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Granular Computing
Fuzzy Logic and Rough Sets
Jens Grabarske, Gunter Labes
Gliederung
• Einführung / Motivation
• Formalisierung von Granulation
• Fuzzy „granulare“ Strukturen
• Wissensrepräsentation durch Wörter
• Fuzzy Logic
• Schlussfolgerung
Einführung / Motivation
• Ziel ist das Anheben der Datenverarbeitungsebene auf die der Wissensverarbeitung
• Der Datenraum wird daher durch Granularisierung zum Konzeptraum
• Aus dieser Idee soll nun ein mathematische Theorie entstehen, aufbauend auf der Theorie der Nachbarschaftssyteme von (prä-)topologischen Räumen
Formalisierung der Granulation
• Granule sind „Klumpen“ um bestimmte Punkte („Nachbarschaftssysteme“)
• Granule müssen nicht symmetrisch sein
• Allgemein handelt es sich um fuzzy sets mit einer Informationsstruktur - hier der Einfachheit halber ohne die Struktur behandelt.
Formalisierung der Granulation II
• Ein simples System, das granular computing betreibt, besteht aus– granulation– representation– word computing
Fuzzy „granulare“ Strukturen (single level)
• Jedem Objekt wird eine Fuzzyuntermenge zugeordnet, die fuzzy elementary neighborhood
• Eine Untermenge X ist eine definierbare Nachbarschaft / Menge, wenn X eine Vereinigung von elementaren Nachbarschaften ist
Fuzzy „granulare“ Strukturen (multilevel)
• Normalerweise werden jedem Objekt mehrer fuzzy Mengen zugeordnet multilevel Granulation
• GS: V POW(G(U)); p {Gp,h(p)}
• single level Granulation ist also ein Spezialfall
granulare Strukturen (allgemein)
• 4-Tupel: (V, U, B, C)
• V.. Objektraum
• U.. Datenraum
• B.. fuzzy neighborhood system
• C.. Konzeptraum
Wissensrepräsentation durch Wörter
• In der rough set Theorie ist der Objektraum in Äquivalenzklassen geteilt.
• p [p] NAME([p]).
• Aus diesen Abbildungen lässt sich die information table ablesen, eine Repräsentation des Objektraumes durch Wörter, der rough set Theorie.
Beispiel
• Es gibt 2 Partitionierungen: {leicht, mittel, schwer} und {Gruppe 1, Gruppe 2, Gruppe 3, Gruppe 4}
Objekte A1(p) A2(p) A3(p) A4(p)
0 1 0 0 0
1 0.67 0.33 0 0
2 0.33 0.67 0 0
3 0 1 0 0
4 0 0.67 0.33 0
5 0 0.33 0.67 0
6 0 0 1 0
7 0 0 0.67 0.33
8 0 0 0.33 0.67
9 0 0 0 1
elementares Konzept elementare Mengeleicht 0, 1, 2, 3mittel 4, 5schwer 6, 7, 8, 9
elementares Konzept elementare MengeGruppe 1 0, 1, 2Gruppe 2 3Gruppe 3 4, 5Gruppe 4 6, 7, 8, 9
Mehrwertige Repräsentation
Objektefundamental neigborhood
fundamentales Konzept = NAME(fundamental neigborhood )
0 {A1} schwach = NAME(A1)
1 {A1, A2} schwach = NAME(A1); mittelschwach = NAME(A2)
2 {A1, A2} schwach = NAME(A1); mittelschwach = NAME(A2)
3 {A2} mittelschwach = NAME(A2)
4 {A2, A3} mittelschwach = NAME(A2); mittelstark = NAME(A3)
5 {A2, A3} mittelschwach = NAME(A2); mittelstark = NAME(A3)
6 {A3} mittelstark = NAME(A3)
7 {A3, A4} mittelstark = NAME(A3); stark = NAME(A4)
8 {A3, A4} mittelstark = NAME(A3); stark = NAME(A4)
9 {A4} stark = NAME(A4)
Der Vektorraum formaler Wörter
• Mittels des „weighted average“ kann die mehrwertige Repräsentation in eine einwertige überführt werden
• Den resultierenden Vektor, nennt man ein formales Wort:
• r1 * schwach + r2 * mittelschwach + r3 * mittelstark + r4 * stark(r1, r2, r3, r4 [0,1])
Einwertige RepräsentationObjekte gewichtete fundamentale Konzepte (veristic constraints)
0 W(0) = w1(0) * schwach
1 W(1) = (w1(1) * schwach) + (w2(1) * mittelschwach)
2 W(2) = (w1(2) * schwach) + (w2(2) * mittelschwach)
3 W(3) = w2(3) * mittelschwach
4 W(4) = (w2(4) * mittelschwach) + (w3(4) * mittelstark)
5 W(5) = (w2(5) * mittelschwach) + (w3(5) * mittelstark)
6 W(6) = w3(6) * mittelstark
7 W(7) = (w3(7) * mittelstark) + (w4(7) * stark)
8 W(8) = (w3(8) * mittelstark) + (w4(8) * stark)
9 W(9) = w4(9) * stark
wi(p):= Ai(p) .. die Zugehörigkeit von p zu Ai
W(p) = i wi(p) * NAME(Ai(p))
Fuzzy Logic
• Mit Hilfe der formalen Wörter kann nun die „normale“ fuzzy Logik neu definiert werden, so dass jetzt Tabellenverarbeitungs-techniken der rough set Theorie angewandt werden können.
• Z.B. zur Reduktion der Größe und Komplexität
Beispiel: linguistischen Regeln
• 1. If s_x = s_Low and t_x = t_Low, then y = Weak;
• 2. If s_x = s_Med_Low and t_x = t_Low, then y = Moderate;
• 3. If s_x = s_Med_High and t_x = t_Med_High, then y = Strong;
• 4. If s_x = s_High and t_x = t_Med_High, then y = Extreme;
Entscheidunstabelle
s_x t_x ys_Low t_Low Weaks_Med_Low t_Low Moderates_Med_High t_Med_High Strongs_High t_Med_High Extreme
Lineare Inferenz
• Als Inferenz benutzen wir die Einfachste, der sogenannte lineare Einfluss, dabei soll die s-Eingabe mit 1 und t-Eingabe mit 0 gewichtet werden.
• formales Eingabewort: W(p) = (Ws(p),Wt(p))
• formales Ausgabewort: V(p) = v1(p)*Weak + v2(p)*Moderate + v3(p)*Strong + v4(p)*Extreme
Defuzzification
• Für die Ausgabeworte benutzen wir ein konstante Zugehörigkeitsfunktion: Weak=0,2; Moderate=0,4; Strong=0,6; Extreme=0,8
• Damit ergibt die Defuzzification: y=V(p) = v1(p)*0,2 + v2(p)*0,4 + v3(p)*0,6 + v4(p)*0,8
Schlussfolgerung
• Mittels der Granulation als formaler mathematischer Theorie wird die Datenverarbeitung durch Benennung der Granulen (Klumpen) zur Wissensverarbeitung.
• Durch lineare Kombination (weighted average) dieser Namen können formale Wörter erzeugt werden, welche eine einwertige Repräsentation in Tabellenform ermöglichen.