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Mathematische Grundlagen Fehlerbetrachtung Fluide Zeitintegration Randbedingungen Ausblick Grundlagen der Smoothed Particle Hydrodynamics Johanna Thomsen, Johannes Gutekunst Kooperation W¨ aschepflege 28. Februar 2017 Johanna Thomsen, Johannes Gutekunst Kooperation W¨ aschepflege Grundlagen der Smoothed Particle Hydrodynamics 1 / 52

Grundlagen der Smoothed Particle Hydrodynamics · Hydrodynamics Johanna Thomsen, Johannes Gutekunst Kooperation W aschep ege 28. Februar 2017 Johanna Thomsen, Johannes Gutekunst Kooperation

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Mathematische Grundlagen Fehlerbetrachtung Fluide Zeitintegration Randbedingungen Ausblick

Grundlagen der Smoothed ParticleHydrodynamics

Johanna Thomsen, Johannes Gutekunst

Kooperation Waschepflege

28. Februar 2017

Johanna Thomsen, Johannes Gutekunst Kooperation Waschepflege

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Mathematische Grundlagen Fehlerbetrachtung Fluide Zeitintegration Randbedingungen Ausblick

Einleitung

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Mathematische Grundlagen Fehlerbetrachtung Fluide Zeitintegration Randbedingungen Ausblick

Inhalt

1 Mathematische Grundlagen

2 Fehlerbetrachtung

3 Fluide

4 Zeitintegration

5 Randbedingungen

6 Ausblick

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Mathematische Grundlagen Fehlerbetrachtung Fluide Zeitintegration Randbedingungen Ausblick

Inhalt

1 Mathematische GrundlagenDirac-DistributionDirac-FolgeDiskretisierungDirac-Folge - beschrankte TeilmengeDifferenzierbarkeitZusammenfassung

2 Fehlerbetrachtung

3 Fluide

4 Zeitintegration

5 Randbedingungen

6 Ausblick

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Mathematische Grundlagen Fehlerbetrachtung Fluide Zeitintegration Randbedingungen Ausblick

Dirac-Distribution

Dirac-Distribution:

δ(r − ra) =

∞ fur r = ra0 fur r 6= ra

∫Ωδ(r − ra) dΩ = 1

Faltung:

f (ra) = (f ∗ δ)∣∣r=ra

=

∫Ωf (r) δ(r − ra) dΩ

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Dirac-Distribution

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Dirac-Folge

Approximation des Dirac-Impulses mit einer Dirac-Folge

Mittelung

δh(r − ra) ≥ 0 ∀ (r , ra, h)

Normierung∫Ωδh(r − ra)dΩ = 1 ∀ (r , ra, h)

Approximation

limh→0

δh(r − ra) = δ(r − ra)

f (ra) = [ f ]c (ra) +O(h2) =

∫Ω

f (r) δh(r − ra) dΩ +O(h2)

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Dirac-Folge

Gaussfunktion: δh(r − ra) =1√πh

exp

(−|r − ra|2

h2

)

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Diskretisierung

kontinuierliche Approximation

f (ra) = [ f ]c (ra) +O(h2) =

∫Ωf (r) δh(r − ra) dΩ +O(h2)

Diskretisierung

Volumenelement dΩ = Vb = mbρb

Anzahl an Partikeln im Rechengebiet N

f (ra) = [ f ]d (ra) + O(h2) + O(

( ∆rh )β

)=

N∑b=1

mb

ρbf (rb) δh(rb − ra) + O(h2) + O

(( ∆r

h )β)

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Diskretisierung

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Dirac-Folge - beschrankte Teilmenge

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Dirac-Folge - beschrankte Teilmenge

Menge der Partikel im Kernelsupport ist beschrankte Teilmengealler Partikel in Ω

Kernelfunktionen wh

B-Spline

Wendland (kein Pairing)

wh(r − ra) =

αnhn (1− r−ra

2h )4(1 + 2 r−rah ) fur |r − ra| ≤ 2h

0 fur |r − ra| > 2h

α1 =3

4, α2 =

7

4π, α3 =

21

16π

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Differenzierbarkeit

Ableitung der Funktion f kann analytisch berechnet werden:

[ ∇f ]c(ra) = −∫

Ωf (r)∇wh(r − ra)dΩ

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Differenzierbarkeit

g(ra) ≈∫

Ωg(r)wh(r − ra)dΩ

∇r f (r) := g(r)

∇r f (r)

∣∣∣∣r=ra≈∫

Ω∇r f (r)wh(r − ra)dΩ

=

∫Ω

[− f (r)∇rwh(r − ra) +∇r (f (r)wh(r − ra))

]dΩ

= −∫

Ωf (r)∇rwh(r − ra)dΩ +

∫Ω∇r

(f (r)wh(r − ra)

)dΩ

= −∫

Ωf (r)∇rwh(r − ra)dΩ +

∮∂Ω

f (r) wh(r − ra) nr dS︸ ︷︷ ︸=0 fur vollen Kernel

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Differenzierbarkeit

[ ∇f ]c(ra) = −∫

Ωf (r)∇wh(r − ra)dΩ

andere Formulierungen

symmetrisch: ∇f = ∇(ρk

f

ρk

)= ρk ∇

(f

ρk

)+

f

ρk∇(ρk)

antisymmetrisch: ∇(f ρk)

= ρk ∇f + f ∇ρk

⇒ ∇f =1

ρk∇(f ρk)− f

ρk∇(ρk)

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Differenzierbarkeit

konstante Bezugsgroße ra

∇rwh(r − ra) = −∇rawh(r − ra)

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Differenzierbarkeit

Rotationssymmetrie des Kernels

wh(rab) = wh(rab)

∇rawab = w′abeab

rab := |rab|rab := rb − ra

eab :=rabrab

wab := wh(rab)

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Zusammenfassung

f (ra) ≈N∑

b=1

mb

ρbf (rb) wab

∇f (ra) ≈N∑

b=1

mb

ρbf (rb) w

′abeab

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Mathematische Grundlagen Fehlerbetrachtung Fluide Zeitintegration Randbedingungen Ausblick

Inhalt

1 Mathematische Grundlagen

2 FehlerbetrachtungApproximations- und DiskretisierungsfehlerAbgeschnittene Kernelfunktion

3 Fluide

4 Zeitintegration

5 Randbedingungen

6 AusblickJohanna Thomsen, Johannes Gutekunst Kooperation Waschepflege

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Mathematische Grundlagen Fehlerbetrachtung Fluide Zeitintegration Randbedingungen Ausblick

Approximations- und Diskretisierungsfehler

”Damit eine Methode konsistent ist, muss der Abbruchfehler

gegen null streben, wenn die Diskretisierung unendlich fein wird.“

[Ferziger, J. Peric,M. Numerische Stromungsmechanik, 2008, S.38]

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Approximations- und Diskretisierungsfehler

Approximationsfehler

O(h2)

f (ra) = [ f ]c (ra) +O(h2)

Herleitung uberTaylorapproximation∫

Ωδh(r − ra)dΩ = 1

∫Ω

(r − ra) δh(r − ra)dΩ = 0

Diskretisierungsfehler

O(( ∆r

h )β)

Abb.: Wendlandkernel mit h = 1m, ∆r = 1m

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Mathematische Grundlagen Fehlerbetrachtung Fluide Zeitintegration Randbedingungen Ausblick

Approximations- und Diskretisierungsfehler

Diskretisierungsfehler O(( ∆r

h )β)

Abb.: Wendlandkernel mit h = 1m, ∆r = 12m Abb.: Wendlandkernel mit h = 2m, ∆r = 1m

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Mathematische Grundlagen Fehlerbetrachtung Fluide Zeitintegration Randbedingungen Ausblick

Approximations- und Diskretisierungsfehler

Approximationsfehler DiskretisierungsfehlerO(h2) O

(( ∆r

h )β)

”Damit eine Methode konsistent ist, muss der Abbruchfehler

gegen null streben, wenn die Diskretisierung unendlich fein wird.“[Ferziger, J. Peric,M. Numerische Stromungsmechanik, 2008, S.38]

Kopplung von ∆r und h

1 ≤ h

∆r≤ 2 Violeau

h = 1.2 ∆r Price (Pairing)

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Abgeschnittene Kernelfunktion

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Mathematische Grundlagen Fehlerbetrachtung Fluide Zeitintegration Randbedingungen Ausblick

Abgeschnittene Kernelfunktion

Unterschatzung der SPH-Summation∫Ω wh(r − ra)dΩ 6= 1

Hullintegral ungleich null∮∂Ω wh(r − ra) nr dS 6= 0

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Mathematische Grundlagen Fehlerbetrachtung Fluide Zeitintegration Randbedingungen Ausblick

Abgeschnittene Kernelfunktion

Renormalisierung Konsistenzbedingung 0. Ordnung

wh(rab) =wh(rab)∑b Vbwh(rab)

hohere Konsistenzordnungen sind rechenlastig

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Mathematische Grundlagen Fehlerbetrachtung Fluide Zeitintegration Randbedingungen Ausblick

Inhalt

1 Mathematische Grundlagen

2 Fehlerbetrachtung

3 FluideNavier-Stokes-GleichungenDiskretisierungWeakly Compressible SPH

4 Zeitintegration

5 Randbedingungen

6 AusblickJohanna Thomsen, Johannes Gutekunst Kooperation Waschepflege

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Mathematische Grundlagen Fehlerbetrachtung Fluide Zeitintegration Randbedingungen Ausblick

Navier-Stokes-Gleichungen

Massenbilanz

∂ρ

∂t= −∇ · (ρ v) = 0

Impulsbilanz

∂v∂t

+ v · ∇v = −1

ρ∇p + ν∆v + g

Lagrange Ansatz

dt= −ρ∇ · v

dvdt

= −1

ρ∇p + ν∆v + g

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Mathematische Grundlagen Fehlerbetrachtung Fluide Zeitintegration Randbedingungen Ausblick

Navier-Stokes-Gleichungen

Lagrange Ansatz - physikalische Deutung

dt=∂Φ

∂t+ v · ∇Φ

konvektive Beschleunigung: v · ∇Φ

lokale Beschleunigung: ∂Φ∂t

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Mathematische Grundlagen Fehlerbetrachtung Fluide Zeitintegration Randbedingungen Ausblick

Diskretisierung

Disekretisierung der Massenbilanz

dt= −ρ∇ · v

⇓symmetrischer Operator

D1aAb = − 1

ρa

∑b

mb(Aa − Ab) · w ′abeab ≈ (∇ · A)a

dρadt

=∑b

mb(v a − vb) · w ′abeab

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Diskretisierung

Diskretisierung der Impulsbilanz

dvdt

= −1

ρ∇p + ν∆v + g

⇓anti-symmetrischer Operator

G 1aAb = ρa

∑b

mb

(Aaρ2a

+ Ab

ρ2b

)w

′abeab ≈ (∇A)a

dv a

dt= −

∑b

mb

(paρ2a

+pbρ2b

)w

′abeab + [ν∆v ]d + g

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Mathematische Grundlagen Fehlerbetrachtung Fluide Zeitintegration Randbedingungen Ausblick

Diskretisierung

Kunstliche Viskositat

Term fur kunstliche Viskositat Πab nach Monaghan/Gingold

Πab =

∑b

−αcabφab+βφ2ab

ρabv ab · r ab < 0

0 v ab · r ab ≥ 0

φab =hv ab · r abr2ab + η2

Einbindung von Πab in diskretisierte Impulsgleichung

dv a

dt= −

∑b

mb

(paρ2a

+pbρ2b

+ Πab

)w

′abeab + g

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Grundlagen der Smoothed Particle Hydrodynamics 32 / 52

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Mathematische Grundlagen Fehlerbetrachtung Fluide Zeitintegration Randbedingungen Ausblick

Diskretisierung

Viskositat

Berechnung nach Lo und Shao

[ν∆v ]c(r a) ≈∑b

4mb(µa + µb)v ab

(ρa + ρb)2(r2ab + η2)

rabw′ab

Einsetzen in die diskretisierte Impulsgleichung

dv a

dt=−

∑b

mb

(paρ2a

+pbρ2b

)w

′abeab

+∑b

4mb(µa + µb)v ab

(ρa + ρb)2(r2ab + η2)

rabw′ab

+ g

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Mathematische Grundlagen Fehlerbetrachtung Fluide Zeitintegration Randbedingungen Ausblick

Weakly Compressible SPH

Druckberechung - Cole Gleichung

pa(ρa) =ρ0c

20

γ

((ρaρ0

)γ− 1

)+ p0

kunstliche Schallgeschwindigkeit c0

|δρ|ρ≈ |v |

2

c2= Ma2

c0 = 10vmax

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Mathematische Grundlagen Fehlerbetrachtung Fluide Zeitintegration Randbedingungen Ausblick

Inhalt

1 Mathematische Grundlagen

2 Fehlerbetrachtung

3 Fluide

4 ZeitintegrationZeitschrittkriterienVerlet-Algorithmus

5 Randbedingungen

6 AusblickJohanna Thomsen, Johannes Gutekunst Kooperation Waschepflege

Grundlagen der Smoothed Particle Hydrodynamics 35 / 52

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Mathematische Grundlagen Fehlerbetrachtung Fluide Zeitintegration Randbedingungen Ausblick

Zeitschrittkriterien

CFL-Bedingung:

∆t ≤ 0.25h

c

Einfluss der Partikelbeschleunigung:

∆t ≤ 0.25

√h

max(|dvadt |)

Einfluss der Viskositat:

∆t ≤ 0.125h2

max(νa)

min(∆t) wird als Zeitschritt verwendet

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Mathematische Grundlagen Fehlerbetrachtung Fluide Zeitintegration Randbedingungen Ausblick

Verlet-Algorithmus

Position-Verlet

Berechnung der Positionen zum halben Zeitschritt:

r(t +

∆t

2

)= r(t) +

∆t

2v(t)

Berechnung der Geschwindigkeiten zum nachsten Zeitschritt:

v(t + ∆t) = v(t) + a(t +

∆t

2

)∆t

Berechnung der Positionen zum nachsten Zeitschritt:

r(t + ∆t) = r(t +

∆t

2

)+

∆t

2v(t + ∆t)

Konsistenz 2. Ordnung

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Mathematische Grundlagen Fehlerbetrachtung Fluide Zeitintegration Randbedingungen Ausblick

Verlet-Algorithmus

Velocity-Verlet

Berechnung der Geschwindigkeiten zum halben Zeitschritt:

v(t +

∆t

2

)= v(t) +

∆t

2a(t)

Berechnung der Positionen zum nachsten Zeitschritt:

r(t + ∆t) = r(t) + v(t +

∆t

2

)∆t

Berechnung der Geschwindigkeiten zum nachsten Zeitschritt:

v(t + ∆t) = v(t +

∆t

2

)+

∆t

2a(t + ∆t)

Konsistenz 2. Ordnung

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Grundlagen der Smoothed Particle Hydrodynamics 38 / 52

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Mathematische Grundlagen Fehlerbetrachtung Fluide Zeitintegration Randbedingungen Ausblick

Inhalt

1 Mathematische Grundlagen

2 Fehlerbetrachtung

3 Fluide

4 Zeitintegration

5 Randbedingungenmethodische UnterteilungRandpartikel fur vollen Kernelabstoßende RandpartikelRandintegral

6 Ausblick

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Mathematische Grundlagen Fehlerbetrachtung Fluide Zeitintegration Randbedingungen Ausblick

methodische Unterteilung

Randpartikel furvollen Kernel

abstoßendeRandpartikel

Randintegral

[Abb.: Violeau, D., Fluid mechanics and the SPH method, 2012, Oxford University Press, Seite 426]

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Mathematische Grundlagen Fehlerbetrachtung Fluide Zeitintegration Randbedingungen Ausblick

Randpartikel fur vollen Kernel

gespiegelte Partikel - ghost particles

Spiegelung randnaher Partikel

Dichte und Druck identisch

normale Geschwindigkeitskomponenteentgegengesetzt

tangentiale Geschwindigkeitskomponenteabhangig von Wandhaftung

Berechnung neu fur jeden Zeitschritt

nicht fur komplexe Geometrien geeignet

[Abb.: Violeau, D., Fluidmechanics and the SPH method,

2012, Oxford University Press,Seite 426]

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Mathematische Grundlagen Fehlerbetrachtung Fluide Zeitintegration Randbedingungen Ausblick

Randpartikel fur vollen Kernel

Dummy-Partikel nach Adami, Hu und Adams (2012)

mehrreihige feste Randpartikel

vw -Dummy bei Wandhaftung:

vw = 2vν −∑

f v f wwf∑f wwf

Dummy-Druck:

pw =

∑f pf wwf + g ·

∑f ρf rwf wwf∑

f wwf

[Abb.: Adami, S.; Hu, X.Y.; Adams, N.A., Ageneralized wall boundary condition for

smoothed particle hydrodynamics, Journal ofComputational Physisc, Vol. 231, 2012, Seite

7061]

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Mathematische Grundlagen Fehlerbetrachtung Fluide Zeitintegration Randbedingungen Ausblick

abstoßende Randpartikel

nach Monaghan und Kajtar (2009)

einreihige feste Randpartikel

sehr gut fur komplexe Geometrien

Kraft auf den Fluidpartikel nurabhangig von dessen Abstand zurWand

radiale besser als normale Krafte

[Abb.: Violeau, D., Fluid mechanics and theSPH method, 2012, Oxford University Press,

Seite 426]

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Grundlagen der Smoothed Particle Hydrodynamics 43 / 52

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Mathematische Grundlagen Fehlerbetrachtung Fluide Zeitintegration Randbedingungen Ausblick

Randintegral

nach Kulasegaram et al. (2004) und Ferrand et al. (2013)

Einteilung des Randes in Segmente

Volumen des Eckpartikels: Ve = θ2πVf

Genauigkeit der Massenbilanz wird erhoht

Renormalisierungsfaktor:

γa =

∫Ωwh(r a − r)dΩ

∇r f (r)

∣∣∣∣r=ra

=1

γa

∫Ωf (r)∇rwh(r a − r)dΩ

− 1

γa

∮∂Ω

f (r) wh(r a − r) n dS

[Abb.: Ferrand et al., Unifiedsemi-analytical wall boundary

conditions for inviscid, laminar orturbulent flows in the meshless

SPH, Int. J. Num. Meth. Fluids,Vol. 71, 2013, Seite 451]

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Mathematische Grundlagen Fehlerbetrachtung Fluide Zeitintegration Randbedingungen Ausblick

Inhalt

1 Mathematische Grundlagen

2 Fehlerbetrachtung

3 Fluide

4 Zeitintegration

5 Randbedingungen

6 Ausblick

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Mathematische Grundlagen Fehlerbetrachtung Fluide Zeitintegration Randbedingungen Ausblick

Anhang

∇rwh(r − ra︸ ︷︷ ︸X

) = ∇rwh(X )

=∂wh(X )

∂X∂X∂r︸︷︷︸=1

=∂wh(X )

∂X= −∂wh(X )

∂X· (−1)

= −∂wh(X )

∂X∂X∂ra︸︷︷︸=−1

= −∇rawh(X )

= −∇rawh(r − ra)

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Mathematische Grundlagen Fehlerbetrachtung Fluide Zeitintegration Randbedingungen Ausblick

Impulserhalt (1D, stationar, adiabat, reibungsfrei):

udu +1

ρ

∂p

∂ρdρ = 0

isentrop: c2 =∂p

∂ρ

udu +1

ρc2 dρ = 0

−M2 du

u=

ρ

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Mathematische Grundlagen Fehlerbetrachtung Fluide Zeitintegration Randbedingungen Ausblick

[ f ]c(ra) =

∫Ω

f (r) δh(r − ra)dΩ

=

∫Ω

[(f (ra) +

∂f

∂r(ra) · (r − ra) +

1

2(r − ra)T · ∂

2f

∂r 2(ra) · (r − ra)

+O(|r − ra|3

))δh(r − ra)

]dΩ

= f (ra)

∫Ω

δh(r − ra)dΩ

+∂f

∂r(ra) ·

∫Ω

(r − ra) δh(r − ra)dΩ

+∂2f

∂r 2(ra) ·

∫Ω

1

2(r − ra)T · (r − ra) δh(r − ra)dΩ

+

∫Ω

O(|r − ra|3

)δh(r − ra)dΩ

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Mathematische Grundlagen Fehlerbetrachtung Fluide Zeitintegration Randbedingungen Ausblick

Verlet-Algorithmus

SPH-Velocity-Verlet

v(t +

∆t

2

)= v(t) +

∆t

2

dvdt

(t)

r(t +

∆t

2

)= r(t) +

∆t

2v(t +

∆t

2

)ρ(t + ∆t) = ρ(t) + ∆t

dt

(t +

∆t

2

)r(t + ∆t) = r

(t +

∆t

2

)+

∆t

2v(t +

∆t

2

)v(t + ∆t) = v

(t +

∆t

2

)+

∆t

2

dvdt

(t + ∆t)

SPH-Position-Verlet

r(t +

∆t

2

)= r(t) +

∆t

2v(t)

ρ

(t +

∆t

2

)= ρ(t) +

∆t

2

dt(t)

v(t + ∆t) = v(t) + ∆tdvdt

(t +

∆t

2

)r(t + ∆t) = r

(t +

∆t

2

)+

∆t

2v(t + ∆t)

ρ(t + ∆t) = ρ

(t +

∆t

2

)+

∆t

2

dt(t + ∆t)

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Pradiktor-Korrektor-Methode

v(t +

∆t

2

)= v(t) +

∆t

2

dvdt

(t)

r(t +

∆t

2

)= r(t) +

∆t

2v(t)

ρ

(t +

∆t

2

)= ρ(t) +

∆t

2

dt(t)

v(t + ∆t) = v(t) + ∆tdvdt

(t +

∆t

2

)r(t + ∆t) = r(t) + ∆tv

(t +

∆t

2

)ρ(t + ∆t) = ρ(t) + ∆t

dt

(t +

∆t

2

)Johanna Thomsen, Johannes Gutekunst Kooperation Waschepflege

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