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Mathematik und Naturwissenschaften Fachrichtung Mathematik, Institut für Numerische Mathematik GRUNDLAGEN MATHEMATIK 6. Komplexe Zahlen Prof. Dr. Gunar Matthies Wintersemester 2015/16

Grundlagen Mathematik - 6. Komplexe Zahlenmatthies/Material/WiSe15/Kapitel6.pdf · Mathematik und Naturwissenschaften Fachrichtung Mathematik, Institut für Numerische Mathematik

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  • Mathematik und Naturwissenschaften Fachrichtung Mathematik, Institut für Numerische Mathematik

    GRUNDLAGEN MATHEMATIK

    6. Komplexe Zahlen

    Prof. Dr. Gunar Matthies

    Wintersemester 2015/16

  • Hyperbel-Funktionen

    Sinus hyperbolicus

    sinh(x) :=ex − e−x

    2Kosinus hyperbolicus

    cosh(x) :=ex + e−x

    2hyperbolischer Pythagoras

    cosh2(x)− sinh2(x) = 1Tangens hyperbolicus

    tanh(x) :=sinh(x)cosh(x)

    =ex − e−x

    ex + e−x

    Kotangens hyperbolicus

    coth(x) :=cosh(x)sinh(x)

    =ex + e−x

    ex − e−x

    G. Matthies Grundlagen Mathematik 2/26

  • Darstellung der reellen Hyperbel-Funktionen I

    −3 −2 −1 1 2 3

    −4

    −2

    2

    4

    cosh(x)

    sinh(x)

    x

    y

    G. Matthies Grundlagen Mathematik 3/26

  • Darstellung der reellen Hyperbel-Funktionen II

    −3 −2 −1 1 2 3

    −3

    −2

    −1

    1

    2

    3

    coth(x)

    tanh(x)x

    y

    G. Matthies Grundlagen Mathematik 4/26

  • Areafunktionen

    Areafunktionen = Umkehrfunktionen der Hyperbelfunktionen

    arsinh : R→ R, x 7→ ln(x +

    √x2 + 1

    )arcosh : [1,∞)→ [0,∞), x 7→ ln

    (x +

    √x2 − 1

    )artanh : (−1, 1)→ R, x 7→ ln

    √1+ x1− x

    arcoth : R \ [−1, 1]→ R \ {0}, x 7→ ln√

    x + 1x − 1

    G. Matthies Grundlagen Mathematik 5/26

  • Motivation

    Problem: Da für alle reellen Zahlen x stets x2 ≥ 0 gilt, hat dieGleichung x2 = −1 keine (reellen) Lösungen.

    Frage: Lässt sich eine Erweiterung von R derart finden, dass dieGleichung x2 + 1 = 0 eine Lösung hat?

    Anmerkung: Erweiterungen von Zahlenbereichen sind nicht neu.So führte der Wunsch nach der Durchführbarkeit der Division vonden ganzen Zahlen auf die rationalen Zahlen.

    Idee: Wir führen die imaginäre Einheit i ein, für diei2 = −1

    gilt.

    G. Matthies Grundlagen Mathematik 6/26

  • Komplexe Zahlen

    Definition

    Die Menge der komplexen Zahlen ist durchC :=

    {z = a+ bi : a, b ∈ R

    }definiert.

    Bemerkung

    Komplexe Zahlen können als formale Rechenausdrücke mit der„Variablen“ i betrachtet werden.Jede komplexe Zahl z ∈ C lässt sich eindeutig in der Form

    z = a+ bi

    mit reellen Zahlen a, b schreiben.

    Beispiel für komplexe Zahlen

    2+ 2i ,√2− 4i , −1

    3+ πi

    G. Matthies Grundlagen Mathematik 7/26

  • Real- und Imaginärteil

    Definition

    Sei z = a+bi eine komplexe Zahl. Dann nennen wir a Realteil vonz und b Imaginärteil von z . Wir schreiben: a = Re z und b = Im z .Die reellen Zahlen a und b heißen kartesische Koordinaten derkomplexen Zahl z . Die Darstellung z = a+ bi wird als kartesischeKoordinatendarstellung bezeichnet.

    ACHTUNG: Der Imaginärteil ist stets eine reelle Zahl.

    Folgerung

    Zwei komplexe Zahlen z = a+bi und w = c+di sind genau danngleich, wenn ihre Realteile und ihre Imaginärteile übereinstimmen,d. h., wenn

    a = c und b = dgilt.

    G. Matthies Grundlagen Mathematik 8/26

  • Komplexe Konjugation und Betrag

    Definition

    Sei z = a+ bi eine komplexe Zahl. Dann heißt die komplexe Zahlz := a− bi die zu z konjugiert komplexe Zahl. Wir nennen

    |z | :=√a2 + b2

    den Betrag der komplexen Zahl z .

    Bemerkung

    Der Betrag von z = a + bi entspricht der Länge des zweidimen-

    sionalen Vektors(ab

    ).

    G. Matthies Grundlagen Mathematik 9/26

  • Gaußsche Zahlenebene

    c a

    −b

    d

    b z = a+ bi

    z = a− bi

    w = c + di

    Re

    Im

    G. Matthies Grundlagen Mathematik 10/26

  • Polarkoordinatenform

    c a

    d

    b

    |z |

    z = a+ bi

    ϕz

    |w |

    w = c + di

    ϕw Re

    Im

    Bemerkung

    Jede komplexe Zahl z = a + bi lässt sich durch ihren Betrag |z |und den Winkel ϕ zwischen der positiven reellen Achse und derVerbindungsstrecke vom Ursprung zu z in der Form

    z = |z |(cos(ϕ) + i sin(ϕ)

    ), ϕ ∈ [0, 2π),

    darstellen, die Polarkoordinatenform genannt wird.

    G. Matthies Grundlagen Mathematik 11/26

  • Umrechnung zwischen den Darstellungsformeln I

    z = a+ bi = r(cos(ϕ) + i sin(ϕ)

    )

    a

    b

    r

    z = a+ bi

    ϕ· Re

    Im

    Gegeben: r , ϕGesucht: a, bUmrechnung:a = r cosϕb = r sinϕ

    Gegeben: a, bGesucht: r , ϕUmrechnung:

    r =√a2 + b2

    b

    a=

    r sinϕr cosϕ

    = tanϕ

    G. Matthies Grundlagen Mathematik 12/26

  • Umrechnung zwischen den Darstellungsformeln II

    tanϕ =b

    a, r =

    √a2 + b2

    ϕ =

    arctan ba für a > 0, b ≥ 0

    G. Matthies Grundlagen Mathematik 13/26

  • Umrechnung zwischen den Darstellungsformeln II

    tanϕ =b

    a, r =

    √a2 + b2

    ϕ =

    arctan ba für a > 0, b ≥ 0π2 für a = 0, b > 0

    G. Matthies Grundlagen Mathematik 13/26

  • Umrechnung zwischen den Darstellungsformeln II

    tanϕ =b

    a, r =

    √a2 + b2

    ϕ =

    arctan ba für a > 0, b ≥ 0π2 für a = 0, b > 0

    π + arctan ba für a < 0

    G. Matthies Grundlagen Mathematik 13/26

  • Umrechnung zwischen den Darstellungsformeln II

    tanϕ =b

    a, r =

    √a2 + b2

    ϕ =

    arctan ba für a > 0, b ≥ 0π2 für a = 0, b > 0

    π + arctan ba für a < 0

    32π für a = 0, b < 0

    G. Matthies Grundlagen Mathematik 13/26

  • Umrechnung zwischen den Darstellungsformeln II

    tanϕ =b

    a, r =

    √a2 + b2

    ϕ =

    arctan ba für a > 0, b ≥ 0π2 für a = 0, b > 0

    π + arctan ba für a < 0

    32π für a = 0, b < 0

    2π + arctan ba für a > 0, b < 0G. Matthies Grundlagen Mathematik 13/26

  • Grundrechenarten

    Satz

    Seien z = a + bi und w = c + di zwei komplexe Zahlen. Danngelten die Rechenregeln• Summe: z + w = (a+ bi) + (c + di) = (a+ c) + (b + d)i• Differenz: z − w = (a+ bi)− (c + di) = (a− c) + (b − d)i• Produkt: zw = (a+ bi)(c + di)

    = ac + adi + bci + bdi2

    = (ac − bd) + (bc + ad)i

    • Quotient:z

    w=

    a+ bi

    c + di=

    (a+ bi)(c − di)(c + di)(c − di)

    =z w

    w w

    =(ac + bd) + (bc − ad)i

    c2 + d2für w 6= 0+ 0i

    G. Matthies Grundlagen Mathematik 14/26

  • Rechengesetze I

    Bemerkung

    Addition und Subtraktion komplexer Zahlen entsprechen der Ad-dition und Substraktion von zweidimensionalen Vektoren.

    Satz

    Für komplexe Zahlen gelten das Kommutativgesetz, das Assozia-tivgesetz und das Distributivgesetz wie für reelle Zahlen.

    Bemerkung

    Da sich jede reelle Zahl a gemäß a+0i als komplexe Zahl darstellenlässt, bilden die komplexen Zahlen einen Zahlenbereich, der diereellen Zahlen enthält. Statt a+ 0i schreiben wir weiterhin a.

    G. Matthies Grundlagen Mathematik 15/26

  • Rechengesetze II

    Bemerkung

    Für komplexe Zahlen gibt es keine Relationen wie < oder >.Nur Gleichheit kann festgestellt werden.

    Bemerkung

    Bei der Division komplexer Zahlen wird mit dem konjugiertenKomplement des Nenners erweitert.

    G. Matthies Grundlagen Mathematik 16/26

  • Rechenregeln I

    Seien z ,w komplexe Zahlen. Dann gelten die Rechenregeln• z + w = z + w• z − w = z − w• zw = z w• zn = zn, n ∈ N0

    •(z

    w

    )=

    z

    w, falls w 6= 0

    • z + z = 2Re z• z − z = 2i Im z• z = z

    G. Matthies Grundlagen Mathematik 17/26

  • Rechenregeln II

    Seien z ,w komplexe Zahlen. Dann gelten die Rechenregeln• z z = |z |2 = |z |2

    • Dreiecksungleichung: |z + w | ≤ |z |+ |w |

    • |zw | = |z | |w |

    •∣∣∣ zw

    ∣∣∣ = |z ||w | , falls w 6= 0•∣∣zn∣∣ = |z |n, n ∈ N0

    G. Matthies Grundlagen Mathematik 18/26

  • Illustration von Multiplikation und Division

    −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3

    −2

    −1

    1

    2z = 2+ 2i

    w = −1+ i

    zw = −4

    z

    w= −2i

    Re

    Im

    Vermutung: Bei der Multiplikation werden Beträge multipliziertund Winkel addiert, bei der Division werden Beträge dividiert unddie Winkel subtrahiert.G. Matthies Grundlagen Mathematik 19/26

  • Komplexe Exponentialfunktion I

    Wert der Exponentialfunktion für komplexe Argumente erklären

    n-tes Taylor-Polynom der Exponentialfunktion

    T expn (x) = 1+ x +x2

    2+

    x3

    3!+ · · ·+ x

    n

    n!Einsetzen von x = iϕ

    T expn (iϕ) = 1+ iϕ+(iϕ)2

    2+

    (iϕ)3

    3!+ · · ·+ (iϕ)

    n

    n!

    = 1+ iϕ− ϕ2

    2− i ϕ

    3

    3!+ϕ4

    4!+ i

    ϕ5

    5!− · · ·+ inϕ

    n

    n!

    =

    (1− ϕ

    2

    2+ϕ4

    4!− . . .

    )+ i

    (ϕ− ϕ

    3

    3!+ϕ5

    5!− . . .

    )= T cosn (ϕ) + iT

    sinn (ϕ)

    Idee: e iϕ = cosϕ+ i sinϕ

    G. Matthies Grundlagen Mathematik 20/26

  • Komplexe Exponentialfunktion II

    Definition

    Sei z = a+ bi eine komplexe Zahl. Dann legen wirez := ea (cos b + i sin b) ∈ C

    als Wert der komplexen Exponentialfunktion an der Stelle z fest.

    Bemerkung

    Für reelle Zahlen stimmt der Wert der komplexen Exponential-funktion mit dem der üblichen Exponentialfunktion überein, dafür b = 0 der Klammerausdruck 1 wird.

    Satz

    Seien z ,w zwei komplexe Zahlen. Dann giltez+w = ez ew ,

    also das gleiche Gesetz wie bei reellen Exponenten.

    G. Matthies Grundlagen Mathematik 21/26

  • Eigenschaften der komplexen Exponentialfunktion

    Für z = iϕ mit ϕ ∈ R erhalten wirez = e iϕ = e0(cosϕ+ i sinϕ) = cosϕ+ i sinϕ

    und ∣∣e iϕ∣∣ =√cos2 ϕ+ sin2 ϕ = 1.Weiterhin gilt

    e i(ϕ+2πk) = cos(ϕ+ 2πk) + i sin(ϕ+ 2πk)

    = cosϕ+ i sinϕ = e iϕ

    für alle k ∈ Z. Damit ist die komplexe Exponentialfunktion, imGegensatz zur reellen Exponentialfunktion, nicht injektiv.

    Schönste Gleichung der Mathematike iπ + 1 = 0

    G. Matthies Grundlagen Mathematik 22/26

  • Exponentialform

    Satz

    Für alle ϕ ∈ R sind die Zusammenhängee iϕ = e−iϕ,

    cosh(iϕ) =12(e iϕ + e−iϕ

    )= cos(ϕ),

    sinh(iϕ) =12(e iϕ − e−iϕ

    )= i sin(ϕ),

    erfüllt.

    Satz

    Jede komplexe Zahl z lässt sich in der Formz = r e iϕ

    mit r ≥ 0 und ϕ ∈ [0, 2π) darstellen, die als Exponentialformbezeichnet wird. Dabei ist r der Betrag von z und ϕ wird alsWinkel oder Argument der komplexen Zahl z bezeichnet.

    G. Matthies Grundlagen Mathematik 23/26

  • Multiplikation und Division

    Seien z1 = r1e iϕ1 und z2 = r2e iϕ2 zwei komplexe Zahlen in Expo-nentialform. Dann haben wir

    z1z2 = r1eiϕ1 r2e

    iϕ2 = r1r2ei(ϕ1+ϕ2)

    undz1z2

    =r1e

    iϕ1

    r2e iϕ2=

    r1r2e i(ϕ1−ϕ2),

    d. h., bei Multiplikation (Division) werden die Beträge multipliziert(dividiert) und die Winkel addiert (subtrahiert).

    Weiterhin giltzn =

    (r e iϕ

    )n= rne i nϕ

    für jede komplexe Zahl z = r e iϕ und n ∈ N0.

    G. Matthies Grundlagen Mathematik 24/26

  • Wurzeln komplexer Zahlen

    Satz

    Sei n eine natürliche Zahl. Dann hat die Gleichung zn = 1 genaun verschiedene komplexe Lösungen, die durch

    zk = e2kπn

    i , k = 0, . . . , n − 1,gegeben sind. Insbesondere ist z0 = 1.

    Satz

    Seien n eine natürliche Zahl und z = r e iϕ eine von 0 verschiedenekomplexe Zahl, d. h. r 6= 0. Dann hat die Gleichung wn = z genaun verschiedene komplexe Lösungen, die durch

    wk =n√r e(

    ϕn+ 2kπ

    n )i , k = 0, . . . , n − 1,gegeben sind.

    G. Matthies Grundlagen Mathematik 25/26

  • Fundamentalsatz der Algebra

    Satz

    Seien n eine natürliche Zahl undp(x) = a0 + a1x + a2x

    2 + · · ·+ anxn, an 6= 0,ein Polynom von Grad n mit komplexen Koeffizienten a0, . . . , an.Dann gibt es n (nicht notwendig verschiedene) komplexe Zahlenz1, . . . , zn ∈ C derart, dass

    p(x) = an(x − z1)(x − z2) . . . (x − zn)für alle x ∈ C erfüllt ist. Damit sind z1, . . . , zn die Nullstellen desPolynoms p.

    Beispiel2x3 − 2x2 + 8x − 8 = 2(x − 1)(x2 + 4)

    = 2(x − 1)(x − 2i)(x + 2i)

    G. Matthies Grundlagen Mathematik 26/26