Grundlagen der Regelungstechnik

Dr.-Ing. Georg von WichertSiemens AG, Corporate Technology, München

Wiederholung vom letzten Mal

Lineare Systeme als Übertragungsglieder

• Abstraktion vom physikalischen System– Verhalten des Systems gegeben durch Differentialgleichung im

Zeitbereich

• Lineare dynamische Systeme als Übertragungsglieder– Verhalten des Systems gegeben durch Übertragungsfunktion im

Frequenzbereich– Bildet Eingangssignal auf Ausgangsignal ab

• Betrachtung der Übertragungsfunktion G(s)

Dynamisches System

DGL

Eingang x(t) Ausgang y(t)

ÜbertragungssgliedG(s)

Eingang x(t) Ausgang y(t)

Sprung- und Impulsantwort

• Sprungantwort und Impulsantwort charakterisieren das Systemverhalten

– Sprung und Impuls haben keine eigenen Parameter

• Systemidentifikation über Sprungantwort

– Idealer Impuls nicht realisierbar

– Impulsantwort ist die Ableitung der Sprungantwort

Sprungfunktion: Impulsfunktion (Dirac-Impuls):

Swegen

Quelle: O. Föllinger, Regelungstechnik

Quelle: O. Föllinger, Regelungstechnik

Übertragungsfunktion: Pole und Nullstellen

• Andere Darstellung für G(s):– Faktorisierung

Übertragungsfunktion: Pole und Nullstellen

s0i : Nullstellen der Übertragungsfunktion

si : Polstellen der Übertragungsfunktion

Charakteristische Gleichung:

Übertragungsfunktion: Visualisierung

• Übertragungsfunktion G(s) ist eine

komplex-wertige Funktion der

komplexen Variablen s=σ+jω

• Sogenannte „s-Ebene“

– Für Visualisierungen wichtig

– Wird aufgespannt von Re{s}=σ und

Im{s}=jω

• Eine komplexe Zahl s ist ein Punkt in

der s-Ebene gegeben durch:

– Real- und Imaginärteil

– Betrag (Amplitude) |s| und

Phase arg(s)

Re{s}=σ

Im{s}=jω

arg(s)

|s|

s

Übertragungsfunktion: Betrag

Quelle: Schumacher/Leonhard, Grundlagen der Regelungstechnik

Polstellen

Nullstelle

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

Ph

ase

(deg

)M

agn

itu

de

(dB

)

10-1

100

101

-180

-135

-90

-45

0-40

-30

-20

-10

0

10

20

Bodediagramm (PT2)

Eigenfrequenz = 1/T

Ortskurve (des offenen Kreises)

• Weg des Orts von G(jω) in der s-Ebene für ω ∈ [-∞, ∞]– Matlab: Nyquist-Diagramm

Nyquist Diagram

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

ω = 0ω = ± ∞

Frequenzkennlinien

• Bodediagramm und Ortskurve sind Visualisierungen des Systemverhaltens– Erlauben die Beurteilung des Systems– Dienen als Hilfsmittel für den Reglerentwurf

Einschub:

Linearisierung

Linearisierung

• In dieser Vorlesung werden nur Verfahren zum Umgang mit linearen Systemen vorgestellt

• Behandlung nichtlinearer Zusammenhänge durch Linearisierung um einen Arbeitspunkt– Meist soll ein System in einem stationären Arbeitspunkt gehalten

werden.– Bei funktionierender Regelung werden die Abweichungen des

Systems vom Arbeitspunkt sehr klein sein

Nichtlinearer Zusammenhang:

Verhältnisse im Arbeitspunkt:

Abweichungen vom Arbeitspunkt:

Linearisierung

Taylor-Reihe für F(x1, ... , xn)

mit und Vernachlässigen des Restgliedes R folgt

Lineare Approximation um den Arbeitspunkt

-20

0

20-20

-100

1020

-5

0

5x 10

5

YU

dy

Zur Lösung der Aufgabe 1.9

Zur Lösung der Aufgabe 1.9

-20

0

20-20

-100

1020

-5

0

5x 10

5

YU

dy

für US=10

Heutiges Thema:

Regelkreise und ihre Eigenschaften

• Geschlossener Regelkreis

GF(s): FührungsfilterK(s): ReglerG(s): ProzessGM(s): Messglied

Regelkreis

d: Störungw: Führungsgrößeu: Stellgrößey: Ausgangsgröße

w u yGF(s) K(s) G(s)

GM(s)

d

v

-

Übertragungsfunktion des geschlossenen Kreises

w u yGF(s) K(s) G(s)

GM(s)

d

v

-

Übertragungsfunktion des geschlossenen Kreises Gg(s):

Übertragungsfunktion des offenen Kreises

w u yGF(s) K(s) G(s)

GM(s)

d

v

Geschlossener Kreis

Offener Kreis

Führungs- und Störübertragungsfunktionen

• Störung wird aufgeteilt auf– d1: Störung am Streckeneingang– d2: Störung am Streckenausgang

w u yGF(s) K(s) G(s)

GM(s)

d1

v

-

d2

+ +

Führungsübertragungsfunktion Störübertragungsfunktionen

Anforderungen an den Regelkreis

• Durch geeignete Wahl (Synthese) eines Reglers soll – bei gegebenem Prozess - dem geschlossenen Kreis ein gewünschtes Verhalten aufgeprägt werden

• Der geschlossene Regelkreis soll– stabil sein– der Führungsgröße folgen– Störungen unterdrücken

• Beispiel:w u y

K(s) G(s)

d1

-

d2

+ +

P-Regler

Beispiel (Schumacher-Skript)

Sprung der Führungsgröße wQuelle: Schumacher/Leonhard, Grundlagen der Regelungstechnik

Beispiel (Schumacher-Skript)

Sprung der Störgröße d1 Quelle: Schumacher/Leonhard, Grundlagen der Regelungstechnik

Beispiel (Schumacher-Skript)

Sprung der Störgröße d2 Quelle: Schumacher/Leonhard, Grundlagen der Regelungstechnik

Regelgüte

• Ausregelzeit tε

• Überschwingweite emax

• Regelfläche

– linear

– quadratisch

– Betrag

Quelle: Schumacher/Leonhard, Grundlagen der Regelungstechnik

Verhalten des Regelkreises: Ein Beispiel

w u yK(s) G(s)

d1

-

d2

+ +

P-Regler Prozess

OffenerKreis

GeschlossenerKreis

Step Response

Time (sec)

Am

plit

ud

e

0 10 20 30 40 50 60 700

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Step Response

Time (sec)

Am

plit

ud

e

0 5 10 15 20 25 300

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Step Response

Time (sec)

Am

plit

ud

e

0 5 10 15 20 25 300

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Verhalten des Regelkreises: Ein Beispiel

• Geschlossener Kreis erreicht nicht den stationären Endwert des offenen Kreises– Bleibende Regelabweichung

• Kein Integralanteil im offenen Kreis

K = 1 K = 4

Bleibende Regelabweichung!

K = 1

Step Response

Time (sec)

Am

plit

ud

e

0 5 10 15 20 25 300

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8Step Response

Time (sec)

Am

plit

ud

e

0 5 10 15 20 25 300

0.5

1

1.5

Verhalten des Regelkreises: Ein Beispiel

• Bei steigender Verstärkung K– bleibende Regelabweichung nimmt ab– Überschwingen nimmt zu– Einschwingzeit nimmt ebenfalls zu

• Bei K=8 klingt die Schwingung nicht mehr ab– Stabilitätsgrenze

K = 6 K = 8

Step Response

Time (sec)

Am

plit

ud

e

0 5 10 15 20 25 300

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8Step Response

Time (sec)

Am

plit

ud

e

0 5 10 15 20 25 30-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

Verhalten des Regelkreises: Ein Beispiel

• Bei K > 8 klingt die Schwingung auf– Instabil!

K = 8.1 K = 10

Stabilitätsbegriff

Ein lineares zeitinvariantes Übertragungsglied (LZI-Glied) ist dann stabil, wenn es auf ein beschränkte Eingangsgröße stets mit einer beschränkten Ausgangsgröße antwortet.

Step Response

Time (sec)

Am

plit

ud

e

0 5 10 15 20 25 300

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Step Response

Time (sec)

Am

plit

ud

e

0 5 10 15 20 25 30-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

K = 4 K = 10

Grundlegendes Stabilitätskriterium

Ein lineares zeitinvariantes Übertragungsglied ist dann stabil, wenn die Pole seiner Übertragungsfunktion sämtlich links der imaginären Achse der komplexen Ebene liegen.

Re{s}=σ

Im{s}=jω

arg(s)

|s|

s

Grundlegendes Stabilitätskriterium

• Zu jedem Pol gehört ein exponentieller Ausgangssignalanteil– positive Realteile der Pole führen zu „aufklingendem“ Verhalten

nur ein-fache Pole

Sprungantwort (einfache Pole):

Anmerkung:Partialbruchsumme fürq-fachen Pol bei s=β:

Partialbruchzerlegung

• Numerische Kriterien– Ausgehend von der Charakteristischen Gleichung– Algebraische Bedingungen für deren Koeffizienten

– z.B. Hurwitz-Kriterium

• Grafische Kriterien– Aussagen basierend auf dem Verlauf des Frequenzgangs,

insbesondere des Phasenverlaufs– Dargestellt als Ortskurven– Nyquist-Kriterium

Stabilitätskriterien

Phasenverlauf

Beliebige, gebrochen rationale Funktion F(s)

Betrag Phase

αi βi

s

Re{s}=σ

Im{s}=jω

Polstelle

Nullstelle

Phasenintegral

αi βi

s

Re{s}=σ

Im{s}=jω

Polstelle

Nullstelle

C

falls si bzw. s0i innerhalb von C

falls si bzw. s0i außerhalb von C

s0isi

Phasenintegral

• Dies gilt allgemein für gebrochen rationale komplexe Funktionen– auch falls keine Polstellen vorhanden sind (z.B. einfaches Polynom)

Polstelle

Nullstelle

C

ln: eingeschlossene Nullstellen

lp: eingeschlossene Polstellen

αi βi

s

Re{s}=σ

Im{s}=jω

s0isi

• Gibt es instabile Pole des geschlossenen Kreises?– Nullstellen der Charakteristischen Gleichung rechts der imaginären

Achse– Negativ durchlaufene Kurve C

– lp = 0, da F(s) einfaches Polynom

Untersuchung eines Regelkreises

Charakteristische Gleichung:

R

σ

jω

C

• Für R → ∞ schließt C die gesamte rechte Halbebene ein• Zerlegung in zwei Teilintegrale

– längs des Halbkreises über C2

• alle Nullstellen der char. Gl. links von C2

– längs der imaginären Achse über C1

Untersuchung eines Regelkreises

R→ ∞

σ

jω

C1 C2

αi

Untersuchung eines Regelkreises

• Stabilität für ln=0, keine Pole in der rechten Halbebene

• Anzahl der instabilen Pole ergibt sich aus

– Ordnung des Nennerpolynoms

– Phasendrehung der Ortskurve des Nennerpolynoms

ln=0

Nochmal das Beispiel von vorher

• Ordnung des Nennerpolynoms

des geschlossenen Kreises ist

n=3

– Phasendrehung der Ortskurve

des Nennerpolynoms muss für

Stabilität 3/2 π sein

• Was heißt das für K?

Quelle: Schumacher/Leonhard, Grundlagen der Regelungstechnik

Nochmal das Beispiel von vorher

• Schnittpunkte der Ortskurve von Ng(s) mit den Achsen

ω1ω2

Stabilität für also

• Bisher haben wir die Pole des geschlossenen Kreises untersucht!

• Kann man dem offenen Kreis „ansehen“, ob der geschlossene Kreis stabil sein wird?– Nyquist-Kriteium– Nullstellenbetrachtung

für Ng(s)– Ng(s) ist kein Polynom!

– Die Pole des offenen Kreises sind die Pole von Ng(s)

Nyquist-Kriterium

Phasenintegral

Phasenintegral von 1+Go(s)

R→ ∞

σ

jω

C1 C2

wegen weil

Stabilität des geschlossenen Kreises für ln = 0

Nyquist-Kriterium

• Wir betrachten die Ortskurve des offenen Kreises Go(s)!• Relevant: Phasendrehung von Ng(s) = 1 + Go(s)

– Phasendrehung von G0(s) bzgl. des Punktes -1

Die Ortskurve des offenen Kreises muss den Punkt −1 für den Durchlauf der Frequenzen ω von −∞ bis ∞ so oft

gegen den Uhrzeigersinn umlaufen, wie der offene Kreis Pole in der rechten Halbebene besitzt.

Beispiel: Instabiler offener Kreis

• Offener Kreis– Instabil

• Geschlossener Kreis

– Stabilität für K = 1.2

Nyquist Diagram

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5

-1

-0.5

0

0.5

1

Beispiel: Instabiler offener Kreis

• Sprungantworten der offenen Kreise– Beide instabil

• Sprungantworten der geschlossenen Kreise– Stabilität für K = 1.2

Step Response

Time (sec)

Am

plit

ud

e

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-20

0

20

40

60

80

100

120Step Response

Time (sec)

Am

plit

ud

e

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-2

0

2

4

6

8

10

12x 10

8

Polstellenlage des geschlossenen Kreises für verschiedene K

Pole-Zero Map

Real Axis

Imag

Axi

s

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

• Pole auf der reellen Achse werden umgangen mit r → 0

– Ohne Beweis: Stabilität für• la: Anzahl der Pole auf

der imaginären Achse

Nyquist-Kriterium für grenzstabile offene Kreise

Quelle: Schumacher/Leonhard, Grundlagen der Regelungstechnik

Nyquist-Kriterium für (grenz)stabile offene Kreise

Für (grenz)stabile offene Kreise gilt: Der Punkt -1 muss „links“ der Ortskurve des offenen Kreises liegen

Exakte Bedingung für die Phasendrehung:

lp: Instabile Pole des offenen Kreisesla: Grenzstabile Pole des offenen

Kreises

Quelle: Föllinger, Regelungstechnik

Betrags- und Phasenabstand

• Maße für die Robustheit der Regelung– Gegen Parametervariationen

(Modellfehler!)– Hinreichende Dämpfung von

Störungen– „Wie weit ist es bis zur

Instabilität?“

rπ: Betragsabstandωπ: Phasendurchtrittsfrequenz

ψd: Phasenabstandωd: Amplitudendurchtrittsfrequenz

Quelle: Schumacher/Leonhard, Grdl. der Regelungstechnik

Betrags- und Phasenabstand im Bode-Diagramm

• Bodediagramm und Ortskurvetragen dieselbe Information

Quelle: Schumacher/Leonhard, Grdl. der Regelungstechnik

rπ: Betragsabstandωπ: Phasendurchtrittsfrequenz

ψd: Phasenabstandωd: Amplitudendurchtrittsfrequenz