Grundlagen der Kursberechnung und Renditeermittlung bei festverzinslichen

Wertpapieren

Ausgangssituation

• Ein Unternehmen hat einen Finanzierungsbedarf, den es durch die Ausgabe einer Anleihe decken möchte.

• Es sucht Anleger, die die Anleihe kaufen und so dem Unternehmen Kapital zur Verfügung stellen

Ausgangssituation

• Die Anleger werden die Anleihe nur kaufen, wenn sie eine den Marktverhältnissen entsprechende Rendite für ihre Anlage erhalten.

• Das Unternehmen möchte keinen über dem Marktzins für vergleichbare Kredite liegenden Zinssatz zahlen.

Im Einzelnen

• Durch den Kauf eines festverzinslichen, Wertpapieres erhält der Käufer – den Anspruch auf die vereinbarten Zinszahlungen

und – die Auszahlung des vereinbarten

Rücknahmebetrages Cn

• Dafür zahlt er den Emissionskurs C0

Die vereinbarten Zinszahlungen

• Die zu zahlenden Zinsen werden mit Hilfe des Jahreszinsfußes p* ermittelt. Sie betragen

• Dieser Betrag wird auch Kupon genannt

Die vereinbarten Zinszahlungen

• Die Zinsen werden jährlich nachschüssig berechnet, können aber auch halbjährlich oder vierteljährlich gezahlt werden.

• Die Höhe der ausgezahlten Zinsen beträgt

dann p*/2 bzw. P*/4 multipliziert mit dem Nennwert des Wertpapieres.

Die vereinbarten Zinszahlungen

• Da die Zinsen regelmäßig während der Laufzeit des Wertpapieres gezahlt werden, nennt man diese Renten, die Wertpapiere Rentenpapiere.

Die vereinbarten Zinszahlungen

• Es gibt Wertpapiere, bei denen während der Laufzeit keine Zinszahlungen erfolgen (p* = 0). Dafür ist der vereinbarte Rückzahlungskurs höher. Er deckt auch die zu zahlenden Zinsen während der Vertragslaufzeit ab. Die Anleihen nennt man Nullkupon-Anleihen oder Zerobonds.

Die vereinbarten Zinszahlungen

• Man unterscheidet zwei Arten von Nullkupon-Anleihen:Emission zum Nennwert 100% und Rückzahlung

am Ende der Laufzeit zu 100 % zuzüglich aufgelaufener Zinsen (z.B. Bundesschatzbrief Typ B).

Emission zu einem unter 100 % liegenden Kurs und Rückzahlung zum Nennwert (abgezinster echter Zerobond).

Der Rückzahlungsbetrag

• Bei endfälligen Wertpapieren erfolgt die Rückzahlung in einem Betrag zum Ende der Laufzeit.

• Der Rücknahmekurs Cn gibt an, wieviel des Nennbetrages zurückgezahlt wird.

• Erfolgt die Rückzahlung in Höhe des Nennwertes (100%) spricht man von einer Rückzahlung zu pari

Der Rückzahlungsbetrag

• Mitunter wird aber als zusätzlicher Kaufanreiz ein renditeerhöhender Rücknahmekurs über 100 % des Nennwertes angeboten.

• Neben endfälligen Anleihen kennt man auch Raten – und Annuitätenanleihen, bei denen die Rückzahlung bereits während der Laufzeit erfolgt.

Der Emissionskurs C0

• Mit Kauf des Wertpapieres möchte der Anleger mit dem Wertpapier eine marktübliche Rendite erwirtschaften.

Der Emissionskurs C0

• Definition: Unter der Rendite (oder dem

Effektivzinssatz)eines Wertpapieres versteht man denjenigen (im Zeitablauf unveränderten nachschüssigen) Jahreszinssatz i eff, für den die Leistung des Erwerbers ( =Kaufpreis) äquivalent zu den Gegenleistungen der emittierenden Unternehmung (oder des Verkäufers) wird.

Der Emissionskurs Co

Es ergibt sich die Äquivalenzformel

mit qn = 1 + ieff

𝐶0 = p ∗× (𝑞𝑛−1)𝑞−1 × 1𝑞𝑛 + 𝐶𝑛 × 1𝑞𝑛

Sie drückt aus, dass der (Emissions)Kurs eines Wertpapiers der mit Hilfe des Effektivzinssatzes abgezinste Barwert sämtlicher (zukünftiger) (Gegen)Leistungen aus dem Wertpapier ist.

Der Emissionskurs

Mit dieser Formel kann man den Emissionskurs C0 und den Rücknahmekurs Cn

berechnen. Eine Auflösung nach q ist nur über ein iteratives Näherungsverfahren wie die Regula falsi oder das Newton-Verfahren möglich.

Der Emissionskurs C0

• Beispiel:• Eine Anleihe hat folgende Merkmale

p* = 7,5 % p.a, ieff = 8 %

• Cn = 101 %, n = 12 Jahre• Es ergibt sich

• und führt zu C0 = 96,63 %

𝐶0 = 7,5× (1,0812−1)0,08 × 11,0812 + 101× 11,0812

Der Emissionskurs C0

• Der Investor erhält bei Kauf des Wertpapieres zum Laufzeitende den selben Kontostand, den er bei Anlage sämtlicher Gegenleistungen zu ieff hätte.

• Ein entsprechender Tilgungsplan mit C0 als Kreditsumme und p* bzw. Cn als Annuitäten ginge bei Bewertung mit ieff genau auf.

Der Emissionskurs C0

• Über C0 kann die Rendite des Wertpapieres beliebig fein an die Marktverhältnisse angepasst werden.

• Diese muss dem Marktzins ieff entsprechen.

Die Rendite

Da sich die Äquivalenzgleichung nur aufwendig nach ieff

auflösen lässt, kann ieff auch mittels

der folgenden Näherungsformel ermittelt werden:

mit i* als nomineller Zinssatz bezogen auf den Nennwert.

verteilt die Kursdifferenz in % linear auf die Laufzeit.

Die Rendite

• Beispiel: C0=96%, i*=8%p.a, n=7, Cn=103%

%

Rendite

• Eine weitere Nährungsformel lautet

• Die mit dieser Formel ermittelten Werte sind etwas ungenauer als die mit der vorhergenannten Formel berechneten Effektivzinsen.

Rendite

• Beispiel• C0=96%, i*=8 % p.a., n=7, Cn=103%

Aufgabe 1

• Die Eurovitesse AG will eine festverzinsliche Anleihe mit einem Nominalwert von 100 und einer Laufzeit von 10 Jahren herauslegen. Der Marktzins ieff beträgt 11% p.a, der Emissionskurs C0 97,5% und der Rücknahmekurs Cn 101 %. Wie hoch muss der nominelle Zinssatz p* sein?

Aufgabe 1

• Lösen durch Umformen und einsetzen in die Äquivalenzgleichung ergibt p*=10,52 %

Aufgabe 2

• Wie hoch muss Cn bei einer Anleihe mit p*= 6 % p.a. sein, damit bei einem Emissionskurs von 99 % und einer Laufzeit von 10 Jahren ein ieff von 9 % p.a. erzielt wird?

Aufgabe 2

• Durch einsetzen in die Äquivalenzgleichung und auflösen nach Cn ergibt sich ein Rücknahmekurs von Cn =143,21 %

Aufgabe 3

• Wie hoch muss C0 einer Anleihe sein, die mit p* = 8,75 % bei einer Laufzeit von 15 Jahren verzinst wird und zu Cn = 101,5 % zurückgezahlt wird. Der Marktzins ieff beträgt 4,8 % p.a.

Aufgabe 3

• Durch Einsetzen in die Äquivalenzformel ergibt sich ein Emissionskurs von C0 = 236,23 %