43
Grundlagen der Wärmeübertragung 3 Erzwungene Konvektion 1 a) erzwungene Konvektion (Strömung angetrieben durch Pumpe oder Gebläse) b) freie Konvektion (Dichteunterschiede aufgrund von Temperaturunterschieden) c) Kondensation d) Sieden weiterhin: interne Konvektion z.B. Rohrströmung externe Konvektion z.B. überströmte Platte, quer angeströmte Profile Fundamentale Gleichung für konvektiven Wärmeübergang: W q A Q Newton´scher Ansatz Newton´s law of cooling 3.1 Grundlagen der Konvektion

Grundlagen der Wärmeübertragung 3 Erzwungene Konvektion D · Grundlagen der Wärmeübertragung 3 Erzwungene Konvektion 3 Wärmeübergangskoeffizient bei Konvektion hängt von Temperaturprofil

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Grundlagen der Wärmeübertragung

3 Erzwungene Konvektion 1

a) erzwungene Konvektion (Strömung angetrieben durch Pumpe oder Gebläse)

b) freie Konvektion (Dichteunterschiede aufgrund von Temperaturunterschieden)

c) Kondensation

d) Sieden

weiterhin:

interne Konvektion z.B. Rohrströmung

externe Konvektion z.B. überströmte Platte, quer angeströmte Profile

Fundamentale Gleichung für konvektiven Wärmeübergang:

WqA

Q

Newton´scher Ansatz

Newton´s law of cooling

3.1 Grundlagen der Konvektion

Grundlagen der Wärmeübertragung

3 Erzwungene Konvektion 2

W

W

fWdy

d

Wärmeübertragung in unmittelbarer Wandnähe

durch Wärmeleitung in der viskosen Unterschicht

W

W

fWWdy

dq

Wärmeleitfähigkeit des Fluides an der Wand

Wand

wqw

haftende Fluidschicht

Fluidw = 0

WuW = 0

Kühlen Heizen

(r)

(Haftbedingung)

(r)w(r) 𝜹𝒗𝒊𝒔𝒌𝒐𝒔

𝒘𝒘 = 𝟎

𝜹

𝜹: Grenzschichtdicke

𝜹𝒗𝒊𝒔𝒌𝒐𝒔: viskose/laminare Unterschicht

Grundlagen der Wärmeübertragung

3 Erzwungene Konvektion 3

Wärmeübergangskoeffizient bei Konvektion hängt von Temperaturprofil

und damit wiederum vom Geschwindigkeitsprofil ab.

Für die exakte Bestimmung der konvektiven Wärmeübergangskoeffizienten

werden deshalb die Erhaltungssätze benötigt für

• Masse (Kontinuitätsgleichung)

• Impuls (Navier-Stokes Gleichungen)

• Energie

Diese Gleichungen erhält man durch Bilanzen an Kontrollvolumina.

Die ausführliche Herleitung der Erhaltungsgleichungen ist in den Vorlesungs-

unterlagen Seite 17-21 dargestellt (Vorlesungsumdruck).

= f ( w, x, y, z, , , cp, , , )

Temperaturgradient im Fluid an der Wand nur schwer zugänglich

Lösung der Erhaltungsgleichungen sehr aufwändig

Ähnlichkeitstheorie dimensionslose Kennzahlen

Grundlagen der Wärmeübertragung

3 Erzwungene Konvektion 4

Kontinuitätsgleichung

ein x

Grundlagen der Wärmeübertragung

3 Erzwungene Konvektion 5

Grundlagen der Wärmeübertragung

3 Erzwungene Konvektion 6

Grundlagen der Wärmeübertragung

3 Erzwungene Konvektion 7

3.2 Prandtl´sche Grenzschichttheorie

htdickeGrenzschichehydraulisc

htdickeGrenzschicthermische

geEinlauflänhehydrauliscL

geEinlauflänthermischeL

h

th

einh

einth

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

,

,

Pr

3

1

Pr~th

h

Prandtl-Zahl

Hier dargestellt:

z.B. Luft (𝑷𝒓 ≈ 𝟎, 𝟕)

Grundlagen der Wärmeübertragung

3 Erzwungene Konvektion 8

Laminare Strömung

y

w

w

Turbulente Strömung

y

w

w

y

y

u

ylam

ylamyturbu

<

lamturby

w

y

w

𝛥𝑤

𝛥𝑤

Grundlagen der Wärmeübertragung

3 Erzwungene Konvektion 9

3.3 Laminare Strömung

Reynolds-Experiment

Für ausgebildete laminare Strömung gilt:

Gesetz von Hagen-Poiseuille

2

max2/

1d

ywyw

y

Parabel

Geschwindigkeitsprofil

Grundlagen der Wärmeübertragung

3 Erzwungene Konvektion 10

Wärmeübertragung nur durch Wärmeleitung entlang Temperaturgradient

in der thermischen Grenzschicht

Die Grenzschichtdicke hängt von der Lauflänge ab.

w

d

einh

d

LRe05,0

,

dwd

Re

Bei laminarer Strömung erfolgt keine Quervermischung in y-Richtung.

ein,hLHydraulisch voll ausgebildet

d100bis50L ein,h

Geschwindigkeitsprofil

Re = __________________________Beschleunigungskraft

Reibungskraft

y

Grundlagen der Wärmeübertragung

3 Erzwungene Konvektion 11

Re- und Pr-Zahl sind von entscheidender

Bedeutung für den konvektiven

Wärmeübergang.

q

q

Gase Pr 0,7

Zähe Flüssigkeiten, Öl Pr 70

Typische Werte für Pr:

Flüssige Metalle Pr << 1

Flüssigkeiten Pr 7

Pr

a

PrPr

,

,

einh

einth

L

L

einh

einth

d

einth

L

L

d

L

,

,,Re05,0

h

th

3

1

Pr

ein,thL

Temperaturprofil Kühlung

Pr = ___________________________________________Impulstransport durch Reibung

Wärmetransport durch Leitung

3

1

Pr~th

h

Wasser: 𝑷𝒓 = 𝟕𝜹𝒉 ≈ 𝟏, 𝟗 𝜹𝒕𝒉

Luft: 𝑷𝒓 = 𝟎, 𝟕𝜹𝒉 ≈ 𝟎, 𝟗 𝜹𝒕𝒉

Prandtl-Zahl

Grundlagen der Wärmeübertragung

3 Erzwungene Konvektion 12

z.B. für zylindrisches Rohr mit 65,3., NuconstW

laminar solange (gilt nur bei Rohrströmung)

Übergang

laminar turbulent

2300Red

00010Re2300 d

.constNu Für ausgebildete laminare Strömung:

Nu = ____________________________________________________________

Wärmestrom durch Leitung in der Flüssigkeit

Wärmestrom durch Konvektion

WL

konv

q

q

LNu

/

66,3Nu

Fluid

charaktLNu

36,4., NuconstqW

Grundlagen der Wärmeübertragung

3 Erzwungene Konvektion 13

Im VDI- Wärmeatlas wird für vollausgebildete, laminare Rohrströmung

folgende Gleichung für die mittlere Nußelt-Zahl empfohlen

Geltungsbereich: ; Pr0

L

dPrRe0

Genauigkeit: %10

Für den ebenen Spalt: (hier 𝒍𝒄𝒉𝒂𝒓 = 𝑺𝒑𝒂𝒍𝒕𝒘𝒆𝒊𝒕𝒆 𝒔)

𝑵𝒖𝒅 = 𝟑, 𝟔𝟔𝟑 + 𝟎, 𝟕𝟑 + 𝟏, 𝟔𝟏𝟓 𝑹𝒆𝒅 𝑷𝒓𝒅

𝑳

𝟏/𝟑

− 𝟎, 𝟕

𝟑 𝟏/𝟑

𝑵𝒖𝒔 = 𝟑, 𝟕𝟓𝟑 + 𝟏, 𝟒𝟕𝟑 +𝟐 𝑹𝒆𝒅 𝑷𝒓

𝒔𝑳

𝟏 + 𝟐𝟐 𝑷𝒓

𝟏𝟐

𝑹𝒆𝒅 𝑷𝒓𝒔

𝑳

𝟏/𝟑

(3.1a)

(3.1b)

Grundlagen der Wärmeübertragung

3 Erzwungene Konvektion 14

Nu ist am Anfang des Rohres sehr hoch und geht bei langen Rohren

gegen 3,65 (3,66).

In Hochleistungswärmeübertragern wird deshalb die ausgebildete

Strömung gestört, so dass sich die Strömung neu ausbilden muss und

damit der Wärmeübergang verbessert wird.

Schlußfolgerungen

Pe = ____________________________________________________________Enthalpietransport durch Strömung

Wärmestrom durch Leitung in der Flüssigkeit

PrRe/

charak

pcharak

L

cw

a

Lw

a

dwPe

𝑮𝒛: 𝑮𝒓𝒂𝒆𝒕𝒛 − 𝒁𝒂𝒉𝒍𝑭𝒐: 𝒅𝒊𝒎𝒆𝒏𝒔𝒊𝒐𝒏𝒍𝒐𝒔𝒆 𝒁𝒆𝒊𝒕

𝑷𝒆:𝑷𝒆𝒄𝒍𝒆𝒕 − 𝒁𝒂𝒉𝒍

GzFota

d

La

d

t

L

L

d

a

dw

L

d

LdPe

1

PrRe22

/

𝒘

Grundlagen der Wärmeübertragung

3 Erzwungene Konvektion 15

Wärmeübertragung im laminar durchströmten Rohr

Grundlagen der Wärmeübertragung

3 Erzwungene Konvektion 16

3.4 Turbulente Strömung

dLd

Leinhd

einh 4015Re4,4 ,

6/1,

In der Praxis meist w > 0,5 m/s Turbulente Strömung

In den meisten technischen Anwendungsfällen keine laminare Strömung.

d75m125,1L ein,h

z.B. Wasser bei 20 °C, d = 15 mm, w = 0,10 m/s,

Re = 1500 (laminar)

d20L

7500Re

101

10155,0Re

dwRe

s/m101

s/m5,0w

ein,h

6

3

26

Grundlagen der Wärmeübertragung

3 Erzwungene Konvektion 17

Es gilt: ;;y

w

y

an der Wand größer als bei laminarer Strömung

.. lamturb NuNu

3

2

3/2

1

1Pr8

7,121

PrRe8

L

dNu

Für turbulente Strömung keine exakten Lösungen möglich.

Die zuverlässigste Gleichung ist nach VDI-Wärmeatlas (Gnielinski-Gleichung):

Druckverlustbeiwert für technisch rauhe Rohre:

2

10 5,1Relog8,1

(3.2)

Gültigkeitsbereich der Gnielinski-Gleichung:

tGenauigkei%1510 10000 < Re < 106

0,1 < Pr < 103

0 < d / L < 1

Grundlagen der Wärmeübertragung

3 Erzwungene Konvektion 18

Stoffwerte für 𝝑𝒃 (´Bulk´-Temperatur):

𝝑𝒃 ist adiabate Mischtemperatur:

Einfluss Kühlung/Erwärmung berücksichtigen

14,0

2.3.

w

bGlNuNu

wenn Wand- und Fluidtemperatur (Bulk-Temperatur) sehr unterschiedlich,

da Stoffwerte temperaturabhängig.

dynam. Viskosität

𝝑𝒃 =𝟏

𝑴 𝑨

𝝆 𝒘 𝝑 𝒓 𝒅𝑨

Querschnittsfläche 𝑨, 𝝑𝒃

𝝑𝒘

𝒓

Fluid Flüssigkeit Gas

Heizen

𝜗𝑤 > 𝜗𝑏

𝜂𝑏𝜂𝑤

> 1𝜂𝑏𝜂𝑤

< 1

Kühlen

𝜗𝑤 < 𝜗𝑏

𝜂𝑏𝜂𝑤

< 1𝜂𝑏𝜂𝑤

> 1

𝝑𝒃

𝝑𝝑𝒘Kühlen

𝝑𝒘Heizen

Grundlagen der Wärmeübertragung

3 Erzwungene Konvektion 19

93,065,0 PrRe0167,03,6 Nu

Für Pr << 1 d.h. für flüssige Metalle:

c) Instabilität, an dem Übergang laminar turbulent:

verwende Nulam wenn größer als Nuturb .

a) Einlaufströmung höhere Nu-Zahlen als ausgebildete Strömung

b) Nuturbulent > Nulaminar

Weitere Gleichungen für Spezialfälle in Vorlesungsunterlagen Seite 25-29

Zusammenfassung

Grundlagen der Wärmeübertragung

3 Erzwungene Konvektion 20

Ergänzung zum Wärmeübergang bei Flüssigmetallen:

Künftiger Einsatz im Receiver-Kreislauf von Solarturmkraftwerken

- Wirkungsgradsteigerung

- großer Temperaturbereich in Flüssigphase

- flüssiges Natrium (Na) ca. 𝟗𝟖 °𝑪 − 𝟖𝟗𝟎 °𝑪

- eutektisches Blei-Wismut (Pb-Bi; 𝟒𝟒, 𝟓 𝑮𝒆𝒘.% 𝑷𝒃) ca. 𝟏𝟐𝟒 °𝑪 − 𝟏𝟓𝟑𝟑 °𝑪

- geringer Dampfdruck

- hohe Wärmeübergangskoeffizienten

Mittlere Stoffdaten im Temperaturbereich 𝟑𝟎𝟎 °𝑪 − 𝟔𝟎𝟎 °𝑪, 𝒑 = 𝟏 𝒃𝒂𝒓

Stoffdaten Flüssiges Na Flüssige Pb-Bi

𝑐𝑝 [𝐽/(𝑘𝑔 𝐾)] 1270 143

𝜆 [𝑊/(𝑚 𝐾)] 69,8 13,7

𝜌 [𝑘𝑔/𝑚3] 850 10139

𝜂 [𝑘𝑔/(𝑚 𝑠)] 270 ∙ 10−6 1440 ∙ 10−6

𝑃𝑟 = 𝜂 𝑐𝑝/𝜆 0,005 0,015

Grundlagen der Wärmeübertragung

3 Erzwungene Konvektion 21

Nußelt-Korrelationen für Flüssigmetalle

Erzwungene Rohrströmung, 𝑷𝒆 = 𝑹𝒆 𝑷𝒓

Für Pb-Bi: (Chen & Tak, 2006), 𝒒𝒘 = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕

Gültigkeitsbereich

𝑵𝒖 = 𝟒, 𝟓 + 𝟎, 𝟎𝟏𝟖 𝑷𝒆𝟎,𝟖 𝑷𝒆 < 𝟏𝟎𝟎𝟎

𝑵𝒖 = 𝟓, 𝟒 − 𝟗 ∙ 𝟏𝟎−𝟒 𝑷𝒆𝟎,𝟖 + 𝟎, 𝟎𝟏𝟖 𝑷𝒆𝟎,𝟖 𝟏𝟎𝟎𝟎 < 𝑷𝒆 < 𝟐𝟎𝟎𝟎

𝑵𝒖 = 𝟑, 𝟔 + 𝟎, 𝟎𝟏𝟖 𝑷𝒆𝟎,𝟖 𝑷𝒆 > 𝟐𝟎𝟎𝟎

Für Na:

𝑵𝒖 = 𝟕, 𝟎 + 𝟎, 𝟎𝟐𝟓 𝑷𝒆𝟎,𝟖

Grundlagen der Wärmeübertragung

3 Erzwungene Konvektion 22

Beispiel:

Ein Benzolmassenstrom von 2 kg/s wird durch

Wärmeübertragung von bei 45 °C kondensierendem

Kältemitteldampf von einer Eintrittstemperatur ein = 10 °C

auf eine Austrittstemperatur aus von mindestens 30 °C

erwärmt (𝒅

𝑳≈ 𝟎).

Man bestimme die benötigte Wärmeübertragungsfläche.

Stoffwerte von Benzol

Dichte: 879 kg/m3

spez. Wärme: 1,74 kJ/(kg·K)

Wärmeleitfähigkeit: 0,153 W/(m·K)

kin. Viskosität: 0,74·10-6 m2/s

Grundlagen der Wärmeübertragung

3 Erzwungene Konvektion 23

1

2

Zur Verfügung stehen zwei verschiedene

Rohrbündelwärmeübertragerbauformen.

Der Kältemitteldampf soll an der Rohraußenseite

kondensieren, das Benzol soll durch die Rohre

strömen.

Wärmeübertrager 1

Anzahl der Rohrbündel 𝐧 = 𝟐

Anzahl der Rohre / Bündel 𝐳 = 𝟑𝟗

Rohrlänge 𝐋 = 𝟏𝒎

Rohraußendurchmesser x Wandstärke

10 mm x 1 mmWärmeübertrager 2

Anzahl der Rohrbündel 𝐧 = 𝟑

Anzahl der Rohre / Bündel 𝐳 = 𝟗𝟎

Rohrlänge 𝐋 = 𝟏, 𝟐 𝒎

Rohraußendurchmesser x Wandstärke

25 mm x 2,5 mm

Grundlagen der Wärmeübertragung

3 Erzwungene Konvektion 24

kWcMQ einauspsoll 6,69

effist TAkQ

296,1391008,022)1 mmmzLdAnA j

235,20902,102,03)2 mmmAnA j

Im vorliegenden Fall ist Teff = 23,6 K, vgl. Kapitel 8

𝒏: Anzahl der nacheinander durchströmten Rohrbündel

kond

ein = 10°C

aus = 30°C

45°C

35K

15K

20°C = fm =ein + aus

2

KT

aus

ein

auseineff 6,23

15

35ln

1535

ln

KT auseinarithm 25

2

Näherung für 𝜟𝑻𝒆𝒇𝒇 :

Grundlagen der Wärmeübertragung

3 Erzwungene Konvektion 25

*

1111111

FAAAAAkA Raaiiwwaaii

Km

WngWärmeleitu

Km

WonKondensati

Km

WKonvektionerzwungenefür

W

a

i

2

2

2

00025

00010

1000

i22

1

Km

W877

1

Km

W

1

00025

1

00010

1

1000

1

k

1

ik k stets etwas kleiner als kleinstes

Abschätzung:

Grundlagen der Wärmeübertragung

3 Erzwungene Konvektion 26

L

dfNud Pr,Re,

4,7Pr

pc

00012

4

Re2

zd

dMdw

i

1

3002 2

Turbulent: Gnielinski-Gleichung (Gln. (3.2) )

Laminar: Gln. (3.1a)

1 turbulent

2 turbulent oder laminar

𝑴 =𝝅 𝒅𝒊

𝟐

𝟒𝒛 𝒘 𝝆

𝒘 = 𝟏, 𝟏𝟔𝒎

𝒔

𝒘 = 𝟎, 𝟎𝟖𝒎

𝒔

Anzahl parallel durchströmter Rohre

Grundlagen der Wärmeübertragung

3 Erzwungene Konvektion 27

dNumit d

Km

W2

1930

Km

W2

129

Km

W2

48

1

2

21 A2A

Übertragbare Wärmeströme

1

2

kWTATAkQ effeff 3,8911111

kWTATAkQ effeff 9,6122222

kWQ 1,232

turbulent

laminar

(turbulent) (laminar)

Grundlagen der Wärmeübertragung

3 Erzwungene Konvektion 28

3.5 Nicht - kreisförmige Durchmesser

Für laminare Strömung:

siehe Gleichungen in den Vorlesungsunterlagen oder Buch von

Shah & London

Für turbulente Strömung:

verwende Gnielinski – Gleichung mit „ hydraulischem“ oder

„äquivalentem“ Durchmesser:

benetzt

quer

hU

Ad

4

Grundlagen der Wärmeübertragung

3 Erzwungene Konvektion 29

dD

dD

dD

dh

22

44

Ringspalt

D d

Weitere hydraulische Durchmesser siehe Umdruck S.23

𝒅𝒉 =𝟒 𝑨𝒒𝒖𝒆𝒓

𝑼𝒃𝒆𝒏𝒆𝒕𝒛𝒕 Rechteck-Kanal

𝒅𝒉 =𝟒 𝒂 𝒃

𝟐 𝒂+𝒃=

𝟐 𝒂𝒃

𝒂+𝒃

b

a

𝒅𝒉 in 𝑹𝒆𝒅, 𝑵𝒖𝒅,𝒅

𝑳für 𝒅 einsetzen: Übereinstimmung mit Messung ±𝟏𝟎%

Spalt: 𝒂 ≫ 𝒃

𝒅𝒉 =𝟐𝒃

𝟏+𝒃

𝒂

= 𝟐𝒃 = 𝟐 𝒙 𝑺𝒑𝒂𝒍𝒕𝒘𝒆𝒊𝒕𝒆

Grundlagen der Wärmeübertragung

3 Erzwungene Konvektion 30

Externe Strömung: • keine Krümmung

• kein Druckgefälle

• keine Auftriebseffekte (keine freie Konvektion)

constW

3.6 Laminar – überströmte Platte

h

w

x

2

1

Re64,4 xh

x

xwx

Re

laminar

turbulent

laminare Unterschicht

kritL

5105Re krit

2/1~ xh

Grundlagen der Wärmeübertragung

3 Erzwungene Konvektion 31

Thermische Grenzschichtdicke:

2

1

3

1

3

1

Re64,4Pr976,0Pr976,0 xhth

Örtliche Nusselt – Zahl:

xNu x

xx

5,033,0 RePr332,0

LNu m

L

Mittlere Nusselt – Zahl von x = 0 bis x = L:

3

1

Pr~

hth

(Pohlhausen)

2/1~ xth

th

x

xxNu

2

3 2/1~1

~ x

th

𝜶𝒙

𝜶𝒎

𝜹𝒕𝒉

𝟎 𝑳

Grundlagen der Wärmeübertragung

3 Erzwungene Konvektion 32

L

x

xm dxL

0

1

dxx

xw

L

L

x

m

0

33,0Pr332,01

5,033,0

5,0

1Pr332,0

1L

w

Lm

mitStoffwerte

33,05,0PrRe664,0 LLNu

33,05,0 PrRe664,01

LmL

(Pohlhausen)

Bei mittlerer Filmtemperatur𝝑𝒃 =𝝑𝒘 + 𝝑∞

𝟐

(3.3)

𝑵𝒖𝑳 = 𝟐 𝑵𝒖𝒙=𝑳

Grundlagen der Wärmeübertragung

3 Erzwungene Konvektion 33

3.7 Turbulent – überströmte Platte

5

. 105Re KritÜbergang laminar turbulent bei

1,032

8,0

Re1Pr443,21

PrRe037,0

L

LLNu

Bessere Übereinstimmung mit Gleichung von Petukhov und Popov:

Mittlere Nusseltzahl

5

1

Re37,0 xh

x

Hydraulische Grenzschichtdicke:

33,08,0 PrRe0287,0 xxNuÖrtliche Nußelt-Zahl:

(3.4)

Grundlagen der Wärmeübertragung

3 Erzwungene Konvektion 34

3.8.1 querangeströmter Zylinder:

3.8 Überströmte Einzelkörper

z.B. Rohre, Kugel, Profile

mit zunehmendem : und bzw.w 0

p0

x

p

danach: Wirbelbildung und Rückströmung

s

mw 0

maxpp

am Staupunkt gilt:

bis zu einer bestimmten Stelle in der Nähe von 90°, danach

w

x

p0 bis zum Ablösepunkt

90 °

0

w

d

.0

x

p

Grundlagen der Wärmeübertragung

3 Erzwungene Konvektion 35

von Karman Vortex Street behind a tube for

Re=1000, calculated with the RNG model

Grundlagen der Wärmeübertragung

3 Erzwungene Konvektion 36

Strömungsablösung: laminar bei 𝝋 ≈ 𝟖𝟎 °

turbulent bei 𝝋 ≈ 𝟏𝟒𝟎 °

Ungleichverteilung der lokalen Strömungsgeschwindigkeit.

Ungleichverteilung des Wärmeübergangs.

Korrelationen an Messwerte angepasst.

Den weitesten Gültigkeitsbereich hat Korrelation von Whitaker:

4

1

4,03

2

2

1

PrRe06,0Re4,0W

dddNu

dw Re

5.Krit 102Re Übergang laminar turbulent bei

Querangeströmter

Zylinder

Grundlagen der Wärmeübertragung

3 Erzwungene Konvektion 37

Beachte: 4,05,0 Pr;RefNu Gilt näherungsweise immer bei Anlaufströmung,

d.h. nur Vorfaktoren ändern sich.

0Re,2min wennKugelfürNu

3.8.2 Umströmte Kugel:

%30

Whitaker:

4

1

4,03

2

2

1

PrRe06,0Re4,02W

dddNu

messerAußendurchdd

Nud

dwd

Re

Genauigkeit der Gleichungen nach Whitaker:

Grundlagen der Wärmeübertragung

3 Erzwungene Konvektion 38

Herleitung des Grenzwertes NuD= 2 für Kugel

Bei sehr kleinen Re-Zahlen Re < 1, kleine Geschwindigkeiten, zähe

Fluide

Betrachtung als reines Wärmeleitproblem

2111

2

ai

WL

DD

Q

Wärmeleitung in Kugelschale

Annahme: DDD ia 212 DQWL

Definiert als Wärmeübergang 21

2 DQkonv

Gleichgesetzt konvWL QQ D 2

DNuD

2

Grundlagen der Wärmeübertragung

3 Erzwungene Konvektion 39

3.8.3 Sonstige Querschnitte:

siehe Vorlesungsunterlagen bzw. aus VDI – Wärmeatlas. Für alle Geometrien:

22

min turblam NuNuNuNu

ˆ

ˆ

min

turb

lam

Nu

Nu

Nu

𝑳∗ wird anstelle von d in Nu, Re, (d/L) verwendet.

𝑳∗ =𝑨

𝑼

In Gln. (3.3), Gln. (3.4) und (3.5) Überströmlänge 𝑳∗ einsetzen.

ˆ

ˆ

U

A

2 für Kugel bzw. 0,3 für Zylinder

Gln. (3.3) für laminar überströmte Platte

Gln. (3.4) für turbulent überströmte Platte

Wärmeübertragungsfläche

Umfang der Schattenfläche in Strömungsrichtung

(3.5)

Grundlagen der Wärmeübertragung

3 Erzwungene Konvektion 40

dLfür

d

Ld

LdLZylinder

22

*

*

ReLw

L

fürPr

*L

NuL

dd

dLKugel

2*

Beispiel:

> Siehe auch Umdruck S.30

Nu-Korrel. von Gnielinski: Überströmlänge

Nu-Korrel. von Eckert: Durchmesser

𝝑𝒃 =𝝑𝒘 + 𝝑∞

𝟐

𝝑∞

𝝑𝒘

Grundlagen der Wärmeübertragung

3 Erzwungene Konvektion 41

3.10 Durchströmte Haufwerke

Haufwerk: geordnete oder regellose Anordnung von mehreren Einzelkörpern.

Die effektive Strömungsgeschwindigkeit ist größer als , da die

Einzelkörper den Strömungsquerschnitt verringern.ww

w

w

Grundlagen der Wärmeübertragung

3 Erzwungene Konvektion 42

Def.: Lückenvolumen, Porosität

gesKörperLücke VVV

ges

Körper

ges

Lücke

V

V

V

V 1

querA

Vw

Leerer Strömungsquerschnitt ohne Körper

d.h. verwende für

Lw Rew

Grundlagen der Wärmeübertragung

3 Erzwungene Konvektion 43

Dies gilt nur, solange der Abstand zwischen den Einzelkörpern so groß

ist, dass keine Beeinflussung der Grenzschichten vorliegt.

w

In den meisten Fällen führt diese Beeinflussung

zu einer Verbesserung des Wärmeübergangs.

z.B. Kugelschüttung mit :

Verdoppelung von Nu bei gleichem !

4,0

w

Berücksichtigung durch Korrekturfaktor

erEinzelkörpSchüttung NuNu

wobei mit berechnet wird.erEinzelkörpNu w

0001010014,015,11 Peundfür

Recht gut solange Re nicht zu niedrig (d.h. solange Re > 1)

Ansonsten „schleichende“ Strömung

dann 𝝋 < 𝟏 möglich durch Ungleichverteilung der Strömung.