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1 Schwingungen Außerplanmäßig nächste Woche Dienstag, 8.4.08 7:30 Uhr Vorlesung, Kleiner Hörsaal Physik Mittwoch, 9.4.08 13 Uhr, Übung, Hörsaal Schutow www-Bereich Lehre in Arbeitsgruppe Cluster und Nanostrukturen Grundkurs Physik 2 login: P4LA passwd: cluster

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1

Schwingungen

Außerplanmäßig nächste WocheDienstag, 8.4.08 7:30 Uhr Vorlesung, Kleiner Hörsaal Physik

Mittwoch, 9.4.08 13 Uhr, Übung, Hörsaal Schutow

www-Bereich Lehre in Arbeitsgruppe Cluster und Nanostrukturen

Grundkurs Physik 2login: P4LA

passwd: cluster

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2

Harmonische Schwingung

Zeitliche Änderung einer physikalischen Größe, die mit einer Sinus- oder Kosinusfunktion beschrieben

werden kann.

Harmonische Schwingungen sind die am häufigsten Oszillationen im Alltag

Alle System, die dem Hookschen Gesetz genügen, führen harmonische Schwingungen aus.

Jedes System, das nur geringfügig aus seiner Ruhelage verschoben wird, schwingt harmonisch

um den Ruhepunkt.

Stabiles GleichgewichtKraftwirkung in Richtung Ruhelage

Labiles GleichgewichtKraftwirkung in Richtung Ruhelage

Indifferentes GleichgewichtKeine Kraftwirkung bei Auslenkung

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3

Beispiele für schwingende Systeme

Fadenpendel

Hydrometer

Torsionspendel Masse an Feder

Helmholtzresonantor

Elektrischer Schwingkreis

Flüssigkeit in U-Rohr

Masse durch Zugkräfte gehalten

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4

Hase und Jägerim ganz normalen Leben sind die Zusammenhänge oft kompliziert

Gegenseitige AbhängigkeitenSchneehasenS(t) BeutepopulationdS(t)/dt zeitliche Änderung der BeutepopulationS1(t)S(t) natürliche Entwicklung der BeutepopulationS2S(t)L(t) Entwicklung der Beutepopulation in

Abhängigkeit von der Anzahl der Räuber

Luchse L(t) RäuberpopulationdL(t)/dt zeitliche Änderung der RäuberpopulationL1(t)L(t) natürliche Entwicklung der RäuberpopulationL2S(t)L(t) Entwicklung der Räuberpopulation in

Abhängigkeit von der Anzahl der Beutetiere

)(L)()(L)(

)()(S)(S)(

21

21

tLtLtSdt

tdL

tLtStSdt

tdS

−=

−=

Gekoppelte Differentialgleichung

Zeitliche Entwicklung der Population A hängt von der Entwicklung der Population B ab und kann nicht unabhängig voneinander betrachtet werden

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5

Hooksches GesetzAuslenkung aus der Ruhelage nach rechts

x positiv

Kraftwirkung der Auslenkung entgegengesetztF negativ

GleichgewichtspositionKraftwirkung verschwindet

Kraftwirkung der Auslenkung entgegengesetztF positiv

kxFS −=Gesetz Hooksches

Auslenkung aus der Ruhelage nach linksx negativ Robert Hooke

(1635-1703)

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6

Einfache harmonische Bewegung

Newtonsche Bewegungsgleichung

xmka

kxmaamF

x

x

−=

−=

=∑ rr

Experimentelle Beobachtung:Beschleunigung a ist proportional der Auslenkung xRichtung von a ist entgegengesetzt zu x

Die Bewegung von Systemen, die sich in dieser Weise verhalten, nennt man einfache harmonische Bewegungen

oderEin Körper führt eine einfache harmonische Bewegung aus, wenn die Beschleunigung proportional der Auslenkung und

entgegengesetzt der Richtung der Auslenkung ist.

wechseltVorzeichen da ,0 bei maximalgkeit Geschwindi

beimaximalgchleunigunAnfangsbes

ax

Amk

Ax

=

=

Vertikale Auslenkung reibungsfrei

Das Hooksche Gesetz beschreibt solche Bewegungsformen

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7

Objekt an Feder, jetzt vertikalmacht es einen Unterschied, dass die Feder gespannt wird?

Gleichgewichtsposition der Feder ohne angehängtes Gewicht

kmgxx

kxF

S

SS

−=

−= kxmgk

mgxkFF gS −=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=−

Gleichgewichtsposition der Feder mit angehängtem Gewicht

x Sx

Gleichgewichtsposition

Kein Unterschied in der Beschreibung der Bewegung

mit Gewicht

ohne Gewicht

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8

Mathematische Beschreibung

xx

mk

xmkx

dtd

²dt²d²

Definiere²²

2

ω

ω

−=

=

−=

Gesucht: Funktion, deren zweite Ableitung wieder sich selbst ergibt (mal einer Konstante)

( )

( )

( )

)(²)(²²

cos²)(²²

sin)(

cos)(

txtxdtd

tAtxdtd

tAtxdtd

tAtx

ω

φωω

φωω

φω

−=

+−=

+=

+=

Ansatz cos

Newtonsche Bewegungsgleichung

Amplitude A

φω +tPhase

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

sradEinheit

mkωKreisfrequenz

Sinus- und Kosinusfunktionen

erfüllen solche Anforderungen

Phasenwinkel[ ]radEinheit

0≠φ

0=φ

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9

Harmonische Bewegung eines Oszillators

Oszillierender Körper schreibt Sinus- bzwKosinusfunktion auf gleichmäßig bewegtem Papier

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10

Jupitermonde

Aus Sicht der Erde führen die Jupitermonde eine harmonische Schwingung aus

Hinweis auf heliozentrisches Weltbild

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11

Amplitude

Die Amplitude definiert die maximale Auslenkung aus der Gleichgewichtslage

Auslenkung = Längenänderung

Auslenkung = Winkeländerung

Der Grad der Auslenkung kann unterschiedlich bestimmt werden

( )φω += tAtx cos)(

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12

Phase

Steve Reich - Violin Phase (1967)Musikstück für vier Violinen

oder eine Violine und Tonband

Durch die Phase φ wird das Schwingungsverhalten unterschiedlicher Oszillatoren (gleicher Frequenz) verglichen

Position der größten Auslenkung ist gegenüber dem anderen System um einen gewissen Betrag

verschoben

Maximaler Unterschied (Phasenwinkel) ist 2π

π2

( )φω += tAtx cos)(

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13

Periode und Frequenz

Definition der PeriodeEin vollständiger Zyklus der Bewegung

Position des Körpers identisch bei t und t+T

Kosinusfunktion 2ππ2

( )( ) ( )

ωππω

πφωφω

22

2

=

=⇓

=+−++

T

T

tTt

πω2

1==

Tf

PeriodeSI Einheit [s]

FrequenzSI Einheit [1/s=1 Hz]

Tf ππω 22 == Kreisfrequenz

SI Einheit [1 rad/s]

mk

Tf

kmT

π

πωπ

211

22

==

==Frequenz der Oszillation hängt nur von der Masse m des Körpers und der Federkonstante k ab und nicht

von den Parameter der Schwingung wie Amplitude A und Phase φ

( )φω += tAtx cos)(

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14

Geschwindigkeit und Beschleunigung

( )( )

( )φωω

φω

+−=

+==

tA

tAdtdx

dtd

sinv

cosv

Geschwindigkeit des Körpers bei der Oszillation Beschleunigung des Körpers bei der Oszillation

mkA

A

±=

±=

max

max

v

v ω

mkAa

Aa

±=

±=

max

max ²ω

( )( )

( )φωω

φω

+=

+==

tAa

tAdt²d²x

dt²d²a

cos²

cos

x(t)

v(t)

a(t)

für eine willkürlich gewählte Phase

Beschleunigung maximal, wenn Auslenkung maximal

Geschwindigkeit maximal wenn Beschleunigung minimal

( )φω += tAtx cos)(

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15

Anfangsbedingung IFeder gespannt

0sin)0(cos0

ungRandbeding

=−===φωφ

AvAA)x(

Als Phase wählen wir φ=0,damit die Gleichung oben erfüllt ist

t=0x(0)=Αv=0

tAx ωcos=Lösung

( )φω += tAtx cos)(

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16

Anfangsbedingung IIDurchgang durch die Gleichgewichtslage

ωφω

πφφ

ii AA

A)x(

vvsin)0(v

20cos0

m=⇒=−=

±=⇒==

t=0x(0)=Αv=0

t=0x(0)=0v=v0

2--1sin

positivA und 0vungRandbeding

πφφ =⇒=

>i

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

2cosv πω

ωtx i

Lösung

resultierende Amplitude

Phase um π/4 verschoben

Anfangsbedingung I

( )φω += tAtx cos)(

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17

Schlagloch

Masse des Trabant620 kg

Federkonstante der Einzelfeder15000 N/m

Fall BZusätzlich Fahrer und drei Mitfahrer

insgesamt 250 kg

Hz 23.1250kg620kg

mN 00600

21

21

=

+=

+=

voll

PersonenTrabi

effvoll

fmm

kf

ππHz 75.1

620kgmN 00600

21

21

=

==

leer

Trabi

effleer

fmk

fππ

( )

mN 00600

mN 001504

=

⋅=

−=−=−= ∑∑

eff

eff

effres

k

k

xkxkkxF

Fall AOszillationsfrequenz des leeren Trabant

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18

Energie des einfachen harmonischen Oszillators

Erinnerung an die Vorlesung MECHANIKViele Probleme lassen sich unter Verwendung des Energiesatzes leichter lösen

Kinetische Energie des harmonischen Oszillators ( )

( )

( ) ( )( )

2

1cossin

222

222

222

21

cossin21

cos21

21

sin21²v

21

22

kAE

ttkAE

PEKEE

tkAkxPE

tAmmKE

=

+++=

+=

+==

+==

=Θ+Θ

φωφω

φω

φωω

Gesamtenergie des harmonischen Oszillators

( )( )φωω

Elastische Energie des harmonischen Oszillators

φω+=+=tAt

tAtxsin)(v

cos)(Ausgangslage schon berechnet

Die Gesamtenergie eines harmonischen Oszillators ist eine Konstante der Bewegung und ist proportional zum Quadrat der Amplitude

BemerkungSowohl die kinetische Energie als auch die elastische Energie sind stets positiv

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19

Energie des harmonischen Oszillators

2

222ax

21

21

21v

21

00Position Betrachte

kAE

AmkmAmmE

PEx

m

=

===

==

ω

0=x

Austausch von kinetischer und elastischer Energie im harmonischen Oszillator

Beitrag von KE und PE als Funktion der Amplitude der Schwingung

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20

Energie des harmonischen Oszillators

0=x

2x

21

41

2

21

21

giltder bei Amplitude Suche

22

Bedingung

2

2

A

kxkA

PEE

kxPE

kAE

=

=

=

=

=

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21

Potentielle vs kinetische Energie

PE max

PE max

PE max

KE max

KE max

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22

Geschwindigkeit v(x)

( )

( )22

²

22

222

v

mkv

21v

21

21

xA

xA

mxmkA

PEKEE

mk

−±=

−±=

=+=

+=

=

ω

ω

A

x

ω±=⇓

=

v

0

( ) 0v 22 =−±=

=

AAA

Ax

ω

Check für Extremalpositionen

Nutze Energiesatz um Geschwindigkeit des Körpers an beliebiger Position zu berechnen

Geschwindigkeit an Position x

Maximal am Gleichgewichtspunkt Minimal am Umkehrpunkt

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23

Hooksches Gesetzeinfacher Ansatz für globale Probleme

Für geringe Auslenkungen ist die rücktreibende Kraft F proportional zur Auslenkung x

Hooksches Gesetz

Für größere Auslenkung aus der Gleichgewichtslage ist diese einfache lineare Beziehung nicht notwendigerweise erfüllt

Für nahezu ALLE physikalischen Systeme in der Natur, die in irgendeiner Weise aus ihrer

Gleichgewichtslage bewegt werden, kann in erster Näherung ein Ansatz zur Beschreibung gewählt werden, der dem Hookschen Gesetz

entspricht. Man muß sich aber darüber klar sein, dass

diese Näherung möglicherweise nur in einem engen Bereich gültig ist.

Einige Beispiele außerhalb der MechanikVibration von Molekülen

akustische Schwingungen im Festkörper (Phononen), Metallische Elektronen in Metallen

Elektronen in einem PlasmaSchwingungen der Kernbausteine (Protonen und Neutronen)

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Harmonische Näherung

In der Nähe der Gleichgewichtslage entspricht die Potentialkurve einer Parabel

Typischer Potentialverlauf

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25

Anwendung Lennard-Jones Potential für Moleküle

Harmonische Näherung

Lennard-Jones Potential

von einfach zu komplex

Wechselwirkungspotential zwischen zwei Molekülen

Wechselwirkungspotential zwischen vielen Atomen wie zum Beispiel im Festkörper

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26

Harmonische Schwingung vs Kreisbewegung

Schwingungsbewegung

Objekt rotiert auf Scheibe

Schatten führt Oszillation aus

Kreisbewegung

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27

Harmonische Schwingung vs Kreisbewegung

Konstante Winkelgeschwindigkeit

( )φω += tAx cos

TtAxA

<<<<−

0für

( )φcosAx =Oszillation von x in den Grenzen

Referenzkreis

Eine einfache harmonische Schwingung kann angesehen werden als Projektion einer Kreisbewegung

auf einen Referenzkreis

Eine Kreisbewegung kann dargestellt werden als Kombination von

zwei einfachen harmonischen Schwingungen eine entlang der x-und eine entlang der y-Achse

rω=vMechanik

rrr

r²²²²va

Mechanik

ωω===

( )φωω +−= tAx sinvx-Komponente ( )φωω +−= tAx cos²a

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28

Mathematisches PendelOszillation mit geringer Amplitude unter Einfluss der Gravitation

Θ−=Θ

Θ=

Θ

Θ−==

Θ=

sin

sin

2

2

2

2

2

2

2

2

Lg

dtd

dtdmL

dtLdm

mgdt

sdmF

Ls

t

Näherung für geringe Auslenkungen

Bewegungsgleichung für die Tangentialkomponente

Θ−=Θ

Θ≈Θ

Lg

dtd

2

2

sin

( )φω +Θ=Θ tcosmax

Lösungsansatz harmonische Schwingung

( )

Lg

Lg

dtd

tdtd

=

Θ−=Θ−=Θ

+Θ−=Θ

ω

ω

φωω

22

2

max2

2

2

cos

Einsetzen des Lösungsansatzes

gLT π

ωπ 22==

Die Frequenz und die Periode eines mathematischen Pendels hängt nicht von der Masse sondern nur von der

Länge des Fadens und der Gravitation ab. Am selben Ort (gleiches g) und

gleichem L schwingen alle Objekte mit derselben Periode!

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Eine-Sekunde Pendel

GravimetrieGeophysikalische Verfahren zur Auffindung von Bodenschätzen

Christian Huygens Idee:Ein Pendel mit einer Periode von einer Sekunden als Zeitnormal

0.248m4ππ

1ss²m9.81

4

1

21

=⋅

=

=

s

s

L

gTLπ

Länge der Pendelschnur etwa ein Viertel eines Meters

s²m 2.39

1sm 14π

4

2

2

==

=

planet

planet

g

TLg π

Gesucht ein Planet auf dem die Periode des Pendels mit einem Meter Aufhängung genau eine Sekunde beträgt

Zum Vergleich Jupiter

s²m 24.8 =Jupiterg

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30

Physikalisches Pendel

( )

Imgd

t

Imgd

dtd

dtdImgd

=

+Θ=Θ

Θ−=Θ−=Θ

Θ=Θ−

Θ≈Θ

ω

φω

ω

cosatzLösungsans

sin

max

22

2

sin

2

2Bewegungsgleichung

Drehmoment bewirkt, dass sich der Schwerpunkt

bewegt

∑ = ατ IRotation

Mechanik Newtonsche

mgdIT π

ωπ 22==

Periode des physikalischen Pendels

gd

mgdmdT

mdI

ππ 222

2

==

=Masse konzentriert in einem Punkt

Lösung für das physikalische Pendel

AnwendungBestimmung eines

Trägheitsmonents I aus der Periodendauer T