22 Literaturberiehte.

Yektoranalysis. V o n S. V a l e n t i n e r . S a m m l u n g GiSschen, B a n d 354. IIL u m g e a r b e i t e t e A u f l a g e . Ber l in u n d L e i p z i g 1923. 13 F i g u r e n . 132 Se i t en .

Dieses Bfiehlein, das dam Refcrertten schon in gainer Studienzait bet der Er- lernung der Vektorschreibweise gute Dienste geleistet hat, ist nunmehr in dritter Auflage erschienen. Die Umarbeitung besteht im wesentlichen in der Neueinf/igung v o n w 41 iiber Weltvektoren und -tensoren, der sich aber leider nur auf lmappe Andeutungen im Umfang yon drei Seiten besehrgnkt. Es wgre wohl besser gewesen, lieber den ganzen dritten Tail des Btichleins fiber lineare Vektorfunktioner~ und Dyaden zu streichen und statt dessea eine Einfiihrung in die jetzt allgemein ge- briiuehliche Schreibweise der Tensorrechnung zu bringen, wit sie in den modernen Lehrbiichern (Weyl, Kopff usw.) und auch in dam Artikel yon W . Pauli tiber Relativitiitstheerie in der Enzyklopiidie der mathamatischen Wissenschaften ver- wendet wird. H. Tlairri~.

Nultilinear Functions of Direction. B y E. H. N e v i l l e ; C a m - b r i d g e at t he u n v e r s i t y p r e s s 1921. 78 Se i t en . P r e i s 8 sh. 6 ~ p.

Unter Multilinearfunktionen yon Richtungen versteht der Verfasser homogena multilineare Formen yon Variablenreihem Die y o n ihm entwiekelte Theorie derselben ist eirt Ausschnitt aus dam Tensorkalki.il in eigener Symbolik. Es ist evident, daft sich dies~r Kalktil aaeh auf Differentialformen und somit zur Darstellung der Flitchentheorie anwenden l~itit. Hierauf legt.der Verfasser besonderen Wert: er f/_ihrt zum Be!spiel fiir die BiIinearform, die mart aus der zWeiten Gautlisehen Fundamental- form gewinnt~ einml eigenen Nameii eirt (,~biliuear curvature"): un'd hebt ila dar Einleitung hervor, dab er sie im Jahre 1911 gefuuderthat. Die Entwicklung der gew6hnlichen dreidimensionalen Differentialgeometrie nimmt den grSt3ten Teil des Btiehleins ein. K. Reidee~zei}te~'.

Grundziige der m ehrdimensionalen Differentialgeometrie. V o n D. J. S t r u i k . Ber l in , S p r i n g e r 1922. VII u n d 198 Se i t en . P r e i s

12 M. G . Z . Das Buch sell sysrelnatiseh den atlgemeinen Formalismus der mebr-

dimensionalen Differentialgeometrie entwickeln, deren Ausbildung nicht zuletzt dam Verfasser zu danken ist. Es ist mit grofler Sorgfalt redigiert - - man beaehte etwa nur. wit viel Arbeit auf die Literaturnaehweise angewendet worden ist - - abet ich fiirchte, die Verbreitung des Werkes wird in keinem Verhiiltnis zu semem Ge- halte stehen,

Nicht nur, dal3 es an Vorkenntnissen zum Beispiel die Begriffe des Erlanger Programms urld der Invariantentheorie voraussetzt. Struik bedient sich einer Vektorstenographie~ die sehr. kurz zu schreiben, um so lgnger zu leman ist; es gibt nic'ht weniger als sachs verschiedene Mulfiplikatiouem

Der Inhalt des Buehes ist der folgende: Nach emer ausffihrlichen historischan Einleitung wird im erstert Kapitel die Affinoralgebra behandelt, im zweiten Kapitel die Affirtoranalysis, das invariante Differentiiereu und der RiemamTsche Kriimmungstensor.

Das dritte und vierte Kapitel sind dar Differentialgeometrie im engeren Sinne gewidmet, "und zwar das dritte denjenigen Eigenschaften. die sich ohne Riemann- schen Kr/_immungstensor formulieren lassen. Man finder bier die verallgemeinerten Frenet'schert Formeln ftir Kin'yen. Die Theorie dar (n 1)-dimensionalen Hyperfl~iehen Vn-1 im n-dimensiortalen gekr[immtan Raume V~ b e ~ n n t mit dam ,,zweiten Fundamentaltensor", dam Analogon der zweiten Gaugischen Fundamentalform; iihnlich wit dieser hiingt er mit den Asymptotenlinien und Hauptkriimmungen zu- sammen. Entspreehende [lberlegungen ftir V~, in V~ (~#~ < ~r fiihren zu einem Ir drifter Stufe; mit ihm 1assert sich die Bedingungen fiir geod'iiti'sche und Minimalmannigfaltigkeiten hinschreiben und die Begriffe ,,Asymptoten- liniert" und ,,HauptkrtimmungerP' tibertragen. Zum Schlusse werden die 17~ und Va behandelt.

Literaturberichte. 23

Im vierten Kapitel finder man den verallgemeincrten GauNschen Satz tiber den Zusammenhaag der Riemannsdhen Kri_immungstensoren einer V1~_ 1 in V~ und einer Vn, die verallgemeinerten Codazztschen Formeln, nach einigen Amvendungen die Identitiit yon Bianchi und Padova, den Sehurschen Satz und die Gleichung yon Killing. Damit wird die Theorie der V~ mit starren Bewegungen begriSndet.

Den Schlut3 bildet ein ausKihrliehes Literaturverzeiehnis und ein vergleichendes Arerzeichnis der vom Veriasser und einigen anderen Autoren verwendeten Symbolik.

K. Reidemeister.

C o r s o d i m a t e m a t i e a f i n a n z i a r i a . V o n F. I n s o 1 e r a . 28~/2 D r u c k - b o g e n , i m V e r l a g e y o n S. L a t t e s u n d C o m p . T u r i n , G e n u a 1923 .

Die vorliegende ,,politische Arithmetik, enth~ilt in drei Abteilungen zu je 4 Kapitel die Theorie tier Absterbeordnung (in offenen, geschlossenen und be- sonderen Gesellsehaften) samt Tafelausgleichung, die allgemeinen Finanzprobleme ftir gewbhnliehe Schuldversehreibungen und Lebensversieherungspolizzen (die Fundamentalprobleme, Theorie der Renten, Amortisation und periodische Priimien, mathematlsche Reserve und die technische Bilanz, das Problem vom Risiko), endlieh Spezialprobleme der politischen Arithmetik (BSrseoperationen, die Anleihen auf Obligationen, Versicherungsformen der Privatversieherung, die Sozialversicherung).

Der Hauptwert des Buehes liegt in der Darstellung, mit der unter schgner iiu6erer Ausstattung and mit Hilfe von zahlreichen Figuren und Zifferntafeln der ziemlich spr6de Stoft" in einer fiir Volkswirte, Mathematiker und Versieherungs- techniker entsprechenden Form erl~iutert wird. Die Grundlagen der Zinseszins- und Leibrentenrechnung werden axiom~.tiseh fundiert, den Aufgaben der Interpolation, den Grenz-' und Genauigkeitsproblemen ist ein breiter Raum zugewiesen; aller Fleil] ist' den Analogien zwischen Lebensversicherung und den allgemeinen Finanzproblemer~, der Theorie der Renten verbundener Leben und dem mathematischen Risiko ge- widmet. Besonderes Interesse verdient die yore Verfasser gefundene Darstellung der Absterbeordnung Invalider nach Alter und Zeit des Eintrittes der Invaliditiit in Gompertz-Maket.mmseher Funktion und die Theorie yore usus fructus und der nuda proprietas.

Vollstiindigkeit der Darstellung ist nicht beabsiehtigt: es sqlIen nur Grund- lagen als Voraussetzung. fi.ir das weitere Eindringen ~.n den Gegenstand erSrtert werden. Die Auswahl ist gli.ieklieh, das Bueh in allen Teilen interessant. Der erste Eindruck, daft die einzelnen Partien der politischen Arithmetik nicht gleiehmiiNg behandelt sind, finder in der Nationalitiit des Verfassers die masreichende Er- kliirting. An der Wiege des europ~iischen Bankwesens mug eine besonders tiefe Behandlung der Zinseszinsprobleme erwartet werden. In der Tat werden die Kapital}- sationsfaktoren durch Spezialannahmen iiber den algebraischen, logarithmisehen und trignometrischen Diskont Vervollst~digt; die Sehulden auf Obligationen unter- !iegen biometrischen Funktionen.

Einer pers6nliehen Note" des Verfassers di.irffe die breite Behandlung dei" Theoreme der Lebensversicherung zuzusehreiben sein, naehdem ja der Privatbetfieb dutch das italienisehe Monopol bis vor nicht langer Zeit gedrosselt win'de. Das Werk geht auf die Z i l l m e r e i , die Begriffe der zureichenden Priimie und des Deckungs- kapitals, also auf Probleme ein, die erst in der Nachkriegszeit die Kliirung ge- fnnden haben.

Dkirttig erseheint nur die Sozialversicherung behandelt. Yon den Schgpfungen Kaans auf diesem Gebiete ist nnter Hinweis auf die Th6orie math6matique des assurances vor~ Richard lediglich die Grundgteichung fiir die versicherungsteclmischen Finanzsysteme ergrtert; dagegen fehlt die zum Gemeingut der Wissenschaff gewordene Bereehnung der Priimie. aus Versicherungsgesamtheiten, die dureh den Bev51kerungs- vermehrungsfaktor und denAugenbliekszustand (nebst Mortalitiits- und Invalidit~its- xferl~.~iltnissen) definiert sind. Vlelleicht wurde der Verfasser hiebei durch eine g~wisse Okonomie best immt; er h~tte sodann such auf die deutsche L6sung des Arbeiterversicherungsproblems, die allerdings ffir alle Zeiten eihen Eckstein der Behandlung soleher Probleme biIden wird, eingehen miissen und es wiire ihm wohl kaum erspart geblieben, sich aueh mit der Pensionaversieherung der Privatangestellten in Deutschland und Osterreich'auseinanderzusetzen. AE. Blcischke.