t HC'-Rawm,. l)ie Addition mM ~'Iu]tiplikation scion definiet't dur(.h

'~)~ @- ]] --- {2,, -~- '}]v} ' (3(. ;1: {C(. ~ , ,} . [ ) i0 ~( ) | ' 1 | | s( 'i [ ~: I--~ ( 2 '[ ~" t 0)1]s ])('1" H 0 - ] ~ I I | | l l v o

ist vollst/indig, also BAN*(:H-Raum.

3 .2 . IC-' sei d i(~ Men, fie aller Punlcte {~,,} aus H'-' de'~'a, rt, daft [ ~,, l_<C__ ~, , woSei

{~,,} i n H ~ liefft; dan'u ist K'-' kompal~t.

B ew( ' is . Zuerst b('weisen wir, dab .i(,d(; Folge {x.') a l s K ~ konv('rg(mt ist, wt'nn und rim" w(mn die Folg(,n {~,"}; ~)fiir a.Ih, v konverg(mt sind.

1. Es sei lira x" -= x. l)mm gibt es zu e ::> 0 ein n o derart, dag t'ih' n > no gilt

( 2 I ~j',' " - ~v [0)1/,2 ..~ ,F, lit]SO ~ | | ( ' h [ ~ n __. ~,, ] <: /-' f i l l ' ,[lIlo ), v o

II. Es sei lira ~,; -- ~,. fiir Mle v. Zll je(hma s "> 0 gibt es eilw natiMichc Zahl

'm,, (h, rart.. (ta15 ~" (z")e J- 2"1 ( .,; )t, lind aul.~(q'(lenl natih'li(.he Zahlen n.., n,, �9 . . , "m,,

[ . F

derarl , dag [ ~ - - ~ , , 1 <( . , , , i 1),z~., '2 fib' a, lh, ~ > n i, = 0 , 1 . . . . . mo. Aus

bei(h,n l:ngh, i(.hungen folgt fib" r~ 2-- max (n o, 'a 1, . . . . . . ~m ) ( I ~,,e" __ ~,_ . I") :/~-' < e. 1,-o

l)aB K ~ koml)al(t ist, I)(nveist man nun iilmlich wie in 3.1.

3.3. ])er Exis tenzsa tz . I " l)ie. F u n k t i o n e n q)i(~,ql,~b. . . . . ), i --= 1, 2, . . . der

uu, endlich vielen l"criinderHche~, ~, ~h. "q" . . . . . ~eien .~tetiff i m Be reich D e

D: ' (~ : t : ' ) : ~,, _< ~ ~ ~,, + o~. [ ~/,,,--- ,]i i ~ / ~ i . {"],,i} ~ H'~', {/~,} ~ H~

und 2 ~ gleieh,miiflig / i ir alle i be.~chranlct

[ q~i('~,'?]l,']2, ) ] <~ /1i' {~" 9]1' I]2' " *} ~]1~" It/t'~, i ] l [ ([3,) . . . . . ;> 0 . " \/'i/

\'o!. IV, 1!153 (h'\y6huliehe l)ifferet~tialgleirlumgen 4g~{

/+'erne;' .s'ei g =- min ,~ ' inf ~,.*,i]l "

;o~e~dlicheu Ny,~lems der Di[/erentialflleichu~Ulen

d~li ,l~ - - ~ ( ~ ' ria, ~l', . . . . ) . i = 1 . 2 . . . . .

e r l i i l l l .

l)er Bvwds eigibt sieh a~ts 2.2. ]fie \roraussetzung 1 ~ in 2.2 ist erfidlt, denn D'; ist nach 3.2 ein kompakter Teil des BA>'ACU-Raumes H e tiled die ]eunktionen rp,(~, ~h, ~t*-,.- .) sind fib' a lle i ha th der Voraussetzung 1 ~ in 3.3 stf,tig.

Welter hat q~i(~ e,'q~,+i., . . . . ) iu D O die Eigenschaft E! . I)ie l 'olygonziige (A)

[ ~1,,~ fur ~ = ~o /

sind n~tmlieh in I~o, ~,~ + ~] sogar bei jeder Teihu3g erklfirl. ] }enn na, eh tier Bedin- gung 2 ~' in 3.3 gilt

} ' l ;( , ~) ";~,~l < , -~ (~ -~o ) ~--~ ~ , .

[Tntm'/thnlichen Bedingm~gen wiirde sMl m~s 2.2 din' Existenzsatz fiir das lntm'vall links von ~ ergeben.

Be.me.rkun~.l 1. ])ie Bedingung 2 ~ in 3.3 ist hinreiehend fih" {lie Erfiilhmg der Be- dingungen 2 ~ in 2.2, aber sie ist nicht notwendig, wie wir am Btqspiel 1. in 3.4 sehen Wtq'dell.

Bemerkun[t 2. Aus 2.3 m~d 2.5 folgen aueh dot Eindeutigkeitssa.tz und der Exi- stenzsatz fiir linea.re Svsteme in H ~'.

3.4. Wir fiihren noeh zwei BeispMe ~u~.

B e i s p i e l I. Es sri das Systmn tier Differentia lgMchungen

dqi

im Bereich D'~': 0 ~ ~e ~ c~ , Iui ~ fli. {fli} ~ H ~ ' gegeben und wit suelwn ei31e Liisung, die die Anfangsbedingung {,~h(0)} = {0} erfiillt, ]tie Bedingung 2 ~ in 23.3 ist zwa, r nieht m'fiillt, abet die 13edingung 2 ~ in 2.2 ist t rotzdem erfidlt. (Siehe die ]3emerkung I hinter 3.3.) l)enn die Polygonziige {~1[(~)} ~ {0} sind fiir a l l e v in [0, cz] erkl~.rt, l)aher ist naeh 2.2 {~1,(~)} :~ {0} eine ]~i~sung des Systems (a) in P:'. Wit k@nen noeh andere l~6sungen konstnderen. Es seien 7i ~ [~i gegebvn, wohei

0 <_ ),,-<-" ~~.4 Offvnsichtlieh gibt. es ]~i'~sungen ~h(~)_ din" l)ifferentialgleMmng

484 v . RICIITER AI~.CI[. MATII.

@ - - ] / I ~ 1, die die Bedingungen ~ i ( 0 ) = 0, ,~i(a)= ~'i erfiillenn): l)iese Lii- dE-- sungen liegen ni~mlich zwischen der Minimalliisung ~ ( ~ ) = 0 und der Maximal- 16sung ~(~) - - E2 4 " Daher ist auch {,/i(~)} eine LSsung des Systems (a).

Be i sp i e l 212). Wir betrachten das Systenl der Differentialgleichmlgen

d r J i 1 i : 1, 2, . . . (b) - I +

in b~ und suchen eine L(isung, die die Anfangsbedingung {~i(0)} = {0} erfiillt. 1)ieses System hat aber in D O keine solehe Liisung {~i(~)}. Denn sie mti6te fiir

~2 ~: > 0 die Bedingung 91i(~:) -> 4 erfiillen. ])aher wiirde sie nieht in H ~ ]iegen.

l '~ing,,gangen am 3] . 8. 1963

11) KAI~KE, a . a . 0 . , S. ]5.

12) Dieses Beispiel teiltc mir licbenswiirdigerweise Herr ])IEUDON.~ mit.