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Mathematik und Naturwissenschaften Fachrichtung Mathematik, Institut für Numerische Mathematik GRUNDLAGEN MATHEMATIK 6. Komplexe Zahlen Prof. Dr. Gunar Matthies Wintersemester 2015/16

Grundlagen Mathematik - 6. Komplexe Zahlenmatthies/Material/WiSe15/Kapitel6.pdf · Mathematik und Naturwissenschaften Fachrichtung Mathematik, Institut für Numerische Mathematik

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Mathematik und Naturwissenschaften Fachrichtung Mathematik, Institut für Numerische Mathematik

GRUNDLAGEN MATHEMATIK

6. Komplexe Zahlen

Prof. Dr. Gunar Matthies

Wintersemester 2015/16

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Hyperbel-Funktionen

Sinus hyperbolicus

sinh(x) :=ex − e−x

2Kosinus hyperbolicus

cosh(x) :=ex + e−x

2hyperbolischer Pythagoras

cosh2(x)− sinh2(x) = 1Tangens hyperbolicus

tanh(x) :=sinh(x)cosh(x)

=ex − e−x

ex + e−x

Kotangens hyperbolicus

coth(x) :=cosh(x)sinh(x)

=ex + e−x

ex − e−x

G. Matthies Grundlagen Mathematik 2/26

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Darstellung der reellen Hyperbel-Funktionen I

−3 −2 −1 1 2 3

−4

−2

2

4

cosh(x)

sinh(x)

x

y

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Darstellung der reellen Hyperbel-Funktionen II

−3 −2 −1 1 2 3

−3

−2

−1

1

2

3

coth(x)

tanh(x)x

y

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Areafunktionen

Areafunktionen = Umkehrfunktionen der Hyperbelfunktionen

arsinh : R→ R, x 7→ ln(x +

√x2 + 1

)arcosh : [1,∞)→ [0,∞), x 7→ ln

(x +

√x2 − 1

)artanh : (−1, 1)→ R, x 7→ ln

√1+ x

1− x

arcoth : R \ [−1, 1]→ R \ {0}, x 7→ ln

√x + 1x − 1

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Motivation

Problem: Da für alle reellen Zahlen x stets x2 ≥ 0 gilt, hat dieGleichung x2 = −1 keine (reellen) Lösungen.

Frage: Lässt sich eine Erweiterung von R derart finden, dass dieGleichung x2 + 1 = 0 eine Lösung hat?

Anmerkung: Erweiterungen von Zahlenbereichen sind nicht neu.So führte der Wunsch nach der Durchführbarkeit der Division vonden ganzen Zahlen auf die rationalen Zahlen.

Idee: Wir führen die imaginäre Einheit i ein, für diei2 = −1

gilt.

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Komplexe Zahlen

Definition

Die Menge der komplexen Zahlen ist durchC :=

{z = a+ bi : a, b ∈ R

}definiert.

Bemerkung

Komplexe Zahlen können als formale Rechenausdrücke mit der„Variablen“ i betrachtet werden.Jede komplexe Zahl z ∈ C lässt sich eindeutig in der Form

z = a+ bi

mit reellen Zahlen a, b schreiben.

Beispiel für komplexe Zahlen

2+ 2i ,√2− 4i , −1

3+ πi

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Real- und Imaginärteil

Definition

Sei z = a+bi eine komplexe Zahl. Dann nennen wir a Realteil vonz und b Imaginärteil von z . Wir schreiben: a = Re z und b = Im z .Die reellen Zahlen a und b heißen kartesische Koordinaten derkomplexen Zahl z . Die Darstellung z = a+ bi wird als kartesischeKoordinatendarstellung bezeichnet.

ACHTUNG: Der Imaginärteil ist stets eine reelle Zahl.

Folgerung

Zwei komplexe Zahlen z = a+bi und w = c+di sind genau danngleich, wenn ihre Realteile und ihre Imaginärteile übereinstimmen,d. h., wenn

a = c und b = dgilt.

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Komplexe Konjugation und Betrag

Definition

Sei z = a+ bi eine komplexe Zahl. Dann heißt die komplexe Zahlz := a− bi die zu z konjugiert komplexe Zahl. Wir nennen

|z | :=√a2 + b2

den Betrag der komplexen Zahl z .

Bemerkung

Der Betrag von z = a + bi entspricht der Länge des zweidimen-

sionalen Vektors(ab

).

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Gaußsche Zahlenebene

c a

−b

d

b z = a+ bi

z = a− bi

w = c + di

Re

Im

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Polarkoordinatenform

c a

d

b

|z |

z = a+ bi

ϕz

|w |

w = c + di

ϕw Re

Im

Bemerkung

Jede komplexe Zahl z = a + bi lässt sich durch ihren Betrag |z |und den Winkel ϕ zwischen der positiven reellen Achse und derVerbindungsstrecke vom Ursprung zu z in der Form

z = |z |(cos(ϕ) + i sin(ϕ)

), ϕ ∈ [0, 2π),

darstellen, die Polarkoordinatenform genannt wird.

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Umrechnung zwischen den Darstellungsformeln I

z = a+ bi = r(cos(ϕ) + i sin(ϕ)

)

a

b

r

z = a+ bi

ϕ· Re

Im

Gegeben: r , ϕGesucht: a, bUmrechnung:a = r cosϕb = r sinϕ

Gegeben: a, bGesucht: r , ϕUmrechnung:

r =√a2 + b2

b

a=

r sinϕr cosϕ

= tanϕ

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Umrechnung zwischen den Darstellungsformeln II

tanϕ =b

a, r =

√a2 + b2

ϕ =

arctan ba für a > 0, b ≥ 0

G. Matthies Grundlagen Mathematik 13/26

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Umrechnung zwischen den Darstellungsformeln II

tanϕ =b

a, r =

√a2 + b2

ϕ =

arctan ba für a > 0, b ≥ 0

π2 für a = 0, b > 0

G. Matthies Grundlagen Mathematik 13/26

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Umrechnung zwischen den Darstellungsformeln II

tanϕ =b

a, r =

√a2 + b2

ϕ =

arctan ba für a > 0, b ≥ 0

π2 für a = 0, b > 0

π + arctan ba für a < 0

G. Matthies Grundlagen Mathematik 13/26

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Umrechnung zwischen den Darstellungsformeln II

tanϕ =b

a, r =

√a2 + b2

ϕ =

arctan ba für a > 0, b ≥ 0

π2 für a = 0, b > 0

π + arctan ba für a < 0

32π für a = 0, b < 0

G. Matthies Grundlagen Mathematik 13/26

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Umrechnung zwischen den Darstellungsformeln II

tanϕ =b

a, r =

√a2 + b2

ϕ =

arctan ba für a > 0, b ≥ 0

π2 für a = 0, b > 0

π + arctan ba für a < 0

32π für a = 0, b < 0

2π + arctan ba für a > 0, b < 0

G. Matthies Grundlagen Mathematik 13/26

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Grundrechenarten

Satz

Seien z = a + bi und w = c + di zwei komplexe Zahlen. Danngelten die Rechenregeln• Summe: z + w = (a+ bi) + (c + di) = (a+ c) + (b + d)i

• Differenz: z − w = (a+ bi)− (c + di) = (a− c) + (b − d)i

• Produkt: zw = (a+ bi)(c + di)

= ac + adi + bci + bdi2

= (ac − bd) + (bc + ad)i

• Quotient:z

w=

a+ bi

c + di=

(a+ bi)(c − di)

(c + di)(c − di)=

z w

w w

=(ac + bd) + (bc − ad)i

c2 + d2

für w 6= 0+ 0i

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Rechengesetze I

Bemerkung

Addition und Subtraktion komplexer Zahlen entsprechen der Ad-dition und Substraktion von zweidimensionalen Vektoren.

Satz

Für komplexe Zahlen gelten das Kommutativgesetz, das Assozia-tivgesetz und das Distributivgesetz wie für reelle Zahlen.

Bemerkung

Da sich jede reelle Zahl a gemäß a+0i als komplexe Zahl darstellenlässt, bilden die komplexen Zahlen einen Zahlenbereich, der diereellen Zahlen enthält. Statt a+ 0i schreiben wir weiterhin a.

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Rechengesetze II

Bemerkung

Für komplexe Zahlen gibt es keine Relationen wie < oder >.Nur Gleichheit kann festgestellt werden.

Bemerkung

Bei der Division komplexer Zahlen wird mit dem konjugiertenKomplement des Nenners erweitert.

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Rechenregeln I

Seien z ,w komplexe Zahlen. Dann gelten die Rechenregeln• z + w = z + w

• z − w = z − w

• zw = z w

• zn = zn, n ∈ N0

•(z

w

)=

z

w, falls w 6= 0

• z + z = 2Re z• z − z = 2i Im z

• z = z

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Rechenregeln II

Seien z ,w komplexe Zahlen. Dann gelten die Rechenregeln• z z = |z |2 = |z |2

• Dreiecksungleichung: |z + w | ≤ |z |+ |w |

• |zw | = |z | |w |

•∣∣∣ zw

∣∣∣ = |z ||w |

, falls w 6= 0

•∣∣zn∣∣ = |z |n, n ∈ N0

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Illustration von Multiplikation und Division

−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3

−2

−1

1

2z = 2+ 2i

w = −1+ i

zw = −4

z

w= −2i

Re

Im

Vermutung: Bei der Multiplikation werden Beträge multipliziertund Winkel addiert, bei der Division werden Beträge dividiert unddie Winkel subtrahiert.G. Matthies Grundlagen Mathematik 19/26

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Komplexe Exponentialfunktion I

Wert der Exponentialfunktion für komplexe Argumente erklären

n-tes Taylor-Polynom der Exponentialfunktion

T expn (x) = 1+ x +

x2

2+

x3

3!+ · · ·+ xn

n!Einsetzen von x = iϕ

T expn (iϕ) = 1+ iϕ+

(iϕ)2

2+

(iϕ)3

3!+ · · ·+ (iϕ)n

n!

= 1+ iϕ− ϕ2

2− i

ϕ3

3!+ϕ4

4!+ i

ϕ5

5!− · · ·+ in

ϕn

n!

=

(1− ϕ2

2+ϕ4

4!− . . .

)+ i

(ϕ− ϕ3

3!+ϕ5

5!− . . .

)= T cos

n (ϕ) + iT sinn (ϕ)

Idee: e iϕ = cosϕ+ i sinϕ

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Komplexe Exponentialfunktion II

Definition

Sei z = a+ bi eine komplexe Zahl. Dann legen wirez := ea (cos b + i sin b) ∈ C

als Wert der komplexen Exponentialfunktion an der Stelle z fest.

Bemerkung

Für reelle Zahlen stimmt der Wert der komplexen Exponential-funktion mit dem der üblichen Exponentialfunktion überein, dafür b = 0 der Klammerausdruck 1 wird.

Satz

Seien z ,w zwei komplexe Zahlen. Dann giltez+w = ez ew ,

also das gleiche Gesetz wie bei reellen Exponenten.

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Eigenschaften der komplexen Exponentialfunktion

Für z = iϕ mit ϕ ∈ R erhalten wirez = e iϕ = e0(cosϕ+ i sinϕ) = cosϕ+ i sinϕ

und ∣∣e iϕ∣∣ =√cos2 ϕ+ sin2 ϕ = 1.Weiterhin gilt

e i(ϕ+2πk) = cos(ϕ+ 2πk) + i sin(ϕ+ 2πk)

= cosϕ+ i sinϕ = e iϕ

für alle k ∈ Z. Damit ist die komplexe Exponentialfunktion, imGegensatz zur reellen Exponentialfunktion, nicht injektiv.

Schönste Gleichung der Mathematike iπ + 1 = 0

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Exponentialform

Satz

Für alle ϕ ∈ R sind die Zusammenhängee iϕ = e−iϕ,

cosh(iϕ) =12(e iϕ + e−iϕ

)= cos(ϕ),

sinh(iϕ) =12(e iϕ − e−iϕ

)= i sin(ϕ),

erfüllt.

Satz

Jede komplexe Zahl z lässt sich in der Formz = r e iϕ

mit r ≥ 0 und ϕ ∈ [0, 2π) darstellen, die als Exponentialformbezeichnet wird. Dabei ist r der Betrag von z und ϕ wird alsWinkel oder Argument der komplexen Zahl z bezeichnet.

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Multiplikation und Division

Seien z1 = r1eiϕ1 und z2 = r2e

iϕ2 zwei komplexe Zahlen in Expo-nentialform. Dann haben wir

z1z2 = r1eiϕ1 r2e

iϕ2 = r1r2ei(ϕ1+ϕ2)

undz1z2

=r1e

iϕ1

r2e iϕ2=

r1r2e i(ϕ1−ϕ2),

d. h., bei Multiplikation (Division) werden die Beträge multipliziert(dividiert) und die Winkel addiert (subtrahiert).

Weiterhin giltzn =

(r e iϕ

)n= rne i nϕ

für jede komplexe Zahl z = r e iϕ und n ∈ N0.

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Wurzeln komplexer Zahlen

Satz

Sei n eine natürliche Zahl. Dann hat die Gleichung zn = 1 genaun verschiedene komplexe Lösungen, die durch

zk = e2kπn

i , k = 0, . . . , n − 1,gegeben sind. Insbesondere ist z0 = 1.

Satz

Seien n eine natürliche Zahl und z = r e iϕ eine von 0 verschiedenekomplexe Zahl, d. h. r 6= 0. Dann hat die Gleichung wn = z genaun verschiedene komplexe Lösungen, die durch

wk = n√r e(

ϕn+ 2kπ

n )i , k = 0, . . . , n − 1,gegeben sind.

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Fundamentalsatz der Algebra

Satz

Seien n eine natürliche Zahl undp(x) = a0 + a1x + a2x

2 + · · ·+ anxn, an 6= 0,

ein Polynom von Grad n mit komplexen Koeffizienten a0, . . . , an.Dann gibt es n (nicht notwendig verschiedene) komplexe Zahlenz1, . . . , zn ∈ C derart, dass

p(x) = an(x − z1)(x − z2) . . . (x − zn)

für alle x ∈ C erfüllt ist. Damit sind z1, . . . , zn die Nullstellen desPolynoms p.

Beispiel2x3 − 2x2 + 8x − 8 = 2(x − 1)(x2 + 4)

= 2(x − 1)(x − 2i)(x + 2i)

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