Grundlagen der Quantenmechanik und StatistikSoSe 2018

HausaufgabenBlatt 5

Abgabe bis Dienstag, den 12.06.2018 in der Vorlesung.Achtung! Dies ist die ergänzte Fassung (leichte Änderungen und Ergänzungen bei Aufgabe 3).

Die verschiedenen Aufgaben bitte getrennt abgeben. Bitte Name und Matrikelnummer auf denÜbungszettel schreiben!

1 Legendre Polynome (7P)Die Legendre Differentialgleichung

(1− x2)P ′′l (x)− 2xP ′l (x) + l(l + 1)Pl(x) = 0

wird gelöst durch die Legendre Polynome, die in geschlossener Form durch die Formel vonRodriguez gegeben sind

Pl(x) = 12ll!

dldxl

(x2 − 1)l.

a. Zeige die Orthogonalität der Legendre Polynome

1∫−1

dx Pl(x)Pl′(x) = 22l + 1δll

′ .

Lösungsskizze: Für l 6= l′ betrachte man die Differentialgleichungen für Pl und die fürPl′ , multipliziere erstere mit Pl′ und zweitere mit Pl und bilde die Differenz. Schließlichführe man das Integral aus. Für l = l′ stelle man die Legendre Polynome im Integral mitder Formel von Rodriguez dar. Partielle Integrationen und die dritte binomische Formelkönnen helfen das Integral zu lösen.

b. Es kann gezeigt werden, dass jede Funktion f(x) im Intervall [−1, 1] in Legendre Polynomeentwickelt werden kann

f(x) =∞∑l=0

clPl(x),

dies bedeutet, dass die Legendre Polynome ein vollständiges Orthogonalsystem bilden.Bestimme den Entwicklungskoeffizient cl und stelle δ(1 − x) als Summe von LegendrePolynomen dar.

c. Die Erzeugende der Legendre Polynome lautet

1√1− 2tx+ t2

=∞∑l=0

tlPl(x).

Zeige mit Hilfe der Erzeugenden die folgenden Rekursionsrelationen

(2l + 1)xPl(x) = (l + 1)Pl+1(x) + lPl−1(x)P ′l+1(x) + P ′l−1(x) = 2xP ′l (x) + Pl(x).

Die Kugelflächenfunktionen Ylm(θ, φ) sind nun wie folgt definiert

Ylm(θ, φ) =

√√√√2l + 14π

(l −m)!(l +m)!P

ml (cos(θ))eimφ,

wobei Pml die assoziierten Legendre Polynome sind

Pml (x) = (−1)m

2ll! (1− x2)m/2 dl+mdxl+m

(x2 − 1)l

sodass P 0l (x) = Pl(x).

d. Zeige die Orthonormalitätsrelation

(Ylm, Yl′m′) =∫ π

0

∫ 2π

0Y ∗lm(θ, φ)Yl′m′(θ, φ) sin(θ) dφ dθ = δmm′δll′

für den Spezialfall m = m′ = 0.

2 Winkelanteil von Atomorbitalen (3P)Rechne die Kugelflächenfunktionen von l = 0 bis l = 2 für alle zugehörigen m mit Hilfe derFormeln aus Aufgabe 1 aus. Ordne die folgenden sphärischen 3D Plots (jedem Winkelpaar(θ, φ) ist dabei ein Abstand vom Ursprung zugeordnet) den entsprechenden Funktionen zu.

(a) Realteil

(b) Realteil (c) Realteil (d) Betrag

Hinweis: Als Abstand vom Ursprung ist jeweils der Realteil, oder der Betrag der Kugelflächen-funktion aufgetragen. Im Fall des Realteils sind positive Werte rot und und negative Wertegrün eingefärbt.

3 Drehimpulsoperator in Kugelkoordinaten (4P)

a. Zeige, dass die Komponenten und das Quadrat des Drehimpulsoperators ~̂L = ~̂r × ~̂p =−i~~r × ~∇ in Kugelkoordinaten

r1 = r cos(φ) sin(θ), r2 = r sin(φ) sin(θ), r3 = r cos(θ)

die folgende Darstellung haben.

L̂1 = i~(

sin(φ) ∂∂θ

+ cot(θ) cos(φ) ∂∂φ

)

L̂2 = i~(− cos(φ) ∂

∂θ+ cot(θ) sin(φ) ∂

∂φ

)

L̂3 = −i~ ∂

∂φ

~̂L2

= −~2(

1sin(θ)

∂

∂θ

(sin(θ) ∂

∂θ

)+ 1

sin2(θ)∂2

∂φ2

)

Skizze einer möglichen Lösung: Drücke den Ortsvektor ~r und den Nabla Operator ~∇in Kugelkoordinaten aus (so ist zum Beispiel ~r = r ~er). Führe dann das Kreuzproduktaus (bedenke, dass die Einheitsvektoren (~er, ~eθ, ~eφ) eine rechtshändige Orthonormalbasisbilden). Die kartesischen Komponenten L̂1, L̂2 und L̂3 bekommt man, indem man dieEinheitsvektoren der Kugelkoordinaten in kartesischer Basis ausdrückt. Für das Quadratdes Drehimpulsoperators wendet man das Skalarprodukt dieses (Vektor-)Operators mitsich selbst auf eine Hilfsfunktion an und multipliziert die Terme aus. Man beachte,dass die Einheitsvektoren der Kugelkoordinaten (gegensätzlich zum kartesischen Fall)koordinatenabhängig sind (ein Blick auf die kartesische Darstellung zeigt z.B. ∂~eθ/(∂φ) =cos(θ)~eφ) und, dass die Einheitsvektoren (~er, ~eθ, ~eφ) orthonormal sind.

b. Zeige, dass in Kugelkoordinaten für den Laplace-Operator gilt

∆ = 1r2

∂

∂rr2 ∂

∂r− 1r2

~̂L2

~2 .