GroBmann . Grundziigc der Ausgleiehungsrcchnung

Walter Gro13mann

Grundziige der Ausgleichungsrechnung

nach der Methode der kleinsten Quadrate

nebst Anwendung in der Geodasie

Dritte, erweiterte Auflage

Mit 65 Abbildungen

Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 1969

Prof. Dr.-Ing., Dr.-Ing. E. h. Walter GroJ3mann

Technische Universitat Hannover

ISBN 978-3-642-49601-1 ISBN 978-3-642-49893-0 (eBook)

DOl 10.1007/978-3-642-49893-0

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Springer-Verlag, Berlin' Heidelberg 1969. Library of Congress Catalog

Card Number 68-29707.

Titel·Nr. 0339

Softcover reprint of the hardcover 3rd edition 1 %9

V orwort zur dritten Auflage

In der zweiten Auflage waren - groBtenteils auf Wiinsche aus dem Benutzerkreis - Erganzungen in allen Abschnitten vorgenommen; neu hinzugefUgt war der Abschnitt iiber die Anwendung des Matrizenkalkiils auf die Ausgleichungsrechnung. Demgegeniiber beschrankt die vor­liegende Auflage sich auf zwei Erweiterungen: eine starkere Beriick­sichtigung der korrelierten Beobachtungen und drei Paragraphen iiber die Anwendungen der mathematischen Statistik auf die Fehlertheorie.

Von diesen Erweiterungen sind im I. Abschnitt vornehmlich die §§ 1 und 6 betroffen worden. Der II., der III. und der IV. Abschnitt bis zum § 39 einschlief31ich haben - schon urn den Satz moglichst weitgehend zu erhalten - nur geringfUgige Anderungen erfahren. Die §§ 40 bis 42 und ein neuer § 43, der die elegante Ausgleichung korrelierter Beobachtungen mit Hilfe von Matrizen bringt, wurden zum Abschnitt V - Korrelierte Beobachtungen - zusammengefaBt. 1m VI. Abschnitt - Sonderaufgaben und mathematische Statistik - blieben die §§ 44 bis 46 neuer Zahlung ungeandert. Dagegen enthalten der vollig umgeschriebene § 47 und die beiden neuen §§ 48 und 49 einen Uberblick iiber die fUr die Fehlertheorie wichtigen Teile der mathematischen Statistik. Der VII. Abschnitt - Anwendungen der Matrizen - hat nur einige Berichtigungen und kleine Verbesserungen erfahren.

Ich hoffe, daB das Buch seinem doppelten Zweck, Vorlesungshilfe fUr Studenten und Nachschlagewerk fUr den Praktiker zu sein, auch in der neuen Fassung gerecht wird.

Bei der Neubearbeitung hat mir vor allem Herr Professor Dr. Hopcke, mein Amtsnachfolger als Direktor des GeodatischenOInstituts der Tech­nischen Universitat Hannover, sehr wesentliche Hilfe zuteil werden lassen. Ich danke ferner neben anderen meinem Assistenten, Herrn Dipl.-Ing. Lenzmann, fUr seine wertvolle Unterstiitzung.

Hannover, im Februar 1968 W. GroBmann

Aus dem Vorwort zur ersten Auflage

Dieses Buch ist auf der einen Seite als Vorlesungshilfe gedacht, zum anderen will es den Praktiker, der fUr den Einzelfall Belehrung sucht, in Stand setzen, sich schnell und moglichst vollstandig zu unterrichten. Da ich die Kenntnis der Matrizenrechnung noch nicht allgemein glaube voraussetzen zu diirfen, habe ich die klassische Gausssche Schreibweise beibehalten und mich bemiiht, in diesem Rahmen fUr aIle in der breiteren Praxis benutzten Ausgleichungsverfahren leichtverstandliche Formel­entwicklungen und iibersichtliche Rechenanleitungen zu geben. In Zweifelsfallen ist nicht der knappsten, sondern der durchsichtigsten Losung der Vorzug gegeben. Die Texterlauterungen sind so ausfUhrlich gehalten, daB sie auch ein Selbststudium erlauben.

Das Buch halt etwa die Mitte zwischen den von Hegemann, Weit­brecht, Werkmeister u. a. herausgebrachten Kurzdarstellungen und den umfassenderen Werken von Jordan und Helmert.

Hannover, im September 1953 W. GroBmann

Inhaltsverzeichnis

Oberblick tiber die Methode der kleinsten Quadrate

I. Abschnitt

Grundziige der Fehlerlehre

§ 1. Fehlerarten, theoretische Mittelwerte und StreuungsmaJ3e 1.1 Grobe, systematische, zufalIige und totale Fehler . 1.2 Der theoretische Mittelwert. . . . 1.3 Die theoretischen StreuungsmaJ3e . . . . . . . 1.4 Zur Berechnung der StreuungsmaJ3e . . . . . .

§ 2. Der mittlere Fehler von Funktionen unabhangiger MessungsgriiJ3en (GauJ3sches

6 6 8

10 11

Fehlerfortpflanzungsgesetz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.1 Der EinfluJ3 der Beobachtungsfehler auf Funktionen gemessener GriiJ3en 13 2.2 Der relative Fehler einer Funktion gemessener GriiJ3en . . . . . . .. 14 2.3 Der mittlere Fehler einer Funktion gegenseitig unabhangiger Messungs-

griiJ3en. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

§ 3. Empirischer Mittelwert und empirischer mittlerer Fehler bei Beobachtungen gleicher Genauigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.1 Wahre und tibrigbleibende Fehler . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.2 Empirischer Mittelwert und empirischer mittlerer Fehler einer urspriing­

lichen Beobachtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.3 Empirischer mittlerer Fehler des arithmetischen Mittels direkt beobachte-

ter MessungsgriiJ3en . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

§ 4. Empirischer Mittelwert und empirischer mittlerer Fehler bei Beobachtungen verschiedener Genauigkeit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.1 Einfiihren des Gewichts und des allgemeinen arithmetischen Mittels 29 4.2 Beziehungen zwischen Gewichten und mittleren Fehlern. . . . . 30 4.3 Die Gewichte von Funktionen direkt beobachteter MessungsgriiJ3en 32 4.4 Der mittlere Fehler der Gewichtseinheit; homogenisierte und standardi-

sierte Beobachtungen. . . . . . . . . . . . . . . . 33 4.5 Gewichtsreziproke oder Kofaktoren . . . . . . . . . 35

§ 5. Empirische mittlere Beobachtungsfehler aus Doppelmessungen 5.1 Beobachtungspaare gleichen Gewichtes. . . . . . . . 5.2 Beobachtungspaare verschiedenen Gewichtes . . . . .

§ 6. Fehlerfortpflanzungsgesetze fiir Beobachtungen mit systematischen Fehler-

38 38 39

anteilen und fiir korrelierte Beobachtungen. . . . . . . . 42 6.1 Beobachtungen mit systematischen Fehleranteilen . . 42 6.2 Gegenseitig abhangige oder korrelierte Beobachtungen 47

§ 7. Das GauJ3sche Fehlergesetz . . . . . . . . . . . . . . 50 7.1 Fehlerhaufigkeit und Fehlerwahrscheinlichkeit. . . . 50 7.2 Die Fehlerhaufigkeits- und die Fehlerwahrscheinlichkeitsfunktion 51

VIII Inhal tsverzeichnis

7.3 Die graphische Darstellung von ep(e) . 7.4 Hagens Ableitung des Fehlergesetzes . 7.5 Fehlergesetz und Beobachtungsreihen.

54 56 60

§ 8. Die fehlertheoretische Begriindung und die mittleren Fehler der Genauigkeits-maf3e. . . . . . . . . . . . . . . . 61

8.1 Beziehungen zwischen r, /1, (! und h. . . . . . . . . . . . . . . . . 61 8.2 Zur Theorie des Maximalfehlers. . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 8.3 Der mittlere Fehler eines aus n wahren Fehlern berechneten empirischen

mittleren Fehlers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 8.4 Der mittlere Fehler eines aus n iibrigbleibenden Fehlern berechneten em-

pirischen mittleren Fehlers 67 8.5 Zufallskriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

II. A bschni tt

Ausgleichung von direkten Beobachtungen

§ 9. Gmndprinzip und Formen der Ausgleichungsaufgabe 9.1 Die Aufgabe der Ausgleichungsrechnung 9.2 Das Ausgleichungsprinzip. . . . 9.3 Ausgleichungsverfahren. . . . .

§ 10. Ausgleichung direkter Beobachtungen gleicher Genauigkeit (Arithmetisches

72 72 72 74

Mittel) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

§ 11. Ausgleichung direkter Beobachtungen verschiedener Genauigkeit (Allgemeines arithmetisches Mittel). . . . . . . . 78

§ 12. Beobachtungen mit Summengleichung . . . 81

III. Abschnitt

Ausgleichung von vermittelnden Beobachtungen

§ 13. Einfiihrung in die Methode der vermittelnden Beobachtungen. 85

§ 14. Aufstellen der Fehlergleichungen 87 14.1 Wahl der Unbekannten. . . . 88 14.2 Lineare Fehlergleichungen . . 88 14.3 Nichtlineare Fehlergleichungen 89

§ 15. Aufstellen und Auflosen der Normalgleichungen 91 15.1 Aufstellen der Normalgleichungen . . . . 91 15.2 Auflosen der Normalgleichungen nach dem Gauf3schen Algorithmus 93 15.3 Ubergang auf mehrere Unbekannte. . . . . . . . . . . . . 94 15.4 Das System der Endgleichungen . . . . . . . . . . . . . . 96

§ 16. Vervollstandigung des Algorithmus durch Summen- und [vv]-Proben 97 16.1 Die Summenproben . . . 97 16.2 v-Proben und [vv]-Proben . . . 99 16.3 Die Schluf3probe. . . . . . . . 102 16.4 Anordnung der Zahlenrechnung . 102

§ 17. Gewichtskoeffizienten und mittlere Fehler der Unbekannten 105 17.1 Herleitung der Gewichtskoeffizienten. . . . . . . . 105 17.2 Berechnung der Gewichtskoeffizienten aus ihren Endgleichungen . 109 17.3 Gleichzeitige Allflosung von Normal- und Gewichtsgleichungen 111 17.4 Die unbestimmte Auflosung. . . . . . . . . . 112 17.5 Gewichtskoeffizienten bei nur zwei Unbekannten. . . . . . . 115

Inhaltsverzeichnis

§ 18. Mittlere Fehler der beobachteten GroBen . . . 18.1 Ableiten der Fehlerformel. ...... . 18.2 Zweite GauBsche Begriindung der Methode der kleinsten Quadrate.

§ 19. Vermittelnde Beobachtungen verschiedener Genauigkeit ....... .

§ 20. Die Gewichte von Funktionen der Unbekannten . . . . . . . . . . . 20.1 Berechnen des Funktionsgewichtes mit Hilfe der Gewichtskoeffizienten 20.2 Berechnen des Funktionsgewichtes durch Erweitern des urspriinglichen

Normalgleichungssystems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.3 Gewicht einer Funktion von Funktionen der ausgeglichenen Beobach-

tungen .............. . 20.4 Freie oder nicht korrelierte Funktionen. .

§ 21. Rechenmaschinenlogarithmen . . . . . . . . 21.1 Der mechanisierte GauBsche Algorithmus . 21.2 Der moderne GauBsche Algorithmus. . . 21.3 Der Algorithmus von Cholesky . . . . .

§ 22. Obersicht iiber die Ausgleichung von vermittelnden Beobachtungen

§ 23. Ausgleichung von Hohennetzen . . . . . . . . . . . . . . .

§ 24. Reduzierte Fehlergleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . 24.1 Elimination einer Unbekannten mittels der Summengleichung 24.2 Die Schreibersche Regel

§ 25. Stationsausgleichungen . . . .

§ 26. Trigonometrisches Einschneiden

§ 27. Ausgleichung von Streckennetzen.

§ 28. Die Ausgleichung von Triangulierungsnetzen nach vermittelnden Beobach-tungen ............... . 28.1 Ausgleichen von Fiillnetzen .... . 28.2 Ausgleichen von freien FIachennetzen.

IV. Abschnitt

Die Ausgleichung von bedingten Beobachtungen

§ 29. Einfiihrung in die Methode der bedingten Beobachtungen

IX

116 116 118

120

123 123

126

127 128

130 130 131 136

138

141

144 144 145

148

158

184

189 189 190

193

§ 30. Das Aufstellen der Bedingungsgleichungen. 194 30.1 Aufsuchen der Bedingungen. . . . 194 30.2 Lineare Bedingungsgleichungen . . . 195 30.3 Nichtlineare Bedingungsgleichungen . 197

§ 31. Korrelatengleichungen, Normalgleichungen und Proben 197 31.1 Aufstellen und Auflosen der Korrelatengleichungen und der Normal-

gleichungen. . . . . . . . . . 197 31.2 Die [vv]-Proben. . . . . . . . . . 199 31.3 Summenproben und SchluBprobe . . 200

§ 32. Mittlerer Fehler einer beobachteten GroBe. 32.1 Zuriickfiihren bedingter auf vermittelnde Beobachtungen 32.2 Die Berechnung des mittleren Fehlers einer beobachteten GroBe

§ 33. Bedingte Beobachtungen mit ungleichen Gewichten. . . . . . . .

201 201 202

203

x Inhaltsverzeichnis

§ 34. Die Gewichte von Funktionen der ausgeglichenen Beobachtungen. . . . .. 204 34.1 Darstellen des Funktionsgewichtes mittels der Obertragungskoeffizienten 204 34.2 Berechnen der Funktionengewichte. . . . . . . . . . . . . . . . . 206 34.3 Die Gewichtskoeffizienten der ausgeglichenen Beobachtungen . . . . . 208 34.4 Das Gewicht einer Funktion von Funktionen der ausgeglichenen Beob-

achtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

§ 35. Obersicht iiber die Ausgleichung von bedingten Beobachtungen . 211

§ 36. Einfache Anwendungen der bedingten Beobachtungen . 213

§ 37. Bedingungsgleichungen in Dreiecksnetzen . . . . . . 220 37.1 Bedingungen bei Winkelbeobachtungen in freien Netzen. 220 37.2 Abzahlformeln bei Winkelbeobachtungen in freien Netzen. 222 37.3 Bedingungen bei Winkelbeobachtungen in angeschlossenen Netzen 226 37.4 Behandlung von Richtungssatzen . . . . . . 227 37.5 Fehlerberechnung in trigonometrischen Netzen. . . . . . . . 228

§ 38. Iterative und gruppenweise Behandlung von Bedingungsgleichungen . 239 38.1 Ein GauBsches Iterationsverfahren. . . . . . . . . . . . . 239 38.2 Naherungsausgleichung von Dreiecksnetzen mit Richtungsbeobachtungen 241 38.3 Reduzierte Bedingungsgleichungen. . . 241 38.4 Das Kriigersche Zweigruppenverfahren. . . . . . . . . . . . . . . 243

§ 39. Entwicklungsverfahren und Substitutionsverfahren . . . . . 39.1 Grundgedanken des Entwicklungsverfahrens. . . . . . 39.2 Die Entwicklung des Korrelaten nach den Widerspriichen 39.3 Der Algorithmus des Entwicklungsverfahrens 39.4 Grundgedanken des Substitutionsverfahrens

V. Abschnitt

Ausgleichung von korrelierten Beobachtungen

§ 40. Vermittelnde Beobachtungen mit Bedingungsgleichungen 40.1 Direkte Losung . . . . . . . . . . . . . 40.2 Zweistufige Ausgleichung nach F. W. Bessel. 40.3 Eine Losung von C. F. Baeschlin. .

§ 41. Bedingungsgleichungen mit Unbekannten 41.1 Allgemeine Form der Ausgleichungsaufgabe. 41.2 Fehlergleichungen mit verschiedenartigen BeobachtungsgroBen.

251 251 252 253 256

261 261 262 264

270 270 272

§ 42. Ausgleichen korrelierter Beobachtungen mittels aquivalenter Fehlergleichungen 277 42.1 Aquivalente Fehlergleichungen . . . . . . . . . . . . . . .. 277 42.2 Ausgleichen korrelierter GraBen nach bedingten Beobachtungen .. 278 42.3 Ausgleichen korrelierter GraBen nach vermittelnden Beobachtungen 280

§ 43. Ausgleichen korrelierter Beobachtungen mit Hilfe der Matrix der Gewichts-koeffizienten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 43.1 Das Ausgleichungsverfahren. . . . . . . . . . . . . . . . .. 287 43.2 Ausgleichen korrelierter GraBen nach bedingten Beobachtungen .. 296 43.3 Ausgleichen korrelierter GraBen nach vermittelnden Beobachtungen 297

Inhaltsverzeichnis XI

VI. Abschnitt

Sonderaufgaben und mathematische Statistik

§ 44. Ausgleichung durch schrittweise Annaherung. . . . . . . . . . . . . . . 300

§ 45. Bestimmen der Konstanten einer linearen Transformation (Helmert-Trans­formation) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 45.1 Berechnen der Transformationskonstanten aus den auf die Schwerpunkte

bezogenen Koordinaten der Pa13punkte. . . . . . . . . . . . . . . 311 45.2 Berechnen der Konstanten zur Transformation photogrammetrischer

Modelle aus den urspriinglichen Koordinaten der Pa13punkte 314

§ 46. Genaherte Darstellung von Funktionen . . . . . . . 317 46.1 Bestimmung der ausgleichenden Geraden . . . . . . . . 318 46.2 Darstellung einer Funktion durch eine Potenzreihe. . . . 322 46.3 Darstellung einer Funktion durch trigonometrische Reihen 325

§ 47. Grundbegriffe der mathematischen Statistik; Normalverteilung . 335 47.1 Einfiihrung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335 47.2 Grundgesamtheit, Verteilungs- und Dichtefunktionen . 337 47.3 Die Parameter der. Grundgesamtheit . . 339 47.4 Die Gau13sche Normalverteilung. . . . . . . . . . 342 47.5 Die Standardform der Normalverteilung . . . . . . 342 47.6 Die AP %-Grenzen der Normalverteilung und die theoretischen Maximal-

fehler . . . . . . . . . . . . . . . . 344

§ 48. Stichprobenverteilungen und Vertrauensgrenzen . . . . . . . . . . . . . 346 48.1 Die Parameter der Stichprobe ................... 346 48.2 Priifen einer Stichprobe auf Normalverteilung; das Wahrscheinlichkeits-

netz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 347 48.3 Vertrauensbereich fiir den empirischen Mittelwert bei bekanntem (j

(Normalverteilung) ........................ 352 48.4 Vertrauensbereich fiir den empirischen Mittelwert bei unbekanntem (j

(t-Verteilung) .......................... 354 48.5 Vertrauensbereich fiir (j, wenn s bekannt ist (X 2- Verteilung) . . . . . . . 358 48.6 Vertrauensgrenzen fiir den Quotienten zweier Standardabweichungen

(F-V erteil ung). . . . . . . . . . . . . 363

§ 49. Statistische Priifverfahren oder Signifikanzteste. . . . . 367 49.1 Allgemeines iiber Signifikanzteste . . . . . . . . 367 49.2 Signifikanztest fiir den Mittelwert bei bekanntem (j . 369 49.3 Signifikanztest fiir den Mittelwert bei unbekanntem (j • 372 49.4 Testen des Verhaltnisses von zwei empirischen Varianzen 374 49.5 Priifen auf Haufigkeitsverteilung (x2-Anpassungstest). . 375 49.6 Die Streuungszerlegung oder Varianzanalyse. . . . . . 378 49.7 Priifung von Abhangigkeiten (Regression und Korrelation) 383 49.8 Zur Anwendung der statistischen Verfahren auf geodatische Beobach-

tungen ............................. 386

VII. Abschnitt

Anwendungen der Matrizenrechnung auf die Ausgleichungsrechnung

§ 50. Grundregeln der Matrizenrechnung. . 50.1 Definition und Bezeichnungen .. 50.2 Rechenoperationen mit Matrizen.

388 388 390

XII Inhaltsverzeichnis

50.3 Sonderfalle und Anwendungen der Multiplikationsregel . 50.4 Inversion der Matrizen. . . . . . . . 50.5 Symmetrische Matrizen. . . . . . . . 50.6 Differentiation von Matrizenfunktionen.

392 394 397 401

§ 51. Ausgleichen vermittelnder Beobachtungen . 402 51.1 Die Fehlergleichungen . . . . 402 51.2 Die Normalgleichungen. . . . . . . 403 51.3 Berechnung der Unbekannten. . . . 403 51.4 EinfluBzahlen und Gewichtskoeffizienten (Kofaktoren) 404 51.5 Gewicht einer Funktion der Unbekannten. . 405 51.6 Gewicht einer Funktion von Funktionen . . 405 51.7 Verprobung durch die Fehlerquadratsumme . 406 51.8 Der mittlere Fehler der Gewichtseinheit. 406

§ 52. Ausgleichen bedingter Beobachtungen. 406 52.1 Die Bedingungsgleichungen. . . . 406 52.2 Die Normalgleichungen. . . . . . 407 52.3 Die gewogene Fehlerquadratsumme 407 52.4 Gewichte der ausgeglichenen Beobachtungen und ihrer Funktionen 408

§ 53. Einige Sonderaufgaben . . . . . . . . . 408 53.1 Das Boltzsche Entwicklungsverfahren. . 408 53.2 Das Boltzsche Substitutionsverfahren. . 410 53.3 Ausgleichen korrelierter Beobachtungen. 412

Schrifttum (Auswahl) . . . 415

Namen- und Sachverzeichnis 417

VerzeichDis der Beispiele uDd AufgabeD

I. Grundziige der Fehlerlehre

Zu § 1. Mittlerer, durchschnittlicher und wahrscheinlicher Fehler 12 Zu § 2. 1. Stereophotogrammetrische Grundaufgabe . . . . . 18

2. ZahlenmaBige Uberpriifung des Fehlerfortpflanzungsgesetzes 19 3. Streckenmessung mit Distanzmesser, Mel3latten und Basislatten 20 4. Nivellement und trigonometrische Hohenmessung 21 5. Mittlerer Fehler einer Differenz. . . . . 21 6. Nichtlineare Funktion einer Beobachtung. 22 7. Mittlerer Fehler einer Dreiecksseite . . . 22

Zu § 3. Me13genauigkeit eines Koinzidenztheodolits . 27

Zu § 4. 1. Schematische Gewichtsbestimmung . . . 36 2. Gewicht einer Differenz von Beobachtungen 36 3. Gewichtsfortpflanzung bei der Lattenmessung . 36 4. Vergleich von Richtungs-, Satz- und Repetitionswinkelmessung 37

Zu § 5. 1. Mittlerer Fehler einer Polygonwinkelmessung. . . . . . . 40 2. Mittlere Kilometerfehler beim Feinnivellement . . . . . . 41

Zu § 6. 1. Bestimmen der Indexabweichung und des mittleren Fehlers bei Beob­achtungen mit einem Gefallmesser. . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2. Zusammenwirken zufalliger und systematischer Fehler bei der Strecken-messung mit einem Stahl band . . . 46

Zu § 7. Fehlergesetz und Beobachtungsreihen . . . . . . . . . 60

II. Ausgleichung von direkten Beobachtungen Zu § 10. Aufgabe 1. Mehrfache Bestimmung eines Winkels . . Zu § 11. Aufgabe 2. Mehrfache Bestimmung einer Hohenmarke Zu § 12. Aufgabe 3. Winkelmessung mit Horizontschlu13 (I) .

Aufgabe 4. Ausgleichung einer Nivellementsschleife. .

III. Ausgleichung von vermittelnden Beobachtungen

78 80 81 82

Zu § 13. Aufgabe 5. Winkelmessung mit Horizontschlu13 (II) . 85 Zu § 14. Aufgabe 6. Ma13stabsvergleich (I) . . . . . . . 90

Aufgabe 7. Punktbestimmung durch Bogenschnitt . 91 Zu § 19. Aufgabe 7. Fortsetzung. . . . . . . . . . . . . 122 Zu § 20. Aufgabe 8. Mittlere Fehler der ausgeglichenen Strecken bei der Punkt-

bestimmung durch Bogenschnitt. . . . . . . . . . 128 Zu § 23. Aufgabe 9. Ausgleichung eines geometrischen Nivellements (I) . . 141

Aufgabe 10. Ausgleichung trigonometrischer Hohenmessungen (I) . 142 Zu § 24. Aufgabe 11. Ma13stabsvergleich (II) . . . . . . . . . 147 Zu § 25. Aufgabe 12. Berechnung vollstandiger Richtungssatze . 148

Aufgabe 13. Vereinigung unvollstandiger Richtungssatze 153 Aufgabe 14. Winkelmessung in allen Kombinationen (I) 155

XIV Verzeichnis der Beispiele und Aufgaben

Zu § 26. Aufgabe 15. Berechnung der Richtungskoeffizienten . 158 161 163 168 173 177 185

Aufgabe 16. Riickwartseinschneiden mit Richtungen. Aufgabe 17. Vorwartseinschneiden mit Richtungen . Aufgabe 18. Vereinigtes Vorwarts- und Riickwartseinschneiden Aufgabe 19. Doppelpunkteinschaltung ........ . Aufgabe 20. Die Fehlerellipse und der mittJere Punktfehler

Zu § 27. Aufgabe 21. Ausgleichung eines Tellurometernetzes . . .

IV. Ausgleichung von bedingten Beobachtungen

Zu § 29. Aufgabe 22. Winkelbeobachtung mit Horizontschlu13 (III) 193 Zu § 32. Aufgabe 23. Winkelausgleichung im Dreieck . . . . . . 201 Zu § 36. Aufgabe 24. Winkelmessung in allen Kombinationen (II) . 213

Aufgabe 25. Ausgleichung eines geometrischen Nivellements (II). 214 Aufgabe 26. Ausgleichung trigonometrischer H6henmessungen (II) 215

Zu § 37. Aufgabe 27. Ausgleichung eines Diagonalenvierecks mit beobachteten Winkeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

Aufgabe 28. Ausgleichung eines spharischen Zentralsystems mit Richtungs-beobachtungen .................... 231

Aufgabe 29. Ausgleichung einer nach Richtungen beobachteten Kette mit beiderseitigem Zwangsanschlu13 . . . . . . . . . . . . . 234

Zu § 38. Aufgabe 30. Strenge Ausgleichung eines Polygonzuges . . . . . . . . . 245 Zu § 39. Aufgabe 31. Korrelatenentwicklungen nach dem Entwicklungs- und dem

Substitutionsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

V. Ausgleichung von korrelierten Beobachtungen

Zu § 40. Aufgabe 32. Winkelmessung nach der Schweizer Sektorenmethode . 265 Zu § 41. Aufgabe 33. Die Bestimmung der inneren Orientierung einer Me13kammer. 273 Zu § 42. Aufgabe 34. Strenge Ausgleichung eines nach unvollstandigen Richtungs-

satzen beobachteten Riickwartseinschnittes . . . . . . . . 284 Zu § 43. Aufgabe 35. Ausgleichen eines nach Richtungen beobachteten Dreiecks­

netzes nach den aus den Differenzen der Richtungen gebildeten Winkeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

Aufgabe 36. Ausgleichen trigonometrischer H6henmessungen (III). . . . 293

VI. Sonderaufgaben und mathematische Statistik

Zu § 44. Aufgabe 37. SchriHweise Ausgleichung unvollstandiger Richtungssatze. 301 Aufgabe 38. Stufenweise Ausgleichung eines Nivellementsnetzes. . .. 302 Aufgabe 39. Ausgleichung trigonometrischer H6henmessungen durch wie­

derholte Mittelbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 Zu § 45. Aufgabe 40. Helmert-Transformation eines ebenen Festpunktnetzes ... 316

Aufgabe 41. Helmert-Transformation eines photogrammetrischen Modells 317 Zu § 46. Aufgabe 42. Bestimmen der Standkorrektion und des Temperaturkoeffi­

zienten eines Federbarometers. . . . . . . . . . . . . . 321 Aufgabe 43. Bestimmen von Stand und Gang einer Pendeluhr. . . . . . 324 Aufgabe 44. Heuvelinks Verfahren zur Bestimmung der regelma13igen Tei­

lungsverbesserungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328 Zu § 48. Aufgabe 45. Berechnen von Vertrauensgrenzen flir die Achsen der Fehler­

ellipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365

Verzeichnis der Beispiele und Aufgaben xv

Zu § 49.2. Zahlenbeispiel: Bewegung einer Mel3marke bei bekanntem (J • • • • • 371 Zu § 49.3. Zahlenbeispiel: Bewegung einer Mel3marke bei unbekanntem (J • • • • 373 Zu § 49.4. Zahlenbeispiel: Genauigkeit der Winkelmessungen bei Beobachtungen

auf Normal- und auf Hochstativen ................. 374 Zu § 49.5. Zahlenbeispiel: Untersuchung von 523 Dreieckswiderspriichen auf Nor­

malverteiJung mittels des x2-Anpassungstests. . . . . . . . . . . . 376 Zu § 49.6. Zahlenbeispie1: Untersuchung der Messungen von 4 Beobachtern an

einem Registriertachymeter mittels der Varianzanalyse . . . . . . . . 381 Zu § 49.7. Zahlenbeispiel: Vertrauensbereich des Korrelationskoeffizienten bei tri­

gonometrischen H6henmessungen. . . . . . . . . . . . . . . . . 385