Grundlagen der Elektrotechnik I · Vorlesungsfolien GdE I 3 Inhalt der Vorlesung Elektrotechnik I im WS 2008 (siehe auch R. Pregla, „Grundlagen der Elektrotechnik“) 0 Zur Beschreibung

Vorlesungsfolien

Grundlagen

der

Elektrotechnik I

Lehrstuhl für Allgemeine Elektrotechnik und Plasmatechnik

Prof. Dr. P. Awakowicz

Ruhr Universität Bochum

WS 2008/09

Die Vorlesung wird in Anlehnung an das Buch vonProf. Dr. Reinhold Pregla / Univ. Hagen gehalten:

Reinhold Pregla, Grundlagen der Elektrotechnik, Hüthig Verlag Heidelberg (49 €)

alternativ zu empfehlen:Manfred Albach, Grundlagen der Elektrotechnik 1,

Pearson Studium (29,95 €)

Vorlesungsfolien GdE I 3

Inhalt der Vorlesung Elektrotechnik I im WS 2008(siehe auch R. Pregla, „Grundlagen der Elektrotechnik“)

0 Zur Beschreibung physikalischer Vorgänge

1 Das statische elektrische Feld1.1 Die elektrische Ladung und ihre Wirkungen1.2 Feldstärke und Coulombsches Gesetz1.3 Feldlinien

1.4 Bewegung einer Ladung im elektrischen Feld1.5 Ungeladene Leiter im statischen elektrischen Feld1.6 Elektrische Verschiebungsdichte (Flussdichte)

1.7 Kapazität1.8 Energie und Kräfte im elektrostatischen Feld1.9 Materie im elektrischen Feld

2 Der elektrische Strom2.1 Elektrische Stromstärke2.2 Ohmsches Gesetz2.3 Strömungsfelder2.5 Temperaturabhängigkeit des Widerstandes2.6 Energieumsetzung im elektrischen Stromkreis2.7 Strömung im Vakuum: Raumladungsgesetz

2.8 - 2.10 Halbleiter, Dioden, Transistoren ⇒ Vorlesung „Bauelemente“


Fortsetzung Inhalt:

3 Gleichstromschaltungen3.1 Strom und Spannung im einfachen Stromkreis3.2 Zweipole3.3 Die Kirchhoff'schen Regeln3.4 Serien- und Parallelschaltung von Widerständen3.5 - 3.9 ⇒ Vorlesung Prof. Dr. Martin

4 Lineare Netze ⇒ Vorlesung Prof. Dr. Martin„Grundlagen der Informationstechnik“

5. Das magnetische Feld5.1 Wirkung und Darstellung des magnetischen Feldes5.2 Kraft auf eine bewegte Ladung - magn. Flussdichte 5.3 Kraft auf einen stromdurchflossenen Draht5.4 Drehmoment auf eine stromdurchflossene Leiterschleife5.5 Die Erregung des magnetischen Feldes5.6 Kraft zwischen zwei stromdurchflossenen Leitern5.7 ⇒ Vorlesung „Elektrische und magnetische Felder“5.8 Die magnetischen Eigenschaften der Materie

Br


Technik: Anwendung der Naturgesetze aus den verschiedenen Gebieten der Physik auf „Dinge“, die von Menschen verwendet werden können, die sie unterstützen und den Lebensstandard verbessern. Ein sorgfältiger und nachhaltiger Umgang mit Technik ist sinnvoll und geboten.Ohne Technik ist das moderne Leben nicht denkbar. Technik ist der entscheidende „Rohstoff“ und zugleich wichtigster „Exportartikel“ Deutschlands.

Elektrotechnik: Anwendung der Teilgebiete „Elektrizität und Magnetismus“. Beide Gebiete hängen eng zusammen, auch wenn diese nacheinander gelehrt werden. Diese künstliche, aus didaktischen Gründen sinnvolle Trennung existiert in der Natur nicht.

In dieser Vorlesung werden behandelt:

Grundlegende physikalische Phänomene, auf denen die „Elektrotechnik und Informationstechnik“ aufbaut.Ihre Beschreibung mit Hilfe der Mathematik ist notwendig. Grundkenntnisse in Differential- und Integralrechnung sind ebenso unabdingbar wie Funktionen mehrerer Veränderlicher und die Vektorrechnung.

Vorbemerkungen + Einführung


0 Beschreibung physikalischer Vorgänge

Aufgabe der Physik: Auffinden von Gesetzmäßigkeiten,die sich mit Formeln beschreiben lassen.

Beispiel: Freier Fall

2

2

1gts =

Fallweg (s) = 1/2 x Erdbeschleunigung (g) x Quadrat der Fallzeit (t)

Formel:

0)0(,0 == vt

Die Begriffe Weg, Zeit und Beschleunigung bezeichnet man als physikalische Größen. Die obige Gleichung als Größengleichung.

Beispiele f. andere physikalische Größen:

Mechanik: Geschwindigkeit, Kraft, Masse, ArbeitElektrizitätslehre: Ladung, Spannung, Feldstärke, StromWärmelehre: Temperatur, Druck, Wärmemenge, Entropie

Die verschiedenen Größen werden mit Zeichen in kursiver Schreibweise dargestellt. Wichtig ist, für gleiche Größen immer gleiche Zeichen zu verwenden; leider klappt das oft nicht.

0.1 Physikalische Größen


Einteilung der Größen: Basisgrößen + abgeleitete Größen

Vereinbarung: Basisgrößen der Mechanik

Länge, Zeit und Masse

„Grundgesetz der Mechanik“:Abgeleitete Größe: Kraft = Masse x Beschleunigung

(Sir Isaac Newton, 1643 - 1727, engl. Mathematiker, Physiker und Astronom)

In Formelzeichen: amF ⋅=

Andere abgeleitete Größen sind durch Definition festgelegt:z.B. die Geschwindigkeit:

dt

ds

t

sv

t=

∆

∆=

→∆ 0lim

Die Richtung der Geschwindigkeit bleibt zunächst unberücksichtigt.

Analog: Definition der Beschleunigung

dt

dv

t

va

t=

∆

∆=

→∆ 0lim


Fazit: Basisgrößen sind voneinander unabhängig.Alle anderen Größen müssen durch Basisgrößen

ausgedrückt werden können

0.2 Einheiten und Einheitensysteme

Zum Messen einer physikalische Größe notwendig:Festlegen einer Einheit

Messen heißt: Vergleichen mit Bezugseinheit

Ist eine Einheit „unpraktisch“, können Teile oder Vielfache mit dem Faktor „Zehn“ abgekürzt beschrieben werden durch:

Also:

Physikalische Größe = Zahlenwert x Einheit

101 → da (Deka)102 → h (Hekto)103 → k (Kilo)106 → M (Mega)109 → G (Giga)1012 → T (Tera)1015 → P (Peta)1018 → E (Exa)

10-1 → d (Dezi)10-2 → c (Zenti)10-3 → m (Milli)10-6 → µ (Mikro)10-9 → n (Nano)10-12 → p (Piko)10-15 → f (Femto)10-18 → a (Atto)


Früher hatten viele Länder ihr eigenes Einheitensystem:z.B. Längenangabe in Meilen, Fuß, Zoll, Meter, Seemeilen, Landmeilen, ....

Heute ist ein internationales Einheitensystem gebräuchlich:SI-Einheiten (Standard International)

Definition: 1 Meter ist die Länge, die Licht im Vakuum während der Dauer von 1/299.792.458 Sekunden durchläuft.

Definition: 1 Sekunde ist das 9.192.631.770-fache der Periodendauer der Strahlung, die vom Übergang zwischen den zwei Hyperfeinstrukturniveaus des Grundzustands des 133Cs Atoms herrührt.

Definition: 1 Kilogramm ist definiert durch Internationalen Kilogramm-Prototyp aus Platin-Iridium, der im internat. Büro f. Maße und Gewichte in Severes bei Paris aufbewahrt wird.

Definition: 1 Ampere ist die Stärke eines stationären Stromes, der durch 2 unendlich lange, unendlich dünne parallele Leiter fließt, die im Vakuum in einem Abstand von 1 Meter die Kraft von 2·10-7

Newton aufeinander ausüben.

= MKSA-System, ein Teilsystem des SI-Systems


Das SI-System enthält drei weitere Basisgrößen:Die thermodynamische Temperatur T in Kelvin, die Lichtstärke in Candela und die Stoffmenge in Mol:

Basisgröße Zeichen Basiseinheit AbkürzungLänge l Meter mMasse m Kilogramm kgZeit t Sekunde sel. Stromstärke I Ampere Aabsol. Temperatur T Kelvin KLichtstärke1) Iv Candela cdStoffmenge2) n Mol mol

1) 1 Candela ist die Lichtstärke einer Strahlungsquelle, die bei 555 nm 1/683 Watt/sr abstrahlt.

2) 1 mol ist die Stoffmenge eines Systems, das aus ebensoviel Teilchen besteht, wie in 12 g von 12C enthalten sind , d.h. ≈6.022 ·1023 Teilchen.

Für Definition von 1 Ampere wurde das Newton verwendet. Abgeleitete Einheit:

Ns

mkg]][[][

2=== amF

„[]“ bedeutet „Einheit von“


Einige wichtige physikalische Größen:

Kraft F Newton (N) 1N = kg m/s2

Energie W Joule (J) 1J = 1 Nm = kg m2/s2

Leistung P Watt (W) 1W = 1 Nm/s = kg m2/s3

Druck p Pascal (Pa) 1Pa = 1 N/m2

Ladung Q Coulomb (C) 1C = 1 A s Spannung U Volt (V) 1V = 1 W/AWiderstand R Ohm (Ω) 1 Ω = 1 V/AKapazität C Farad (F) 1F = 1A s/V = 1 C/VInduktivität L Henry (H) 1H = 1 V s/Amagnet. Fluß Φ Weber (Wb) 1Wb = 1 V smag. Flußdichte B Tesla (T) 1T = 1 V s/m2 = 1 Wb/m2

Bemerkungen:• Druck: 1 hPa = 1 mBar, 105 Pa = 1 Bar• Kraft: 1 kp = 9.81 N (Kraft auf 1 kg im Erdschwerefeld,

alte Bezeichnung)


0.3 Dimension, Zahlenwertgleichung

Dimension: Qualitative Darstellung dieser Größenart ausden Basisgrößen

Basisgrößen und Basisdimensionen:

Länge dim[s] = LZeit dim[t] = TMasse dim[m] = MStromstärke dim[I] = I

Beispiel: Dimension f. Geschwindigkeit

1LT]dim[

]dim[]dim[ −==

t

sv

Dimensionslose Größen: wenn Exponent „0“ ist; z.B. Winkel

1]dim[

]dim[]dim[ ==

eRadiusläng

längeKreisbogenα

eRadiusläng

längeKreisbogen

r

b==α


Dimensionsgleiche, physikalisch völlig unterschiedliche Größen;z.B. Energie und Drehmoment:

22TML]dim[]dim[ −== TW

Nm][ =W mN][ =T

Hilfsmittel Dimensionsprüfung:

Beispiel: Masse eines zylindrischen Körpers der Dichte ρ

ρlrm 2 π=

Dimensionsprobe:

] πdim[]dim[ 2 ρlrm =

ML

MLLM

3

2 ==


Zahlenwertgleichung oder zugeschnittene Formel:

z.B. Geschwindigkeit

t

sv =

mit 1 km = 1000 m, 1 h = 3600 s:

s

m

/h

km/

6,3

1

t

sv =

Also z.B. 100 km/h:

s

m8,27

s

m

6,3

100==v

Beispiel: Elektron (e = 1.6 ·10-19 As, m = 9,1 ·10-31 kg ) wird im el. Feld beschleunigt und durchläuft die Spannung U = 100 V. Wie groß ist seine Geschwindigkeit?

eUmv =2

2

1Energiesatz:

m

eUv

2=⇒

s

km5940

s

kmV/594 == Uv


1 Das statische elektrische Feld

1.1 Die elektrische Ladung und ihre Wirkung

1.1.1 Zum Aufbau der Materie

Vor 2500 Jahren: Leukipp und Demokrit „atomos“(das Unteilbare)

Zu Beginn des 19. Jahrhunderts: 90 verschiedene Grund-bausteine (Atome)

Heute: Atome sind nicht unteilbar ⇒ Atomkern und Hülle

Kern: Protonen, Neutronen; Protonen positive LadungHülle: Elektronen negative Ladung

Erkenntnisse (Bild 1.1a, b):

• Elektronen halten sich innerhalb bestimmter „Bahnen“ auf• Mehrere dieser Bahnen bilden eine „Schale“, die nur eine

bestimmte maximale Zahl von Elektronen aufnehmen kann• Die Zahl der Protonen im Kern ist gleich der Zahl der

Elektronen in der Hülle (nach außen neutral)• Zwischen Elektronen und Protonen besteht elektrische

Wechselwirkung• Zwischen Protonen und Neutronen bestehen die Kernkräfte,

die hier nicht näher behandelt werden; sie bilden die Masse des Atoms (z.B. H, D, T)

• Wird ein Elektron der Hülle entzogen, ist das Atom (eigentlich Ion) positiv geladen


Bild 1.1a Zum Aufbau der Materie


Bild 1.1b Zum Aufbau der Materie


1.1.2 Grundversuche zur Wirkung der elektrischen Ladung

Weitere Erkenntnisse:• Elektronen sind relativ schwach gebunden, können daher

isoliert werden, d.h. abgetrennt werden• Verschiedene Stoffe besitzen unterschiedliche Elektronen-

affinität; d.h. bei Berührung entzieht derjenige mit der größeren Elektronenaffinität dem anderen so lange Elek-tronen, bis ein energetischer Gleichgewichtszustand herrscht

• Nach Trennung beider Stoffe hat der mit der größeren El.-affinität Elektronenüberschuß, der andere Elektronenmangel

• Wir bezeichnen diesen Zustand beider Stoffe mitelektrisch geladen

Vereinbarung

Der Elektronenüberschuß wird mit minus, der Elektronen-

mangel mit plus bezeichnet

Versuch

Reibt man einen Glasstab oder Hartgummistab mit einem Wolllappen oder Fell, so werden danach Papierschnitzel, Federn, Haare etc. angezogen. Beobachtung der alten Griechen mit Bernstein (Elektron).


Erklärung

Der die geladenen Stäbe umgebende Raum ist durch Anwesenheit der Ladungen in einen bestimmten Zustand versetzt worden. Er hat die physikalische Eigenschaft, auf Körper Kräfte auszuüben. Einen Raum mit besonderen Eigenschaften bezeichnet man in der Physik als Feld.

Fazit: Elektrisch geladene Körper sind vonelektrischen Feldern umgeben.

Versuch 1

An einem dünnen Faden wird ein metallisiertes Kügelchen aufgehängt. Ein (positiv) geladener Glasstab (s.o.) wird in die Nähe gebracht. 1. Beobachtung: Die Kugel wird angezogen.Gleiches passiert mit einem (negativ) geladenen Hartgummistab (Bild 1.2).

Bild 1.2


Erklärung

Die erste Beobachtung kann erst später im Abschnitt „Influenz“erklärt werden.Zweite Beobachtung: Bei Berührung fließt Ladung vom Stab auf die Kugel. Beide tragen anschließend die gleiche Ladung und stoßen sich ab. Der jeweils andere Stab (entgegengesetzt geladen) zieht die Kugel an.

Fazit: Ladungen unterschiedlichen Vorzeichens ziehen sich an, bei gleichem Vorzeichen stoßen sie sich ab.

Versuch 2

Wir berühren das Kügelchen mit einem der geladenen Stäbe.2. Beobachtung: Von dem Stab, von dem es berührt wurde, wird es anschließend abgestoßen, vom jeweils anderen Stab wird es angezogen (Bild 1.3).

Bild 1.3


Weitere derartige Versuche zeigen, dass die Ladungen (auf Stab und Lappen) entgegengesetzt sind.Wir stellen fest, dass mit der einen Ladungsart auch gleichzeitig die andere erzeugt wird.

Fazit: Die Summe der erzeugten positiven und negativen elektrischen Ladungen ist stets gleich Null.

Versuch 4

Berührt man das geladene Kügelchen (Bild 1.3) mit dem Finger, stellt man fest, dass es danach völlig unelektrisch ist. Berührt man dagegen den Stab, so wird dieser nur an der Berührstelle unelektrisch.

1.1.3 Ladungserhaltung, Leiter und Nichtleiter

Versuch 3

Wir reiben einen Stab und umhüllen diesen anschließend mit dem Lappen. Beides zusammen wird in die Nähe des Kügel-chens gebracht: Keine Wirkung! Trennen wir beide Teile: Anziehung!


Erklärung

Durch Berührung mit dem Finger wird elektrische Ladung abgeführt. Beim metallischen Kügelchen bewegen sich offensichtlich alle Ladungen zur Berührstelle und fließen dort ab. Beim Glas- oder Gummistab dagegen kann nur die Ladung an der Berührstelle abfließen.⇒ Einteilung in Leiter und Nichtleiter der elektrischen

Ladung.Elektrische Leiter: Metalle, Schmelzen, Lösungen,…Isolatoren: Glas, Gummi, Vakuum, Kunststoffe, Holz,…

Versuch 5

Versuch 1 wird wiederholt, allerdings im Vakuum, d.h. in einem evakuierten Glasgefäß (Bild 1.4). Bringt man einen geladenen Stab in die Nähe des Gefäßes, ist die Kraft-wirkung ohne merkliche Unterschiede sichtbar. Ersetzt man jedoch das Glasgefäß durch ein Metallgehäuse, ist die Kraftwirkung nicht beobachtbar.

Bild 1.4


Erklärung

Das Feld durchdringt die Glaswand und ist auch im Vakuum vorhanden. Damit können zwischen Stab und Kugel auch andere Isolatoren gebracht werden, ohne die Kraftwirkung zu verhindern. Ersetzt man das Glasvakuumgefäß jedoch durch ein Metallgefäß, wird das Feld offensichtlich abgeschirmt.

Fazit: In Isolatoren kann ein elektrisches Feld existieren, durch Leiter wird ein elektrostatisches Feld abgeschirmt.

1.2 Feldstärke und Coulombsches Gesetz

Die Kraftwirkung des el. Feldes soll nun mathematisch erfaßtwerden. Dazu wird in jedem Raumpunkt dem Feld ein Vektor zugewiesen: „elektrische Feldstärke“.E

r

→

→

Bild 1.5


1Er

2Er

3Er

4Er

Bild 1.6

Feststellungen:1. Kraft wirkt in Richtung der Verbindungslinie2. Um das gesamtes Feld zu erfassen: Probekörper an

jeden Ort bringen

Bild 1.7

Definition: Elektrische Feldstärke

EQFEFrrrr

=∝ , (1.1)


Versuch

Das Q in Gl. (1.1) ist zunächst nur eine Proportionalitäts-konstante. Zur Deutung wird folgender Versuch gemacht:B: Feld erzeugende Ladung, A: Probeladung, die an einem Faden hängt ⇒ Faden wird um α ausgelenkt

Weiterer VersuchKügelchen A wird mit gleichem ungeladenen Kügelchen A` berührt: Ausschlag s halbiert sich bei gleich großem Abstand r

Fazit: Kraft auf A hängt nicht nur vom Feld ab (hat sich nicht geändert!), sondern auch vom Ladungszustand.

Bild 1.8


Erklärung

Durch Berührung von A mit A` ist am Ladungszustand von Aeine Änderung aufgetreten.

Ersetzt man nun A durch A`, ändert sich s nicht.Beide Kugeln haben folglich die gleiche Ladung.Dadurch ging die Kraft auf die Hälfte zurück.Q bezeichnet also die Ladungsmenge.Maßeinheit von Q ist Coulomb [C]Coulomb ist eine abgeleitete Einheit, es gilt 1C = 1 As

Elementarladung

C10602,1 19−⋅=e (1.2)

Oder: e181024,6C1 ⋅=

Bemerkungen

• e hat krummen Wert, da A die Basiseinheit ist (MKSA)• Das Elektron hat negative Ladung, daher ergibt sich die Kraftrichtung entgegen der Feldstärkerichtung


Versuch

Wird die Ladung von Kugel B verändert, stellt man fest, dass die Kraft auch proportional zur Ladung von B ist.Wird der Abstand r verdoppelt, sinkt die Kraft auf ein Viertel.

Coulombsches Gesetz (1785)

2r

QQkF BA=

r

(1.3)

Coulomb, Charles Augustin de, 1736-1806, franz. Physiker

Bemerkungen:

• k: Proportionalitätskonstante• analog zu Gravitationsgesetz• Coulombsches Gesetz gilt auch im atomaren Bereich

Umschreiben von (1.3)

2r

QkQF B

A ⋅=

Vergleich mit (1.1)

2r

QkE B

B =

Damit gilt allgemein für die Feldstärke einer Punktladung Q im Abstand r:

(1.4)

(1.5)

2r

QkE = (1.6)


Überlagerung von Feldern

• Mehrere Punktladungen: jede für sich erzeugt elektrisches Feld• Teilfelder überlagern sich linear zu Gesamtfeld, da QE ∝

r

Feldstärke in P für drei Ladungen Q1, Q2 und Q3 mit den Abständen ripvon Qi (i = 1,2,3) zu P:

Damit wird

2

ip

ii

r

QkE =

rfür i= 1,2,3

Bild 1.9

(1.7)


Allgemein gilt also bei n Punktladungen:

∑=

=+++=n

iin EEEEE

121

rrK

rrr

wobei die Addition vektoriell durchgeführt werden muß.

1.3 Feldlinien, Feldlinienbilder

(1.8)

In den Bildern 1.6 und 1.7 sind in einigen Punkten des Raumes um die Ladungen Feldstärkevektoren eingetragen: für alle Punkte ist das nicht möglich ⇒ besser Feldlinien!

Man wandert z.B. von + nach - und ändert die Richtung stets gemäß der Richtung der Feldstärke , d.h. man bildet eine Linie aus allen Pfeil-Fußpunkten.

Bild 1.10a


Geht man in verschiedene Richtungen von + nach -, erhält man ein Feldlinienbild:

Bild 1.10b

Die Tangente an eine Feldlinie zeigt die Richtung der Feldstärke

Graphische Näherung

Bild 1.11

„Feldliniendichte“= Maßf. Betrag der Feldstärke


Veranschaulichung von Feldern:

Metallfolie auf einer Glasplatte + kleine Körnchen von Gipspulver

Bild 1.12 a-c

c) Parallele Platten(teilweise homogen)

a) ungleichnamigePunktladungen

b) gleichnamigePunktladungen


Bild 1.12 d-f

d) Radialfeld inkoaxialer Anordnung

e) Metallischer Rahmenzwischen zwei Platten

f) Punktladung vorPlatte


Erkenntnisse

1. Feldlinien haben im el.statischen Fall stets einen Anfangs-und einen Endpunkt.

2. Quellen und Senken der elektrischen Feldlinien sind die positiven bzw. negativen Ladungen.

3. In Bild 1.11 liegen die Senken im Unendlichen .4. Überschneidungen von Feldlinien treten nicht auf, d.h. die

Feldstärke hat stets eine eindeutige Richtung.5. Bereiche eines Feldes, in dem Feldlinien geradlinig und

parallel verlaufen, werden homogen genannt ( Bild 1.12c).6. Andernfalls ist das Feld inhomogen. Dies ist meist der Fall.7. Das Radialfeld ist ein spezielles inhomogenes Feld

(Bild 1.12d). Hier laufen die Linien strahlenförmig von einem gemeinsamen Mittelpunkt ausgehend.

8. Innerhalb einer metallischen Abschirmung existiert kein Feld (Bild 1.12d, e) ⇒ Abschirmung von Feldern durch Leiter

9. Elektrische Feldlinien münden auf metallischen Oberflächen stets senkrecht (Bild 1.12a - f). Andernfalls würde eine Tangentialkraft die frei beweglichen Ladungen sofort ausrichten.

10. Ladungen auf einem Leiter befinden sich auf dessen Oberfläche: Ändert man z.B. in Bild 1.12 e den inneren Rohrdurchmesser oder ersetzt das Rohr durch einen massiven Stab, ändert sich nichts. Da sich gleichartige Ladungsträger abstoßen, wollen diese „möglichst weit“voneinander weg.


1.4 Bewegung einer Ladung im elektrischen Feld-Arbeit, Potential, Spannung

Die Versuche zeigten, dass im elektrischen Feld auf eine Ladung Kraft ausgeübt wird:

• Verschiebt man eine positive Ladung in Gegenrichtung zumFeld, muss entlang eines Weges Kraft aufgebracht werden, d.h.es wird Arbeit verrichtet, die von außen kommt.

• Erfolgt die Bewegung in Feldstärkerichtung, dann verrichtetdas Feld Arbeit.

Vereinbarung

Arbeit wird als positiv bezeichnet, wenn diese vom Feld

verrichtet wird (d.h. Kraft zeigt in Wegrichtung).

Die Arbeit ist eine skalare, d.h. ungerichtete Größe. Analog zur Mechanik, ist sie definiert als Produkt aus der längs des Weges wirkenden Kraft (oder Kraftanteil) und dem zurückgelegten Weg. Einfachster Fall: Q wird um ∆s im Feld verschoben.

. sFW ∆=∆r

(1.9)


Im allgemeinen sind Bewegungsrichtung der Ladung und Richtung der Kraft unterschiedlich:

Bild 1.13a) b)

In Bild 1.13b wirkt längs des Weges von P1 nach P2 nur noch Fcosα, damit gilt:

)cos(αsFWrr

∆=∆ (1.10)

Einfachere Schreibweise: Wegstück ∆s als Vektor darstellen und skalar mit Vektor multiplizieren.F

r

(1.11)

⇒ Skalarprodukt zweier Vektoren: Produkt der Beträge mal Kosinus des eingeschlossenen Winkels

Bisher:kleiner geradliniger Weg, daher änderte sich die Kraft längs des Weges nicht.

sEQsFWrrrr

∆⋅=∆⋅=∆


Jetzt soll „längerer“ Weg im Feld einer geladenen Kugel (Bild 1.14) gewählt werden, dann ändert sich die Feldstärke längs des Weges sehr stark:

Bild 1.14

Zur Berechnung der Gesamtarbeit zwischen P1 und P2 wird der Weg in n kleine Geradenstücke mit den Vektoren zerlegt.Die Feldstärke ändert sich längs des Abschnitts nicht, daher gilt für die Summe der Teilarbeiten:

isr

∆

∑∑==

∆⋅=∆=n

iii

n

ii sEQWW

11

rr(1.12)

Je feiner die Unterteilung gewählt wird (d.h. je größer n), desto genauer das Ergebnis. Läßt man n nach unendlich gehen, wird das Ergebnis exakt:

∫∑ ⋅=∆⋅==

∞→

2

11

limP

P

n

iii

nsdEQsEQWrrrr

(1.13)


Antwort:Zunächst ist klar W1,2 = - W2,1 längs des Weges C1, da für die umgekehrte Richtung nur das Wegelement die Richtung bzw. das Vorzeichen ändert.Wenn man nun von P1 nach P2 über C1 und dann nach P1

über C2 läuft, muss die Gesamtarbeit Null werden, da P1 der Ausgangspunkt ist und sich das Feld nicht geändert hat. Damit ist klar: Die Arbeit ist unabhängig vom Weg!

wobei aus das infinitesimal kleine Wegelementgeworden ist.

sr

∆ sdr

Die Integration ist längs des Weges von P1 nach P2 auszuführen. Man bezeichnet das Integral daher als Linienintegral der Feldstärke über den Weg.

Frage:Hängt hier die Arbeit vom Verlauf des Weges zwischen P1 und P2 ab?

Beispiel:

Bild 1.15

2,1sdr


Allgemein formuliert:

oder:

„Das Linienintegral der elektrischen Feldstärke im elektro-statischen Feld längs eines geschlossenen Weges ist Null.“

∫∫ ⋅=⋅2

1

2

1

P

P

P

P

sdEQsdEQrrrr

C1 C2

(1.14)

∫ =⋅ 0sdErr

(1.15)

Bemerkungen:Der Kreis im Integral bezeichnet einen geschlossenen Weg .Ein solches Feld nennt man wirbelfrei.Dies bedeutet weiterhin, dass die Feldlinien in sich nicht geschlossen sind.

Fazit: Elektrostatische Felder haben keine in sich geschlossenen Feldlinien. Sie sind wirbelfrei.


Mit Gl. (1.14) soll nun zur Auswertung von Gl. (1.13) ein möglichst einfacher Integrationsweg gewählt werden:

Bild 1.16

321 WWWW ++=

Für Teilabschnitt 1 gilt:

, 2

111

)1()1()1(

1 ∫∫∫∫ ==⋅=⋅=x

xxxx )dx,z(x,yEQdxEQdxeEQsdEQW

rrrr

Die Gesamtarbeit für das Bewegen einer Ladung Q von P1

nach P2 in einem zunächst beliebigen Feld :Er

wobei gesetzt wurde, mit als Einheitsvektor in Richtung x-Koordinate und als Projektion des Vektors auf die x-Richtung.

xedxsdrr

=

xeErr

⋅xer

Er


Analog geht man für die Abschnitte 2 und 3 vor. Mit den Projektionen des Vektors auf die jeweilige Koordinatenachse erhält man f. d.. Gesamtarbeit:

zyx EEE ,, Er

∫ ∫∫ ++=2

1

2

1

2

1

),,(),,(),,( 221211

y

y

z

z

zy

x

x

x dzzyxEQdyzyxEQdxzyxEQW

(1.16)

Beispiel:

Zur Anwendung der Gl. (1.16) betrachten wir die Arbeit im Feld einer Punktladung Q1 , die im Ursprung des Koordinaten-systems von Bild 1.16 liegt.

Der Betrag des Feldes von Q1 lautet:21

r

QkE =

r

und verläuft in radiale Richtung. Die Projektionen des Vektors auf die jeweiligen Teilstrecken sind dann:

zyx EEE ,,Er

r

zEE

r

yEE

r

xEE zyx

rrr=== , ,

Die Arbeit für die erste Teilstrecke lautet:

∫∫∫ ===2

1

2

1

2

1

31111 ),,(x

x

x

x

x

x

x dxr

xkQQdx

r

xEQdxzyxEQWr


Mit gilt:222 zyxr ++=

. )(

2

1

2321

21

211 dxzyx

xkQQW

x

x∫ ++

=

Ergebnis f. Integration (s. Mathevorlesung bzw. Integraltafel):

2

1

212

1

2

1211

)(

1x

xzyx

kQQW

++

−=

+++

++

−=

2/12

1

2

1

2

1212

1

2

1

2

2

1)(

1

)(

1

zyxzyxkQQ

Analog erhält man für die beiden anderen Teilstrecken:

+++

++

−=

2/12

1

2

1

2

2212

1

2

2

2

2

12)(

1

)(

1

zyxzyxkQQW

+++

++

−=

2/12

1

2

2

2

2212

2

2

2

2

2

13)(

1

)(

1

zyxzyxkQQW


Damit wird die Gesamtarbeit:

)11

(21

1321rr

kQQWWWW −=++=

Fazit: Wie auch immer der Integrations-weg gewählt wird, das Ergebnis ist nur vom Anfangs- und Endpunkt abhängig.

Aus diesem Grund ist es sinnvoll, jedem Punkt im Feld einen charakteristischen Funktionswert zuzuordnen: Potential )(PΦ

Definition: Potential Φ

( ))()( 12

2

1

PΦPΦsdEP

P

−−=⋅∫rr

(1.17)

Bemerkungen:

• Minuszeichen: Wenn Feld- und Wegrichtung übereinstimmen, ist das Integral positiv (siehe Vereinbarung V3, S1). Dann aber ist das Potential des Endpunktes P2 geringer als das des Anfangpunktes P1!


Bermerkungen (Fortsetzung):

• Zu Φ(P) kann eine beliebige Konstante addiert oder subtrahiert werden: das Ergebnis des Linienintegrals ändert sich dadurch nicht.

• Im allgemeinen wählt man das Potential der Erde oder des unendlich fernen Raumes zu Null.

• Ist das Potential in jedem Raumpunkt bekannt, dann ist auch das Feld eindeutig festgelegt.

• Anstelle des Vektors kann auch die skalare Größe Φverwendet werden.

Er

Sind die Punkte P1 und P2 sehr nahe zusammen (infinitesimal), dann wird aus Gl. (1.17):

dΦsdE −=⋅rr

(a)

oder

sd

dΦE r

r−= (b)

(1.18)

Gl. (1.18) ist zunächst formal, später folgt genaue Formulierung.

Für die Potentialdifferenz in (1.17) schreibt man abgekürzt:

∫ ⋅==−2

1

1221 )()(P

P

sdEUPΦPΦrr

(1.19)


U12 bezeichnet die elektrische Spannung zwischen P1 und P2 . Diese ist also als Linienintegral der elektrischen Feldstärke definiert.

Fazit: Arbeit und Spannung

Die Arbeit, die das Feld bei Verschiebung einer Ladung Qvon P1 nach P2 verrichtet, ist gleich dem Produkt aus Ladung und elektrischer Spannung zwischen P1 und P2 .

Bemerkungen:

• Das Potential ist demnach ein Maß für die Energie, die eine positive Probeladung aufnimmt, wenn sie im Feld vom Potential Null auf ein höheres Potential verschoben wird.

• Diese Energie bezeichnet man als potentielle Energie.

Fazit: Potentielle Energie

Die potentielle Energie einer Ladung im Feld ist (bezogen auf den Nullpunkt) gleich dem Produkt aus Potential und Ladung.

oder: QU)ΦQ(ΦWpot =−= 0


Bemerkungen:

• Elektrische Spannung und Potential sind sehr nützlich, da sie direkt angeben, welche Arbeit das Feld pro Ladungseinheit verrichten kann.

• Die Einheit der Spannung ist das Volt (Volta, Graf Alessandro, 1745 - 1825, italienischer Physiker).

• Die Einheit „Volt“ ist so festgelegt, dass gilt:

also gilt:

(1.20)

3

2

sA

m kg 1 V 1 = (1.21)

• Die Einheit für Arbeit ist Joule J, und es ist 1 J = 1 VAs = 1 Nm.

• In der Elektrotechnik kommt selten die Masse direkt vor, daherist es üblich, die Einheiten Meter, Sekunde, Ampere und Volt zu benutzen.

• Die Dimension der Feldstärke ist nach Gln. (1.17) und (1.18) gleich der Dimension der Spannung dividiert durch die Dimension der Länge.

• Damit lautet die Einheit der Feldstärke: [E] = V/m, die keine eigene Bezeichnung hat.

2

2

s

mkg1Nm1VAs1VC1 ===


Felddarstellung mit Potentialen:

Man bezeichnet eine Fläche, auf der das Potential konstant ist, als Äquipotentialfläche. Gl. (1.18a) zeigt, wie diese Flächen bestimmt werden können:

Bild 1.17

0=−=⋅ dΦsdErr

Äquipotentialfläche:

mit 0≠Er

folgt daraus:

sdErr

⊥da

0)90cos( =°=⋅ sdEsdErrrr


Bemerkungen:

• Im Bild 1.17 sind Teile von vier Äquipotentialflächen darge-stellt. Ändert sich das Potential von Fläche zu Fläche um denselben Wert, kann man aus dem Abstand auf die relative Größe der Feldstärke schließen.

• Die Feldstärke ist dort größer, wo der Abstand kleiner ist.

Fazit: Leiteroberflächen

Da auf Leiteroberflächen die Feldlinien senkrecht münden, sind diese immer Äquipotentialflächen.

Beispiele: 1. Feld einer Punktladung mit Äquipotentialflächen

Bild 1.18a


2. Feld einer Parallelplattenanordnung mit Äquipotentialflächen

3. Berechnung des Potentials einer Punktladung

Benutzt wird Gl. (1.19). P2 liegt im Unendlichen, damit ist Φ(P2) = 0. Integriert man von der Kugelfläche im Abstand r´= r bis r´= ∞, dann ist

, ´´´ drErdErdEsdErrrrrrr

==⋅=⋅

denn und haben die gleiche Richtung. Ebenso ist . Mit Gl. (1.19) gilt:

)()()(´ rΦΦrΦdrEsdErr

=∞−==⋅ ∫∫∞∞ rrr

Er

sdr

´rdsdrr

=


Für E Gl. (1.6) eingesetzt liefert:

r

Qk

rQkdr

r

QkrΦ

rr

=

−==

∞∞

∫ ´

1´

´)(

2(1.23)

damit wird

. )(r

QkrΦ = (1.24)

Der Potentialverlauf der Punktladung ist in Bild 1.19 dargestellt.

Bild 1.19


Bemerkungen:

• Ersetzt man eine Kugelfläche in Bild 1.18a durch eine metallische Hohlkugel und bringt die Ladung Q auf die Oberfläche dieser Kugel, dann verteilen sich diese an der Oberfläche.

• Damit ändert sich am Feld außerhalb der Kugel nichts.• Das Innere der Kugel ist feldfrei. Damit kann die Hohlkugel

auch ausgefüllt werden.• Wenn man die Ladung gleichmäßig verteilt, kann die Kugel

aus beliebigem Material sein.• Hat die Kugel den Radius a, dann gelten für r ≥ a die Gln.

(1.6) und (1.24)• ΦK in Bild 1.19 ist das konstante Potential der Kugel.• Anstelle von Gl. (1.24) kann auch geschrieben werden:

r

aΦrΦ K=)(


1.5 Ungeladene Leiter im statischen elektrischen Feld

VersuchBringt man in das Feld einer positiv geladenen Kugel einen Metallstab (Bild 1.20),

dann zeigt sich, dass der zunächst ungeladene Stab geladen ist: Auf der Kugel zugewandten Seite negativ, auf der abgewandten positiv .

⇒ Diese Ladung wird als Influenzladung bezeichnet.(Das Vorhandensein der influenzierten Ladung kann mit einer kleinen metallischen Probekugel überprüft werden: siehe V2).

Erklärung:Die im Leiter frei beweglichen Elektronen werden durch die positiv geladene Kugel angezogen, am anderen Ende bleibt positive Ladung zurück.

1.5.1 Influenz

Bild 1.20


InfluenzkraftDie Influenz erklärt, warum die ungeladene metallisierte Kugel in Bild 1.2 von beiden geladenen Stäben angezogen wird: Die anziehende Kraft auf die influenzierte Gegen-ladung ist größer als die abstoßende Kraft am gegenüber-liegenden Ende, weil sich die Gegenladung im Bereich höherer Feldstärke befindet.

VersuchNun soll die Größe der influenzierten Ladung bestimmt werden, indem die beiden gegennamig geladenen Teile (z.B. des Stabes) noch im Feld getrennt werden. Dazu nimmt man besser zwei gleiche Metallscheiben mit isolierten Griffen (Bild 1.21):

Bild 1.21a

Ist die Doppelscheibe oder das Doppelplättchen genügend dünn, dann wird das homogene Feld nicht gestört, solange die Scheiben zusammen sind und senkrecht zum Feld liegen.


Verändert man nun in diesem Versuch einmal die Scheiben-fläche A, zum zweiten die Feldstärke E, dann stellt man fest:

Anschließend werden die Scheiben im Feld getrennt:

Bild 1.21b

und aus dem Feld herausgebracht:

Bild 1.21c

Zum Schluss wird die Ladung auf einem der Plättchen gemessen.

AQEQ ii ∝∝ sowie ,


Die Proportionalitätskonstante ε0 für den leeren Raum (Index 0) hat den Wert:

Zusammengefasst ergibt dies:

EAQi

r

0ε= (1.25)

(1.26)

Dieser Wert der Permittivität (Dielektrizitätskonstante, Influenz-konstante, u.a.) gilt auch für den luftgefüllten Raum.

Aufgrund der Versuchsanordnung gilt Gl. (1.25) zunächst nur im homogenen Feld. Für den Fall eines inhomogenen Feldes machen wir A genügend klein:

AEQi ∆=∆r

0ε (1.27)

Werden beide Seiten durch ∆A dividiert und der Grenzwert ∆A→0 gebildet:

EFi

r

0ερ = (1.28)

mit ρFi der Flächendichte der influenzierten (oder verschobenen) Ladung.

mV

sA10854,8 12

0−⋅=ε


1.5.2 Der Faradaysche Becherversuch

VersuchEin ungeladener Metallkasten (Bild 1.22), der auf einem isolie-renden Fuß aufgestellt ist, besitzt auf seiner Oberseite eine kleine Öffnung:

Bild 1.22

Durch die Öffnung wird eine kleine positiv geladene Metallkugel in das Innere des Kastens gebracht, ohne die Wand zu berühren (Bild 1.22 a,b).

Beobachtung:Es wird auf der Innenseite des Kastens eine negative und außen eine positive Ladung influenziert (verschoben) (Bild 1.22b).


Nun wird das elektrische Feld außerhalb des Kastens (z.B. mit einer Probeladung wie in Bild 1.8) gemessen.

Beobachtung: Das Feld außerhalb des Kastens ist unabhängig vom Ort der Kugel innerhalb des Kastens.

Jetzt soll die Kugel den Boden des Kastens berühren (1.22c).

Beobachtung: Außerhalb des Kastens ändert sich nichts. Die Kraftwirkung bzw. das Feld bleibt gleich.

Jetzt wird die Kugel herausgezogen (d): Das Feld ändert sich wieder nicht, allerdings ist die Kugel nicht mehr geladen.

Erklärung:

Beim Berühren gleichen sich die Ladungen der Kugel und des Kasteninneren aus. Die Ladung auf dem Kastenäußeren bleibt erhalten. D.h. sie kann sich nicht mehr ausgleichen, da die Ladung innen verschwunden ist.

Fazit:

Die Größe der influenzierten Ladungen auf der Innen-und Außenseite des Kastens ist betragsmäßig jeweils gleich der Größe der Ladung der Kugel.


Das Ergebnis des Versuchs kann auch so gedeutet werden:

Die Kugel gibt bei Berührung im Kasten ihre ganze (hier: positive) Ladung ab. Die Ladung wandert (wg. gegenseitiger Abstoßung) nach außen auf die Oberfläche des Kastens. Der Innenraum eines leitenden Hohlkörpers ist feldfrei.

Modellvorstellung: „Positive Ladungsträger“

Anschließend wird der Versuch wiederholt (Bild 1.22e), indem in den bereits geladenen Kasten eine erneut auf den gleichen Wert geladene Kugel eingeführt wird. Diese soll wieder den Boden (innen) berühren.

Ihre gesamte Ladung fließt auf den Kasten ab.Die entladene Kugel kann wieder herausgenommen werden.Bei jedem erneuten Einführen steigt die Ladung des Kastens an.

Dieses Prinzip führte zur Konstruktion des Hochspannungs-generators nach van de Graf (van de Graf, Robert, Jemison. 1901-1967, amerikanischer Physiker)

Bild 1.23


1.6 Die elektrische Verschiebungsdichte

1.6.1 Fluss eines Vektorfeldes

Zunächst soll für drei verschiedene Flächen A1, A2, A3 der Fluss des Feldes zweier Punktladungen (Bild 1.24) betrachtet werden:

Bild 1.24

Die Flächen können offen oder geschlossen sein.

Der Fluss kann anschaulich durch die Zahl der Feldlinien,

die durch die Fläche treten, angegeben werden.


Vereinbarung

Bei einer geschlossenen Fläche wird der Fluss positiv

gezählt, wenn die Feldlinien aus der Fläche heraustreten.

Beispiele:

Der Fluss durch A2 ist demnach positiv zu zählen.

Würde A2 um die negative Ladung gelegt, hätte der Fluss einen

negativen Wert.Durch A3 treten genau gleich viele Linien ein und aus. Der

Fluss durch diese Fläche ist somit Null.

Für offene Flächen muss ein Richtungspfeil Zψ vorgegeben werden, in dessen Richtung der Fluss positiv gezählt wird:

Bild 1.25


Zur Berechnung des Flusses ψ in einem homogenen Feld ist der Fluss durch die Fläche A gegeben durch (Bild 1.25):

Br

, ABr

=ψ (1.29)

denn die Zahl der Feldlinien durch eine senkrechte Fläche ist bestimmt durch die Feldliniendichte x Fläche,da die Feldliniendichte ein Maß für den Betrag des Feldvektors, hier B, ist.Außerdem ist die Zahl der Feldlinien durch A´ gleich der Zahl der Feldlinien durch die Fläche A.

Mit und Einführung eines Flächenvektors gilt:Ar

ABrr

⋅=ψ (1.30)

Der Betrag von ist gleich der Fläche A, die Richtung ent-spricht der Flächennormalen.

Ar

Ist das Feld inhomogen, wie z.B. in Bild 1.24, dann zerlegt man die Gesamtfläche in kleine Teilflächen mit den Flächen-vektoren (i=1,2, ..., n).

iA∆

iAr

∆

Im Bereich einer solchen Teilfläche sei das Feld homogen.

)cos(αAA =′


Durch Aufsummieren aller Teilflüsse erhält man:

∑=

∆⋅=n

iii AB

1

rrψ (1.31)

Nun wird wieder der Grenzwert für n gegen unendlich gebildet und man erhält:

∫∫ ⋅=)( A

AdBrr

ψ (1.32)

Die Richtung von ist nach Vereinbarung bei geschlossenen Flächen stets die nach außen zeigende Normalenrichtung.

Bei offenen Flächen steht auf der Seite, aus der Zψ heraus-zeigt (vgl. auf A3 in Bild 1.24).

Adr

Adr

iA∆


1.6.2 Der Fluss (Erregung) des elektrischen Feldes

Durch alle bisherigen Versuche ist klar, dass zwischen dem Zustand des Raumes (= Feld) und den Ladungen ein ursächlicher Zusammenhang besteht.Doch die zunächst vermutete Fernwirkung (CoulombschesGesetz) ist tatsächlich eine Nahwirkung von Raumpunkt zu Raumpunkt nach Faraday:

Fazit:

Nicht die Ladungen, sondern der Raum ist der Träger der elektrischen Kräfte. Diese pflanzen sich, beginnend bei den Ladungen, von Punkt zu Punkt im Raum fort.

(Faraday, Michael, 1791 - 1867, engl. Physiker und Chemiker)

Aus dieser Nahwirkungstheorie ergeben sich einige Fragen:

• wie lange dauert es, bis die Kraftwirkung von einer Ladung biszu einem bestimmten Punkt im Raum gelangt?

• welche Bedeutung hat die sich in diesem Raum befindende Materie?

Für die Beantwortung dieser Fragen ist es noch zu früh, abereine weitere Beschreibung für das elektrische Feld macht die Antwort vorläufig noch nicht erforderlich: die el. Erregung oder elektrische Flussdichte oder elektrische Verschiebungsdichte .


Dazu betrachten wir nochmal Bild 1.21 a:

Quellen

Senken

Quellen

Senken

Damit folgt, dass das Feld unterhalb der Doppelscheibe, das ursprünglich von der oberen Platte ausging, nun in der gleichen Form von der Unterseite der unteren Scheibe ausgeht.

Gl. (1.27) beschrieb die Größe einer derartigen kleinen Quelle (im inhomogenen Feld):

, )(

0

)(∫∫∫∫ ⋅==A

i

A

Fi AdEQdArr

ερ

wobei beide Seiten über die gesamte Fläche, auf der die Ladungen sitzen, integriert werden.

(1.27*)


Vergleicht man Gl. (1.27) nun mit Gl. (1.32):

, )(∫∫ ⋅=A

AdBrr

ψ

dann erkennt man, dass eine neue Größe

(1.33)

als Fluss des Vektors gedeutet werden kann. Diesen neuenVektor nennt man elektrische Verschiebung(sdichte) oder elek-trische Erregung , die in jedem Punkt des Raumes als Ursachedes elektrischen Feldes angesehen werden kann.

Er

Der Betrag der elektrischen Verschiebung ist gleich derFlächenladungsdichte der influenzierten Ladung derDoppelscheibe:

Aus dem Faradayschen Becherversuch wissen wir, dass die influ-enzierte Gesamtladung auf der Außenseite einer geschlossenenFläche gleich der eingeschlossenen Ladung Q ist (siehe Gl. (1.27)).

EDrr

0ε=

Dr

Er

DFi

r=ρ


Für den Gesamtfluss des Vektors durch einegeschlossene Fläche gilt dann:

Dψ Dr

, QAdDD =⋅= ∫∫rr

ψ (1.34)

wenn das Flächenelement beliebig zum Feld liegt. Gl. (1.34)ist die mathematische Formulierung des Satzes von Gauß.

Gaußscher Satz:

Durch eine beliebige geschlossene Fläche ist der Gesamtfluss der elektrischen Verschiebung (Erregung) gleich dem Wert der Ladung innerhalb der Fläche.

Feldquellen:

Bild 1.26a

a) Einzelladungen

(Gauß, Carl Friedrich, 1777-1855, deutscher Mathematiker, Astronom und Physiker)

Adr


b) Raumladung

Bild 1.26b

Für den Fall a) gilt:

∑=

=n

iiQQ

1

(1.35)

Für Fall b) gilt

∫∫∫∫∫∫∑ ==∆=zyxV

ii dxdydzdVVQ ρρρ (1.36)

Ladungen außerhalb der Fläche A dürfen nicht berücksichtigt werden.


Beispiel:Bestimmung der Konstanten k im Coulombschen Gesetz.

Dazu soll Gl. (1.34) auf das Feld einer Punktladung oder einergeladenen Kugel mit der Ladung Q angewandt werden:

Bild 1.27

. 00 ∫∫∫∫ ∫∫ =⋅=⋅= dAEAdEAdDQ εεrrrr

Weiterhin ist der Betrag des el. Feldes überall auf der Kugel-schale konstant, d.h. E ist keine Funktion von Θ und Φ (d.h. den beiden Winkel der Kugelkoordinaten).

Als geschlossene Fläche A um diesen Körper wählen wir wegender Kugelsymmetrie eine konzentrische Kugelschale.Auf so einer Schale haben die Vektoren die gleicheRichtung. Mit dem Satz von Gauß gilt:

AdDErrr

,,


Daher: E kann vor das Integral gezogen werden! Damit gilt:

2

00 4∫∫ == rEdAEQ πεε

oder

204

1

r

QE

πε=

r(1.37)

Durch Vergleich mit Gl. (1.6) erhält man:

04

1

πε=k

Weitere Rechenbeispiele dazu werden in den Übungen gebracht!


1.7 Die Kapazität

1.7.1 Begriff und Berechnungsgleichung

Bei vielen Anordnungen, in denen ein elektrisches Feld vorhan-den ist, interessieren oftmals nur Größen, die das Gesamtfeld von außen her charakterisieren: z.B. die elektrische Spannung und die elektrische Ladung.Beides sind integrale Größen, d.h. sie werden durch Aufsum-mieren des Feldverhaltens längs einer Linie bzw. auf einerGeschlossenen Fläche ermittelt.

Welcher Zusammenhang besteht zwischen U und Q am Beispiel zweier paralleler Platten (Bild 1.33)?

Bild 1.33

Annahmen: die Ladungen seien entgegensetzt gleich groß, das Feld zwischen den Platten sei homogen, Streufelder außerhalb werden vernachlässigt (Annahmen treffen zu, wenn d <<l).


Die Spannung zwischen den Platten beträgt dann

dEdsEsdEUd

==⋅= ∫∫0Linie

rr

und der Gaußsche Satz f. d. positiv geladene Platte ergibt:

. 0 AEεADQAdDQ ==⇒⋅= ∫∫rr

Die Größe E eliminiert ergibt:

. 0 Ud

AQ

ε= (1.39)

Der Proportionalitätsfaktor zwischen Q und U wird mit Cbezeichnet und Kapazität genannt.

Definition der Kapazität: Q = C U (1.40)

Bemerkungen:• Die Kapazität ist nur von der Geometrie und von der Materie

im Feldraum abhängig.• Erhöht man die Spannung, erhöht sich auch die Ladung.• Bei vorgegebener Spannung wird die Ladung umso größer, je

größer die Kapazität (= Speichervermögen) ist.


Kapazität einer allgemeinen Anordnung aus 2 leitenden Körpernim freien Raum:

Bild 1.34

Die beiden Körper haben die entgegengesetzt gleich große Ladung Q. Dann beginnen und enden alle Feldlinien auf dem entsprechenden Körper.

Die Kapazität erhält man nun aus Gl. (1.40) durch Einsetzen derGln. (1.34) und (1.19):

∫

∫∫

⋅

⋅

==b

a

A

sdE

AdD

U

QC

rr

rr

(1.41)

Dies ist die allgemeine Bestimmungsgleichung der Kapazität.


Bemerkungen:

• Legt man die geschlossenen Fläche A um den Körper mit derpositiven Ladung (Bild 1.34), dann ist das Linienintegral vompositiven zum negativen Körper zu berechnen (von a nach b), damit sich für C stets ein positiver Wert ergibt.

• Die Dimension der Kapazität ist gegeben durch:

2

42

ML

TI

]dim[

]dim[]dim[ ==

U

QC

• Die (abgeleitete) Einheit ergibt sich zu:

V

sA

][

][][ ==

U

QC

• Da die Größe Kapazität sehr oft gebraucht wird, besitzt sie eineeigene Einheit: das Farad (nach Faraday).

• 1 F wird für gewöhnlich nicht erreicht. Beispiel: d = 1 mm, A = 10 cm2

pF85,8m10

m10

mV

sA1085,8

3

2312

0 =⋅⋅==−

−−

d

AC ε

Liegt zwischen den Platten eine Spannung von 100 V an, dannträgt jede Platte eine Ladung von:

As1085,8V100pF85,8 10−⋅=⋅== CUQ


1.7.2 Kondensatoren und Beispiele für Kapazitätsberechnungensiehe Übungen!

1.7.3 Zusammenschalten von Kondensatoren

Parallelschaltung

Kondensatoren werden unabhängig von ihrer tatsächlichen Bau-form symbolisch als Parallelplatten gezeichnet.Bei der Parallelschaltung (Bild 1.43) werden die Platten mitgleichnamigen Ladungen verbunden. Weiterhin liegt an allenKondensatoren C1 ... Cn stets die gleiche Spannung U an.

Bild 1.43

Damit ist die Ladung der oberen Platte des i-ten Kondensator ge-geben durch Qi = U Ci . Damit wird die Gesamtladungaller zusammengeschalteten Platten einer Seite:

ges

n

ii

n

iiges CUCUQQ === ∑∑

== 11


Daraus ergibt sich für die Gesamtkapazität der Parallelschaltung:

(1.46)

In Worten: Bei der Parallelschaltung addieren sich die Kapazitäten der einzelnen Kondensatoren zur Gesamtkapazität.

Reihenschaltung

Sind die Kondensatoren vor dem Zusammenschalten ungeladen,muss nach dem Zusammenschalten und nach Aufbringen einerLadung über die gemeinsame Zuleitung jede der Platten den gleichen Ladungsbetrag aufweisen.

Bild 1.44

Die jeweils miteinander verbundenen Platten tragen entgegen-gesetzt gerichtete Ladungen. Die Feldstärke ist hier von links nach rechts gerichtet, d.h. die Spannungspfeile zeigen auch von links nach rechts. Die Gesamtspannung ist die Summe der Einzelspannungen :

i

iC

QU =

∑=

=n

iiges CC

1


Damit ergibt sich für die Reihenschaltung:

. 1

1

11 ges

n

i i

n

ii

CQ

CQUU === ∑∑

==

So wird die Gesamtkapazität für die Reihenschaltung

(1.47)

In Worten: Bei der Reihenschaltung von Kondensatoren addierensich die Kehrwerte der Kapazitäten der einzelnen Kondensatoren zum Kehrwert der Gesamtkapazität.

Bemerkungen:

• Voraussetzung für die Gln. (1.46) und (1.47) ist, dass sich dieFeldformen der Kondensatoren durch das Zusammenschaltennicht ändern.

• Eine Änderung kann erfolgen, wenn sich die Streufelder gegenseitig beeinflussen.

Beispiel:

Bild 1.45

∑=

=n

i iges CC 1

11


1.8 Energie und Kräfte im elektrostatischen Feld

1.8.1 Energie und Energiedichte

Vorüberlegungen:

In der zweiten Vorlesung wurden durch Reiben Ladungen ge-trennt. Da die entgegengesetzten Ladungen sich anziehen, mußmechanische Arbeit zum Trennen der Ladungen aufgebracht werden.Nach dem Prinzip der Energieerhaltung entspricht diese mecha-nische Energie der elektrischen Feldenergie (die im elektrischen Feld gespeichert ist).

Energie im Feld von Punktladungen

Die Arbeit, die verrichtet werden muss, um eine Ladung Q2 ausdem Unendlichen auf den Abstand r12 an eine Ladung Q1 heran-zubringen entspricht der im Feld aufgenommenen Energie WE:

[ ] , )()( 11212

22

1212

∞−+=

′⋅−=⋅=−= ∫∫∞∞

ΦrΦQ

rdEQsdEQWWrr

E

rrrr

also

. 4 120

21

r

QQWE

πε= (1.48)

Man beachte, dass gemäß Vereinbarung die vom Feld verrichteteArbeit positiv gewertet wird.


Wird nun eine weitere Ladung Q3 aus dem Unendlichen in das Feld von Q1 und Q2 herangeholt, muss Arbeit gegendie Gesamtkraft aufgebracht werden. Diese erhält man durch lineare Überlagerung der Einzelkräfte. Die Gesamtarbeit ergibt sich durch Addition der Teilarbeiten, wenn jeweils nur Q1 oder Q2 vorhanden wäre.

z.B. 4 Ladungen Q1, Q2, Q3, Q4:

, 4

1

34

43

24

42

23

32

14

41

13

31

12

21

0

+++++=

r

QQ

r

QQ

r

QQ

r

QQ

r

QQ

r

QQWE

πε

damit gilt für n Ladungen mit den Abständen rik zwischen Qi und Qk:

. 4

1

2

1

4

1

1 10

1

1 10∑∑∑∑

=≠=

−

= +=

==n

i

n

ikk ik

kin

i

n

ik ik

kiE

r

QQ

r

QQW

πεπε (1.49)

Der zweite Teil von Gl. (1.49) beruht darauf, dass z.B.

21

12

12

21

r

QQ

r

QQ= gilt.


Fazit:

Die elektrostatische Gesamtenergie aus n Ladungen ist gleich der Summe der Energie aller Ladungspaare.

Damit spielt es auch keine Rolle, in welcher Reihenfolge die La-dungen herangeholt werden.

Energie eines Kugelkondensators

Zunächst soll die Energie des Feldes ohne die äußere Kugel be-rechnet werden. Dazu wird das Potential der inneren Kugel(Radius r1, Ladung q) benötigt:

104)(

r

qqΦ

επ=

Durch Vergrößerung der Ladung q um eine kleine Ladung dq, die aus dem Unendlichen herbeigeschafft wird, wird die Energie des Feldes um dWE erhöht:

qr

qqqΦdWE d

4d)(

10επ==

Die Gesamtenergie erhält man durch Aufsummieren aller dWE

2

10010

´

0 8

1d

4

1d Q

rqq

rWW

QW

EE

E

επεπ=== ∫∫

(1.50)


Die Energie des Kugelkondensators mit der äußeren Hohlkugel(Radius r2) könnte nun berechnet werden durch Transport von Gegenladungen (-dq) aus dem Unendlichen an den Ort der Innenseite der äußeren Kugel.

Durch Überlegen und Anwendung von Gl. (1.50) geht es leichter.Zunächst wird die große, ungeladene Kugel (r2) eingesetzt (Bild 1.47a):

Bild 1.47a

Diese bildet Influenzladungen und das Feld im Außenraum bleibt unverändert. Das Feld im Außenraum r > r2 wird durchLadungen der Gesamtgröße Q auf der Außenflächeder äußeren Hohlkugel mit der Energie (Gl. (1.50)) erzeugt:

20

2

8 r

QWE

επ=


Beim Kugelkondensator ist jedoch das Feld im Außenraum Null. Daher muss die Energie des im Außenraum durch Influenz erzeugten Feldes abgezogen werden:

−=

210

2

11

8 rr

QW KugelE

πε(1.51)

Damit erhält man die Anordnung in Bild 1.47b,

wobei man sich vorstellen kann, dass die Ladungen der Außen-seite durch einen Draht zum Potential Null („Masse“) geleitetwerden. Mit der Spannung im Kugelkondensator (s. Übung)

−=

210

11

4 rr

QU

επ(1.42*)

Bild 1.47b


wird damit

. 2

1

2

1

2

22

C

Q CUU

QWEK ===

Energiespeicherung im beliebigen Kondensator

Es soll nun gezeigt werden, dass Gl. (1.51a) für beliebige Kondensatoranordnungen gilt. Dazu wird nochmals Bild 1.34 verwendet:

(1.51a)

Die Ladungen der Leiter seien q bzw. -q. Dann herrscht die Span-nung . Dem einen Leiter wird dann die Ladung dq ent-zogen und zum anderen transportiert. Der dazu erforderliche Energieaufwand beträgt:

CqU =

qqC

qqUdWE d1

d)( ==

+ q - q


Der gesamte Energie- oder Arbeitsaufwand bis zum Aufladenauf die Ladung Q beträgt:

2

00 2

1d

1´d Q

Cqq

CWW

QW

EE

E

=== ∫∫

Gespeicherte Energie im Kondensator

UQC

QCUWE

2

1

2

1

2

1 22 ===

(1.52)

Bestimmung der Energiedichte

Felder sind im allgemeinen inhomogen. Damit ist auch die Feld-energie inhomogen verteilt. Die Energiekonzentration kann durchdie Energiedichte beschrieben werden. Zur Bestimmung sollenzwei dünne Metallscheiben senkrecht zu den Feldlinien

eingebracht werden.

Bild 1.48


Diese bilden einen kleinen Plattenkondensator mit dem Volumen∆V = ∆A ∆l . Sind die Abmessungen klein genug, ist in ihm das Feld homogen. Der Energieinhalt ist mit den Gln. (1.52), (1.34) und (1.19) gegeben:

VEDlEADWE ∆=∆⋅∆⋅=∆rrrrrr

2

1

2

1

Die Energiedichte (Energie pro Volumen) ergibt sich zu:

20

2

1

2

1EED

V

Ww E

E ε==∆

∆=

rr(1.53)

1.8.2 Bestimmung von Kräften aus der Energie

Prinzip der virtuellen Verscheibung: Plattenabstand wird um dzvergrößert,

Zur Anwendung der elektrostatischen Energie soll die Kraft aufdie Platten eines Plattenkondensators berechnet werden, der dieKapazität C besitze und mit Q aufgeladen sei. Da die Platten entgegengesetzt aufgeladen sind, ziehen sie sich mit der Kraft Fan.

wobei von außen die Arbeit verrichtet werden muss.W∆

zFW ∆=∆


Die Feldenergie vor der kleinen Verrückung lautete (Gl. (1.52)):

C

QWE

2

2

=

Da die Ladung auf den Platten gleich bleibt, die Kapazität sichjedoch ein wenig ändert, gilt für die Zunahme der Feldenergie:

)1

(2

1 2

CQWE ∆=∆

Gemäß dem Energiesatz (aufgebrachte Arbeit = Erhöhung derFeldenergie) mit gilt:WWE ∆=∆

( )z

CQF

∆

∆=

1

2

1 2r

Aus Gl. (1.39) folgt

A

z

CA

d

C 00

1

1

εε

∆=

∆⇒=

(*)

Setzt man dies in (*) ein, folgt für die Kraft auf die Kondensator-platten:

A

QF

0

2

2

1

ε=

r(1.54)

1.8.3 Elektrostatische Spannungsmesser: nächste Vorlesung V7

1.8.4 Der elektrische Dipol: nächste Vorlesung V7


1.9 Materie im elektrischen Feld

1.9.1 Die Feldstärke im isolierenden Stoff

Feld und Materie beeinflussen sich gegenseitig. Im Fall von lei-tenden Körpern wurde die Influenz bereits besprochen. Zur Be-trachtung von isolierenden Stoffen im Feld diene ein Platten-kondensator mit Spannungsmesser (Bild 1.52):

Bild 1.52 a) b) c)

Versuch

Zunächst (a) sei der Raum zwischen den Platten leer bzw. luft-gefüllt. Die Spannung habe den Wert Ua. Nun wird eine Isolatorplatte (Glas, Kunststoff) in das Feld geschoben (b), ohne eine der Kondensatorplatten zu berühren. Die Spannung sinkt auf den Wert Ub. Zieht man die Isolatorplatte wieder heraus,


stellt sich der alte Zustand (Spannung Ua) wieder ein. Zum Vergleich wird nun eine Platte gleicher Stärke aus leitendem Material eingebracht (c). Es stellt sich eine Spannung Uc ein, die noch kleiner ist als Ub.

Damit gilt: cba UUU >>

In allen drei Fällen ist ein Zu- oder Abfluss von Ladungen nicht erfolgt, d.h. die Ladung oder Ladungsdichte auf den Platten bleibt erhalten und ist somit gleich.

Abgesehen von Randeffekten ist die elektrische Feldstärke in denmateriefreien Räumen entsprechend in allen Fällengleich groß.

0ερFE =

Für (a) und (c) kann man die Spannung sofort angeben werden, da im Leiter kein Feld herrscht:

dEU a 0= )(0 adEU c −=

Im Fall (b) muss gegenüber (c) noch durch den Isolator einBeitrag hinzukommen, da Ub > Uc ist:

aEadEU ib +−= )(0

Aufgrund der festgestellten Reihenfolge gilt:

)()( 000 adEaEadEdE i −>+−>


Daraus folgt unmittelbar (linke Seite):

ii EEaEaE >⇒> 00 und (rechte Seite)

0>iE

FazitBei gegebener Ladung ist die Feldstärke im materie-erfüllten Raum stets kleiner als im Vakuum.

Da die Isolatoren im Gegensatz zu elektrischen Leitern von einemelektrischen Feld durchsetzt werden können, bezeichnet man die-se als Dielektrika .Im Fall der Leiter ist bekannt, dass so viele Ladungen influenziertwerden, dass das Feld im Leiter zu Null wird.Im Fall des Dielektrikums müssen auch Oberflächenladungen an-genommen werden. Deren Dichte muss jedoch kleiner sein, da janoch ein Feld Ei erhalten bleibt. Dieses Feld Ei ist kleiner als das Feld außerhalb (s. Fazit).Die im Dielektrikum erzeugten Ladungen heißen Polarisations-ladungen mit der Dichte ρFpol:

Bild 1.53


Der Gaußsche Satz wird nun angewandt auf den grauen Bereichin Bild 1.53 und man erhält für das Feld im Dielektrikum:

PolFFii ED ρρε −==rr

0 (1.58)

Analog zu der bekannten Beziehung (V5) ρF = D setzt man:

PPolF

r= ρ

Macht man den Übergang zu den entsprechenden Vektoren, er-hält man für Gl. (1.58):

(1.59)

(1.60)

Bemerkungen:

• Aus Gl. (1.59) geht hervor, dass sich der elektrische Gesamt-fluss, der von den Kondensatorplatten ausgeht, im Inneren desDielektrikums aufteilt in eine innere Flussdichte und die Polarisation .

• Der Vektor hat die Richtung von den negativen zu denpositiven Polarisationsladungen.

• Gl (1.59) ist von allgemeiner Gültigkeit.• Die Polarisation ist im einfachsten Fall proportional dem

im Inneren des Dielektrikums herrschenden elektrischen Feld:

iDr

Pr

Pr

PDD i

rrr+=

Pr

ii DEP χεχ == 0

r


Die Konstante χ heißt elektrische Suszeptibilität und beschreibt die Eigenschaften der Materie des Dielektrikums.

Makroskopisch ist es oftmals einfacher, das Verhalten des Dielektrikums und des materiefreien Raumes im Feld durch den Fluss zu beschreiben. Die Verringerung der Feldstärke im Isolator wird dadurch berücksichtigt, dass anstelle vongeschrieben wird nach Maxwell:

Dr

EDrr

0ε=

.0 EED r

rrrεεε == (1.61)

(Maxwell, James Clerk, 1831 - 1879, britischer Physiker)

Mit dieser Gesamtflussdichte sind dielektrische Ladungen verknüpft, die vorwiegend auf Oberflächen von Leitern frei beweglich zu finden sind. Polarisationsladungen tauchen in dieser Darstellung nicht auf, was ein großer Vorteil ist. Der Zusammenhang lautet:

Damit wird:

χε +=1r (1.62)

Man bezeichnet ε als Permittivität oder Dielektrizität und εr alsrelative Permittivität.

iriiii DDDDPDDrrrrrrr

εχχ =+=+=+= )1(


Einige relative Permittivitäten sind Tab. 1.1 angegeben.

Stoff εεεε r Stoff εεεε r

Luft 1,00059 Quarz 3,8 ... 5Petroleum 2,0 Glas 5 ... 7Polyäthylen 2,3 Keramik 9,5 ... 100Polystyrol 2,6 Diamant 16,5Gummi 2,5 ... 3,5 Nitrobenzol 36,0Bernstein 2,8 dest. Wasser 81,0

Bemerkungen:

Wird ein Kondensator mit Dielektrikum gefüllt, erhöht sich seine Kapazität um den Faktor εr gegenüber Luft; denn bei konstant gehaltenem Fluss verringert sich die Feldstärke um denselben Faktor.

Will man also kleine Kondensatoren mit großer Kapazität bauen,benötigt man ein Dielektrikum mit großer relativer DK. Gleich-zeitig ist auch eine hohe Durchschlagfestigkeit nötig, um die„Plattenabstände“ klein zu halten.

Es gibt Stoffe, bei denen ε r von der Richtung des Feldes abhängt.In diesen Fällen sind die Gln (1.60) bis (1.62) nicht anwendbar.

ED r

rrεε 0=


1.8.3 Elektrostatische Spannungsmesser

Anwendung: Kraftwirkung zwischen geladenen Leitern

Die Kraftwirkung auf geladene Leiter (siehe 1.8.2) kann zumBau von elektrostatischen Spannungsmessern („Elektrometer“)verwendet werden (Bild 1.49).

A: Anschlüsse

I: Isolator

G: Goldplättchen

P: Platinschleife

D: Drahtbügel

Prinzip: Die Anschlussklemmen werden mit der zu messendenSpannung verbunden. Zur Messung z.B. der Spannung einesKondensators wird A1 mit dem oberen und A2 mit dem unterenKondensatoranschluss verbunden.Blättchenelektrometer (Bild 1.49a): Vom Kondensator fließt La-dung auf das Elektrometer. Beide Plättchen G erhalten die glei-che Ladungssorte und stoßen sich ab. Je größer die La-dungsmenge, desto stärker die Kraft auf die Blättchen.

Bild 1.49

a) b)


Gleichgewicht stellt sich durch die Schwerkraft ein. Ähnlich ar-beitet das Zeigerelektrometer (siehe Buch v. R. Pregla).Zweifadenelektrometer: Eine elastisch gespannte LeiterschleifeP wird über A1 und A2 aufgeladen. Die Drahtbügel D sind diesergegenüber negativ aufgeladen. Zwischen P und D ergibt sich eineAnziehungskraft und die Leiterschleife wird breiter.Spannungsmessung: Am jeweiligen Elektrometer und dem zumessenden Objekt (Kondensator) liegt die gleiche Spannung an(Parallelschaltung). Die Auslenkung ist proportional zur Span-nung.Problem: Ein Elektrometer hat eine kleine Kapazität. Diese ändert sich mit zunehmendem Ausschlag. Ist die Eigenkapazitätnicht sehr viel kleiner als die zu messende, wird das Er-gebnis verfälscht. Sind beide Kapazitäten bekannt, kann man dieVerfälschung herausrechnen (= Fehlerkorrektur).

1.8.4 Der elektrische Dipol

Ein elektrischer Dipol besteht aus zwei Punktladungen +Q und-Q im festen Abstand d (Bild 1.50a).

Bild 1.50a


Bestimmung des Dipolpotentials

Man kann sich vorstellen, dass die Ladungen durch einen festenisolierenden Stab miteinander verbunden sind. Das zugehörigeFeldbild ähnelt Bild 1.12a:

Bild 1.12a*

Das Potential im Aufpunkt P könnte durch lineare Überlagerungder Potentiale zweier Punktladungen sofort bestimmt werden:

. 11

4)(

210

−=

rr

QPΦD

πε

Aber es geht auch anders. Mit Gl. (1.49) für drei Ladungen +Q,-Q und Q1 in P gilt f. d. Feldenergie:

20

1

10

11

4

)(

4 r

QQ

r

QQWQΦ ED

επεπ

−+==

Zur Erinnerung: Q1 wird erst in Feld von Q gebracht, dann indas von -Q.

(*)


Division durch Q1 und Zusammenfassen ergibt das bekannteErgebnis (*):

−=

210

11

4)(

rr

QPΦD

επ(1.55)

Annahme: P weit entfernt (r >> d, „Fernfeldnäherung“)Nun soll P weit entfernt sein vom Dipol, d.h. der Abstand d << r.Gleichzeitig heißt das auch, dass r1 und r2 nahezu parallelverlaufen (Bild 1.50b):

Bild 1.50b

Jetzt kann für r1 und r2 unter Berücksichtigung des Winkelsgeschrieben werden:

ϑ

, cos 2

cos 2

21 ϑϑd

rrd

rr +≈−≈

wobei r den Abstand der Mitte des Dipols zu P bezeichnet.


Gibt man nun den Ort von P durch einen Vektor an, und de-finiert ein Dipolmoment durch , dann gilt:

rr

dQprr

=

Den Klammerausdruck in Gl. (1.55) mit diesen Näherungenersetzt, ergibt:

22

2

21

12

21

cos

cos2

cos

)cos2

()cos2

(

cos11

r

d

dr

d

dr

dr

d

rr

rr

rr

ϑ

ϑ

ϑ

ϑϑ

ϑ

≈

−

=

+−

≈−

=−

204

cos),(

r

QdrΦD

πε

ϑϑ ≈

Achtung: das Dipolpotential ist proportional r -2, da im Zähler dieDimension einer Länge (d) steht!

20

30

30 4

cos

4

cos

4 r

dQ

r

rp

r

rpΦD

πε

ϑ

πε

ϑ

πε==

⋅=

rrrr

(1.56)

Wichtig: zeigt von -Q zu +Q.pr

Im Nenner vor der zweiten Näherung kann der rechte Teil ver-nachlässigt werden, da und r >> d ist.Für das Dipolpotential gilt mit diesen Näherungen:

1cos ≤ϑ


Dipol im elektrischen Feld:

Nun befinde sich ein Dipol (Dipolmoment ) im homo-genen elektrischen Feld (Bild 1.50c):

Bild 1.50c

Dieses wirkt mit zwei entgegengesetzt gleichgroßen Kräftenauf den Dipol. Der Abstand der Kräfte ist . DieseKräfte werden als „Kräftepaar“ bezeichnet, die einem Dreh-moment entsprechen. Damit wird der Dipol um eine Achse ge-dreht, die senkrecht auf der Ebene des Kräftepaars steht.Das Drehmoment ist also ein Vektor, mit dem Betrag„Kraft x Hebelarm“, dessen Richtung senkrecht zu beidenVektoren ist. Sein Richtungssinn lässt sich mit der Schrauben-regel (s.u.) bestimmen.

Fr

dQprr

=

αsind


Veranschaulichung eines Drehmoments durch das Kräfte-paar im Abstand d:

dTr

Fr

Bild 1.51

Aus Bild 1.50c geht hervor:

ααα sinsinsin EpdEQdFTd

rrrrr===

Dies wird verkürzt und aussagekräftiger folgendermaßen ge-schrieben:

EpTd

rrr×= (1.57)

Dieses Vektorprodukt zweier Vektoren ergibt wieder einenVektor, dessen Betrag dann maximal ist, wenn der Winkel zwi-schen beiden Vektoren 90° ist, und Null wird, wenn die Vektorenparallel sind (d.h. Sinus). Dessen Richtung wird gebildet,indem der erste Vektor (hier ) mit den Fingern der rechtenHand auf kürzestem Weg in den zweiten Vektor gedreht wird(hier ). Dann zeigt der Daumen in Richtung des Produktvektors(= Schraubenregel).

pr

Er


1.9.2 Grenzfläche zwischen zwei Dielektrika

In Kapitel 1.9.1 wurde gezeigt, dass die elektrische Feldstärkeam Übergang von Luft zum Isolator sprunghaft kleiner wirdvon auf .Zur Erinnerung sei nochmals Bild 1.53 gezeigt:

Bild 1.53*

Da der Einfall des Feldes auf die Grenzfläche senkrecht ist,bleibt in diesem Beispiel die Richtung erhalten.Im Bild 1.54 ist der allgemeine Fall gezeigt, in dem die Feld-linien nicht unter 90° auf die Grenzfläche auftreffen,

Bild 1.54a

0E rE ε/0


sondern zur Flächennormalen einen Winkel aufweisen.1α

Unter der Annahme, dass im Medium 2 Betrag und Richtung derel. Feldstärke anders sind als in Medium 1 (Bild 1.54a), müssenan der Grenzfläche von 1 auf 2 folgende allgemeingültige Be-dingungen für elektrostatische Felder erfüllt sein:

1. Wirbelfreiheit

2. Gaußscher Satz.

Zur Formulierung der Wirbelfreiheit muss ein Linienintegrallängs eines geschlossenen Weges gebildet werden. Dazu wirddas in Bild 1.54b eingezeichnete Rechteck gewählt,

Bild 1.54b

das die Grenzfläche mit einbezieht, eine zur Fläche parallele Ausdehnung d hat und dessen Schmalseiten h infinitesimal klein sind.


Unter diesen Annahmen gilt für das Linienintegral:

Die Rechteckseite d ist genügend klein zu wählen, dass innerhalb von d die Feldstärke konstant ist. Weiterhin sind die Tangentialkomponenten von E1 und E2 parallel zu den Seiten ddes Rechtecks. Damit ergibt sich aus obigem Linienintegral:

(1.63)

die Stetigkeit der Tangentialkomponenten des elektrischen Feldesan Grenzflächen.

Zur Auswertung des Gaußschen Satzes soll nun eine „Schuh-cremedose“ eingezeichnet werden, die wiederum die Grenzflächemit einbezieht. Als Schnitt durch die Dose kann wieder Bild 1.54b betrachtet werden.Die Größe der Deckel- und Bodenflächen seien durch A gegeben.Einen Beitrag zur Flussdichte liefern wegen der infinitesimal kleinen Höhe der Seitenfläche nur die Integrale überDeckel und Boden:

wenn an der Grenzfläche keine freie Ladungen vorhanden sind.

(1.64)

021

Rechteck

=−=⋅∫ dEdEsdE tt

rr

21 tt EE =

EDrr

ε=

,021 =+−=⋅∫∫ ADADAdD nn

doseSchuhcreme

rr


Daraus folgt:

die Stetigkeit der Normalkomponenten der elektrischen Fluss-dichte an Grenzflächen mit:

Fazit:

An einer Grenzfläche zwischen Dielektrika verhalten sich die Tangentialkomponente der elektrischen Feldstärke und die Normalkomponente der el. Flussdichte stetig.

Die Winkel der ein- und austretenden Feldstärkevektoren an derGrenzfläche sind gegeben durch (Bild 1.54a):

)(tan

202

2

2

22

rn

t

n

t

D

E

E

E

εεα ==

und damit

(1.65)

21 nn DD =

., 20221011 nrnnrn EDED εεεε ==

)(/tan

101

1

1

11

rn

t

n

t

D

E

E

E

εεα ==

2

1

2012

1021

2

1

tan

tan

r

r

rnt

rnt

DE

DE

ε

ε

εε

εε

α

α==


1.9.3 Betrachtung der Polarisation im atomaren Bereich

Die Polarisation aus 1.9.1 (V6) soll jetzt auch für den atomarenBereich betrachtet werden. Grundsätzlich gibt es zwei Möglich-keiten: die Orientierungs- und die Verzerrungspolarisation.

1. Orientierungspolarisation

Die Moleküle etlicher Dielektrika haben ein permanentes Dipol-moment, wobei die Dipole im Medium frei drehbar sind. EinBeispiel ist das Wassermolekül (Bild 1.55a),

Bild 1.55a

in dem das Sauerstoffatom eine mittlere negative und die beidenWasserstoffatome eine mittlere positive Ladung tragen.Die Schwerpunkte beider Ladungsverteilungen sind räumlichvoneinander getrennt, so dass ein Dipolmoment wirksam ist.

In einer großen Menge solcher Moleküle sind normalerweisedie einzelnen Dipole ungeordnet, d.h. nach außen ist die Gesamtwirkung gleich Null.

pr


Dieser Zusammenhang ist in Bild 1.55b dargestellt:

1.55b 1.55c

Legt man nun von außen ein Feld an (1.55c), richten sich diesekleinen Dipole je nach Stärke des Feldes mehr oder weniger imFeld aus. Die völlige Ausrichtung wird durch die Wärme-bewegung verhindert.

2. Verzerrungspolarisation

Die zweite Möglichkeit der Polarisation besteht darin, dass dieAtome/Moleküle selbst im Feld verzerrt werden. Das kommt da-her, dass Kern und Hülle in verschiedene Richtungen gezogen werden, weil sie unterschiedlich geladen sind .Auch hier resultiert eine räumliche Trennung von positiver undnegativer Ladung. Es entsteht ebenfalls ein Dipolmoment .

Orientierungs- und Verzerrungspolarisation kommen in der Natur gemeinsam vor.

pr


Für die äußere Wirkung ist es belanglos, welche Art der Polari-sation vorherrscht.Angenommen es existieren N Dipole pro Volumeneinheit mitdem effektiven Dipolmoment in Feldstärkerichtung,dann ist das Dipolmoment pro Volumen:

hQprr

=

(1.66)

wobei der bereits bekannte Polarisationsvektor ist.Pr

Die Verzerrungspolarisation ist schematisch in Bild 1.56 gezeigt:

Bild 1.56

,hQNpNPrrr

==


Wie in Bild 1.57 gezeigt, ist die Schichtdicke der Oberflächen-ladung durch die Größe h beschrieben (Bild 1.56):

QhNFPol =ρ (1.67)

Dies entspricht dem Betrag des Vektors in Gl (1.66). Im inho-mogenen Feld können auch im Inneren von Dielektrika Polarisa-tionsladungen auftreten und eine Raumladung bilden.

Pr

Bild 1.57

Auf ein großes Volumen mit rechteckigem Querschnitt über-tragen heißt das, dass da, wo das elektrische Feld eintritt, und da,wo es austritt, eine Oberflächenladung vorherrscht. Innerhalb desVolumens gleichen sich die Ladungen makroskopisch gesehen aus.


Bild 1.58

Durch das el. Feld werden Polarisationsladungen erzeugt (undzwar umso mehr, je größer das Feld ist):

Auf den dielektrischen Körper wirkt daher eine Kraft, die ihn inRichtung zunehmender Feldstärke hinbewegen will. Die Inhomo-genität des Feldes ist auch hier wesentlich für die Kraftwirkung.

1.9.4 Energie und Kräfte in Feldern mit Dielektrika

Vorausgesetzt ist eine Konstante, dann kann für die Energie-dichte aus Gl. (1.53) auch geschrieben werden:

2

02

1

2

1EEDw r

rrrεε=⋅= (1.68)

Für Gl. (1.54) kann dies im Falle fester Dielektrika so nicht ge-macht werden, da die Kraft der Leiter auf das Dielektrikum zumechanischen Spannungen führt, wobei mechanische Energieund gelegentlich auch die elektrischen Eigenschaften geändertwerden (siehe Piezoeffekt).In Bild 1.58 ist ein Dielektrikum im inhomogenen Feld gezeigt.

rε


2. Der elektrische Strom

2.1 Der einfache Stromkreis: Die elektrische Stromstärke

Bisher waren Ladungen immer als in Ruhe befindlich betrachtetworden. Jetzt sollen sich diese bewegen.Bewegung von Ladung findet z.B. statt, wenn das elektrischeFeld eines Kondensators abgebaut wird. Dazu muss ein Ladungs-ausgleich stattfinden. Konkret heißt das, dass die über-schüssigen Elektronen der negativ geladenen Plattezur positiv geladenen fließen müssen. In Bild 2.1 ist gezeigt, wiedurch äußere Beschaltung der Ladungsaustausch möglich ist:

Gleichzeitig wird der Zerfall des Feldes durch einen Spannungs-messer angezeigt. Besteht der Verbindungsleiter aus Kupfer,oder einem anderen guten Leiter, erfolgt der Ausgleich fastaugenblicklich. Verwendet man jedoch einen schlechten Leiter,dauert es deutlich länger.

Bild 2.1


Verwendet man unterschiedliche Leiter zum Ladungsausgleich,stellt man fest, dass es unterschiedlich lange dauert, bis diegespeicherte Ladung von einer Platte zur anderen gelangt.

Oder anders gesprochen: der elektrische Strom ist bei jeweils gleicher Spannung abhängig vom jeweiligen Leiter.

Definition: Elektrische Stromstärke

Die elektrische Stromstärke I ist der Quotient aus der Ladung ∆Q,und der Zeit ∆t, während der die Ladung durch einen gegebenenQuerschnitt fließt.

Also:

t

QI

∆

∆= (2.1)

Die Einheit ist gemäß dem MKSA-System Ampere (A). Imallgemeinen ist die Stromstärke zeitlich variabel. Um den Augen-blickswert zu erhalten, muss ∆t infinitesimal klein werden:

t

Q

t

QI

t d

dlim

0=

∆

∆=

→∆

(2.2)Definition:

Auch im Beispiel der Kondensatorentladung ist der Stromzeitabhängig, d.h. nicht konstant, er nimmt hierbei ab.


Einen zeitlich konstanten Strom erhält man, wenn die Spannungan den Anschlussklemmen konstant bleibt. D.h. es musseine Quelle für Ladungsträger geben, welche die durch den Strom abgeflossenen Ladungen ersetzt. Die Spannung kann als treibende Kraft der Ladungsträgerbewegung angesehen werden. Man bezeichnet diese daher als Quellenspannung.

Eine derartige Quellenspannung könnte z.B. durch Influenz erzeugt werden (van de Graaf Generator ). Allerdings sind mit diesem keine hohen Ströme zu erzielen.

Besser eignen sich zu diesem Zweck chemische Vorgänge, wie sie in Akkumulatoren verfügbar sind.

Wie auch immer die Anordnung beschaffen ist, in jedem Fallmuss Energie aufgewendet werden. Entscheidend ist,dass zwischen zwei Klemmen die Spannung U vorherrscht. An-stelle einer realen Anordnung wird das allgemeine Schaltsymbolfür die ideale (Gleich-) Spannungsquelle (Bild 2.2) verwendet:

Bild 2.2


Der Pfeil in Bild 2.2 zeigt in Richtung vom höheren zum nied-rigeren Potential, er ist somit ein Zählpfeil, kein Vektor.Feldtheoretisch gesehen zeigt er in Richtung des Integrations-weges des Linienintegrals (der Feldstärke über dem Weg).

Verbindet man jetzt die Pole der Spannungsquelle, fließt vom„+“ Pol zum „-“ Pol ein Strom (technische Stromrichtung). Esbesteht ein geschlossener Stromkreis. An jeder Stelle fließt einStrom konstanter Stärke.Es existiert keine Ladungsspeicherung. D.h. die Ladungsmenge,die auf einer Seite zufließt, fließt auf der anderen Seitewieder ab.

2.2 Stromstärke und Stromdichte

Der Strom ist eine integrale (makroskopische) Größe. Die zuge-hörige lokale (mikroskopische) Größe ist die elektrische Strom-dichte , die als Vektor definiert ist. Die Richtung entspricht der der positiven Ladungsträger.

Zur Beschreibung soll eine positive Raumladung betrachtet wer-den mit der Dichte und der Geschwindigkeit (Bild 2.3).In dem infinitesimal kleinen Volumen befindet sich dieLadungsmenge .

Jr

. cos d αρ AsddQr

=

Qd

ρ vr


Bild 2.3

In der Zeit dt bewege sich die Ladung um ds = v dt . Dabei hatdie Ladung dQ die Fläche dA passiert. Damit ergibt sich für denStrom dI durch die Fläche:

αραρ cosdcosdd

d

d

dd AvA

t

s

t

QI ===

Die Stromdichte erhält man durch Division obiger Gleichung durch die Fläche, die senkrecht zur Strömungsrichtung durchflossen wird:

. cosdd αAA =⊥

Für den Stromdichtevektor erhält man somit:

vJrr

ρ=(2.3)


Definiert man für die Fläche dA den Flächenvektor , dannkann man

Ar

d

AvAvrr

dcos d ⋅=α

als Skalarprodukt schreiben. So erhält man:

AJAvIrrrr

dd d ⋅=⋅= ρ (2.4)

Den Gesamtstrom I durch die gesamte Fläche A erhält man durchAufsummieren aller dI durch alle dA:

∫∫ ⋅=A

AdJIrr

(2.5)

Den gleichen Betrag der Stromdichte erhält man also entwederdurch eine hohe Ladungsträgerdichte mit kleiner Geschwindig-keit, oder umgekehrt aus einer geringen Dichte mit hoher Geschwindigkeit.Gl (2.3) wurde für positive Ladungsträger abgeleitet. Mikros-kopisch betrachtet sind jedoch Elektronen die Träger des Stroms,die sich in negative Feldrichtung bewegen. Das jedoch entsprichtin den meisten Fällen der Bewegung positiver Teilchen mit derFeldrichtung.

Der Strom ist eine skalare Größe. Er hat dann ein positives Vor-zeichen, wenn der Stromdichtevektor die Fläche in Richtung desFlächenvektors durchtritt.


2.3 Strömung im Metall: Ohmsches Gesetz

Modellvorstellung

Metalle bestehen aus Elementen oder Mischungen von Ele-menten, die in kristalliner Form vorliegen. In diesen Kristallver-bänden sind die äußeren Elektronen, die eigentlich gebunden sind,quasi frei beweglich. Gleichzeitig führen die Rumpfatome imGitter aufgrund ihrer thermischen Energie Schwingungen aus.Wird ein Elektron aus dem Atomverbund abgegeben, bleibt einpositiv geladenes Ion übrig. Im Mittel ist die Zahl der posi-tiven und negativen Ladungsträger gleich groß. Man bezeichnetdiesen Zustand als quasineutral.Wird im Leiter ein elektrisches Feld erzeugt (z.B. durch Anschließen einer Spannungsquelle), werden die Elektronen gegen die Feldrichtung beschleunigt. Da sie nach einer kurzen Wegstrecke (= mittlere freie Weglänge) durch Stöße mit denGitteratomen abgebremst werden, erreichen sie eine endlicheGeschwindigkeit. Diese wird mittlere Driftgeschwindigkeitgenannt und ist der el. Feldstärke proportional:

Ev e

rrµ−= (2.6)

mit der Beweglichkeit der Elektronen. Setzt man (2.6) in (2.3)ein:

eµ

EneEvJ ee

rrrrµρµρ )( −−=−== (2.7)

mit n der Zahl der Leitungselektronen pro Volumen und -e derLadung eines Elektrons,


dann kann man für die Stromdichte auch schreiben:

EJrr

σ= (2.8)

Dies ist das Ohmsche Gesetz in differentieller Form. Die Pro-portionalität wird durch die spezifische elektrische Leitfähigkeitσ hergestellt, die die Materialeigenschaften kennzeichnet. An-statt σ wird gelegentlich auch κ geschrieben (z.B. Pregla).

In Tabelle 2.1 sind für einige Metalle und Metalllegierungen diespezifische elektrische Leitfähigkeit σ und der spezifische elek-trische Widerstand ρR bei 20°C angegeben:

Leiter σσσσ in S m/mm2 ρρρρR in ΩΩΩΩ mm2/m αααα20 in 10-3 K-1

Silber 62,5 0,016 3,8Kupfer 56 0,01786 3,93Gold 44 0,023 4,0Aluminium 35 0,02857 3,77Wolfram 18 0,055 4,1Messing 14 ... 11 0,7 ... 0,09 1,5Eisen 10 ... 7 0,1 ... 0,15 4,5 ... 6Platin 9 ... 7 0,11 ... 0,14 2 ... 3Neusilber 3,33 0,30 0,35Konstantan 2,0 0,50 -0,0035Kohle 0,02 ... 0,01 50 ... 100 -0,2 ... -0,8

Tabelle 2.1


Bestimmung des elektrischen Widerstandes

Es soll nun (ähnlich der Kapazität) eine Größe gesucht werden,die die Gesamtwirkung eines elektrischen Leiters beschreibt. Dazu wird ein zylindrischer Metallkörper betrachtet:

Bild 2.4

Dieser habe die Länge l und den konstanten Querschnitt A. SeineEnden seien mit den Polen einer Spannungsquelle verbunden.Aufgrund der gleichmäßigen Struktur stellt sich ein homogenes elektrisches Feld ein (bis auf die Enden). Ist die Länge sehr vielgrößer als die Querabmessungen, dann ist die Feldverzerrung an den Enden vernachlässigbar und die Spannung hat den Wert:

lEUr

=

Bei homogener el. Feldstärke ist auch die Stromdichte überall gleich und der Strom durch die Querschnittsfläche A ist gegeben durch:

AEAJIrr

σ==


Ineinander eingesetzt (E eliminiert) ergibt sich:

IRlA

IU ==

σ(2.9)

mit

A

l

A

lR Rρ

σ== (2.10)

Aus Gl. (2.9) geht hervor, dass der Strom im Leiter und dieSpannung an seinen Enden linear miteinander verknüpft sind. Dies ist das Ohmsche Gesetz (Ohm, Georg Simon,1789 - 1854, deutscher Physiker).

Die Konstante R heißt elektrischer Widerstand. Gl (2.9) kannauch geschrieben werden zu:

UGUR

I ==1

(2.11)

mit dem elektrischen Leitwert G. Die Einheit für den Widerstandlautet Ohm (Ω) und für den Leitwert Siemens (S). Es gilt

S

11V/A 1 ==Ω

Beide Größen charakterisieren das elektrische Gesamtverhalteneines Leiters. Der Widerstand R bleibt konstant, solange die phy-sikalische Beschaffenheit des Leiters nicht geändert wird.


Zum Praxisbezug des elektrischen Widerstandes:

Leiter mit einem bestimmten Widerstand werden selbst auchWiderstand genannt. Diese werden in der Elektrotechnik als Bau-elemente eingesetzt. Je nach Anwendung werden sie in verschie-denen Größen und Formen gebaut. Häufig bestehen sie aus aufge-wickeltem Draht oder aus einer Kohleschicht.

1+2: Hochlastwiderstände3: Metallbandwiderstand4 - 7: Schichtwiderstände8: SMD (Surface Mounted Device) Widerstand9 - 12: Trimmer13: Potentiometer


Der Widerstand eines beliebig geformten Leiters, für denGl. (2.8) gilt, berechnet sich zu:

∫∫

∫

∫∫

∫

⋅

⋅

=⋅

⋅

==

A

b

a

A

b

a

AdE

sdE

AdJ

sdE

I

UR rr

rr

rr

rr

σ

1 (2.12)

Die Integrationsgrenzen a und b bezeichnen die Anschlusspunkteund A die Querschnittsfläche, durch die der Strom fließt. DieZählrichtung für den Strom muss mit der Integrationsrichtung fürdie Spannung übereinstimmen. Die Zählrichtung mussalso die Richtung von a nach b haben. Damit ist auch die Rich-tung des Flächenelements festgelegt.Ad

r


3. Gleichstromschaltungen

3.1 Strom und Spannung im einfachen Stromkreis

Bisher wurde ein einfacher Stromkreis aus Spannungsquelle und Verbraucher (Widerstand) besprochen. Jetzt soll für den Wider-stand als allgemeines Schaltsymbol das Rechteck eingeführt werden (Bild 3.1). Zahlenangaben am Schaltsymbol geben den Widerstand in Ω an:

R=30 Ω R=2.7MΩ

Ein einfacher Stromkreis mit den zugehörigen Verbindungs-leitungen ist in Bild 3.1 gezeigt.

Bild 3.1

30 2.7 M


Zum Leitungswiderstand:

Angenommen, die Verbindungsdrähte von den Anschluss-klemmen des Generators zum Verbraucher haben eine unendlich hohe Leitfähigkeit, dann ist die Spannung U am Verbraucher gleich der Spannung UG der Quelle.In der Praxis haben Verbindungsdrähte einen endlichen Wider-stand, daher ist die Spannung am Verbraucher kleiner als die an der Quelle.Wenn der Querschnitt der Verbindungsdrähte im Vergleich zur Länge sehr klein ist, kann eine homogene Stromverteilung angenommen werden.

Ersatzwiderstand der Verbindungsleitung:

In Bild 3.2 ist gezeigt, wie man sich die Leitungswiderstände in den Widerständen RL1 und RL2 konzentriert vorstellen kann. Die eingezeichneten Leitungen sind nun widerstandslos. In Zukunft sollen Verbindungsdrähte stets widerstandslos / ideal sein.

Bild 3.2


Potenzialverlauf:

Jetzt soll der Potenzialverlauf der Schaltung in Bild 3.2 angegeben werden. Beginnend am Punkt 1 wird die Schaltung im Uhrzeigersinn durchlaufen. Als Verbraucher wurde ein Ohm-scher Widerstand Rv gewählt. Das Potenzial am Punkt 1 sei Φ1, das beliebig gewählt werden kann. Ist Punkt 1 mit Masse (Erde) verbunden, gilt nach Vereinbarung Φ1 = 0. Der Potenzialverlauf ist in Bild 3.3 gezeigt:

Bild 3.3

Im Generator (Quelle) wird das Potenzial um UG angehoben, so dass sich die vorgegebene Quellenspannung einstellt.


In den Widerständen nach Punkt 2 fällt das Potenzial linear, da die Bewegung jetzt in Richtung der Feldstärke verläuft (in der Quelle war die Bewegung gegen die Feldrichtung). Entlang der idealen Verbindungsleiter bleibt das Potenzial konstant. Nach einem vollständigen Umlauf muss das Ausgangspotentialwieder erreicht werden.Daher gilt für den vollständigen Umlauf:

L2L1G0 UUUU +++−= (3.1)

Nach dem Ohmschen Gesetz gilt:

L2L2VL1L1 , , RIURIURIU === (3.2)

In Gl. (3.1) eingesetzt ergibt:

L2VL1

GL2VL1 )(

RRR

UIRRRIUG

++=⇒++=

Als Spannung am Verbraucher erhält man:

L2VL1

GVV

RRR

URRIU

++==

(3.3)

(3.4)


3.2 Zweipole

Zählpfeile:

Die Schaltung in Bild 3.2 beinhaltet einzelne Elemente, die allezwei Pole besitzen. Diese werden allgemein als „Zweipole“bezeichnet. Das elektrische Verhalten eines Zweipols ist durch dessen „Strom-Spannungs-Charakteristik“ gekennzeichnet:

I = f(U)

Dabei werden die Strom- und Spannungszählpfeile gemäß Bild 3.4 zugeordnet. Diese Zuordnung wird „Verbraucher-zählpfeilsystem“ genannt:

Bild 3.4

Im Verbraucherzählpfeilsystem ist die aufgenommene LeistungP=U I positiv.


Ebenso ist es auch möglich, die Zählpfeile von U und I entgegen-gesetzt einzuzeichnen. In diesem Fall ist die abgegebene Leistung positiv. Dies bezeichnet man als „Generatorzählpfeilsystem“.

Ersatzzweipol:

Auch eine Schaltung von mehreren Elementen kann zu einem Zweipol zusammengefasst werden, wenn nur das Verhalten an diesen beiden Polen interessant ist (Bild 3.4a) oder wenn die Schaltung nur an diesen zugänglich ist. In Bild 3.4c ist eine ideale Diode gezeigt. Diese kann durch Zuschalten eines Widerstandes in eine realere Diode umgewandelt werden. Auch dann würde man von einem Zweipol sprechen.

Lineare, passive Zweipole:

Zweipole, die der Beziehung I = G U genügen, wobei G positiv und unabhängig von U ist, werden als linear und passiv bezeichnet. Passiv bedeutet, dass im Zweipol keine Quelle enthalten ist. Von den bisher besprochenen Elementen sind nur Widerstände und Kombinationen von diesen als linear und passiv zu bezeichnen.

Realer Generator:

Im Abschnitt 3.1 war der Generator zunächst als ideal angesehen worden, d.h. die Generatorspannung UG war unabhängig von der Belastung (vom Strom I).


Misst man jedoch im Betrieb einer realen Quelle die Spannung während ein Strom I fließt, dann stellt man fest, dass sich in Abhängigkeit von diesem Belastungsstrom I die Spannung UG

gemäß Bild 3.5 ändert.Dieser lineare Abfall ist durch einen sog. Innenwiderstand inner-halb der realen Quelle erklärbar.

Bild 3.5

Die Ersatzschaltung für eine reale Quelle wird im folgenden Kapitel erläutert, wenn die allgemeinen Gesetze der Zusammen-schaltung von Zweipolen besprochen werden.


3.3 Zusammenschaltung von Zweipolen -

die Kirchhoffschen Regeln

In der Realität der Schaltungstechnik ist es notwendig, einzelne Zweipole zu verzweigten Netzwerken zusammenzuschalten.In Bild 3.6 ist so ein Netzwerk gezeigt, das aus mehreren Zweigen besteht. Die Punkte, an denen mindestens zwei Zweige zusammenstoßen, werden Knoten genannt.

Bild 3.6

Zur Beschreibung der Ströme und Spannungen in den Zweigen, gibt es Gesetze, die für die Knoten und Maschen im Netzwerk aufgestellt werden.Als Masche soll ein beliebiger, geschlossener Weg im Netzwerk bezeichnet werden.


Betrachtet man zunächst einen Knoten (Bild 3.7 a), und geht man davon aus, dass keine Ladungsspeicherung im Knoten stattfindet, dann erhält man die Kirchhoffsche Knotenregel.

Bild 3.7a

Diese besagt, dass alle auf den Knoten zufließenden und vom Knoten abfließenden Ströme sich zu Null addieren:

(3.5)

Üblicherweise werden die zufließenden Ströme positiv, die abfließenden negativ gezählt.

∑=

=m

nnI

1

0


Für Bild 3.7 a gilt daher:

Die Kirchhoffsche Knotenregel kann auch allgemeiner gefasst werden. Dazu betrachtet man Bild 3.7 b, in dem eine beliebige geschlossene Fläche in ein Netzwerk gelegt wird.

Auch hier gilt mit gleicher Vorzeichenkonvention:

Bild 3.7b

0543211

=++−+=∑=

IIIIIIm

nn

0654321 =+−+++ IIIIII


Für das zweite Gesetz wird eine beliebige Masche in Bild 3.8 betrachtet. Beim Durchlaufen einer Masche erhält man an jedem Zweipol eine Spannung. Ein geschlossener Umlauf ergibt in Summe die Spannung Null, da man wieder zum Ausgangspunkt mit gleichem Potenzial zurückkommt.

Bild 3.8

Diese Gesetzmäßigkeit wird Kirchhoffsche Maschenregel

genannt:

(3.6)0=∑n

nU


Im Fall von Bild 3.8 erhält man, wenn man sich die Umlauf-richtung wie eingezeichnet vorgibt:

Beide Regeln sind für die Schaltungstheorie von zentraler Be-deutung. Allerdings können diese auch z.B. auf ein verzweigtes Rohrsystem mit inkompressiblen Flüssigkeiten angewandt werden. In diesem Fall entspricht der Flüssigkeitsstrom dem elektrischen Strom, der Druckabfall in den Rohren dem elek-trischen Spannungsabfall im Widerstand. Die Spannungsquelle wird durch eine Pumpe ersetzt.

Nun soll die Maschenregel auf das Ersatzschaltbild einer realen

Spannungsquelle in Bild 3.9 angewandt werden.

Bild 3.9

023451 =+−++ UUUUU


Ein Maschenumlauf im Uhrzeigersinn ergibt:

iRIUUUU ==++− RiGRiG0 ,0

Damit erhält man die Spannung einer realen Quelle (Generator):

, 00G iGRiG RIUUUU −=−= (3.7)

wobei gemäß Bild 3.5 gilt:

I

UR

∆

∆=i

Bild 3.5


3.4 Serien- und Parallelschaltung von Widerständen

Zur Veranschaulichung der Kirchoffschen Gesetze soll die Serienschaltung von Widerständen (Bild 3.10a) betrachtet werden.

Bild 3.10a

Das entscheidende Merkmal dieser Schaltung liegt darin, dass alle Widerstände vom gleichen Strom I durchflossen werden.

Für die einzelnen Widerstände k gilt:

Uk = I Rk

Mit Gl. (3.6) wird daraus:

ges

n

kk

n

kk RIRIUU === ∑∑

== 11

(3.8)


Fazit:

Bei der Reihenschaltung addieren sich die Widerstände zum

Gesamtwiderstand.

In Bild 3.10b ist eine Parallelschaltung von Widerständen gezeigt. Diese hat als wesentliches Merkmal, dass an allen Widerständen die gleiche Spannung U abfällt.

Bild 3.10b

Die Elementengleichung lautet:

Damit:

∑=

=n

kkges RR

1

(3.9)

k

kR

UI =


ges

n

k k

n

k k R

U

RU

R

UI === ∑∑

== 11

1

Damit erhält man mit Gl. (3.5):

(3.10)

Das ergibt für den Gesamtwiderstand der Parallelschaltung:

∑=

=n

k kges RR 1

11 (3.11)

Fazit: Bei der Parallelschaltung addieren sich die Kehrwerte

der Widerstände (=Leitwerte) zum Kehrwert des Gesamt-

widerstands (=Gesamtleitwert).

In einem komplizierteren Widerstandsnetzwerk (Bild 3.11) fasst man schrittweise mehrere Elemente zusammen zu einem resul-tierenden Zweipol, der bezüglich bestimmter Klemmen das gleiche Verhalten zeigt:

Bild 3.11


Mit Bild 3.11 erhält man, wenn zunächst die Reihenschaltung von R1 und R2 zu einem Widerstand zusammengefasst wird:

21 RRR +=′′

Jetzt ist R´´ parallel zu R3 und R4:

,11

11

43

RRRR

++′′

=′

damit erhält man:

3443

43

43

11

11

RRRRRR

RRR

RRR

R′′+′′+

′′=

++′′

=′

Der Gesamtwiderstand R ergibt sich aus der Parallelschaltung von R6 mit der Reihenschaltung aus R5 und R´:

RRRR ′++=

56

111

und zuletzt:

RRR

RRRR

′++

′+=

56

56 )(


2.4 Strömungsfelder

Strömung in Leitern ist charakterisiert durch die Vektorenund . Das durch sie repräsentierte Feld nennt man Strömungs-feld. Analog zur Bestimmung der elektrischen Feldlinien erhältman die Strömungsfeldlinien, wenn man längs des Vektorsvon Punkt zu Punkt voranschreitet.In Bild 2.7 sind der innere und äußere metallische Zylinder miteiner Spannungsquelle verbunden. Zwischen diesen befinde sichein Material mit der Leitfähigkeit , die wesentlich geringerist als die der Zylinder:

Er

Jr

Jr

Bild 2.7

Das Feldbild entspricht dem des elektrostatischen Zylinder-kondensators (Bild 1.12d):

σ


Bild 1.12d*

Aufgrund dieser Analogie sollen die Gleichungen des elektro-statischen Feldes und des Strömungsfeldes verglichen werden:

CUQ

sdEU

QAdD

ED

D

=

⋅=

=⋅=

=

∫

∫∫rr

rr

rr

ψ

ε

GUI

sdEU

AdJI

EJ

=

⋅=

⋅=

=

∫

∫∫rr

rr

rr σ

Elektrostatisches Feld Strömungsfeld

Tabelle 2.2

Man sieht: die Analogie in den Feldlinienbildern drückt sichauch in den Gleichungen aus.


Die Ringe in Bild 2.7 sind sehr gut leitend, daher sind dieseÄquipotenzialflächen. Daher stehen die Feldlinien und dieStrömungslinien auf diesen senkrecht. Aus diesem Grund ver-laufen diese radial wie die Feldlinien im Zylinderkondensator und genügen den gleichen Gesetzen.Ist für eine Anordnung die Kapazität bekannt, kann der Wider-stand berechnet werden, wenn das Dielektrikum durch dieLeitfähigkeit ersetzt wird. Mit den Gleichungen aus Tabelle2.2 folgt:

∫∫∫

∫∫∫

⋅

⋅=

⋅

⋅==

AdE

sdE

AdJ

sdE

I

UR rr

rr

rr

rr

σ

∫∫∫

∫∫∫

⋅

⋅=

⋅

⋅=

sdE

AdE

sdE

AdDC rr

rr

rr

rrε

σ

ε=RC (2.13)

Beispiel: Widerstand der Anordnung in Bild 2.7

Mit Gl. (1.45) für den Zylinderkondensator gilt:

( )12

0

/ln

2

rr

lC rεεπ

=

σ


sowie Gl. (2.13):

CR

1

σ

ε=

folgt:

l

rr

l

rrR

σπεπσ

ε

2

)/ln(

2

)/ln( 1212 ==

2.5 Temperaturabhängigkeit des Widerstandes

Mit variabler Temperatur ändert sich im allgemeinen auch der Widerstand. Im Bild 2.8 ist der spezifische Widerstand von Kupfer gezeigt, der aufgrund der zunehmenden thermischen Schwingungen der Gitteratome, an denen die Elektronen gestreut werden, zunimmt:

Bild 2.8


Man erkennt, dass in einem weiten Temperaturbereich linearmit der Temperatur zunimmt. In der Umgebung von T0 = 293Kkann man daher mit folgender Näherung arbeiten:

Rρ

( ))(1)( 00 TTT RR −+= αρρ (2.14)

Hier ist T0 = 293 K (20°C) und der spezifische Wider-stand bei T0. Da α die Steigung der Linearisierungsgeraden beschreibt und diese immer nur in der Nähe eines bestimmten Temperaturpunktes (z.B. 20°C) gilt, ist in Tabelle 2.1eingetragen.Positives α bedeutet eine Zunahme des Widerstandes mit der Temperatur, negatives α eine Abnahme.

0Rρ

Zur Temperaturkompensation werden Metalle mit verschiedenen α gemischt.Das Ergebnis einer derartigen Kompensation ist Konstantan miteiner Mischung aus 54% Kupfer, 45% Nickel und 1% Mangan.

20α


Sollte die Temperaturabhängigkeit nicht so linear sein wie inBild 2.8 im Falle des Kupfers, muss eine quadratische Näherungverwendet werden:

( )2000 )()(1)( TTTTT RR −+−+= βαρρ (2.15)

Eine gut bekannte Temperaturabhängigkeit des Widerstandeskann daher auch für Temperaturmessungen verwendet werden.Für T → 0 geht der Widerstand von Kupfer nicht ganz auf Null.Im Gegensatz zu diesen Normalleitern geht der Widerstand von Supraleitern gegen Null für T → 0.

2.6 Energieumsetzung im elektrischen Stromkreis

Zur Berechnung der Arbeit, die die Quelle verrichtet, wenn sieStrom durch den Verbraucher VB mit konstanter Stärketreibt, wird der geschlossenen Stromkreis in Bild 2.9a be-trachtet:

Bild 2.9a


Die treibende Kraft ist die Quellenspannung U, wobei das mit Uverbundene elektrische Feld die Ladungsträger bewegt, dieden Strom bilden. Zur Berechnung der lokalen Größen soll einSchnitt durch den Verbraucher VB in Bild 2.9b betrachtetwerden:

Bild 2.9b

Zunächst wird aus der Querschnittsfläche A nur ein Flächen-element dA betrachtet, durch das in der Zeit dt aufgrund des Fel-des die Ladung dQ fließt. In der Zeit dt wird die Wegstrecke

zurückgelegt. Dabei muss die Quelle die Arbeit dw ver-richten:

Er

sr

d

Die Ladungsträger sind gleichmäßig über das ganze Volumendes Verbrauchers verteilt, daher gilt mit der Raumladungs-dichte ρ :

sAVQrr

dd d d ⋅== ρρ

sEQwrr

ddd ⋅= (*)


Mit Gl. (2.4) gilt:

At

sAvAJ

rr

rrrrd

d

dd d ⋅=⋅=⋅ ρρ (2.4)*

Damit kann Gl. (*) geschrieben werden:

Das ist die in einem kleinen Volumenelement dV in dt verrichteteArbeit dw.Als nächstes soll die innerhalb dt im gesamten Volumen desVerbrauchers verrichtete Arbeit dW berechnet werden. Dazu wer-den alle kleinen Volumen an der Querschnittfläche A zusammen-gefasst, wobei zunächst eine Scheibe konstanter Spannung

gebildet wird, die zwischen zwei Äquipotential-flächen liegt.

sEUrr

dd ⋅=

tVEJsEtAJw d d d d ddrrrrrr

⋅=⋅⋅= (**)

Damit wird in Gl. (**) zunächst die Stromdichte über den gesamten Querschnitt integriert, wobei die Arbeit, die dieser Strom verrichtet, nur für die Scheibe der Dicke ds betrachtet wird. Damit kann dU vor das Integral über die Fläche Agezogen werden.


∫ ∫∫−

⋅=2

1.

:

dddd

flächepotÄquiA

AJUtWrr

Die Auswertung ergibt:

tIUW dd =

die Arbeit, die innerhalb der Zeit dt verrichtet wird. Berechnetman die Arbeit dW pro Zeiteinheit dt, erhält man die Leistung,die immer ein Momentanwert ist:

IUt

WP ==

d

d(2.16)

Die abgeleitete Einheit für die Leistung ist:

[ ] [ ][ ] WVA === IUP

Mit der Einheit VA=W benannt nach Watt, James, 1736 - 1816,engl. Ingenieur.

Zuletzt muss über alle dU integriert werden, die im Verbraucher vorhanden sind (also von Anschlussklemme 1 zu Anschlussklemme 2):


Die Einheit W kann auch in Basiseinheiten geschrieben werden:

32 s/ m 1kg1J/s1VA1W ===

In der Elektrotechnik ist es üblich, die elektrische Arbeit

∫=2

1

t

t

dtPW

in der Einheit Ws (Wattsekunde) oder kWh (Kilowattstunde) an-zugeben (1 kWh = 3.6 ·106 Ws).

Noch mal zurück zu Gl. (**):

EJtV

w rr⋅=

dd

d

Das ist die Arbeit, die pro Zeit- und Volumeneinheit verrichtetwird und damit ist dies eine Leistungsdichte.

Wo bleibt die in VB umgesetzte Energie (=Arbeit)?

Ist VB in Bild 2.9a ein Elektromotor, dann wird die Arbeit imWesentlichen in mechanische Energie umgewandelt (=Energie-technik). Ist VB ein Akku, entspricht die Arbeit der imAkku gespeicherten chemischen Energie, ist VB ein Widerstand,dann wird die Arbeit in Wärmeenergie umgesetzt.


5 Das magnetische Feld5.1 Wirkung und Darstellung des magnetischen Feldes

5.1.1 Grunderscheinungen

Entdeckung des Magnetismus

„Die alten Griechen“ stellten bereits fest, dass einige Eisenerze(Pyrrhotin = Magnetkies) Eisenteile anziehen (Thales von Milet).Der Begriff „magnetisch“ wird von der Stadt Magnesia in Kleinasien abgeleitet, da in deren Nähe Erze mit starkem Magnetismus gefunden wurden (lithos Magnetes: „Stein aus Magnesia“).Ebenfalls seit langer Zeit ist der Erdmagnetismus bekannt bzw.dessen Wirkung auf eine magnetische Nadel (Kompassnadel).

Weitere Feststellungen

Wird ein eisenhaltiger Körper in die Nähe eines Magneten gebracht, wird er selbst magnetisch. Weiches Eisen verliert diese Fähigkeit jedoch schnell wieder. Wird ein magnetisierter Stab drehbar aufgehängt, wirkt er wie eine Kompassnadel:Das Ende, das zum geografischen Nordpol zeigt, nennt man Nordpol des Magneten, das andere Südpol. Die Kraftwirkung von Magneten ist hauptsächlich auf dessen Pole beschränkt. Nähert man zwei Magnete einander an, stellt man fest, dass

- gleichnamige Pole sich abstoßen- ungleichnamige Pole sich anziehen.


Daraus folgt, dass die Erde am (geografischen) Nordpol einen magnetischen Südpol besitzt!Experimente zeigen, dass die magnetische Kraftwirkung auf dem Zustand des Raumes basiert, der als magnetisches Feldbezeichnet wird.

Magnetische Erscheinung auch durch Strom:

Der dänische Physiker Oerstedt entdeckte im Jahr 1820, dass ein stromdurchflossener Draht eine Magnetnadel beeinflusst. Ein stromdurchflossener, zu einer Spule gewickelter Draht verhält sich wie ein Permanentmagnet.

5.1.2 Feldvektor und Feldbilder

Wie beim elektrischen Feld kann das magnetische Feld durch die in jedem Raumpunkt wirkende Kraft nach Größe und Richtung festgelegt werden. Daher ist auch das magnetische Feld ein Vektorfeld.Der zugehörige Vektor wird magnetische Flussdichte(magnetische Induktion) genannt und hat das Formelzeichen .

Zur Veranschaulichung des Vektorfeldes können (wie im elektrischen Fall) kleine längliche Körper verwendet werden, die allerdings hier z.B. aus Eisen sein müssen (Eisenfeilspäne). In Analogie zum elektrischen Dipol (Kap. 1.8.4) kann jeder einzelne Span als magnetischer Dipol aufgefasst werden.Sein Dipolmoment zeigt in Richtung seiner Längsachse.

Br

mr


Das Vektorfeld der magnetischen Flussdichte übt auf einen derartigen magnetischen Dipol ein Drehmoment aus:

BmTrrr

×=

in der Weise, dass sich in Richtung von einstellt (vgl. hierzu Bild 1.50c „elektrischer Dipol“). Tritt der Leiter senkrechtdurch die Bildebene, erhält man folgende Bilder (5.1a, b):

mr

Br

Bild 5.1a Bild 5.1b

Rechte-Hand-Regel

Umfasst man mit der rechten Hand den Stromleiter so, dass der Daumen in Stromrichtung zeigt, dann hat das Feld die Richtung der anderen Finger.

In Bild 5.1a handelt es sich um einen stromdurchflossenen Leiter, dessen Stromrichtung jedoch nicht erkennbar ist. In Bild5.1b sind es zwei entgegengesetzt stromdurchflossene Leiter. Wie beim elektrischen Feld soll auch hier die Feldliniendichte ein Maß für die Stärke des Feldes sein.

Br

mr


Ebenso wie im elektrischen Fall ist das Feld überall im Raum existent. Wird ein stromdurchflossener Leiter zu einer Spule gewickelt, ergeben sich folgende Feldbilder:

Bild 5.1c Bild 5.1d

Bild 5.1c zeigt eine lose gewickelte Spule, Bild 5.1d eine dichtgewickelte. In beiden Fällen sind die gegenüberliegenden Reihen des Spulendrahtes entgegengesetzt vom Strom durchflossen. Daher tritt zwischen ihnen eine Feldverstärkung auf. Im Falle der dichtgewickelten Spule ist das Feld innerhalb der Wicklung nahezu homogen (5.1d).

Vereinbarung

Beim Permanentmagneten oder auch bei einer Spule kennzeichnet der Austritt der Feldlinien den Nordpol, der Eintritt den Südpol.


Das Feldbild eines Permanentmagneten (Bild 5.1e) ähnelt stark dem einer Spule. Die Übereinstimmung ist umso besser, je dichter die Spule gewickelt ist und je länger sie im Vergleich zu ihrem Durchmesser ist:

Bild 5.1e

Zur Bestimmung der Feldrichtung in allen Bildern 5.1a-e muss die Stromrichtung oder die Polbezeichnung angegeben werden:

Bild 5.2a Bild 5.2b


Bild 5.2b kann auch als einwindige Spule interpretiert werden. Durch Hintereinanderschalten vieler „einwindiger Spulen“ erhält man das Feldbild einer Zylinderspule (Bild 5.2c, d):

Bild 5.2c Bild 5.2d

5.1.3 Vergleich zwischen elektrischem und magnetischem Feld

Aus den Darstellungen in den Bildern 5.1 und 5.2 wird deutlich, dass es zwischen statischen elektrischen und magnetischen Feldern einen entscheidenden Unterschied gibt:

Das statische elektrische Feld hat stets einen Anfangs- und einen Endpunkt, nämlich die elektrischen Ladungen.Die Linien der magnetischen Induktion sind stets in sich geschlossen.


Diesen zunächst empirischen Sachverhalt kann man noch anders ausdrücken:

Bestimmt man den Fluss des Vektors durch eine beliebige, geschlossene Fläche, erhält man stets den Wert Null, da die Zahl der Feldlinien, die in die Fläche eintreten, gleich derjenigen ist, die an anderer Stelle austreten.

D. h. es gibt keine Analogie zu den elektrischen Ladungen. Also gilt der Erfahrungssatz:

Das magnetische Feld ist quellenfrei; es gibt keine magnetischenLadungen oder Monopole.

Dies gilt auch für Permanentmagneten, da die in Bild 5.1e außerhalb befindlichen Linien sich in ihm schließen:

Br

Bild 5.1e*

Bricht man den Magneten durch, erhält man zwei neue Magneten mit je einem Nord- und Südpol. D.h. Nord- und Südpol lassen sich nicht voneinander trennen, sie treten stets zusammen auf. Nur wenn man einen Pol isolieren könnte, ergäbe der Gaußsche Satz einen von Null verschiedenen Wert.


5.2 Kraft auf eine bewegte Ladung - Definition der magnetischen Flussdichte B

r

Der magnetische Feldvektor soll ebenso wie im Falle des elektrischen Feldes über die Kraftwirkung auf geeignete Probeteilchen definiert werden. Geeignete Probeteilchen sind kleine, leichte Teilchen mit der positiven Ladung Q0, mit denen verschiedene Versuche gemacht werden:

Br

1. Experiment

Ein masseloses Probeteilchen wird auf der Achse einer Zylinderspule eingeschossen (Bild 5.2d).

Bild 5.2d*

Beobachtung: Die Flugbahn des Probeteilchens ändert sich nicht, Geschwindigkeit und Richtung bleiben erhalten.Fazit: in Richtung oder in Gegenrichtung des Vektors ist auf Q0 keine Kraft wirksam.

Br


2. Experiment

Das Probeteilchen wird senkrecht zu einem homogenen Feld eingeschossen. Zu diesem Zweck wird eine Ringspule verwendet, die im Außenraum kein Feld erzeugt (Bild 5.3).

Bild 5.3

Der Spulendurchmesser soll groß gegen den Windungsdurch-messer sein. Der Spalt, durch den das Teilchen eingeschossen wird, soll möglichst klein sein.

Beobachtung: das Teilchen beschreibt eine kreisförmige Bahnkurve, die senkrecht zur Bildebene, also in der Spaltebene, liegt. Der Betrag der Geschwindigkeit bleibt konstant.

Fazit: auf die positive Probeladung Q0 wirkt eine Kraft (also ein Vektor), die senkrecht zum magnetischen Feldvektor und senkrecht zum Geschwindigkeitsvektor liegt.


Die Kreisbahn des Probeteilchens im homogenen Feld wird nun von unten betrachtet (Bild 5.4):

Bild 5.4

Die magnetische Flussdichte tritt somit aus der Bildebene heraus, der Geschwindigkeitsvektor liegt in der Bildebene. Damit ergibt sich für die Kraft auf das Probeteilchen:

r

vmv

r

vm

rm

rrmr

tmv

tmamF

2

dt

d

dt

d

dt

d)(

d

d

d

d

===

+====

ω

ωω

ωrrr

(5.1)

Damit kann bei bekannter Masse und Geschwindigkeit durch Messen von r die Größe der Kraft bestimmt werden. Die Größe der Kraft sei nun ein Maß für B in jedem Punkt des Feldes:

BFrr

∝


Durch weitere Experimente in einem bestimmten Feld stellt man fest, dass die Kraft

• proportional zur Ladung Q0 ist• proportional zum Betrag der Geschwindigkeit v ist• proportional zu sin(α), dem Winkel zwischen und , ist.v

rBr

Damit gilt als Fazit aus allen Experimenten:

αsin0 BvQkFrrr

=

Durch diese Gleichung wird B definiert, daher kann k=1 gesetzt werden. Da nur die zu senkrechte Komponente von einen Beitrag zu liefert, ergibt sich folgende

Definition für :

Br

vr

Fr

Br

)(0 BvQFrrr

×= (5.2)

Aus Gl. (5.2) geht auch hervor, dass negative Ladungen eine Kraft in entgegengesetzter Richtung hervorrufen. In Bild 5.4 würde dies zu einer Ablenkung nach links führen.

Für die Einheit von B ergibt sich aus Gl. (5.2)

[ ] [ ][ ][ ]

Tm

Vs

mA

m/sVA

Am

N

s

m As

N2

======vQ

FB

(5.3)

Tesla, Nicola, 1856-1942, kroatisch-amerikanischer Physiker


Früher war anstelle von Tesla (T) auch Gauß (G) üblich. Dies ist in vielen Büchern noch zu finden:

T101G 4−=

In der Größenordnung 1G liegt das Erdmagnetfeld, das bis zu einer Entfernung von 3 Erdradien einem Dipolfeld ähnelt. Technische Geräte haben bis zu mehreren T (z.B. Kernspintomografen haben bis zu 7 T).

Da die magnetische Kraft stets senkrecht zur Bewegungsrichtung steht, verrichtet das Feld keine Arbeit am Ladungsträger, da sich der Betrag der Geschwindigkeit nicht ändert:

0=⋅=⋅= dtvFsdFdWrrrr

Bewegt sich ein Ladungsteilchen durch ein Gebiet, in dem so-wohl ein elektrisches als auch ein magnetisches Feld vorhanden ist, erhält man die resultierende Kraft durch Überlagerung beider Feldkräfte:

( )BvEQFrrrr

×+= 0(5.4)

Gl. (5.4) wird Lorentz-Beziehung genannt. Der erste Term wird als Coulombkraft, der zweite als Lorentzkraft bezeichnet.

Lorentz, Hendrik Antoon, 1853-1928, niederländischer Physiker


5.3 Die magnetische Kraft auf einen stromdurchflossenen Draht

Da der elektrische Strom aus Ladungsträgern besteht (Elektro-nen), kann mit Gl. (5.2) auch die Kraft auf einen stromführenden Draht bestimmt werden.Die Elektronen mit der Driftgeschwindigkeit bewegen sich in einem Leiterstück der Länge dl (Bild 5.5):

dvr

Bild 5.5

Auf jedes Elektron wird gemäß Gl (5.2) eine Kraft ausgeübt:

( )BveF dq

rrr×−= (5.5)

Sind n Elektronen pro Volumeneinheit vorhanden (Ladungsträgerdichte) und ist das Feld im Bereich des Draht-stückchens dl homogen, wirkt auf das Leiterstück die Kraft:

lABvenFlAnF dq d)( ddrrrr

×−==


mit den Zusammenfassungen

Jven d

rr=−

und

VlA dd =

gilt:

( ) VBJF ddrrr

×= (5.6)

Die Kraft auf einen Draht pro Volumeneinheit ist also , wobei die Stromdichte ist. Nach Gl. (5.6) hängt die Kraft nicht mehr von der einzelnen Ladungsträgerbewegung ab, wobei die Richtung von der des positiven Stromes entspricht.

Definiert man nun einen Vektor in Richtung der Stromdichte, dann gilt:

BJrr

×Jr

Jr

lr

d

lIlAJVJrrrr

ddd ==

und damit wird die Kraft auf das Drahtstück dl

)d(d BlIFrrr

×= (5.7)

mit dem Gesamtstrom I durch den Draht. Die Kraft pro Längen-einheit kann direkt aus Gl. (5.7) berechnet werden:

)(d

d

d

dBlIFB

l

lI

l

F rrrrrr

×=⇒

×=


Um die Gesamtkraft, die auf einen starren Körper oder beliebig geformten Draht wirkt, zu berechnen, muss Gl. (5.6) oder (5.7) integriert werden (entlang aller stromführenden Elemente des Körpers oder des Drahtes).

Beispiel

Durch den in Bild 5.6 gegebenen Draht fließe der Strom I. Er befinde sich im homogenen Feld , das aus der Zeichenebene herauszeige:

Br

Bild 5.6

Auf beiden Abschnitten 1 und 2 wirkt die Kraft pro Drahtlänge:

BIl

F

d

d=

r

Die Richtung des Kraftbelags ist in Bild 5.6 dargestellt und ergibt sich mit der „Rechte-Hand-Regel“. Ein Abschnitt hat jeweils an allen Stellen die gleiche Richtung, da das Feld homogen und ein Abschnitt gerade ist.

bzw. lBIF dd =r


Die Kraft auf einen Abschnitt lautet:

LBIlBIF == ∫2,1

2,1 dr

Zur Berechnung der Gesamtkraft auf den geknickten Draht wird die Vektordarstellung in Komponenten gewählt:

−

=

=

02

12

1

2

2

2

2 LBI

LBI

F

F

F

F

z

y

xr

damit wird

=+=

0

2

0

21 LBIFFFrrr

und der Betrag der resultierenden Kraft ergibt sich damit zu

. 22121 IBLFFFFF yy =+=+=rrr

Würde der Draht in Bild 5.6 nur aus einem geraden Abschnitt bestehen, der Anfangs- und Endpunkt direkt verbindet, wäre die resultierende Kraft (bei gleichem Strom) die gleiche!

=

=

02

12

1

1

1

1

1 LBI

LBI

F

F

F

F

z

y

xr


Der Strom I laufe in Bild 5.7a gegen den Uhrzeigersinn. Der Normalenvektor auf der Fläche der Schleife bildet mit dem Strom eine Rechtsschraube. Weiterhin schließt mit der z-Achse den Winkel ein (Bild 5.7b). In z-Richtung zeige ein homogenes magnetisches Feld . Die Stromzufuhr zur Schleife erfolge so, dass keine resultierende Kraft auf diese entsteht.

nr

nr

Br

5.4 Drehmoment auf eine stromdurchflossene Leiterschleife im Magnetfeld - der magnetische Dipol

Wegen der großen technischen und physikalischen Bedeutung sollen nun die Kräfte auf eine stromdurchflossene Leiterschleife im Magnetfeld berechnet werden. Dazu wird Gl. (5.7) auf eine (der Einfachheit halber) rechteckige Leiterschleife angewendet.

Bild 5.7a) b)

ϑ


Mit dem aus Gl. (5.7) abgeleiteten Zusammenhang

( )BlIFrrr

×=

ergibt sich direkt, dass die Kräfte und entgegengesetzt gleich groß sind und auf der gleichen Wirkungslinie liegen. Damit heben sich diese auf.Aus Bild 5.7b geht hervor, dass auch und entgegengesetzt gleich groß sind. Allerdings sind deren Wirkungslinien nicht gleich, daher bilden diese ein Kräftepaar.

Das daraus resultierende Drehmoment versucht die Schleife um die x-Achse zu drehen. Jedoch wirken nur die Komponenten, die senkrecht auf der Schleife stehen, daher gilt:

1Fr

3Fr

2Fr

4Fr

Ebenso kann man mit dem Abstand der beiden Wirkungslinien argumentieren, der vom Drehwinkel abhängt mit .Der Betrag der Kraft ist

ϑ ϑsina

, 2 BbIFrr

=

woraus sich für das Drehmoment ergibt:

ϑϑ sinsin 42 aFaFTrr

== (5.8)

ϑsin aBIbT = (5.9)

Wie man leicht nachprüfen kann, stimmt die Richtung des Drehmoments überein mit der von .Bn

rr×


Mit gilt:1=nr

ϑsinBBn =×rr

Damit wird das Drehmoment:

, )()( BnIABnIabTrrrrr

×=×= (5.10)

da für die Fläche der Schleife gilt.

Erhöht man nun die Zahl der Windungen der Schleife von 1 auf N, so wirkt auf jede Windung obiges Drehmoment, das dadurch den N-fachen Wert annimmt.

Definiert man ein magnetisches Dipolmoment:

abA =

nIANmrr

=

mit der Zahl der Windungen N und der Fläche A, die vom Strom I eingeschlossen wird. Dann ergibt sich:

BmTmag

rrr×=

(5.11)

(5.12)

Gl. (5.12) gilt für alle flachen Spulen mit beliebiger Form der Querschnittsfläche A.Diese Gl. entspricht der für das Drehmoment, das ein elektrischer Dipol im elektrischen Feld erfährt:

EpTel

rrr×= (1.57)*


Zu beachten ist, dass bei Verwendung von Gl. (5.12) das magnetische Feld im Bereich des Dipols konstant ist.

Da sich der magnetische Dipol nach dem magnetischen Feld ausrichten will, kann sein Verhalten mit dem einer Magnetnadel oder von Eisenfeilspänen verglichen werden.

Somit ist, wie beim Permanentmagneten, die eine Seite der Nord-und die andere der Südpol. Der Vektor zeigt damit innerhalbdes magnetischen Dipols vom Süd- zum Nordpol. Außerhalbverlaufen die Feldlinien natürlich vom Nord- zum Südpol.

Es ist zu vermuten, dass auch ein Permanentmagnet auf elektrische Kreisströme bzw. bewegte Ladungen zurückzuführen ist.

Die potentielle Energie des magnetischen Dipols

Je nachdem, wie der magnetische (elektrische) Dipol zum magnetischen (elektrischen) Feld liegt, speichert er mehr oder weniger potentielle Energie W.

Die Stromschleife soll daher als magnetischer Dipol aufgefasst werden, dessen Verhalten im magnetischen Feld durch das magnetische Moment beschrieben wird.m

r

mr


wobei und senkrecht auf der Schleife stehen und in -Richtung weisen. Damit wird:

ϑ,2Fr

ϑ,4Fr

ϑ

ϑϑ

ϑϑϑϑ

d sin

d sin2

d sin2

d

2

42

Fa

Fa

Fa

W

r

rr

=

+=

(5.13)

mit Gl. (5.8) folgt daraus:

. dd ϑTW = (5.14)

Für soll willkürlich W = 0 gesetzt werden.

Nun soll wieder das Prinzip der virtuellen Verschiebung verwendet werden:Die differentielle Arbeit dW wird verrichtet, wenn auf die Leiterschleife (oder den Dipol) das Moment T wirkt und die Schleife dadurch um den Winkel so gedreht wird,dass ϑ größer wird:

, d2

d2

d ,4,2 ϑϑ ϑϑ Fa

Fa

Wrr

+=

°= 90ϑ

ϑd


Wird bei der Drehung des Dipols von außen Arbeit aufgewendet, dann speichert dieser die Arbeit in Form potentieller Energie. Daher gilt mit Gl. (5.12):

2

2/2/

cosd sind )(22

ϑϑϑϑϑϑ

π

ϑ

π

BmBmTWm −=== ∫∫rr

Somit kann das Ergebnis in Vektorschreibweise dargestellt werden:

BmWm

rr⋅−= (5.16)

Ganz analog gilt für den elektrischen Dipol:

EpWrv

⋅−= (5.17)

Die Gesamtarbeit erhält man durch Integration:

ϑϑϑ

ϑ

d)(2

1

∫= TW (5.15)


5.5 Die Erregung des magnetischen Feldes

Bisher wurde das durch die magnetische Flussdichte beschrie-bene Magnetfeld über seine Kraftwirkung auf ein bewegtes elektrisches Teilchen und auf einen stromdurchflossenen Draht bzw. eine stromdurchflossene Leiterschleife beschrieben.

Unklar ist bisher, wie das magnetische Feld entsteht, bzw. wie es erregt wird.

Es ist bekannt, dass elektrische Ströme magnetische Felder erzeugen. Aber es ist noch nicht geklärt, wie deren quantitativer Zusammenhang lautet.

Daher sind folgende Fragen zu beantworten:

1. Wie lautet der Zusammenhang zwischen dem elektrischen Strom I (bzw. der Stromdichte ) und der durch ihn (bzw. sie) verursachten magnetischen Flussdichte an jedem Ort?

2. Wird die mag. Flussdichte durch Nahwirkung oder durch Fernwirkung erzeugt?

Jr

Br


5.5.1 Das magnetische Feld eines geraden Stromfadens

Der Zusammenhang zwischen einem sehr dünnen, geraden Leiter (Stromfaden) und der mag. Flussdichte ist in Bild 5.8 gezeigt:

Bild 5.8

Durch die vorausgegangenen Experimente ist bekannt, dass

1. die Feldlinien der Flussdichte konzentrisch um den Stromfaden verlaufen, und

2. die Zuordnung von Strom- und Feldrichtung über eine Rechtsschraube definiert ist.

Damit muss also noch geklärt werden, wie der Betrag der Flussdichte vom Abstand r und vom Strom I abhängt.


Dazu folgendes Experiment:

Wie bereits besprochen, kann die mag. Flussdichte über das Drehmoment auf einen mag. Dipol (z.B. eine Kompassnadel) bestimmt werden:

ϑsinBmTrrr

=

Daher wird eine Kompassnadel ins Feld gebracht und um den Winkel aus der Gleichgewichtslage gedreht. Das dazu nötige Drehmoment wird gemessen: einmal als Funktion des Abstandes r und zum anderen als Funktion des Stromes I.

Beobachtungen:

1. In Gleichgewichtslage ist die Längsachse der Kompassnadel stets senkrecht zum Radius.

2. Daraus folgt unmittelbar, dass die Feldlinien um den Stromfaden konzentrische Kreise sind.

3. Entlang eines Kreises ist der Betrag von konstant.

4. Auf zwei verschiedenen Kreisen verhalten sich die Beträge der Flussdichten und umgekehrt proportional wie die zuge-

hörigen Radien.

5. Ändert sich der Strom I, verändert sich der Betrag der Flussdichte dazu proportional.

ϑ

Br

1Br

2Br


Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

r

IkB = (5.18)

mit der Proportionalitätskonstanten k:

π

µ

20=k wobei ,

Am

Vs 104 7

0−= πµ (5.19)

die Permeabilitätskonstante des Vakuums bezeichnet. Damit wird Gl. (5.18):

r

IB

πµ

20= (5.20)

5.5.2 Die magnetische Erregung (Feldstärke)

Zur Unterscheidung, ob die Kraftwirkung auf die Kompassnadel gemäß einer Nahwirkungstheorie (= der Raum bzw. das Feld ist Träger der Kraftwirkung) oder Fernwirkungstheorie erfolgt (= überall im Raum werden unabhängig vom Abstand gleichzeitig Kräfte ausgeübt), kann man sich ein großes Gebiet mit synchronisierten Atomuhren vorstellen, in dem auf einen Stromfaden unendlich schnell ein Strom geschaltet wird. Der Beginn der Reaktion von in diesem Gebiet verteilten Kompassnadeln wird gemessen, die Reaktionszeit der unterschiedlich weit entfernten Nadeln wird verglichen. Beobachtung: die Reaktionszeit hängt vom Abstand zum Strom ab.


Fazit:

Der Raum ist der Träger magnetischer Kräfte. Diese pflanzen

sich, beim Strom beginnend, in den Raum hinein fort.

Vermutung:

Die elektromagnetischen Felder (Licht) haben eine Ausbrei-tungsgeschwindigkeit (Lichtgeschwindigkeit), die mit den Feldkonstanten und zusammenhängt. ⇒ kommt später!0ε 0µ

Aus Gl. (5.2) geht hervor, dass die mag. Flussdichte unmittelbarfür die Kraftwirkung verantwortlich ist. Die Flussdichte wird jedoch nur indirekt über die Feldkonstante vom Strom Iverursacht (G. (5.20)). Daraus folgt die Frage:

Wie lautet der direkte, materialunabhängige Zusammenhang zwischen verursachendem Strom und erregtem Feld?

0µ

⇒ Definition des Vektors :Hr

HBrr

0µ= (5.21)

die magnetische Erregung (magnetische Feldstärke). Früher wurde analog zur elektrischen Feldstärke gesehen, die ja unmittelbar die Kraft auf elektrische Ladungen beschreibt. Dass dies nicht richtig ist, kann z.B. Gl. (5.2) entnommen werden.

Da jedoch Ursache ( ) und Wirkung ( ) stets gleichzeitig existieren, hat das für die praktische Anwendung keine Bedeutung.

Hr

Er

Hr

Br


Aus G. (5.20) und der Definition Gl. (5.21) folgt:

r

IH

π2= (5.22)

mit den Einheiten:

[ ] [ ][ ] m

A==

r

IH

Bemerkungen:

• Die mag. Erregung hängt linear vom Strom ab und umgekehrt proportional vom Abstand.

• Die Feldlinien von sind ebenso wie die von konzentrische Kreise (k.K.) um den Stromfaden.

• Dabei ist genau der Umfang eines solchen Kreises und damit hat die mag. Erregung genau den Wert des Belages, d.h. des gleichmäßig auf die Feldlinie verteilten Stromes.

• Ermittelt man also das Linienintegral der mag. Erregung entlang einer geschlossenen Feldlinie (=Kreis), erhält man den Wert des eingeschlossenen Stromes:

Hr

Br

rπ2

II

rHsHsHKk

k

Kk

k ====⋅ ∫∫∫ ππ

ϕπ

22

ddd2

0....

rrrrr


Damit lässt sich verallgemeinern:

∫ =⋅ IsdHrr

(5.23)

Dieser Zusammenhang ist in Bild 5.9a dargestellt.

Bild 5.9a 5.9b

Das Linienintegral der magnetischen Erregung ist bei einer

einmaligen Umkreisung gleich der Stromstärke im Draht.

Um diese Behauptung (also die Umkreisung auf beliebigen Wegen) zu beweisen, wird Bild 5.9b herangezogen. Dazu wird das Wegelement in die drei orthogonalen Vektoren ,und zerlegt, wobei parallel zum Draht gerichtet ist:

sr

d rsr

dϕsr

dzsr

d zsr

d

zr ssssrrrr

dddd ++= ϕ


Damit wird:

zr sHsHsHsHrrrrrrrr

dddd ⋅+⋅+⋅=⋅ ϕ

Auf der rechten Seite sind der erste und der letzte Term jeweilsNull, da in beiden Fällen die Vektoren senkrecht aufeinander stehen. Da gilt:

ϕϕ dd rs =r

*)

wird aus *):

Irr

IsdHsdHsdH ===⋅=⋅ ∫∫∫∫ ϕ

π

π

ϕϕ d2

2

0

rrrrrr

Daraus folgt:∫ =⋅ IsdH

rr

Was gilt nun für den Fall, bei dem der geschlossene Weg den Strom nicht umschließt? Dazu wird Bild 5.10 betrachtet:

Bild 5.10

**)


Der Integrationsweg wird in Pfeilrichtung durchlaufen. Vom Strom I gehen zwei radiale Strahlen aus, die über den Winkeldie beiden Wegabschnitte und festlegen. Analog zu **) gilt:

ϕd1dsr

2dsr

ϕπ

d2

d 22

IsH =⋅rr

, d 2

d 11 ϕπ

IsH −=⋅rr

d.h. die Summe dieser beiden Teilbeiträge ist Null. Da der gesamte Weg in solche paarweisen Teilbeiträge zerlegt werden kann, wird das gesamte Linienintegral zu Null. Die Tatsache, dass in diesem Beispiel weiter von I entfernt ist als , wird dadurch ausgeglichen, dass entsprechend länger ist als .

2dsr

1dsr

2dsr

1dsr

Mehrere gerade Leiter

Wie in Bild 11 gezeigt, sollen mehrere gerade Leiter von unter-schiedlichen Strömen durchflossen werden:

Bild 5.11


Jeder dieser Leiter erzeugt ein seinem Strom direkt proportionales mag. Feld. Diese Felder überlagern sich linearzum Gesamtfeld:

. 321 HHHHrrrr

++=

Das Linienintegral entlang der geschlossenen Kurve C (Bild 5.11) ergibt dann durch Überlagerung aller Feldbeiträge der einzelnen Ströme die Gesamterregung:

, dddd 321321 IIIsHsHsHsHCCCC

++=⋅+⋅+⋅=⋅ ∫∫∫∫rrrrrrrr

die durch die Summe aller von C umschlossenen Ströme gebildet wird. Analog dazu kann auch die von C berandete Fläche Abetrachtet werden:

Alle Ströme, die durch die Fläche A hindurchtreten, bilden

die Gesamterregung des magnetischen Feldes.


5.5.3 Die magnetische Spannung

Aus der Elektrostatik ist bekannt:

( ) ( ) , d2

1

122112 ∫ ⋅==−=∆

P

P

sEUPΦPΦΦrr

(1.19)*

dass die elektrische Spannung aus der Potentialdifferenz und damit letztlich aus dem Linienintegral über die elektrische Feldstärke berechnet wird.

Analog dazu soll nun der Begriff der magnetischen Spannungdefiniert werden als Linienintegral der magnetischen Erregungzwischen zwei Punkten:

∫ ⋅=2

1

P

P

m sdHVrr

(5.24)

Dieser Begriff findet später Anwendung, wenn sog. magnetische Kreise (in Analogie zum elektrischen Stromkreis) besprochen werden. In diesen ist die mag. Spannung die „treibende Kraft“.

Einheit der magnetischen Spannung:

[ ] [ ][ ] Amm

Ad === sHVm


Für einen geschlossenen Weg C wird das Linienintegral

∫ ⋅=C

m sHVrro

d

als magnetische Randspannung bezeichnet. Die magnetische Randspannung ist im allgemeinen nicht Null.

5.5.4 Das Durchflutungsgesetz

Im Abschnitt 5.5.2 waren die Stromleiter stets gerade. In Bild 5.12 ist eine kreisförmig gebogene Leiterschleife gezeigt.

Bild 5.12


Für diese gilt ebenfalls die zu I proportionale Abhängigkeit:

IsH =⋅∫C

drr

Mit diesem und dem aus Bild 5.11 gewonnenen Ergebnis soll nun ein allgemeiner Zusammenhang zwischen der

mag. Erregung und den „Quellen“ I gefunden werden,

die von einer geschlossenen Kurve C umschlossen werdenbzw.die durch die Fläche A treten, die von C umschlossen wird.

Dazu dient Bild 5.13, wobei Θ die mit der Randkurve Cverkettete Durchflutung bezeichnet:

Bild 5.13

Hr


Damit kann das sog. Durchflutungsgesetz formuliert werden:

„Die magnetische Randspannung auf einer beliebigen ge-schlossenen Randkurve C ist gleich der mit C verketteten Durchflutung.“

Mathematisch heißt das:

Θ=⋅= ∫C

m sHVrro

d (5.25)

Beachte:

Umlaufrichtung von C und Durchflutung Θ müssen eine Rechtsschraube bilden.

Wird, wie in Bild 5.13 die Durchflutung durch Teilströme (i=1, 2, 3) gebildet, dann gilt:

03211

++−==∑=

IIIIΘ

n

ii

(5.26)

Der Strom muss nicht in einzelnen Stromfäden lokalisiert sein, er kann sich auch über die Fläche A verteilen. Dann gilt:

∫∫ ⋅=A

AJΘrr

d (5.27)

Der Flächenvektor zeigt in Richtung der Durchflutung Θ, wobei Gl. (5.27) direkt mit Gl. (2.5) verknüpft ist.

Adr


Damit lautet die allgemeine Form des Durchflutungsgesetzes:

∫∫∫ ⋅=⋅AC

AJsHrrrr

dd (5.28)

Hier ist die geschlossene Kurve C der Rand der Fläche A, die von der Durchflutung Θ durchsetzt wird.

Beachte: Gl. (5.28) gilt nur für zeitlich konstante Ströme und Felder. Später wird dieses noch um einen Term erweitert.

5.5.5 Beispiele zum Durchflutungsgesetz

1. Beispiel: Das magnet. Feld im Inneren einer Zylinderspule

In Bild 5.14 ist eine sehr (unendlich) lange Zylinderspule (Solenoid) gegeben.

Bild 5.14


Diese Spule habe k Windungen pro Längeneinheit, die ohne Zwischenraum aneinander liegen. Der Strom im Draht habe die Stärke I. Das Verhältnis von Länge zu Durchmesser ist sehr groß.

Aus diesen Annahmen folgt:

• das Feld im Außenraum ist gleich Null• das Feld im Inneren ist homogen

Nun wird das Durchflutungsgesetz auf die rechteckförmige Randkurve C angewendet, wobei das Linienintegral längs C in der vorgegebenen Richtung gebildet wird:

∫∫∫∫∫ ⋅+⋅+⋅+⋅=⋅a

d

d

c

c

b

b

aC

sHsHsHsHsHrrrrrrrrrr

ddddd (*)

In (*) sind rechts die Integrale von b nach c und von d nach a Null, da die Vektoren im Skalarprodukt senkrecht stehen.

Das Integral von c nach d ist Null, da im Außenraum kein Feld vorhanden ist. Damit bleibt für die linke Seite von Gl. (5.28):

lHsHsHsHb

a

b

aC

==⋅=⋅ ∫∫∫ dddrrrrr


Die rechte Seite des Durchflutungsgesetzes Gl. (5.28), also die Durchflutung der Kurve C, ergibt:

IKAJΘ

A

=⋅= ∫∫rr

d

mit insgesamt K Windungen innerhalb von C. Damit ergibt sich:

IKlH =

oder mit der längenbezogenen Windungszahl k=K/l:

Ikl

IKH == (5.29)

Die Einheit für KI wird mit Amperewindungen bezeichnet. D.h. wenn z.B. durch die Spule 1 A fließt und innerhalb von C6 Windungen liegen (K=6), dann ist KI =6 Amperewindungen.

Durch Multiplikation mit ergibt sich die magnetische Flussdichte:

0µ

IkB 0µ=


2. Beispiel: Das magnetische Feld eines zylindrischen Drahtes mit endlicher Dicke

Gegeben sei ein Draht mit kreisförmigem Querschnitt (Radius a), der vom Gesamtstrom I durchflossen wird. Dieser ist gleich-mäßig über den Querschnitt verteilt (Bild 5.15). Der Draht sei unendlich lang und gerade.

Gesucht sind mag. Erregung und Flussdichte innerhalb und außerhalb des Drahtes.

Aus diesen Vorgaben folgt:

• die Feldlinien der mag. Erregung und Flussdichte sind aus Symmetriegründen konzentrische Kreise,

• auf einem beliebigen Kreis mit Radius r sind B und Hkonstant.

Bild 5.15


Zunächst sollen die Felder im Inneren berechnet werden:

Dazu wird das Durchflutungsgesetz auf die Fläche Ar mit dem Radius r angewendet.

Die linke Seite von Gl. (5.28) ergibt:

HrsHC

π2d =⋅∫rr

und die rechte Seite:

2

2

2ddd

a

rIA

a

IAJAJ

rrr AAA

===⋅ ∫∫∫∫∫∫ π

rr

Damit erhält man für die Felder im Inneren:

arIa

rBI

a

rH ≤==

2 ;

2 202 πµ

π(5.30)

Für die Felder im Außenraum ergibt sich direkt mit Gl. (5.22) und (5.20):

arr

IB

r

IH ≥==

2 ;

20

πµ

π


Damit ergibt sich die in Bild 5.16 dargestellte Abhängigkeit der mag. Erregung vom Radius (der auf den Drahtradius bezogen wird):

Bild 5.16

Dieses Ergebnis gilt streng genommen nur für den unendlich langen, geraden Leiter mit endlicher Dicke.

Näherungsweise ist dies auch im Inneren und in der Nähe des Drahtes gültig, wenn der Krümmungsradius sehr viel größer ist als der Drahtradius.

Bei r=a müssen beide Lösungen stetig ineinander übergehen.


5.6 Kraft zwischen zwei stromdurchflossenen Leitern

In Bild 5.17 sind zwei parallele, stromdurchflossene Leiter (I1, I2) gegeben. Ist die Stromrichtung entgegengesetzt, stoßen sich die Leiter ab:

Bild 5.17

Ist die Stromrichtung gleich, ziehen sich die Leiter an.

Da die Felder des jeweils anderen Leiters überall auf dem betrachteten Leiter senkrecht stehen, erhält man für die Kräfte auf die Leiterstücke 1 und 2 der Länge l:

122211 BlIFBlIF ==

mit

aπ

IB

aπ

IB

2

22

021

01 µµ ==

folgt

a

IIlFF

πµ

221

021 == (5.31)


Betrachtet man die Einheiten von Gl. (5.31), dann erkennt man, dass sich damit das „Ampere“ festlegen lässt:

„Das Ampere ist die Stärke eines zeitlich konstanten Stroms, der auf zwei parallele, unendlich lange, im Abstand von 1 Meter befindliche Leiter mit sehr kleinem Querschnitt die Kraft von 2⋅10-7 N pro 1 Meter Leitungslänge hervorruft *).“

Damit:1A ,

m

N102 21

7 ===⋅= − IIIl

F

1m=a

Mit dieser Festlegung vom 2.7.1969 ist dann auch festgelegt:0µ

Am

Vs104

mA

Nm

1

2102

2 7

2

7

20−− ⋅=⋅== π

ππµ

I

a

l

F

*) Der Betrag der Kraft wurde so gewählt, dass die Definition für „Ampere“ mit der alten Definition übereinstimmt.

Im Voraus:

Zusammenhang zwischen den Feldkonstanten und der Ausbreitungsgeschwindigkeit des Lichts:

00

1

εµ=c (5.32)


Da für c = 2,9979 · 108 m/s gilt, ist die Dielektrizitätskonstanteebenfalls festgelegt:

Vm

As 108543,8 12

0−⋅=ε

5.7 Zur Bestimmung magnetische Felder

wird wegen fehlender mathematischer Grundlagen zu einem späteren Zeitpunkt nachgeholt!


5.8 Die magnetischen Eigenschaften der Materie

Bereits in den letzten Kapiteln wurde angedeutet, dass der Magnetismus vermutlich auf Kreisströme, hervorgerufen durch die gebundenen Elektronen, zurückzuführen ist. Normalerweise sind die den Kreisströmen zugeordneten Dipolmomente gleichmäßig in alle Raumrichtungen verteilt. Eine magnetische Wirkung ist erst dann zu beobachten, wenn die einzelnen Dipolmomente teilweise eine Vorzugsrichtung erhalten.

Die Aufgabe lautet nun: Wie kann das (mikroskopische) Ver-halten der Materie mit der (makroskopischen) Beschreibung des Feldes verknüpft werden?

5.8.1 Der Magnetisierungsvektor

Betrachtet wird ein Abschnitt dl aus einem Eisenstab, in dem alle Dipolmomente gleichgerichtet sein mögen (Bild 5.19a).

Bild 5.19 a

„Schicht 1“

„Schicht 2“


Pro Volumeneinheit seien Nm solcher Dipole enthalten.

Daraus ergibt sich die Definition der Magnetisierung:

Der Vektor der Magnetisierung setzte sich aus allen im Volumen enthaltenen magnetischen Dipolen zusammen.

Mr

mNM m

rr= (5.37)

Diese Gleichung gilt nur, wenn alle Dipolmomente gleiche Orientierung haben. Andernfalls muss eine Vektoraddition erfolgen.

M ist also das gesamte magnetische Dipolmoment pro Volumen.

Nun betrachten wir die zugehörigen Ringströme IM mit der Fläche AM im Querschnitt A des Stabes, die die einzelnen Dipole und deren Überlagerung hervorrufen (Bild 5.19 b):

Bild 5.19 b


Im Inneren des Querschnitts A kompensieren sich die Ringströme gegenseitig, lediglich am Umfang überlagern sich alle kleinen Kreiströme zum Umfangsstrom IM, der überall „in einer Schicht“ (siehe Bild 5.19 a) am Außenmantel um den Stab die gleiche Richtung hat und in sich geschlossen ist.Daher verhält sich ein homogen magnetisierter Stab wie eine stromdurchflossene Spule.

Wie verhält sich nun die Magnetisierung M zu den Umfang-strömen IM?Wenn N0 die Zahl der Stromschleifen am Umfang bzw. die Zahl der „Schichten“ ist (in Bild 5.19 a: N0=2), dann lässt sich die Gesamtzahl Z der Dipole im Volumen des Stabstückes Adlbestimmen zu:

, 0mA

ANZ =

wobei A/AM die Zahl der Dipole innerhalb einer „Schicht“ ist und AM die Fläche eines Kreisstroms. Andererseits kann Z auch bestimmt werden zu:

lANVNZ MM dd ==


Wird Z eliminiert und auf beiden Seiten mit IM multipliziert:

lmNlIANIN MMMMM dd0

r==

(5.38)

ergibt sich mit Gl. (5.37):

lMIN M d0

r=

Dieses Ergebnis kann direkt mit dem des Solenoid aus Abschnitt 5.5.5.1 verglichen werden:

Bild 5.14*

N0= 6 „Schichten“

Danach entspricht N0IM der Durchflutung innerhalb der Kurve Cund Mdl der magnetischen Randspannung, wobei nur die Strecke zwischen a und b einen Beitrag liefert (Bild 5.19 a).


Damit kann die Magnetisierung innerhalb des Stabes, d.h. im Material, als magnetische Erregung im Stoff aufgefasst werden.

Das entspricht der magnetischen Erregung außerhalb des Stoffes.

Damit setzt sich das magnetische Feld in einem Punkt zusammen:

Mr

Hr

( )MHBrrr

+= 0µ (5.39)

aus der magnetische Erregung H, die mit allen externen, makroskopischen Strömen verknüpft ist und der Magnetisierung M, die allein vom Material aufgebracht wird und die aus den scheinbaren, inneren, mikroskopischen Strömen IM hervorgeht.

Permeabilität, Suszeptibilität

Üblicherweise wird anstelle von Gl. (5.39) eine zur Gl . (1.61)

ED r

rrεε0= (1.61)*

analoge Schreibweise verwendet:

HB r

rrµµ0= (5.40)


Die Magnetisierung kann ausgedrückt werden durch:

( ) , 1 HHM r

rrrχµ =−= (5.41)

wobei mit Gl. (5.40) gilt:

HHHHHMB r

rrrrrrrµµχµχµµ 0000 )1()()( =+=+=+=

Die Größe wird relative Permeabilität genannt undSuszeptibilität des Stoffes.

rµ1−= rµχ

5.8.2 Drehimpuls und magnetisches Moment

Die Ursache für die Dipolmomente liegt an zwei Bewegungen:

1. dem Spin der Elektronen, d.h. der Drehung um die eigene Achse und

2. der Bewegung der Elektronen um den Atomkern.

Diese Bewegungen sind in beiden Fällen einem winzigen Kreisstrom äquivalent.Zunächst soll die Bahnbewegung des Elektrons um den Kern betrachtet werden. Dabei soll dies mit den Mitteln der klassischen Mechanik geschehen. Tatsächlich muss zur Bestimmung von Spin- und Bahndrehimpuls die Quantenmechanik verwendet werden. Daher dienen die folgenden Berechnungen im Wesentlichen der Veranschaulichung.


Ein Elektron mit der Masse m0 bewegt sich im Abstand r und mit der Winkelgeschwindigkeit ω um einen festen Mittelpunkt (Atomkern) (Bild 5.20).

rvrrv

×=ω

•

ωrr

,BL

Bmr

rr

vr

em ,0

•

Bild 5.20

Die Bahngeschwindigkeit ist gegeben durch:

Der Drehimpuls der Punktmasse (Elektron) wird definiert zu:

( )vmrLB

rrr

0×= (5.42)

und entspricht dem Impuls für geradlinige Bewegungen.vmprr

=


Ändert sich der Drehimpuls in der Zeit, so wirkt ein Dreh-moment:

,d

dBL

tT

rr= (5.43)

wenn der Mittelpunkt der Kreisbewegung ortsfest ist. Mit dem Zusammenhang zwischen Bahn- und Winkelgeschwindigkeit:

ωrv =

wird der Betrag LB:

ω200 rmrvmLB == (5.44)

Der Term m0r2 wird Trägheitsmoment genannt.

Zur Bestimmung des magnetischen Dipolmoments muss nun der Strom des Elektrons aufgrund seiner Bahnbewegung bestimmt werden:

t

QI

d

d=

Da die Umlaufzeit des Elektrons beträgt, wird der Strom:vr /2π

vr

eI

π2=


Das Dipolmoment wird gemäß Gl. (5.11):

222 rve

rr

evAImB === π

π(5.45)

Ebenso wie der Bahndrehimpuls steht auch das Dipolmoment senkrecht auf der Bahnebene. Allerdings zeigt dies in die entgegen gesetzte Richtung, da das Elektron eine negative Ladung hat.

Setzt man Dipolmoment und Bahndrehimpuls ins Verhältnis, erhält man:

00 2

1

2 m

e

vrm

evr

L

m

B

B ==

Damit ergibt sich für das Bahndipolmoment:

BB Lm

em

rr

02−= (5.46)

der auch mit der Quantenmechanik erhältliche Zusammenhang.


Jetzt soll die Spinbewegung betrachtet werden. Dazu wird das Elektron als kleine Kugel angenommen, in der Ladung und Masse homogen verteilt sind, d.h. bezeichnet die Massendichte und die Raumladungsdichte.

Das Elektron rotiere mit der Winkelgeschwindigkeit ω um seine Achse. Ein Volumenelement dV hat die Masse:

Vmm 0=ρVeel −=ρ

Vm mdd 0 ρ=

und die Ladung:

VQ eldd ρ−=

Damit ergibt sich für den Bahndrehimpuls von *) analog zuGl. (5.44):

*)

**)

0dd mvrLS =

Für das magnetische Dipolmoment gilt in Analogie zu Gl. (5.45):

Qvr

mS d2

d =

Das Verhältnis beider ergibt:

00 2d2

d

d2

d

d

d

m

e

V

V

mvr

Qrv

L

m

m

el

S

S −===

ρ

ρ(5.46)


Damit erhält man das gleiche Ergebnis wie im Falle der Bahnbewegung, da der Vorfaktor konstant bzgl. der Integration ist:

02me−

SS Lm

em

rr

02−=

Dieses Ergebnis entspricht nicht der Quantenmechanik. Diese ergibt ein um den Faktor 2 größeres Verhältnis:

(5.47)SS L

m

em

rr

0

−=

(falsch!!!)

Eine Überlagerung von Bahn- und Spinmoment, bzw. Bahn- und Spindrehimpuls ergibt:

gesges Lm

egm

rr

02−= (5.48)

Der Faktor g ist der sog. Landé-g-Faktor, der die Kopplung zwischen Spin und Bahnmoment kennzeichnet und der je nach Atom zwischen 1 und 2 liegt (1: reines Bahnmoment, 2: reines Spinmoment).


5.8.3 Diamagnetismus

Im Jahr 1836 entdeckte M. Faraday folgenden Effekt: Bringt man eine Wismutprobe in die Nähe eines starken Magnetpols, wird diese abgestoßen, gleiches gilt für Kupfer, Silber und Glas.

Der Diamagnetismus kommt in allen Substanzen vor. Allerdings ist der Effekt sehr viel schwächer als der Para- oder der Ferro-magnetismus.

Zur Erklärung des diamagnetischen Effekts betrachtet man zunächst einen Stoff mit vielen Atomen. Diese sind beliebig in alle Richtungen angeordnet, daher kompensieren sich alle magnetischen Momente. Da sich im Prinzip genau zwei Atome gegenseitig kompensieren, sollen diese in Bild 5.21 betrachtet werden:

Bild 5.21


Im linken Bild 5.21 läuft das Elektron links herum, im rechten Bild rechts um den Atomkern. Da die elektrische Kraft zwischen Kern und Elektron gleich der Zentrifugalkraft ist, gilt:

rmr

vmFE

200

20

0 ω== (5.49)

wobei die Bahngeschwindigkeit v0 (bzw. die Winkelgeschwin-digkeit ω0) diejenige ohne Magnetfeld ist.Werden die beiden Atome nun einem Magnetfeld ausgesetzt, wirkt auf das umlaufende Elektron eine zusätzliche Kraft:

BreBveFBveF BB

rrrrω==×−= );( (5.2)*

die im linken Fall in Richtung der elektrischen Kraft wirkt, im rechten Fall dieser entgegengesetzt ist. Die unterschiedlichen Beträge der Kräfte haben unterschiedliche Winkelgeschwindig-keiten zur Folge:

2202

200

2101

200

:rechts

:links

ωωω

ωωω

rmBerrmFF

rmBerrmFF

BE

BE

=−=+

=+=+rr

rr*)

**)


Zunächst soll die rechte Seite von *) berechnet werden mitω1= ω0+∆ω :

( ) ( )( )ωωω

ωωωωωωω

∆+

≈∆+∆+=∆+=

0200

20

200

200

210

2

2

rm

rmrmrm

Analog gilt für die rechte Seite von **) mit ω2= ω0 - ∆ω :

( ) )2( 0200

200

220 ωωωωωω ∆−≈∆−= rmrmrm

Diese Näherung gilt, da ∆ω << ω1, ω2,. Jetzt wird die Näherungin *) eingesetzt:

ωωωωω ∆+≈+ 002001

200 2rmrmBerrm

damit wird:

000

1

22 m

eB

m

Be≈≈∆

ω

ωω

und in **) eingesetzt:

ωωωωω ∆−≈− 002002

200 2rmrmrBerm

damit wird:

000

2

22 m

eB

m

Be≈≈∆

ω

ωω

***)


Die magnetischen Momente sind durch Gl. (5.45) gegeben:

22

2reevrAImB

ω===

Sie sind proportional ω. Das magnetische Moment des linken Elektrons zeigt in die Blattebene hinein, das rechte heraus.Ohne Magnetfeld haben beide Elektronen gleiches Dipolmoment, mit Magnetfeld wird das des linken erhöht und des rechten vermindert um den Betrag:

2

2remB

ω∆=∆

Damit wird die Gesamtänderung der Dipolmomente beider Elektronen mit ***):

( ) Bm

reB

m

eerermmm BBD

0

22

0

22

22==∆=∆−−∆= ω

(5.50)

Der Vektor ist zum Vektor entgegengesetzt gerichtet. Die Magnetisierung, hervorgerufen durch alle Dipolmomente in einem Stoff, wirkt somit als (sehr schwache) Gegenerregung mit:

Dmr

Br

Dmr

1 bzw. ,0 << rµµµ

Z.B. Wismut: µr ≈ 1 - 1,6·10-4 ≈1


5.8.4 Paramagnetismus

Zur Erinnerung:Diamagnetische Stoffe weisen ohne ein äußeres magnetisches Feld kein magnetisches Moment auf.

Dazu im Gegensatz:Die Atome paramagnetischer Stoffe haben ein magnetisches Moment .

Wären alle atomaren magnetischen Momente innerhalb eines Stoffes gleichgerichtet, ergäbe sich die Magnetisierung von:

mr

mNMrr

=max

bei N Atomen pro Volumeneinheit.

Aber: Oberhalb des absoluten Nullpunktes vollziehen alle Atome eine thermische Bewegung. Daher sind die einzelnen Dipol-momente nicht gleichgerichtet.Da die thermische Energie der einzelnen Atome sehr viel größer ist als deren potenzielle magnetische (durch die Lage der Momente zueinander, vgl. Kap. 5.4), ist die Gesamtwirkung gering.Pierre Curie (1859 - 1906, französischer Physiker) fand 1895 folgenden experimentellen Zusammenhang:

max0

MT

BCM ≤=

µ

rr

(5.51)


Dabei ist C die Curie-Konstante. Da gilt:

HMrr

χ= (5.41)*

sowieHBrr

0µ= (5.21)*

istT

C=χ

Sind die Felder sehr groß oder die Temperaturen sehr klein, ist Gl. (5.51) nicht gültig. Für ein typisches Feld von 1 T und Temperaturen größer 250 K befindet man sich im linearen Teil der Kurve 5.22, die die Abhängigkeit der Magnetisierung (bezogen auf die Temperatur) vom magnetischen Feld zeigt. Hier ist Gl. (5.51) gültig.

Bild 5.22


Vergleicht man die paramagnetische Suszeptibilität mit der diamagnetischen , dann stellt man fest, dass die paramag-netische um ca. 2 Größenordnungen größer ist.

pχdχ

Paramagnetische Stoffe sind: Aluminium (Al), Silizium (Si), Platin (Pt) und weitere.Da Diamagnetismus in allen Stoffen vorkommt, sind diamag-netische Stoffe solche, die nicht paramagnetisch und nicht ferromagnetisch sind.

5.8.5 Ferromagnetismus

Wie die paramagnetischen Stoffe besitzen auch die ferro-magnetischen ein permanentes magnetisches Moment.Dieses kommt vom Spin (Eigenrotation) der gebundenen Elektronen (ergibt sich aus der Quantentheorie der Atome). Die kleinen Dipole wechselwirken miteinander und erzeugen spontan eine Gesamtausrichtung (die quantenmechanisch berechenbar ist) des magnetischen Moments.

Wichtig: Ferromagnetismus ist nicht nur eine Eigenschaft einzelner Atome, sondern auch die zwischen benachbarten Atomen. D.h. innerhalb eines Bereichs werden die Momente „synchronisiert“.


Diese Bereiche (Bild 5.23) werden „Weißsche Bezirke“ genannt. Deren Orientierung der Magnetisierung ist ohne äußeres Feld völlig regellos.

Bild 5.23

Wird eine stoffspezifische Temperatur, die Curie-Temperatur, überschritten, dann hört die spontane Magnetisierung innerhalb der Bezirke plötzlich auf. Der Stoff wird paramagnetisch. Für Eisen beträgt die Curie-Temperatur 1033 K.

Die Magnetisierungskurve

Im folgenden soll ein äußeres Feld an das ferromagnetischeMaterial gelegt werden. Gleichzeitig wird die makroskopischeWirkung dieses Materials beobachtet, indem eine sog. Magnetisierungskurve aufgenommen wird. Eine Magnetisierungskurve ist die Abhängigkeit der Flussdichte von der (von außen eingeprägten) magnetischen Erregung.


Die äußere Erregung wird mit einer Ringspule erzeugt, die im Inneren einen Eisenring hat:

Bild 5.3*

Ist der Ringdurchmesser groß gegen den Windungsdurchmesser, ergibt sich ein relativ homogenes Magnetfeld im Inneren (vgl. Kap. 5.2). Die Erregung ist bei n Windungen:

InH ≅

Die magnetische Flussdichte B (alle Größen hier skalar) kann durch Messung der induzierten Spannung ermittelt werden (erst in Kap. 6).


Bild 5.24 zeigt typische Magnetisierungskurven eines ferromagnetischen Stoffes:

Bild 5.24

Erläuterung:

1. Start bei I = 0; Strom wird langsam erhöht, B wächst entlang der Kurve 1, der sog. Neukurve. B ist in Tesla angegeben, Hwird mit multipliziert, um die Verhältnisse der Zahlen-werte auf x- und y-Achse zu verdeutlichen. Damit istin µTesla angetragen!Daraus geht hervor, dass bzw. sehr viel größer als 1 sind.

0µH0µ

χ rµ


2. Bei größer werdenden Werten von H wird die Kurve flacher, man spricht von Sättigung des Eisens.

3. Für sehr große Werte von H wird die Steigung zu 1, d.h.

10

=∆

H

B

µ

und mit)(0 MHB

rrr+= µ (5.39)*

folgt, dass in diesem Bereich M = konstant ist. (Geradengleichung). Weiterhin wird deutlich, dass mit

HB r

rrµµ0=

die relative Permeabilität stark von H abhängt.

(5.40)*

4. Lässt man den Strom I bzw. die Erregung H langsam wieder abnehmen, dann nimmt B nicht längs der Neukurve 1 ab, sondern entlang der Kurve 2. Damit sind die B-Werte stets größer als die der Kurve 1. Bei H = 0 bleibt eine magnetische Flussdichte Br, die sog. Remanenzflussdichte, erhalten. Dies ist der permanente Magnetismus.


5. Um B auf Null zu bringen, muss die Erregung negativ werden. Die dazu erforderliche Erregung heißt Koerzitivfeldstärke Hc.

6. Mit wachsender negativer Erregung wird das Eisen in negativer Richtung gesättigt. Wird die Stromrichtung wieder geändert, d.h. die Erregung in entgegengesetzter Richtung aufgeprägt, durchläuft man die Kurve 3. Die y-Achse wird bei-Br und die x-Achse bei +Hc durchlaufen.

7. Die Kurven 2 und 3 zusammen nennt man Hystereseschleife. Die Form der Hystereseschleife hängt von der Eisensorte ab und davon, wie weit die Neukurve 1 durchlaufen wurde. Bricht man die Neukurve an einer Stelle geringerer Erregung ab (siehe gestrichelte Linie), dann wird die Hystereseschleife kleiner. D.h. bei gegebener Erregung H hängt die Flussdichte B von der Vorgeschichte ab!

8. Schlanke bzw. schmale Hystereseschleifen ordnet man magnetisch weichem Material zu, breite magnetisch hartem. Im ersten Fall ist die Ummagnetisierung leicht, d.h. Hc ist gering, im zweiten Fall ist Hc groß.


Phänomenologische Beschreibung der Neukurve 1:

Die Magnetisierungrichtung der einzelnen Weißschen Bezirke ist parallel oder unter einem bestimmten Winkel zu den Kristall-achsen angeordnet (Bild 5.25 a). Bestimmte Richtungen sind energetisch bevorzugt, diese werden als leicht bezeichnet, die anderen als schwer.Ist das an dem polykristallinen Eisen angelegte Feld schwach, erfolgt ein Wachstum der Bezirke (Bild 5.25 b), deren Richtung mit der der Erregung zumindest teilweise, d.h. in einer Komponente, übereinstimmt. Insbesondere leichte Bezirke wachsen stärker:

a) ohne Feld b) Wandverschiebung

c) Drehung

Bild 5.25

Diesen Vorgang nennt man Wandverschiebung (5.25 b).


Die Wandverschiebung entspricht dem schwachen Anstieg der Neukurve 1 im Anfangsbereich.Für kleine Felder ist dieser Vorgang reversibel, d.h. wird H in Bild 5.25 b ausgeschaltet, stellt sich der Zustand 5.25 a wiederein. Damit ist die Flussdichte B wieder Null.

Wird H vergrößert, verschiebt sich die Wand weiter. Damit wächst die Wahrscheinlichkeit, dass die Wand an eine Verunreinigungsstelle (andere Stoffe, Korngrenze, ...) gelangt, an der die Verschiebung zunächst stoppt. Erst bei weiterer Felderhöhung „springt“ die Wand. Damit wird die Magnetisierung unstetig. Dieses Verhalten beschreibt den mittleren Teil der Neukurve, der bei Vergrößerung treppenförmig verläuft. Dieser Bereich ist nicht mehr reversibel.

Der letzte Abschnitt der Magnetisierung entspricht der Drehung der Dipolmomente aus den „leichten“ Richtungen in die Richtung des äußeren Feldes (Bild 5.25 c). Dazu ist ein starkes Feld nötig. Der Anstieg der Kurve 1 ist daher viel flacher.

Die einzelnen Abschnitte der Magnetisierungskurve lassen sich nicht scharf abgrenzen, der Übergang ist fließend. Polykristal-lines Eisen besteht aus vielen Kristallen, die wiederum jeweils mehrere Weißsche Bezirke beinhalten. Die Größe und Ausbildung der Kristalle hängen auch von der Vorbehandlung des Materials ab. Damit hängen auch die Neukurve und die Hystereseschleife von der Vorbehandlung ab.


Durch die Vorbehandlung wird auch die Ausrichtung der Kristalle beeinflusst, die wiederum zur Anisotropie des magnetischen Verhaltens führt. Deswegen sind die Magnetisierungskurven (Bild 5.24) auch noch abhängig von der Richtung der Erregung.

Aufgrund dieser komplexen Zusammenhänge gibt es bisher keine physikalisch begründete geschlossene Beschreibung der gesamten Kurve!!

Daher ist es üblich, mit der gemessenen Kurve der benutzten Eisensorte zu arbeiten. Die gemessenen Verläufe können auch mit geeigneten Funktionen approximiert werden (z.B. mit Parabelabschnitten). Bei weichmagnetischem Eisen für elektrische Maschinen kann man mit einer mittleren Linie (Neukurve) arbeiten, insbesondere wenn, wie in der Wechselstromtechnik, die Hysterese periodisch durchlaufen wird.

Bei schneller Änderung des Bezirkes und der Magnetisierung entstehen Energieverluste. Z.B. erzeugt das plötzliche „Springen“ der Wand eine Schallwelle, die Energie abtransportiert. Später wird gezeigt, dass die Fläche innerhalb der Hystereseschleife ein Maß für die Ummagnetisierungsverluste bei einmaligem Durchlauf darstellt.


5.8.6 Bedingungen an Grenzflächen

Im elektrischen Feld wurde festgestellt, dass an der Grenzfläche zweier Dielektrika gilt (Kap. 1.9.2):

1.

2.

Analog dazu werden jetzt in Bild 5.26 die Feldlinien der magnetischen Flussdichte an der Grenzfläche zweier Materialien mit unterschiedlicher Permeabilität betrachtet.

21 tt EE =

21 nn DD =

(1.63)*

(1.64)*

Bild 5.26 a 5.26 b


Zunächst wird das Durchflutungsgesetz auf den Rand des Rechtecks in Bild 5.26 b angewendet. Die Schmalseiten des Rechtecks seien infinitesimal klein. Daher liefern sie keinen Beitrag zur magnetischen Randspannung. Da durch das Rechteck kein Strom fließt, gilt:

0d 21 =−=⋅∫ dHdHsH tt

rr

Hier ist d klein genug, um mit konstanter Erregung auf den Längsseiten rechnen zu können. Daraus folgt mit

21 tt HH =

die Stetigkeit der Tangentialkomponenten der magnetischen Erregung an der Grenzfläche.

Nimmt man nun das Rechteck in Bild 5.26b als Schnittfläche durch einen zylindrischen Körper („Schuhcremedose“) und wendet die Quellenfreiheit des mag. Flusses darauf an:

∫∫ +−==⋅ , 0 21 ABABAdB nn

rr

dann gilt damit:21 nn BB =

die Stetigkeit der Normalkomponenten der mag. Flussdichte an der Grenzfläche.

(5.52)

(5.53)


Mit den Winkeln der Feldlinien zur Normalen der Grenzfläche gilt:

2,1

2,12,10

2,1

2,12,1tan

n

tr

n

t

B

H

B

Bµµα ==

Das Verhältnis der beiden Tangens ergibt:

2

1

122

211

2

1

tan

tan

r

r

ntr

ntr

BH

BH

µ

µ

µ

µ

α

α== (5.54)

das Brechungsgesetz der Feldlinien der magnetischen Flussdichte an einer Grenzfläche. Solange B und Hgleichgerichtet sind in beiden Medien, gilt dies auch für die magnetische Erregung.

Grenzschicht Luft - Eisen

Bild 5.26 c

1

1

2

1

>>

=

r

r

µ

µ

Luft Eisen


Damit wird das Brechungsgesetz:

1tan

tan

2

1 <<α

α

bzw.

12 tantan αα >>

Gilt , dann wird , d.h. beim Übergang aus

einem hochpermeablen Material in Luft treten die Feldlinien der magnetischen Flussdichte nahezu senkrecht aus.

Gilt aber , dann ist auch . In diesem Fall ist

Bt1 = B1 und Bt2 = B2. In diesem Fall gilt weiterhin:

20 2

πα <≤ 01 ≈α

22

πα =

21

πα =

12

1

22

11

2

1

2

1 <<===µ

µ

µ

µ

t

t

t

t

H

H

B

B

B

B

und damit wird:

21 BB <<

D.h. das Feld in Luft ist sehr klein. Fast das gesamte Feld wirdim Eisen geführt!

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Grundlagen der Elektrotechnik I · Vorlesungsfolien GdE I 3 Inhalt der Vorlesung Elektrotechnik I im WS 2008 (siehe auch R. Pregla, „Grundlagen der Elektrotechnik“) 0 Zur Beschreibung