G.Heyer Algorithmen und Datenstrukturen 1 5. Sortier-Algorithmen Vorbemerkungen: Sortierproblem: Gegeben Folge von Datensätzen (items) s 1, s 2,... s n

G.Heyer Algorithmen und Datenstrukturen1

5. Sortier-AlgorithmenVorbemerkungen:

Sortierproblem: Gegeben Folge von Datensätzen (items) s1, s2, ... sn

Jedes si besitzt Schlüssel ki (meist vom Typ integer).

Gesucht: Permutation , so daß k(1) k(2) ... k(n)

Interne Sortierverfahren: alle Datensätze im Hauptspeicher, sonst Nutzung des Externspeichers

Maße für die Laufzeit: Anzahl der Schlüsselvergleiche C (Comparisons) und Anzahl der Zuweisungen von Datensätzen M (Moves).C min, C max, C mit jeweilsM min, M max, M mit minimale, maximale, mittlere Anzahl


Klassifizierung von SortiertechnikenSortieren durch

1. Auswählen

2. Einfügen

3. Austauschen

4. Mischen

5. Streuen und Sammeln

6. Fachverteilen


Sortieren durch Auswahl

Methode: Finde zuerst das kleinste Element im Feld und tausche es gegen das an erster Stelle befindliche Element aus, finde danach das zweitkleinste Element und tausche es gegen das an zweiter Stelle befindliche Element aus und fahre in dieser Weise fort bis das gesamte Feld sortiert ist.

Für jedes i von 1,..., N-1 tauscht es a[i] gegen das kleinste Element in a[i] , ... , a[N] aus:


selection ( int a [ ] , int N ){

int i, j, min, t ;

for ( i = 1 ; i < N ; i++ )

{

min = i;

for ( j = i+1; j <= N ; j++ )

if ( a [ j ] < a [ min ] ) min = j;

t = a [ min ] ; a [ min ] = a [ i ] ; a [ i ] = t;

}

}Analyse:Anzahl Schlüsselvergleiche: i = N(N-1) / 2 = (N2)Anzahl Bewegungen von Sätzen: 3(N-1)


Insertion Sort (Sortieren durch (direktes ) Einfügen):(Beispiel: Einsortieren der Karten beim Kartenspiel)

Methode:

Betrachte die Elemente eines nach dem anderen und füge jedes an seinen richtigen Platz zwischen den bereits betrachteten ein (wobei diese sortiert bleiben).

Das gerade betrachtete Element wird eingefügt, indem die größeren Elemente einfach um eine Position nach rechts bewegt werden und das Element dann auf dem frei gewordenen Platz eingefügt wird.

Für jedes i von 2 bis N werden die Elemente a [1] ,..., a [i] sortiert, indem a [ i ] an die entsprechende Stelle in der sortierten Liste von Elementen in a[1] ,..., a[i-1] gesetzt wird.


insertion (int a[ ] , int N ){

int i, j, v ;

for ( i = 2 ; i <= N ; i++ )

{

v = a [ i ] ; j = i;

while ( a [ j-1 ] > v )

{ a [ j ] = a [ j-1 ] ; j--; }

a [ j ] = v ;

}

}

/* Programm läuft nur, wenn j>1*/


Sortieren von Dateien mit großen DatensätzenZiel: Jedes Sortierverfahren so einzurichten, dass es nur N Austauschoperationen von vollständigen Datensätzen ausführt, indem man den Algorithmus indirekt (unter Verwendung eines Feldes von Indizes) mit der Datei arbeiten und das Umordnen dann nachträglich vornehmen lässt.

Insbesondere, wenn das Feld a [ 1 ] , ... , a [ N ] aus umfangreichen Datensätzen besteht, zieht man es vor, mit einem „Indexfeld“ p [ 1 ] , ... , p [ N ] zu arbeiten, wobei ein Zugriff auf das Originalfeld nur für Vergleiche erfolgt.

In C ist es zweckmäßig, eine auf dem gleichen Prinzip beruhende Implementierung zu entwickeln, die ein Feld von Maschinenadressen (Zeigern) verwendet.


Beispiel: Umordnen eines sortierten FeldesVor dem Sortierenk

a [k]

p [k]

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

A O R T I N G E PS MAX L E

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Nach dem Sortierenk

a [k]

p [k]

k

a [k]

p [k]

Nach dem Permutieren

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

1 11 9 15 8 6 14 12 7 3 13 4 2 5 10

A E E G I L M N SA RPO T X

A O R T I N G E PS MAX L E


„Insertion sort“ unter Hinzufügung eines Indexfeldesinsertion ( int a [ ] , int p [ ], int N )

{

int i, j, v ;

for ( i = 0 ; i <= N ; i ++ ) p [ i ] = i ;

for ( i = 2 ; i <= N ; i ++ )

{

v = p [ i ]; j = i ;

while ( a [ p [j - 1]] > a [ v ])

{ p [ j ] = p [j - 1] ; j-- ; }

}

}


Funktion zum Umordnen einer Dateiinsitu ( int a [ ], int [ p ], int N )

{

int i , j , k , t ;

for ( i = 1 ; i <= N ; i ++ )

if ( p [ i ] != i )

{

t = a [ i ] ; k = i;

do

{ j = k ; a [ j ] = a [p [j ] ] ;

k = p [ j ] ; p [ j ] = j ; }

while ( k != i ); a [ j ] = t;

}

}


„Insertion sort“ unter Verwendung eines Feldes von Zeigerninsertion ( int a [ ], int *p [ ], int N)

{

int i, j, *v;

for (i = 0 ; i <= N ; i++ ) p [ i ] = & a [ i ] ;

for (i = 2 ; i <= N ; i++ )

{

v = p [ i ]; j = i ;

while ( *p[ j -1 ] > *v )

{ p [ j ] = p [ j - 1 ] ; j -- ; }

p [ j ] = v ;

}

}


Cmin(N) = N-1 Cmax(N) = i=2..N i = (N2)Mmin(N) = 2(N-1) Mmax(N) = i=2..N i+1 = (N2)

Für die Abschätzung der Werte C mit und M mit kann man davon ausgehen, daß im Mittel die Hälfte der maximalen Vergleiche/Bewegungen ausgeführt werden müssen. Auch hier erhält man also (N2).

Analyse


Bubblesort

Methode:Jeweils 2 benachbarte Schlüssel werden verglichen.Ist a[i].key > a[i+1].key, so werden items vertauscht.

Größtes Element steigt in jedem Durchgang ans Ende (wie Blase, engl. bubble, nach oben).

Terminierung wenn keine Vertauschung mehr erfolgt ist, oder spätestens nach N-1 Durchläufen.


bubblesort

bubble (int a[], int N)

{

int i, j, t;

for ( i = N ; i >= 1 ; i--)

for (j = 2; j <= i; j++ )

if ( a [j-1] > a [j] )

( t = a [j-1] ; a [j-1] = a [j] ; a [j] = t; )

}


Analyse:

Cmin(N) = N-1Cmax(N) = (N-1) + (N-2) + ... + 1 = N*(N-1) / 2 = (N2)Mmin(N) = 0Mmax(N) = 3 * Cmax(N) = (N2)

Dieselbe Abschätzung erhält man für die mittlere Laufzeit.

Bubblesort asymmetrisch: gut, wenn viele Elemente in der richtigen Reihenfolge sind, schlecht sonst.


Leistungsparameter der Sortierverfahren (Durchschnitt)Algorithmus Vergleiche Bewegungen

Selection Sort N2 /2 N

Insertion Sort N2 /4 N2 /8

Bubble Sort N2 /2 N2 /2


Quicksort erfahrungsgemäß eine der schnellsten Methoden

Divide and Conquer-Verfahren:

• Zerlege die Folge F= a[1],...,a[n] in zwei Folgen F1 und F2, so daß gilt:

Für jeden Schlüsselwert ki1 der Folge F1 und jeden Schlüsselwert ki2 der Folge F2 gilt die Beziehung ki1 < ki2 ,

d. h. jedes Element der ersten Teilfolge ist kleiner als jedes Element der zweiten Teilfolge.

• Führe diese Zerlegung wiederum für beide Folgen F1 und F2

durch, usw.• Das Verfahren bricht für eine Teilfolge ab, wenn diese einelementig ist.Nach dem Abbruch des Verfahrens ist dann die gesamte Folge sortiert. Wir beschreiben den Vorgang des Zerlegens und Zusammensetzens etwas genauer:


Zerlegung:(i) Wähle ein Element x aus der Folge a[1],...,a[n], etwa x:=A[1];(ii) Durchsuche die Folge von links, bis ein Element a[i] mit

x < a[i] gefunden wurde.(iii) Durchsuche die Folge von rechts, bis ein Element a[j] mit

a[j] < x gefunden wurde.(iv) Vertausche beide Elemente(v) Wiederhole (ii), (iii) und (iv) so lange, bis i >= j gilt.

Anschließend wird das Element x = a[1] mit a[j] vertauscht und es gilt für die neue Folge a[1],...,a[j-1], x, a[j+1],...,a[n]:

a[i1] < x < a[i2], für alle i1 {1,...,j-1}, i2 {j+1,...,n}

Daraufhin wird der gesamte Prozeß für die Teilfolgen a[1],...,a[j-1] und a[j+1],..., a[n] durchgeführt, und es ist kein Zusammensetzen der Ergebnisse mehr erforderlich.


Beispiel zu Quicksort:Wir betrachten die Folge

44 55 12 42 94 6 18 67

ji

und sortieren sie bezüglich der Ordnung <= . Zuerst haben wir das Vergleichselement x = a[1] = 44 gewählt. Mit der Variablen i sind wir von links so weit gelaufen, bis wir auf ein Element gestoßen sind, das größer ist als 44. Das gleiche geschah von rechts mit der Variablen j, bis ein Element gefunden wurde, das kleiner ist als x, a[i] und a[j] werden nun vertauscht und wir erhalten:

i j

1844 12 42 94 556 67


Mit i sind wir anschließend auf das Element a[5] = 94 und mitj auf a[6] = 6 gestoßen. Wiederum werden beide vertauscht:

44 18 12 42 6 675594

ij

Nachdem wir mit Hilfe von i und j die Folge weiter durchsucht haben, gilt jetzt i >= j, und damit ist das Abbruchkriterium der Zerlegung erreicht. Jetzt werden a[1] und a[j] vertauscht, und wir erhalten:

4212186 679444 55

Jetzt gilt: Alle Elemente der linken Teilfolge sind kleiner oder gleich x, und jedes Element der rechten Teilfolge ist größer oder x. Das Verfahren wird nun auf beide Teilfolgen angewendet:

6 18 12 42 5594 67und


C-Programm zu Quicksortquicksort ( int a [ ] , int l , int r )

/* ausgewähltes Element steht rechts */ {

int v, i, j, t ; if ( r > l)

{ v = a [ r ] ; i = l - 1; j = r ; for ( ; ; )

{while ( a [ i++] < v) ;while ( a [ --j] > v );if ( i >= j ) break;t = a[i] ; a[i] = a[j] ; a[j] = t;}

t = a [ i ] ; a [ i ] = a [ r ]; a [ r ] = t; quicksort ( a , l , i -1 ) ; quicksort ( a , i+1 , r ) ; }

}


Analyse:

worst case: sowohl Vergleiche wie Bewegungen quadratisch. Schlechtester Fall tritt ein, wenn Array bereits sortiert.

(N + 1) + (N) + ( N - 1) + ... + 3 Vergleiche

best case: Folgen werden in gleichlange Teilfolgen aufgeteilt, Aufrufbaum hat Tiefe log N, auf jeder Ebene maximal N Vergleiche, damit Laufzeit (N log N).

Mittlere Laufzeit fast so gut wie beste Laufzeit!!

Annahmen: Schlüssel 1, ..., N, alle Permutationen gleich wahrscheinlich

Average case Komplexität: O(N log N)

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