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Grafisch Differenzieren Mathematik Einführungsphase Johannes-Kepler-Gymnasium Grafisch Differenzieren

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Grafisch DifferenzierenMathematik Einführungsphase

Johannes-Kepler-Gymnasium

Grafisch Differenzieren

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Grafisch DifferenzierenMathematik Einführungsphase

Übersicht

Was uns bevorsteht - Übersicht:

1. Was bedeutet bei einer Weg – Zeit – Funktion

die Steigung des Graphen?

a) Beispiel – A : Schulweg

2. Wie bestimmt man die Steigung bei einer Kurve ?

b) Beispiel – B : Eine frei fallende Kugel

c) Beispiel – C : Auto auf einer Fahrbahn

d) Beispiel – D : Flugzeug

3. Wie lässt sich diese Betrachtung mathematisch verallgemeinern ?

4. Welche Änderungsraten kennen wir schon?

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Grafisch DifferenzierenMathematik Einführungsphase

Paulchens Schulweg

0

100

200

300

400

500

600

0 2 4 6 8 10 12

Zeit t in min

Streckes in m

Beispiel - A: Schulweg

Steigung m = 540 m in 12 min, bzw. 45 m pro minalso eine Geschwindigkeit von v = 45 m/min

in 12 Minuten

540 m

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Grafisch DifferenzierenMathematik Einführungsphase

Paulchens Schulweg

0

100

200

300

400

500

600

0 2 4 6 8 10 12

Zeit t in min

Streckes in m

Beispiel - A: Schulweg

v = 50 m/min

v = 100 m/min

v = 0 m/min

v = 50 m/min

v = 0 m/min

v = 50 m/min

v = 0 m/min

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Grafisch DifferenzierenMathematik Einführungsphase

Beispiel - B: Eine frei fallende Kugel

Experiment:

Der freie Fall einer Kugel

Messwerte

t / s 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0 11,0 12,0

s / cm 0,0 2,3 9,0 20,3 36,0 56,3 81,0 110,3 144,0 182,3 225,0 272,3 324,0

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Grafisch DifferenzierenMathematik Einführungsphase

Beispiel - B: Eine frei fallende Kugel

Weg - Zeit - Diagramm

0

50

100

150

200

250

300

350

0 2 4 6 8 10 12t / s

s / m

v = 27,0 m/s

270 m

10 s

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Beispiel - C: Auto auf einer Fahrbahn

Galileo Galilei mit seinem HistorischenExperiment: Bewegungeiner Kugel inder Fallrinne

Unsere Messwerte

t / s 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0

s / cm 0,0 2,3 9,0 20,3 36,0 56,3 81,0 110,3 144,0 182,3 225,0

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Grafisch DifferenzierenMathematik Einführungsphase

Beispiel - C: Auto auf einer Fahrbahn

Weg - Zeit - Diagramm

0

50

100

150

200

250

300

350

0 2 4 6 8 10 12t / s

s / m

v in

m/s

60__

40__

20__

0__

Geschwindigkeit – Zeit - Diagramm

v = 0 m/sv = 8 m/sv = 16 m/sv = 24 m/sv = 32 m/sv = 40 m/sv = 48 m/s

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Altimeter

Variometer

Beispiel – D : Flugzeug

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Altimeter

Das Altimeter (Höhenmesser)

Da es Luftdruckänderungen in der Atmosphäre gibt und der Luftdruck am Boden vom Standort abhängig ist, muss das Altimeter auf den Luftdruck (QFE-Wert) des nächstgelegenen Flugplatzes eingestellt werden. Dies erfolgt über einen Verstellknopf (links unten) und über eine Druck-Korrekturskala (rechts, in der Mitte in hpa).

ist ein Luftdruckmessendes (barometrisches) Instrument.

FunktionDas Altimeter vergleicht den Luftdruck in der Höhe des Flugzeugs mit dem am Boden.Daraus kann die Höhe über dem Boden errechnet werden.

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Altimeter

Höhe über dem Boden+ die Höhe des Flughafens über NN= Höhe des Flugzeugs über dem Meeresspiegelnächster Flughafen – x

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Variometer

Das Variometer(Anzeige über die Veränderung der Höhe)

ist ein Luftdruckmessendes (barometrisches) Instrument.

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Variometer

FunktionDas Variometer vergleicht den Luftdruck in der Höhe des Flugzeugs mit einer kurz zuvor erfolgten Messung.Dadurch weiß der Pilot, um wie viel Fuß das Flugzeug pro Minute steigt bzw. sinkt.

Veränderung der Höhe zwischen den beiden Messungen

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Variometer

Ein Teilstrich ist 100 ft./min (1.000 ft./min = 5 m / sec)

Diese Anzeige erfolgt in 100 Fuß

pro Minute (ft./min).

ist ein Luftdruckmessendes (barometrisches) Instrument.

Das Variometer(Anzeige über die Veränderung der Höhe)

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„Spur“ eines Fluges

„Spur“ eines Fluges: Flughöhe in Abhängigkeit von der Zeit

1. Welchen Wert hat das Variometer zu einem bestimmten Zeitpunkt angezeigt?2. Wie sähe eine Aufzeichnung des Verlaufs beim Variometer aus?

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„Spur“ eines Fluges

„Spur“ eines Fluges: Flughöhe in Abhängigkeit von der Zeit

Änderung: Anzeige des Variometers

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Flugkurve Nr.1

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Flugkurve Nr. 2

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Flugkurve Nr.3

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Flugkurve Nr.4

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Rückblick

Relativer Hochpunkt

Das Flugzeug steigt, der Graph der Variometer-Aufzeichnung ist im positiven Bereich

Nullstelle des Graphender Variometer-Aufzeichnung

Das Flugzeug sinkt, der Graph der Variometer-Aufzeichnung ist im negativen Bereich

Das Flugzeug verändert seine Höhe nicht! Es steigt bzw.

sinkt also 0 ft./min.

Punkt mit größter positiver Steigung

Punkt mit größter negativer Steigung

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Die drei Fragen

Die drei Fragen

1. Was kann man am Altimeter bzw. am Variometer ablesen?

2. Wie sieht der Graph der Variometer-Aufzeichnung aus, wenn das Flugzeug steigt bzw. sinkt?

3. Was passiert mit dem Flugzeug, an einer Nullstelle der Variometer-Aufzeichnung?

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Aufgaben

In der Grafik sind die Daten eines Variometers im Flugverlauf aufgezeichnet. Rekonstruiere daraus den zugehörigen Graphen des Altimeters.

Erläutere deine Vorgehensweise.

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Aufgaben

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