grundlegendes Anforderungsniveau...MATHEMATIK NEUE WEGE Qualifikationsphase Niedersachsen grundlegendes Anforderungsniveau Herausgegeben von: Henning Körner, Arno Lergenmüller,Prof

Niedersachsen

grundlegendes Anforderungsniveau

Qualifikationsphase

gA

Teilvorabdruck Die Neuen ausNiedersachsen

Qualifikationsphase

Herausgegeben vonHenning KörnerArno LergenmüllerGünter SchmidtMartin Zacharias

Niedersachsen

gA


MATHEMATIK NEUE WEGEQualifikationsphaseNiedersachsen


Herausgegeben von:Henning Körner, Arno Lergenmüller, Prof. Günter Schmidt, Martin Zacharias

erarbeitet von:Henning Körner, Oldenburg; Arno Lergenmüller, Roxheim; Martin Zacharias, Molfsee

Zu diesem Schülerband gehören:Lösungen 1 9783507887381Lösungen 2 9783507887398Arbeitsheft mit Lösungen 9783507887619

BiBox Digitale UnterrichtsmaterialienLehrerEinzellizenz WEB50788740LehrerEinzellizenz (CDROM) 9783507887428LehrerKollegiumslizenz WEB50788741SchülerEinzellizenz WEB50767190BasisBiBox WEB50767431

© 2018 Bildungshaus SchulbuchverlageWestermann Schroedel Diesterweg Schöningh Winklers GmbH, Braunschweigwww.schroedel.de

Das Werk und seine Teile sind urheberrechtlich geschützt. Jede Nutzung in anderen alsden gesetzlich zugelassenen Fällen bedarf der vorherigen schriftlichen Einwilligung desVerlages.Hinweis zu § 52a UrhG: Weder das Werk noch seine Teile dürfen ohne Einwilligung gescannt und in ein Netzwerk eingestellt werden. Dies gilt auch für Intranets von Schulenund sonstigen Bildungseinrichtungen. Für Verweise (Links) auf InternetAdressen giltfolgender Haftungshinweis: Trotz sorgfältiger inhaltlicher Kontrolle wird die Haftung für dieInhalte der externen Seiten ausgeschlossen. Für den Inhalt dieser externen Seiten sindausschließlich deren Betreiber verantwortlich. Sollten Sie daher auf kostenpflichtige, illegale oder anstößige Inhalte treffen, so bedauern wir dies ausdrücklich und bitten Sie, unsumgehend per EMail davon in Kenntnis zu setzen, damit beim Nachdruck der Verweisgelöscht wird.

Druck A1 / Jahr 2018Alle Drucke der Serie A sind im Unterricht parallel verwendbar.

Redaktion: Stefan DisselnkötterUmschlagentwurf: Janssen Kahlert Design & Kommunikation GmbH, HannoverIllustrationen: Margit Pawle, Münchentechn. Zeichnungen: Mario Valentinelli, RostockDruck und Bindung: westermann druck GmbH, Braunschweig

ISBN 9783507887367

Inhalt1 Integralrechnung 81.1 Von der Änderung zum Bestand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2 Von der Ableitung zur Bestandsfunktion Stammfunktionen . . . . . . . . . . 161.3 Der Hauptsatz der Differential und Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . 211.4 Bestände rekonstruieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.5 Flächen berechnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Checkup. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42Vermischte Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2 Kurvenanpassung 482.1 Kurvenanpassung mit ganzrationalen Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.2 Lineare Gleichungssysteme GaußAlgorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.3 Funktionen aus Bedingungen bestimmen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61


3 eFunktionen 703.1 Neue Ableitungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.2 Die eFunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773.3 Der natürliche Logarithmus und die allgemeine Exponentialfunktion . . . 813.4 Exponentielles Wachstum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 863.5 Begrenztes Wachstum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 933.6 Modelle mit eFunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 993.7 Innermathematisches mit eFunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106


4 Orientieren und Bewegen im Raum 1174.1 Orientieren im Raum Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1194.2 Bewegen im Raum Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1274.3 Rechnen mit Vektoren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1324.4 Skalarprodukt und Winkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141


3Inhalt

5 Geraden und Ebenen im Raum 1535.1 Geraden in der Ebene und im Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1555.2 Lagebeziehung von Geraden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1665.3 Ebenen im Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180


6 Zufall und Wahrscheinlichkeit 1936.1 Empirische Wahrscheinlichkeit und Laplace‘sche Wahrscheinlichkeit. . . 1956.2 Baumdiagramme das sollten Sie noch wissen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1996.3 Simulation zur Erinnerung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2036.4 Das empirische Gesetz der großen Zahlen nochmals hingeschaut. . . . 208

Checkup. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

7 Wahrscheinlichkeitsmodelle 2177.1 Bedingte Wahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2197.2 Stochastische Unabhängigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226


8 Binomialverteilung modellieren, vorhersagen, beurteilen 236

8.1 Zufallsgrößen und Erwartungswert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2388.2 BernoulliExperiment und Binomialverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2458.3 Binomialverteilung Erwartungswert und Standardabweichung . . . . . . . 2578.4 Prognoseintervalle schätzen und beurteilen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262


Zum Erinnern und Wiederholen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272Abiturübungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305Lösungen zu den Checkups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317Lösungen zum Grundwissen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347Stichwortverzeichnis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350

4 Inhalt

5Inhalt

3 Freier Fall beim Bungee-Sprung

Professionelle BungeeSpringer erproben sich gerne an der 216m hohen BloukransBrücke im TsitsikammaNationalpark in Südafrika. Der Sprung in die Tiefe ist für ungefähr vier Sekunden ein freier Fall. Durch die Dehnung des Seiles nach der Freifallphasewird der Springer dann so abgebremst, dass er ca. 40m vor dem Boden gestoppt wird.Der gesamte Fall dauert bei der BloukransBrücke über sieben Sekunden.(1) In welcher Höhe beginnt das Abbremsen?(2) Welche Fallgeschwindigkeit hat der Springer nach vier Sekunden?Die Fallstrecke s in Abhängigkeit von der Zeit t lässt sich inder Freifallphase modellieren mit der Gleichung:

s(t) = 5t2 für 0 ≤ t ≤ 4

Dabei ist t die Fallzeit in Sekunden und s(t) die Fallstreckein Meter.a) Erstellen Sie eine Tabelle der Fallstrecke vom Absprungaus in der Freifallphase, d.h. für die ersten vier Sekundendes Sprunges. In welcher Höhe beginnt das Abbremsen?

b) Berechnen Sie die Durchschnittsgeschwindigkeit des Springers in den ersten vierSekunden und in der Zeitspanne von der dritten zur vierten Sekunde.

Aufgaben

1 2 3 4

20

40

60

80 Fallstrecke s

Zeit t

Die lokale Änderungsrate3.3

Kennen Sie die Ableitungen bestimmter Funktionen, so können Sie mit den folgendenRegeln auch „Verwandte“ dieser Funktionen schnell und sicher ableiten.

Wichtige Ableitungsregeln

Potenzregel Beispiele:f (x) = xn f′(x) = nxn−1 f (x) = x6 f′(x) = 6x5

Regel für konstante Summandenf (x) = g(x) + c f′(x) = g′(x) f (x) = x6 + 10 f′(x) = 6x5„Ein konstanter Summand fällt beim Ableiten weg.“

Faktorregelf (x) = a×g(x) f′(x) = a×g′(x) f (x) = 2,5x2 f′(x) = 2,5×2x = 5x„Ein konstanter Faktor bleibt beim Ableiten erhalten.“

Summenregelf (x) = g(x) + h(x) f′(x) = g′(x) + h′(x) f (x) = x2 + x6 f′(x) = 2x + 6x5„DieAbleitung der Summezweier Funktionen ist die Summeder Ableitungender beidenSummanden.“

A Ableiten nach RegelnLeiten Sie die Funktionen ab.a) f (x) = 2x4 + 4 b) f (x) = 3x3 − 4x2 c) f (x) = 5

Lösung:a) f (x) = 2x4 + 4f′(x) = 2×4x4 − 1

= 8x3

b) f (x) = 3x3 − 4x2f′(x) = 3×3x3 − 1 – 4×2x2 − 1

= 9x2 – 8x

c) f (x) = 5f′(x) = 0

6 Ableitungsregeln anwendenBestimmen Sie die Ableitung der Funktion f.a) f (x) = x3 b) f (x) = 4x3 c) f (x) = x3 + xd) f (x) = x4 + 5 e) f (x) = 2x4 + 3x2 f) f (x) = 3x5 − 2x2 + 3x − 2Welche Ableitungsregeln haben Sie dabei angewendet?

7 TrainingLeiten Sie die Funktion f ab. Vereinfachen Sie den Funktionsterm, wenn möglich.a) f (x) = x6 b) f (x) = 1_

5 x5 c) f (x) = 7xd) f (x) = x + 1 e) f (x) = − 2_3 x4 + x + 2 f) f (x) = 7g) f (x) = −x + 2x5 − x3 h) f (x) = 0,25x4 − x3 + x i) f (x) = 0

8 Welche Funktion passt zur gegebenen Ableitungsfunktion?Welche der vier Funktionen haben die Ableitung f′(x) = 4x3 − 4x + 3?

(1) f (x) = x4 − x2 + 3 (2) f (x) = x4 − 2x2 + 3x

(3) f (x) = x4 − 2x2 + 3x − 4 (4) f (x) = x4 − 4x + 3

Basiswissen

n ∈ ℕ

Beispiele

Übungen

Die erste grüne Ebene„Das Ziel vor Augen“

Einführende AufgabenIn vertrauten Alltagsproblemen ist bereits viel Mathematikversteckt. Mit diesen Aufgaben können Sie interessanteZusammenhänge des Themas selbst entdecken undverstehen. Das gelingt besonders gut in der Zusammenarbeit mit einem oder mehreren Partnern.Oft können Sie in dem vielfältigen Angebot nach ihrenErfahrungen und Interessen auswählen.

Die weiße EbeneBasiswissenHier finden Sie alle im Kerncuriculum geforderten Inhaltekurz und bündig zusammengefasst.BeispieleDie durchgerechneten Musteraufgaben helfen Ihnenbeim eigenständigen Lösen der Übungen.

Übungen„Mathematik lernt man weniger durch Zuschauen alsdurch eigenes Tun.“

Die Übungen bieten reichlich Gelegenheit zu eigenenAktivitäten, zum Verstehen und Anwenden. Zusätzliche„Trainingsangebote“ führen zu Sicherheit und Routine.

Hilfsmittelfreie Übungen, eine Überprüfung derErgebnisse mit dem GTR kann erfolgen.

Bei vielen Übungen finden Sie Tipps als Hilfe.

MerkkartenAuf Merkkarten sind wichtige Sachverhalte zusammengefasst, die das Basiswissen ergänzen.

WerkzeugeDie Nutzung von elektronischen Werkzeugen wie GTR,CAS oder Dynamische Geometriesoftware (DGS) wirdin Werkzeugkästen dargestellt.

Kapitel und LernabschnitteJe zwei Auftaktseiten mit Bildern und kurzen Texten informieren Sie über die Inhalte jedes Kapitels.Ein Kapitel besteht aus mehreren Lernabschnitten.Jeder Lernabschnitt ist in drei Ebenen unterteilt: Grün –Weiß –Grün.

Ableiten mit GTRDer GTR kann näherungs

weise ableiten mit einer

Sekantensteigungs

funktion nDeriv.

Werkzeug

Ein Produkt ist 0, wenn einer der Faktoren 0 ist.

Tipp

SattelpunktEin Wendepunkt mitwaagerechter Tangentewird als Sattelpunktbezeichnet.

↘

waagerechteTangente

Sattelpunkty

x

f

6 Über das Buch

Checkup„Alles klar?“Nach jedem Kapitel finden Sie nochmal dasWichtigste übersichtlich zusammengefasst undtypische Aufgaben, mit denen Sie Ihr Wissenfestigen können. Hier können Sie sich gut aufPrüfungen vorbereiten. Die Lösungen dieser Aufgaben finden Sie am Ende des Buches.

Sichern und Vernetzen −Vermischte AufgabenHier finden Sie übergreifende Übungen zumTrainieren, Verstehen und Anwenden.Die Lösungen können Sie im Internet unterwww.westermanngruppe.de/nw-88736einsehen.

Grundwissen„Vergessen ist menschlich.“Deshalb können Sie im Grundwissen am Endejeder weißen Ebene früher erworbene Kenntnissewiederholen und auffrischen.

Zum Erinnern undWiederholenHier ist Grundlegendes aus den vorhergehenden Inhalten knapp und übersichtlich zusammengestellt.

1 Aussagen über Änderungen

Na endlich!Rückgang derZahl der Störcheverringert sich.

SchulentwicklungDer Rückgang derSchülerzahl wirddramatisch.

KlimakatastropheDie Temperaturensteigen immerschneller.

Trendwende!Die Zunahme derVerkehrsunfällekonnte verringertwerden.

Welcher der folgenden Graphen könnte zu welcher Schlagzeile passen?

(1) (2) (3) (4)

2 Änderungen in verschiedenen SachzusammenhängenJe nach dem Zusammenhang, den der Funktionsgraph beschreibt, hat die Änderungeine bestimmte Bedeutung. In der folgenden Tabelle sind Beispiele aufgeführt.Ergänzen Sie die Lücken in der Tabelle und geben Sie weitere Beispiele an.

Funktionsgraph Änderung

WegZeitDiagramm einer Autofahrt Geschwindigkeit des Autos

Höhenprofil einer Wanderstrecke Steigung des Weges

Füllhöhe einer Flüssigkeit in einemGefäß

Steiggeschwindigkeit des Wasserspiegels

Kraftstoff im Tank während einer Autofahrt ■

Pegelstand eines Flusses in einem Monat ■

■Steiggeschwindigkeit beim Start einesFlugzeugs

■ Bevölkerungswachstum

1. Lösen Sie die Gleichungen.a) 2x − 6 = 18 − xb) x×(x + 5) = 0

2. Gegeben ist die Funktion f mit f (x) = −2x + 3.(1) In welchen Punkten schneidet der Graph von f die Koordinatenachsen?(2) Gehört P(9|−15) zu f?(3) Welcher Punkt der Geraden hat die yKoordinate 4?(4) Welche Gerade verläuft parallel zum Graphen durch den Punkt Q(3|1)?(5) In welchem Punkt schneidet der Graph von f den Graphen der Funktion g mit

g (x) = −3x − 4?

3. Skizzieren Sie die Graphen der Funktion f.a) f (x) = −1,5x + 3b) f (x) = 2x2 − 1

Grundwissen

Übungen

94 3 Funktionen und Änderungsraten

Sichern und Vernetzen – Vermischte Aufgaben1 Ableitungsfunktionen

Bestimmen Sie die Ableitungsfunktionen.a) f (x) = 0,2x3 + 4x2 − 5 b) f (x) = −3x4 + 6x2 − 2x c) f (x) = 4_

xd) f (x) = 0,2×√

__x e) f (x) = ax4 + bx2 + c f) f (x) = mx + b

g) f (u) = 3u3 − 2u2 h) A(r) = π r2 i) f (x) = x3 − 12x

2 FunktionsuntersuchungenBestimmen Sie rechnerisch die Achsenschnittpunkte, die Koordinaten der Extrempunkteund Wendepunkte. Bestimmen Sie die Intervalle, in denen der Graph monoton steigtbzw. fällt. Skizzieren Sie mit diesen Informationen den Graphen.a) f (x) = x3 + 6x2 + 9x b) f (x) = 1_

9 x3 − x2 c)f (x) = 2x3 − 15x2 + 36x − 24

3 Funktionsuntersuchung per Handf (x) = x3 − 6x2 + 9x g(x) = − 1_3 x3 + 4x h(x) = x3 + 3x2 + 5xa) Bestimmen Sie die Schnittpunkte mit den Achsen, die Hoch, Tief und Wendepunkteder ganzrationalen Funktionen „per Hand“ ohne GTR. Skizzieren Sie die Graphen.

b) Geben Sie an, in welchen Intervallen der Graph der Funktion f(1) monoton steigend, (2) monoton fallend,(3) linksgekrümmt, (4) rechtsgekrümmt ist.

c) Bestimmen Sie die Wendetangente.

4 Zusammenhang zwischen einer Funktion und ihren AbleitungenErläutern Sie anhand der Grafik die Zusammenhänge einer Funktion mit ihren Ableitungen bezüglich der Eigenschaften Monotonie, Krümmung und der besonderen Punkte(Hochpunkte, Tiefpunkte und Wendepunkte) des Graphen einer Funktion.

y

x

y

x

y

x+–

+–+–

2.Ableitung

f″1.Ableitung

f′

monotonsteigend

f rechtsgekrümmt

monoton steigend monoton fallend

Nullstelle Nullstelle

Nullstelle

f linksgekrümmt

f′

f

f″

f″(x) < 0

f′(x) < 0f′(x) > 0 f′(x) > 0

f″(x) > 0

Funktionf

Wendepunkt

Hochpunkt

Tiefpunkt

Trainieren

Verstehen

160 4 Funktionen und Ableitungen

Checkup

1 Orasdfasdfasdfasdf1 Intervalle bestimmen

Bestimmen Sie die Intervalle, in denen der Graph der Funktion fmonoton steigt bzw. fällt und in denen er linksgekrümmt bzw.rechtsgekrümmt ist.a) f (x) = 1_

2 x3 − 2 b) f (x) = x3 − 3x2 + 4c) f (x) = 2x4 + 1 d) f (x) = x2 (x2 − 6)

2 Von den Ableitungen zur FunktionWelche Aussagen liefern die abgebildeten Graphen der Ableitungen f′ und f″ über den Graphen derzugehörigen Funktion f?Skizzieren Sie einen Graphen von f.

3 Besondere Punkte mit GTR oder CASBestimmen Sie die Extrempunkte, die Wendepunkte und dieSchnittpunkte mit den Koordinatenachsen.Skizzieren Sie den Graphen.a) f (x) = x4 − 2x2 + 1 b) f (x) = 1_

3 x5 − x2 − 2x + 1c) f (x) = x4 − x d) f (x) = x5 + 2x2 − 2x − 1

4 Wahr oder falsch?Die Funktion f ist eine ganzrationale Funktion dritten Grades. Welche Aussagen für den Graphen von f sind wahr? Begründen Sie.(1) f hat mindestens einen Hochpunkt.(2) f hat höchstens zwei lokale Extrema.(3) f hat genau einen Wendepunkt.(4) Wenn f an der Stelle x einen Tiefpunkt hat, dann ist f′(x) = 0.(5) Der Graph ist im ganzen Definitionsbereich linksgekrümmt.

5 Eigenschaften begründenBegründen Sie mit dem Graphenvon f’:(1) f hat genau einen Wendepunkt.(2) Die Tangente im Wendepunkt

von f hat eine negative Steigung.(3) Der Graph von f hat weder ein

lokales Minimum noch und einlokales Maximum.

(4) f ist überall monoton fallend.

6 Wendepunktea) Wie viele Wendepunkte kann der Graph einer ganzrationalenFunktion vierten Grades höchstens haben?

b) Skizzieren Sie den Graphen einer ganzrationalen Funktionvierten Grades, der die maximale Anzahl von Wendepunktenhat.

f′

f″

2–2 4 6–2

2

y

x

1 2 3 4–1

–2

–3

–4

–5

y x

f′

Zusammenhänge zwischen Funktionund der 1. und 2. Ableitung

W

T

Hy

x

f′ ff″

Funktion f Ableitungenwachsend f′(x) > 0

fallend f′(x) < 0

lokales Extremum f′(x) hat Vorzeichenwechseloder f′(x) = 0 und f″(x) ≠ 0

linksgekrümmt f″(x) > 0rechtsgekrümmt f″(x) < 0

Wendepunktf″(x) hat Vorzeichenwechseloder f′(x) hat lokales Extremum

Lokale ExtrempunkteFür infrage kommende Stellen a gilt:f′(a) = 0 (horizontale Tangente)

Wenn f′(a) = 0 und f″(a) ≠ 0, dann ist(a | f (a)) ein lokaler Extrempunkt.f″(a) < 0: H (a| f (a)) ist Hochpunktf″(a) > 0: T (a| f (a)) ist Tiefpunktoder

Wenn f′(a) = 0 ist und in a ein Vorzeichenwechsel von f′ vorliegt, dann ist (a| f (a)) einlokaler Extrempunkt.

WendepunkteFür infrage kommende Stellen a gilt:f″(a) = 0

Wenn f″(a) = 0 und f‴(a) ≠ 0, dann istW(a| f (a)) ein Wendepunkt.

oder

Wenn f″(a) = 0 ist und in a ein Vorzeichenwechsel von f″ vorliegt, dann ist (a| f (a))ein Wendepunkt.

Wendestellen von f sind Extremstellenvon f′.

159159Checkup

4 Start beim RadrennenAn festgelegten Markierungen werden die Zeiteneines startenden Radrennfahrers gemessen.a) Übertragen Sie die Tabellenwerte in ein WegZeitDiagramm und beschreiben Sie in etwaden Geschwindigkeitsverlauf.

Zeit in s 1 1,5 2,6 3,5 4,3 5,4 6 7,1 8Weg in m 1 2 5 10 20 30 40 60 80Geschwindigkeitin m/s ■ ■ 5,6 ■ ■ ■ ■ ■

Geschwindigkeitin km/h ■ ■ ■ ■ 32,7 ■ ■ ■

b) Berechnen Sie die mittleren Geschwindigkeiten in den einzelnen Messintervallen,tragen Sie die Werte in die Tabelle ein und erstellen Sie ein Diagramm zu denGeschwindigkeitswerten.

c) Modellieren Sie den Start mit einer geeigneten Funktion. Das GeschwindigkeitZeitDiagramm gibt einen Hinweis auf einen geeigneten Funktionstyp.Wie schnell ist der Radrennfahrer nach acht Sekunden? Wann war der Radrennfahrerhalb so schnell?

5 Halfpipe und Skaterrampen

Der Längsschnitt einer Halfpipe besteht an beiden Rändern aus Viertelkreisen, beiSkaterbahnen treten auch andere Längsschnitte auf.

a) Begründen Sie, dass

H(x) = y = −√______16 − x2 für x aus [0; 4]

eine passende Modellierung ist.

b) S(x) = 1_4 x2 − 4 beschreibt eine alternative Rampe.

Skizzieren Sie zu jeder Rampe eine Sekantensteigungsfunktion für ein sehr kleines h und beschreiben Sie das unterschiedliche Steigungsverhalten,vor allem an der Stelle 4. Was ist hier das Besondere an der Halfpipe? Versuchen Sie, das jeweiligeFahrgefühl des Skaters beim Herauf und Hinunterfahren der beiden Rampen zu beschreiben.

Aufgaben

Beachten Sie:1 m/s = 3,6 km/h

(1) Zeigen Sie, dass x2 + y2 = 16 gilt.(2) Satz des Pythagoras anwenden.

Tipp

1 2 3 4

–1

–2

–3

–4

y x

HS

118 3 Funktionen und Änderungsraten Die zweite grüne Ebene„Mathematik – vielfältig und überall.“Hier finden Sie Anregungen für binnendifferenzierendes Arbeiten durch inhaltliche Ergänzungen.Dabei werden vielfältige Lebensweltbezüge ebensoangeboten wie Modellierungen und innermathematische Weitungen mit zugehörigen Vernetzungen.Dadurch werden individuelle Förderungen in gleicher Weise ermöglicht wie kooperative Lernformenin projektartig angelegten Problemenstellungen.

ExkurseEs gibt einiges zu erzählen über Menschen, Probleme und Anwendungen oder auch Seltsames undLustiges.

Sichern Sie Ihr Wissen und Können gegen das Vergessen

Parabeln verschieben und strecken

1 2 3–1–2–3

1

2

–1

–2

–3

y

x

1 2–1–2

1

2

3

–1

–2

y

x

1 2–1–2

1

2

3

4

–1

y

x

f (x) = ax2

Der Graph wird in yRichtung■ gestreckt, wenn |a | > 1■ gestaucht, wenn |a | < 1a = 1: Normalparabela > 0: Graph nach oben geöffnet,a < 0: Graph nach unten geöffnet.Scheitelpunkt S(0|0)

f (x) = x2 + eDer Graph wird inyRichtung um |e |verschoben, und zwar■ nach oben für e > 0,■ nach unten für e < 0.

Scheitelpunkt S(0 |e)

f (x) = (x − d)2Der Graph wird inxRichtung um |d |verschoben, und zwar■ nach rechts für d > 0,■ nach links für d < 0.

Scheitelpunkt S(d|0)f (x) = a×(x − d)2 + e heißt Scheitelpunktform der Parabelgleichung, Scheitelpunkt S(d|e).

Darstellungformen der Funktionsgleichung einer Parabel

Funktionsgleichung

Scheitelpunktform allgemeine Form faktorisierte Formy = 2(x − 1)2 − 8 y = 2x2 − 4x − 6 y = 2(x − 3)(x + 1)

direktabzulesen

Streckfaktor 2,Scheitelpunkt (1 |−8)

Streckfaktor 2, Schnittpunkt mit yAchse (0|−6)

Streckfaktor 2,Nullstellen 3 und −1

Hat eine Parabel zwei Nullstellen, dann liegt aus Symmetriegründen der Scheitelpunktin der Mitte zwischen den beiden Nullstellen.

Wurzelfunktion – die Umkehrfunktion der quadratischen FunktionIst die Umkehrung einer Funktion eindeutig, dann ist die Umkehrzuordnung eineFunktion. Wir sagen: Die Umkehrfunktion f−1 existiert.Den Graphen der Umkehrzuordnung gewinnt man durch Spiegelung an der erstenWinkelhalbierenden.

fy

x

f

f–1

y

x

Die Umkehrung derFunktion f mit f (x) = x2ist nicht eindeutig.

Schränkt man die Definitionsmenge der Funktion fmit f (x) = x2 auf die Zahlen x ≥ 0 ein, dann ist dieUmkehrung eindeutig.

f−1 (x) existiert nicht. f−1 (x) existiert; f−1 (x) = √__x.

Strecken in yRichtungwirkt wie Zusammenbiegen, Stauchen inyRichtung wirkt wieAuseinanderbiegen.

„Horizontalen-Test“y

x

Funktionen – Parabeln verschieben und strecken

220 Zum Erinnern und Wiederholen

7Über das Buch

IntegralrechnungAn einer Haltestelle steigen drei Personen in einen Bus ein. Ander nächsten Haltestelle steigt eine Person aus und vier ein, anzwei weiteren Haltestellen steigen jeweils sieben Personen einund zwei aus.Wie viele Personen sitzen im Bus? Man weiß etwas über die Än-derung der Fahrgastzahl und möchte etwas über die Anzahl derFahrgäste wissen. Kann die eindeutig ermittelt werden? Nein, dafehlt noch eine Information.Schmuckstücke haben oft runde, aber nicht einfache, elementareFormen. Wie kann man deren Fläche berechnen?Es zeigt sich, dass man die beiden so unterschiedlichen Problememit demselben mathematischen Werkzeug bearbeiten kann.

11

1 Integralrechnung8

Von der Änderung zum BestandAus einer bekannten Bestandsfunktion können anschaulich Änderungsgraphen mithilfe der geometrischen Interpretation der Steigung erschlossen werden. Umgekehrt kann man auch aus Änderungsgraphen mögliche Bestandsgraphen rekonstruieren. Hierhilft auch wieder eine geometrische Interpretation,Flächen haben ihren Auftritt.

Von der Ableitung zur Bestandsfunktion –So wie die Ableitung die Änderungsfunktion zu einergegebenen Bestandsfunktion liefert, so hat der umgekehrte Weg von der Änderung zum Bestand auch mitdem „Umkehren“ des Ableitens zu tun. Damit könnenProbleme rechnerisch gelöst werden.

Der Hauptsatz der Differential- undDer allgemein formulierte Hauptsatz begründet diezuvor in unterschiedlichen Sachsituationen erfahrenen Zusammenhänge und zeigt den engen Zusammenhang zwischen den Grundproblemen der Differential und Integralrechnung auf. Bei genaueremHinschauen zeigt sich aber hier auch wieder, dassGrenzprozesse von grundlegender Bedeutung sind.

Bestände rekonstruierenMithilfe von Integralen können Anwendungen im Zusammenhang mit der Rekonstruktion von Beständenoft kalkülhaft gelöst werden. Sind nur einzelne Datenvorhanden, müssen Änderungsfunktionen zunächstmodelliert werden, es gibt keine eindeutigen Lösungen mehr.

Flächen berechnenMit Integralen können krummlinig berandete Flächenberechnet werden, wo keine elementaren Formeln zurVerfügung stehen.

Bakterienbestand

Zeit

Bestandsänderung

Zeit

1.1

2 4 6 8

–2

2

4 y

xf

B1.2Stammfunktionen

∫a

b

f (x)dx = F(b) − F(a)

F′(x) = f (x)

1.3Integralrechnung

1.4

3 3

–3

2y

x1.5

9Übersicht

Von der Änderung zum Bestand

1 Zumanjaro: Drop of Doom – der höchste Fallturm der WeltDer Zumanjaro in New Jersey ist mit 126m der höchste Freifallturm der Welt (2017). DiePassagiere werden in 40 Sekunden mit einer Geschwindigkeit von 3,15m/s nach obenbefördert, bevor nach 8 Sekunden der freie Fall mit einer Geschwindigkeit von bis zu140km/h beginnt. Ein magnetisches Bremssystem bringt die Gondel wieder zum Stoppen.

10 20 30 40 50 60

–10

–20

–30

–40

Geschwindigkeit in m/sZeit in s

a) Erklären Sie mit dem Diagramm, welcher Teil der Fahrt zu welchem Teil des Graphengehört und überprüfen Sie die Angaben im Text.

b) Wann und in welcher Höhe beginnt der Bremsvorgang?c) Füllen Sie die Tabelle aus und erstellen Sie ein ZeitHöhenDiagramm.

Zeit in s 10 20 30 40 48 50 52 54Höhe in m ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■

d) Welcher geometrische Zusammenhang besteht zwischen dem ZeitGeschwindigkeitsDiagramm und dem ZeitHöhenDiagramm?

2 Vom Zufluss zur Füllmenge – ein vereinfachtes Beispiela) In der nebenstehenden Abbildung ist derZufluss und Abfluss von Wasser in einerBadewanne dargestellt. Zu Beginn ist dieWanne leer. Interpretieren Sie den Graphen im Sachzusammenhang.Formulieren Sie eine Geschichte zu demBadevergnügen.

b) Erstellen Sie eine Tabelle mit der Füllmenge (dem „Bestand“) der Badewannenach 5 (10, …, 70) Minuten. Stellen Sie die Füllmenge der Badewanne in Abhängigkeitvon der Zeit dar. Vergleichen Sie diesen Graphen mit dem Graphen in der Abbildung.

c) Geometrische Interpretation: Zur Berechnung der Füllmenge nach 5 Minuten mussdas Produkt 5×10 berechnet werden. Das Produkt kann als Flächeninhalt desentsprechenden Rechtecks in der Grafik interpretiert werden. Interpretieren Siegeometrisch entsprechend die Füllmenge nach 20 (25, 30, 70) Minuten.

d) Ist die Badewanne nach 70 Minuten leer?Was ändert sich am Graphen der Füllmenge („Bestandsfunktion“), wenn zu Beginn30 Liter Wasser in der Wanne sind?

Aufgaben

lmin__

10 20 30 40 50 60481216

48121620 Zufluss in

Zeit in min

1.1

10 1 Integralrechnung

Oft sind Änderungen von Prozessen gegeben. Man versucht dann, daraus auf die Bestandsentwicklung zu schließen.

Rekonstruktion des Bestandes aus bekannten Änderungen

Wenn Änderungen grafisch gegeben sind, können daraus Bestände entwickelt werden, indem der Inhalt der Fläche, die der Graph und die xAchse im Intervall [0; a]umschließen, ermittelt wird. Positive Änderungen bewirken eine Zunahme des Bestandes, negative eine Abnahme. Liegen Flächen also unterhalb der xAchse, dannzählt der Flächeninhalt negativ. Man spricht hier von orientierten Flächeninhalten.

Änderungsfunktion

animmt immerschneller ab

nimmt immerlangsamer zu

nimmtgleichmäßig zu

nimmt immerschneller zu

Wassermenge

Zeit

animmt abist konstant

+

–nimmt zu

Zufluss/Abfluss

Zeit

Bei krummlinigen Änderungsgraphen gelingen nur Näherungslösungen. Es wird zunächst davon ausgegangen, dass bei x = 0 noch kein Bestand vorhanden ist.

A Ein TankDer Graph zeigt den Zu und Abfluss einerFlüssigkeit in einem Tank in einem Zeitraumvon 40 Stunden.a) Beschreiben Sie den Zu und Abfluss.Wann ist die größte Menge im Tank?

b) Bestimmen Sie die Flüssigkeitsmenge nach5, 20, 25, 30 und 40 Stunden und skizzieren Sie einen Bestandsgraphen.

Lösung:a) In den ersten 20 Stunden konstanter Zufluss mit 10l/h. Dann 10 Stunden Zuflussmit abnehmender Zuflussgeschwindigkeit,ab der 30. Stunde Abfluss mit zunehmender Abflussgeschwindigkeit. Nach 30 Stunden ist die größte Menge im Tank.

b) Füllmenge nach 5 Stunden: 5h×10l/h = 50l

Zeit 5 20 25 30 40Bestand 50 200 237,5 250 200

Basiswissen

Beispiele

5–5 10 15 20 25 30 35 40

5

10

15

–10

–5

Zufluss in l/h

Zeit in h

5–5 10 15 20 25 30 35 40

50

100

150

200

250Bestand in l

Zeit in h

Flächeninhalt Trapez:Siehe S. XX

111.1 Von der Änderung zum Bestand

B GewinnänderungenDie Tabelle und die Grafik geben die Gewinnänderungen eines Geschäfts im Verlaufe von 6 Jahren an. Da es keine zusätzlichen Informationen über die Änderungdes Gewinns im Verlaufe eines Jahres gibt,werden die Messpunkte durch Streckenzüge verbunden.

Jahr 0 1 2 3 4 5 6Gewinnän-derungen in1000€/Jahr

−50 −20 0 15 50 70 40

a) Interpretieren Sie das Diagramm.b) Schätzen Sie den Gesamtgewinn in den 6 Jahren.

Lösung:a) In den ersten zwei Jahren macht das Geschäft noch Verluste, allerdings zunehmendweniger. Ab dem dritten Jahr ist der Gewinnzufluss positiv. Drei Jahre lang wächst derGewinnzufluss zunehmend, ehe im sechten Jahr die Gewinnzunahme abnimmt.

b) Der Gewinn ist der Inhalt der Gesamtfläche unter dem Graphen. Diesen erhält man,indem die Inhalte der einzelnen Trapeze berechnet und summiert werden. Jedes Trapez ist 1 LE breit. Da die ersten beiden Trapeze unterhalb der xAchse liegen, müssennegative Werte genommen werden.A = 1×(− 1_2 (50 + 20) − 1_

2 (20 + 0) +1_2 (15 + 0) +

1_2 (15 + 50) +

1_2 (50 + 70) +

1_2 (70 + 40)) = 110

Der Gesamtgewinn in den 6 Jahren beträgt ca. 110 000€.

C Eine BakterienpopulationDie Grafik zeigt die Bestandsänderung einer Bakterienpopulation innerhalb eines gewissen Zeitraumes.Beschreiben Sie die Bestandsänderung und damitdie Bestandsentwicklung. Skizzieren Sie ein ZeitBestandDiagramm.

Lösung:Der Bestand nimmt im gesamten Zeitraum zu, weilder Änderungsgraph nur oberhalb der xAchseliegt. Bis zur Extremstelle wächst der Bestand mitzunehmender Geschwindigkeit, ab dann mit abnehmender Geschwindigkeit. Gegen Ende gibt es keinWachstummehr.

3 Zufluss bekannt, Bestand gesuchtRekonstruieren Sie aus dem Graphen der Zuflussrate von Wasser in ein Becken denGraphen der Bestandsfunktion (Wassermenge im Becken in Abhängigkeit von der Zeit).Gehen Sie dabei davon aus, dass das Becken zu Beginn leer ist.

1 2 3 4

12

–1

f1(x)

x1 2 3 4

12

–1

f3(x)

x1 2 3 4

12

–1

f2(x)

x

Beispiele

1 2 3 4 5 6

–40–20

20406080

Zufluss in Tausend €/Jahr

Zeit in Jahren

a

h

Bestandsänderung

Zeit

Bakterienbestand

Zeit

Übungen


4 Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm eines Rennwagensvon 0 auf 100km/h: 3,4s;von 100 auf 160km/h: 3,4s;von 160 auf 200km/h: 2,9s;von 200 auf 300km/h: 13,6sZeichnen Sie ein mögliches GeschwindigkeitZeitDiagramm für den beschleunigenden Rennwagen.Welche Strecke legt er zurück, bis er 300km/hschnell ist?

5 Zwei LastkähneDas Diagramm zeigt jeweils die „ZeitGeschwindigkeitKurve“ der Lastkähne „Luise“ und „Kurt“,die von derselben Stelle aus auf dem Küstenkanalin die gleiche Richtung fahren.a) Beschreiben Sie die Fahrten von Luise und Kurtin dem gegebenen Zeitintervall.

b) Wer ist nach neun Stunden weiter gefahren?c) Wann gibt es Überholvorgänge? Wer überholtwen?

6 Ein SchiffFrüher war die Geschwindigkeit eines Schiffes einfacher zu messen als der zurückgelegte Weg. Die Geschwindigkeit eines Schiffes wird alle 15 Minuten gemessen und in einerTabelle registriert. Schätzen Sie, welche Strecke der Tanker von 10:00 bis 12:00 Uhrzurückgelegt hat.

Uhrzeit 10:00 10:15 10:30 10:45 11:00 11:15 11:30 11:45 12:00Geschw.(sm/h) 25 22 17 10 5 5 10 19 24

7 Gewinn – VerlustIm Geschäftsbericht einer Firma wirdder Gewinnzufluss in den vergangenen18 Monaten in einem Diagramm dargestellt.a) Interpretieren Sie das Diagramm.b) Schätzen Sie mithilfe des Diagrammsden gesamten Gewinn der Firma inden dargestellten 18 Monaten.

8 Tiere und ein GebirgsprofilDie Grafiken zeigen einen Änderungsgraphen zu zwei unterschiedlichen Situationen.Skizzieren Sie jeweils nach Anschauung einen Bestandsgraphen.a) Eine Tierpopulation b) Ein Gebirgsprofil

Bestandsänderung

Zeit

Steigung

Entfernung

Übungen

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

5101520253035

v in km/h

Kurt

Luiset in h

t = 0 ≙ 10:00t = 1 ≙ 11:00

1 Seemeile (sm) = 1,852km

3 6 9 12 15 18

50100150200250

–50–100

Gewinnzufluss in Tausend €/Monat

Zeit inMonaten


ElefantenrennenDas Oberlandesgericht Hamm urteilte am 29.10.2008: „Das Überholen durch einen Lkw (sog. „Elefantenrennen“) ist nur ahndungswürdig, wenn ein solcher Vorgang wegen zu geringer Differenzgeschwindigkeit eine unangemessene Zeitspanne in Anspruch nimmt. […]Als Faustregel für einen noch regelkonformen Überholvorgang istvon einer Dauer von maximal 45 Sekunden auszugehen.Unter Berücksichtigung der Länge eines zu überholenden Fahrzeugs von knapp 25m und den vor und nach dem Überholen vorgeschriebenen Sicherheitsabständen von jeweils 50m entspricht dies einer Geschwindigkeit von 80km/h fürdas überholende und einer solchen von 70km/h für das zu überholende Fahrzeug.“

Exkurs

9 ElefantenrennenÜberprüfen Sie, ob die Aussagen aus demText im Exkurs zutreffen. Die passendenGeschwindigkeitZeitDiagramme und dieFlächen unter den Graphen helfen dabei.

10 20 30 40

20

40

60

80

100v in km/h

t in s

10 FahrtenschreiberÜberholvorgänge von Lkw können sehr lange dauern. Ein Lkw 1 überholt zum Zeitpunkt t0 den neben ihm fahrenden Lkw 2. Der folgende Graph zeigt das GeschwindigkeitZeitDiagramm und gibt Aufschluss über die weitere Fahrt.

1t0 t1 t2 t4

2 3 4

20

40

60

80

100

120v in km/h

t in min

Lkw 1

Lkw 2

a) Beschreiben Sie die Fahrt der beidenLkw anhand des Diagramms.Skizzieren Sie für beide Lkw den Graphen der Bestandsfunktion.

b) Begründen Sie, dass Lkw 1 zum Zeitpunkt t1 die größere Strecke zurückgelegt hat.

c) Überholt Lkw 2 den Lkw 1 innerhalbdes gegebenen Zeitintervalls [t0; t4]?

1. Bestimmen Sie die ersten beiden Ableitungen.a) f (x) = −2x3 + 4x2 − 7 b) f (x) = x4 + 1_

x c) f (x) = x3 − 2x____4

2. Bestimmen Sie den Flächeninhalt der Figuren.

3. Aus einer Urne mit zweiroten und vier weißen Kugeln werden nacheinanderzwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit zwei rote Kugeln zu ziehen?

Grundwissen

Übungen


11 PumpspeicherwerkIn einem Pumpspeicherkraftwerk wird in Zeiten von„Stromüberschuss“ Wasser in einem Speichersee gepumpt. Im Bedarfsfall fließt Wasser aus dem Speicherseedurch die stromerzeugenden Turbinen ab, um Spitzen desStromverbrauches aufzufangen. In der Abbildung ist derZufluss über 24 Stunden dargestellt.a) Interpretieren Sie das Diagramm.b) Schätzen Sie mit dem Diagramm die Wassermenge,um die sich die Gesamtwassermenge in den dargestellten 24 Stunden verändert hat.

c) Skizzieren Sie einen Graphen, der zu jedem Zeitpunktdie zugeflossene Wassermenge seit Beginn der Messung darstellt.

6 12 18 24

–50

50

100

–100

–150

Zufluss in m3/s

Zeit in h

12 Eine Ballonfahrt

10 20 30 40 50 60 70–0,5–1

0,51

1,52

–1,5

v in m/s

t in min

Ein Heißluftballon startet zur Zeit t = 0 vom Boden. Die Geschwindigkeit des Ballons invertikaler Richtung wird durch das Diagramm beschrieben (Zeit: t in min, Geschwindigkeit v in m/s).a) Beschreiben Sie den Bewegungsablauf qualitativ. Schätzen Sie die nach 30 Minutenerreichte Höhe. Was war die maximale Steighöhe, wann wurde sie erreicht?

b) Begründen Sie, dass die Ballonfahrt auf einem Hügel endet. Wie viel höher als derStartplatz liegt der Hügel?

c) Skizzieren Sie ein mögliches Diagramm für einen Ballon mit qualitativ gleichemSteigverhalten, der aber auf einem Hügel startet und im Tal landet.

Aufgaben

oberer Speichersee desKoepchenwerkes bei Herdecke, NRW


1 Fahren mit dem ElektroautoSie sind von einem PkwHersteller beauftragt worden, die Fahrt eines neuen Pkw mitElektroantrieb zu analysieren. Sie verfügen über das mit Telemetrie aufgezeichneteGeschwindigkeitZeitDiagramm des beschleunigten Fahrzeugs.

10 20 30

10

20

30Geschwindigkeit v in m/s

Zeit in s

a) Beschreiben Sie den Verlauf der Fahrt. Welche Strecke legt das Fahrzeug von der 20.bis zur 30. Sekunde zurück?

b) Sie wollen herausfinden, welche Strecke das Fahrzeug in den ersten 20 Sekundenzurücklegt. Auf welches Problem stoßen Sie? Schätzen Sie den in den ersten 20 Sekunden zurückgelegten Weg mithilfe von Flächeninhalten.

c) Die Änderungsfunktion kann als Ableitung interpretiert werden. Wenn man für dieersten 20 Sekunden eine Funktionsgleichung dafür hat, kann man die „Wegfunktion“daraus ermitteln. Erläutern Sie.Das Diagramm legt im Intervall [0; 20] eine quadratischeFunktion mit dem Scheitelpunkt (20|30) und durch den Punkt(0 |0) nahe. Bestimmen Sie mit diesen Daten eine passendeFunktion für den Geschwindigkeitsverlauf in [0; 20].Bestimmen Sie damit die Wegfunktion und die Länge der Stecke, die das Auto in denersten 30 Sekunden zurückgelegt hat.

2 Befüllen eines WasserbeckensDie Zuflussrate in einemWasserbeckensteigt im Zeitraum von 0 bis 10 Minutengemäß der Funktionsgleichungf (t) = 12t + 20 (Zeit t in min und Zuflussrate f (t) in l/min).a) Bestimmen Sie die Wassermenge nach1, 5 und 10 Minuten.

b) Zeigen Sie, dass B(t) = 6t2 + 20t einezu den berechneten Werten aus a)passende Bestandsfunktion für diezugeflossene Wassermenge ist. Erkennen Sie einen Zusammenhang zwischen derBestandsfunktion und der Funktion für die Zuflussrate?

c) Welche Wassermenge ist nach 4 Minuten zugeflossen? Nach welcher Zeit sind250 Liter zugeflossen?

Aufgaben

Scheitelpunktform:f (x) = a(x − d)2 + e

Tipp

Von der Ableitung zur Bestandsfunktion und Stammfunktionen

1.2

1 Integralrechnung16

Bestandsfunktionen können aus Änderungsraten auch ohne Flächeninhaltsberechnungen ermittelt werden.

Bestandsfunktion – aus Änderungsraten rekonstruiert

Die Änderungsfunktion f kann als Ableitung interpretiertwerden. Wenn für diese Funktion ein Funktionsterm bekannt ist, kann die Rekonstruktion der Bestandsfunktion Bdurch das Umkehren des Ableitens bestimmt werden. Dabei wird zunächst vorausgesetzt: Der Anfangsbestand zumZeitpunkt x = 0 ist 0, also B(0) = 0

Änderungsfunktion(Ableitung)f (x) = −0,5x + 2

Ableitungumkehren

BestandsfunktionB(x) = −0,25x2 + 2xB′(x) = f (x); B(0) = 0

A Funktionsgleichung für Bestandsfunktion findenGegeben ist die Änderungsfunktion f mit f (x) = −0,5x2 + 3.Ermitteln Sie die Bestandsfunktion B. Skizzieren Sie f und B und überprüfen Sie, indemSie sowohl B ableiten als auch den Flächeninhalt unter f in [0; 2] abschätzen.

Lösung:

B(x) = − 0,5__3 x3 + 3x = −1_6 x3 + 3x; B′(x) = −

3×0,5____3 x2 + 3 = f (x)

Durch Abzählen von Kästchen erhält man als Flächeninhalt ungefähr 5. Dies passt zu B(4) = 5 2_3.

3 Bestandsfunktionen aus Änderungsfunktion bestimmenErmitteln Sie zu der Änderungsfunktion f die Bestandsfunktion B. Skizzieren Sie f und Bund überprüfen Sie, indem Sie sowohl B ableiten als auch den Flächeninhalt unter f in[0; 3] und [0; 5] abschätzen.a) f (x) = 1_

2 x b) f (x) = 1_4 x2 + 1 c) f (x) = x×(5 − x)

4 Änderungsfunktionen und Bestandsfunktionena) Finden Sie die passenden Paare zu den Änderungsfunktionen (1)(4).

b) Ermitteln Sie passende Funktionsterme f‘(x) und f(x). Begründen Sie Ihre Ergebnisse.

Basiswissen

2 4 6 8 10 12–2

–2,5

–5

2,5

y

x

B

f

Beispiele

1 2 3

2

4y

x

B

f

Übungen

1 2 3 4 5 6 7

1

–1

234567y

x

(1)

1 2 3 4 5 6 7

1234

–3–4

–2–1

y

x

(2)

1 2 3 4 5 6 7

1

–1

234567y

x

(3)

1 2 3 4 5 6 7

1234

–3–4

–2–1

y

x

(4)

1 2 3 4 5 6 7

1234

–3–4

–2–1

y

x

(A)

1 2 3 4 5 6 7

1

–1

234567y

x

(B)

1 2 3 4 5 6 7

1234

–3–4

–2–1

y

x

(C)

1 2 3 4 5 6 7

1

–1

234567y

x

(D)

1.2 Von der Ableitung zur Bestandsfunktion und Stammfunktionen 17

5 Unterschiedliche Anfangsbestände und BestandsfunktionenZu den Sachsituationen in Aufgabe1 und 2 gehören folgende „Bestandsfunktionen“.

(1) Elektroauto in [0; 20]v(t) = −0,075t2 + 3ts(t) = −0,025t3 + 1,5t2

(2) Wasserbecken in [0; 10]f (t) = 12t + 20B(t) = 6t2 + 20t

(1) Zeigen Sie, dass v(t) auch Änderungsfunktion zu s(t) = −0,025t3 + 1,5t2 + 50 unds(t) = −0,025t3 + 1,5t2 + 200 ist. Was hat sich bei diesen Wegfunktionen am Sachkontext geändert?

(2) ImWasserbecken sind zu Beginn des Füllvorgangs schon 100 Liter bzw. 300 Litervorhanden. Wie lauten jetzt die Bestandsfunktionen?

6 Regeln für das Bestimmen von Bestandsfunktionen erkundenBestandsfunktionen sind Funktionen, deren Ableitung die Änderungsfunktion ist. Bei derSuche helfen die Ableitungsregeln. Ermitteln Sie eine Bestandsfunktion. Finden Sie zueiner Änderungsfunktion mehrere Bestandsfunktionen?(1) f (x) = 1_

2x + 3 (2) f (x) = x2 – 4x (3) f (x) = – 1_

2x4 + 3x2 – 1

Bei der Berechnung von orientierten Flächeninhalten und Bestandsrekonstruktionenrückt das Umgekehrte des Ableitens („Aufleiten“) in den Mittelpunkt.

Stammfunktionen

Eine Funktion F heißt Stammfunktionzu f , wenn F′= f gilt.

Wichtige Eigenschaften:Wenn F Stammfunktion zu f ist,dann erhält man mit F + c (c Konstante) alleStammfunktionen zu f .

Formeln und Regeln zum Bestimmen von Stammfunktionen

Zum Bestimmen von Stammfunktionen muss man „aufleiten“, d.h. das Ableiten (Differenzieren) umkehren.F, G, H ist jeweils Stammfunktion zu f , g, h .

Funktion StammfunktionPotenzregel f (x) = xn

n ≠ −1F(x) = 1___

n + 1xn+1 Exponent um 1 erhöhen,Koeffizient durch neuenExponenten teilen.

KonstanterFaktor

g (x) = a×f (x) G(x) = a×F(x) Konstante Faktoren bleibenerhalten.

Summenregel h (x) = f (x) + g (x) H(x) = F (x) + G(x) Summen von Funktionenwerden summandenweiseaufgeleitet.

Wichtige Funktionen und ihre Stammfunktionen

Funktion f (x) 2x 3x2 1__x2

√__x sin (x) cos (x)

Stammfunktion F(x) x2 x3 − 1_x2_3 √__x3 −cos (x) sin (x)

Übungen

Die Ableitungsregeln findenSie auf S. XX

Basiswissen

2 4 6 8–2

–2

–4

2

4y

x

f F


B Stammfunktionen findenErmitteln Sie alle Stammfunktionen zu f (x) = 2x2 – 4 und überprüfen Sie.

Lösung:

F(x) = 2_3x3 – 4x + c Probe: F′(x) = 3×2_

3x2 – 4x = 2x2 –4 = f(x)

7 TrainingGeben Sie alle Stammfunktionen an.a) f (x) = 3x2 – 4x + 1 b) f (x) = –2x3 + 6x c) f (x) = 1_

4 x4 – 2x2 + 8

d) f (x) = 2__x2 + x

3 e) f (x) = (x + 2)×(x – 3) f) f (x) = 4×sin(x)

g) f (x) = − 1_4 x5 + 12x2 − 8 h) f (x) = (3x − 2)2 i) f (x) = 3x2 − 18x______9

j) Weise nach (vgl. Basiswissen): Die Stammfunktion von f (x) = √__x ist F(x) = 2_

3√__x3.

8 Zusammenhänge zwischen Ableitung und Funktion – Stammfunktionen klärenDer Graph der Ableitungsfunktion f′ ist gegeben.a) Begründen Sie mithilfe des Graphen von f′:(1) f hat zwei lokale Extrema,(2) f ist in [−1; 3] monoton fallend,(3) f hat einen Wendepunkt,(4) Die Tangente im Wendepunkt hat eine nega

tive Steigung.b) Ermitteln Sie einen Funktionsterm zu f′ und damit die Stammfunktionen. Überprüfen Sie damitdie Aussagen aus a).

c) Welche der Stammfunktionen verläuft durch denPunkt (0 |1), welche durch (1|0)?

9 Eine Lücke bei den StammfunktionenBei der Potenzregel wird n ≠ −1 gefordert (vgl. Basiswissen).■ Begründen Sie durch Anwenden der Regel für n = −1, dass diese Forderung notwendig ist und Sie somit keine Stammfunktion zu f (x) = 1_

x bilden können.■ Skizzieren Sie mithilfe des Graphen von f (x) = 1_

x eine Stammfunktion von f.■ Zum Nachdenken: Wächst die Stammfunktion über alle Grenzen?

1. Lösen Sie die Gleichungen. a) (8 − x)2 − 9 = 0 b) − 1_2 (x + 3) = 4 − (x +1_2)

2. Wahr oder falsch?a) Ganzrationale Funktionen vom Grad 3 haben immer einen Wendepunkt.b) Ganzrationale Funktionen vom Grad 4 haben immer zwei Wendepunkte.Widerlegen oder begründen Sie die Aussagen.

3. In einer Reisegruppe von 30 Personen gibt es 12 Männer. Wie viel Prozent vonallen Reisenden sind das?

4. Gegeben ist die Funktion f mit f (x) = −x2 + 6a) Skizzieren Sie den Graphen von f.b) Bestimmen Sie die mittlere Änderung in [−1; 2].c) In welchem Punkt hat der Graph die Steigung 1?

5. Ordnen Sie der Größe nach: −2; −√__5; − 11__5 ; − (0,5 − 1,5)

6. Geben Sie als Bruch, Dezimalzahl und Prozentzahl an: 3_5; 0,125;5_4

Grundwissen

Beispiele

Übungen

1–1–2 2 3 4

1

2

–1

–2

–3

–4

y

x

f′

1.2 Von der Ableitung zur Bestandsfunktion und Stammfunktionen 19

Vom Nutzen der Bestandsfunktion in der PhysikDas WegZeitGesetz beim freien Fall s (t) = 5t2 diente als Beispiel bei der Entwicklung des Begriffs der zugehörigen Momentangeschwindigkeit s′(t) = v(t) = 10t.Die dabei zugrundeliegende Beschleunigung ist die Änderungsrate der Geschwindigkeit. Man erhält sie als Ableitung der Geschwindigkeit: s″(t) = a(t) = 10.Die Beschleunigung beim freien Fall ist also konstant etwa 10m/s2.Weg → Geschwindigkeit → Beschleunigung

Durch Aufleiten können wir nun allein aus der Kenntnis der konstanten Beschleunigung die WegZeitFunktion für eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung rekonstruieren: Die Geschwindigkeit ergibt sich als Bestand der Beschleunigung, derzurückgelegte Weg wiederum als Bestand der Geschwindigkeit.

Beschleunigung Geschwindigkeit Weg

Exkurs

10 Freier Fall auf demMondEine Schraube fällt auf dem Mond aus einerHöhe von 1,4 Meter. Wann und mit welcherGeschwindigkeit erreicht sie die Oberflächedes Mondes? Vergleichen Sie mit dem gleichen Vorgang auf der Erde. Die Fallbeschleunigung auf demMond beträgt 1,67m/s2.

11 Wachsende BeschleunigungEin Testfahrzeug startet zum Zeitpunkt t = 0 mit einer linear ansteigenden Beschleunigung a(t) = 1,2×t (t in s, a in m__

s2). Welchen Weg hat es nach 5s zurückgelegt?

Eine interessante Anwendung – Der digitale WurfspeerDas FraunhoferInstitut Magdeburg hat einen „digitalen Wurfspeer“ entwickelt, mitdessen Hilfe man durch Sensoren den Beschleunigungsverlauf des Speeres währendder Anlauf und Abwurfphase erfassen kann. Die Geschwindigkeit des Speeres ergibtsich als Fläche in dem BeschleunigungZeitDiagramm.Aus dem zeitlichen Verlauf der Geschwindigkeit des Speeres lässt sich dann einGeschwindigkeitZeitDiagramm erstellen. Verwendet man nun dieses als Grundlage, so lässt sich der durch den Speer zurückgelegte Weg wiederum als Fläche imGeschwindigkeitZeitDiagramm ablesen.Auf diese Art kann letztlich die zurückgelegte Weite beim Speerwurf allein aus denBeschleunigungsdaten ermittelt werden. Theoretisch könnte also bei entsprechender Genauigkeit der gemessenen Werte die Weite durch den Speer selbst bestimmtwerden. Tatsächlich kommen bei Wettkämpfen im Spitzensport Techniken wie dieLaserWeitenmessung mittels Tachymeter (Electronic Distance Measurement, EDM)oder die VideoWeitenmessung (Video Distance Measurement, VDM) zum Einsatz.

Exkurs

Aufgaben

s in m

t in s

s(t) = g · t2_21

s in m/s

t in s

v(t) = g · t

a in m/s2

t in s

a(t) = g


Der Hauptsatz der Differential undIntegralrechnung

Bisher haben Sie Bestandsrekonstruktionen immer mitBeginn bei x = 0 betrachtet und untersucht. Jetzt werden die Anfangswerte variiert. Um dies darstellen zukönnen, wird eine neue Schreibweise eingeführt:

∫a

b

f (x)dx gibt die Bestandsentwicklung in [a; b] an, dabei

ist a (linke Grenze) der Startwert. In den bisherigen Untersuchungen galt immera = 0. Der Ausdruck heißt Integral und wird gelesen „Integral f (x) von a bis b“.

1 Zu- und Abflüsse zu verschiedenen StartpunktenEin Zu und Abflussprozess wird durch dieFunktion f (x) = −2x + 10 beschrieben. Miteinem CAS sind verschiedene Bestandsrekonstruktionen berechnet worden. Skizzieren Sie die verschiedenen Beständeals Flächen und begründen Sie damit dieErgebnisse. Formulieren Sie zu den Integralen passende Sachsituationen.

2 FlächeninhalteErläutern Sie mithilfe der Bildfolge, wie man den Flächeninhalt unter f zwischen a und b

(a < b) berechnen kann. Begründen Sie, dass für den Inhalt gilt: ∫a

b

f (x)dx = F(b) − F(a),wobei F eine Stammfunktion der Randfunktion f ist.

b) Bestimmen Sie den orientierten Flächeninhalt in den angegebenen Intervallen.(1) f (x) = 2x; a = 0,5; b = 3 (2) f (x) = 3x2; a = 1; b = 2

Aufgaben

2 4 6 8 10–2

481216

48

–12

y

x2 4 6 8 10–2

481216

48

–12

y

x

1.3

a b

fy

x

b

y

xa a

y

xb

y

x

1.3 Der Hauptsatz der Differential und Integralrechnung 21

Mit der Definition von Integralen kann der Hauptsatz der Differential und Integralrechnung formuliert werden.

Bestimmte Integrale und der Hauptsatz der Differential- undIntegralrechnung(1) Der orientierte Inhalt der Fläche

unter einer Randfunktion f imIntervall [a; b] heißt bestimmtesIntegral.

Bezeichnung: ∫a

b

f (x)dx

(„Integral f (x) von a bis b dx“)

(2) Der Hauptsatz der Differential- und IntegralrechnungFür den orientierten Flächeninhalt unter f in den Grenzen a und b gilt:

∫a

b

f (x)dx = F(b) − F(a); F ist eine Stammfunktion von f

Zusammenhänge zwischen f und ∫a

b

f (x)dx

f ist Änderungsfunktion eines Bestandes (Ableitung) ∫

a

b

f (x)dx ist der Bestand im Intervall [a; b]

f ist Randfunktion einerFläche

∫a

b

f (x)dx ist orientierter Flächeninhalt

unter dem Graphen von f in [a; b]

A Einen orientierten Inhalt bestimmenBestimmen Sie den orientierten Inhalt der Fläche zwischendem Graphen zu f (x) = x2 – 5x + 4 und der xAchse in denGrenzen 3 und 6.

Lösung:Anwendung des Hauptsatzes: Eine Stammfunktion zu f (x) ist

F(x) = 1_3 x3 –

5_2 x2 + 4x. Zu berechnen ist F(6) – F(3).

F (6) = 1_3×63 –

5_2×62 + 4×6 = 6; F(3) =

1_3 ×33 –

5_2 ×32 + 4×3 = –1,5

Man schreibt: ∫3

6

f(x)dx = [F(x) ]36=F(6) – F(3)= 6 – (–1,5) = 7,5.

Der gesuchte orientierte Flächeninhalt beträgt 7,5FE.

3 Berechnung von IntegralenWenden Sie den Hauptsatz der Differenzial und Integralrechnung an. Skizzieren Siedie zugehörigen Flächen. Überprüfen Sie die Ergebnisse mit dem GTR.

a) ∫1

2

4x3dx b) ∫–3

5

2x – 4dx c) ∫–1

1

9x2 – 1dx d) ∫0

π_2

sin(x)dx

e) ∫1

31__x2dx f) ∫

0

4

x(x – 1)dx g) ∫–1

1

x3 – xdx h) ∫–2

0

5x4 – 2dx

Basiswissen

ba

f

y

x

Beispiele

–2 2 4 6

4

8

12

16y

x

f

Übungen


Integrale mit dem GTRMit dem GTR können Integrale numerisch undgrafisch bestimmt werden:

Ergebnisse sind meistens Näherungswerte.

Werkzeug

4 Training: Integrale und Gleichungen

Es sei ∫a

b

f (x)dx = c gegeben.

Bestimmen Sie jeweils den fehlenden Eintrag und fertigen Sie zu jeder Teilaufgabeeine aussagekräftige Skizze an.Hinweis: In b), c) und d) gibt es jeweils zwei Lösungen. Überprüfen Sie mit dem GTR.

5 Integrationsregeln 1Verdeutlichen und begründen Sie die Regeln geometrisch mithilfe der Bilder.

(1) ∫a

b

f + ∫b

c

f = ∫a

c

f

c

y

xba

f

(2) ∫a

b

(− f) = − ∫a

b

f

a b

y

x

f

–f

6 Integrationsregeln 2a) Überprüfen Sie die Regeln für k = 2, f (x) = x2 undg(x) = −x + 1

b) Versuchen Sie einen allgemeinen Nachweis.

7 Eine bekannte FormelWelche bekannte Formel verbirgt sich hinter ∫

0

a

c dx mit c > 0?

Veranschaulichen Sie Ihre Antwort auch mithilfe einer Skizze.

8 Der Größe nach ordnenOrdnen Sie der Größe nach.

(1) ∫a

d

f (2) ∫a

a

f (3) ∫a

b

f

(4) ∫b

d

f (5) ∫a

c

f (6) ∫c

d

f

Übungena b c f (x)

a) 1 3 ■ 3x2 − 1b) −2 ■ 7 2x − 2c) ■ 1 −15 4x3

d) ■ 2 6 3x2 − x

∫a

b

f ist Kurzschreibweise

für ∫a

b

f (x)dx

(3) ∫a

b

k×f = k×∫a

b

f

(4) ∫a

b

(f + g) = ∫a

b

f + ∫a

b

g

b cda

x

f


9 Terme veranschaulichenEs gilt F′(x) = f (x). Veranschaulichen Sie jeden der angegebenen Werte möglichst in beiden Diagrammen. Vergleichen Sie Ihre Ergebnisse mit denen anderer.

(1) f (a) (2) ∫a

b

f (x)dx (3) F′(a) (4) F(b) – F(a)

Das Integral als Grenzwert von ProduktsummenDer Hauptsatz der Differenzial und Integralrechnung stellt einen ganz engen Zusammenhang zwischen dem Integrieren und dem Finden von Stammfunktionenher, sodass man denken könnte, dass „Integrieren“ und „Stammfunktionfinden“dasselbe ist. Das Finden von Stammfunktionen ist aber häufig sehr schwierig, zumanchen Funktionen gibt es gar keine, obwohl orientierte Flächen existieren. Lässtsich das Integral ohne Bezug zu Stammfunktionen durch eine Definition aus einfachen Bausteinen präzisieren? Es ist nicht überraschend, dass hier auch wiederGrenzprozesse eine wichtige Rolle spielen, denn anschaulich sind bei der Rekonstruktion von Bestandsfunktionen unendlich viele lokale Änderungsraten addiertworden, oder geometrisch gesprochen: Es werden unendlich viele Rechtecke mitFlächeninhalt 0 addiert. Was aber ist ∞×0?Früher benutzten Mathematikerhäufig „dx“ und meinten damit„unendlich kleine“ Differenzen.Mit dieser Bezeichnung erhält man:(vgl. Darstellung von Ableitungen inCAS)

F′ = fdF__dx = f

dF = dx×f

y

x

Bei der Suche nach der lokalen Änderungsrate gab es eine ähnliche Situation:Den Sekanten bei der Entwicklung der Ableitung entsprechen hier Rechtecke, derTangente entspricht die Fläche.

SekantenGrenzprozess

Tangente als Grenzwert von Sekantensteigungen

RechteckeGrenzprozess

Fläche als Grenzwert von Rechteckflächen(Produktsummen)

↘

Einen anschaulichenBeweis finden Sie zu

Aufgabe 10, eine Veranschaulichung des Grenzprozesses in Aufgabe 11.

1. Bestimmen Sie die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen, sowie die Extremund Wendepunkte von f mit f (x) = x3 − 12x.

2. Skizzieren Sie die Graphen von f (x) = −x2 + 1 und g(x) = 2sin(x) − 13. Berechnen Sie: a) 10 − ( − 4 + (3 − 5)×4) b) 2_

3×(4 +5_7)

Sind folgende Aussagen wahr, falsch oder nicht entscheidbar? Begründen Sie.a) Wenn eine Funktion f an der Stelle 1 den Funktionswert 2 hat, gilt f(2) = 1.b) Gilt f′(2) = 1, dann hat die Tangente an der Stelle 2 die Steigung 1.

4. c) Gilt f′′(2) < 0, dann gilt f′(2) > 0.5. Lösen Sie die Gleichung nach jeder Variablen: a×(x − 2) = (a − 1)×x

Grundwissen

Übungen

a b

y

x

F

a b

y

x

f


Ein anschaulicher Beweis des HauptsatzesZu beweisen ist, dass die Ableitung der Bestandsfunktion B die Änderungsfunktion (Randfunktion) f ist.Die grau markierte Fläche stellt die Änderung der Bestandsfunktion in[b, b + h] dar, also B(b + h) − B(b). Diese lässt sich durch zwei Rechteckflächen abschätzen: f (b)×h ≤ B(b + h) − B(b) ≤ f (b + h)×h

Division durch h (h > 0) liefert: f (b) ≤ B(b + h) − B(b)_________h ≤ f (b + h)

Der Term B(b + h) − B(b)_________h beschreibt die mittlere Änderungsrate der Bestandsfunktion in [b, b + h].

Beim Grenzübergang h→ 0 erhält man: f (b) ≤ limh→0

B(b + h) − B(b)_________h ≤ f (b) und damit f (b) ≤ B′(b) ≤ f (b) und damit

B′(b) = f (b).

↘

a

f

b b + h

f(b)f(b + h)

y

x

10 Lesen, Wiedergeben und VerstehenSchauen Sie sich den Beweis genau an. Versuchen Sie, die einzelnen Schritte zu verstehen und schreiben Sie den Beweis dann ohne die Vorlage in Ihren eigenen Worten auf.

11 Unter- und ObersummenPrinzip: Der Inhalt A der Fläche zwischen dem Graphen einer Funktion f und der xAchsein einem Intervall wird durch Rechtecksummen angenähert. Dabei bildet man einmalRechtecke unterhalb des Graphen (Untersummen) und einmal oberhalb des Graphen(Obersummen).

Erläutern Sie die Bildfolge. Was passiert mit den Unter und Obersummen, wenn mandie Intervalle verfeinert?

Eine analytische Definition des bestimmten IntegralsZur näherungsweisen Bestimmung der krummlinig berandeten Fläche unter f wird das Intervall [a; b] in n gleich breite Teilintervalleaufgeteilt.Zur Berechnung der Flächeninhalte der so entstandenen Rechteckewird die Produktsumme gebildet:

sn = f (x1)×∆x + f (x2)×∆x + … + f(xn)×∆x =∑k=1

n

f (xk)×∆x

Der Grenzwert dieser Produktsumme liefert eine Definition des bestimmten Integrals:

limn → ∞

∑k=1

n

f (xk)×∆x = ∫a

b

f (x)dx

Damit lässt sich auch eine plausible Erklärung für die Schreibweise geben: Das Integralzeichen kann man als langgezogenes S deuten, das sich aus dem Summenzeichen entwickelthat. Das Zeichen dx steht für das beliebig kleine Δx. Die Produktsumme kann als Summeder (orientierten) Flächeninhalte f (x)×dx kleiner Rechteckstreifen interpretiert werden.Diese Definition des Integrals stammt von Bernhard Riemann (1826–1866).

Exkurs

a x1 x2 x3 xi xi1 … xn1 xn=b

y

x

∆x ∆x ∆x ∆x ……… ∆x

a x x x x x x x

Aufgaben

2 4 6

1

2

3

y

x

Untersumme

Obersumme

2 4 6

1

2

3

y

x

Untersumme

Obersumme


Bestände rekonstruieren

1 Auf TauchgangDas abgebildete UBoot erreicht Tauchtiefen von bis zu 300m.Während der Tauchgänge wird die Tauchgeschwindigkeit sorgfältig dokumentiert.Ein Tauchgang wird mit der Funktionf (x) = −0,02x(x − 4) (x − 8) (x − 10) (x − 15)modelliert.Negative Geschwindigkeit: AbtauchenPositive Geschwindigkeit: Auftauchen

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

–60–80

–40–20

4020

6080100 Tauchgeschwindigkeit in m/min

Zeit in minf

a) Zu welchem Zeitpunkt hat das Boot seine größte Tauchtiefe erreicht? Begründen Sieanschaulich.

b) Am Ende ist das UBoot aufgetaucht. Entscheiden Sie begründet, ob sich das Boot zuBeginn der Messung auch an der Wasseroberfläche befand.

c) Berechnen Sie für alle vier Etappen des Tauchgangs (4min, 4min, 2min, 5min) dieZunahme bzw. Abnahme der Tauchtiefe. Beantworten Sie damit a) und b) mit Zahlen.

2 Befüllen eines BeckensDas Befüllen eines Wasserbeckens wird durch Messungen der Zuflussgeschwindigkeit beschrieben. Passendzu den Daten wird der fünfstündige Füllvorgang mitv (t) = 5t – t2 modelliert.Dabei wird v in m3/h angegeben und t in Stunden.a) Beschreiben Sie, wie sich die Zuflussgeschwindigkeitmit der Zeit ändert. Wann fließt das Wasser amschnellsten?

b) Berechnen Sie, welche Wassermenge insgesamtzugeflossen ist. Wie viel Wasser ist zwischen derzweiten und vierten Stunde dazugeflossen?

c) Die gesamte Wassermenge soll mit konstanter Abflussrate von 3m3/h abgelassen werden. Wann istdas Becken wieder leer?

d) Skizzieren Sie die Wasserstandsfunktion für das Befüllen und Entleeren.

Aufgaben

2 4 6 8

2

4

6v in m2/h

t in h

1.4


Wenn bekannt ist, wie sich Bestände verändert haben, können daraus Bestandsentwicklungen berechnet und untersucht werden.

Rekonstruktion von Bestandsentwicklungen aus Änderungen

Die Zuwachsrate eines Tierbestandesin einemWald wird 12 Jahre lang aufgezeichnet und durch die Funktion mitf (x) = 0,5x(x − 7) (x − 11)modelliert:Zu Beginn der Aufzeichnung gab es10 Tiere.

Aufgabe Lösunga) Begründen Sie anhand

des Graphen, in welchenZeiträumen der Bestandzunimmt bzw. abnimmt.

2 4 6 8 10

10

–10–20

2030405060

Zuwachsrate in Anzahl/Jahr

Zeit in Jahren

f

Der Bestand nimmt in denersten 7 Jahren zu (die Zuwachsrate ist dann positiv)und in den folgenden 4 Jahren ab (die Zuwachsrate istdann negativ). Im letztenJahr nimmt er wieder zu.

b) Wann ist der Bestandmaximal und wie groß ister dann?

Wann gab es den geringsten Bestand?

Wie groß ist der Bestandnach 12 Jahren?

■ Da die Fläche in [7; 11] unterhalb der xAchse nach Augenmaß deutlich größer ist als die Fläche oberhalb der xAchsein [11; 12], nimmt der Tierbestand in den letzten 5 Jahreninsgesamt ab, der maximale Bestand ist am Ende des siebten Jahres erreicht:

10 + ∫0

7

f (x)dx = 224,375

Der maximale Bestand beträgt ca. 224 Tiere.■ Die Fläche unterhalb der xAchse ist kleiner als die Flächeoberhalb, also war der Anfangsbestand von 10 Tieren derniedrigste.

■ ∫0

12

f (x)dx = 180

Der Bestand nach 12 Jahren beträgt ca. 190 Tiere.c) Wann war die Zuwachsrate maximal, wannminimal?Wie groß waren die Ratenjeweils?

■ Extrempunkte von f: f′(x) = 1,5x2 − 18x + 38,5 = 0

Grafische Lösung:f (2,8) ≈ −48,2f (9,2) ≈ −18,2

Maximale Zuwachsrate nach knapp 3 Jahren mit Rate von ca.48 Tieren/Jahr. Minimale Zuwachsrate nach gut 9 Jahren mitAbnahmerate von ca. 18 Tieren/Jahr.

Basiswissen

2 4 6 8 10

10

–10–20

203040

Zuwachsrate in Anzahl/Jahr

Zeit inJahren

f′

(2,79|0) (9,21|0)

1.4 Bestände rekonstruieren 27

3 PflanzenbestandDie Zuwachsrate eines Pflanzenbestandes wird durch folgende Funktion in einemZeitraum von 20 Jahren modelliert:f (x) = 0,01 x (x – 12) (x – 20)a) Bestimmen und begründen Sie anhanddes Graphen, in welchen Zeiträumender Bestand zunimmt bzw. abnimmt.

b) Wann ist der Bestand maximal?c) Zur Zeit t = 0 sind 100 Pflanzen vorhanden. Bestimmen Sie den Minimal und den Maximalbestand in den nächsten20 Jahren.

4 GewinnentwicklungDie Gewinnentwicklung in € pro Woche beim Verkauf eines neuen Produktes wird in den ersten 12 Monaten mitder Funktion f (x) = –20x3 + 240x2 – 1200beschrieben (siehe Diagramm).Die Zahlen auf der Zeitachse geben jeweils das Ende desentsprechenden Monats an.a) Beschreiben Sie den Verlauf der Gewinnentwicklung.b) Ermitteln Sie den Gesamtgewinn in den ersten vierMonaten und vom Beginn des zweiten Monats bis zum Ende des zehnten Monats.

c) Was meinen Sie: Kann f die Gewinnentwicklung in den nächsten 12 Monaten angemessen beschreiben?

5 HelikopterDie Funktionen modellieren die Steig bzw.Sinkgeschwindigkeit von drei Helikopterninnerhalb eines einminütigen Fluges (t:Zeit in s, f (t): Steiggeschwindigkeit in m/s).

f1 (t) = 0,0007 t (t – 30)(t – 60)f2 (t) = 0,0005 t (t – 20)(t – 60)f3 (t) = 0,00025 t (t – 50) (t – 60)

a) Ordnen Sie den Graphen die passende Funktionsgleichung zu und beschreiben Sieden jeweiligen Flug. Welche Bedeutung haben die Nullstellen und die Extrempunkte?Nennen Sie Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen den Funktionen.

b) ■ Welche Höhe haben die Helikopter eine Minute nach dem Start erreicht?■ Welcher Hubschrauber fliegt am höchsten?■ Welcher Hubschrauber hat die größte Steig bzw. Sinkgeschwindigkeit?■ Welcher Hubschrauber landet auf der Ausgangshöhe?

Übungen

4 8 12

–2000

2000

4000Gewinnentwicklungin €/Woche

Zeit in Monaten

20 40 60

2

–2–4–6–8

46f(t)

t

(A)

20 40 60

2

–2–4–6–8

46f(t)

t

(B)

20 40 60

2

–2–4–6–8

46f(t)

t

(C)


6 Variationen der Änderungsrate eines TierbestandesUntersuchen Sie die Fragestellungen aus dem Basiswissen für folgende Variationen derZuwachsrate.a) f (x) = 0,5(x − 6) (x − 11); B(0) = 10 b) f (x) = 0,5(x − 5) (x − 10); B(0) = 50c) fk(x) = k×(x − 6)(x − 11); k > 0; B(0) = 10

■ Skizzieren Sie für einige Werte von k die Zuwachsraten fk. Welche Bedeutung hat kim Sachzusammenhang? Bei welchen Fragen bleiben die Antworten gleich, sind siealso unabhängig von k? Begründen Sie.

■ CAS: Beantworten Sie die Frage, deren Antwort von k abhängt.

7 Eine FuchspopulationDie Anzahl von Füchsen in einem Revier schwanktperiodisch in Abhängigkeit von dem Nahrungsangebot.In zwei Revieren A und B werden die Zu undAbnahmen jährlich aufgezeichnet und die Änderungsraten mit zwei unterschiedlichen Funktionenmodelliert.

fA (t) = 200×cos(t) fB(t) = 100×cos(t) + 50

Dabei ist t die Zeit in Jahren. Zu Beginn der Aufzeichnungen gab es jeweils 300 Füchse.a) Zeichnen Sie die Graphen der Änderungsraten für die ersten zehn Jahre. BeschreibenSie damit nach Anschauung die jeweilige Bestandsentwicklung.

b) Geben Sie jeweils die Zeitpunkte an, in denen die Population am stärksten wächst(fällt) oder sich nur wenig ändert.

c) Ermitteln Sie zu beiden Modellen die passende Bestandsfunktion und skizzieren Siediese. Passt der Verlauf zu Ihren Vermutungen aus a)? In welchem Zeitpunkt gibt esin beiden Revieren die gleiche Anzahl von Tieren?

d) Berechnen Sie jeweils die Bestände in den ersten fünf Jahren und im gesamten Zeitraum von 10 Jahren.

8 Ein BambusDie Wachstumsgeschwindigkeit eines Bambus nach

Einpflanzen wird mit der Funktion f (x) = 10________x2 − 10x + 29

modelliert.

Begründen Sie, dass Sie die Höhe der Pflanze nach1, 2, 3, … Jahren nicht exakt berechnen können.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15–0,5

0,51

1,52

2,53

–1

Wachstumsgeschwindigkeit in m/Jahr

Zeit in Jahren

Füllen Sie die Tabelle mit Näherungswerten aus und skizzieren Sie mit diesen Werteneinen Wachstumsgraphen. Wie groß wird der Bambus?

Jahr 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11Höhe ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■

Übungen

GTR: t in Bogenmaß


9 Eine QuelleWegen mangelnder Regengüsse versiegt eine Quelle.Die Geschwindigkeiten, mit denen das Wasser an verschiedenen Tagen aus der Quelle sprudelt, lassen sichder Tabelle und der Grafik entnehmen.Wie viel Wasser liefert die Quelle in acht Tagen?Wie viel Wasser fließt noch bis zum Versiegen?

2 4 6 8 10

100200300400500600

Liter in 1000/Tag

Zeit in Tagen

Tipps:

Passende Funktion zu den Datenfinden.

Punkte geradlinig verbinden undFlächen bestimmen.

10 „Vorauseilende“ ErsatzteilproduktionEin Hersteller von Fernsehgeräten will dieProduktion einer Modellreihe einstellen.Damit er die im Lager vorhandenen Gerätedieses Modells noch verkaufen kann undum Kunden,die bereits die entsprechendenFernseher besitzen, nicht zu verärgern, sollen in diesem Jahr alle Ersatzteile produziertwerden, die in den nächsten 10 Jahren voraussichtlich benötigt werden. Bekannt ist,dass sich die Nachfragerate nach Netzteilenfür die Geräte (in Stückzahl pro Jahr) durchdie Funktion f (t) = 200×0,85t gut modellieren lässt.Begründen Sie, dass hier eine Bestandsfunktion nicht gefunden werden kann.Entwickeln Sie ein Verfahren, mit dem Sie abschätzen können, wie viele dieser Netzteileproduziert und eingelagert werden müssen, damit die Nachfrage für die nächsten 10Jahre befriedigt werden kann.Tipps:

Graphenverlauf durch einfache Funktion annähern, von der eine Bestandsfunktion bestimmt werden kann.

Flächeninhalt unter dem Graphennäherungsweise bestimmen.

1. Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente und Normalen von f (x) = 1_2 x2 − 4x im

Punkt P(2| f (2)).2. Skizzieren Sie die Funktionen f und g mit f (x) = −x2 + 4 und g(x) = 2x + 1 und berechnen Sie die Schnittpunkte.

3. Ordnen Sie der Größe nach: (1_2)−2; √__2; −22; sin (200°)

Grundwissen

Modellieren

Tage l in 1000/Tag0 4802 385

4 3356 3058 26010 230

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

200

160

120

80

40

nachgefragte Stückzahl/Jahr

Zeit in Jahren


11 Wasser im KellerFamilie Backhaus macht sich Sorgen: Nach einem starken Regen steht Wasser im Keller.Um den Schaden zu beheben, wird die Wasserpumpe eingesetzt.

1 2 3 4 5 6

2

4

6

8

Fließrate in l/min

a

bc

d

e

Zeitinmin

a) Erläutern Sie das Diagramm im Sachzusammenhang. Beschreiben Sie insbesonderedie verschiedenen Phasen des Wasserpumpens und geben Sie die entsprechendenZeitintervalle an.

b) Schätzen Sie die Menge an Wasser, die in den 6 Stunden insgesamt abgepumptwurde.

c) Zeigen Sie, dass die nebenstehendenFunktionen passende mathematischeModelle für die einzelnen Phasendarstellen. Bestimmen Sie damit rechnerisch die Menge des Wassers, dasinsgesamt abgepumpt wurde.

a(x) = 48x3 – 72x2 + 36xb(x) = 6c(x) = 24x3 – 144x2 + 288x – 183d(x) = 9e(x) = –x3 + 12x2 – 48x + 73

12 Schweinezucht – mit und ohne MedikamentIn Ländern mit intensiver Schweinehaltungtritt bei neugeborenen Ferkeln häufig eineErkrankung (Kokzidiose) auf, die durch Parasiten verursacht wird. Auch nach demAbklingen der akuten Erkrankung bleibenviele Tiere im Wachstum hinter gesundenTieren zurück. Neben den hygienischenMaßnahmen kann vorbeugend ein Medikament eingesetzt werden. Es wird den Ferkeln einmal im Alter von drei bis fünf Tagenverabreicht.Ferkel A und Ferkel B aus einemWurf wiegen bei ihrer Geburt jeweils 1,2kg. Ferkel Bwird an seinem 3. Lebenstag das Medikament verabreicht, Ferkel A bleibt unbehandelt. Am fünften Lebenstag wiegenFerkel A 2000g und Ferkel B 1900g.a) Welche Unterschiede ergeben sich lautDiagramm für die beiden Ferkel?

b) Interpretieren Sie die Flächen, die von den einzelnen Graphen im Zeitintervall [5; 17]eingeschlossen werden, im Sachkontext. Welche Bedeutung haben die Inhalte derFlächen, die unterhalb der Zeitachse liegen?

c) fA und fB beschreiben die tägliche Gewichtszunahme. Welche wirtschaftliche Bedeu

tung hat der Ausdruck ∫5

17

fA(x)dx − ∫5

17

fB (x)dx?

Aufgaben

–200

–1002

unbehandeltbehandelt

4 6 8 10 12 14 160

100

200

300

400500

Alter in TagenTägliche

Zunahm

einGram

m


Flächen berechnen

1 Flächen zwischen Graphen und x-AchseBerechnen Sie jeweils den Flächeninhalt der gefärbten Fläche. f (x) = −x2 + 2x + 3

Dokumentieren Sie Ihre Lösungswege.Stellen Sie das Verfahren zur Berechnungdes Inhalts der Fläche, die ein Graph aufdem Intervall [a; b] mit der xAchse einschließt, als Folge von einzelnen Berechnungsschritten dar.

2 Fläche zwischen zwei GraphenAnhand der folgenden Aufgabensequenz können Sie schrittweise eine Strategie zur Berechnung der Fläche zwischen den Graphen zweier Funktionen entwickeln.

Einfacher Spezialfall

–1 1 2 3–2–3–4

2468y

x

f (x) = x2 + 1; g(x) = − 1_2 x2 + 7

Tipp

1. Verallgemeinerungf (x) = 1_

2 x2 − 3; g(x) = −x2 + 3

–1 1 2 3–2–3–4

24

–4–2

y

x

Hinweis: Verschiebung in yRichtung.

2. Verallgemeinerungf (x) = x2 + 1; g(x) = x3 − 4x + 5

–1 1 2 3–2–3–4

2468y

x

Hinweis: Lesen Sie die Schnittstellenvon f und g aus der Grafik ab.

Formulieren Sie eine Strategie, wie manden Flächeninhalt zwischen den Graphen zweier Funktionen in [a; b] berechnen kann.

Aufgaben

a b c d e

y

xf

a

f

g

by

x

1.5

246

–2–4–6

y

–1–2 1 2 3 4x

f246

–2–4–6

y

–1–2 1 2 3 4x

f246

–2–4–6

y

–1–2 1 2 3 4x

f

(1) (2) (3)

1–1–2

246

y

x1–1–2

246

y

x


Mit Integralen können Flächeninhalte der von Graphen begrenzten Flächen berechnetwerden.

Flächeninhalte mit Integralen

Inhalt A der Fläche zwischen demGraphen einer Funktion und der x-Achse in [a; b]

x1 x2

f

x3

y

x

(1) Nullstellen bestimmen.(2) Beginnend mit der linken Nullstelle

von Nullstelle zu Nullstelle integrieren.(3) Die Beträge der einzelnen Integrale

addieren.

A = | ∫x1

x2

f (x)dx| + | ∫x2

x3

f (x)dx|Inhalt A der Fläche zwischen den Graphen zweier Funktionen f und g

x1

x2

f

gx3

y

x

(1) Schnittstellen bestimmen.(2) Beginnend mit der linken Schnittstelle

von Schnittstelle zu Schnittstelle dieIntegrale der Differenz von f (x) und g(x)berechnen.

(3) Die Beträge der einzelnen Integraleaddieren.

A = | ∫x1

x2

(f (x) − g(x))dx| + | ∫x2

x3

(f (x) − g(x))dx|A Fläche zwischen Graph und x-Achse

Berechnen Sie die Fläche zwischen demGraphen von f (x) = x2 − 4x und derxAchse im Intervall [–1; 4].

Lösung:(1) Nullstellen sind 0 und 4.(2) Da Teilflächen unter und oberhalb der

xAchse liegen, muss von −1 bis 0 undvon 0 bis 4 integriert werden.Stammfunktion: F(x) = 1_

3 x3 − 2x2Funktionswerte von F berechnen:

F(0) = 0;

F(−1) = 1_3×(−1)3 − 2×(−1)2 = −

1_3 − 2 = −

7_3

F(4) = 1_3×43 − 2×42 =

64__3 − 32 = −

32__3

∫−1

0

f (x)dx = F(0) − F(−1) = 0 − (− 7_3) =7_3; ∫

0

4

f (x)dx = F(4) − F(0) = − 32__3 − 0 = −32__3

(3) Damit gilt: A = |7_3 | + |− 32__3 | = 7_3 +

32__3 = 13

Der gesuchte Flächeninhalt beträgt 13 Flächeneinheiten.

Basiswissen

Beispiele

1 2 3 4 5 6 7–1–2–3–2

–4

2

4

6

8 y

x

f

1.5 Flächen berechnen 33

B Fläche zwischen zwei Graphen 2Welchen Inhalt hat die Fläche, die vonden Graphen der Funktionenf (x) = x3 – 2x2 – 7x + 6 und g(x) = x + 6eingeschlossen wird?

Lösung:(1) Ermitteln der Schnittstellen aus

der Grafik oder aus der Gleichungf (x) = g(x):x3 – 2x2 – 7x + 6 = x + 6⇔ x(x2 – 2x – 8) = 0⇒ (x = 0) v ( x2 – 2x – 8 = 0)⇒ x1 = 0; x2,3 = 1 ± √

_______1 –(– 8) = 1 ± 3

⇒ x2 = 4; x3 = –2

(2) Es müssen zwei Integrale ausgewertet und deren Beträge addiert werden:

∫–2

0

(x3 – 2x2 – 8x)dx = [ 1_4 x4 – 2_3x3 – 4x2 ]0–2 = 20__

3

∫0

4

(x3 – 2x2 – 8x)dx = [ 1_4 x4 – 2_3x3 – 4x2 ]40 = – 128___

3

(3) A = 20__3+ 128___

3= 148___

3= 49,

__3

Lösung mit dem GTR:

3 Schätzen und RechnenSchätzen Sie den Inhalt der gefärbten Fläche und berechnen Sie ihn.

Beispiele

–4–6 –2 2 64

10

–10

–20

y

x

f

g

pqFormel

Übungen

Fläche zwischenGraphen und x-Achse

–2 –1 1 2

0,5

1y

x

f(x) = x2a)

–2 –1 1 2

0,5

1y

x

f(x) = 1 – x2b)

– π

0,5

1y

x_2π _

2π

f(x) = sin(x)e)

–2 –1 1 2

2

4y

x

f(x) = x3 + 1_31

c)

π

–1

1y

x_23π_

2π

f(x) = cos(x)f)

–4 –2–3 –1 21 3 4

–1

1

y

x

f(x) = x2_41

d)


4 TrainingSkizzieren Sie jeweils den Graphen der Funktion und markieren Sie die Fläche, die vondem Graphen und der xAchse im Intervall [a; b] eingeschlossen wird. Geben Sie einenSchätzwert für den Flächeninhalt an und berechnen Sie dann den Inhalt der Fläche.a) f (x) = x2 − 2; a = –1, b = 3 b) f (x) = 4 – x2; a = –4, b = 4

c) f (x) = cos(x); a = 0, b = 2π d) f (x) = 1__x2; a = 1, b = 4

e) f (x) = −x3 + 1; a = –2, b = 2 f) f (x) = sin(x); a = –π, b = π

5 Integrale und Flächeninhalte 1

Zeigen Sie, dass f (x) = 1_2 x3 −

1_2 x2 − 3x die drei Nullstellen a = −2, b = 0 und c = 3 hat.

Bestimmen Sie die Integrale und interpretieren Sie die Ergebnisse geometrisch.

(1) ∫a

c

f (x)dx (2) ∫a

b

f (x)dx + ∫b

c

f (x)dx (3) ∫a

b

f (x)dx – ∫b

c

f (x)dx


Max soll ∫−2

2

x2dx berechnen und berechnet stattdessen 2×∫0

2

x2dx.

Liefern beide Integrale dasselbe Ergebnis? Warum ist die Methode von Max pfiffig?Skizzieren Sie. Bei welchen Randfunktionen und welchen Grenzen darf sie angewendetwerden?


■ Bestimmen Sie folgende Integrale: (1) ∫−5

5

2xdx (2) ∫−3

3

x3 − 2xdx

■ Was überrascht am Ergebnis? Geben Sie eine Erklärung.■ Verallgemeinern Sie: Bei welchen Randfunktionen und welchen Grenzen tritt diesePhänomen auf?

8 Parameterwerte bestimmen 1Bestimmen Sie den Wert des Parameters a. Skizzieren Sie auch die zugehörigenFlächen.

a) ∫0

a

x2dx = 4 b) ∫1

a

(2x – 4)dx = 3 c) ∫1

2

(3x2 + a)dx = 3

Achtung: In einem Fall gibt es zwei Lösungen!

9 Parameterwerte bestimmen 2a) Ermitteln Sie von den Funktionenf (x) = 3x2 − k die Funktion, derenGraph im Intervall [0; 1] mit der xAchse eine Fläche mit dem orientiertenInhalt 2 umschließt.

b) Bestimmen Sie k > 0 so, dass derorientierte Inhalt der Fläche unter f in[−2; 2] den Wert 0 hat.Fertigen Sie eine passende Skizze an.

Übungen

0,5 1 1,5 2 2,5–0,5–1–1,5–2–2,5–3

2

–2

–4

–6

4

6

8

y

x

f


10 Flächen zwischen Graphen – schätzen und rechnenSchätzen Sie jeweils den Inhalt der gefärbten Fläche und rechnen Sie nach.a) f (x) = −2x2 + 2 b) f (x) = x2 + 2x + 3 c) f (x) = x3 − 3xg(x) = −x2 + 1 g(x) = 2x + 7 g(x) = 2x2

11 Training „zu Fuß“Die Graphen der Funktionen f und g schließen Flächen ein. Zeichnen Sie die Graphenund berechnen Sie die von ihnen eingeschlossenen Flächen.

a) f (x) = 6 − 1_2 x2; g (x) = 2 b) f (x) = (x − 1)2; g (x) = −2x + 5

c) f (x) = x3; g (x) = 4x d) f (x) = 5x4; g (x) = 5x2

e) f (x) = cos(x); g (x) = 1; 0 ≤ x ≤ 2π f) f (x) = 2x2 − 6; g(x) = x×(x + 1)

12 Training mit GTRBestimmen Sie den Inhalt der Fläche, die von den Graphen der beiden Funktionen eingeschlossen wird. Verschaffen Sie sich zunächst einen Überblick über den grafischenVerlauf und stellen Sie eine aussagekräftige Skizze her. Hinweise:■ Manchmal können Schnittstellen nur grafischtabellarisch gefunden werden.■ Manchmal kann man auch zeigen, dass eine grafisch gefundene Lösung exakt ist.■ Manchmal muss man genau hinschauen.

a) f (x) = x3 − x2 − 9x + 9 b) f (x) = x4 − x3 + x2 − 1g(x) = 2x2 − 3x + 1 g(x) = 2x + 7

c) f (x) = x3 − 4x2 − x + 4 d) f (x) = x4 − 12x2 + 8g(x) = x2 − 3x − 4 g(x) = 7x − 10

13 Integrale und Flächeninhalte 4Bestimmen Sie die Inhalte der skizzierten Flächen.f (x) = x2,g (x) = 2x + 3,h(x) = x2 − 2x − 3Was fällt Ihnen auf?Geben Sie eine Erklärung und formulieren Sie den entdeckten Zusammenhang der Flächenbestimmungen.

Ein FlächenvergleichDie Bestimmung des Inhalts der Flächezwischen zwei Funktionen f und g kannimmer auch als Bestimmung der Flächezwischen der Differenzfunktion d = f −gund der xAchse als Funktion y = 0 interpretiert werden.

↘y

x

f

d = f – g

g

Übungen

Fläche zwischenzwei Graphen

1–1–2–3–4 2 3 4

2

–2–4

468y

x

f h

g

–2 2–1 1

1

2y

x

–4–5 –1–2–3 1 2 3

246810

y

x –4 –1–2–3 1 2 3 4

5101520

–5

y

x


14 Schmuckstücke im ParabeldesignDie folgenden Abbildungen zeigen Schmuckstücke, die mit einer dünnen Schicht Weißgold belegt werden sollen. Die Flächen werden von Parabeln begrenzt. Bei welchemSchmuckstück fallen die höchsten Materialkosten an? Begründen Sie.

–3 –2 –1 1 2 3

–3–2–1

123 y

x–3 –2 –1 1 2 3

–3–2–1

123 y

x–3 –2 –1 1 2 3

–3–2–1

123 y

x

■ Man benötigt nur y = x2 und y = √__x und ihre Verwandten.

■ Symmetrien ausnutzen.■ Ein Schmuckstück kann man auch durch direktes geometrisches Sortieren berechnen.

Tipp

15 Parabelsegmente

Verschiebt man einen Streifen mit festgelegter Breite parallel zur Symmetrieachseeiner Parabel, schneidet dieser Streifen die Parabel in zwei Punkten P und Q. Diesebeiden Punkte legen ein Parabelsegment fest (Bild links).

a) Beschreiben Sie die Form des Segments, wenn derStreifen von links nach rechts wandert. In welcher Position des Streifens vermuten Sie den maximalenFlächeninhalt?Verschaffen Sie sich einen Überblick mithilfe des Applets. Variieren Sie k (Streckfaktor der Parabel) und b(Breite des Segments).

b) Zeigen Sie rechnerisch für f (x) = x2, dass die Geradeng1 (x) = 4; g2 (x) = 4x; g3 (x) = 2x + 3 zu Streifen gleicher Breite gehören und berechnen Sie die zugehörigen Flächeninhalte. Wird Ihre Vermutung bestätigt?

c) ZumWeiterforschen mit CAS:Für einen allgemeinen Nachweis der Vermutung aus a) ist ein Makro, das zur Eingabe der Koordinaten zweier Punkte dieGleichung der Geraden durch diese beidenPunkte liefert, sehr hilfreich.

Erzeugen Sie das Makro und überprüfen Sie es mit zwei Punkten Ihrer Wahl.

(A) Gilt die Vermutungfür y = x2 und beliebige Segmente derBreite 4?

(B) Gilt die Vermutungauch für y = k×x2?

(C) Gilt die Vermutungauch für y = x2 undSegmente beliebigerBreite?

ÜbungenAnwenden

P

Q

B

A

2–1–2–3

4

5

01

–1

2

3

10

k = 0,5b = 4

a = 5,33

CAS

Segment derBreite 4:

P(t | t2);Q (t + 4| (t + 4)2)

Tipp


Lorenzkurve und Gini-KoeffizientWie ist das Einkommen oder das Vermögen in der Bevölkerung eines Landes verteilt? Wie kann man z.B. ent‑scheiden, ob das Vermögen in einem Land gerechter verteilt ist als in einem anderen? Solche Fragen sind fürWirtschaftsfachleute und Politiker bedeutsam. Die beiden Statistiker Max Otto Lorenz und Corrado Ginihaben dazu ein Modell entwickelt, das in den Sozialwissenschaften häufig benutzt wird. Dazu wird eine Funk‑tion L(x) konstruiert (Lorenzkurve), die den Zusammenhang zwischen dem Bevölkerungsanteil (x‑Achse) unddem Anteil am Einkommen (y‑Achse) beschreibt. Der Punkt P gehört zu der Information: 60% der Bevölkerungbesitzen 35% des verfügbaren Einkommens. Das blaue Geradenstück ist auch eine Lorenzkurve. Sie stellt diegleichmäßige Verteilung des Einkommens in der Bevölkerung dar. Ein Maß für die Stärke der Abweichung derkonkreten Einkommensverteilung von der gleichmäßigen Verteilung ist derGini‑Koeffizient G: Er wird definiert als das Doppelte des Inhalts der Flächezwischen der blauen und der roten Kurve, also:

G = 2×∫0

1

(x − L(x))dx

Exkurs

0,5 1

0,5

1

Anteil des Einkommens

Anteil derBevölkerung(kulminiert)

P(0,6|0,35)

Lorenzkurve

Gleichverteilung

16 Gerechte und ungerechte Verteilungena) Begründen Sie, dass die Gerade y = x als Lorenzkurve die „vollkommen gerechteVerteilung“ angibt. Welcher GiniKoeffizient gehört dazu?

b) Welcher GiniKoeffizient gehört zu der größtmöglichen „Ungerechtigkeitsverteilung“?Wie sieht die zugehörige Lorenzkurve aus?

17 Fiktiver Ländervergleich

Land A: 60% der Bevölkerung besitzen 35% des verfügbaren Einkommens.Land B: 90% der Bevölkerung besitzen 70% des Einkommens.

a) In welchem Land ist das Einkommen ungerechter verteilt? Was meinen Sie?b) Zeigen Sie, dass A(x) = 0,97x2 und B(x) = 0,95x3 passende Lorenzfunktionen fürLand A bzw. Land B sind und berechnen Sie für beide Länder den GiniKoeffizientenund vergleichen Sie damit die Einkommensverteilung beider Länder. Passen die Berechnungen zu Ihren Vermutungen aus a)?

18 Einkommensverteilung

Einkommensverteilung in Deutschland 2005

Dezil 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.vollzeitbeschäftigteArbeitnehmer (in %) 2,5 4,7 6,2 7,4 8,4 9,0 10,5 12,6 14,9 23,1

Arbeitnehmerinsgesamt (in %) 0,5 1,6 2,9 5,3 7,4 9,8 11,8 14,4 17,8 23,4

Quelle: SOEP: Bundesministerium für Arbeit und Soziales (BMAS): Lebenslagen inDeutschland

Für das Ermitteln einer Lorenzkurve müssen die yWerte aufaddiert (kumuliert)werden.Füllen Sie die Tabelle weiter aus und erzeugen Sie eine entsprechende Tabelle für dieArbeitnehmer insgesamt. Ermitteln Sie mithilfe ganzrationaler Regressionsfunktionenpassende Lorenzkurven und berechnen Sie damt die zugehörigen GiniKoeffizienten.Schreiben Sie einen Bericht über die Verteilung der Einkommen in beiden Gruppen.

Übungen

Durch Dezile (lat. „Zehntelwerte“) wird die Verteilung in zehn gleich große

Teile zerlegt.

Dezil 1. 2. 3. …Vollzeitb.kumuliert 2,5 7,2 13,4 …


19 Flächeninhalte, Tangente und Wendepunkt

Gegeben ist die Funktion f (x) = 1_3 x3 − 2x2 + 3x.

a) Erstellen Sie eine aussagekräftige Skizze und ermitteln Sie den Inhalt der von derKurve und der xAchse eingeschlossenen Fläche.

b) Bestimmen Sie den Hochpunkt H von f. Die Tangente in F und f umschließen eine Fläche. Berechnen Sie deren Inhalt.

c) Zeigen Sie, dass die Kurve und die Gerade g durch den Ursprung und den Wendepunkt von f eine Fläche mit dem Inhalt 4_3 Flächeneinheiten einschließen.Wo taucht eine Fläche gleichen Inhalts beim Schnitt der Geraden g mit f noch einmalauf? Skizzieren und begründen Sie.

20 Normale, Tangente, Steigungen und eine Parameterbestimmung

Gegeben ist die Funktion f (x) = − 2_3 x3 + 3xa) Skizzieren Sie f und bestimmen Sie den Inhalt der Fläche, die die Normale imWendepunkt von f mit dem Graphen von f umschließt. Warum umschließt die Tangente imWP keine Fläche mit dem Graphen von f?

b) In welchen Punkten hat f die Steigung −5? Was ist die maximale Steigung des Graphen?

c) Bestimmen Sie k so, dass ∫0

k

f (x)dx = 0 gilt. Veranschaulichen Sie die Lösungen an derSkizze.

21 Ein FirmenlogoDie Firma GANZRATIO hat für einen Kunden ein Logoentwickelt. Der obere Rand wird durch f (x) = x4 − 2x2 + 1in [−1; 1] (x: in m; y: in m) beschrieben, der untere durchSpiegelung von f an der xAchse.a) ■ Geben Sie eine Funktionsgleichung für den unteren

Rand an.■ Zeigen Sie, dass in den Spitzen keine Steigung vorliegt.

b) Die Materialkosten dürfen 80€ nicht überschreiten. Was ist der höchste möglichePreis/m2?

c) Die Trennungslinien der einzelnen Farbfelder werden durch y = x und y = −x beschrieben. Bestimmen Sie den Inhalt der einzelnen Flächen. Treffen die Trennungslinien den Rand in den Wendepunkten?

1. Die Abbildung zeigt für −5 ≤ x ≤ 3 den Grapheneiner Ableitungsfunktion f′.Entscheiden und begründen Sie, ob gilt:a) f ist in [−4; 2] monoton wachsend.b) f hat an der Stelle −1 ein Maximum.c) f hat an der Stelle 2 eine Wendestelle.d) f verläuft durch (0 |0).

2. Vergleichen Sie: (102)3; (103)2; 10(23); 102×1033. a) Wieviel Liter sind 3m3

b) Geben Sie 32g in kg anc) Wieviel m/s sind 72 km/h ?

–5 –4 –3 –2 –1 1 2 3

–4–2

246

–6

f′

y

x

Grundwissen

Übungen

Training – gebiets-übergreifend

–1 10

–1

1 y

x


22 Parabelhalbierung mithilfe passender GeradenHalbieren Sie die Fläche, die der Graph von f (x) mit der xAchse einschließt. VersuchenSie es mithilfe einer Skizze per Augenmaß und rechnen Sie nach.a) f (x) = 9 – x2 b) f (x) = –0,5x2 + 3xHalbieren durch eine Parallele zur xAchse: Halbieren durch eine Ursprungsgerade:

–1 1 2 3 4 5–2–3–4–5 –2

246810

y

x

k

–1 1 2 3 4 5 6 7 8 9–2

246810

y

xP(a|f(a))

23 Wandernder StreifenDer Funktionsgraph zu f (x) = – 1_

6x3 + x2 und die xAchse

begrenzen im ersten Quadranten des Koordinatensystems ein Flächenstück. Ein zur yAchse paralleler Streifender Breite b = 3 soll so gelegt werden, dass er aus diesem Flächenstück einen möglichst großen Teil ausschneidet. Wie ist der Streifen zu legen?

24 FlächenstückeEs sei die Funktion f mit f (x) = x3 gegeben. Eine Parallelezur xAchse soll jeweils konstruiert werden, sodass gilt:a) A1 = A2b) A1 + A2 ist minimal.

25 Ein maximales RechteckDie Graphen der Funktionen f (x) = x2 und g(x) = –x2 + 6schließen eine Fläche ein. In diese Fläche wird ein Rechteck so gelegt, dass die Rechteckseiten parallel zu denAchsen verlaufen. Welche Koordinaten müssen die Eckpunkte des Rechtecks haben, damit der Flächeninhaltdes Rechtecks maximal wird? Vergleichen Sie den Inhaltdes Rechtecks mit dem Inhalt der von den Graphen umschlossenen Fläche.

26 PuzzelnEntwickeln und formulieren Sie eine Strategie zur Bestimmung des Inhalts der gefärbten Fläche. Finden Sie unterschiedliche Strategien?Bestimmen Sie den Flächeninhalt. Machen Sie zunächsteinen Überschlag.f (x) = 1_

4x2; g (x) = 3 – x; h(x) = 2_

3x + 4_

3

Aufgaben

Anspruchsvolle Aufgabenzu Flächenbestimmungen

4k k+3

b=3f

8–4

–4

4

y

x

1t

f

P

1y

xA1

A2 y = t3

1 m 2 3–1–2–3

3

1

4

2

5

6 y

x

P(m|f(m))g

f

2 4–2–4

2

4y

x

f

B

hg

A

C


27 Mittlere TagestemperaturAn einem Sommertag wird alle zwei Stunden die Temperatur gemessen.

Uhrzeit 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24Temp. in °C 13 12 13 16 20 24 27 28 27 25 21 17 14

a) Bestimmen Sie mithilfe der Messungen die durchschnittliche Tagestemperatur.b) Die Messdaten werden durch die Funktion f (x) = 8×sin(0,5x − 2) + 20 beschrieben.

Berechnen Sie das Integral 1__24×∫

0

24

f (x)dx mithilfe des GTR.

Vergleichen Sie die beiden Werte. Welcher ist Ihrer Meinung nach der bessere Wertfür die mittlere Temperatur an diesem Tag?

Mittelwert einer Funktion auf einem IntervallMithilfe des Integrals kann die Definition des arithmetischen Mittelwertes von Daten auf den Fallübertragen werden, dass die Daten kontinuierlichdurch eine Funktion beschrieben werden.Der Mittelwert einer Funktion f im Intervall [a; b] istgleich demWert des Integrals von f, dividiert durchdie Länge des Intervalls.

ym = 1___b − a×∫

a

b

f (x)dx

Geometrische Interpretation:Der Flächeninhalt unter dem Graphen wurde in ein flächeninhaltsgleiches Rechteckmit der Höhe ym und der Breite b − a verwandelt.

↘

a b

y

x

b – a

ym

f

28 Mittlerer GewinnDer Gewinnzufluss in € pro Woche beim Verkauf eines neuen Produktes wird in denersten 12 Monaten mit der Funktion f (x) = −20x3 + 240x2 − 1200 beschrieben (vgl. 1.4Aufgabe 4). Berechnen Sie den mittleren Gewinn in diesem Zeitraum.

29 Lagerhaltungskosten

Durchschnittliche LagerhaltungskostenDer Funktionsmittelwert wird in der Wirtschaft auch beider Berechnung von Lagerhaltungskosten verwendet.Falls L(x) die Anzahl der Einheiten eines bestimmtenProdukts ist, das eine Firma am Tag x auf Lager hält,dann gibt der Mittelwert LM von L(x) über einen bestimmten Zeitraum a ≤ x ≤ b die mittlere Anzahl der proTag gelagerten Produkteinheiten an.

Ein Großhändler erhält alle 30 Tage eine Sendung von 1200 Kisten Pralinenschachteln.Diese verkauft er an die Einzelhändler. x Tage nach Erhalt der Sendung beträgtdie Anzahl der Kisten, die noch im Lager sind, L(x) = 4_

3 (x − 30)2.Wie groß sind die durchschnittlichen täglichen Lagerkosten, wenn die täglichen Lagerkosten für eine Kiste 35 Cent betragen?

Aufgaben

Integrale als Mittelwert


Checkup

Bestand aus ÄnderungrekonstruierenBestände können aus bekannten Änderungen rekonstruiert werden.Geometrisch kann man Werte B(a) derBestandsfunktion B als orientiertenFlächeninhalt unter dem Graphen derÄnderungsfunktion von 0 bis a interpretieren.

1 2 3 4 5 6a

7 8 9–1 10 11

1

–2–3

22

–1

3y

x

f

B

Rechnerisch erhält man die Bestandsfunktion durch das Umgekehrte des Ableitens („Aufleiten“). Dabei gilt B(0) = 0.

Änderungsfunktion f (x) = −0,5x + 2↓ „Aufleiten“

Bestandsfunktion B(x) = −0,25x2 + 2x

Änderung BestandGeschwindigkeit zurückgelegter WegZuflussrate WassermengeGewinnzufluss Gesamtgewinn

StammfunktionEine Funktion F heißt Stammfunktion zu f,wenn F′(x) = f (x) gilt.F + c sind alle Stammfunktionen von f.Wichtige Stammfunktionen

f (x) k xn 1__x2 √

__x sin (x) cos (x)

F(x) k×x 1___n + 1 xn+1 − 1_

x2_3 √__x3 −cos (x) sin (x)

Regeln für StammfunktionenF, G, H ist jeweils Stammfunktion zu f, g, h.

Funktion StammfunktionKonstanterFaktor g (x) = a×f (x) G(x) = a×F(x)

Summenregel h (x) = f (x) + g (x) H(x) = F (x) + G(x)

1 Zufluss imWasserbeckenDie Grafik zeigt Zu und Abfluss ineinemWasserbecken. Skizzieren Siedie zugehörige Bestandsfunktion. Wasbeschreibt diese Funktion?

2 RekonstruktionRekonstruieren Sie grafisch aus derÄnderungsfunktion die Funktion derGesamtänderung (Bestandsfunktion).

3 Von der Geschwindigkeit zumWegIn der Tabelle ist der Geschwindigkeitsverlauf eines Autoswährend einer Stunde aufgezeichnet (t in min; v in km__

h ) .t 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60v 20 65 90 35 95 80 50 60 35 80 90 75 25

a) Schätzen Sie, wie weit das Auto in der Stunde gefahren ist.b) Berechnen Sie einen Näherungswert, indem Sie die Messpunkte geradlinig verbinden.

c) Skizzieren Sie eine „Kurve“, die in etwa die Messwerte derTabelle erfasst. Skizzieren Sie dazu den Graphen der zugehörigen Bestandsfunktion.

4 GärungsprozessDer Graph zeigt die Gärungsgeschwindigkeit für Traubenmost (in Liter CO2pro Tag). Er kann beschrieben werdendurch die Funktion:f (x) = –0,04x3 + 0,34x2 + 0,64xa) Beschreiben Sie den Gärungsprozess anhand des Graphen.b) Geben Sie den Funktionsterm und den Graphen der Bestandsfunktion an. Welche Größe wird damit beschrieben?

c) Welche Menge an CO2 wurde in den zehn Tagen produziert?

5 Änderung – Bestand – FlächeIn dem Bild sind die Graphen einerÄnderungsfunktion f und einer Bestandsfunktion B dargestellt.Bestimmen Sie die Gleichungen derbeiden Funktionen. Überprüfen Sie IhrErgebnis durch Flächenbestimmungenin [0; 1], [0; 2] und [0; 3]

6 „Aufleiten“ und AbleitenFinden Sie Stammfunktionen zu f.f1 (x) = 3 f2 (x) = 3x – 2 f3 (x) = x4 − 4x2 + 6f4 (x) = x(x − 1)2 f5 (x) = cos(x) f6 (x) = (x + 5) (x − 5)

2 4 86 10–10

10

Zufluss in l/s

Zeit in s

y

x

2 4 86 10

2468 CO2 in l/Tag

Zeit in s

1 2 3

1

2

3y

x

f

B


Checkup

Bestimmtes IntegralDer orientierte Inhalt der Fläche untereiner Randfunktion f im Intervall [a; b]heißt bestimmtes Integral

∫a

b

f (x)dx („Integral f (x) von a bis b dx“)

Hauptsatz der Differential- undIntegralrechnungFür den orientierten Flächeninhalt unterf (x) in den Grenzen a und b gilt:

∫a

b

f (x)dx = F(b) − F(a) F′(x) = f (x)

F(x) ist eine Stammfunktion von f (x)

Integrationsregeln(1) Konstanter Faktor

∫a

b

k×f = k×∫a

b

f ∫a

b

( − f) = − ∫a

b

f

(2) Summenregel (3) Addition

∫a

b

(f + g) = ∫a

b

f + ∫a

b

g ∫a

b

f + ∫b

c

f = ∫a

c

f

Rekonstruktion aus ÄnderungenBeispiel:Geschwindigkeit → Weg

→v(t) = g · t

v in m/s

t in s

s in m

t in s

s(t) = g · t2_21

FlächenberechnungenFläche zwischenKurve und x-Achse„Von Nullstelle zuNullstelle integrierenund jeweils Betragnehmen“

Fläche zwischenzwei Kurven„Differenzfunktionvon Schnittstelle zuSchnittstelle integrieren und jeweils Betrag nehmen“

x1 x2 x3

y

x

f

x1

x2 x3

y

xf

g

7 Orientierte Flächeninhalte abschätzen

Schätzen Sie jeweils, ob ∫a

b

f (x)dx kleiner, größer oder gleich 0 ist.

8 Orientierte Flächeninhalte berechnenOhne GTR: Skizzieren Sie f und den zu den Integralen gehörenden orientierten Flächeninhalt. Berechnen Sie diesen Inhalt. Erklären Sie das Ergebnis in b).

a) ∫2

3

3x + 1dx b) ∫−2

2

2 − x2dx c) ∫π_2

2π

cos(x)dx d) ∫1

4

√__x dx

9 Wie entwickelt sich der Gewinn?Der Gewinnzufluss einer Firma wirdfür die ersten drei Jahre prognostiziert.a) Wie entwickelt sich dieser?b) Ermitteln Sie einen Funktionstermfür den Zufluss und den Gewinn.

c) Wie groß wird der Gewinn nach drei Jahren sein?d) Eignet sich das Modell für eine 10Jahresprognose?

10 VokabellernenBeim Lernen von Vokabeln wird dieLernrate (Anzahl gelernter Wörter proMinute) durch die FunktionsgleichungL(t) = –0,009t2 + 0,2t beschrieben.a) Beschreiben Sie den Lernvorganganhand des Graphen.

b) Wie viele Wörter wurden in den ersten zehn Minuten gelernt,wie viele bis zum Zeitpunkt, an dem die Lernrate auf null gesunken ist?

11 Flächen zwischen Kurve und x-Achse – ohne GTRSkizzieren Sie den Graphen von f und bestimmen Sie den Inhaltder Fläche, die der Graph mit der xAchse einschließt.(1) f (x) = 3x×(x − 4) (2) f (x) = x3 − 9x(3) f (x) = sin(x) in [0; π] (4) f (x) = x4 − 16

12 Flächen zwischen zwei Kurven – ohne GTRSkizzieren Sie f (x) = 5x und g(x) = x2 + 4 und berechnen Sie denInhalt der von den Graphen umschlossenen Fläche.

13 Flächen zwischen zwei Kurven – mit GTRBestimmen Sie den Inhalt der Fläche, die f (x) = x3 − 6x + 3 undg(x) = x + 9 umschließen.

400 800 1200–200–400

200400

Gewinnzuflussin €/Tag

Zeit inTagenf

10 20

1Lernrate L in Wörterpro min

Zeit tin min

a b

fyx

a b

fyx

a b

fyx

I II III

43Checkup

Sichern und Vernetzen –Vermischte Aufgaben zu Kapitel 1

1 Mittlere DurchflussratenDie Tabelle gibt mittlere Durchflussraten einer Wassermenge, die durch eine Abflussrinne geflossen ist, in den angegebenen Zeiträumen an.

Zeit 6 :00 9 :00 12 :00 15 :00 18 :00 21 :00 24 :00 3 :00 6 :00m3/min 5 8 12,5 14 13 10,5 6 8 7

Ermitteln Sie einen Näherungswert für die gesamte durchgeflossene Wassermenge.

2 ZuflussratenDie Funktionsterme für die Zuflussrate f (x) sind abschnittsweise notiert:f1 (x) = 10 im Intervall [0;4]f2 (x) = –5x + 30 im Intervall [4;7]f3 (x) = –5 im Intervall [7;10]

Wie sehen die Terme der zugehörigen Bestandsfunktionen f1 (x), f2 (x) und f3 (x) in den einzelnen Abschnitten aus?Zeigen Sie, dass diese an den Übergangsstellen derIntervalle jeweils die gleiche Steigung haben.

3 Ein WassertankDie Grafik beschreibt den Zu bzw. AbflussZ(t) (in l/min) aus einem zum Zeitpunktt = 0 leeren Wassertank in Abhängigkeitder Zeit (in min).a) Wie viel Wasser befindet sich im Behälter? Füllen Sie die dazu die Tabelleaus.Hinweis: Bei den letzten beiden Wertenreichen Schätzungen.

Zeit (in min) 1 2 3 4 5 6 7Wasserstand (in l)

b) Übertragen Sie die Grafik und skizzieren Sie die Wasserstandsfunktion W(t).c) Ermitteln Sie Funktionsterme für die Zuflussfunktion und damit für die Wasserstandsfunktion. Überprüfen Sie damit die Ergebnisse aus a) und b).Achtung: Berücksichtigen Sie die Wassermenge am Beginn eines neuen Intervalls.

4 Funktionen und Stammfunktionena) Bestimmen Sie jeweils den fehlenden Eintrag.

Funktion f (x) x + 1 ■ x (x2 – 1) √__x ■ cos (x) ■

Stammfunktion F(x) ■ 0,5x2 – 4 ■ ■ √__x ■ cos (x)

b) Finden Sie jeweils eine Stammfunktion.(1) f (x) = 2x + t (2) f (t) = 2t + x (3) f (x) = a(x – b)2 (4) f (x) = x2 (x – b)

Trainieren

2–2 4 6 8 10 12

10

20

30

40

50y

x

1–1 2 3 4 5 6 7 8 9

5

–5

–10

10

15Zufluss in l/m

Zeit in min


5 Integrale bestimmen

Es sei ∫a

b

f (x)dx = c gegeben.

Bestimmen Sie jeweils den fehlenden Eintrag und fertigen Sie zu jeder Teilaufgabe eineaussagekräftige Skizze an.a) a b c f (x)(1) −2 4 ■ x2 − 2(2) −4 ■ 0 x + 2(3) ■ 4 5 −2x + 4

b) a b c f (x)(1) −2 4 ■ 3x2 − 8(2) −3 ■ 15 3x2 − 4(3) ■ 2 2 x3

6 Flächeninhalte bestimmen 1Ermitteln Sie jeweils den Inhalt der roten Fläche.

1 2

1

y

x1 2

1

2y

–1 2

4y

x

(1|1) (1|1)

(1|1)y = x2

y = x3 – 3x2 + 4

y = x2 – 2x + 2

y = – x2 + 2x

y = 2 – x

(1) (2) (3)

7 Flächeninhalte bestimmen 2Ermitteln Sie den Inhalt der Fläche, die f mit der xAchse einschließt. Lösen Sie a), b)und e) ohne GTR. Skizzieren Sie auch die Funktionen.a) f (x) = 9 – x2 b) f (x) = x3 – x c) f (x) = x3 + 3_

2 x2 – 10xd) f (x) = x(x – 1) (x + 3) e) f (x) = 2x + x2 f) f (x) = (x2 – 9) (x2 + 1)

8 Flächeninhalte bestimmen 3Ermitteln Sie den Inhalt der Fläche, die f und g einschließen. Lösen Sie b) ohne GTR.

a) f (x) = – 1_2 x2 + 4 b) f (x) = x2 – 1 c) f (x) = x3 + x2 – 6x d) f (x) = x2 (x – 3)

g(x) = x2 + 1 g(x) = x + 1 g(x) = –4x g(x) = x – 3

9 Flächeninhalte bestimmen 4Bestimmen Sie den Inhalt des abgebildeten Flächenstücks, das von den Graphen der folgenden drei Funktionen begrenzt wird:f1 (x) = –0,5(x – 1)2 + 2 f2 (x) = –0,5(x + 1)2 + 2

f3 (x) =1_3(x − 3)(x + 3)

10 Wendepunkt, Fläche und Flächenverhältnisa) Ermitteln Sie den Wendepunkt von f mit f (x) = x3 − 3x2.b) Durch den Wendepunkt wird eine Parallele zur yAchse gezogen. Diese Parallele zerlegt die Fläche, die der Graph von f mit der xAchse einschließt, in zwei Teilflächen. Inwelchem Verhältnis stehen die Inhalte der beiden Teilflächen zueinander?

c) In welchem Verhältnis teilt die Gerade durch den Wendepunkt und die positive Nullstelle die Fläche, die der Graph mit der xAchse einschließt?

Trainieren

3 3

–3

2y

x

45Sichern und Vernetzen – Vermischte Aufgaben

11 Wege und GeschwindigkeitenWelches Objekt hat in den zehn Sekunden den größten Weg zurückgelegt?

12 Eine Maus, ein Käsestück und eine RöhreEine Maus rennt in einer tunnelförmigen Röhre hinund her, angelockt von einem Käsestück, das abwechselnd in das rechte und linke Tunnelende gesteckt wird. Das Diagramm zeigt die Geschwindigkeitv der Maus, wobei positives v die Bewegung nachrechts, negatives nach links bedeutet (v in cm/s, t ins).a) Zu welchen Zeiten ändert die Maus ihre Richtung?b) Wann hat sie die größte Geschwindigkeit nach rechts (nach links) erreicht?c) Wann ist sie am weitesten rechts (links) von der Mitte, wie weit ist diese Entfernungjeweils?

d) Ist die Maus nach 40 Sekunden links oder rechts von der Mitte? Begründen Sie.

13 Veranschaulichen und Begründena) Geben Sie jeweils Intervalle [a ; b] mit a < 0 und b > 0 so an, dass für f (x) = x3 – 4xgilt:

(1) ∫a

b

f (x)dx > 0 (2) ∫a

b

f (x)dx = 0 (3) ∫a

b

f (x)dx < 0

Veranschaulichen und begründen Sie durch Skizzen.

b) Für welche Funktionen f gilt: ∫–c

0

f (x)dx = – ∫0

c

f (x)dx?

14 Terme veranschaulichenDie Funktion F(x) ist eine Stammfunktion von f (x).Veranschaulichen Sie die Terme am Graphen von f.a) f (b) – f (a) b) f (b) – f (a)______

b – a c) F(b) – F(a)

15 Aus einem amerikanischen Lehrbuch

The given graph represents velocity vs. time for twocars. Assume that the cars start from the same position and are traveling in the same direction.a) State the relationship between the position of car Aand that of car B at t = 1hr. Explain.

b) State the relationship between the velocity of car Aand that of car B at t = 1hr. Explain.

c) State the relationship between the acceleration ofcar A and that of car B at t = 1hr. Explain.

d) How are the positions of the two cars related during the time interval betweent = 0,75hr and t = 1hr? (That is, is one car pulling away from the other?) Explain.

t = 1hr.t = 0hr.

Speed

Car A

Time in Hours

Car Bx

Verstehen

5 10 15 20 25 30 35–10

–20

10

20y

x

–1–2–3 1 2

–10

5

–5

y

x

a b

y

x

f

4 8

10v in m/s

t in s 4 8–10

10v in m/s

t in s4 8–20

20v in m/s

t in s4 8–20

20v in m/s

t in s

(A) (B) (C) (D)


16 Von der Emissionsrate zum GesamtausstoßNach einem Unfall in einer Fabrik tritt ein giftiges Gas aus. Von der Werksfeuerwehr wirddie abnehmende Emissionsrate des Gases in mg/min gemessen.

Zeit in min 60 120 180 240

Gasemission in mg___min 9,0 2,4 0,8 0,1

Man will nun abschätzen, welche Gasmenge innerhalb der ersten vier Stunden in etwafreigesetzt wurde. Erläutern Sie Ihr Vorgehen. Was können Sie zur Genauigkeit IhresSchätzwertes sagen?

17 Ein BenzintankEin Bodentank für Benzin fasst 30m3 Benzin. An der Tankstelle fließt das Benzin auseinem Tanklaster in den Tank. Die Grafik beschreibt den Zufluss Z(t) (in l/min).Die Zuflussfunktion ist gegeben durch

f (x) = { 0,5x2−0,5x2 − 4x + 4

4

für 0 ≤ x ≤ 2für 2 < ≤ x ≤ 4für x > 4

Wann ist der Tank voll?

18 DatenübertragungWenn mit einem Computer Daten aus demInternet geladen werden, kann man auf demBildschirm ständig die Übertragungsrate ablesen. Der Wert der Übertragungsrate ist inder Regel nicht konstant. Die Übertragungsrate wird in kbit/s gemessen.Bei einem Ladevorgang ergab sich eineÜbertragungsratenfunktion mit der Gleichung u(t) = 20×( t3___360 –

t2__7 + 2t + 2). Der Übertra

gungsvorgang dauerte 30 Sekunden.Wie groß waren die minimale und die maximale Übertragungsrate während des Vorgangs? Wie groß war die durchschnittliche Übertragungsrate?Wie groß war die gesamte übertragene Datenmenge? Zu welchem Zeitpunkt war dieHälfte der Datenmenge übertragen?

19 Von der Beschleunigung zumWegEin Sportwagen beschleunigt aus demStand (t = 0) bis zum Erreichen derHöchstgeschwindigkeit (t = t1) mit derabnehmenden Beschleunigunga(t) = 5 – 0,25t + 0,003125t2 .Dann ist a(t1) = 0.Wie lange beschleunigt das Auto?Wie groß ist die Höchstgeschwindigkeit?Welche Strecke hat das Auto bis zum Erreichen der Höchstgeschwindigkeit zurückgelegt?Wie groß ist die Durchschnittsgeschwindigkeit im Beschleunigungsintervall?

Anwenden

2 4 6 8 10

2

4

6 Zufluss in m3

Zeit in min

5 10 15 20 25

100

200

300 u in kbit/s

t in s

kbit ist die Einheit zurMessung der Datenmenge.

5–5 10 15 20 25 30 35 45 5540 50

2

4

1

–1

3

5

76

8 a in m/s2

t in s

Zeit t in SekundenGeschwindigkeit v (t) in m/s

Weg s(t) in Meters (0) = 0, v (0) = 01m/s = 3,6km/h

47Sichern und Vernetzen – Vermischte Aufgaben

934.683

ISBN 978-3-507-88736-7

Documents

grundlegendes Anforderungsniveau...MATHEMATIK NEUE WEGE Qualifikationsphase Niedersachsen grundlegendes Anforderungsniveau Herausgegeben von: Henning Körner, Arno Lergenmüller,Prof