16
Günter Steinberg – Das Descartes Lexikon Ein roter Faden durch den Geometrieunterricht von Klasse 7 bis zum Abitur

Günter Steinberg – Das Descartes · PDF fileGünter Steinberg – Das Descartes Lexikon Ein roter Faden durch den Geometrieunterricht von Klasse 7 bis zum Abitur

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Günter Steinberg – Das Descartes  · PDF fileGünter Steinberg – Das Descartes Lexikon Ein roter Faden durch den Geometrieunterricht von Klasse 7 bis zum Abitur

Günter Steinberg – Das Descartes Lexikon Ein roter Faden durch den Geometrieunterricht von Klasse 7 bis zum Abitur

Page 2: Günter Steinberg – Das Descartes  · PDF fileGünter Steinberg – Das Descartes Lexikon Ein roter Faden durch den Geometrieunterricht von Klasse 7 bis zum Abitur

These 1 Im Sinne eines allgemein-bildenden Mathematikunterrichts sollten Abiturienten und Abiturientinnen (z.B. beim Stichwort „Parabel“)

• zum einen über eine Vielfalt von Vorstellungen verfügen, • zum andern sachgerecht strukturierte Verbindungen zwischen Ihren verschiedenen

Vorstellungen herstellen können! These 2 Erkennt man das in These 1 formulierte Ziel an, muss Mathematikunterricht den schrittweisen Aufbau von Vorstellungen ermöglichen und einsichtig machen und die Verknüpfung unterschiedlicher Blickrichtungen im Verständnis der Lernenden sichern! Dass einzelne Vorstellungen in einem systematisch strukturierten Curriculum aufgebaut werden, sollte trotz der Gefahr des dadurch geförderten „Denkens in Schubladen“ nicht kritisiert werden. Im Gegenteil: In jeder Schublade, Z.B Graphen linearer und quadratischer Funktionen, die pythagoreische Satzgruppe, der Schnitt des Doppelkreiskegels mit 2 Ebenen, usw. muss Sicherheit hinsichtlich des Umgangs mit Begriffen und Kalkülen gewonnen werden. Um aber Problemlöse- und Anwendungskompetenz zu entwickeln, bedarf es des vernetzten und kumulativen Lernens. Dieser Forderung verleihen die beiden Thesen Ausdruck! Die folgenden, nach Jahrgangsstufen geordneten Übersichten sind unvollständige Übersichten der Ergebnisprotokolle von Unterrichtsdiskussionen zur Frage: Welche geometrischen, welche algebraischen Sachverhalte haben wir erarbeitet? Welche Beziehungen bestehen zwischen diesen Aspekten? Jede Übersicht umfasst dabei mehrere Einzelprotokolle, die eine lexikonartige Tabellierung schrittweise aufbauen. Die Lernenden sammeln diese – natürlich ausführlicher gestalteten – Seiten des Descartes-Lexikons in einer Heftbeilage. An ausgewählten Stellen ist „Stutzen“ oder „Oase“ angemerkt. Es sind dies Situationen, aus deren Verfolgung Kenntnisse erweitert, vertieft und vernetzt wurden.

Page 3: Günter Steinberg – Das Descartes  · PDF fileGünter Steinberg – Das Descartes Lexikon Ein roter Faden durch den Geometrieunterricht von Klasse 7 bis zum Abitur

Auszug I (Klasse 7/8) aus dem Descartes-Lexikon Geometrie Algebra Punkte Zahlenpaare ( ) QQyx ×∈/ Parallelverschiebungen

−′=−′=

+=′+=′

s

s

s

s

yyyxxx

yyyxxx

Spiegelungen z.B.

′=

′=↔

=′=′

xyyx

xyyx

Geraden, Halbgeraden, Strecken nxmy +⋅= , ...∈x *) Stutzen: Alle erfasst?

21 || gg

21 gg ⊥

21 gg ∩

cybxa =⋅+⋅ ; ( ) ( )0;0; ≠ba

21 mm = 121 −=⋅mm

2211 nxmynxmy +⋅=∧+⋅= Flächeninhalte z.B. ( ) hgA ⋅=∆ 2

1 ( ) ( ) ( ) ( )[ ]2131323212

1 yyxyyxyyxA −+−+−=∆ vgl. Descartes: 1.Buch! (siehe Seite 9)

**) Oase: Die Schiffskollision Geraden

+⋅=+⋅=

⇒22

11

)()(

qtptyqtptx

*) Stichwort „Metakognition“: O-Töne am Ende der Klasse 8!

• „Eine Gerade hat unendlich viele Punkte. Man kann sie mit einem Bleistift am Lineal entlang zeichnen; aber das ist dann eigentlich keine, weil sie ja keine Dicke haben darf.“

• „Am leichtesten ist es, einfach nmxy += zu sagen, aber das ist ja eine Gleichung, keine Gerade, aber das Bild ist eine.“

• „Mal zeichnen wir Geraden, mal nehmen wir Gleichungen mit x und y, das hängt zusammen, vor allem, wenn man den Schnittpunkt nicht genau ablesen kann.“

• „Punkte haben immer ein x und ein y. Wenn da steht 32 −= xy , da liegen die alle auf einer Geraden und xy 2

1−= ist dazu senkrecht, Rechnen und Zeichnen ist eigentlich dasselbe.“

• „Geraden haben keine Länge in cm, die sind unendlich lang, das kann ich mir nicht richtig vorstellen, so im Heft, aber im Kopf. Ich kann ja für x 1.000.000 einsetzen, das kann keiner zeichnen, aber rechnen geht trotzdem.“

• „Geraden kann man sich vorstellen, aber nicht erklären, weil man ja dann wieder erklären müsste, womit man sie erklärt, usw.“

Page 4: Günter Steinberg – Das Descartes  · PDF fileGünter Steinberg – Das Descartes Lexikon Ein roter Faden durch den Geometrieunterricht von Klasse 7 bis zum Abitur

**) Nordsee im Nebel 7:00 Uhr: MS Bettina befindet sich nördlich Barkum (Position B) mit Kurs 7 sm pro Stunde Ost und 7 sm pro Stunde Nord. MS Henrietta hat zu diesem Zeitpunkt Helgoland passiert (Position H) und fährt mit Kurs 7,5 sm pro Stunde West und 3 sm pro Stunde Süd. H liegt bezüglich B 40 sm östlich und 27 sm nördlich. Im dichten Nebel halten beide Kurs und Geschwindigkeit stur ein! Kommt es zum Zusammenstoß? Kommentar Viele Lernende ziehen hier die Schublade „Gerade; Gleichungen; Schnittberechnung“ auf. Das ist nicht falsch, bleibt aber vor einer Barriere stecken. Erfolgreicher ist die zeitbezogene Beschreibung:

tytxB 7;7: == tytxH 327;5,740: −=−=

Damit gelingt die Problemlösung erkennbar stärker an das Problem gebunden, gleichzeitig wird eine ganz neue (sehr weit reichende) Darstellung von Geraden (Kurven) erschlossen. Auszug II (Kl.9) aus dem Descartes-Lexikon Geometrie Algebra Punkte ( ) ( )zyxyx //;/

21 gg ∩

222

111

cybxacybxa

=+=+

Cramer-Regel, Gauß-Algor.

Stutzen dczbyax =++ Experiment im Modell (vgl. Seite 5)

Ebenen

Kreise / Satz des Pythagoras ( ) ( ) 222222 ; ryyxxryx mm =−+−=+ Kreise und Geraden / Tangenten nmxyryx +=∧=+ 222

quadr. Gleichungen ( ) 222 1 nrm =⋅+

„Parabeln“ Stutzen: Hat das etwas mit Geometrie zu tun?

0;2 ≠⋅=← axay quadr. Funktion

Höhensatz „Wurzel-Ziehen“ Flächenverwandlungen Parabeln und Geraden Tangenten

nmxyaxy +=∧= 2

Oase: Ideen „rund um die Parabel“ (siehe Seiten 6,7)

Zentrische Streckung z.B. 0,

1

1

′⋅=

′⋅=↔

⋅=′⋅=′

kyyxx

ykyxkx

k

k

Page 5: Günter Steinberg – Das Descartes  · PDF fileGünter Steinberg – Das Descartes Lexikon Ein roter Faden durch den Geometrieunterricht von Klasse 7 bis zum Abitur

Was beschreibt 726812 =++ zyx ? Höhe 0=z : Gerade 72812 =+ yx Höhe 2=z : Gerade 60812 =+ yx Höhe 4=z : Gerade 48812 =+ yx … Höhe 10=z : Gerade 12812 =+ yx

Page 6: Günter Steinberg – Das Descartes  · PDF fileGünter Steinberg – Das Descartes Lexikon Ein roter Faden durch den Geometrieunterricht von Klasse 7 bis zum Abitur

1) Parabel(n) und Gerade(n) Geometrie Algebra Wir zeichnen oder „lassen darstellen“ (GTR!)

Wir lösen quadratische Gleichungen oder „lassen lösen“ (solver)

cy

acxoder

acx

acma

acma

mx

cmxaxccmxy

axay

=

−==

=

−±=

=+−

>−=>⋅=

:42

42

00;

0;

2

2

)2(1

2

2

Oase: Was daraus alles folgt! Man kann in einem Parabelpunkt

die Tangente konstruieren und

deren Gleichung angeben

Konstruktion des „Brennpunktes“ Wie soll man das berechnen? 2) Warum heißt die Parabel „Parabel“?

1. Idee (Apollonius von Perge ~200 v.Chr.) [Lit. 4,5]: Flächenverwandlung Höhensatz!

xpy ⋅⋅= 22

2. Idee [Lit. 2] Der wandernde rechte Winkel Höhensatz!

21

2

xyxay

a ⋅=

=⋅

Page 7: Günter Steinberg – Das Descartes  · PDF fileGünter Steinberg – Das Descartes Lexikon Ein roter Faden durch den Geometrieunterricht von Klasse 7 bis zum Abitur

3) …und Pythagoras?

„Abstand (LP) gleich Entfernung (PF)“

( ) 222

2pp xyx +=+−

folgt pxy 22 = , folgen Entdeckungen in der „begleitenden Raute TFPL“ [Lit. 7, 4]

Page 8: Günter Steinberg – Das Descartes  · PDF fileGünter Steinberg – Das Descartes Lexikon Ein roter Faden durch den Geometrieunterricht von Klasse 7 bis zum Abitur

Auszug III (Kl.10) aus dem Descartes-Lexikon Geometrie Algebra Dreieckskonstruktionen Sinus- und Kosinussatz

[Lit. 6] Stutzen: Woher kommen so „genaue“ Sinuswerte? Punkte ( )ϕ;r Winkel ( )21; gg

21

12

1tan

mmmm⋅+

−=ϕ Sonderfall!

Abbildungen z.B.

′+′−=

′+′=↔

⋅+⋅=′⋅−⋅=′

δδδδ

δδδδ

cossinsincos

cossinsincos

yxyyxx

yxyyxx

Oasen: Drehung

−′=

′=↔

+=′

=′

δϕϕδϕϕrrrr

[Lit. 8]

oder

ε=dr ?

ϕεεcos1 ⋅+⋅

=lr

und 1=ε ?

Parabel, warum? … ( )( )22 2 lxly −⋅−=

Stutzen: Kurven Gleichungen es bleibt noch viel zu tun! (vgl. Text Seite 9)

( ) ahaA ⋅=∆ 2

1 ( ) γsin21 ⋅⋅=∆ baA

Page 9: Günter Steinberg – Das Descartes  · PDF fileGünter Steinberg – Das Descartes Lexikon Ein roter Faden durch den Geometrieunterricht von Klasse 7 bis zum Abitur

Die beiden folgenden Zitate müssen im Unterricht besprochen werden! Das erste verstehen schon die Kinder in Klasse 8:

• „Das machen wir ja auch.“ • „Welche Ausdrücke meint Descartes?“ • „Das zwingt ja richtig, mal über Koordinaten nachzudenken“ • …

Das zweite Zitat sollte in Klasse 10 (ggf. 9) bearbeitet werden

• „Was meint Descartes mit der geraden Linie?“. • „was steckt hinter Rechteck und Quadrat?“ • …

Descartes 1637 „Geometrie“ 1. Buch „… ich werde mich nicht scheuen […], der Arithmetik entnommene […] Ausdrücke in die Geometrie einzuführen, um mich dadurch verständlicher zu machen.“ 2. Buch: „Über die Art alle krummen Linien in gewisse Gattungen zu sondern und die Beziehung ihrer Punkte zu den Punkten einer geraden Linie kennen zu lernen“ „Ich könnte hier mehrere andere Mittel angeben, um die unendliche Reihe von krummen Linien, die immer um einen Grad zusammengesetzter werden, zu zeichnen und zu erforschen; aber um alle, die in der Natur überhaupt vorkommen, zusammenfassen und sie der Reihe nach in gewisse Gattungen sondern zu können, ist es am besten, wenn man hervorhebt, dass zwischen allen Punkten der als geometrisch zu bezeichnenden Linien, d.h. also derjenigen, die ein genaues und scharfes Maß zulassen, und allen Punkten einer geraden Linie notwendig eine Beziehung bestehen muss, die vollständig durch eine und nur durch eine Gleichung dargestellt werden kann, und dass die krumme Linie der ersten und einfachsten Gattung zuzuzählen ist, wenn diese Gleichung nur das Rechteck aus zwei unbestimmten Größen oder das Quadrat einer derselben enthält (zu dieser Gattung gehören nur der Kreis, die Parabel, Hyperbel und Ellipse), dass sie aber der zweiten Gattung angehört, wenn die Gleichung in den beiden Unbestimmten (denn es bedarf deren zwei, um hier die Beziehung eines Punktes zu einem andern darzustellen) oder in einer derselben bis zur dritten oder vierten Dimension ansteigt, der dritten, wenn die Gleichung die fünfte oder sechste Dimension enthält usw., bis ins Unendliche.“ [Aus: Becker, Oskar: Grundlagen der Mathematik in geschichtlicher Entwicklung; Alber, Freiburg / München, 1954]

Page 10: Günter Steinberg – Das Descartes  · PDF fileGünter Steinberg – Das Descartes Lexikon Ein roter Faden durch den Geometrieunterricht von Klasse 7 bis zum Abitur

Mit Beginn der Kurstufe, Thema: „Analytische Geometrie in vektorieller Darstellung“ lernen Schülerinnen und Schüler eine neue (Symbol-)Sprache kennen. Hier sollte die Geschichte der Vektormethode den Lernenden nicht vorenthalten werden. Peter Mäders „Mathematik hat Geschichte“ [Lit. 3] liefert dazu eine Lektion, in der Wege des Denkens eindrucksvoll nachgezeichnet werden. „Ab sofort sollte unser Lexikon Descartes-Großmann-Lexikon genannt werden.“ Die unterschiedliche Erörterung der Genesis einer Methode und deren Bedeutung sind für das Mathematikverständnis wichtiger als manche Rechenaufgabe! Auf die Vielfalt möglicher Oasen kann hier nicht eingegangen werden. Ein Beispiel sei erwähnt: Wenn wir nach Einführung des Skalarproduktes eine Ebene E in der Form (*)

( ) 00 =− pxn rro

r beschreiben, erscheint das zuerst immer befremdlich. „Wie kommt man darauf?“ Descartes: „Ich wage zu behaupten, dass ich aus der Kenntnis der Normalen eine Fläche beherrsche.“ „Was haben wir davon?“ Hesse hat schon vor Graßmann eine Antwort gegeben, seine Überlegungen lauten jetzt in unserer neuen Sprache: Wenn X (als Vektor xr ) in E liegt, ist (*) erfüllt, wenn X nicht in E liegt, führt (*) auf eine falsche Aussage, aber der Fehler gibt den Abstand von X zur Ebene (oder Geraden) an, was für ein Gewinn!

Page 11: Günter Steinberg – Das Descartes  · PDF fileGünter Steinberg – Das Descartes Lexikon Ein roter Faden durch den Geometrieunterricht von Klasse 7 bis zum Abitur

Auszug IV (GK/LK) aus dem Descartes-Lexikon Geometrie Algebra

[Lit. 3] Eine neue Sprache Geraden (Ebenen) ( )

RR

vuax∈∈

⋅+⋅+=µλλ

µλ,

rrrr

Inzidensprobleme (vgl. Bild Seite 12, 13) LGS (→Lineare Algebra) Stutzen: Längen, Winkelgrößen? →Das Skalarprodukt Ebenen/Graden ( ) 0=− pxn rr

or Descartes!

Kugeln ( ) 22 rmx =−rr

Doppelkegel ( ) γ2220 cos⋅= xcx rror

…und Ebene 000 vyuxcx rrrr⋅+⋅+= mit vu rr

⊥ und cv rr⊥

Kegelschnitte ( ) γγδδγ 222222 sincossincos2coscos =⋅+⋅⋅+−⋅ yxx

Oasen: „open end“ Stutzen: Kennen wir alle schon? Ellipse

Schnittkurve in E? (vgl. Seite 15)

oo 090 >>> γδ

…… Gegeben a

at

tz

za

2== ?

Oase: Würfelverdopplung u.a. [Lit. 7]

Page 12: Günter Steinberg – Das Descartes  · PDF fileGünter Steinberg – Das Descartes Lexikon Ein roter Faden durch den Geometrieunterricht von Klasse 7 bis zum Abitur
Page 13: Günter Steinberg – Das Descartes  · PDF fileGünter Steinberg – Das Descartes Lexikon Ein roter Faden durch den Geometrieunterricht von Klasse 7 bis zum Abitur

Schnittpunkt oder nicht?

Rxg ∈

−⋅+

= λλ ,

354

808

:1r

Rxg ∈

−−−

⋅+

= µµ ,

352

9106

:2r

( ){ }5/4*

2*

1 =∩ gg

{ }=∩ 21 gg

Page 14: Günter Steinberg – Das Descartes  · PDF fileGünter Steinberg – Das Descartes Lexikon Ein roter Faden durch den Geometrieunterricht von Klasse 7 bis zum Abitur

Geometrie Algebra

( ) γcos⋅⋅−=− csxcsx rrrr

orr

( ) γ22222 cos⋅⋅−=− csxcsx rrrr

orr

0rr

=s [ ] γ2220 cos⋅= xcx rror

…die Kegelgleichung in „verschiedenen Sprachen“…

( )43

100

222

2

⋅++=

zyx

zyxo

folgt

( )222 3 yxz +=

Page 15: Günter Steinberg – Das Descartes  · PDF fileGünter Steinberg – Das Descartes Lexikon Ein roter Faden durch den Geometrieunterricht von Klasse 7 bis zum Abitur

Aus einer Grundkurs Klausur Gegeben sind der senkrechte Doppelkreiskegel ( ) γ2220 cos⋅= xcx rr

or

mit °= 45γ und

=

100

0cr und die Ebene

⋅+

⋅+

=

001

30

100

:

21

21 yxxE r .

Der Doppelkegel wird von der Ebene geschnitten.

a) Der Sachverhalt ist zunächst in einer Querschnittskizze zu veranschaulichen. Welche Aussagen über die Schnittkurven in E lassen sich hier bereits machen?

b) Die Gleichung der Schnittkurve in E ist rechnerisch zu ermitteln, die daraus gewonnenen Ergebnisse sind mit denen aus a) zu vergleichen

c) Erläutern Sie Ihre Lösungen von a) und b) unter Einbeziehung Ihrer kulturgeschichtlichen Kenntnisse über die Kegelschnitte

Lösung c) einer Schülerin: „In Aufgabe 1a) habe ich einen Kegelschnitt geometrisch in einem Profil dargestellt und sofort gesehen, dass es in E eine Ellipse ergibt ( °=°= 60;45 δγ ). Dieses Vorgehen war schon in der griechischen Mathematik bekannt (Apollonius von Perge). Leider hab ich zwar a und M geometrisch herausgefunden, aber nicht b. Ich bin nicht sicher, ob wegen der unangenehmen Winkel in D und F (siehe 1a)): 15° und 75° in der griechischen Zeit die Zahlenwerte für a und die Koordinaten von M überhaupt ermittelt worden wären! (Die Griechen kannten doch 3 gar nicht!) In Aufgabe 1b) habe ich den Kegelschnitt vektoriell ermittelt und zum Glück dasselbe herausgefunden wie in 1a). (Das ist immer ein tolles Gefühl, wenn so etwas klappt!) Aber um die Halbachse b in 1a) herauszufinden, habe ich

einfach ( ) 131

2

22

=+−

byx genommen und überlegt, dass es für x=0 y=1 sein muss (Zeichnung

in 1a)). Daraus ergab sich 232 =b , was mit der Rechnung übereinstimmte. Damit habe ich

eigentlich gemacht, was Descartes gedacht hat. Indem er nämlich geometrische Dinge mit algebraischen gleichsetzte, konnte er für Strecken Zahlen setzen, mit diesen rechnen und dann wieder geometrische Ergebnisse formulieren. Da ich 1b) vektoriell gerechnet habe, hätte man zur Zeit von Descartes meine Lösung nicht lesen können. (Wir haben im Unterricht gesehen, wie man Kegelschnitte auch ohne Vektorrechnung bekommen kann.) Ich finde die Vektormethode so gut, weil ich nur eine Ebene in der Form vyuxax rrrr

⋅+⋅+= (1b)) viel besser vorstellen kann, als in der Form Ax+By+Cz=D. Die Vektormethode ist nicht mal 100 Jahre alt, ich habe also eine 2000 Jahre (fast!) alte Aufgabe mit der Mathematik von heute gelöst, irgendwie ist das toll! (Aber die Zahlen hätten schöner sein können!!)“ Kann man vernetztes und kumulatives Lernen besser dokumentieren?

Page 16: Günter Steinberg – Das Descartes  · PDF fileGünter Steinberg – Das Descartes Lexikon Ein roter Faden durch den Geometrieunterricht von Klasse 7 bis zum Abitur

Fazit In einem (hoffentlich stabilen) Schnellhefter füllt sich ein Protokoll. Es erfasst mathematische Inhalte, deren verschiedene Beschreibungs- und Darstellungsformen miteinander verbunden sind. Es bietet – ergänzt durch individuelle Anmerkungen – die Möglichkeit zur Reflexion des erreichten Begriffsverständnisses, ist gleichzeitig ein wachsendes Nachschlagwerk! „O-Töne“ Schüler/in, Studentin:

• „Man weiß in jedem Augenblick, was man gerade tut“ • „Irgendwie toll zu sehen, was wir alles gemacht haben und wie sich das entwickelt hat

und immer verbindet.“ • „Wenn ich hier sitze und das alles erlebe, denke ich, das haben wir fast alles in der

Schule gemacht, aber jetzt kapier ich erst, wie das alles aufbaut und zusammen kommt.“

Diese (didaktischen) Reflexionen sollen ein unkommentiertes Schlusswort sein. Literatur [1] Ebenhöh, M. / Steinberg, G.: Aufgaben mit Grafikrechnern für die Klassen 8 bis 10, Schroedel Hannover 1999 [2] Hackeberg, D.: Geometrie der Parabel in der Mittelstufe, DdM2, 1991 [3] Mäder, P.: Mathematik hat Geschichte, Schroedel Hannover 1992 [4] Paul, Ch.: Kegelschnitte in Kl.9; Päd. Hausarbeit Oldenburg 1996 [5] Reichel, H.Ch.: Wie Ellipse, Hyperbel und Parabel zu ihren Namen kamen… DdM2, 1991 [6] Rixecker, H.: Moderne Trigonometrie, MU3, 1984 [7] Schupp, H.: Kegelschnitte, BI Wiss.Verl. Mannheim 1988 [8] Steinberg, G.: Polarkoordinaten, Schroedel Hannover 1993