Math. Nachr. 127 (1986) 83-94

Gleitende-Mittel-Darstellungen fur BmAcH-Raum-wertige homogene verallgemeinerte zufallige Felder

Von LUTZ KLOTZ in Leipzig und FRANZ SCHMIDT in Dresden

(Eingegangen am 26.9. 1984)

Darstellungen durch gleitende Mittel, insbesondere Darstellungen durch ein- seitige gleitende Mittel, spielen in der Spektral- und Extrapolationstheorie stationarer stochastischer Prozesse eine wesentliche Rolle. Die ersten Ergebnisse d a m stammen von WOLD, KOLMOGOROV, WIENER, KARHUNEN und HANNER. Die Ergebnisse dieser Autoren beziehen sich auf eindimensionale stationare Prozesse mit der reellen Achse bzw. den ganzen Zahlen als Parametermenge. Einige dieser Resultate lassen sich nun in verschiedene Richtungen verallgemei- nern. Man kann sowohl mehrdimensionale Prozesse als auch eine allgemeinere Parametermenge betrachten.

Von K. I T 0 [4] und I. M. GEL’FAND [3] wurden bereits in den 50er Jahren in Anlehnung an den ScHwARTzschen Distributionsbegriff (eindimensionale) stationare verallgemeinerte Prozesse bzw. homogene verallgemeinerte Felder, bei denen die Parametermenge aus den Funktionen des ScHwmTzraumes ai auf R* bzw. auf Rn (n 2 1 ) besteht, eingefuhrt. Von K. BALAGANGADHARAN [l] wurden mi t Hilfe der Methode von HANNER Darstellungen durch einseitige gleitende Mittel fur regulare stationare verallgemeinerte Prozesse hergeleitet. K. URBANIK [ 131 erhielt Gleitende-Mittel-Darstellungen fur eine spezielle Klasse homogener verallgemeinerter Felder.

In den letzten Jahren wurden verstarkt BANACH-Raum-wertige stationare Prozesse untersucht. Ausgehend davon wurden in [5 ] BANACH-Raum-wertige homogene verallgemeinerte Felder eingefuhrt. In der vorliegenden Arbeit sollen einige der in [9] und [ 101 erhaltenen Ergebnisse zuGleitenden-Mittel-Darstellungen auf solche Felder ubertragen werden. Die dazu notwendigen Grundbegriffe werden im ersten Abschnitt der Arbeit bereitgestellt. Im zweiten Abschnitt werden der Begriff einer Gleitenden-Mi ttel-Darstellung fur BANACH-Raum-wertige homogene verallgemeinerte Felder definiert sowie die Kovarianzhkt ion von Feldern, die eine solche Darstellung gestatten, untersucht. Im dritten Abschnitt werden Be- dingungen fur die Darstell barkeit BANACH-Raum-wertiger stationarer verallge- meinerter Prozesse durch einseitige gleitende Mittel angegeben. Sie sind Ver- allgemeinerungen der Resultate von K. BALAGANGADHARAN [ 11.

a4 Math. Nachr. 1% (1986)

1. BmAcrr-Raum-wertige homogene verallgemeherte Felder und verallgemeinerte zufilllige MsIIe

1.1. Fur eine Zahl n aus der Menge der naturlichen Zahlen N = (1 , 2, . . .} seien Rn der n-dimensionale EngLIDische Raum, d, das LEBEsauEmaB auf Rn und an der mit (der ublichen Topologie versehene) ScHwmTzraum der komplexwertigen Funktionen, die stetige (partielle) Ableitungen beliebiger Ordnung besitzen und deren Trager kompakt sind. Fur t = ( t l , ..., t,)ER" und 1=(11, ..., A J E P setzen wir t l : = t J , +... +tJ, und entsprechend l 2 : =A: +... + A t .

Es seien 3 ein BANAcHraum und % ein HILBERTraUm uber dem Korper der komplexen Zahlen C. Mit b* seien der BANAcHraum der stetigen antilinearen Funktionale auf d und mit [a, 'XI der Raum der beschrankten linearen Operatoren von b in % bezeichnet. Das Skalarprodukt in % werde mit und der Wert eines Funktionalsf€b* auf z ~ b m i t (f , z)bezeichnet. Fur AE[b, 'de]seiA*E[%,b*l der durch (v, A x ) ~ = ( A * ~ , z) (WE%, z ~ b ) definierte adjungierte Operator zii A. Fur r,vE9,, und hE Rn bezeichne ZhQ] die durch ( t h y ) ( t ) : =Q] (t -h) ( t€P) definierte Funktion.

Unter einem BANACH-Raum-wertigen homogenen verallgemeinerten Feld uber R" mit Werten in [b, "de] versteht man eine stetige lineare Abbildung X von GI)n in den mit der starken (oder, liquivalent dazu, gleichmliBigen) Operatorentopologie versehenen Raum [a, "de], deren Kovarianzfunktion l': l'(pl, y) : =X(v)* X(Q]) (9, y ~ 9 , ) translationsinvariant ist, d. h., es ist T(Z,,Q], zhy) =T(q, y) fur alle Q], ~ € 9 ~ und alle hcBn [5]. Die Klasse aller dieser Felder sei rnit 6(GI)nl b, %) bezeichnet.

Die Kovarianzfunktion l' besitzt die Darstellung

(1 .1) (%I w) *I Y) =J a4 Q(4* (F(d4 XI Y) (PI w €9,; x, YE.%. Dabei bezeichnet @ die FouRIERtransformierte von :

@(A) : = 1 ei"p(t) u ~ d t ) .

Die Integration in (1.1) erfolgt uber Rn, und F ist ein nichtnegatives operator- wertiges Ma13 mit Werten in [b, a*] und der Eigenschaft, daB

(1.2) (1 + 1 2 ) - p (F(dil) x, z)sconst 11x11; ( ~ € 8 ) fur irgendein p ~ N u (0) gilt, d. h., .Zi' ist ein operatorwertiges Ma13 von Potenz- wachstumsordnung. Das Ma13 P heifit nichtzuflilliges SpektralmaB des Feldes XE G(9,, 3, %).

Das Feld X selbst besitzt die Darstellung

X ( 9 ) x = J Q ( l ) Z(W 2

z(B)* Z(B) = F (Bn B')

(Q]E%; %€a) mit einem operatorwertigen MaB 2 mit Werten in [B, %I, das der Beziehung

fur beliebige beschrankte BORELmengen B, B'cP genugt. Das MaB 2 heiBt zufiilliges SpektralmaS von X [5] .

Klotz/Schmidt, Gleitende-Mittel-Darstellungen 85

1.2. Es sei X ein HILBERTraUm uber C mit dem Skalarprodukt Mit L2(X, R") bezeichnen wir den &BERTraum der auf Rn quadratisch integrier- baren 3-wertigen Funktionen (8. z. B. [8; S. 2821 oder [2; Abschnitte 4.3.4 und 4.5.61).

Das Skalarprodukt in U ( X , R") ist definiert durch

[k, ll,:=J(k(s), l(s)),un(h) (k, ~ E L ~ ( X , R")) * Fur 8 = C ist D ( C , Rn) = : L2(&?) der ubliche HnBERTrauni der quadratisch integrierbaren komplexwertigen Funktionen auf R".

Es sei 3, der &Ring der LEBEscuE-me13baren Teilmengen des R" mit end- lichem LEBEsGuEma6. Unter einer einfachen Funktion k EL'(X, Rn) versteht man eine Funktion der Form

m

k ( s ) : = z I B ( s ) kj (sER"; ki, ..., k,,,EX; B,, ..., B,E3,; W E N ) , j = l j

wobei I B die Indikatorfunktion der Menge B bezeichnet. Der lineare Raum der einfachen Funktionen liegt dicht in D ( X , Rn) [9; Hilfssatz 1.11. Es sei

(1 -3) {kz: aEd}

eine orthonormale Basis in 3. Dann bezeichne .9 die lineare Hulle

(1.4) f : = l . H. { y k a : ~ E C B ~ , a E 8 ) . Leiniiia 1.1. Die Henge 2 Ziegt dicht in L2(X, R"). Beweis. Da sich fur beliebiges B E & die Funktion I , in D(B") durch Funk-

tionen aus %,& approximieren la& folgt die Behauptung aus der Dichtheit der einfachen Funktionen.

Unter einem verallgemeinerten zufalligen Ma13 111 auf R" mit Werten in [ X , %] verstehen wir eine Abbildung von 3, in [ X , X] mit der Eigenschaft

X(B')* J f (B)=u , (BnB') Ex (B , B'C3,J , mobei Ex den identischen Operator in 3c bezeichnet (vgl. [9; Abschnitt 2.11). Die Klasse aller verallgemeinerten zufiClligen MaBe auf R" mit Werten in [ X , bezeichnen wir mit G*(R", X, %).

Jedes MarJ aus G*(R", 3C, X) ist ein quasiisometrisches Ma13 im Sinne von MASANI [6], und die Theorie dieser MaBe gestattet es, Integrale von Funktionen aus D ( X , E') beziiglich eines MaBes aus G*(R", X , 'de) einzufiihren. Dazu defi- niert man zunachst J M ( d 8 ) I,(s) k: = M ( B ) k (BE3,, kEX) und setzt dann dime Abbildung linear auf die einfachen Funktionen und schliel3lich stetig auf ganz L2(XC, R") fort. Die so definierte Zuordnung M :

M ( L ) : = J M ( h ) k(s) (kEL*(X, R")) ist eine isometrische Abbildung von L2(X, R") auf den Teilraum

(1.5) %w: =a. 1. H. { M ( B ) k: BE$,, k c X } des HILBERTraUmeR 2 (vgl. [9; Abschnitt 2.11).

/

86 Math. Nachr. 147*(1986)

1.3. Es bezeichne 3L2(3",Rn) den Raum der beliebig oft (bezuglich der Norm in X) partiell differenzierbaren X-wertigen Funktionen, deren samtliche partiellen Ableitungen in L2(X, R") liegen.

Es sei s? die Menge aller n-Tupel j=(jl, ..., j,) mit ji, ..., jnCN U(0). Fur Q] E 9 L z ( , , R n , und j el2 bezeichne Diy die j- te partielle Ableitung von y : (Djy) ( t ) : =

Wir fuhren in 9L2(aC,Rn) ein Normensystem ein : 1

' IIIyllli: =[$ Il(% (t)lli an(dt)I5 ( P ) E 9 L ? ( x , R n ) , j € Q ) *

Bezuglich der durch dieses Normensystem erzeugten Topologie ist der Raum ein vollstandiger lokalkonvexer topologischer Vektorraum. I m Falle X = C

ergibt sich der Raum 9L2(Rn) : =9L2(C,Rn), s. dazu [12; S. 551.

Mit A,(X) sei der lineare Raum aller derjenigen stetigen linearen Abbildungen von 9L2(Rn) in X bezeichnet, die (endliche) Linearkombinationen von verallge- meinerten partiellen Ableitungen beliebiger Ordnung ron Funktionen aus D(X, R") sind, d. h. fur TEA,(X) gilt

i € Q

%a, R")

T ( V ) = C J kj(t) (Diy) ( t ) an(dt) (9' E 9 L 2 ( R n ) ) (1.6)

mit irgendwelchen kiCL2(X, R"), wobei nur endlich viele ki rerschieden von der Nullfunktion sind.

Fur ein TCAJX) und ein yE9L2,Ra, ist die Faltung T * y definiert durch

(T * y ) ( s ) : = T (y (S-.)) (8ERn) . Die X-wertige Funktion T 8 y iet bezuglich der Norm von X beliebig oft diffe- renzierbar. Das folgt sofort aus der Stetigkeit und Linearitat von T sowie der Existenz beliebiger Ableitungen fur y .

Lemma 1.2. Seien TEA,(X) und qEBn. Dann ist T * yE9L2(31,Rn).

Beweis. Da TEA,(X) von der Form (1.6) ist, genugt es zu zeigen, da13 fur beliebiges kEL2(3C, Rn), beliebiges y e a n und beIiebigesjCi2 die Funktion Z(s): = = s k ( 8 - t ) (Dip;) ( t ) a,(&), sE R", in O(X, Rn) liegt. Zunachst sind die MeBbar- keitsforderungen an die Elemente des Raumes L2(X, R") (8. dazu [8; Definition in Abschnitt 1.11) wegen der Differenzierbarkeit von 1 erfiillt. Weiterhin ist, wenn D den kompakten Trager von y bezeichnet,

J I l b l l k an(W =J II$ k (8 - t ) (m ( t ) %(dt)lll %l(d5)

SJ $ I I ~ ( s - - ~ ) I I ~ arb(dt) an(ds) * J l (oi~) ( t ) ~ ? an(dt) D D

Somit ist 1 E L2(X, R").

Klotz/Schmidt, Gleitende-Mittel-Darstellungen 87

2. Darstsllungen durch gleitende Mittel

2.1. Es seien 3 bzw. X ein BANACH- bzw. HILBERTraum uber C und A,(X) der in Abschnitt 1.3 eingefuhrte Raum von Abbildungen. Mit e[d, &(X)] be- zeichnen wir die Klasse aller linearen Abbildungen A von d in A,(X) mit folgender Eigenschaft :

(2.1) Fur beliebiges qE9, ist [(Ax %: rplL2(x,Rn) sC? [1x1I8 (xed), wobei C? eine von A und q~ abhiingende Konstante ist.

Definition. Man sagt, das Feld X E G(9,, 3, 'X) gestatte eine Darstellung durch gleitende Mittel, wenn ein HILBERTraUm x, ein MaB ME e*(R", x, %) sowie eine Abbildung A E 2[8 , A,(X)l existieren, so daB

(2.2) X ( y ) x =$ M(d8) (Ax * 91) (8) fur beliebiges 263; und ~ € 9 ~ ~ gilt.

ein Feld XEG(32D,, , 3, X) definiert. Satz 2.1. Seien ME G*(R", X, %) und A E 9 [4 , A J X ) ] . Dann wird dwch ( 2 . 2 )

Beweis. Nach Lemma 1.2 ist Ax y ~ E 9 ~ ~ ( , , , , , fur beliebiges xEF und jedes qE9,. Das Integral auf der rechten Seite von (2.2) ist somit im MAsANIschen Sinne definiert. Die Abbildung X(.) x ist bei fixiertem s E 3 offensichtlich linear. Ebenso ist X ( y ) fur beliebiges ~ € 3 ~ ein linearer Operator. Aus der Eigenschaft (2.1) der Abbildung A folgt fur beliebiges qECBD,

IlX(91) Xll;=IIJ JfW) (Ax * 91) (s)ll;=sII(Alc: 4: 91) (s)l l i %(W -IIAx - :: 9111;2(x,R") se2 - [1x1& (xE4) .

( X ( y ) R.', X ( Y ) y),=$((Ax ::: v) (s), (AY * Y ) (4)x %(d4

Somit ist X ( q ~ ) € [ b , X l fur jedes ~€9,. SchlieBlich gilt fur beliebiges hER", beliebige x, y e 3 und beliebige y,yE%,%:

= J ((Ax ::: t / , q 7 ) (s), (Ay * thy) (s)), b"(aS)

= (Xb/t91) x, X(t,bY) Y)ll ?

die Kovarianzfunktion F von X ist also translationsinvariant.

Bemerkung. Wir erwahnen noch, da13 nach [5; S. 3221 ein Feld XE G(an, 3, 'X) sich zu einer stetigen linearen Abbildung voin Raum 8,der auf R" schnell fallenden Funktionen in [d, 'XI fortsetzen 1aBt. 1st andererseits {yk};=i~9.n eine fur k. +OO in der Metrik von 8, gegen ~ € 8 , strebende Folge, so uberzeugt man sich leicht davon, da13 dann furbeliebigesj E f2auch $$ [ (Diyk) (s - t ) - (Dipl) (s - t ) l 2 G,(&) a,(dt) fur k. -m gegen 0 strebt, und daraus folgt, daB fur beliebiges A E 2[3, A,(X)] und beliebiges z € b Ax :: yk bezuglich der Metrik von D ( X , R") fur E-m gegen Ax :@ rpED(X, Rn) konvergiert. Die Darstellung (3.2) bleibt demnach fur beliebiges y E 8, richtig.

2.2. Fur eine Funktion 9 E g n bezeichne @- die inverse FonRIERtransformierte : @ - ( t ) : = (2n)-% 1 e-""(A) u,(di) ( ~ E R " ) .

88 Math. Nachr. 125 (1986)

Sei nun T €.4,(X). Dann definieren wir die FouRIERtransformierte T durch

( 2 . 3 ) W : = T ( @ - ) ( v € W * Lemma 2.2. Sei TEA, , (X) . Dnnn existiert eine endliche Sunme k von mit

Polynomen niultiplizierten Funktionen aus L2(X, Rn), so dap

g i l t .

Beweis. Auf Grund von (2.3), der Gestalt (1.6) der Elemente von A,(X) und wegen der Linearitkt der FouRIERtransformation genugt es zu zeigen, daB fur beliebiges Z€G(X, Rn) und beliebiges j=(ji, ...,j,)€SZ eine Funktion 9n, die ein Produkt eines Polynoms mit einer Funktion aus L2(X, R") ist, existiert mit 1 I ( t ) (D@-) ( t ) an(&) = J m(A) y(A) an(&). Auf Grund der PARSEVALSChen Glei- chung besteht aber die Beziehung

T ( V ) = J k ( 4 v w Cn(d4 (v E 9 n )

z J Z ( t ) (D@-) ( t ) a,(&) = (3n)-'z Ji(A) (D'@-) 0.) a,l(dA)

il +...+ i, il ' = ( 2 x ) - * 1 J i ( ~ ) ( - i ) = J 9 W . ) y ( 4 an(d4 ;

A1 ... A;;y(I.) a,,(dA)

wobei

ist . \Vir werden im meiteren die nach Lemma 2.2 fur eiii beliebiges T E A , ( X )

existierende Funktion k, die bis auf eine Menge vom LEBEscuEmaR 0 eindeutig hestimmt ist, ebenfalls mit !& bezeichnen. Es ist also fur beliebiges y ~ 9 " : T ( v ) =

11 +. .+it, il m(1.): =(2n)-?, ( - i ) A1 ... A:i(A), A = ( I . , , ..., A")€ Rn,

=J !&(I.) y(I.) un(dA). -- Leiiiina 2.3. Seien TCA1,(3C) und y € g V t . Dann ist (T :B y ) (A) =!&(A) @ ( A ) , A € R". Beweis. Nach Lemma 1.2 ist T :< vE9Lzo,Bn, cL2(8) R"). Somit existiert

T * y € L ? ( X , R"). Die direkte Berechnung voii T :b 9 unter Benutzung der Struk- tur (1.6) der Elemente aus 11,(X) liefert ahnlich wie in Beweis von Lemma 2.2 leicht das geforderte Resultat.

(2.1)

( 2 . 5 )

7- --

Satz 2.4. Fur das in ( 2 . 2 ) definierte Feld S€ G(@,,, 8, X ) gilt

( n y , y ) z,g)=J((Ax :b y ) ( t ) , b4y 8 y ) (t))@l a,(dt)

(F(B) 5, y)=(2n)'" J((Z 4 (4, (XiY) (A)), a m )

( y , y € 9 , , ; x , y € W ,

B

( y . ~ € 9 ~ ; x, y €8; B-beschrankte BoRELmenge).

Beweis. Die Beziehung (2.4) folgt ahnlich wie im Beweis von Satz 2.1 sofort aus der Definition der Kovarianzfunktion und den Eigenschaften des MaBes M .

Um (2.5) zu beweisen, bemerken wir zuniichst, daB wegen ( 1 . 1 ) fur beliebige q, y e a n und beliebiges xcbgi l t : (r(y, y ) 5, z)=J@(A) $?(A)* (F(dA) x, 5). Anderer- seits folgt aua (2.4): (r(p, y ) x , x ) = s ((Ax :b y ) ( t ) , (,4x ::: y ) (t))31 a,,(dt)=(2n)-"X

KlotzlSchmidt, Gleitende-?rlittsl-Darstellungen 89

X I ( ( & ) ( A ) , (.&) @ ( I , ) $(A)* a,(dA). Da aber das MaB in der BOCHNER- SCHWARTZ-DarStellUng des bilinearen Funktionals (P(-,*) x, x) eindeutig bestimmt ist, so gilt (2 .5 ) im Falle x=y. Durch Anwendung der Polarformel ergibt sich (2.5) fur beliebige x, YES.

Es gilt folgende Umkehrung des vorstehenden Satzes.

Satz 2.5. Jedes Feld XE G(%&, 8, X), dessen Kovarianzfunktion r bzw. dessen nichtzufalliges Spektrabna/i’F die Form (2.4) bzw. (2 .5 ) haben, besitzt eine Darstellung (2.2) durch gleitende Xittel.

Beweis. Der Beweis erfolgt analog Zuni Beweis von Satz 2.3.2 in [9], wobei sich durch die Tatsache, daB das Feld in unserem Fall nicht auf dem direkten Produkt G+ XG- zweier Gruppen sondern fnktisch auf der Gruppe G + : = R” gegeben ist, noch entsprechende Vereinfachungeii ergeben.

2.3. Um weitere Aussagen uber Gleitende-Mittel-Darstellungen von Feldern der Klasse E(%J1, 3. Z) zu erhalten, ordnen wir nun jedem Feld SE G(an, b, %) ein gew6hnliches BANAcH-Raum-wertiges stark stetiges homogenes stochastisches Feld 5 zu (vgl. z. B. [7]) und benutzen dann die Aussagen uber 5 zur Herleitung von Ergebnissen iiber X.

Sei X C G(an, 8, ‘31) und seien 2 bzw. F sein zufalliges bzw. nichtzufalliges SpektralmaB. Nach (1.2) existiert ein p l E N U(0) mit ( 1 +2.2)-p1 <F(dl ) x, x) 5

scconst lixlii fur alle xcB. Da fur ;.=(A,, ..., Q c R ’ l gilt n(l+i:)~l+ 2 A:= =1 +I.?, so existiert auch ein p ~ l Y U(0) mit

11 n

k = l k = L

Es sei p c S U(0) die kleinste Zahl. fur die (2.6) gilt. Dann ist das durch

(2.7)

definierte operatorwertige MaB endlich. und F bzw. 2 niit

F(B): = s n ( 1 +I.;)-” F(rl1.) ( B SR”, B-BoRELnienge) B k = l

sind nichtzufalliges bzw. zufalliges Spektralmafi eines gewohnljchen BANACH- Raum-wertigen stark stetigen homogenen stochastischen Feldes 5 :

( 2 . 8 ) ~ ( t ) x: = 1 ezf’3(dA) x ( t E P ; ZEB) .

(2.9) X ( y ) x: = .j$(l) Z(dA) x (9Ean; zE3)

(2.10) X(9) x = J 5 ( t ) p(t) xo,(dt) ( y € a n ; zE3) .

Wir fuhren ferner noch ein Feld X E E(aD,, 8, ‘34) durch

ein. Das Feld X ergibt sich aus dem Feld 5 durch

YO Math. Kachr. 137 (1986)

Man sagt, das Feld E gestatte eine Darstellung durch gleitende Mittel, wenn ein HILBERTraUm X, ein Operator A , € [ $ , L*(x, Rn)] und ein MaB M € G * ( F , X, ‘de) existieren mit (vgl. [9; S. 291)

(2.11) [ ( t ) x = J M ( d s ) ( A ~ x ) (t -8) (tER’; ~ € 3 ) . Satz 2.6. Das Feld X E G(9,,, 8, X) gestattet genau dann eine Darstellung durch

gleitende Mittel (2.2), wenn sein nichtzufalliges SpektralmaP F absolutstetig ist, d . h., wenn (F(-) x , y) far beliebige x , y E 3 ein bezfiglich a, absolutstetiges komplexwertigee lMaP ist.

Zum Beweis des Satzes 2.6 benotigen wir folgendes

Lemma 2.7. Seien y ~ 9 , , MEG*(Rn, X, X ) und kEL*(X, Rn). Dann gilt (2.12) J y ( t ) JM(d8) ?C (8-t) a,(dt)=$M(ds) J k (8-t) v ( t ) a,(dt).

Beweis. Die auf der rechten und linken Seite von (2.12) stehenden Integrale stellen jeweils Elemente aus dem in (1.5) definierten Raum ataf dar. Somit genugt es zu zeigen, dal3 fur beliebige BE$, und k’cX die Beziehung

(2.13) ( J q ( t ) JM(ds) k (8-t) a,(dt), M ( B ) k’)X = ( J M ( d s ) j -k (8-t) d t ) %(dt)t M ( B ) Gf

=J s (k ( s - t ) , k’)x d t ) a,AW @,(at)

(JM(d4 j -k (8-t) y ( t ) o,(dt), M ( B ) k’)x = r J (k (8 -t)? k’lx d t ) a,(dt) %(dsS)

( 1.T I(k (8 - f ) , k ’ ) i I & ) l @,(dt) %(WP

erfullt ist. Es ist aber

(2.14) (Jy(t) J M(ds) k ( 8 - 0 a,(dt), M ( B ) k’)x

I: und

(5.15)

k Kegen

B

4Ik’ll:c l l~ l l ;2(x ,~p) %(W J IMI’ %(dt) <O0

ist der Satz von FUBINI anwendbar, und die rechten Seiten von (2.14) und (2.15) stimmen uberein. Damit gilt auch (2.13).

Beweis des Sa tzes 2.6. Falls XEG(O.,, 3, ‘de) eine Darstellung (2.2) durch gleitende Mittel besitzt, so ist nach (2.5) ( F ( - ) x , y) absolutstetig bezuglich a, fur beliebige x , ye$. Sei, umgekehrt, F absolutatetig. Dann ist das in (2.7) eingefuhrte nichtzufiillige Spektralmal3 F der Felder X und [ ebepfalls absolutstetig. Nach A l ; S. 1601 besitzt dann eine Darstellung (2.11) durch gleitende Mittel. Es sei [ l Z E [$, D ( X , Rn)] definiert durch (2.16) ( A ~ x ) ( t ) :=(A ,x ) ( - t ) ( t € R n ; ~ € 3 ) .

91

d. h. das Feld X ' E G(On, 3, 'If) besitzt eiiie Darstellung (2.2) durch gleitende Mittel.

Nun ist aber X(y) = $ @ ( A ) n ( 1 Z ( d l ) und somit k = l

(2.17) S ( y ) = X 6 = 1

wenn D, den Operator der partiellen Differentiation nach der k-ten Verander-

lichen bezeichnet : (Dky) ( t ) : = __ fu r t = ( t i , ..., tn) E Rn, k = 1 , ..., n. Daraus folgt Wt) C t ,

=.$M(ds) (Ax * v) (s), wobei

gesetzt ist. Es besitzt also X eine Darstellung durch gleitende Mittel. Aus dem Satz 2.6 ergibt sich unmittelbar eine

Folgerung. T70n den Feldern S, X und 5 gestatten entwecler alle oder keins eine Darstellung d'zirch, gleitende Mit te l .

3. Da,rstelluiigen drirch einseitige gleitende Mittel

In diesem Abschnitt setzen wir stets voraus, dal3 n = 1 ist. Wir betrachten also Felder der Klasse G(O,, 3, X). Solcbe homogenen verallgemeinerten Felder nennen wir auch stationare verallgemeinerte Prozesse.

Es sei SC 6(Oi, b, 30, und es seien F bzw. 2 sein nichtzufalliges bzw. zu- falliges Spektralmal3. Es seien x' und 5 die in (2.9) und (2.8) eingefuhrten zu- gehorigen Prozesse sowie P bzn-. 2 deren nichtzufalliges bzw. zufalliges Spek- tralmal3.

Definition. Der ProzeB XE G(Ol, 3, X) gestattet eine Darstellung durch ein- seitige gleitende Mittel, falls er eine Darstellung (2.2) besitzt, wobei der Trager von Ax fur heliebiges ~ € 3 in (-a, 01 liegt.

Man sagt, der ProzeB 6 gestatte eine Darstellung durch einseitige gleitende Mittel, wenn er eine Darstellung (2.11) besitzt und fur beliebiges ~ € 3 gilt ( A p ) ( t ) = O fur @,-fast alle t s O (vgl. [9: S. 391 und [8; S. 2901).

92 Math. Smhr. 137 (1986)

Satz 3.1. Von den Prozessen X, X und E besitzen entweder alle oder keiner eine Darstellung durch einseitige gleitende Mittel.

Beweis. Es gestatte X€ E(9, , 3, '3") eine Darstellung (2.2), wobei der Trliger von Ax fur beliebiges x E 3 in (-05, 01 liege. Wegen (2.7), (2.5) und (2.6) ist (~(q %,

sconst ilxll~. Es ist also mit

(3.1)

(1 + A ~ ) - P (P(a1.) x, x ) = ( 2 n ) - ~ J (1 + ; i q - p (II& (I.)II; b i ( d ~ ) 5

a(A) : = ( 1 + il.) -P (A E Rl) die Funktion axx fur beliebiges x € B ein Element des Raumes D ( X , Ri). Ihre

inverse FouRmRtransformierte (aAz) - ist dann ebenfalls aus D ( X , 3 1 ) . FaBt man a und -4s als verallgemeinerte Funktionen auf und bildet deren inverse

FouRIERtransformierte (im verallgemeinerten Sinne), so ist (aAx)- =C- * (Ax)- = = a ,4x. Und da die Trager von d- und Ax in ( -03, 01 liegen, so liegt auch der

Trager von (aAx)- in ( -m: 01. Wir setzen nun fur beliebiges ~ € 3 : ( A p ) ( t ) : =

= ( a A z ) - ( - t ) , t E RI. Dann istbei beliebigem xE3dieFunktion A p ausL2(X, Rl), und es ist ( A p ) ( t ) = O fur 0,-fast alle t s O . Fur eine beliebige BoRELmenge BSR' und beliebige x, yEB gilt auBerden1 ( F ( B ) x, y)=(2n)-l (a@) (zx) (A),

z,

- e e

-- z N

<

1. l z Q(A) (Ay) (A))x o,(dl.) = (2n ) - l J ((2n)T (.ip)- (A), (en)" ( A # ) - ( I . ) )& #,((A) =

z z B

= ((Alx)- (A), (&4g)- al(dA). Daraus folgt megen [ 8 ; (l.24)] und [9; S. 31

bis 341 die Existenz einer Darstellung durch einseitige gleitende Mittel fur den ProzeB E .

Es gestatte nun der ProzeB t eine Darstellung (2.11), wobei fur beliebiges ~ € 8 : (A,x) ( t ) =O fur oi-fast allet S O ist. Dann folgt aus dem Beweis von Satz 2.6 unter Benutzung von (2.16), daB der ProzeB x eine Darstellung durch einseitige gleitende Mittel gestattet.

Gestattet schlieBlich 9 eine Darstellung durch einseitige gleitende Mittel, dann folgt wiederum aus dem Beweis von Satz 2.6, insbesondere aus (2.17) und (2.16), daB auch X eine Darstellung durch einseitige gleitende Mittel gestattet.

B

Damit ist Satz 3.1 vollstandig bewiesen. Es sei 4 das translationsinvariante System der Mengen

K , :={y€9 i : suppyc( - - , t ] } , tER1.

Fur S E E(aD1, 8, X) und tE Rl bezeichnen H, bzw. H H ( K t ) die Menqen

und Hx:=a. I. H. (X(pl) x : pl,EBi; ~ € 3 )

H,(K, ) : =a. 1. H. { X ( y ) z : y € K , ; x € 3 } . Fur den in (2.8) definierten gewohnlichen ProzeB 5 seien

H E : =a. 1. H. {E(s) x : s € R l ; x € 3 }

Klotz/Sclimidt , Cfleitende-Mittel-Darstellungen 93

und H i : =a. 1. H. {[(s) x : s st; xEb} ( t € Rl) .

Satz 3.2. Fur'XE G($jDl, 8, %) soulie die'in (2.8) und (2.9) eingefahrten Prozesse 5 und X gelten folgende Beziehungen:

H x = H I = H , und Hx(K,) = Hx(K,) = H i , t E 3 1 . Beweis. 1. Wir zeigen zunachst H,(K, )=Hx(K,) , t E R1. Aus (2.17) ergibtsich

sofort die Inklusion

(3.2) H,(K,) SHX(Kt) - Andererseitsistfur beliebigesy€@DI undbeliebiges xE.9: X ( y ) x=S@(A) a(2) Z(d2) x mit der in (3.1) eingefiihrten Funktion a. Die inverse FoTJRIERtransformierte von @a ist die Faltung der inversen FouaIEatransformierten von @ und a und hat dem- zufolge fur y € K t ihren Trager in ( -03, t ] . AuBerdem liegt sie im Raum Sl der schnell fallenden Funktionen. Sie kann somit durch eine Funktionenfolge {yk} ;=lcKt beziiglich der Topologie in S1 angenahert werden. Da aber X auch stetig bezuglich der Topologie in Si ist [5; S. 3221, so ist X ( y ) xEHx(K,) fur jedes x ~ b und jedes ~ E K , . Somit ist Hx(Kt)SHx(Kt) , und zusammen mit (3.2) folgt daraus

(3.3) Ha,) = H x ( K , ) * 2. Da Hx der AbschluB (bezuglich der Topologie in %) der Menge U H,(K,)

und Hx entsprechend der AbschluB von U H x ( K , ) ist, so folgt aus (3.3) dieGleich- C€R*

heit H,=Hx. tER*

3. Wir zeigen nun Hx(K,) = H:, t E Ri. Sei W E % , und w stehe senkrecht auf Hx(Kt ) . Somit gilt fur alle y CK, und alle

~ € 3 : ( X ( y ) x, ~ ) ~ = ( $ p ( l ) Z(d2) x, w ) ~ = O . Daraus ergibt sich t t

J (t(4 x, d x y(5 ) U i ( d 4 = j- 1 ei6"(Z(d4 x, .)X y ( s ) Oi(dS) -_ -_

(3.4)

t

=$ J e""y(s) crl(ds) (Z(dil) x, w ) ~ = ( $ ~ ( ; z ) Z(d2) x, w ) ~ =O ,

und wegeq der Dichtheit von $jDDiin L*(Bl) und der Stetigkeit von [ folgt ([(s) x, TI) = = 0 fur alle s € ( -a, t ] , d. h. w steht senkrecht auf HI. Somit ist

-_

(3.5) HX(K1) a; - Die Vertauschung der Integrationsreihenfolge in (3.4) ist nach Satz von FUBINI gestattet, da das MaIj ( & a ) x, w ) ~ nach [7; S. 1071 eine Darstellung (Z(.) x, w ) ~ = = ( E ( . ) [ ( O ) x, w)% mit einer Zerlegung der Einheit E besitzt und somit von end- licher Totalvariation ist.

Sei nun W E % , und w stehe senkrecht auf HI. Dann ist fur alle sst und alle ~ € 8 : ([(s) x, w ) ~ = O . Fur beliebiges 9 EKt ergibt sich daraus ( X ( y ) x, w)%=

94 Jlath. Kachr. 197 (1986)

X al(ds) = 1 (5(s) x, v)% y(s) a,(&) = 0, d. h. v steht senkrecht auf H,(K,). Somit ist H,(K,) Z H : , und zusammen mit (3.5) ergibt das H,(K,) = H j , t E R1. 4. Analog zu 2. schlieBt man nun auf die Gleichheit H g = H E . Damit ist Satz 3.2 vollstandig bewiesen.

Ein ProzeB XEG(ai, 3, 'It) heifit regular, wenn er ?-regular jm Sinne der Definition in [5; S. 3221 ist, d. h. wenn n H,(K,) = (0) gilt. Der ProzeB [ heiBt regular, wenn n H: = (0 ) gilt. LER'

1ERI Aus diesen Definitionen und aus Satz 3.2 ergibt sich dann sofort die Folgerung. Die Prozesse X, X und 5 sind alle gleichzeitig regular oder nicht

regular. Satz 3.3. Der ProzeP X E G(GDl, 3, 'It) besitzt genau dann eine Darstellung durch

einseitige gleitende Mittel, wenn er regular ist . Beweis. Der ProzeB X E G(GD,, $, X) gestatte eine Darstellung (2.2), wobei die

Trager von Ax fur beliebiges x E g i n (-m, 01 Iiegen. Wegen der Dichtheit der ein- fachen Funktionen in L' (X, Rl) ist dann H,(K,) &H&: =a. 1. H. (M(B) v : BE3i, BC,( -a, t ] ; v € X } fur beliebiges tcR1. Somit ist n H,(K,) sn H I ; = ( O } , und X

1 ER' 1ER' ist regular. Sei, umgekehrt, X regular. Dann ist nach Folgerung aus Satz 3.2 auch E regular. Nach [ l o ; Satz 4.3.11 gestattet dann t eine Darstellung durch einseitige gleitende Mittel, und aus Satz 3.1 ergibt sich dann die Existenz einer Darstellung durch einseitige gleitende Mittel fur X .

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