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Gymnasium Helveticum Nr. 1/02 Mathematik Mathématiques

Gymnasium Helveticum - VSG-SSPES · Superware vom Feinsten Diese interaktive Mediensammlung bietet Ihnen alles, was Sie zum Vorbereiten und Durchführen anschaulicher Unterrichtsstunden

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GymnasiumHelveticum

Nr. 1/02

Mathematik

Mathématiques

Die Klett Softwarefür Mathematik und Naturwissenschaften.

Sparen Sie sich langes Suchen: Wir bieten Ihnen die Me-dien und Materialien, die Sie für Ihre Arbeit brauchen –alle auf CD-ROM. Manche nennen es editierbareMultimediafolienfilmarbeitsblättersammlung – wir nennen es Superware!

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Mediothek Mathematik 1 – Geometrie IEinzellizenz: CD-ROM mit Handbuch3-12-155030-6 Fr. 96.–

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Superware!Entdecker?

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Nr. 1/02

InhaltsverzeichnisSommaire

InformationenTour d’horizon Nachrichten des VSG/Nouvelles de la SSPES 43

SVIA – SSIE – SSII

Bildungsserver und ICT-Kompetenz, Materialien und Informationen von gesicherter Qualität,

Vernetzung der ICT-Kompetenzen 54

wbz – Weiterbildungszentrale Luzern

Kurse Januar–Juli 2002 mit freien Plätzen! Cours de janvier à juillet 2002 avec des places libres! 55

Bildungspolitische Kurzinformationen / Politique de l’éducation 58

Impressum 62

GymnasiumHelveticum

Titelbild: Wie in vielen Pflanzen, so sind auch in der Sonnenblume die Samen in Spiralen ange-ordnet, deren Anzahl durch benachbarte Zahlen der Fibonacci-Folge gegeben sind. ImBild zählen wir deren 55, die nach rechts drehen und 34 linksdrehende. – Finden Siediese? Foto: Stefanie Hasler

Verena E. Müller

Zu diesem Heft – Éditorial 4

Albert A.Gächter

Grosse Zahlen 6

Nicolas Martignoni

Cryptographie: un aperçu historique 10

Urs Kirchgraber

Ideen? Ideen! 15

Armin P. Barth

«Beweisen, Kurtchen, beweisen!» 19

Georg Schierscher-Marxer

Geographischer Mittelpunkt von Liechtenstein 23

Peter Gallin

Vom Sinn des Mathematikunterrichts 28

Aldo Dalla Piazza

Rupture dans l’enseignement des mathématiques: l’avènement du socio-constructivisme? 33

Kristine Barro-Bergflödt

Mathematik in der Musik – Thema mit Variationen 38

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Zu diesem HeftÉditorial

Der Verein der Schweizer Mathema-tik- und Physikleherinnen und

-lehrer (VSMP) feiert demnächst seinenhundertsten Geburtstag. Mit der vorliegen-den Nummer macht der Jubilar sich undallen Kolleginnen und Kollegen aus anderenFakultäten ein Geschenk. Die Artikel richtensich ganz bewusst auch an Nicht-Mathema-tiker/innen und verstehen sich als Brücken-schlag, der das interdisziplinäre Gespräch imLehrerzimmer anregen soll.

Viele Kolleginnen und Kollegen – diemeisten besuchten einst ein Gymnasium –haben keine unbeschwerten Erinnerungen anden Mathematikunterricht, zu sehr empfan-den sie Mathematik als Selektionsfach. Gera-de sie mag es ganz besonders erstaunen, wiezahlreiche Leute vom Fach auf meine Fragereagierten: «Warum soll man sich für Mathe-matik interessieren?» Stets lautete die Ant-

La Société suisse des professeurs demathématiques et de physique fêtera

prochainement son 100e anniversaire. Avecce numéro, la centenaire offre à tous ses collègues un magnifique cadeau; les articless’adressent consciemment aux non-mathé-maticiens également et cet effort devrait enrichir les échanges interdisciplinaires dansles salles de professeurs.

Les mathématiques font trop souventfigure de branche de sélection, et plusieurs denos collègues n’ont pas gardé un bon souv-enir de l’enseignement suivi lorsque, pour la plupart, ils étaient au gymnase. Ils ne manqueront certainement pas de s’étonner en lisant que, à la question «Pourquoi doncs’intéresser aux mathématiques?», les spécia-listes répondent en chœur: «C’est si beau!».Indépendamment de l’article figurant dansce numéro, un collègue a notamment mis en

Schweizerische Société SuisseGesellschaft für pour l’approche et laGesprächspsychotherapie psychothérapie centréesund personzentrierte sur la personneBeratung SGGT SPCP

Praxisbegleitende Fortbildung inpersonzentrierter Beratung

Zweijährige, praxisbegleitende Fortbildung nach dem Konzept von Carl Rogers. Für Personen aus sozialen, medizinischen,pädagogischen, seelsorgerlichen und anderen beratenden Berufen.

Beginn neuer Kurse:Zweijährige, praxisbegleitende Fortbildung:

in Zürich Niveau II Beginn April 2002in Zürich Niveau II Beginn Februar 2002in Zürich Niveau I Beginn September 2002in Zürich Niveau II Beginn Oktober 2002in Muri AG Niveau I Beginn März 2002in Muri AG Niveau II Beginn Mai 2002in Luzern/Zug Niveau I Beginn Januar 2002in Luzern Niveau I Beginn Juni 2002in Basel (Bottmingen) Niveau I Beginn Oktober 2002in Basel (Bottmingen) Niveau II Beginn Januar 2003

Detaillierte Informationen im SGGT-Kursprogramm 2002Bestellung und Information beim SGGT-Sekretariat, Josefstrasse 79, 8005 ZürichTel. 01 271 71 70 Fax 01 272 72 71E-mail: [email protected] Webseite: www.sggt-spcp.ch

Gerne helfen wir Ihnen beim Planen und bei der DurchführungIhrer nächsten Schulverlegung.

Für Lehrer haben wir ein spezielles Dossier zusammengestellt,das die verschiedenen Ausflugsziele und Sehenswürdigkeitenin unserer Umgebung vorstellt: Naturschutzgebiete, Kletter-felsen, Schlösser, Ruinen, Museen, Zoos, Firmenbesichtigungen,Velo- und Wanderrouten, Besichtigung der Stadt St.Gallen usw.

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Unsere Autorinnen und Autoren/Nos auteurs:

Albert Gächter, Gymnasium Friedberg, Gossau SGNicolas Martignoni, Collège Sainte-Croix, FribourgUrs Kirchgraber, ETH ZürichArmin P. Barth, Kantonsschule BadenGeorg Schierscher-Marxer, Liechtensteinisches Gymnasium VaduzPeter Gallin, Kantonsschule Zürich Oberland, Wetzikon und Universität ZürichAldo Dalla Piazza, Universität BernKristine Barro-Bergflödt, Männedorf

exergue la fascination des structures et lesrelations entre la musique et les mathéma-tiques.

Mathématicien(ne), une profession? Uneprofesseure d’Université justifie son choix enexpliquant que la lecture de littérature secon-daire ne l’intéresse guère, qu’elle préfère deloin poser un problème, y réfléchir et cher-cher une réponse. Doit-on en déduire quenous avons été trop paresseux par le passé?Ce «gâteau d’anniversaire» nous offre à tous,chers collègues, l’occasion de plonger dans lemonde des mathématiques, libérés de toutepression: pas d’examen, pas de notes! Quantaux mathématiciens chevronnés, ils trou-veront à coup sûr leur compte dans la richepalette des problèmes présentés ici.

La Rédaction du Gymnasium Helveti-cum souhaite à la SSPMP un joyeux anniversaire et vous souhaite à tous, chèreslectrices et chers lecteurs, chères et cherscollègues, une bonne et heureuse année nou-velle.

Verena E. Müller

Nous remercions chaleureusement laProf. Ursula Eisler, présidente de la commis-sion des mathématiciens suisses alémaniquesainsi qu’à l’équipe de rédaction. Sans leurengagement au cours des derniers mois, cenuméro n’aurait jamais vu le jour.

wort: «Weil sie so schön ist.» Ein Kollegeverwies – unabhängig vom Artikel in diesemHeft – auf die faszinierenden Strukturen, aufdie Zusammenhänge zwischen Mathematikund Musik.

Mathematik als Beruf? Eine Hochschul-professorin begründete ihren Entscheiddamit, dass sie nur ungern Sekundärliteraturlese, sich lieber ein Problem stelle, darübernachdenke und nach einer Lösung suche.Müssen wir daraus schliessen, dass wir in derMittelschule bloss etwas denkfaul waren?Dank der «mathematischen Geburtstagstor-te» haben Sie liebe Kollegin, lieber KollegeGelegenheit, unbelastet von früherem No-tendruck in die mathematische Welt einzu-tauchen. Und wer mit Mathematik vertrautist, wird sich über die bunte Palette der dargestellten Probleme freuen.

Dem VSPM gratuliert das «GymnasiumHelveticum» zum frohen Anlass und Ihnen,liebe Kollegin, lieber Kollege wünschen wirein unbeschwertes Jahr 2002.

Verena E. Müller

Ein ganz herzliches Dankeschön geht anProf. Ursula Eisler, Präsidentin der Deutsch-schweizerischen Mathematikkommissionund an das Redaktionsteam. Ohne ihremonatelange Vorarbeit wäre das Heft niezustande gekommen.

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Anna verstand alles. Sie fand den Aufbau einesAtoms so einfach, wie ein Kanarienvogel es ein-fach findet, seine Körner aufzupicken. Sie begriffdie Grösse des Universums, und die Unzahl derSterne entlockten ihr nicht mal einen schnellerenWimpernschlag. Eddingtons Berechnung, wieviele Elektronen es wohl im Weltall gebe, schienihr beachtlich, aber doch durchaus überschaubar.Es war nicht einmal schwer, sich eine noch grös-sere Zahl als diese auszudenken. Anna verstandohne Schwierigkeit, dass Zahlen unendlich wei-tergehen und dass es keine Grenze gab. Bald ent-stand allerdings ein Mangel an Wörtern, umdiese immer grösseren Zahlen einigermassen zubezeichnen. Das Wort «Million» reichte für diemeisten normalen Dinge. Eine Billion war schonseltener. Wünschte man aber an eine Zahl zudenken, die noch viel viel grösser als Billionenund Trillionen war, so musste man ein Worterfinden. Anna erfand die «Squillion». Es warein sonderbar elastisches Wort. Man konnte esbeliebig drehen wie ein neues Gummiband. UndAnna brauchte ein solches Wort dringend.

Dieses schöne Zitat stammt aus demBuch «Hallo, Mister Gott, hier sprichtAnna» von einem irischen Mathematiker mitdem Pseudonym Fynn. Im Gegensatz zuAnna haben viele Menschen keineswegs einso unverkrampftes Verhältnis zu grossenZahlen.

Zweck der Zahlen ist es, einige wichtigeAspekte unserer riesigen Welt mit wenigenSymbolen zusammenzufassen. Zahlen ge-hören zum Alltag der Menschen. Staats-ausgaben gehen in die Milliarden. In derComputerbranche sind die Kilobytes längstvon den Giga- und Terabytes abgelöst wor-den. Der Vorstoss ins Universum und in densubatomaren Bereich beschert uns oft unfass-bare Zahlenmonster und -winzlinge. Dabeistellen wir fest, dass unsere Vorstellungskraft

meistens nicht ausreicht. Bereits die Bezeich-nungen Billiarde, Trillion, Quintillion usw.tönen ja wie die Namen ausgestorbenerDinosaurier. Die Verwendung von Taschen-rechnern und Computern macht heute viele unkritisch gegenüber den Resultaten.Schätzen von Grössenordnungen wird nichtmehr trainiert. Das sorglose Hantieren mitgrossen Zahlen in den Medien ist zum Teilerschreckend.Unsere kurze Reise ins Zahlenland geht fol-genden Fragen nach:• Zahlwörter und Zahlzeichen haben eine

lange Geschichte. Weshalb waren sie frü-her nicht so selbstverständlich wie heute?

• Wie rechnet man schnell mit grossenZahlen?

• Womit werden grosse Zahlen erzeugt?• Wie kann man grosse Zahlen veranschau-

lichen?• Gibt es Anwendungen für riesige Zahlen?

■ Die Sandzahl des Archimedes

In seiner Schrift «Die Sandzahl» unternimmtArchimedes den Versuch, neue Zahlworteund Zahlen zu schaffen, welche die alltägli-chen Vorstellungen der Griechen bei weitemübertrafen. Was eine Myriade, d. h. 10 000überstieg, konnte damals nicht mehr ver-nünftig benannt und geschrieben werden. Soschuf Archimedes ein neues eigentümlichesZahlensystem, welches die Zahlworte, nichtaber die Zahlzeichen für grosse Zahlen lie-ferte. Er schrieb:Etliche glauben, König Gelon, dass die Zahl derSandkörner unendlich sei. Ich spreche dabei nichtallein vom Sand um Syrakus und im übrigenSizilien, sondern auch von dem Sande derganzen bewohnten und unbewohnten Erde.Andere gibt es, die zwar nicht der Ansicht sind,

Grosse Zahlen

Der Autor nimmt uns auf eine Reise durchs Zahlenland mit, wobei er seine Ausführungen

durch bekannte und weniger bekannte historische Ereignisse anreichert.

L'auteur nous emmène en voyage au pays des nombres, agrémentant notre périple par le

souvenir d'événements historiques.

Albert A.Gächter

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dass die Zahl der Sandkörner unendlich sei, dieaber meinen, dass es keine so grosse Zahl gebe, diedie Zahl der Sandkörner übertreffe. Es ist klar,dass die Vertreter dieser Ansicht, wenn sie sicheine Kugel aus Sand vorstellten, so gross wie dieErdkugel, nachdem in dieser die Meere und alleVertiefungen bis zur Gipfelhöhe der höchstenBerge aufgefüllt wären, um so mehr der Ansichtwären, dass keine Zahl namhaft gemacht werdenkönne, die grösser wäre als die Zahl der Sand-körner dieser Kugel.

Mit kunstvollen Abschätzungen kamArchimedes zum Schluss, dass in der vomAstronomen Aristarch berechneten Fix-sternsphäre mit der heute üblichen Schreib-weise 1063 Sandkörner Platz finden. AlsZugabe konstruierte er noch die Zahl 10hoch 80 Billiarden. Wahrlich gigantisch! DenSchluss der Abhandlung bilden die zwei folgenden Sätze:

Ich glaube, König Gelon, dass dies der Men-ge der nicht mathematisch gebildeten Menschenunglaublich erscheinen wird, den mathematischgebildeten Menschen, die über die Abstände unddie Grössenverhältnisse der Erde, der Sonne, desMondes und des ganzen Weltalls nachgedachthaben, aber keineswegs. Deshalb glaubte ich, dasses auch dir wünschenswert sein würde, dies zuerkennen.

■ Ein Wanderprediger hilft weiter

19. Oktober 1533. Pfarrer Michael Stifel hatte auf 8 Uhr den Weltuntergang pro-phezeit. Der Tag war schon angebrochen,aber nichts geschah. Um 9 Uhr nahmen diekurfürstlichen Reiter aus Wittenberg denenttäuschten Stifel vor der wütigen Men-schenmenge in Schutzhaft. Dank der Für-sprache seines Freundes Luther musste Stifelnicht sterben, sondern durfte in Holzdorfweiter als Pfarrer wirken. 1544 erschien sei-ne Arithmetica integra, ein Algebrawerk mit

vielen neuen Gedanken. Im 3. Buch zeigt erfast beiläufig eine unscheinbare Tabelle. Dieobere Zeile enthält eine gleichabständige(arithmetische) Folge, die untere eine gleich-verhältige (geometrische) Folge. Dabei ent-sprechen sich die 0 und die 1. Oben schreitetman vorwärts durch die Addition von 1,unten durch Multiplikation mit 2.

Stifel schreibt, dass Multiplikationen undDivisionen in der geometrischen Folge durchAdditionen und Subtraktionen in der arith-metischen Folge geleistet werden können.

Um z. B. 2 mal 16 auszuführen, addiert mandie darüber stehenden Zahlen 1 und 4. Unterder 5 steht dann das Resultat 32. Möchteman 32 durch 4 teilen, so subtrahiert man dieoben stehenden Zahlen 5 und 2. Unter der 3findet sich das Ergebnis 8. Sind die Gliederder geometrischen Folge als Potenzen ge-schrieben, so zeigt sich die ganze Tragweiteder Überlegungen von Stifel. Potenzen mitgleicher Basis können multipliziert, dividiertoder potenziert werden, indem man mit denExponenten eine Stufe tiefer rechnet!

Damit gab Michael Stifel die eigentlicheInitialzündung für eine Idee, welche dasRechnen in Zukunft revolutionieren sollte:die Logarithmen.

■ Achtung Vertauschung!

Es gibt genau 24 Möglichkeiten, die Buch-staben des Wortes AMOR zu vertauschen.Auf dem ersten Platz können 4 Buchstabenstehen. Ist dieser gewählt, bleiben für den 2. Platz nur noch 3 Buchstaben übrig. Fürden 3. Platz dann 2 und zuletzt ein einzigerBuchstabe. Wir erhalten demnach 4*3*2*1 =24 Möglichkeiten (Permutationen, Vertau-schungen). Christian Kramp hat im Jahre1808 dafür ein neues Symbol geschaffen undes «Fakultät» getauft.4! = 1*2*3*4 (lies: 4 Fakultät). Diese Produk-te mit fortlaufenden Faktoren nehmen wert-mässig schnell zu.

Albert Gächter ist seit über 30 Jahren Lehrer

am Gymnasium Friedberg in Gossau. Er unter-

richtet die Fächer Mathematik und Informatik.

Daneben engagiert er sich in der Lehrerfortbil-

dung im In- und Ausland.

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20! ist bereits 2 432 902 008 176 640 000.Wir kennen die genaue Sitzordnung der Jün-ger beim letzten Abendmahl nicht. «Er setz-te sich zu Tische mit den Zwölfen» heisst esbei Matthäus 26, 20. Wieviele verschiedeneAnordnungen waren möglich, wenn wir an-nehmen, dass Jesus seinen festen Platz innehatte? Es gibt 12! = 479 001 600 Vertauschungenvon 12 Personen. Hätten die Jünger alle 5Minuten eine neue Sitzordnung eingenom-men, wären sie noch bis zum Jahre 4557damit beschäftigt!

Auch Folgen und Reihen stellen Genera-toren für grosse Zahlen dar. Nehmen wir an,dass jemand für uns am 1. Jan. des Jahres 1einen Räppler zu 5% Zins angelegt hat. Überwelches Kapital können wir nach 2000 Jah-ren verfügen? a) Bei einfacher Verzinsung erhalten wir den

ursprünglichen Räppler plus 2000 mal den Zins im Wert von 0.05 Rp pro Jahr.Dies ergibt den stolzen Betrag von ca.1 Franken!

b) Mit Zinseszins erwarten wir natürlichetwas mehr. Nach jedem Jahr wird das Kapital mit 1.05 multipliziert. 2000Jahre machen aus dem Räppler einenBetrag von 1.052000 Rappen. Dies sind2.39*1040 Fr.

Können wir uns solche Beträge noch vorstel-len?

■ Veranschaulichung

Mathematiker kennen verschiedene Mög-lichkeiten, um eine Vorstellung von grossenZahlen zu gewinnen. Sie schliessen diese innummerierte Käfige ein, erzeugen eine reprä-sentative Graphik oder vergleichen mit einervertrauten Situation. Im obigen Beispielkönnten wir uns bei einem heutigen Gold-preis von 15000 Fr. pro kg mit 2.39*1040 Fr.etwa 80 Milliarden Erdkugeln aus puremGold leisten.

Nach einem Bericht des Historikers Ja’qubi (um 880) hat Qaflan für die Tochterdes Königs Balhait das Schachspiel erfunden.Als Belohnung hatte er einen Wunsch frei.Qaflan erbat sich Weizenkörner und zwar so,dass auf das erste Feld des Schachbrettes einKorn, auf das zweite zwei Körner usw. gelegtwerden, d. h. auf jedes Feld doppelt soviele

wie auf das vorhergehende Feld. Auf demgesamten Schachbrett befinden sich danntotal

18 446 744 073 709 551 615Weizenkörner. Rechnet man 16 Körner aufeinen Kubikzentimeter und füllt Güterwagenà 100 m3 (grosszügig) und 15 m Länge, sodauert die Vorbeifahrt des Güterzuges mit100 km/h etwa 170 Jahre!

■ Von der Enigma bis zur Homöopathie

Die Frage muss kommen: Welchen Nutzenhaben grosse Zahlen? Wenn Zahlen zumZählen da sind, weshalb interessiert man sichfür Zahlen grösser als 10120? Stopft mannämlich das gesamte Weltall voll mit «Weiz-säckerschen Urs», den kleinsten physikalischmöglichen Teilchen, so benötigt man wenigerals 10120 Exemplare.

Mathematiker sind stets auf der Suchenach Mustern und Gesetzmässigkeiten.Obgleich einige Stellen für den Alltag genü-gen, kennt man von der Zahl π momentan68.7 Milliarden Stellen. π ist vermutlich dasälteste Forschungsobjekt der Mathematik.Die Ziffernfolge 0123456789 z. B. tritt nichtvor der 17 Milliardsten Stelle auf. Nebst sol-chen innermathematischen Interessen gibt eshandfeste Anwendungen, welche mit grossenZahlen arbeiten.

Zur Speicherung riesiger Datenmengendienen heute Festplatten mit einer Kapazitätvon bis zu 180 Gigabytes (etwa 180 Milliar-den Zeichen). In Schränken zusammenge-fasst, erreicht man damit problemlos einSpeichervolumen von mehreren Terabytes.Trotz der geringen Bauhöhe besteht eineFestplatte in der Regel aus mehreren Schei-ben, welche sich mit einer konstantenGeschwindigkeit von maximal 10 000 Um-drehungen pro Minute drehen. Dabei sausendie Ableseköpfe in einer Entfernung von nur0.0003 mm über die Scheiben (Vergleich: einMenschenhaar besitzt einen Durchmesservon etwa 0.1 mm).

Wer heute E-mails verschickt, Online-Banking betreibt, per Internet einkauft oderan der Tankstelle mit der Kreditkarte Treib-stoff bezieht, möchte sicher sein, dass nie-mand sich betrügerisch einmischt und Datenverfälscht oder stiehlt. Wie kann diese

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Sicherheit gewährleistet werden? Die Über-tragungskanäle des World Wide Web(WWW) sind «offen wie Scheunentore» und mit geringem Aufwand anzuzapfen.Eine gute Antwort heisst Verschlüsselung.Moderne kryptologische Verfahren arbeitenmit grossen Zahlen. 1978 legten die Mathe-matiker Rivest, Shamir und Adleman einVerfahren vor, das Primzahlen von der Grös-senordnung 10200 verwendet. Es existiertnoch kein Algorithmus, welcher innert nütz-licher Frist ein Produkt von zwei solchenPrimzahlen wieder in ihre Faktoren zerlegt.Bei einer neueren Methode kommen ellipti-sche Kurven zum Zuge. Man beginnt miteinem Punkt auf der Kurve. Dieser wird miteiner geheimen Zahl von der Grösse 1060multipliziert. Das Ergebnis ist ein neuer Kur-venpunkt. Aus der Kenntnis der Punkte ist esnicht möglich, diesen geheimen Multiplika-tor ausfindig zu machen.

Östlich von Kap Farvel (Grönland) mussdas deutsche U-Boot U 110 am 9. Mai 1941nach stundenlanger Jagd mit Wasserbombender Engländer auftauchen. Sofort wird esdurch die Korvette «Aubrietia» unterBeschuss genommen. Kommandant JuliusLemp und die Besatzung verlassen schwim-mend das torkelnde Boot, dessen Sprengungsie befehlsgemäss vorbereitet haben. Der Zer-störer «Bulldog» dreht bei, um die Deutschenaufzunehmen und das U-Boot zu entern. SeitMonaten suchen die Engländer eine Gele-genheit, die Codebücher, den Marine-Funk-schlüssel und das Chiffriergerät «Enigma»mit allem Zubehör zu entwenden. Als Lempmerkt, dass sein U-Boot vor der Explosiongeentert wird, versucht er zurück zu schwim-men. Er wird von den Briten erschossen.Nach vier Stunden gefahrvoller Arbeit ist dasgeheime Material in britischem Besitz. KeinDeutscher weiss etwas davon. Die Marinehätte sonst ihren Code radikal umgestellt.

Die Enigma (lat. aenigma: Rätsel) wurdevom deutschen Militär während des zweitenWeltkrieges verwendet, um seine Funk-sprüche zu verschlüsseln. Wie die einzelnenBuchstaben auf einem Rotor miteinanderverdrahtet waren, gehörte zu den ganz strenggehüteten Geheimnissen. Deshalb erhieltendie deutschen U-Boot-Kommandanten denBefehl, in kritischer Lage die Rotoren sofortzu zerstören oder zu versenken.

Anfänglich kamen drei feste Rotorenzum Einsatz. Dies ergab bereits 26*26*26 =17 576 verschiedene Verdrahtungen. Späterwurden sie auswechselbar gemacht, was dieMöglichkeiten auf das Sechsfache steigerte.Im Verlaufe des Krieges kamen weitere Wal-zen dazu. Mit der revolutionären Idee desSteckbrettes stieg die Zahl der Verschlüsse-lungsvarianten ins astronomische.

Die Deutschen waren bis 1974 (!) derMeinung, dass ihre Enigma mit weit übereiner Trillion Möglichkeiten der Verschlüsse-lung absolut unknackbar gewesen ist.

Sie irrten sich. Ab August 1939 wurde imGut Bletchley nördlich von London mitHochdruck an der Entschlüsselung vonEnigma-Funksprüchen gearbeitet. Dankgenialer Vorarbeit dreier polnischer Mathe-matiker wusste man bereits viel über die Wir-kungsweise und die Schwachstellen des Gerä-tes. Zur Schlüsselfigur im wahrsten Sinn desWortes im Bletchley-Park avancierte der jun-ge englische Mathematiker Alan Turing. Erkonstruierte die sog. bombes, technisch heikleApparate, welche in den Tausenden von täg-lich aufgefangenen Sprüchen nach bestimm-ten Mustern suchten. Seit 1940 konnten dieBriten Enigma-Funksprüche in immer grös-serem Masse mitlesen.

Das Brechen der Enigma-Verschlüsse-lung hat den Krieg wohl um Jahre verkürztund viele Menschenleben gerettet.

Der Meissner Arzt Samuel Hahnemanngilt als Begründer der Homöopathie. DasWort bedeutet «ähnliches Leiden». ZurBehandlung von Krankheiten dürfen nur

Enigma der Marine Quelle: Deutsches Museum München

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La cryptographie est presque aussi ancienneque le langage. En effet, dès que les hommesse sont transmis des messages, ils ont eubesoin d’éviter que certaines transmissions netombent entre des mains indésirables.

La connexion entre mathématiques etcryptographie est beaucoup plus récente. Ellen’est apparue que lorsque l’on a eu besoind’analyser des cryptogrammes pour en inter-cepter le sens, et seulement quand on a eu lesmoyens techniques à disposition. Ainsi a-t-on pu étudier les diverses méthodes du chiffreau cours des âges, au travers du regard desmathématiques.

Dès le milieu du siècle dernier, l’usage desmathématiques est devenu indispensablepour casser et créer de nouveaux systèmescryptographiques de plus en plus complexes.Les ultimes développements connus ontabouti aux systèmes actuels à clef publique,dont le meilleur exemple est le système RSA.

■ Comment préserver le secret d’un message ?

L’objectif de la cryptographie est de trans-mettre des informations à l’insu de quelqu’un.Il existe au moins deux méthodes pouratteindre ce but. La première consiste à cacherl’existence même du message. Cette méthodeest appelée la stéganographie. Elle a étéemployée depuis des temps ancestraux.

La deuxième méthode est le chiffrement.Celui-ci ne dissimule pas l’existence du mes-sage, mais le rend incompréhensible en trans-formant le texte clair en un cryptogramme. Lechiffrement s’effectue à l’aide de deux procé-dés fondamentaux: la transposition et la sub-stitution. Dans la transposition, les lettres dutexte clair sont mélangées, mais non modi-fiées. L’ordre d’apparition des lettres est bou-leversé. La transformation du mot CRYPTE enPYTCER est une transposition.

Cryptographie: un aperçu historique

Die Kryptographie ist beinahe so alt wie die Sprache; die Verbindung zwischen Mathematik

und Kryptographie dagegen ist wesentlich jünger. Der Autor verfolgt die Entwicklung bis in

die neueste Zeit.

La cryptographie est presqu'aussi ancienne que la langue; le lien entre cette science et les

mathématiques en revanche s'avère beaucoup plus jeune, comme nous l'apprend cet article,

relatant le développement de la cryptographie des origines à nos jours.

Nicolas Martignoni

solche Medikamente in geringen Dosen verabreicht werden, welche in höherenDosen beim Gesunden ein ähnliches Krank-heitsbild hervorrufen. Nimmt man z. B.homöopathisch zubereitetes, stark verdünn-tes Bienengift ein, so werden die Folgen vonschädlichen Einflüssen behoben, welche glei-che oder ähnliche Beschwerden provozierenwie Bienengift. Die Verabreichung erfolgt insehr starker Verdünnung, den sogenanntenPotenzen. Bei den C-Potenzen (Centesimal,100) wird 1 Teil Substanz mit 99 Teilen Ver-dünnungsmedium gemischt, dann verschüt-

telt oder verrieben und der Vorgang wieder-holt (bei C 200 z. B. 200 mal; die Konzen-tration des Wirkstoffes ist damit auf 1durch10400gesunken!).

Zum Schluss unserer Reise ins Zahlen-land lassen wir nochmals Fynn zu Wort kom-men:Es machte mir mehr und mehr Spass, auf Ant-worten Squillionen von Fragen zu wissen... Nurdas andere Ende der Skala machte mir Sorgen.Ich fand keine einzige Antwort, auf die es nureine einzige Frage gab.

Haben Sie noch Fragen?

gh 1• 0211

La substitution, au contraire, garde leslettres à la même position dans le texte clair,mais les remplace par d’autres symboles, laplupart du temps par d’autres lettres, ouencore par des chiffres.

Quelques procédés stéganographiques

historiques

L’historien grec Hérodote raconte qu’un cer-tain Histiée, voulant prendre contact secrète-ment avec son gendre, le tyran Aristagoras deMilet, choisit un esclave dévoué, lui rasa latête et y fit tatouer le message à transmettre.On attendit que les cheveux repoussent pourl’envoyer à Aristagoras avec instruction de sefaire raser le crâne.

Toujours d’après Hérodote, pour informerles Spartiates de l’attaque imminente des Per-ses, un certain Démarate, réfugié chez lesMèdes, utilisa un élégant stratagème. Il pritdes tablettes, en racla la cire et grava à mêmele bois le message secret. Il recouvrit à nou-veau les tablettes de cire. De cette façon, latablette apparemment vierge n’attira pas l’at-tention. Après quelques tribulations, lesSpartiates enlevèrent la cire et lurent le mes-sage, qu’ils transmirent aux autres Grecs. Labataille des Thermopyles s’ensuivit, qui per-mit à Léonidas de retarder les Perses troisjours au prix de sa vie et de celles de ses 300soldats.

Une autre méthode consistait à marquerd’une piqûre d’épingle, dans un documentquelconque, les lettres successives du messa-ge à envoyer. Ce moyen a été encore utilisépar les espions allemands durant la PremièreGuerre mondiale. Au cours de la SecondeGuerre mondiale, ils utilisèrent encore ceprocédé en cochant les lettres de journauxavec de l’encre sympathique.

Une transposition: la scytale des

Lacédémoniens

L’historien grec Plutarque (50–125 apr. J.-C.)nous raconte comment le gouvernementspartiate correspondait secrètement avec sesgénéraux en campagne, au Ve siècle av. J.-C.L’extrait ci-dessous est tiré de la «Vie deLysandre», chapitre XIX.

«[...] Cette scytale est une telle chose:quand les éphores1 envoient à la guerre ungénéral ou un amiral, ils font préparer deuxpetits bâtons ronds de même grandeur et de

même diamètre. Ils en gardent un par deverseux, et donnent l’autre à celui qu’ils envoient.Ces deux petits bâtons sont appelés scytales.Quand ils veulent envoyer un message secretet important, ils prennent un bandeau de par-chemin long et étroit comme une courroie,qu’ils entortillent autour de leur bâton rond,sans laisser aucun espace vide entre les bordsdu bandeau. [...] Ils écrivent alors ce qu’ilsveulent sur le parchemin ainsi roulé. Une foisle message écrit, ils déroulent le parchemin etl’envoient sans le bâton à leur capitaine.Celui-ci, quand il l’a reçu, ne peut rien y com-prendre – parce que les lettres n’y ont pointde suite ni de liaison logique, mais sont dés-ordonnées – à moins qu’il ne prenne sa scyta-le et enroule autour la courroie de parcheminqu’il a reçue de telle sorte que, la spirale étantrestaurée à l’identique, les lettres reforment lasuite continue qu’elles ont dans le message.»

Cette façon de faire change l’ordre deslettres, sans les modifier. Il s’agit donc biend’une transposition. L’exemple ci-dessousmontre schématiquement comment le motCRYPTOGRAPHIE, écrit verticalement sur unescytale, est transformé en CTAEROPYGHPRI.

Une substitution: le chiffre de César

L’auteur romain Suétone (fin du Iers.-IIes.)nous explique dans les «Vies des douze Cé-sars» la façon dont Jules César chiffrait unepartie de sa correspondance, afin qu’elle nepuisse être lue en cas d’interception. Voicil’extrait du livre LVI de la vie de Jules César:

«On possède de César des lettres àCicéron, et sa correspondance avec ses amissur ses affaires domestiques. Il y employait,pour les choses tout à fait secrètes, une espè-ce de chiffre (les lettres étant disposées demanière à ne pouvoir jamais former un mot),et qui consistait, je le dis pour ceux qui vou-

1 Magistrats lacédémoniens élus par lepeuple

EA

P

H

I

T

O

G

R

C

R

Y

P

gh 1• 0212

dront les déchiffrer, à changer le rang des lett-res, à écrire la quatrième pour la première,comme le D pour l’A, et ainsi des autres.»

La substitution proposée par César estdonc un décalage de 3 positions dans l’alpha-bet, ce qui donne la correspondance dutableau ci-dessous.

Ainsi le texte clair CRYPTOGRAPHIE setraduira dans ce système cryptographique parle texte chiffré FUBSWRJUDSKLH.

■ Besoin de méthodes cryptogra-phiques plus sûres

La technique permettant de déduire le texteclair d’un cryptogramme, sans connaître leprocédé ou la clef de chiffrement, est appeléecryptanalyse. Elle se base notamment sur descalculs statistiques2.

Les deux méthodes de cryptage exposéesci-dessus sont certes intéressantes du pointde vue historique, mais n’offrent pratique-ment pas de garantie de sécurité: il est en effettrès facile de décrypter de tels messages, àl’aide de la cryptanalyse. Dans la méthode deCésar, chaque lettre du texte clair est toujoursremplacée par le même symbole dans le cryp-togramme (pour cette raison un tel chiffre estdit monoalphabétique), et il est facile deretrouver les symboles correspondant auxlettres les plus fréquentes, comme E ou S,puis toutes les autres par déduction.

Pour corser la difficulté de la cryptanaly-se, on a besoin de systèmes cryptographiquesplus complexes, où une lettre du texte clairn’est pas toujours représentée par le mêmesymbole dans le cryptogramme. On parle dechiffre polyalphabétique.

Le système de Vigenère

Le plus célèbre des systèmes polyal-phabétiques est celui de Blaise de Vigenère(1523–1596), publié en 1586 dans son«Traicté de chiffres ou secrètes manières d’e-scrire3». Son origine est pourtant plus ancien-ne, et remonte au savant florentin du XVe

siècle Leon Battista Alberti. Plus connu pourses travaux d’architecture – on lui doit la pre-

mière fontaine de Trevi à Rome – il publia en1470 dans son «Trattati in Cifra» un systèmequi utilisait une substitution polyalpha-bétique.

Le principe du système de Vigenère con-siste à appliquer la méthode de César (déca-lage de l’alphabet) sur chaque lettre, en chan-geant à chaque fois le décalage. Ce système aeu jusqu’au début du siècle dernier la réputa-tion d’un système inviolable. Il a même étéutilisé par les militaires durant la PremièreGuerre mondiale.

Pourtant Charles Babbage (1791–1871),connu pour avoir posé les principes de l’ordi-nateur moderne, avait achevé la cryptanalysede ce chiffre dès 1854. Babbage ne publiajamais sa découverte, mais un officier prus-sien, Friedrich Wilhelm Kasiski (1805–1881), publia en 1863 dans «Die Geheim-schriften und die Dechiffrierkunst» cettecryptanalyse, qu’il avait découverte de maniè-re indépendante.

Dans cet ouvrage, il indique en outrecomment découvrir de façon simple la lon-gueur de la clef d’un cryptogramme chiffrépar le système de Vigenère, grâce à la métho-de qui porte son nom. La connaissance de lalongueur de la clef est un indice capital pourle cryptanalyste, et la recherche théoriqued’une méthode pour la découvrir a abouti à ceque l’on appelle l’index de coïncidence.

L’index de coïncidence et les machines à

crypter

En 1920, dans une monographie devenuecélèbre depuis, William Friedman (1891–1969) développe les toutes premières applica-tions des mathématiques à la cryptographie.Il y décrit comment calculer ce qu’il appellel’index de coïncidence.

Cet outil permet notamment de découv-rir si un message a été chiffré à l’aide d’unesubstitution monoalphabétique ou polyal-phabétique, et, dans ce dernier cas, de calcu-ler la longueur de la clef ayant servi au chif-frement. Cette première entrée des mathé-matiques dans le domaine coïncide avec ledébut de l’ère moderne de la cryptographie etl’avènement des premières machines à cryp-ter, dont la plus connue est Enigma.

Les machines de ce type ont permis jus-qu’après la Deuxième Guerre mondiale derendre les cryptogrammes de plus en plus dif-

Alphabet clair: a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z

Alphabet chiffré: D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C

2 Voir sur ce sujet l’ouvrage [1], qui conti-ent d’innombrables exemples pratiques

3 Pour une description complète du fonc-tionnement de ce système cryptographi-que, voir l’excellent livre [4].

gh 1• 0213

ficiles à décrypter. Elles furent utilisées entreautres dans l’Armée Suisse. Elles constituentla cause principale de l’avènement des pre-miers ordinateurs, destinés spécifiquement àla cryptanalyse. Le célèbre ouvrage [2]dépeint d’excellente façon les aléas de la cryptanalyse de cette époque, et les balbutie-ments de l’informatique qui y sont associés.

■ Méthodes modernes de crypto-graphie

Quelle que soit cependant la complexité de cetype de cryptage, ses utilisateurs rencontrenttoujours deux difficultés importantes:1. la clef permettant de déchiffrer un crypto-

gramme doit être gardée secrète et trans-mise par un canal sûr, car son interceptionruinerait toute la confidentialité du mes-sage;

2. il est impossible de savoir si l’expéditeurd’un message est bien celui que l’on croit.Un intrus ayant intercepté la clef peut trèsfacilement fabriquer de faux messages.

Les méthodes que nous avons citées jusqu’icisouffrent de ces problèmes. On les appelle dessystèmes cryptographiques à clef privée, à cau-se de la première propriété ci-dessus. De telssystèmes, par exemple celui de Jules César,peuvent être schématisés par le dessin ci-des-sous4. La même clef sert à tous les utilisateursdu système pour chiffrer et déchiffrer lescryptogrammes.

Peut-on éliminer ces défauts majeurs? Laréponse est: oui. On a découvert dans lesannées 1970 des systèmes cryptographiques àclef publique, qui ne nécessitent aucune trans-mission secrète de clef.

Systèmes cryptographiques à clef publique

L’idée a été découverte en 1976 par WhitfieldDiffie et Martin Hellman. Chaque utilisateurpossède deux clefs, l’une qu’il garde secrète, laclef privée, et l’autre qu’il publie, par exemplesur l’internet.

Supposons qu’Alice veuille envoyer unmessage à Bob. Elle code son message avec laclef publique de Bob, qu’elle peut obtenir sansdifficulté. Elle envoie le cryptogramme àBob, qui le déchiffre à l’aide de sa clef privée.Autrement dit, tout le monde peut chiffrer unmessage destiné à Bob, mais il est le seul àpouvoir le déchiffrer.

Une relation mathématique complexeentre ses clefs publique et privée permet àBob de retrouver le texte clair du message.Pour déchiffrer un cryptogramme avec uneclef différente de celle avec laquelle il a étéchiffré, il doit exister une relation entre lesdeux clefs. Cette relation doit être en outred’un caractère particulier: personne ne doitêtre capable de retrouver la clef privée d’unindividu à partir de sa clef publique.

Le problème peut sembler a priori impos-sible à résoudre. C’est là que les mathéma-tiques offrent de précieux outils, appelés fon-ctions à sens unique. Ce sont des opérationsqu’il est relativement aisé de faire dans unsens, mais extrêmement difficile de faire dansl’autre sens, pour retrouver la situation initia-le. On peut comparer la situation à un noeud,qui est facile à serrer, mais demande beau-coup plus d’effort à dénouer.

Le système RSA, du nom de ses inven-teurs Ronald Rivest, Adi Shamir et LeonardAdleman, a été découvert en 1978. Il propo-se comme fonction à sens unique la multipli-cation de deux grands nombres premiers, parexemple longs de plus de 100 chiffres. Unetelle multiplication est aisée à effectuer à l’ai-de d’un ordinateur. En revanche, si l’on neconnaît que le produit des deux nombres, quiest long de 200 chiffres, il est impossible deretrouver ses facteurs (les deux nombresinitiaux) en un temps raisonnable, quelle quesoit la puissance de l’ordinateur utilisé. Un teltravail demanderait plusieurs siècles! C’estjustement le casse-tête auquel est confrontél’éventuel intercepteur du message d’Alice.

Cette méthode se base sur un théorèmede Pierre de Fermat (1601–1665), légèrement

Texte claird'Alice

Texte clairchez Bob

Clef unique

Cryptogrammetransmis

Texte claird'Alice

Texte clairchez Bob

Cryptogrammetransmis

Clef publique de Bob(connue de tous)

Clef privée de Bob(connue de lui seul)

4 Les trois schémas suivants sont adaptésde [3].

gh 1• 0214

modifié par le célèbre mathématicien bâloisLeonhard Euler (1707–1783). Le résultat estle suivant. Soient p et q deux nombres pre-miers et a un nombre entier5. Alors le nom-bre a(p – 1)(q – 1) – 1 est un multiple de p · q.Ainsi par exemple, si p = 3, q = 5 et a = 14,on a a(p – 1)(q – 1) – 1 = 148 – 1 = 1475 789 056 – 1= 1475 789 055,et ce nombre est un multiple de 15, car 98 385 937 · 15 = 1475 789 055.

Les systèmes à clefs publiques permettentaussi de résoudre le problème de l’authenti-cité d’un message. On utilise pour cela le con-cept de signature électronique. Alice veutmaintenant envoyer un message (chiffré ounon) de telle façon que Bob soit sûr de sonauthenticité et de sa provenance.

Elle chiffre le message avec sa clef privée.De ce fait elle le signe, étant la seule à pou-voir le faire. Elle envoie le message à Bob, quile déchiffre avec la clef publique d’Alice. Si letexte obtenu est cohérent, Bob a la certitudede l’authenticité et de la provenance du mes-sage. Dans ce cas, seule Alice peut signer(c’est-à-dire chiffrer) le message, mais tout lemonde est capable de le déchiffrer.

Elle crée une signature électronique deson message en le cryptant à l’aide de sa clefprivée – elle est la seule à pouvoir le faire. Elleenvoie le message et la signature électroniqueà Bob. Celui-ci «décode» la signature électro-

nique avec la clef publique d’Alice. S’ilretrouve le même texte que le message, il a lacertitude que le message est authentique.

Ainsi le chiffrement et l’authentificationont lieu sans échanger de clef secrète. Chaquepartenaire n’utilise que des clefs publiques etsa propre clef privée. Comme il est quasimentimpossible, grâce aux fonctions à sens uni-que, de découvrir la clef privée d’une person-ne, le système est fiable.

Références[1] Helen Fouché Gaines. Cryptanalysis, A Study of

Ciphers and their Solution. Dover Publications, Inc.,New York, new, unabridged and corrected edition,1956. ISBN 0-486-20097-3.

[2] David Kahn. La Guerre des Codes Secrets. InterEdi-tions, Paris, 1980. Traduit, adapté et mis à jour parPierre Baud et Joseph Jedrusek. ISBN2-729-60114-1.

[3] Network Associates, Inc. Introduction à la Crypto-

graphie. 1999. Fichier PDF, ftp://ftp.pgpi.org/pub/pgp/6.5/docs/french/IntroToCrypto.pdf. Visité le 25août 2001.

[4] Simon Singh. Histoire des codes secrets. De l’Égypte des

Pharaons à l’ordinateur quantique. Jean-Claude Lattès,Paris, 1999. Traduit par Catherine Coqueret. ISBN2-7096-2048-0.

Messaged'Alice

Messagechez Bob

Cryptogrammetransmis

Clef privée d'Alice(connue d'elle seule)

Clef publique d'Alice(connue de tous)

Nicolas Martignoni est né en 1964. Il est marié et père de deux enfants de 5 et 3 ans. Il vit à

Fribourg, où il a fait des études de mathématiques. Il a obtenu son Diplôme de Mathéma-

tiques en 1992 et son Diplôme de Maître de Gymnase en 1994.

Il enseigne les applications des mathématiques et la physique au Collège Sainte-Croix, à

Fribourg. Il s'engage au sein de la Commission Romande de Mathématique depuis 1999,

où il participe à la rédaction de plusieurs ouvrages, dont «Formulaire et Tables», paru en

automne 2000.

5 Il faut en outre que les nombres a et p·qsoient premiers entre eux, c’est-à-direque leur PGDC doit être égal à 1.

■ 1

Ist Mathematik das Fach der Formeln undRechnungen?Auch.Vor allem aber ist es das Fach der Ideen.Einfälle, Fantasie in der Mathematik?

Nehmen wir die Zahlen des Zählens:1, 2, 3, ... bis 100. Man soll sie zusammen-zählen. Eins plus zwei ist drei, plus 3 ist 6,plus 4 ist 10, plus 5 ist 15, plus 6 ist 21 – uch,ist das mühsam! Gut, gibt es Taschenrechner.Den richtigen Befehl aktivieren und schonwird das Resultat angezeigt: 5050. Und derRechner summiert auch gern – sagen wir –die Zahlen von 1 bis 272362.

Hinter diesem Knopfdruck steckt nichtnur Computerpower, sondern auch ein StückMathematik. Mit dem Zehner-Stellen-System wird ein sehr effektives Symbolsys-tem zur Bezeichnung von Zahlen benützt.Überdies wird ein Additionsverfahren ver-wendet, das so einfach ist, dass es von einerMaschine durchgeführt werden kann.

Ich möchte zeigen, wie die Aufgabe dankeiner Idee viel effektiver gelöst werden kann.Schauen wir uns die Summe, um die es geht,noch einmal an1

1+2+3+4+...+96+97+98+99+100.Die folgende einfache Bemerkung eröffnetgewisse Möglichkeiten: Wir müssen dieZahlen nicht unbedingt in der «natürlichen»Reihenfolge zusammenzählen. Wenn wirmögen, können wir zum Beispiel zuerst alleungeraden Zahlen addieren, also

1+3+5+7+...+95+97+99,dann zählen wir alle geraden Zahlen

2+4+6+...+96+98+100,zusammen und zum Schluss müssten wirnoch beide Resultate addieren. Wo ist der

gh 1• 0215

Urs Kirchgraber

Gewinn, werden Sie vielleicht fragen. Ja, dasist nicht so klar. Die interessante Frage ist:Können wir vielleicht eine Reihenfolge fürdie Zahlen von 1 bis 100 finden, die beson-ders günstig ist, um ihre Summe zu bestim-men?

Ob Sie Lust haben, selber ein wenig mitPapier und Bleistift zu probieren? Wir kom-men weiter unten auf die Frage zurück.

■ 2

Betrachten wir vorerst ein anderes Beispiel.Dreiecke! An einem Dreieck gibt es vieleGrössen, für die man sich interessieren kann.Die grundlegendsten sind die Längen derdrei Seiten a, b, c und die Werte der dreiWinkel α, β und γ siehe Abbildung 1.

Grosso modo kann man sagen, dass 3 die-ser 6 Stücke das Dreieck festlegen. Betrach-ten wir den folgenden Fall: Denken wir unsdie Längen von zwei Seiten und die Grössedes «eingeschlossenen» Winkels vorgegeben.Also zum Beispiel a, b, und γ.

Abbildung 1: Ein Dreieck

Es ist nicht schwer, das Dreieck aus die-sen Stücken zu konstruieren. Man beginnt,indem man irgendeine Strecke der Länge azeichnet, siehe Abbildung 2; dann wird mitHilfe des Transporteurs der Winkel γ abge-tragen; schliesslich wird auf dem gezeichne-

Ideen? Ideen!

Anhand von einfachen Beispielen zeigt der Autor den Stoff, aus dem die Träume der Mathe-

matikerinnen und Mathematiker sind: eine gute neue Frage stellen, einen ganz und gar

unvermuteten Zusammenhang entdecken, eine weitreichende Idee generieren und ein offe-

nes Problem lösen.

Au moyen d'exemples simples, l'auteur nous entraîne dans les rêves des mathématiciens:

poser La Question, découvrir Le Rapport, lancer L'Idée, résoudre enfin Le Problème insoluble.

1 Aus Bequemlichkeit haben wir nicht alleZahlen aufgeschrieben und stattdessendie fehlenden durch Punkte angedeutet.

A B

C

ab

α β

γ

c

gh 1• 0216

ten zweiten Schenkel die Strecke b abgetra-gen. Nun lassen sich die übrigen Stücke andem konstruierten Dreieck durch Messungjedenfalls näherungsweise bestimmen, insbe-sondere die Länge der noch unbekanntendritten Seite c sowie die beiden anderenWinkel des Dreiecks.

Abbildung 2: Konstruktion eines Dreiecks

Die Kalamitäten beginnen, wenn man dieAufgabe nicht zeichnerisch, sondern rechne-risch lösen will. Angenommen a ist 2.5 cm,b ist 4.0 cm und der Winkel γ hat 42 Grad.Welchen Wert hat c ?

Wenn man alle Facetten dieser Aufgabein Betracht zieht, muss man einräumen, dassihre Lösung eigentlich gar nicht so einfachist. Fassen wir der Einfachheit halber dahereinen berühmten Spezialfall ins Auge. Es sei γ = 90 Grad, d.h. der Winkel zwischen denbeiden Schenkeln CA und CB ist ein rech-ter, das Dreieck sei also rechtwinklig, sieheAbbildung 3.

Abbildung 3: Rechtwinkliges Dreieck, rechter Winkelbei Punkt C

In diesem Fall gilt(1) c2 = a2 + b2

Das ist der sogenannte Satz von Pythagoras2.Ist etwa a = 2.0, b = 4.8, so folgt

c2 = 2.02 + 4.82 = 4.0 + 23.04 = 27.04 = (5.2)2.

Das heisst, die dritte Seite in diesem Dreieckhat die Länge c = 5.2.

Nur: Wieso besteht die Beziehung (1)zwischen den Längen der drei Seiten einesrechtwinkligen Dreiecks? Wie findet mansie? Kann man sie «sehen»?

Die Formel (1) hat, wie Sie sich vielleichterinnern, eine geometrische Interpretation. EinQuadrat der Seitenlänge a hat denFlächeninhalt a2. Errichtet man über den

Seiten des rechtwinkligen Dreiecks Quadra-te, siehe Abbildung 4, so sagt Formel (1)daher aus, dass die Fläche des Hypotenusen-quadrats gerade so gross ist wie die Flächender Kathetenquadrate zusammen. «Sieht»man das?

Abbildung 4: Geometrische Interpretation des Satzesvon Pythagoras

■ 3

Kehren wir für einen Augenblick zum erstenProblem zurück. Hängig ist die Frage, obman für die Zahlen von 1 bis 100

1,2,3,4,5,...,49,50,51,52,...,96,97,98,99,100eine Reihenfolge finden kann, die besondersgeeignet ist, um die Zahlen zu addieren.

Hier ist ein Vorschlag. Paaren Sie dieerste mit der letzten Zahl, also 1 und 100,sodann die zweite mit der zweitletzten, also2 mit 99, dann die dritte mit der drittletzten,also 3 mit 98, usw. Mit anderen Worten, wirschreiben die Summe der Zahlen von 1 bis100 wie folgt auf

1+100+2+99+3+98+4+97+5+96+…+48+53+49+52+50+51.

Insgesamt haben wir nun 50 Paare und diePointe ist, dass die beiden Zahlen eines Paa-res jeweils die gleiche Summe haben, nämlich101:

(1+100)+(2+99)+(3+98)+(4+97)+…+(49+52)+(50+51)=101+101+101+…+101=50·101=5050.

Die Summe aller (natürlicher) Zahlen von 1 bis 100 ist demnach 50 · 101 = 5050. Genaugleich findet man die Summe der Zahlen von 1 bis 272362. Sie ist 136181 · 272363 =37090665703.3

Der springende Punkt an unserem Bei-spiel ist, dass es gelungen ist, die Berechnungder Summe durch eine Multiplikation zubewerkstelligen. Multiplizieren heisst, die

B C

A

a

bc

B C B C

γ

B C

A

γ

a a a

b

B C

A

a

bc

Fläche c2

Fläche a2

Fläche b2

Hypotenusenquadrat

Katheten-quadrat

Katheten-quadrat

2 Pythagoras von Samos (580?– 501? v.Chr).3 Wenn man die gesuchte Summe konven-

tionell aufaddiert, dauert das selbst aufeinem nicht so langsamen Rechner 2–3Sekunden.

ab

c

Bild 1 Bild 2

Bild 3 Bild 4

gh 1• 0217

immer gleiche Zahl eine ganz bestimmteAnzahl Mal addieren. Dafür hat man abereffiziente Verfahren. Es sei zum Beispiel andas «schriftliche Multiplizieren» erinnert:

136181 · 272363272362

953267272362408543

817086408543

37090665703

Beachten Sie: Prima vista ging es beiunserem Beispiel keineswegs um die Additi-on von gleichen Zahlen. Dass es dann letzt-lich doch darauf hinaus lief, ist eine kleineÜberraschung und erfordert eine geistigeLeistung: Zu erkennen, dass man die Addi-tion «reorganisieren» kann, und zu ent-decken, dass es eine Variante gibt, die dieAufgabe auf eine einzige Multiplikationreduziert.

Sind schnellere Rechenverfahren imZeitalter schneller werdender Computerüberhaupt noch von Bedeutung? Es stimmtschon: Viele Aufgaben, die noch vor gar nichtso langer Zeit nur mit viel Geschicklichkeitgelöst werden konnten, sind Dank Compu-terpower trivialisiert worden – man kann siejetzt einfach mit «brute force» lösen.

Andererseits werden immer schwierigereProbleme angepackt, und da kommen selbstHochleistungsrechner überraschend schnellan ihre Grenzen. Und deshalb ist es schonberechtigt, wenn G. Strang vom MIT inBoston sagt4: Where computers race for fastercalculations, mathematics races for quicker algo-rithms. An idea that cuts in half the number ofsteps is as good as a chip that doubles the speed.

■ 4

Zurück zum Satz von Pythagoras. Wieso hatbei einem rechtwinkligen Dreieck das Hypo-tenusenquadrat die gleiche Fläche wie diebeiden Kathetenquadrate zusammen?

Geometrisch heisst das: Wir sollten dieKathetenquadrate auf das Hypotenusenqua-drat legen können, so dass dieses geradezugedeckt wird. Direkt geht das offenbar

nicht. Wir müssen sie zerschneiden. Abernicht wirklich und mit einer Schere! Sondernim Geiste, und so, dass es für jedes beliebigerechtwinklige Dreieck funktioniert. Mitanderen Worten, wir brauchen ein Verfahrenmit dem wir (im Prinzip) die Kathetenqua-drate so in Teile zerlegen können, dass siesich danach zum Hypotenusenquadratzusammensetzen lassen.

Man kennt verschiedene solche Zerle-gungen5. Bemerkenswert ist, dass keine ein-zige dieser Zerlegungen offensichtlich ist. H.Winter schreibt6: Dieser Satz, also der Satzvon Pythagoras, motiviert sich nicht ohne wei-teres durch das Anblicken rechtwinkliger Drei-ecke, und seine Richtigkeit erschliesst sich nichtdem blanken Augenschein. Es bedarf umstruktu-rierender Denkschritte (des Sehens mit dem Augedes Geistes, wie Platon sagt).

Eine der Möglichkeiten deutet die inAbbildung 5 gezeigte Figurenfolge an. Es istein Beweis ohne Worte, aber bestehend ausvier Bildern, die man nacheinander anschau-en, bedenken, und – warum eigentlich nicht?– geniessen kann.

Abbildung 5: Beweis des Satzes von Pythagoras nachH. Winter

Der Satz des Pythagoras ist ein Beispielfür das, was man in der Mathematik tief-liegend nennt, weil die Beziehung zwischenden drei Quadraten nicht auf der Hand liegt,sondern so verborgen ist.

■ 5

Verstehen, dass die Figurenfolge aus Abbil-dung 5 den Satz des Pythagoras beweist, isteine Sache. Sie zu entdecken eine ganz andere.

Wie mathematische Ideen entstehen istimmer noch ein Rätsel. Dass eine intensiveBeschäftigung mit dem betreffenden Inhalt

4 G. Strang: «Wavelets», American Scien-tist, 82 (1994) p. 250–255.

5 Es soll inzwischen mehrere hundert ver-schiedene Beweise für den Satz vonPythagoras geben! Man könnte deshalbauf die Idee kommen zu sagen, dieserSatz sei einer «der am besten bewiese-nen Sätze der Mathematik». Gleichwohl,ein einziger Beweis genügt, und dieRichtigkeit der Formel (1) ist für alle Zei-ten gesichert.

6 Mitteilungen der Gesellschaft für Didak-tik der Mathematik, 61 (1995) p. 41.

■ 6

Übrigens – so «betagt» der Satz desPythagoras ist – verstaubt ist er deswegennoch lange nicht. In der Mathematik ist ertäglich in Gebrauch.

Kennen Sie GPS8 – jenes System, mitdessen Hilfe Sie zu jeder Zeit Ihre Position,wo immer Sie sich befinden, bestimmen kön-nen? Im Herzen dieses Systems steckt derSatz von Pythagoras. Das GPS-Gerät ermit-telt Ihren Abstand zu drei Satelliten. Umdaraus Ihre Position bestimmen zu können,müssen drei Kugeln miteinander geschnittenwerden. Dazu wird der Satz von Pythagoras6 Mal angewendet.

gh 1• 0218

Voraussetzung ist, lehrt die Erfahrung. DieGeburt einer Idee ist allerdings meist einblitzartiger und unerwarteter Vorgang.

Andrew Wiles hat unlängst eines derberühmtesten Probleme der Mathematikgelöst. Er bewies die sogenannte FermatscheVermutung. Nach Jahren einsamer Arbeithielt er eine Vortragsreihe, in der er seineErkenntnisse skizzierte. Später zeigte sichjedoch, dass der Beweis eine Lücke enthielt,die alles in Frage stellte. Ein ganzes Jahr langversuchte er, die Schwierigkeit zu überwin-den. In einem Film der britischen BBC7

beschreibt er in anrührender Weise den erlö-senden Augenblick: I was sitting at this desk.I was trying to convince myself that … whensuddenly and totally unexpectedly I had thisincredible revelation. I was realizing what washolding me up …

Eine gute neue Frage stellen, einen ganzund gar unvermuteten Zusammenhang ent-decken, eine weitreichende Idee generierenund ein offenes Problem lösen – das ist derStoff aus dem die Träume von uns Mathe-matikerinnen und Mathematikern sind. Vielwichtiger als die Tatsache, dass die Fermat-sche Vermutung nun bewiesen ist, sagen dieExperten, sei die Fülle von neuen, tiefen undschönen mathematischen Ideen, die in Wiles’Beweis stecken, weil sie ungeahnte Möglich-keiten für zukünftige Entwicklungen eröff-neten.

Urs Kirchgraber lehrt an der ETH Zürich. Seine Arbeitsgebiete sind Nichtlineare Analysis und

Didaktik der Mathematik. Abbildung 6 zeigt ihn 1996 am Pythagoras-Denkmal an der Mole

von Pythagorion auf der griechischen Insel Samos.

7 BBC-WGBH-Boston: «Fermat’s LastTheorem», 1996.

8 GPS ist die Abkürzung für «Global Posi-tioning System».

Abbildung 6: Das Pythagoras-Denkmal auf derInsel Samos

gh 1• 0219

Armin P. Barth

Man hört immer wieder, dass mathematischeAussagen gegenüber Aussagen anderer Dis-ziplinen den Vorzug geniessen, beweisbar zusein, dass es kein Wenn und Aber und Viel-leicht gibt und dass man, ist eine Aussageeinmal bewiesen, nicht mehr anderer Mei-nung sein kann, ausser man riskiert bewusst,sich dem Vorwurf der Sturheit und Ignoranzauszusetzen. Was ist es aber, was einen Textzu einem Beweis macht? Was tut ein Mathe-matiker, wenn er beweist? Und wie sicher isteine bewiesene Aussage wirklich? Dieser Textversucht, diese Fragen mit verschiedenenBeispielen anzugehen, sie auszuloten undihnen, wenn möglich, Antworten zu geben.

1Wer hat nicht schon von der Neunerpro-be gehört oder sie gar angewendet: Eine

natürliche Zahl ist genau dann durch 9 teil-bar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbarist. Einige Beispiele, in denen Q immer dieQuersumme bezeichne, mögen dies belegen:• Die Zahl 72 (=8*9) hat Q=9; beide Zah-

len sind durch 9 teilbar!• Die Zahl 198 (=22*9) hat Q=18; beide

Zahlen sind durch 9 teilbar!• Die Zahl 1017 (=113*9) hat Q=9; beide

Zahlen sind durch 9 teilbar!Und auch wenn wir hundert Beispiele rech-nen, stets wird sich dieses Besondere ereig-nen, und einmal werden wir ermüden unddenken: Na prima, mit der Neunerprobe hates wohl seine Richtigkeit. Nun könnte sichaber, wenn wir die Neunerprobe auf dieseWeise akzeptieren, ein Gefühl der Unzufrie-denheit in uns breit machen: Vielleicht täu-schen wir uns doch und hatten mit den bis-herigen Beispielen einfach nur Glück. Könn-te es nicht sein, dass wir, wenn wir Zahlenganz anderer Grössenordnung untersuchen,ein Gegenbeispiel finden, eine Zahl, die nicht

durch 9 teilbar ist, obwohl ihre Quersummedurch 9 teilbar ist? Welchen Wetteinsatzwären wir für die allgemeine Gültigkeit derNeunerprobe bereit zu riskieren? Zudem istes unbefriedigend, eine Regel allein deswegenzu akzeptieren, weil eine erdrückende Men-ge von Beispielen sie uns einreden will. Wirmüssen zugeben: Wir verstehen die Neuner-probe noch nicht!

Im Gegensatz zur Mathematik ist in denNaturwissenschaften eine erdrückende Men-ge von Beispielen häufig Anlass zur Postulie-rung eines (Natur-) Gesetzes. Doch währendes dort darum geht zu erkennen, das sichetwas so und so verhält, und ein naturwissen-schaftliches Gesetz Bestand hat bis zumersten Auftauchen eines Gegenbeispieles,geht es in der Mathematik darum zu verste-hen, dass sich etwas so und so verhalten muss.Wenn wir diese Art von Verständnis anstre-ben, werden wir durch das Anhäufen vonimmer weiteren Beispielen die absoluteSicherheit, die letzte Gewissheit nicht erlan-gen können. Es drängt uns, hinter die Kulis-sen zu schauen, den tieferen Grund zu erfah-ren, eine noch verborgene Eigenschaft zuentdecken, die das Auflisten weiterer Bei-spiele überflüssig und lächerlich macht, esdrängt uns, die Situation ganz und gar zuverstehen.

Dabei kann uns ein Beweis helfen. Denunwiderlegbaren Belegen ähnlich, die demDetektiv den Tathergang aufdecken, versetztuns ein Beweis in die Lage, bezüglich derNeunerprobe absolut sicher zu sein und,mehr noch, zu verstehen, weshalb es sich so,wie in der Neunerprobe behauptet, verhaltenmuss. Und wenn der Beweis vollbracht seinwird, werden wir in uns ein Wohlgefühl wienach einem gelösten Fall empfinden.

«Beweisen, Kurtchen, beweisen!»1

Was tut ein Mathematiker, wenn er beweist? Wie sicher ist eine bewiesene Aussage, etwa

im Vergleich zu einem Beweis in den Naturwissenschaften oder in der Justiz?

Que fait un mathématicien en établissant une preuve? Cette dernière est-elle certaine?

Est-elle comparable à une preuve scientifique ou judiciaire?

1 aus F. Dürrenmatt, Die Panne, Werkaus-gabe in dreissig Bänden, Diogenes,Zürich, 1980

Besäufnisses, in einer Anwandlung von Stolzund dem Wahn eigener Bedeutsamkeit, dasVerbrechen für sich reklamiert und sicherhängt, obwohl die Beweise ihn nicht einesVerbrechens überführen, das juristisch ver-folgt werden könnte. Gleichwohl scheint einmathematischer Beweis doch einen höherenGrad an Sicherheit zu erzeugen. Währenddurch juristische Beweise schon oft Unschul-dige verurteilt wurden, ist kein einziger ein-mal anerkannter und überprüfter mathema-tischer Beweis jemals nachträglich verworfenworden. Wir werden uns fragen müssen,woran das genau liegt.

Zuerst geben wir aber Auflösungen zuden oben besprochenen Problemen an: Umzu beweisen, dass die Behauptung aus 2

falsch ist, muss lediglich ein Gegenbeispielangeführt werden: In der Tat ist die letzte vonuns notierte Zahl nicht prim. Euler fandnämlich die Zerlegung

4'294'967’297 = 641*6'700'417.

Die in 1 formulierte Neunerprobe ist korrekt,wie ein Beweis zeigt: Wir führen ihn für vier-stellige Zahlen; bitte überzeugen Sie sichdavon, dass er analog für jede andere Stellen-zahl geführt werden kann. Sei also n einebeliebige vierstellige Zahl. Wir notieren sie inder Form

n = a b c d

wobei die Ziffern a, b, c, d der Menge{0,1,2,...,9} entstammen. Da wir im Zehner-system rechnen, kann n auch so notiert wer-den:

n = 1000*a + 100*b + 10*c + d.

Drei einfache Umformungen führen zu:n = (999+1)*a + (99+1)*b + (9+1)*c + d

➾ n = (999*a + 99*b + 9*c) + (a+b+c+d)

➾ n = (999*a + 99*b + 9*c) + Q.

Nun sehen wir, dass jede beliebige Zahl nstets so in zwei Summanden zerlegt werdenkann, dass der eine Summand gleich derQuersumme und der andere Summandjedenfalls durch 9 teilbar ist. Somit entschei-det allein die Quersumme darüber, ob dieZahl durch 9 teilbar ist oder nicht, d. h. n istgenau dann durch 9 teilbar, wenn Q durch 9teilbar ist. Damit ist ein Verständnis dafürerwachsen, dass es logisch unmöglich ist, dassdie Neunerprobe versagt.

gh 1• 0220

2Stellen wir uns vor, jemand tritt an unsheran mit der Behauptung «Alle Zahlen

der Form 2^2n+1 für n=1,2,3,... sind prim2.»Wie werden wir reagieren? Nun, es kann sichschon lohnen, einige Beispiele zu untersu-chen, denn immerhin könnte es sein, dass dieAussage falsch ist und dass wir die Falschheitsofort entdecken:

2^21+1 = 22+1 = 5

2^22+1 = 24+1 = 17

2^23+1 = 28+1 = 257

2^24+1 = 216+1 = 65537

Die Behauptung scheint aber stichhaltig zusein: 5, 17 und 257 sind sicherlich prim, für65537 ist ein etwas grösserer Aufwand nötig,doch wenn wir ihn nicht scheuen, zeigt essich, dass auch diese Zahl prim ist. Wie sichersind wir bezüglich der Behauptung? Prim-zahlen sind widerspenstige Objekte, und esscheint angebracht, vorsichtig zu sein.Betrachten wir noch das nächste Beispiel:

2^25+1 = 232+1 = 4'294'967’297

Ist das prim? Nun sind wir in einer zwiespäl-tigen Situation: Die Zahlen werden so riesig,dass es sich empfiehlt, genau darüber nach-zudenken, ob sich der Aufwand lohnt! Sollenwir diese Zahl auf Primheit testen, oder wol-len wir von der Richtigkeit der Behauptungschon überzeugt sein und nach einem Beweisdafür suchen?

3Die Mathematiker haben das Beweisennicht für sich allein gepachtet. Wenn ein

Ankläger erklärt, man habe einen Indizienbe-weis für die Urheberschaft einer Tat, so meinter damit, dass starke Gründe für diese Urhe-berschaft sprechen, dass freilich die letztenZweifel noch nicht ausgeräumt sind. WennWalter in «Der zerbrochene Krug»3 ruft:

«Zur Sache hier. Vom Krug ist hier die Rede. – Beweis, Beweis, dass Ruprecht ihn zerbrach!»,

so verlangt er nach juristischen Belegen fürdie Schuld Ruprechts, die so schlüssig undüberzeugend sind, dass eine andere Täter-schaft unmöglich ist. Dass juristische Bewei-se aber heikel sein können, zeigt etwa dasBeispiel des Alfredo Traps aus Dürrenmatts«Die Panne», der den ihm vom Gericht derPensionierten zur Last gelegten Mord erstzurückweist («Beweisen, Kurtchen, bewei-sen!»), dann aber, während des gewaltigen

2 Eine natürliche Zahl >1 heisst prim,genau dann wenn sie nur durch 1 unddurch sich selber ohne Rest teilbar ist.

3 aus H. von Kleist, Der zerbrochene Krug,Reclam, Stuttgart, 1993

gh 1• 0221

4Was ist ein mathematischer Beweis? Fer-mat schrieb, das Wesen eines Beweises

sei, «Glauben zu erzwingen»4. Erzwungenkann der Glaube an die Aussage aber nurwerden, wenn es logisch unmöglich ist, dass dieAussage verletzt werden kann. Wie genauschafft es die Mathematik, diese logischeUnmöglichkeit herbeizuführen? Betrachtenwir dazu einen weiteren Beweis: Auf diePythagoreer5 geht die Entdeckung der irra-tionalen Zahlen zurück. Dass irrationale Zah-len (wie etwa √2) existieren, passte so wenigin die Lehre des Pythagoras, wonach alleVorgänge der Welt sich durch Verhältnissenatürlicher Zahlen (also durch rationale Zah-len) ausdrücken lassen, dass der den Lehrendes Meisters sehr streng verpflichtete Teil derPythagoreer (die Akusmatiker 6) den Beweisfür die Irrationalität von √2 unter allenUmständen zu verheimlichen suchte. Wirwagen es dennoch, den Beweis hier anzuge-ben.

Angenommen, √2 wäre nicht irrational,also rational, so wäre eine Darstellung

√2 = a/b

mit natürlichen Zahlen a und b (b≠0) mög-lich. Quadrieren wir diese Gleichung, soerhalten wir

2 = a2/b2,

wobei wir die Definition von «Wurzel» (dassnämlich (√2)2 = 2 ist) sowie ein Potenzgesetz(dass nämlich (a/b)2 = a2/b2 ist) benutzen.Durch Multiplikation mit b2 erhalten wir

2b2 = a2

Denken wir uns nun die beiden Zahlen a undb in Primfaktoren zerlegt. Nach einembewiesenen Satz ist diese Primfaktorzerle-gung eindeutig, und es gilt zudem, dass dasQuadrat einer Zahl jeden Primfaktor entwe-der gar nicht oder aber in gerader Anzahlenthält. (Warum?) Daher enthält a2 denPrimfaktor 2 entweder gar nicht oder in gera-der Anzahl, und dasselbe lässt sich über b2

sagen. Der Term 2b2 enthält demnach denFaktor 2 sicher in ungerader Anzahl! Darausfolgt nun, dass, wenn √2 rational wäre, eineGleichung entstünde, deren rechte Seite denPrimfaktor 2 entweder gar nicht oder in gera-der Anzahl, und deren linke Seite ihn inungerader Anzahl enthielte. Das ist wegender Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegunglogisch unmöglich!

Was macht diesen Beweis nun so robust,

so unanfechtbar und immun gegen jede Artvon Zweifel? Beachten Sie, welcher Artunsere Begründungen waren: Wir haben dieDefinition von «Wurzel», ein Potenzgesetzund einen Satz über Primfaktorzerlegungbenutzt: Eine Definition und schon bewiese-ne Sätze, nichts anderes. Wer wollte Zweifelan einer Definition anmelden? Es handeltsich ja um eine Konvention, eine Bezeich-nung oder Sprechweise für einen bestimmtenunzweideutig vorgegebenen mathematischenSachverhalt. Und wer wollte einen schonbewiesenen Satz in Zweifel ziehen? Freilichwird nun klar, dass der von uns bewieseneSatz gleich sicher ist wie die in seinem Beweisbenutzten früher bewiesenen Sätze. Wiesicher sind aber diese Sätze? Nun, natürlichgleich sicher wie die in ihren Beweisenbenutzten noch früher bewiesenen Sätze.Und wie sicher sind diese Sätze? – Das erin-nert an das endlose Fragen eines wissbegieri-gen Kindes, und genau so, wie man dabei dasGefühl hat, dass die Fragen ein Ende findenmüssen, verspüren wir bei den mathemati-schen Sätzen den Drang, das Absteigen zuimmer früheren Sätzen zu stoppen. Wie kanndas Ende dieses Abstiegs bzw. der Anfangaller Sätze aussehen? Nun, wir müssen ein-mal zu den «ersten» Sätzen vordringen, diesich nicht aus noch früher bewiesenen Sätzenbeweisen lassen. Mathematiker nennen dieseSätze Axiome 7. Es handelt sich dabei einer-seits um Aussagen grösstmöglicher Plausibi-lität oder einfach nur um von (fast) allenakzeptierte Sätze, die die Mathematik wieeine Art Spiel in Gang setzen. Die Axiomeselbst sind nicht beweisbar, doch wenn wir siezum Beweis von Sätzen heranziehen, so sinddiese Sätze dann sicher relativ zu den Axiomen.Wenn wir von der Korrektheit der mathema-tischen Axiome überzeugt sind, können wiran den aus ihnen erzeugten Sätzen nichtzweifeln.

Zudem wird in der Mathematik festge-legt, welche Schlussweisen erlaubt sind, d. h.wie genau man von einer schon begründetenAussage zu einer nächsten voranschreitenkann, und dieses streng reglementierteSchlussfolgern ermöglicht dann den Aufbauvon aus den Axiomen bewiesenen Sätzen undeinen nach oben offenen Überbau von immerneuen bewiesenen Sätzen. Und das macht diemathematischen Beweise so sicher: Es wer-

4 aus einem Brief Fermats an Clerselier:«La qualité essentielle d’une démonstra-tion est de forcer à croire.»

5 von Pythagoras (etwa 580-500 v. Chr.)gegründete Schule, die über seinen Todhinaus Bestand hatte.

6 die «Hörer».7 von griech. axioun: für recht halten

Armin P. Barth, geboren

1962, unterrichtet seit 6

Jahren als Hauptlehrer im

Vollamt an der KS Baden

und verbrachte das Winter-

semester 2001/2002 an der

ETH Zürich im Rahmen des

Projektes «ETH für die

Schule».

gh 1• 0222

den zur Begründung der einzelnen Schritteausschliesslich Definitionen, Axiome undschon bewiesene Sätze herangezogen, und esgibt davon nur endlich viele; zudem sind dieSchlussweisen vorgeschrieben, und alles ist ineiner Kunstsprache abgefasst, die keinenRaum lässt für Zweideutigkeiten und Miss-verständnisse.

5Wenn Descartes alles Bezweifelbare nie-derreisst und nach einem sicheren Grund

für seine Philosophie sucht8, so sucht ergewissermassen die Axiome seiner Philoso-phie, einen festen Stand, von dem aus sichAussagen ableiten lassen, die sicher relativ zuden Axiomen sind. Wenn Luther fordert9,«der Legat oder selbst der Papst sollen nichtnur sagen, du irrst, du hast falsch gelehrt,sondern den Irrtum in der Bibel nachweisenund Begründungen anführen», so sind dieAussagen der Bibel für ihn die Axiome, under fordert, dass jede theologische Sentenzdaraus zu «beweisen» ist. Übrigens hat sichdie Theologie verschiedentlich der in 4

besprochenen mathematischen Beweisme-thode bedient. In der Absicht, die ExistenzGottes zu beweisen, hat etwa Anselm10 defi-niert:Gott = Dasjenige, wozu nichts grösseresgedacht werden kann11.Dann «bewies» er, dass Gott in Wirklichkeitexistieren muss, da aus der Annahme, Gottwürde nur im Geist existieren, geschlossenwerden könnte, dass etwas grösseres gedachtwerden kann, nämlich der in der Wirklich-keit existierende Gott; dann aber wäre Gottnicht mehr dasjenige, wozu nichts grösseresgedacht werden kann. Widerspruch!Anselms «Beweis» stützt sich also auf eineDefinition und mindestens auf das Axiom,dass ein in Wirklichkeit existierendes Dinggrösser ist als das entsprechende nur im Geistvorhandene Ding. Damit versucht Anselm,seine Schlussfolgerung unempfindlich gegenKritik zu machen, und in der Tat ist dieSchlussfolgerung korrekt; die Definition unddas Axiom sind aber, genau so wie in derMathematik, keineswegs geschützt gegenKritik!

Es darf nicht verschwiegen werden, dassbei der alltäglichen Arbeit des Mathemati-kers und der Mathematikerin die Orientie-

rung an Definitionen, Axiomen und früherbewiesenen Sätzen nicht im Vordergrundsteht. Soll eine neue Vermutung bewiesenwerden, so ist zunächst ein guter Einfall, einestarke Idee nötig. Erst danach kann derBeweis zu einer Abfolge begründeter Schrit-te ausformuliert werden, die alle Bezug neh-men auf Definitionen, Axiome und früherbewiesene Sätze.

Zum Schluss sei noch ein kleines mathe-matisches Problem gestellt, zu dessen Lösungein guter Einfall nötig ist. Sie sind herzlicheingeladen, sich an dem Beweis zu versuchen.(Eine Lösung finden Sie in den Anmerkun-gen12.) Wir behaupten: Aus den 3k Zahlen(k≥2)

0,1,2,3, ... ,3k –1

können mindestens 2k verschiedene Zahlen aus-gewählt werden mit der Eigenschaft, dass dreibeliebige Zahlen a<b<c dieser Auswahl mitSicherheit unterschiedliche Abstände haben, d.h.dass c-b≠b-a ist. Können Sie das beweisen?

6Die Mathematik ist einem speziellenoptischen Gerät vergleichbar, das Teile

der Welt sichtbar macht. Genau genommenmacht es diese Teile nicht sichtbar, sondernbildet sie durch einen komplizierten,undurchschaubaren Mechanismus ab. Wennwir Beweise führen, so beweisen wir nichtSachverhalte der Welt, sondern immer nurSachverhalte dieser Abbildung; wir beweisen,dass gewisse Elemente der Abbildung ingewissen Beziehungen zueinander stehen. Indiesem Sinne lässt sich über die Mathematiksagen, was K. Popper13 über das menschlicheWissen sagte: «Unser Wissen ist ein kritischesRaten, ein Netz von Hypothesen, ein Gewebevon Vermutungen.» In diesem Gewebe sinddie mathematischen Beweise reissfeste Strän-ge, doch ihre Enden sind an tausend Stellenmit dem restlichen Gewebe verknüpft, undan diesen Stellen kann das Gewebe reissen…

8 nämlich das «Dubito, ergo sum», meistzitiert als «Cogito, ergo sum». Descartesselbst schrieb aber: «Dubito, ergo sum,vel, quod idem est: Cogito, ergo sum.»

9 aus einem Brief Luthers an seinen Lands-herren, Nov. 1518; aus: M. LuthersWerke, Briefwechsel, Bd.1. WeimarerAusgabe, 1930

10 Anselm von Canterbury, 1033–1109,Benediktiner, später Erzbischof von Can-terbury

11 Deus = ens, quo maius cogitari nonpotest

12 Wir stellen die 3k Zahlen im 3er-Systemdar: 0, 1, 2, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 100, ... Dabei sind maximal k Stellennötig. In dieser Menge lassen sich 2k

Zahlen finden, in denen die Ziffer «2»nicht vorkommt. Wir wählen geradediese Zahlen aus! Seien a<b<c drei be-liebige Zahlen dieser Auswahl, so kannunmöglich c-b = b-a gelten. Wäre dasnämlich so, so müsste ja c+a= 2b sein.Die Zahl 2b enthält aber nur die Ziffern 0und 2, während c+a an mindestens einerStelle eine 1 enthalten muss! (a und csind verschieden, d.h. es gibt mindestenseine Stelle, an der a eine 0 und c eine 1aufweist oder umgekehrt.)

13 K. R. Popper, Objektive Erkenntnis, Hamburg 1974

gh 1• 0223

Georg Schierscher-Marxer

Im Zusammenhang mit einem Artikel in derNZZ (Nr. 131, 1999, S. 14) stiessen wir aufeine Fotografie vom geographischen Mittel-punkt der Schweiz, ein Bild, das uns nichtmehr losliess: Mittelpunkt eines Landes –was ist das? Wie wird er bestimmt und dannins Gelände übertragen? Ein Thema für denMathematikunterricht?

Solche und weitere Fragen beschäftigtenuns vor einer in zweifacher Hinsicht be-sonders motivierenden Zeit. Einerseits warnämlich das Folgejahr von der Internatio-nalen Mathematikervereinigung zum WorldMathematical Year 2000 erklärt worden, fürdas die Unesco die Patenschaft übernommenhatte. Dabei galt eines seiner Ziele der Popu-laritätssteigerung der Mathematik. Anderer-seits lag es nahe, die Problemstellungen indas am liechtensteinischen Gymnasium an-gebotene Sonderwochenprojekt Vermessungaufzunehmen.

Als rechnerisches Ergebnis lagen dann imletzten Herbst die Koordinaten des geogra-phischen Mittelpunktes von Liechtensteinvor:

Y = 760 361, X = 223297.In diesem Punkt wurde ein Findling alsMarkstein gesetzt und eingeweiht.

Didaktisch entpuppte sich das Projekt alssehr beziehungshaltig, greift es doch in Wis-senschaften wie Mathematik, Physik, Infor-matik, Kartographie, praktische Vermessung,Petrographie und Geologie. Vielleicht regt esdazu an, in künftigen Facharbeiten den geo-graphischen Mittelpunkt dieser oder jenerGemeinde zu berechnen.

■ Österreich, Schweiz, Europa

Ein gezielter Blick ins Internet belegt, dassviele Länder Europas und Europa selbstihren geographischen Mittelpunkt bestimmtund dort einen Markstein gesetzt haben.1949 wurde Bad Aussee in der Steiermarkzum geographischen Mittelpunkt Öster-reichs «erhoben», derjenige unseres Nachbar-landes Schweiz liegt auf der Alp Älggi ober-halb von Sachseln OW. Das Bundesamt fürLandestopographie hat ihn 1988 anlässlichseiner 150-Jahrfeier berechnet und ausge-messen. Nach den Berechnungen von 1989durch das Nationale Geographische Institutvon Frankreich befindet sich «Europos Cen-tras» (erwartungsgemäss?) in Litauen nahebei Wilna!

■ Mittelpunkt eines Landes – was ist das?

Wir sind uns einig über den Mittelpunkteines Kreises und/oder eines Quadrates, aberschon beim Dreieck geraten wir etwas in Ver-legenheit, da sein Inkreis- und sein Umkreis-mittelpunkt sowie sein Schwerpunkt im all-gemeinen verschieden sind, ganz zu schwei-

Geographischer Mittelpunkt von Liechtenstein

Wie lässt sich der geographische Mittelpunkt eines Landes bestimmen und ins Gelände

übertragen? Der Autor erörtert diese Frage anhand von Liechtenstein.

Comment définir le centre géographique d'un pays, comment le placer sur le terrain? L'au-

teur répond à ces questions, prenant pour exemple le Liechtenstein.

Briefmarke zum Weltjahr 2000 der Mathematik

gh 1• 0224

gen von einer Figur mit vier, fünf oder mehrEcken, die normalerweise weder einen In-noch einen Umkreis besitzt und derenSchwerpunkt beispielsweise bei V-Formsogar ausserhalb der Fläche liegt.

In Deutschland beanspruchen rund einhalbes Dutzend Ortschaften – mit gutenGründen – Träger des Landesmittelpunkteszu sein. Diese Tatsache ist nicht in jedemFalle Ungenauigkeiten der Daten oder derErmittlung anzulasten, sondern fusst auf ver-schiedenen Interpretationen des Begriffes dergeographischen Mitte.

Aus der Literatur sind uns um die zehnVerfahren bekannt, nach denen der geogra-phische Mittelpunkt seine jeweilige Bedeu-tung bekommt, so z.B.:• Man wählt auf der Landesgrenze in regel-

mässigen Abständen Punkte aus undermittelt dann jenen Ort im Landesinne-ren, für den die Summe der Entfernungenvon diesen Grenzpunkten minimal ist.

• Die Landesfläche wird verkleinert, indemderen Aussenlinien auf Orthogonalen zudiesen um jeweils gleiche Strecken nachinnen verschoben werden, bis man einenPunkt (oder unter Umständen eine Linieoder mehrere Punkte) erhält.

• Die Landesfläche wird von innen durchein Rechteck, einen Kreis oder eine ande-re geometrische Figur maximaler Flächeausgefüllt und dann der entsprechendeMittelpunkt festgestellt.

■ Entscheid für den Flächen-schwerpunkt als geographischer Mittelpunkt

Die Methoden solcher Art sind recht unter-schiedlich in der Praktikabilität und vorallem in der Rechenintensität. Ungeachtetdes jeweiligen Arbeitsaufwandes richtet sichdie Methodenwahl eventuell auch nach derbesonderen Form eines Landes. Wir habenuns für den Flächenschwerpunkt als geogra-phischen Mittelpunkt von Liechtenstein(gMFL) entschieden.

Experimentell-anschaulich können wir diesen wie folgt bestimmen: Wir schneidenirgend ein Land – in unserem Falle Liech-tenstein – aus einer ebenen, homogenen Plat-te längs seiner massstäblich verkleinerten

Landesgrenzen aus. Durch Probieren lässtsich der Ort finden, in dem man die Platteunterstützen muss, damit sie dort, auf einerSpitze gelagert, zur Balance kommt. DieserOrt ist der (Flächen-) Schwerpunkt der Plat-te. Der Experimentalphysiker würde diese alsPendel aufhängen und den Schwerpunkt alsSchnittpunkt zweier Lotgeraden erhalten.Ein Planzeichner könnte den Flächen-schwerpunkt traditionell mit einem Planime-ter eruieren.

Solche experimentell gewonnenen Resul-tate vermögen so oder so dem fachüblichenAnspruch nach Metergenauigkeit nicht zugenügen, entspricht doch einer Abweichungvon einem Millimeter auf der Karte imMassstab 1:25000 eine solche von 25 Meternin der Wirklichkeit. Abgesehen vom «Berufs-stolz» blieb uns also nichts anderes übrig, alsnach einer rechnerischen Lösung zu suchen.

■ Schwerpunkt von Dreiecken und Dreiecksystemen

Eine unserer Methoden zur Berechnung desFlächenschwerpunktes wird so verlaufen,dass wir die Fläche Liechtensteins in Drei-ecke zerlegen, von jedem Dreieck denSchwerpunkt und dann den Schwerpunktdieses Systems von Dreiecken berechnen.

Schwerpunkt eines Dreiecks

Die Abbildung unten zeigt ein allgemeinesDreieck, das längs einer Seitenhalbierendens1 auf der schmalen Kante eines Lineals ruht.Wie das Experiment zeigt, befindet sich dasDreieck im Gleichgewicht; der Schwerpunktliegt somit auf der Strecke s1, die sich daherals Schwerlinie erweist. Physikalisch-geome-trisch können wir uns das dadurch erklären,dass zu jedem Flächenelement oberhalb von

Auf Linealkante balancierendes Dreieck

gh 1• 0225

s1 ein solches unterhalb von s1 vorhanden ist.Beide Flächenteile haben gleichen Abstandvon der (schiefen) Symmetrieachse und lie-gen auf dem selben Symmetriestrahl, haltensich also die Waage.

Die analoge Erfahrung machen wir mitden Seitenhalbierenden s2 und s3. Aus derGeometrie ist bekannt, dass sich die dreiSchwerlinien in einem Punkt, dem Schwer-punkt des Dreiecks, treffen und dass dieserdie Schwerlinien im Verhältnis 2:1 teilt. Mitdiesem Wissen ist die Schwerpunktslageeines beliebigen Dreiecks berechenbar.

Schwerpunkt eines Dreiecksystems

Zur Berechnung des Gesamtschwerpunktesunseres aus knapp 2200 Dreiecken bestehen-den Systems können wir uns die Masse einesjeden Dreiecks in seinem Schwerpunkt – imMassenmittelpunkt, wie er auch genanntwird – vereinigt denken. Mit der Masse, inunserem Falle mit der dazu proportionalenFläche, geht die Grösse eines jeden Dreiecksin den Kalkül ein. Der Gesamtschwerpunktergibt sich durch die fortgesetzte Berechnungdes Schwerpunktes des jeweiligen Teilsys-tems von Dreiecken und des folgenden Dreiecks. Man kann sich dieses System alskomplexes Mobile mit den knapp 2200 Drei-ecken als Anhängsel vorstellen: sein Schwer-punkt liegt auf der Verlängerung des obers-ten, zur Zimmerdecke führenden Fadens.

Das Problem läuft auf die Frage nach derLage des Schwerpunktes zweier Massen(Dreiecke) hinaus. Die Idee zur Antwort seiam Beispiel zweier Dreiecke mit den Massen(Flächen) 3 und 2 erläutert. Sie lehnt sich anein Gedankenexperiment von Archimedes(287? – 212 v. Chr.) an.

An den masselos gedachten Hebelarmenhängen die Massen 3 und 2. Diese werdenbeziehungsweise durch drei und zwei Paaresymmetrisch angebrachter, äquidistanterMassen 1⁄2 ersetzt, wie die obige Zeichnung

zur Veranschaulichung des Hebelgesetzesersichtlich macht. Der Schwerpunkt diesessymmetrischen Systems liegt in der Mittedesselben. Nun fällt auf, dass die Masse 3zwei Längeneinheiten links und die Masse 2drei Längeneinheiten rechts vom Schwer-punkt entfernt ist. Dieser Spezialfall steht imEinklang mit der Lehre vom Hebel und vomSchwerpunkt, dass nämlich• der Schwerpunkt zweier Massen auf deren

Verbindungslinie liegt und• er diese im umgekehrten Verhältnis der

Massen teilt.

■ Varianten der Berechnung des gMFL

Es war eine verlockende Herausforderung,den bis anhin unbekannten geographischenMittelpunkt von Liechtenstein mit den Mit-teln der Schulmathematik zu berechnen.Das FL-Tiefbauamt übergab uns vertraulich zu diesem Zwecke die digitalisierten, auf Meereshöhe reduzierten Koordinaten derLandesgrenzpunkte.

Nun galt es, zwei Schlüsselprobleme zulösen: Eine adäquate Berechnungsmethodezu finden und entsprechende Programme zuschreiben, da die Datenfülle und viele Gra-phiken ohne Computer nicht zu bewältigengewesen wären.

Aus theoretischem Interesse und ausFreude an der Methodenvielfalt, aber auch zuKontrollzwecken, dachten wir uns die fol-genden drei Berechnungsverfahren aus.

1. Berechnung mit TriangulationIn der folgenden Prinzipskizze (S. 26) seienG1 bis G5 die Landesgrenzpunkte. In Wirk-lichkeit sind es n = 2185 an der Zahl; ihreKoordinaten x und y beziehen sich auf dasschweizerische Landeskartennetz. Wir wähleneinen beliebigen Punkt P – aus praktischenGründen ungefähr beim vermuteten Flächen-schwerpunkt – verbinden ihn mit allen Grenz-punkten und erzeugen auf diese Weise ein überdie Landesfläche gelegtes Dreiecksnetz.

Nun wird aus den Eckenkoordinaten vonjedem der n Dreiecke der SchwerpunktSi(xi /yi), für i = 1, 2, …, n, und aus allen die-sen Schwerpunkten durch Gewichtung mitdem jeweiligen Dreiecksflächeninhalt Ai derGesamtschwerpunkt S(xS,yS) berechnet.

Veranschaulichung zum Hebelgesetz

gh 1• 0226

Da aber die Landesfläche nicht konvex ist– zwei «Flächenbewohner» also nicht vonallen Positionen aus Sichtkontakt zueinanderhaben – kann es wie im Falle des ΔPG4G5vorkommen, dass Teile davon sogar unter-schiedlich oft in die Rechnung eingehen(ΔHG4G5 zweimal, ΔPG4H dreimal) unddass Teile (ΔHG4G5) gar nicht zur Landes-fläche gehören!

Wir ziehen uns dadurch aus der Schlin-ge, dass wir mittels des (sog.) Vektorproduk-tes die Orientierung der Flächen ins Spielbringen und so für die Dreiecke PG1G2,PG2G3, ..., PG5G1 je nach Umlaufsinn posi-tive (Gegenuhrzeigersinn) oder negative(Uhrzeigersinn) Flächeninhalte errechnen.

Auf diese Weise geht die Fläche vonΔPG4H bzw. deren Drehmoment im Endef-fekt genau einmal (positivwertig) in dieSchwerpunktsberechnung ein, während das-jenige von ΔHG4G5 wie gewünscht aus derRechnung fällt.

2. Weitere Berechnungsmethodena) Quadratraster-Methode

Wir betten die Landesfläche in ein Recht-eck ein und überdecken dieses schlicht miteinem Quadratraster. Der Gesamtschwer-punkt ergibt sich dann aus den Schwer-punkten jener Quadrate, die ganz imLandesinneren liegen oder zumindestderen Mittelpunkte. Mit der Verklei-nerung der Rasterquadrate kann die

Genauigkeit (theoretisch beliebig) ge-steigert werden. Damit erhöht sich aberauch die Rechenzeit des Computers undfindet darin seine Begrenzung. Bei Qua-draten mit 25 m Seitenlänge (Salongrösse)liefert dieses Verfahren die Schwerpunkts-koordinaten bereits metergenau.

b) Monte-Carlo-Methode

Bei dieser Methode wird – wie der Nameverrät – der Schwerpunkt «erwürfelt».Dazu wird die Landesfläche wiederum inein Rechteck eingebettet. Letzteres wirdmit Millionen von computergesteuertenWürfen nach dem Pseudozufallsprinzipmit Punkten «gleichverteilt» überdeckt(vgl. Bild S. 27 links) – Schneeflockengleich, die in zufälliger Weise auf einStück Erde fallen. Aus den ins Landes-innere fallenden Punkten (Treffer) kann inAnlehnung an die Methode a) auf denGesamtschwerpunkt geschlossen werden.

Unserem Auge fällt es leicht zu erkennen,ob ein Punkt im Landesinneren liegt odernicht. Nicht so beim Computer: DieErzeugung eines solchen Erkennungs-algorithmus und dessen Programmierungverlangte einige Denkarbeit.

Prinzipskizze

Liechtenstein im CH-Landeskartennetz

gh 1• 0227

Die beiden Methoden aus 2. sind unver-gleichlich viel rechenintensiver als die Trian-gulationsmethode aus 1., aber alle drei Varianten liefern die gleichen, metergenauerwünschten Koordinaten des geo-graphischen Mittelpunktes von Liechten-stein, nämlichY = 760 361 X = 223 297.

Sie beziehen sich – wie oben schonerwähnt – auf das schweizerische Landeskar-tennetz; der gMFL liegt somit 160 361Meter östlich und 23 297 Meter nördlichvom Nullpunkt, der bei der ehemaligenSternwarte in Bern liegt.

■ Vermessung des gMFL

Nach der Berechnung des gMFL musste die-ser Punkt auf der Alp Bargälla vermessenwerden. Da es dort oben nur ganz wenige,zudem ungünstig gelegene Vermessungs-punkte gibt, entschieden wir uns für Satelli-tenvermessung mit Referenzpunkt (DGPS).Wir wählten einen Tag aus, an dem von ca.11 bis 12 Uhr eine erfolgversprechendeKonstellation von 9 empfangbaren Satellitenvorhergesagt war. Doch der gMFL lag auchzu diesen Zeiten überwiegend im Funkschat-ten des nahen Berghanges. Wenig abseits, wowieder volle Funkverbindung gegeben war,errichteten wir daher eine ca. 100 m langeBasislinie und steckten den gMFL von dortaus traditionell mit dem Tachymeter ab.

■ Markstein mit Inschrift

Monate später setzte ein Grosshelikopter den41⁄2 Tonnen schweren Findling mit der imBild unten erkennbaren, symbolisch nachOsten ausgerichteten Inschrift im gMFL ab.Der Markstein stammt aus dem öster-reichischen Abschnitt des Saminatales, dasLiechtenstein in der Süd-Nordrichtungdurchzieht. Er ist ein offizielles Geschenk derRepublik Österreich an unser Land.

Anhand von Gesteinsproben wurde dererratische Block petrographisch untersucht;Prof. Allemann, der Verfasser der geologi-schen Karte von Liechtenstein, hat eigens ineinem kurzen Bericht dessen Herkunft undWerdegang beleuchtet. Die Kosten wurdenvom Land und von der Trägergemeinde Trie-senberg übernommen.

Markstein im geographischen Mittelpunkt von Liech-tenstein

Bild mit bloss 5000 Würfen

Georg Schierscher-Marxer

studierte in Fribourg Mathematik und Physik und unterrichtet heute am

(einzigen!) Liechtensteinischen Gymnasium in Vaduz.

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Die Mathematik geniesst eine hohe Wert-schätzung in unserer Gesellschaft. Vielen istbekannt, dass das Rechnen im Alltag und imBankwesen dank mathematischer Formalisie-rungen effizient abgewickelt werden kann,dass die Ingenieurwissenschaften ohneMathematik nicht auskommen und dass dieComputer, die eng mit Mathematik verbun-den sind, die Raumfahrt erst ermöglichthaben. Der Siegeszug des Computers in allenLebensbereichen ist der greifbare Beweisdafür, dass die Mathematik eine Schlüsselstel-lung für alle technischen Errungenschaftenund für jeden naturwissenschaftlichen Fort-schritt innehat. Wer wollte angesichts dieserTatsachen die starke Stellung der Mathema-tik im Kanon der Schulfächer in Zweifel zie-hen? Da hat es der Lateinunterricht an unse-ren Gymnasien schon schwerer, sich zu recht-fertigen. Er muss sich auf tiefer liegendeBildungswerte berufen, denn der direkte Nut-zen des Lateins im Alltag ist nicht mit Hän-den zu greifen. Vielleicht blickt das Lateinsogar mit Neid auf die Mathematik, derenStand so fest und so einfach zu begründen ist.

Schauen wir uns die Schule aber etwasnäher an, ziehen Wolken am strahlendenHimmel der Mathematik auf. Was hat denndie Mathematik, die nach der Primarschuleunterrichtet wird, mit dem Leben der Jugend-lichen zu tun? Wer braucht denn nur schonden Dreisatz, der am Schluss der Primar-schulzeit vermittelt wird? Mitten in derSchulzeit kümmert es die Lernenden wenig,dass die Mathematik in Technik und Wissen-schaft intensiv genutzt wird. Sie möchten wis-sen, wozu sie hier und jetzt gut ist. «Wozumüssen wir das lernen?» ist die gefürchteteSchülerfrage. Angesichts der starken Stellungseiner Wissenschaft ist es begreiflich, dass einerfolgsgewohnter Mathematiker mit Hinwei-sen auf die Zukunft antwortet: «Warte nur bisdu einmal gross bist, dann wirst du erkennen,wie wichtig die Mathematik für die Mensch-heit ist.» Oder in einer anderen Variante:«Lerne zuerst einmal die Grundtechniken,dann wirst du später die Schönheiten derMathematik verstehen und geniessen kön-nen.» Erstaunlicherweise werden diese vertrö-stenden Zukunftsargumente häufig akzeptiert

Vom Sinn des Mathematikunterrichts

Lässt sich Mathematikunterricht als «Schule des Denkens» rechtfertigen? Mit dem Bild einer

Bergwanderung zeigt der Autor auf, wie der Unterricht für Lehrende und Lernende sinnvoll

wird.

L'enseignement des mathématiques peut-il être défini comme une «école de pensée»? L'au-

teur en montre le sens, pour les professeurs comme pour les élèves, en filant la métaphore

de la randonnée en montagne.

Peter Gallin

Peter Gallin wohnt seit 1977 in der Zürcher Gemeinde Bauma, ist

verheiratet und hat zwei Kinder. Geboren wurde er 1946 in St.

Moritz (Schweiz) und besuchte das Gymnasium «Lyceum Alpinum»

im benachbarten Zuoz. Es folgte ein Studium der theoretischen

Physik an der ETH in Zürich mit Diplomabschluss. Anschliessend war Peter Gallin zwei Jahre

Assistent für theoretische Physik und bildete sich gleichzeitig zum Gymnasiallehrer für

Mathematik und Physik weiter. Seine Dissertation befasst sich mit der n-dimensionalen

Spiegelungsgeometrie. Seit 1973 ist er Professor für Mathematik an der Kantonsschule

Zürcher Oberland in Wetzikon und zusätzlich seit 1985 Lehrbeauftragter für Fachdidaktik der

Mathematik an der Universität Zürich.

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und verinnerlicht. Damit wird ein Argumen-tationsmuster zementiert, das die Lernenden,wenn sie selbst einmal erwachsen sind, ihrer-seits repetieren und so von Generation zuGeneration weitergeben. Um aber der Fragenach dem Sinn des Mathematikunterrichtsauf den Grund zu gehen, wäre es manchmalbesser, wenn diese Verweise auf eine sicherfüllende Prophezeiung von den Lernendenzurückgewiesen und unter Protest andere, aufdie Gegenwart bezogene Antworten eingefor-dert würden. Das würde die Mathematikleh-rerinnen und -lehrer zwingen, nach anderen,besseren Argumenten Ausschau zu halten,Argumenten, die das Lernen von Mathematikim Hier und Jetzt erleichtern könnten.

Als junger Gymnasiast habe ich einmalauf dem Schulweg älteren Mitschülerngegenüber die Vermutung geäussert, imLatein würde man schon denken lernen, weildie Wörter, die zusammengehörten, so weitim Text verstreut seien. «Nein, nein», warderen überzeugte Meinung, «logisch denkenlernt man in der hohen Schule der Mathema-tik.» Ich höre heute noch den dezidierten undzugleich würdevollen Tonfall, mit dem diedamals vielleicht 17-Jährigen mir diesenLehrsatz vermittelten. Vielleicht wurde hiereine Weiche in meiner Berufswahl gestellt,denn im Verlauf der weiteren Gymnasialzeitfühlte ich mich tatsächlich mehr und mehrvon der «Schule des Denkens» in der Mathe-matik angezogen. Aber nicht vielen ergingund ergeht es so. Jetzt, nachdem ich Mathe-matiklehrer geworden bin, stelle ich fest, dassauch dieses Argument nicht unbedingt ver-fängt, denn auch ihm haftet eine Zukunfts-orientierung an: «Du wirst logisch denken ler-nen, wenn du dich mit Mathematik beschäf-tigst.» Obwohl das Argument besser auf dasWesen der Mathematik passt als nur der Hin-weis auf die Nützlichkeit der Mathematik fürdie Menschheit, kann es missbraucht werden,um scheinbare Sinnlosigkeit in der Gegenwartmit einem versprochenen Paradies in fernerZukunft zu entschuldigen. Ausserdem kannnatürlich jedes Schulfach für sich beanspru-chen, eine «Schule des Denkens» zu sein.

Wir stehen also vor der zentralen Frage:Wie wird Sinn in der Gegenwart produziert?Schauen wir uns doch einmal ausserhalb derSchule um. Wann finden wir, dass etwas sinn-voll ist? Niemand wird wohl behaupten, dass

eine Bergwanderung zum Beispiel keinenSinn habe. Und doch, nüchtern betrachtet,bringt einen eine Bergwanderung kaum wei-ter: Am Schluss ist man ja meist wieder amAusgangspunkt und hätte doch ebenso gutgleich dort bleiben können. Weshalb unter-zieht man sich denn freiwillig einigen Mühenund Strapazen und setzt sich manchmal sogarlebensbedrohenden Gefahren aus? Es scheintdie Befriedigung zu sein, die man nach über-standener Anstrengung erlebt, wenn manzurück schaut auf das durchwanderte Gebiet,oder wenn man vom Aussichtspunkt aus einewunderbare Fernsicht hat, oder wenn manspürt, wie die eigenen Glieder ermüdet sind,oder wenn man im Kreis der Gefährten vonErlebnissen erzählen kann. Genuss undBefriedigung sind sinnstiftend, aber wohl nurdann, wenn davor eine Anstrengung liegt.Dabei ist entscheidend, dass die Anstrengungabsehbar, erträglich und vor allem freiwilliggewählt ist. Wird aber das Genussvolle verab-reicht, ohne dass eine Eigenleistung voran-geht, bleibt – vor allem, wenn das immer wie-der passiert – ein schaler Nachgeschmackübrig. Ein Mensch sucht sich offenbar genaudasjenige Mass von Anstrengung aus, das zuerbringen er fähig ist. Das zeichnet seine Vita-lität aus. Das hinterlässt Befriedigung.

Das Bild von der Bergwanderung passtrecht gut auf die Mathematik, weil Mathema-tik-Treiben von der Sache her zuerst einmaleine ganz private Angelegenheit ist, so privat,wie die Leistung des Aufstiegs auf der Berg-wanderung, die jede teilnehmende Personhöchst persönlich erbringen muss. Niemandwird – in der Regel – auf einer Sänfte hochgetragen. Dass es auch genussvoll sein kann,zur Abwechslung einmal mit einer Bergbahnhochzufahren, sei keineswegs verschwiegen.Besonders, wenn die Klippen allzu steil sind,mag das durchaus sinnvoll sein. Nun sind aberdie Berge der Mathematik im Bereich derSchulmathematik in der Regel nicht unbe-zwingbar. Das meiste kann bei mittlerer Kon-dition aus eigener Kraft bewältigt werden.Gerade im Gegensatz zu anderen Schul-fächern wird in der Mathematik sehr wenigWeltwissen und Lebenserfahrung vorausge-setzt. Mathematische Zusammenhänge kön-nen tatsächlich allein mit Bleistift und Papiererforscht und erfunden werden. Es brauchtkeine Literatur, keine Experimente und keine

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Experten, um mathematisch tätig werden zukönnen. Es reicht, wenn man zählen kann.Das ist so elementar wie das Singen und dasGehen. Darum gibt es in der Mathematik undin der Musik die jüngsten Wunderkinder.Natürlich hat sich die Mathematik – wie auchdie Musik – zu einer hohen Wissenschaft ent-wickelt, in der es viel zu lernen gibt, und dieschliesslich nur noch für Leute mit Spitzen-kondition zu erklimmen ist. Das Charakteri-stische an ihr ist aber trotzdem, dass sie mitden geringsten Voraussetzungen auskommt,die ausserhalb des Wissenschaft treibendenIndividuums liegen. Diese spezielle Eigenartder Mathematik kann nun pädagogisch nutz-bar gemacht werden, damit die Schülerinnenund Schüler den Mathematikunterricht nichtnur als nützlich für die Zukunft, sondern auchals sinnvoll im Hier und Jetzt erleben können.

Eine Englischlehrerin gestand mir kürz-lich: «Sinn machte der Mathematikunterrichtimmer dann, wenn ich das Gefühl hatte, etwaszu durchschauen und etwas zu können.» Manmuss den Lernenden also die Gelegenheitgeben, aufgrund individueller und angemesse-ner Anstrengung einen Durchblick und einKönnen zu erlangen, das sie als befriedigenderleben können. Die Lernenden sollen spüren,wie sie sich aus eigener Kraft von einer ver-wirrlichen, chaotischen Situation zu einerklärenden Struktur, einem eindrücklichenMuster emporarbeiten können. Kein Fachofferiert ein derart elementares Tätigkeitsfeldzum Erfahren und Trainieren der eigenenKräfte wie die Mathematik. Descartes’ «cogi-

to, ergo sum» erfährt eine pädagogische Fär-bung und Umdeutung zu «ich treibe Mathe-matik, also spüre ich mich selbst». Das hatweit reichende Konsequenzen auf die Gestal-tung des Unterrichts.

Als junger Mathematiklehrer habe ichdiverse Stufen der Vermittlung von Mathe-matik erprobt. Zuerst glaubte ich, ich müsstealles nur gut erklären, damit es die Lernendenverstehen. Das ist auch recht gut gelungen,aber alles war so schnell wieder vergessen, dassbereits zu Hause nicht mehr klar war, was inder Stunde erklärt worden ist. Dann glaubteich, dass mit den Themen der Mathematikmehr Lebensbezug, also eine Verbindung zurrealen Welt hergestellt werden müsste. Dieshatte vielfach den Effekt, dass die Problem-stellungen rapid schwierig wurden und dieLernenden bald überforderten. Ausserdembestand dabei die Gefahr, dass ich den obliga-torischen Lehrplanstoff nicht mehr in der vor-gesehenen Zeit behandeln konnte. Schliesslichbin ich zu reinen Fragestellungen der Mathe-matik, zu den ganz elementaren, im Lehrplanvorgesehenen Stoffen, zurückgekehrt und stelle sie zuerst einmal ins Zentrum. Im Unter-schied zu früher lasse ich aber den Schülerin-nen und Schülern beim Erkunden den Vor-tritt. Das bedeutet, dass ich nicht mehr so vielerkläre wie früher, sondern die Lernenden mitgeeigneten Aufträgen und Lernaufgaben dazuauffordere, möglichst auf eigenen Wegen sichdas neue Stoffgebiet zurechtzulegen und dabeiüber ihre Probleme, Erfolge, Misserfolge undSchwierigkeiten schriftlich Protokoll zuführen. So wird die Arbeit der Lernenden imMathematikunterricht nicht unbedingt beque-mer und einfacher, denn es gibt immer wiederDurststrecken auszuhalten. Im schlimmstenFall aber kann ich immer helfend eingreifen.Ich stürme einfach nicht mehr mit wehendenFahnen und dem Motto «mir nach!» voran,sondern sage «geh du voran!» Wer kennt nichtdas Problem der Orientierung in einer frem-den Stadt? Hat man einen Führer, der einemlückenlos den Weg weist, wird man den glei-chen Weg am nächsten Tag nur noch mitSchwierigkeiten finden. Hatte man dagegeneinen Stadtplan, mit dem man in eigenerRegie den Weg zusammenstellte, wird mansich am nächsten Tag problemlos an ihn erin-nern und vielleicht sogar Verbesserungenanbringen.

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Der Lohn für die Erkundungsarbeit ist fürdie Lernenden der Genuss, sich dem Ziel auseigener Kraft genähert oder es sogar erreichtzu haben. Dann gibt es viel zu erzählen unddie Erlebnisse bleiben lange haften. Auchjene, die das Ziel nicht ganz erreichten undschliesslich auf meine Hilfe angewiesenwaren, haben das Problem aus nächster Nähekennengelernt und sind in der Regel dankbarfür meine Antworten auf ihre Fragen. Daserleben oft sogar bestandene Mathematiker,wenn sie an die eigenen Grenzen stossen undsich Hilfe bei Kollegen und in Büchern holenmüssen. In diesem Sinn wird also die Beschäf-tigung mit Mathematik zu einem Ort derSelbsterfahrung. Man lernt seine Stärken undSchwächen genau kennen, ohne in psycholo-gisierende Bereiche zu geraten. Man muss janicht gleich an Aischylos denken, der dieberühmte Formel «durch Leiden lernen»geprägt hat. Der Lernende kann nämlich dasMass der Anstrengung selbst bestimmen unddarf auch manchmal die Bergbahnen benüt-zen, die auf alle Gipfel der Schulmathematikgebaut worden sind.

Es zeigt sich, dass sich mein Mathema-tikunterricht über die Jahre hinweg angerei-chert hat: Neben die genaue Analyse undDosierung der Schulstoffe, neben das einfühl-same, geduldige und variantenreiche Erklären,neben den Einbezug von Alltagssituationen,in denen Mathematik gebraucht werden kann,trat die Überzeugung, dass – wenn immermöglich – der Lernende produktiv tätig seinmuss, damit seine von ihm selbst dosiertenAnstrengungen mit Befriedigung belohntwerden und seine Erkenntnisse eine längereLebensdauer haben. Im Gegensatz dazu stehtein Unterricht mit Schwergewicht auf derRezeption des Stoffs, der normierte Anstren-gungen abverlangt und bei dem der tatsächli-che Stand der Lernenden viel schwerer einzu-schätzen ist. Wenn ich heute mit Studieren-den und angehenden Mathematiklehrerndiskutiere, so stelle ich mit erstaunlicherRegelmässigkeit fest, dass sie einen anregen-den und sinnvollen Mathematikunterrichtimmer gleichsetzen mit dem Behandeln vonspannenden Anwendungen der Mathematikin Technik und Alltag, sowie der bis ins Detailausgeklügelten Wissensvermittlung. Nur sel-ten werden diese beiden Fundamente mit demAspekt der singulären Tätigkeiten der Ler-

nenden verknüpft. Es mag einem jungenMathematiker schon unheimlich vorkommen,wenn man beim Lehren und Lernen vonMathematik die unberechenbare Seite desLernenden zum unterrichtsbestimmendenWegweiser macht. Tut man dies, hat aber derMathematikunterricht tatsächlich mit demLeben der Lernenden etwas zu tun, wie es diefür die Schule Verantwortlichen, also Aus-bildner und Aufsichtspersonen, immer wiederfordern. Nur ist dieser Zusammenhang wohlein etwas anderer, als ihn sich diese vorgestellthaben. Sie denken nämlich, wie die Studie-renden, auch zuerst an diejenigen Aspekte derMathematik, die man im Alltag und später inder Wissenschaft brauchen kann. Dass damitnur bedingt Sinn erzeugt wird, haben wiroben gesehen. Nein, der Bezug mit demLeben der Jugendlichen wird dadurch herge-stellt, dass sie sich durch ihre Eigentätigkeitselbst besser kennen lernen. Das ist die Stär-ke, die der Mathematikunterricht ausspielenkann und die vielfach unterschätzt wird.Neuere Forschungsergebnisse belegen geradeauch im Primarschulbereich, dass die Kindermotiviert mit Aufgaben in ihrer mathematischreinen Form arbeiten, bei denen also bewusstauf einen Bezug zur realen Lebenswelt derKinder verzichtet worden ist. Wichtig ist nur,dass die Kinder selbst Entscheidungen treffenund auf eigenen Wegen forschen dürfen. Einerwünschter Nebeneffekt der damit mögli-chen Konzentration auf den abstrakten Lehr-planstoff ist, dass das Zeitbudget besser ein-gehalten werden kann und die Maturzieletrotz verkürzter Mittelschuldauer und ver-minderter Wochenstundenzahl eingehaltenwerden können.

In meinem heutigen Mathematikunter-richt kommt es nur noch selten vor, dass ichvorgängig irgend welche Rezepte – sogenann-te Algorithmen – erkläre, die dann von denKindern getreulich ausgeführt werden sollen.Ich habe erfahren, dass Algorithmen – imwahrsten Sinne des Wortes – nicht jugendfreisind. Sie sollen nicht einem unerfahrenenGehirn präsentiert werden, weil sie sonstSchädigungen hervorrufen, Schädigungen amSelbstwert des Jugendlichen. Algorithmensind zwar nützlich und auch unschädlich,wenn sie von mühsamen Tätigkeiten, die manausführen will, entlasten oder sogar befreien.Deshalb ist das umständliche Hantieren in

ScuolaBox.Büro- und SchuleinrichtungenBaldeggstrasse 20, CH-6280 HochdorfTel. 041-914 11 41, Fax 041-914 11 40e-mail: [email protected]

sinnvoll zu erleben. Das reibungslose Funk-tionieren von perfekten Algorithmen zu über-wachen, ist auf die Dauer nicht sehr befriedi-gend, besonders weil in Tat und Wahrheitimmer wieder ärgerliche Defizite zu Tage treten, die korrigiert werden müssen. Vielgenussvoller ist es, wenn mathematisch Uner-wartetes erfunden und mitgeteilt wird. Ausdiesem Grund sollte auch von der Seite derLehrperson dem Unerwarteten, dem Überra-schenden, eben dem Singulären, im Unter-richt Raum gegeben werden. So kommt dasPrinzip der Befriedigung beiden, Lehrendenund Lernenden, zugute. Ein erfahrener Uni-versitätsdozent meinte einmal ironisch zumLehrberuf: «Und Spass möchtest du dabeiauch noch haben!» Ja, indem ich ein paar all-zu enge Auffassungen zum sinnvollen Mathe-matikunterricht erweitert habe, indem ich diesingulären Produktionen der Lernenden ein-beziehe, habe ich Spass beim Unterrichten:Der Unterricht ist für mich sinnvoll ge-worden.

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einem mathematischen Problemfeld notwen-dige Voraussetzung für das Verstehen vonAlgorithmen. Ausserdem verhindern die vor-gängigen, individuellen Bewegungen der Ler-nenden den Aufbau eines ungesundenAbhängigkeitsverhältnisses von der Lehrper-son. Groteske Züge von Abhängigkeit konn-te ich kürzlich bei der 12-jährigen Elisabetherleben, die bei der Lektüre von Schülertextenzum Zehnerübergang ausser sich geriet, weildrei von vier Schülern unkonventionelle Wegezum Berechnen der Summe von 8 und 9 vor-schlugen. Sie lamentierte unter Tränen, dassnur der von ihrer Lehrerin vermittelte Zeh-nerübergang korrekt sei und dass alles andereverboten werden müsste. So sehr hat Elisa-beth ihre Lehrerin in Schutz genommen, dassdabei die Mathematik auf der Strecke bleibt.Denn eine typisch mathematische Fragestel-lung ist es gerade: «Wie könnte man es dennauch noch anders machen?»

Schliesslich darf die Lehrperson auch ansich selbst denken. Auch ihr stehen Genussund Befriedigung zu, um den Unterricht als

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formations, dans «La Suisse et le monde», le magazine du Département fédéral des affaires étrangères

(DFAE). Pour des raisons techniques, seule l'édition allemande est jointe au présent numéro. Mais «La Suisse

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Aldo Dalla Piazza

■ Des nouveaux moyens d’enseigne-ment pour la scolarité obligatoire

La coordination romande aboutira en 2005 àune réalisation concrète très forte: à partir decette année-là, les élèves de Suisse romande,de la 1ère à la 9ème année, vivront un en-seignement des mathématiques basé sur desmoyens d’enseignement communs. L’intro-duction systématique des nouveaux moyens1P–4P (1ère à 4ème année primaire) s’est réa-lisée en 1997, celle des nouveaux moyens de5ème en 2001. Les moyens de 6ème suivronten 2002 puis, en 2003, les moyens 7-8-9. Unmême esprit devrait alors envelopper l’entierde la formation mathématique des élèves, àtravers l’ensemble des degrés.

Une telle réalisation est évidemment con-ditionnée par un jeu de contraintes et dechoix fondamentaux qui la compliquent considérablement. En ce qui concerne les

moyens 7-8-9, qui sont aussi ceux qui tou-chent de plus près aux études gymnasiales, ilconvient notamment de relever les aspectssuivants:• Le moyen d’enseignement 7-8-9 sera

commun à tous les élèves, quelle que soitleur orientation. Ce choix relève d’unevolonté de ne pas installer de discrimina-tion en considérant qu’il y aurait desmathématiques pour les uns différentes decelles valables pour les autres. Cela nerevient toutefois pas à nier l’existence dedifférences liées au développement de lapersonnalité, au rythme d’apprentissage, àl’aisance dans le raisonnement ou encore àl’histoire ou au degré de maturité de cha-que individu. Ainsi, le moyen d’enseigne-ment doit offrir un vaste choix d’activitéspouvant être traitées à différents niveauxd’approfondissement et être exploitées dediverses manières.

Rupture dans l’enseignement des mathématiques: l’avènement du socio-constructivisme?*

In der Westschweiz sollen bis 2005 alle Klassen den Mathematikunterricht auf gemeinsamer

Grundlage erhalten. Der Autor fragt nach Vor- und Nachteilen sowie nach der Rolle didakti-

scher Theorien, die sich in der Praxis bewähren müssen.

En Suisse romande, toutes les classes devront, d'ici à 2005, bénéficier d'un enseignement de

mathématiques sur une base générale. L'auteur explore les avantages et les inconvénients

d'un tel processus, ainsi que le rôle des théories didactiques qui définissent la pratique.

* Le texte se base sur deux exposés tenuslors de l’ouverture de la formation conti-nue préparant l’introduction de ces moy-ens d’enseignement dans la partie fran-cophone du Canton de Berne.

Aldo Dalla Piazza est pro-

fesseur de didactique des

mathématiques à l’Univer-

sité de Berne et expert au

sein de la commission de

lecture 7-8-9, responsable

des aspects relevant spécifi-

quement des mathéma-

tiques.

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• Le moyen d’enseignement sera communaux élèves des trois degrés: 7, 8 et 9. Il doitdonc couvrir les programmes des troisannées, sans découpage annuel. Ce choixest lié au précédent: offrir des opportunitésde différenciation pédagogique. Mais il estaussi lié à une conception d’un apprentis-sage peu cloisonné, basé sur une progres-sion en spirale dans laquelle une mêmenotion doit être reprise, graduellementapprofondie, abstraite, enrichie de facetteset de connexions à un réseau de plus enplus étendu de notions sœurs, dans unedémarche d’élargissement graduel duchamp de concepts dans lequel elle s’ins-crit. Ainsi, certaines activités doivent pou-voir être reprises et approfondies successi-vement, dans une diversité d’approches etde regards.

• Le moyen d’enseignement sera communaux élèves de toute la Suisse romande.Pour tenir compte des habitudes locales, ildoit contenir des éléments très divers, quipeuvent frapper là où ils ne sont pas cou-tumiers: vecteurs pour satisfaire lesdemandes des uns, trigonométrie ou déve-loppement de la rigueur et de la démons-tration dans le cadre de la géométrie poursatisfaire celles des autres. Bien que com-mun, le moyen d’enseignement ne seracependant utilisé d’une manière identiqueni partout ni par tous. Chacun mènera soncours selon sa propre représentation, selonl’esprit de son école ou de son canton et lesexigences de son plan d’études.

■ Au-delà de moyens communs, une méthode et un credo communs

Derrière des moyens communs, c’est bien uneméthodologie et une application communesde certaines théories didactiques qui s’impo-sent, des degrés 1 à 9. La fin des annéessoixante avait vu l’arrivée des mathématiquesmodernes, une représentation, voire une idéo-logie commune des mathématiques, issue ducercle des mathématiciens. Aujourd’hui ceserait le tour du socio-constructivisme, uneméthode, voire une idéologie commune del’enseignement des mathématiques. Elle nousviendrait du cercle des didacticiens desmathématiques.

Le fait socio-constructiviste est incon-tournable. Ce conditionnel ne marque doncpas des doutes quant au bien-fondé des choixeffectués mais vise à mettre en garde face àune schématisation abusive de la situation. Leparallèle avec les mathématiques modernesn’est pas évoqué par hasard. Il y a bien àapprendre d’un tel échec, ne serait-ce qu’ausujet des risques liés à toute application d’une doctrine.

De fait, la méthodologie qui sous-tend cesmoyens n’est ni le socio-constructivisme nison application directe et unique. Elle restesujette au débat et comporte probablementdes excès. La lecture du livre du maître frappe par exemple par la répétition de cer-tains termes: situation, situation-problème,problème ouvert, jeux, dévolution du pro-blème, institutionnalisation, stratégie de réso-lution, démarche scientifique des élèves,activités, activités de recherche, activités destructuration, activités de consolidation,activités d’entraînement, etc. Ainsi même lesexercices, au sens usuel, sont présentés sousl’étiquette «activités», avec la volonté claired’éviter de trop mettre en évidence les aspects répétitifs liés à l’entraînement destechniques. Certes, les théories didactiquesdonnent de nombreux arguments pour allerdans cette direction et centrer la démarchesur le questionnement par l’élève. Mais sansen faire une systématique absolue. Parce queles choses sont subtiles et complexes. Cont-radictoires aussi. Il est aisé de trouver des textes qui montrent l’ambiguïté des choses,comme l’illustrent les quelques exemples suivants:• Apprentissage à partir d’activités ou

activisme pédagogique? Bkouche1 relève(p. 18–19): Il est vrai qu’en opposition à cette illusion du bon langage [les mathsmodernes] s’est développé depuis quelquesannées un activisme pédagogique tout aus-si illusoire. Devant les difficultés rencon-trées dans l’enseignement, on a inventé cequ’on appelle aujourd’hui des activitésconsidérées comme préparatoires à l’ac-quisition de la connaissance, l’activitémathématique réduite aux activités, avec levague espoir qu’à force d’activités plus oumoins bien choisies, les élèves attein-draient le savoir vrai [...]. Mais que repré-sentent de telles activités dont les élèves

1 Bkouche, R., Charlot, B., Rouche, N.:Faire des mathématiques: le plaisir dusens, Armand Colin, 1991.

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ne voient pas toujours la signification [...],où sont les problèmes, c’est-à-dire lesquestions fondatrices qui conduisent àpenser le besoin d’une constructionrationnelle?Et plus loin (p. 179–180): Pour expliquer[l’échec scolaire], on dit que les mathématiquessont difficiles parce qu’elles sont abstraites eton en déduit qu’avec les élèves en difficultésscolaires il faut enseigner les mathématiquesen partant du concret. [...] On élabore à ceteffet du matériel, des situations, des stratégiesqui, à l ’analyse, se révèlent en fait commepseudo-concrètes [...] Il y a là une confusionentre pédagogie active et pédagogie concrète[...] Ce qui est important c’est l ’activitéintellectuelle de l ’élève [...]: la pensée partd’un problème, pose des hypothèses, opère desrectifications, des transferts, des généralisati-ons, des ruptures, etc., pour construire peu àpeu des concepts, et, à travers cette construc-tion des concepts, pour édifier ses propresstructures intellectuelles.

• Construction de compétences au traversde situations: savoir inerte? Prenzel2 (p.23–24) décrit un courant prônant et déve-loppant un apprentissage réalisé au traversde situations vraies ancrées dans un con-texte social. L’attrait de cette approchetient en ce qu’on imagine que la construc-tion du savoir au travers d’une situationdéveloppe des compétences qui pourrontêtre transférées dans de nouvelles situati-ons, plus ou moins similaires. Il cite cepen-dant de nombreux auteurs qui ont mis enévidence le fait que le savoir acquis de cet-te façon en milieu scolaire reste souventinerte et qu’il n’est pas réinvesti par lessujets dans des situations extra-scolaires,contre tout espoir.

• Apprentissage centré sur la résolution deproblèmes? Prenzel (p. 28–29) présenteune approche particulière d’apprentissagepar résolution de problèmes et rappelle lescaractéristiques évoquées par ses défen-seurs pour la fonder. Celles-ci sont en toutpoint compatibles avec les thèses socio-constructivistes. Il rapporte cependantaussi des résultats qui mettent en éviden-ce le fait que l’apprentissage réel et letransfert des connaissances acquises ne secorrèlent pas de manière significative avecla richesse et la diversité des outils mis à

disposition pour résoudre les problèmes.Alors que, par contre, la présentation desolutions toutes faites, à titre d’exemple oud’illustration, provoque sur ces points uneffet clairement marqué.Ces remarques ne sont nullement

destinées à condamner l’approche préconiséedans les nouveaux moyens d’enseignement.Elles ne signifient surtout pas qu’il faudraitrenoncer à l’apprentissage par la résolution deproblèmes et passer plutôt par une série deprésentations de solutions toutes faites! Ellesmontrent seulement que les choses méritentd’être nuancées.

■ Quatre interprétations à nuancer

• La méthodologie préconisée relèverait dusocio-constructivisme. L’accent est volon-tairement mis sur l’article «du» parce quecelui-ci marque l’unicité. Or un congrèss’est tenu à Genève en l’an 2000 sous le ti-tre «Les socio-constructivismes». Il s’agis-sait de faire le point sur les théories et lesmultiples courants qui peuvent raisonna-blement être rangés sous cette bannière. Alui seul l’article de Prenzel, déjà évoquéplus haut, recense, explique et oppose aumoins trois variantes fondamentales desocio-constructivisme, avant d’en dévelop-per une multitude de sous-catégories. Il n’ya pas unité. Il semble bien au contraire quetoute avancée dans la compréhension desmécanismes de l’apprentissage résulte enun foisonnement de théories partiellementconcurrentes. C’est probablement d’ail-leurs une caractéristique de la science: tou-te théorie qui n’est pas idéologie doit por-ter en elle les mécanismes qui permettentde la mettre en question.

• Cette méthodologie relèverait des derniersdéveloppements des théories de l’appren-tissage, de la didactique et de la psycholo-gie. Mais il faut savoir que si le(s) socio-constructivisme(s) ont eu le vent en poupedepuis la fin des années 80, les fondementsen sont anciens et se trouvent déjà chezDewey (19163), Piaget (1954), Bruner(1966) et Wygotski (1974) pour ne citerque ceux qui sont restés les plus connus. Laméthodologie proposée est donc avanttout actuelle parce qu’elle est proposée

2 Prenzel, M. et al: Computereinsatz imnaturwissenschaftlichen Unterricht – EinÜberblick über die pädagogisch-psycho-logischen Grundlagen und ihre Anwen-dung, à paraître.

3 les années sont liées à des publicationscaractéristiques qui revêtent un caractèrefondateur

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aujourd’hui. Et non parce que les théoriessur lesquelles elle se fonde datent tout justed’hier. Le savoir théorique le plus actuelest sûrement plus développé et, probable-ment, moins convergent.

• Cette méthodologie serait la concrétisa-tion du socio-constructivisme. Au risquede décevoir, il faut insister sur le fait que lathéorie didactique n’est jamais conçuepour s’appliquer directement dans la pra-tique. Elle est là pour comprendre la pra-tique, pour tenter de l’expliquer, éven-tuellement pour la modéliser. Mais paspour fonder une pratique d’une manièreunivoque. Même si elle influe bien enten-du sur les pratiques. Du moins est-ce àespérer. L’interprétation pratique qu’onpeut vouloir faire des théories n’est pasnécessairement unique. On pratique d’ail-leurs de manière assez différente dansd’autres régions du pays ou dans d’autrespays, tout en se fondant sur les mêmesbases théoriques qu’ici. On peut s’en ren-dre compte en étudiant les propositionsdéveloppées en Suisse alémanique par

Wieland ou en Allemagne par Wittmann.Le fait que les travaux de Piaget aient étéune des justifications du discours sur lesmathématiques modernes en est une autreillustration. Les mêmes théories de base,les mêmes textes fondamentaux peuventêtre invoqués par des courants très dif-férents et, surtout, il y a parfois loin, dudiscours à sa réalisation!

• L’introduction de cette méthodologie cons-tituerait une rupture et remplacerait lesparadigmes antérieurs. Dans un travail por-tant sur la mise en œuvre des nouveauxmoyens 1P/2P, Kupfer 4 met en évidenceune répartition assez uniforme entre lesenseignantes adoptant une attitude de con-formité, celles appliquant la nouvelleméthode de manière pragmatique, celles enfaisant une application libre et celles qui enfont une application pour le moinsdistancée. Pourquoi en irait-il autrement audegré secondaire? En outre, cette catégori-sation porte sur ce qui est observable del’extérieur, sur la façon formelle d’appliquerla méthode et sur les intentions annoncées

4 Kupfer, C., avec la collaboration de C.Tièche Christinat: Nouvel enseignementdes mathématiques. Analyse des entre-tiens conduits auprès des enseignantes1P/2P, IRDP, 2000.

Adelmeyer Call & Put · Biner/Frei/Grentz/Stahel/Vogelsanger/Zimmermann Fundamentum - Mathematik und PhysikBiner/Friedli/Friedrich/Geering/Hofer/Rychener/Steiner/Storrer/Walser Analysis · Binz/Friedli Vektorgeometrie · Binz/Friedli/Friedrich/Gebauer/Geering/Thöni Geometrie · Binz/Friedrich/Gebauer/Höhn/Ineichen/Kappus/Marzetta/Schilt/Schnyder/Thöni Formeln und Tafeln · Blumer Mathematik · Buchner Algebra 4 · Dändliker/Schläpfer Dar-stellende Geometrie · Deller/Gebauer/Zinn Algebra 1/2 · Deller/Gebauer/Zinn Algebra 1 · Deller/Gebauer/Zinn Algebra 2 Aufgaben · Deller/Gebauer/Zinn Algebra 3 Aufgaben und Ergebnisse · Gonseth Elementare undnichteuklidische Geometrie · Grimm/Ruf Analytische Geometrie Leitfaden · Hohler Inzidenzgeometrie · Höhn/Brunner/Gebauer/Zinn Algebra 1 · Höhn/Deller/Gebauer/Zinn Algebra 2 · Ineichen Wahrscheinlichkeitsrechnung ·Ineichen Elementare Beispiele zum Testen statistischer Hypothesen · Jeger/Ineichen Kombinatorik, Statistik undWahrscheinlichkeitsrechnung · Läuchli/Müller Physik - Aufgaben · Läuchli/Müller Physik - Lösungen Lehmann/BieriAlgebra Sek. I · Leutenegger/Surbeck Trigonometrie · Mettler/Vaterlaus Stereometrie - Aufgabensammlung ·Moser/Gonseth Planimetrie für Sek. I · Preisig/Regli Analytische Geometrie Aufgaben · Roth Astronomie · Stähli/Lehmann Algebra 1 · Stähli/Meyer Algebra 2 · Stohler Algebra 3 · Thöny/Weiss Planimetrie 1 · Thöny/Weiss Plani-metrie 2 · Voellmy Mathematische Formeln und Tafeln · Voellmy/Mautz Leitfaden der Algebra· VSMP QuadratzahlenAdelmeyer Call & Put · Biner/Frei/Grentz/Stahel/Vogelsanger/Zimmermann Fundamentum - Mathematik und PhysikBiner/Friedli/Friedrich/Geering/Hofer/Rychener/Steiner/Storrer/Walser Analysis · Binz/Friedli Vektorgeometrie · Binz/Friedli/Friedrich/Gebauer/Geering/Thöni Geometrie · Binz/Friedrich/Gebauer/Höhn/Ineichen/Kappus/Marzetta/Schilt/Schnyder/Thöni Formeln und Tafeln · Blumer Mathematik · Buchner Algebra 4 · Dändliker/Schläpfer Dar-stellende Geometrie · Deller/Gebauer/Zinn Algebra 1/2 · Deller/Gebauer/Zinn Algebra 1 · Deller/Gebauer/Zinn Algebra 2 Aufgaben · Deller/Gebauer/Zinn Algebra 3 Aufgaben und Ergebnisse · Gonseth Elementare undnichteuklidische Geometrie · Grimm/Ruf Analytische Geometrie Leitfaden · Hohler Inzidenzgeometrie · Höhn/Brunner/Gebauer/Zinn Algebra 1 · Höhn/Deller/Gebauer/Zinn Algebra 2 · Ineichen Wahrscheinlichkeitsrechnung ·Ineichen Elementare Beispiele zum Testen statistischer Hypothesen · Jeger/Ineichen Kombinatorik, Statistik undWahrscheinlichkeitsrechnung · Läuchli/Müller Physik - Aufgaben · Läuchli/Müller Physik - Lösungen Lehmann/BieriAlgebra Sek. I · Leutenegger/Surbeck Trigonometrie · Mettler/Vaterlaus Stereometrie - Aufgabensammlung ·Moser/Gonseth Planimetrie für Sek. I · Preisig/Regli Analytische Geometrie Aufgaben · Roth Astronomie · Stähli/Lehmann Algebra 1 · Stähli/Meyer Algebra 2 · Stohler Algebra 3 · Thöny/Weiss Planimetrie 1 · Thöny/Weiss Plani-metrie 2 · Voellmy Mathematische Formeln und Tafeln · Voellmy/Mautz Leitfaden der Algebra· VSMP Quadratzahlen

100 Jahre VSMPWir gratulieren!

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orell füssli Verlag · Mathematik

gh 1• 0237

face à cette application. Mais le fait qu’ellesoit appliquée fondamentalement, et passeulement en apparence, dépend étroite-ment de la représentation que se fait l’en-seignant de sa discipline et de la façon del’enseigner. Ces représentations, issues duparcours personnel de chacun, s’avèrent trèsindividuelles. Souvent implicites, ellesn’évoluent généralement que lentement.Lors d’une récente défense de travail dediplôme, à l’Université de Berne, un candi-dat s’étonnait de la co-existence de repré-sentations très diverses observées chez laplupart des personnes qu’il avait inter-viewées. Ce qui lui paraissait contra-dictoire, voire incohérent, constitue proba-blement plutôt une marque propre au professionnel qui sait tirer parti d’influen-ces et d’apports variés pour développer uneapproche adaptée aux circonstances. Quoiqu’il en soit, ce travail montrait la persis-tance de courants divergents, remontantparfois à des racines lointaines, au seinmême des individus. Les nouveaux moyensd’enseignement doivent compter avec cela.Outre que ce serait insultant pour ce qui sefait aujourd’hui et que cela reviendrait ànier la valeur de l’expérience et des savoir-faire actuels, il serait illusoire d’imaginerque ce qui se fera demain ne comporteraplus rien de ce qui se fait aujourd’hui et quece qui se fait aujourd’hui ne comporte riende ce qui se faisait hier!

■ Au-delà des critiques, des raisons d’y croire

Passées ces critiques, il n’en reste pas moinsque les moyens d’enseignement qui nous arri-vent sont porteurs de grands espoirs et dequalités bien réelles.

D’abord, ils comportent une richessemathématique profonde et susceptible de sti-muler la pensée de tous les élèves, indépen-damment des capacités et des niveaux de con-naissance individuels. Ensuite, les diversesreprésentations des enseignants sur les mathé-matiques, leur enseignement, les formes et lesméthodes qui conviennent pour telle notion,tel domaine ou telle phase de l’apprentissagepeuvent y trouver un terrain d’application. Ilsne sont pas unilatéraux et n’imposent nulle-ment une démarche particulière à suivre enclasse, même si les commentaires méthodolo-giques qu’on y trouve privilégient ouvertementune approche spécifique. Le pari, c’est que cel-le-ci s’affirmera dans les faits comme une decelles permettant le mieux, en général et pourla plupart des contenus et des objectifs pour-suivis, l’apprentissage des mathématiques ain-si que le développement du savoir et de la per-sonnalité des élèves. Pas question cependantde se saisir de la méthodologie proposée com-me d’une panacée contre la difficulté desmathématiques et l’échec scolaire. Ce typed’attitude a montré ses effets avec les mathé-matiques modernes. La réforme ne peut pasréussir simplement par l’affirmation de lasupériorité des méthodes préconisées et leurapplication formelle. Elle ne peut réussir que sises principes sont compris, si les divers princi-pes sur lesquels se basent les pratiques d’au-jourd’hui sont explicités, si la façon dont ilspeuvent co-exister est clarifiée et si chacunconserve la liberté de choisir ceux à appliquer,de cas en cas. Cela nécessite une mise en œuvre basée sur une formation continue inté-grant l’expérience des enseignants et déve-loppant une culture de la réflexion sur le quoi,le pourquoi et le comment des actions en clas-se. Une culture de la réflexion menée a priorisur les actions qu’on prépare, de l’observationde l’action durant son déroulement et de laréflexion portée a posteriori, en confrontantaction préparée et action observée.

C’est là que servent les théories didac-tiques, dans la pratique!

Ecole Polytechnique Fédérale Lausanne

Journées de visite pour gymnasiennes et gymnasiens à l'EPFL

Besuchstage für Maturandinnen und Maturanden an der ETH Lausanne

14 –15 mars 2002 ou 21–22 mars 2002

Le jeudi est consacré à la présentation des études offertes à l'EPFL et des perspectives

professionnelles dans le cadre de séances d'information et d'un forum. Le lendemain

les élèves peuvent participer à un stage sous forme de travaux pratiques en laboratoire

ou sur le terrain, à des cours ou encore à des visites d'entreprises.

Sont invités tous les élèves se présentant aux examens de maturité en 2002 et 2003.

Les inscriptions se font par les secrétariats des gymnases et le délai d'inscription est fixé

au 8 février 2002.

Pour plus de détails, consultez

http://infosgymnases.epfl.ch

Le Service d'orientation et conseil de l'EPFL est également à votre disposition

[email protected], tél. 021 693 22 83 ou fax 021 693 60 80

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Kristine Barro-Bergflödt

Mathematik und Musik, zwei Welten, die beialler Verschiedenheit eine tiefe innere Ver-bindung zu haben scheinen. Die gemeinsameGeschichte beginnt im Abendland mit derpythagoräisch-platonischen Musikauffas-sung: Mathematik und Musik gelten imGrunde als Ausprägungen und Manifestatio-nen der Weltordnung, des Kosmos oder –poetischer – der Weltseele. Diese Vorstellungstrahlt aus bis weit ins Mittelalter. Mit demBeginn der Neuzeit im 17. Jahrhundert bahntsich eine Trennung der beiden Disziplinenan. Doch im 20. Jahrhundert bekommt dieAnsicht Leibniz’, Musik sei ein unbewusstesZählen der Seele, eine erstaunliche neue Rea-lität, denn viele Komponisten bedienen sichabermals mathematischer Strukturen.

Über die mannigfache Beziehung zwi-schen Mathematik und Musik ist von Philo-sophen, Komponisten, Musiktheoretikernund Mathematikern viel geschrieben worden.Und dennoch bleibt sie geheimnisvoll. Die-ser Beitrag nimmt den Leser mit auf einenkleinen Streifzug durch die Kulturgeschichteund beleuchtet anhand einiger historischerAbschnitte und Episoden das vielfältigeZusammenspiel von Mathematik undMusik.

■ Alles ist Zahl

Dass zwischen Tönen und Zahlen eine Ana-logie besteht: Diese Entdeckung wird heuteden Pythagoräern im antiken Griechenlandzugeschrieben. Vor rund 2500 Jahren experi-mentierten sie mit dem Monochord, einemeinfachen, einsaitig bespannten Hohlkörper.Sie stellten fest, dass das menschliche Ohr

den Zusammenklang zweier Töne als ange-nehm, schön und rein empfindet bei Saiten-längen mit besonders einfachen Zahlenver-hältnissen, wie etwa bei der Oktave 2:1, derQuinte 3:2 oder der Quarte 4:3. Für diePythagoräer war dieser Zusammenhang vonKlang und Zahl überwältigend. Sie gelangtenzur Auffassung, dass sich in den Proportio-nen der musikalischen Klänge die göttlicheOrdnung zeige. Und sie nahmen an, berich-tet Aristoteles, die Elemente der Zahlen seiendie Elemente aller Dinge, und der ganze Him-mel sei Harmonie und Zahl. Die Zahlenerhielten in der pythagoräischen Lehre einemagische Bedeutung. Zahlengruppen wie 4 32 1 oder 12 9 8 6 bildeten eine heilige Tetrak-tys, denn sie brachten die musikalischen unddamit auch die kosmischen Harmonien zumAusdruck.

Platon (427–347 v.Chr.) baute die pytha-goräische Lehre der Verbindung von Har-monie und Kosmos weiter aus. Sie blieb überJahrhunderte hinweg lebendig, auch wenn ihrAristoteles und sein Schüler, der Musiktheo-retiker Aristoxenos, eine diesseitigere, stärkerdem Subjektiven und Ästhetischen verpflich-tete Sicht entgegenstellten.

Durch die Schriften von Boethius, um510 Konsul von Rom, wird das pythagoräi-sche Gedankengut ins Mittelalter getragen.Wie in der Antike gehören auch im Mittel-alter Musik, Arithmetik, Geometrie undAstronomie zusammen. Diese Disziplinenbilden das so genannte Quadrivium innerhalbder artes liberales, der sieben freien Künste imBildungskanon des Mittelalters. (Das Trivi-um umfasst Grammatik, Dialektik und Rhe-torik.) Die führenden Musiktheoretiker sindwie Boethius meist auch Mathematiker. Die

Mathematik in der Musik – Thema mitVariationen

Die Autorin nimmt uns mit auf einen Streifzug durch die Kulturgeschichte und zeichnet die

geheimnisvolle Verbindung von Mathematik und Musik von Pythagoras bis ins 20. Jahrhun-

dert nach.

L'auteure nous fait découvrir l'histoire de l'art, en nous révélant les rapports secrets de la

musique et des mathématiques, de l'époque de Pythagore au 20e siècle.

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göttliche Ordnung, die sich noch immer inden harmonischen Proportionen manife-stiert, soll in der Kunst sichtbar werden. InMusikstücken stehen daher die Längen ein-zelner Abschnitte oft in Verhältnissen, dieaus der pythagoräischen Tetraktys hervorge-hen. Vor allem im 13. sowie im 15./16. Jahr-hundert entwickelt sich eine polyphoneMusik mit komplexen Beziehungsgeflechten,die auf einer rechnerischen Grundlage basie-ren. Zudem ist die Notierungsweise so kom-pliziert, dass sie geradezu mathematischeKenntnisse erfordert.

Wie schon Vitruv in der Antike, fordertdie mittelalterliche Architekturtheorie, dassauch der Baumeister sich die Kenntnis musi-kalischer Proportionen aneigne, um sie in sei-nen Werken zu verwenden.

■ Der Dom von Florenz

Einen besonderen Ausdruck fand die Ver-bindung von Architektur und Musik im Florentiner Dom. Für die Weihe am 25.März 1436 komponierte Guillaume Dufay(1400–1474) die Festmotette Nuper rosarumflores. Sie gilt als ein Musterbeispiel zahlen-orientierten Komponierens. Eine ganze Rei-he von speziellen Zahlenverhältnissen, auchbiblischen Ursprungs, sind in der Motette zufinden. Der Dom wurde nach dem Vorbild desSalomonischen Tempels in den biblisch über-lieferten Proportionen 6:4:2:3 (Langhaus :Querschiff : Apsis : Höhe) gebaut. DieselbenProportionen finden sich in Dufays Musik.

Des Weiteren lassen sich in der MotetteVerhältnisse ausmachen, die auf den Zahlen

2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144beruhen. Jede Zahl ist die Summe der beidenvorangehenden Zahlen. Die Folge lässt sichnach diesem Gesetz fortsetzen: 89 + 144 =233 usw. Man nennt diese Zahlen die Fibo-nacci-Zahlen, benannt nach dem Mathema-tiker Fibonacci (ca. 1170–1250), der sie inseinem Liber abaci ausführlich behandelte.Sie wurden in der Architektur und in derMusik des Öfteren verwendet, denn zweiaufeinander folgende Fibonacci-Zahlen ste-hen angenähert im Verhältnis des GoldenenSchnitts, der schon in der Antike bedeu-tungsvoll war und in der griechischen Archi-tektur eine grosse Rolle gespielt hatte.

(Eine Strecke ist im Goldenen Schnittgeteilt, wenn sich der kleinere Abschnitt zumgrösseren verhält wie der grössere Abschnittzur ganzen Strecke. Dieses Verhältnis lässtsich berechnen und beträgt

≈ 0.618034

Die Verhältnisse benachbarter Fibonacci-Zahlen sind zum Beispiel 5:8 = 0.6, 8:13 ≈ 0.615385, 55:89 ≈ 0.617978,89:144 ≈ 0.618056, 144:233 ≈ 0.618025)

Mit der Verwendung der Fibonacci-Zah-len nun verweist Dufay auf die Ausmasse derDomkuppel. Sie betragen – es ist schriftlichüberliefert – 144, 89 und 55 florentinischeBracci.

■ Gradus suavitatis

Im 17. Jahrhundert wird das metaphysischeHarmoniekonzept von der Naturwissen-schaft einerseits und von einem neuen ästhe-tischen Bewusstsein andererseits abgelöst.Der Zweck des Tones ist letzten Endes, zuerfreuen und in uns verschiedene Gemütsbewe-gungen hervorzurufen, schreibt René Descar-tes (Compendium musicae, 1618). Bei derUntersuchung von Tönen wird empirischvorgegangen und der Begriff der Schwingungtritt in den Vordergrund. Der Pariser MönchMarin Mersenne (1588–1648) entdeckt inseinen vielen Versuchen mit Saiten die Ober-töne. Er gibt auch eine Berechnung für dietemperierte Stimmung an, die dem neuenästhetischen Empfinden besser Rechnungträgt. Damit verliert die mathematisch-kos-mische Musikvorstellung ihre Grundlage.Musik und Mathematik beginnen eigeneWege zu gehen. Das Quadrivium löst sichauf.

Gleichwohl, ein grosser Mathematikerdes 18. Jahrhunderts lässt es sich nicht neh-men, in den Auseinandersetzungen um einneues Musikverständnis ein Wort mitzure-den. Leonhard Euler (1707–1783), aus Baselstammend und tätig in Petersburg und Ber-lin, fragt nach den objektiven Bedingungenfür die Schönheit von Intervallen, Akkordenund Akkordfolgen sowie des Rhythmus undschliesslich eines ganzen Musikstücks. Eulerkonstruiert mit Hilfe von Primzahlen einezahlentheoretische Funktion, die es gestattet,

2-1 + √5

gh 1• 0240

zunächst Intervallen einen gradus suavitatis,einen Grad der «Annehmlichkeit», zuzuord-nen. Er erweitert dann diese Funktion, sodass sie schliesslich auch erlaubt, denAnnehmlichkeitsgrad eines ganzen Musik-stücks anzugeben. Er ist sich bewusst, dasssein gradus suavitatis die wirkliche Wahrneh-mung nur ungenügend beschreibt, undergänzt seine Überlegungen um eine Theoriedes «Zurechthörens»: Komplizierte akusti-sche Ereignisse werden oft durch einfachereVorstellungen ersetzt – eine Sicht, die wirheute noch teilen.

Aus seinen Berechnungen mit dem gradussuavitatis zieht Euler einen bemerkenswer-ten Schluss. Seiner Meinung nach gäbe esviel mehr Möglichkeiten, gute, «annehmli-che» Musik zu schreiben – auch ausserhalbder gängigen Tonsysteme – , als die zeit-genössischen Komponisten es wahrhabenwollten. Wie weit er damit in die Zukunftgesehen hatte, ahnte Euler wohl selber nicht.

■ Die Kunst der Fuge

Gestern Bachs «Kunst der Fuge». Herrlich!! EinWerk, das bisher für Mathematik gehalten wur-de, von einem jungen Deutschen instrumentiert:tiefste Musik!!, schrieb der Komponist AlbanBerg am 26. März 1928 an seine Gattin. AmAbend zuvor hatte er im Zürcher Fraumün-ster die «Kunst der Fuge» in einer Orchester-fassung des Mathematikers und Bachfor-schers Wolfgang Graeser gehört.

Die «Kunst der Fuge» ist das letzte WerkJohann Sebastian Bachs (1685–1750), einkunstvoller Reigen von 20 Fugen undKanons, gewoben aus einem einzigenunscheinbaren Thema. Die Möglichkeitendes Kontrapunkts, der Technik polyphonerKomposition, werden verdichtet und ausge-schöpft wie in keinem anderen Werk. Unddoch fand die «Kunst der Fuge» im 19. Jahr-hundert keine grosse Anhängerschaft. DerBachforscher W. Kolneder bemerkt, dassdamals die Zeit für das Hören der harmonischenKühnheiten Bachs noch nicht reif war. Dieszeigt etwa das Urteil des BachkennersC.v.Bruyck von 1861: Obwohl sich in demWerk auch schöne, beseelte Partien fänden,sei nicht zu leugnen, dass Bach ... der Herr-schaft des rein Abstrakten und Formellen verfiel,

so dass wir in den letzten Fugen und insbeson-dere den Kanons, endlich Musik erhalten, die inWahrheit keine Musik mehr ist, sondern ... zueiner Art kontrapunktischer Katzenmusik aus-artet.

Da Bach nichts über die Instrumentie-rung schrieb, wurde sogar bezweifelt, dass erbei dem Stück überhaupt an eine Aufführunggedacht hatte. Eine Musik nur für die Augen– so die verbreitete Meinung.

Es war ein junger Mathematiker, Wolf-gang Graeser (1906–1928), der es unter-nahm, die «Kunst der Fuge» einer neuartigenAnalyse zu unterziehen. Seine Schau warmassgeblich von neuen Entwicklungen derMathematik, insbesondere der Gruppen-theorie, beeinflusst. (Eine Gruppe ist eineMenge, in der zwei Elemente miteinanderverknüpft werden können, so dass das Ergeb-nis dieser Verknüpfung wieder ein Gruppen-element ist.)

Ergriffen von seiner neuen Einsicht indas Werk, schrieb Graeser 1924/25 eine Fas-sung für Orchester mit dem Ziel, der «Kunstder Fuge» den gebührenden Platz in dermusikalischen Welt zu sichern. Nachdemsich Projekte einer Aufführung mehrmals imletzten Moment zerschlagen hatten, kam es1927 endlich zu einem ersten Konzert inLeipzig. Die Aufführung wurde stark beach-tet, und die Spannweite der Kritik ging vonenthusiastischem Lob bis zu völliger Ableh-nung. Heute hat die «Kunst der Fuge» ihrenfesten Platz im Repertoire der musikalischenDarbietungen und wird gewöhnlich imStreichquartett oder auf dem Klavier gespielt.Graeser hatte sein Ziel erreicht. Doch hinterihm lag ein zäher Kampf mit den Traditio-nalisten einer festgefahrenen Musikwissenschaft(Kolneder). Ein Kampf, der zu viel war fürden in seiner Genialität so fragilen und nochungefestigten Graeser. Zweiundzwanzig-jährig machte er im Juni 1928 seinem Lebennach einem Nervenzusammenbruch einEnde.

Graeser konnte seine Ideen einer neuenMusiktheorie nicht mehr ausarbeiten. Dochsein Vorschlag, gruppentheoretische Metho-den für das Verstehen von Musik miteinzu-beziehen, erfährt seit den sechziger Jahreneine eindrückliche Realisierung und Erweite-rung. Unter anderen versucht der Komponistund prominente Vertreter der mathemati-

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schen Musiktheorie Guerino Mazzola vonder Universität Zürich Musikstücke mitmodernsten algebraischen und geometri-schen Methoden zu analysieren. Dabei sollvöllige Objektivität erreicht werden, ein Ziel,das schon Euler mit dem gradus suavitatis vorAugen hatte.

■ Musik als Organismus

Die Wende im 20. Jahrhundert war ein Wende-punkt in der Geschichte der modernen Musik.Vielen begann die Masslosigkeit der Romantikunerträglich zu werden, und es gab Komponis-ten, die das Gefühl hatten, unser Weg führe insUferlose, es sei denn, wir brächen mit dem 19.Jahrhundert. Unschätzbare Hilfe kam diesemWandel, dieser Verjüngung, von einer Art Bau-ernmusik, die bislang unbekannt war. Sobeginnt ein Artikel aus dem Jahr 1921 desungarischen Komponisten Béla Bartók(1881–1945). Bartók sammelte und analy-sierte mehr als 6000 Volkslieder aus dem ost-europäischen und nordafrikanischen Raum.Er entdeckte dabei eine bisher unbekanntemusikalische Welt, die ihn völlig in ihrenBann zog. Volksmusik ist eine Naturerscheinung... Ihre Formen haben sich mit derselben organi-schen Freiheit entfaltet, wie es andere lebendeOrganismen tun: die Blumen, Tiere ... Bartókempfand eine ausgesprochene Liebe zurNatur. Die Bauernmusik, die in ihm so vielzum Schwingen brachte, führte Bartókschliesslich zu einer ganz neuartigen, sehrpersönlichen Tonsprache.

Wer irgendein Musikstück Bartóks spielt,kann bald eine grosse innere Logik, einenunerhört organischen Aufbau bemerken. DerForscher Ernö Lendevai unterzog viele seinerWerke einer genauen Analyse. In seinemBuch Béla Bartók: An Analysis of his Music(1971) hat Lendevai erstaunliche Ergebnissedargelegt. Nachstehend einige Beispiele: Imersten Satz der Sonate für zwei Klaviere undSchlagzeug, stellt Lendevai fest, steigt jeder neueThemeneinsatz eine Sprosse höher auf der Leiterder Fibonacci-Reihe. In der Tat haben dieangesprochenen Themen einen Ambitus (dasist die Spanne vom tiefsten bis zum höchstenTon) von zunächst 8, dann 13 und schliess-lich 21 Halbtonschritten. – Die gesamteSonate dauert genau 6432 Achtelnoten lang.

Der zweite, langsame Satz beginnt nach 3975Achtelnoten. Da 6432 · 0.618 = 3974.9 ist,entspricht diese Einteilung genau dem Goldenen Schnitt. – Das Fugenthema in derMusik für Saiteninstrumente, Schlagzeug undCelesta hat 89 Takte, die durch den Höhe-punkt in 55 + 34 Takte unterteilt sind. DieseAbschnitte weisen wiederum eine Gliede-rung in 34 + 21 respektive 13 + 21 Takte auf;bei den letzten 21 Takten ist nochmals eineGliederung in 13 + 8 festzustellen.

Lendevais Analysen legen nahe, dass Bar-tók Fibonacci-Zahlen im Kleinen wie imGrossen und horizontal wie vertikal verwen-dete. Bartók hat aber, wie die meisten Kom-ponisten, seine Ideen nicht verraten. Bekanntist nur, dass er im täglichen Leben mit Zah-len auffallend genau war, und bekannt istauch ... seine Naturliebe. Genau diesebenützt Lendevai zur Stützung seiner These,Bartók habe in seine Musik bewusst oderunbewusst die Fibonacci-Zahlen und denGoldenen Schnitt eingeflochten. In derNatur findet man nämlich ebenfalls Fibonac-ci-Zahlen, zum Beispiel in der Sonnenblume.Im Kopf einer Sonnenblume sind zwei Scha-ren gegenläufiger Spiralen sichtbar. In dereinen Schar sind es 89, in der anderen 55Linien oder, je nach der Art, auch 34 und 55.Natürlich waren Sonnenblumen BartóksLieblingsblumen.

Ähnliche, nicht ganz so weit gehendeBeobachtungen hat übrigens Roy Howat anWerken von Claude Debussy angestellt undsie in seinem Buch Debussy in Proportion(1983) dargelegt.

■ Ordre et Désordre

Die Loslösung der Musik von der Mathema-tik in der Neuzeit war offenbar nur vorüber-gehend. Bartók und Debussy blieben im 20.Jahrhundert keine Einzelfälle. Im Gegenteil.Jahrhundertelang gewachsene Bausteine derMusik lösten sich auf und es musstegrundsätzlich Neues entstehen. Wiederbeginnt mathematische Berechnung in derMusik eine grosse Rolle zu spielen. Warum sooft diese Analogie zur mathematischen Methode,werde ich gefragt. Ich habe zwischen Musik undMathematik nie direkte Beziehungen, wohl abereinfache Vergleichsbeziehungen hergestellt; weil

gh 1• 0242

die Mathematik die Wissenschaft ist, die zurZeit die am weitesten entwickelte Methodologiebesitzt, war mir daran gelegen, sie zum Vorbildzu nehmen, das uns helfen kann, unsere gegen-wärtigen Schwachstellen zu beheben, heisst es1960 in einem Text von Pierre Boulez(*1925) zur Methodologie der Komposition.

Anders als im Mittelalter gehen dieKomponisten nun aber sehr individuelleWege, und jeder Komponist bestimmt selber,welche Funktion der Mathematik in seinemSchaffen zukommt. Auch ist es jetzt eineganz andere Mathematik, die zur Verfügungsteht – und sie wird vielfältig genutzt. Nichtwenige Komponisten besitzen eine mathe-matische Ausbildung. Herausragende Bei-spiele sind Pierre Boulez und der GriecheIannis Xenakis.

Xenakis (1922–2001) verwendet in sei-nen Kompositionen Konzepte aus der Wahr-scheinlichkeitsrechnung, der Gruppentheo-rie, der Mengenlehre und einigen weiterenGebieten. Er gehört auch zu denjenigenKünstlern des 20. Jahrhunderts, die an dieTradition der Antike und des Mittelaltersanknüpfend eine neue Verbindung vonArchitektur und Musik suchen. So schuf erals Mitarbeiter von Le Corbusier den Phi-lips-Pavillon der Brüsseler Weltausstellung(1958) in Anlehnung an ein Musikstück.Musik und Architektur sind in der Musik-philosophie von Xenakis symbolische Mani-festationen einer zugrunde liegenden mathe-matischen Ordnung. Er nennt seine Musikdenn auch eine musique symbolique.

Einen anderen Weg wählt György Ligeti(*1923), wie Bartók ein ungarischer Kompo-nist: Weitere Einflüsse, die mich bereicherten,kommen aus der Geometrie (die Musterdeforma-tionen aus der Topologie und selbstähnlicheGebilde aus der fraktalen Geometrie), wobei ichBenoît Mandelbrot und Heinz-Otto Peitgenwesentliche Anregungen verdanke. In den acht-ziger Jahren lernte Ligeti die moderne Cha-ostheorie sowie die fraktale Geometrie ken-nen und verwendete Konzepte dieser Mathe-matik in seinem Klavierkonzert (1985-88)und in den Klavieretüden (1985), insbeson-dere der ersten Etüde Désordre. Ligeti: Icharbeite aber stets empirisch, nicht-mathematisch,nicht-wissenschaftlich, eher handwerksmässig,aber in unbewusster Annäherung an geometri-sche Denkweisen. Bewusst wurde mir die «in derLuft liegende» Parallelität zwischen den mathe-matischen Forschungen seit den sechziger Jahrenund meinen gleichzeitigen kompositorischenBestrebungen erst 1984, als ich die ersten Com-puterdarstellungen der Juliamengen und derMandelbrot-Menge sah. Hier wird die Mathe-matik fruchtbar gemacht für kompositorischeKreativität, und sie verhilft komplexen Ideen zu hörbarer Gestalt in der Musik ...Désordre ist ein Stück von ausserordentlicherSchönheit.

Kristine Barro-Bergflödt ist

Mathematik- und Klavier-

lehrerin. Sie unterrichtet an

den Zürcher Kantonsschulen

Freudenberg und Stadel-

hofen und ist wissenschaft-

liche Mitarbeiterin an der

ETH Zürich.

Convention de Collaborationentre le SER (Syndicat des enseignants romands) et la SSPES

Plusieurs rencontres ont eu lieu entre une délégation des membres du comité central de la SER et de la SSPES pour aboutir en septembre dernier à une conventionde collaboration entre les deux associations. Cette convention comblera une lacuned’information mutuelle et de structure d’échange (notamment pour les consultations,les déclarations et prise de position) au niveau des enseignants romands.Le texte de la convention sera soumis aux deux comités centraux et aux autres instancesstatutaires.

gh 1• 0243

Nachrichten des VSG / Nouvelles de la SSPESVSG – SSPES

■ Delegierten- und Plenarversammlung 2001

Zentralvorstand

Martin Rüegg (BL) tritt auf Ende des Vereins-jahr 2000/2001 aus dem Zentralvorstand zurück.Sein grosser Einsatz für den VSG wurde anläss-lich der Delegiertenversammlung 2001 in Lu-zern gewürdigt. Neu nimmt Hans Peter Dreyer(SG) in den Vorstand Einsitz. Er wurde von den Delegierten einstimmig gewählt. Hans PeterDreyer übernimmt den Vorsitz einer Gruppe,die sich mit dem Projekt einer Studienwoche imJahre 2005 auseinandersetzt. Der Zentralvor-stand hofft darauf, dass sich weitere Kolleginnenund Kollegen bereit erklären zu einer Mitarbeitim Vorstand. Michel Aubert führt aus, dass sichder ZV im laufenden Vereinsjahr schwerpunkt-mässig mit folgenden Themen auseinandersetzt:Strukturen, Verbandspolitik, Studienwoche,Bologna-Erklärung, Dauer der gymnasialen Bildung.

In verschiedenen Sitzungen im letzten Jahrhaben sich die ZV-Mitglieder mit Delegationender kantonalen Vereine aus den Kantonen Basel-landschaft, Tessin, Graubünden, Wallis undBern, aber auch mit Vertretern der EDK und desParlamentes getroffen. Die Diskussionen dreh-ten sich um die gymnasiale Bildung in den ange-sprochenen Kantonen, um das VSG-Leitbild,um das VSG-Positionspapier, um Fragen rundum die Weiterbildung von Gymnasiallehrern,aber auch um die Entwicklung auf der Ebeneder Hochschulen, ausgelöst von der Erklärungvon Bologna. Alle Parteien haben die Gesprächeals wertvoll empfunden.

Delegiertenversammlung 2001 in Luzern

Die VSG-Delegiertenversammlung, die gutbesucht war, fand am Donnerstag, den 8. November 2001, in Luzern statt. An dieserStelle sei der Direktion der KantonsschuleAlpenquai, die uns für diesen Anlass die Aulazur Verfügung stellte, nochmals gedankt. Zudemkonnten diverse Fachverbände ihre Jahresver-sammlung in den Räumlichkeiten der Kantons-schule Alpenquai durchführen. Zur Sprache kamunter anderem an dieser DV die Rechnung, diemit einem kleinen Defizit abschliesst. Zurück-

zuführen ist dies auf die geringeren Einnahmenaus Mitgliederbeiträgen. Der ZV/VSG suchtintensiv Wege und Mittel, um vermehrt an jün-gere Kolleginnen und Kollegen zu appellieren, inden VSG einzutreten. In diesem Zusammen-hang votierten die Delegierten dafür, den Mit-gliederbeitrag für das Vereinsjahr 2002/2003 umFr. 10.– zu erhöhen.

Die auf Antrag der DV 2000 vom ZVdurchgeführte MAR-Umfrage wurde von etwa7% der SSPES-Mitglieder beantwortet. Diedetaillierte Auswertung erscheint im GH 2/02.Die Delegierten beschlossen, eine neue Umfra-ge in etwa 2 Jahren zu machen.

Urs Tschopp informierte ebenfalls über eineUmfrage der Unversität von Zürich, die im Auf-trag der Konferenz Schweizerischer Gymnasial-rektoren gemacht wird. Sie befragt Studenten im3. Semester, die die Matura nach dem MAVgemacht haben. Aufgrund ihrer Erfahrungen las-sen sich Unterschiede zwischen MAV und MARfesthalten. Die AGYM hat ein Konzept verab-schiedet zur Evaluation dreier Felder: Laufbahnund Erfolg, Bewertung der allgemeinen Bil-dungsziele mit Schwerpunkt auf dem selbststän-digen Lernen und der Interdisziplinarität, orga-nisatorische Bewältigung der Reform. Dazukommt eine summative Evaluation. Diese Eva-luation soll bestehende ergänzen und Standardszur gymnasialen Bildung formulieren helfen.

Anita von Arx präsentierte das bildungspoli-tische Papier des Zentralvorstandes, das in bildungspolitischen Kreisen verbreitet werdensoll. Eine erste Diskussion mit Vertretern aus derBildungspoltik verlief positiv. Der ZV erhofftsich Reaktionen aus der Öffentlichkeit. DiesesPapier soll laufend weiter entwickelt werden. AufWunsch der Delegierten sollen darin die Zieleexplizit genannt werden, die der ZV erreichenwill.

Plenarversammlung 2001

Das Thema der Plenarversammlung hiess Inter-disziplinarität. Professor em. Alfred Lang, Uni-versität Bern, und Professor Jean-JacquesAubert, Universität Neuenburg, referierten überdieses Thema. Während der Psychologe AlfredLang eine Lanze für die Interdisziplinarität aufder Ebene der Hochschulen brach (vgl. Vorschau

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encore la direction de l'école cantonale Alpen-quai, qui a mis son aula à la disposition des nom-breux participants. De plus, diverses associationsde branche ont pu profiter des salles de l'écolecantonale pour tenir leur assemblée annuelle.

Les comptes de la Société montrent un légerdéficit, dû à la diminution du nombre de cotisa-tions. Le CC-SSPES recherche activement desmoyens de recruter de jeunes collègues. Dans cecontexte, les délégué(e)s ont voté une augmenta-tion de Fr. 10.– pour les cotisations de l'exercice2002/2003.

Les réponses aux questionnaires RRM,effectué à la demande de l’AD 2000, n’ont pasdépoussées un taux de 7% des membres de laSSPES. Une évaluation paraîtra dans le GH2/02. Les délégués out décidé de ne pas lancer unautre questionnaire avant 2 ans.

Urs Tschopp a présenté un sondage de l'Université de Zurich, effectué sur mandat de laConférence des directeurs de gymnases suissesauprès d'étudiant(e)s de 3e semestre titulairesd'une maturité RRM. Leurs expériences mettenten lumière les différences entre l'ordonnance etle règlement de reconnaissance des maturités.L'AGYM a adopté un concept pour l'évaluationde trois domaines: carrière et succès, évaluationdes objectifs généraux de formation (l'accentétant mis sur l'apprentissage individuel et l'inter-disciplinarité) et la gestion de la réforme auniveau de l'organisation. Une évaluation somma-tive s'y ajoute, destinée à aider à formuler desnormes pour l'enseignement gymnasial et à com-pléter ce qui a déjà été réalisé.

Anita von Arx a présenté la Prise de positionde la SSPES en matière de politique de forma-tion gymnasiale, destinée aux instances intéres-sées à la politique de l'éducation. Une premièrediscussion avec des représentants de ces derniè-res a connu des résultats très positifs. Le CC es-père des réactions de la part du public. La Prisede position demande à être continuellementdéveloppée: en effet, à la demande des déléguésles buts que le CC désire atteindre seront à for-muler explicitement.

Assemblée plénière 2001

L'Assemblée plénière a été consacrée à l'interdis-ciplinarité. Les Professeurs Alfred Lang (Uni-versité de Berne) et Jean-Jacques Aubert (Uni-versité de Neuchâtel) se sont exprimés à ce sujet.Alors que le psychologue A. Lang a plaidé pourl'interdisciplinarité au niveau des Ecoles su-

auf das Referat in GH Nr. 5/01), befasste sichder Altphilologe Jean-Jacques Aubert mit einemkonkreten Projekt im Lateinunterricht. Der ZVbedauert die geringe Beteiligung der Mitgliederan der PV. An einem Podiumsgespräch, geleitetvon Urs Tschopp, Vizepräsident des VSG, nah-men die beiden Referenten, Frau Regula Kyburz,Professorin für Mittelschulpädagogik, HöheresLehramt der Universität Zürich, Frau Heitz-mann, Fachdidaktikerin für Biologie am Höheren Lehramt der Universität Bern, undCharles de Carlini, Chemiker und Rektor des Collège Rousseau in Genf, teil.

Für das Protokoll: Thomas Peter

■ Assemblée des délégué(e)s et assemblée plénière 2001

Comité central

Martin Rüegg (BL) a donné sa démission pourla fin de l'exercice 2000/2001. Il a été remerciépour son travail et son engagement lors de l'As-semblée des délégué(e)s de Lucerne, qui a parailleurs élu à l'unanimité Hans Peter Dreyernouveau membre du Comité central. Hans PeterDreyer préside un groupe chargé d'élaborer unprojet pour une Semaine d'études en 2005. LeComité central espère que d'autres collèguess'intéresseront à une participation active. MichelAubert cite les thèmes qui occuperont le CCdans l'année à venir: structures, politique de laSociété, Semaine d'études, Déclaration de Bolo-gne, durée de la formation gymnasiale. A l'occa-sion de diverses séances, les membres du CC ont,l'an dernier, rencontré des délégations des asso-ciations cantonales de Bâle Campagne, du Tes-sin, des Grisons, du Valais et de Berne, ainsi quedes représentants de la CDIP et des parlemen-taires. Les discussions ont porté sur la formationgymnasiale dans les différents cantons, sur lesObjectifs généraux de la Société, sur la Prise deposition de la SSPES en matière de politique del'enseignement gymnasial, sur la question de laformation continue des enseignant(e)s de gym-nase, mais également sur les conséquences de laDéclaration de Bologne sur les développementsdes Ecoles supérieures. Les entretiens ont étéappréciés par tous les participants.

Assemblée des délégué(e)s 2001 de Lucerne

L'Assemblée des délégué(e)s de la SSPES a eulieu le 8 novembre 2001 à Lucerne. Nous profi-tons de cette occasion pour remercier une fois

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périeures (voir à ce sujet la présentation de sacontribution dans le GH 5/01), J.-J. Aubert, phi-lologue, a présenté un projet concret pour l'ens-eignement du latin. Une table ronde, animée parUrs Tschopp, a réuni les deux conférenciers,Mme Regula Kyburz, professeur de pédagogiepour le degré secondaire II (Höheres Lehramt,Université de Zurich), Mme Heitzmann, pro-fesseur de didactique pour la biologie (HöheresLehramt, Université de Berne) et Charles deCarlini, professeur de chimie et recteur du Col-lège Rousseau de Genève. Le CC a regretté laparticipation peu nombreuse des membres de laSSPES.

Procès-verbal: Thomas Peter

■ Aktuelles aus dem VSG

Delegierten- und Plenarversammlung 2002

zum Thema Bologna

Die Erklärung von Bologna und ihre Folgen fürdas Gymnasium wird Thema der Plenarver-sammlung 2002 sein. Sie findet am 7./8.November 2002 in Baden statt.

Studienwoche – grundlegende

Veränderungen der Rahmenbedingungen

Der Präsident der Planungsgruppe für dienächste Studienwoche, Hans Peter Dreyer, willbei der Planung grundlegende Veränderungenberücksichtigen, die sich seit der letzten durch-geführten Studienwoche 1993 ergeben haben:• Dominanz der Wirtschaft über die Politik• Bedeutung des PC für die Schule• Englisch als lingua franca • Schulsystem der Schweiz von der Vor- bis

zur Hochschule sehr stark im Wandel (u.a.Bologna)

• höhere Ansprüche von Eltern und Schülernan die Schule.

Es bestehen Ideen für einen Schüler- oder Lehr-personenenaustausch für die Zeit der Studien-woche, die voraussichtlich im Herbst 2004 oder2005 in Zürich stattfindet. Die von der Präsi-dentinnen- und Präsidentenkonferenz 2001 ein-gesetzte Planungsgruppe wird im Sommer 2002ihre Vorschläge für eine neue Studienwoche veröffentlichen.

Schulhauskorrespondentinnen

und -korrespondenten

Der Zentralvorstand will in Zusammenarbeitmit den Kantonalverbänden und der WBZ ein

Netzwerk von Schulhauskorrespondentinnenund -korrespondenten errichten. Kontakte mitPräsidien, Schulleitungen und der Direktionder WBZ sind aufgenommen. Erste Antwortenaus den Kantonen sind eingetroffen. MichelAubert und Urs Tschopp arbeiten ein Mandataus. Das Netzwerk soll an der Präsidentinnen-und Präsidentenkonferenz im März 2002 vor-gestellt werden. Mitglieder, die sich als Korres-pondentinnen oder Korrespondenten zur Verfügung stellen möchten, erhalten beimSekretariat VSG, Tel. 031 311 07 79, nähereAuskünfte.

Passerelle Gymnasium – Universität

Berufsmaturandinnen und -maturanden sollenan die Universitäten und Hochschulen übertre-ten können. Ein entsprechender Entwurf ist bisim Frühjahr 2002 in der Vernehmlassung. DerVorschlag einer von Prof. Rolf Dubs, St. Gallen,präsidierten Arbeitsgruppe sieht vor, dass Berufsmaturandinnen und -maturanden denvollen Universitätszugang nach erfolgreichemAbschluss einer Prüfung in 5 Gebieten erlangen,die eine Zusatzausbildung von rund einem Jahrverlangen: eine Fremdsprache freier Wahl,Mathematik, Integrationsfach Naturwissen-schaft/Technik, Integrationsfach Gesellschafts-wissenschaften/Philosophie, Verteidigung derInterdisziplinären Projektarbeit (entspricht inetwa der gymnasialen Maturaarbeit) in einerandern Fremdsprache als der oben geprüften.Anbieter der Vorbereitung auf die Prüfungen sol-len Gymnasien, Berufsmaturitätsschulen oderPrivate sein können. Die SMK soll die Prüfungorganisieren. Der Bericht kann von http://www.bbw.admin.ch herunter geladen werden.

Vernehmlassung Sprachengesetz

Der VSG wurde via LCH Ende Novembergebeten, auf die Vernehmlassung zur Bundes-vorlage für eine Regelung des Sprachengesetzeseine Antwort zu verfassen. Dieses zukünftigeGesetz fordert u.a. ein grösseres Engagementvon Bund und Kantonen zugunsten der Natio-nalsprachen.

Da eine Konsultation in der von LCH anbe-raumten Frist von einer Woche nicht möglichwar, hat der ZV beschlossen, die Antwort direkteinzuschicken. Die Kantonal- und Fachverbändehaben die Unterlagen erhalten und wurdengebeten, ihre Kommentare bis zum 4.1.2002zurückzusenden.

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Die Unterlagen können unter http://www.bak.admin.ch (Bundesamt für Kultur, Spra-chenpolitik) vom Internet herunter geladen werden.

Die Evaluation MAR läuft an

Das auf Anregung der Arbeitsgruppe Gymna-sium AGYM von EDK und BBW in Auftraggegebene Projekt zu einer gesamtschweizeri-schen Evaluation der MAR-Umsetzung nimmtFormen an. Noch im alten Jahr ist die Projekt-leitung bestimmt worden: Sie setzt sich zusam-men aus Erich Ramseier (Amt für Bildungsfor-schung des Kantons Bern), Gesamtprojektlei-tung und Leitung Teilprojekt 1 «Laufbahn undErfolg»; François Grin, Consortium romand,Leitung Teilprojekt 2 «Bildungsziele»; FelixOggenfuss, BPZ Zentralschweiz, Leitung Teil-projekt 3 «Organisatorische Bewältigung derReform», und Emanuele Berger, USR Bellin-zona, Koordination der Projekte in der italieni-schen Schweiz. Im Frühjahr 2002 werden dasErhebungsdesign und die weiteren Schritte vorgestellt. Über die Ergebnisse wollen diezuständigen Stellen laufend orientieren. Aus-künfte sind erhältlich bei Andreas Hirschi,Generalsekretariat der EDK (031 309 51 30)bzw. beim Präsidenten AGYM (031 961 60 55).Der VSG verfolgt die Entwicklung des Projektsmit Interesse.Urs Tschopp Dezember 2001

■ Actualités de la SSPES

Assemblée des délégué(e)s et Assemblée

plénière 2002 sur le thème de la Déclaration

de Bologne

L’Assemblée plénière 2002 sera consacrée à laDéclaration de Bologne et à ses conséquencessur le gymnase. Elles auront lieu les 7 et 8 novembre 2002 à Baden.

Semaine d’Etudes: modifications

des conditions-cadre

Le président du groupe de projet chargé de laplanification de la prochaine Semaine d’Etudes,Hans Peter Dreyer, désire prendre en considéra-tion des modifications survenues depuis la der-nière Semaine d’Etudes en 1993:• La prédominance de l’Economique sur le

Politique• L’importance de l’ordinateur pour l’Ecole• L’anglais comme «lingua franca»

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• Le profond changement du système scolairesuisse, de l’école enfantine aux Ecoles supé-rieures (cf. Déclaration de Bologne)

• Les exigences accrues des parents et des élèvespar rapport à l’Ecole

On prévoit entre autre un programme d’é-changes d’enseignants et d’élèves pendant lapériode de la Semaine d’Etude, qui aura lieu enprincipe en automne 2004 ou 2005 à Zurich. Legroupe de projet, mandaté par la Conférence desPrésident(e)s 2001 présentera ses propositions enété 2002.

Correspondant(e)s dans les écoles

En collaboration avec les Associations cantona-les et le CPS, le Comité central envisage d’établir un réseau de correspondant(e)s dans lesécoles. Des contacts ont été pris avec les présidents, les directions d’écoles et la directiondu CPS. Les premières réponses des Associa-tions cantonales nous sont déjà parvenues.Michel Aubert et Urs Tschopp élaborent unmandat. Le réseau doit être présenté à la Conférence des Président(e)s en mars 2002.Les membres de la Société, qui seraient prêts à fonctionner comme correspondant(e)s sont priés de contacter le Secrétariat de laSSPES (tél. 031 311 07 79) pour de plus amplesrenseignements.

Passerelle Gymnase – Université

Les titulaires d’une maturité professionnelledoivent pouvoir accéder aux Universités et auxEcoles supérieures. Un projet est soumis à con-sultation jusqu’au printemps 2002. La proposi-tion d’un groupe de travail présidé par le Prof.Rolf Dubs de Saint-Gall prévoit que les titulai-res d’une maturité professionnelle pourrontaccéder à toutes les études universitaires aprèsavoir passé un examen dans 5 domaines, dont lapréparation demandera environ une année: unelangue étrangère à choix, mathématiques, unebranche intégrative sciences naturelles-techni-que, une branche intégrative sciences sociales –philosophie, défense d’un travail de projet inter-disciplinaire (plus ou moins correspondant autravail de maturité gymnasial) dans une autre langue étrangère que celle déjà matièred’examen. La préparation à ces examens pourraêtre assurée par les gymnases, les écoles dematurité professionnelle et les écoles privées. LaCSM organisera les examens. Le rapport peut

être consulté à l’adresse électronique suivante:http://www.bbw.admin.ch.

Consultation «loi sur les langues»

Une consultation sur les langues nationales et la compréhension entre les communautés lin-guistiques parvint à la SSPES. La réponse nepouvait pas se faire dans le délai d’une semaine,imparti par LCH. C’est pourquoi le CC a décidéd’envoyer la réponse par la voie directe.

Les associations de branche et les associa-tions cantonales ont reçu les documents etenvoient leurs commentaires jusqu’au 4.1.02.

Les documents peuvent être consultés à l’adresse électronique suivante: http://www.bak.admin.ch (Département fédéral chargé de laculture, politique des langues).

Evaluation RRM

Le projet d’une évaluation globale de l’applicationde l’ORRM à l’échelle nationale, initié par legroupe de travail Gymnase AGYM, mandaté parla CDIP et l’OFES, prend forme. La direction du projet a été nommée l’an dernier: Erich Ram-seier (Office de recherche pédagogique du cantonde Berne), responsable de l’ensemble du projet et directeur du projet 1 «Carrière et réussite»;François Grin (Consortium romand), directeurdu projet 2 «Objectifs de formation»; FelixOggenfus (BPZ Suisse centrale), directeur duprojet 3 «Gestion et organisation de la réforme»;Emanuele Berger (USR Bellinzone), coordinati-on des projets pour la Suisse italienne. Les pro-chaines étapes seront présentées au printemps2002. Des informations régulières sur les résultatssont prévues par les instances responsables. Pourplus de renseigments, il est possible de s’adresserà Andreas Hirschi, secrétariat général de la CDIP(031 309 51 30) ou au président de l’AGYM (031 961 60 55). La SSPES suit avec intérêt ledéveloppement de ce projet.Urs Tschopp Décembre 2001

■ Rapport annuel du président pour l’année 2000/2001

L’exercice 2000/2001 de la SSPES a été riche enconsultations, en résolutions, en prises de positi-on. Le contexte actuel de la politique de l’éduca-tion en Suisse et dans nos cantons, toujours enchangements et en évolution, nous conduit natu-rellement à nous situer dans le paysage scolaire.

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Les organes de la SSPES, son Assemblée desDélégué(e)s, sa Conférence des Président(e)s,son Comité central, n’ont donc pas manqué demener des réflexions approfondies, d’affirmernotre identité, ainsi que notre rôle dans la forma-tion des étudiants, et de faire connaître nos posi-tions aux cercles concernés. Parallèlement, uneréorganisation de nos structures est en cours, quise poursuivra encore ces prochaines années.

1. Organes de la SSPES

1.1 Comité central et Bureau

Le Comité central s’est réuni sept fois, lors deséances plénières de plusieurs jours, durant l’exercice 2000/2001, et le Bureau trois fois. Parailleurs, deux groupes de travail (groupe «Struc-tures» et groupe «Politique») ont tenu huit séances.

Il n’y a pas eu de changements au sein duComité central cette année, dont font partie UrsTschopp, vice-président, Roger Friche, trésorier,Thomas Peter, secrétaire (tous trois membresavec le soussigné du Bureau), Anita von Arx,Christa Dubois-Ferrière et Martin Rüegg. Nousespérons vivement que de nouveaux membrespourront être élus bientôt au Comité central.

Mes remerciements vont cette année encoreà tous les membres du Comité central pour leurengagement et leur apport à la réalisation de nostâches et de nos objectifs.

1.2 Secrétariat

Mme Agnes Käser s’occupe toujours parfaite-ment du Secrétariat. Nous la remercions pourson travail et sa disponibilité, en particulier pourla nouvelle tâche consistant à tenir le fichier desadresses des membres de la SSPES.

1.3 Assemblée des Délégué(e)s et

Conférence des Président(e)s

L’Assemblée des Délégué(e)s 2000 de la SSPESa eu lieu le 9 novembre 2000 à Langenthal. Lorsdu repas réunissant les délégués, les membres ducomité central et les invités, une petite commé-moration a permis de marquer les 140 ans de laSSPES. Le 10 novembre 2000, les participants àl’Assemblée plénière de la SSPES, placée sous lethème «L’Ecole: pour la vie ... ou pour la nouvelleéconomie ?», ont pu suivre un exposé du Profes-seur Beat Burgenmeier et participer à une tableronde animée par Mme Nadia Brendle, de laTSR.

La conférence des Président(e)s du 25 octo-bre 2000, à Lucerne, a été consacrée à «l’avenirdu CPS et sa collaboration avec la SSPES et sessociétés affiliées». Des présentations de MM.Hans Ambühl, secrétaire général de la CDIP,Armand Claude, directeur du CPS, et TheoWirth, membre de la commission «Formationinitiale et formation continue», ont permis d’amorcer la discussion sur le thème de la conférence.

L’adoption d’une résolution et de thèses surla formation continue, ainsi qu’un débat sur ledocument «Politique de l’enseignement gymn-asial», ont été à l’ordre du jour de la conférencedes Président(e)s tenue à Olten le 21 mars 2001.

1.4 Commissions permanentes

Les commissions permanentes de la SSPES, CLV(Commission Langues Vivantes), CPP (Com-mission psycho-pédagogique), F+P (Commissionpour la formation initiale et continue), CGU(Commission Gymnase–Université), ont poursui-vi ou développé leurs activités durant cette année.On trouvera de plus amples renseignements surleur travail pendant l’exercice écoulé dans les rap-ports annuels de leurs présidents : HannelorePistorius (CLV), Rosemarie Meyer-Ott (CPP),Helmut Meyer (F+P) et Alois Kurmann (CGU).

Quelques nouveaux membres ont pu êtreélus dans les commissions; mentionnons aussiqu’un ou deux membres du Comité central fontpartie désormais de chaque commission, ce quifacilite la planification et la coordination desobjectifs de la SSPES.

Par ailleurs la CGU, recréée en 2000, a redé-fini son mandat et celui-ci a été adopté récem-ment par le Comité central.

1.5 Gymnasium Helveticum

Nous remercions cette année encore nos rédac-teurs, Verena E. Müller et Claude Wannen-macher, de leur travail sans relâche pour la paru-tion du Gymnasium Helveticum. Nous leur savonsgré de la planification des thèmes, de la chassepermanente aux auteurs, de la gestion du volumedes articles, ainsi que de leurs contributions rédac-tionnelles personnelles (en particulier des édito-riaux réguliers de V.E. Müller).

Nos remerciements vont également à Chris-tine Jacob-Hugon, qui a assuré durant plusieursannées les traductions allemand-français desarticles du GH et qui a assisté à de nombreusesséances du Comité central. Nous formons tous

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nos vœux pour la poursuite de ses activités pro-fessionnelles en Australie.

D’autre part, le Comité central étudie en-core sous quelle nouvelle forme les «nouvelles de la SSPES» pourraient être présentées dans leGymnasium Helveticum.

2. Résolutions, prises de position, consultations

2.1 Résolution de l’Assemblée des

Délégué(e)s 2000 de la SSPES

Lors de l’Assemblée des Délégué(e)s du 9 novembre 2000 à Langenthal, une résolution aété adoptée, dénonçant la détérioration des con-ditions d’enseignement au secondaire II etdemandant que des moyens suffisants soientaccordés au secteur de l’enseignement, pour quela mission qui est la sienne puisse être remplie demanière optimale.

Cette résolution a été transmise à toutes lesautorités dont dépend la formation gymnasiale,tant au niveau des cantons qu’à celui de la Con-fédération.

2.2 Résolution et thèses

sur la formation continue

Suite à ses deux réunions de Lucerne (25 octob-re 2000) et d’Olten (21 mars 2001), la Con-férence des Président(e)s, se préoccupant desconditions actuelles dans lesquelles les maîtresde gymnase ont la possibilité de suivre des coursde perfectionnement et soucieuse de leur garan-tir la meilleure formation continue (entre autrespar le biais des cours mis sur pied par ses sociétésde branches affiliées, dans le cadre du pro-gramme du CPS), a adopté une résolution à l’attention des départements cantonaux de l’Instruction publique des cantons suisses.

Par ailleurs, la Conférence des Président(e)sa également adopté les «thèses pour la formationcontinue des professeurs de gymnase» élaboréespar la Commission Formation et formation continue (F+P).

2.3 Positionspapier

Le Comité central a confié à un groupe de travail «Politique» (formé de Anita von Arx,Christa Dubois-Ferrière, Martin Rüegg etMichel Aubert) la rédaction d’un «Positionspa-pier» présentant les options politiques de la SSPES, plus précisément de son Comité central.

Cette prise de position, préparée par le grou-pe de travail, adoptée par le Comité central etsoutenue par la Conférence des Président(e)s, estintitulée «Politique de l’enseignement gymna-sial» et présente nos préoccupations du moment.Il est prévu qu’elle soit réactualisée ces prochai-nes années.

Ce document a déjà été diffusé auprès dedivers partenaires de la SSPES et publié dans leGH. Il sera encore soumis à la Conférence desPrésident(e)s du 19 septembre 2001 et sera pré-senté à l’Assemblée des Délégué(e)s du 8novembre 2001 à Lucerne.

2.4 Consultations

La SSPES, ses sociétés de branches ou ses asso-ciations cantonales ont été amenées à répondre àplusieurs consultations de la CDIP cette année:«Coordination de l’enseignement des langues auniveau de la scolarité obligatoire», «Concept cad-re pour la formation des maîtres de sport de tousles niveaux», «Recommandations de la CDIPconcernant la formation et l’intégration des jeu-nes de langue étrangère au degré secondaire II».

2.5 Enquête ORRM

Suivant le mandat donné par l’Assemblée desDélégué(e)s 2000, le Comité central a lancé uneenquête interne sur la mise en place de l’ORRM,dans le No 2/01 du Gymnasium Helveticum.

Souhaitant que plus de collègues s’exprimentsur le sujet et pour obtenir un nombre plus signi-ficatif de réponses à faire valoir dans une analyseou des prises de position futures, le Comité cen-tral a décidé de prolonger le délai de cette con-sultation au 10 octobre 2001. Ce thème est d’oreset déjà agendé à la prochaine Conférence des Pré-sident(e)s du 19 septembre 2001, ainsi qu’à l’As-semblée des Délégué(e)s du 8 novembre 2001.

3. Autres travaux du Comité central

3.1 Administration

Suite aux réorganisations de l’année dernière, leGymnasium Helveticum est imprimé et expédié parl’imprimerie Trüb-Sauerländer AG d’Aarau, larecherche des annonces est confiée à Lenzin &Partner d’Erlinsbach (AG), tandis que la maisonIPO de Bösingen (FR) tient le fichier et se char-ge de l’envoi des cotisations. Les changementsd’adresses, les admissions et démissions sonttraités directement par le secrétariat de la SSPES(Waisenhausplatz 14, Postfach, 3001 Bern).

gh 1• 0250

Notre site Internet www.vsg-sspes.ch a main-tenant trouvé sa vitesse de croisière et il est régulièrement tenu à jour, grâce aux bons soins de notre vice-président Urs Tschopp et de la maison ISM de Disentis (GR). Nous serionsencore heureux d’enrichir ce site de liens – de etvers – les sites des sociétés affiliées ou d’autresorganisations.

3.2 Champs d’activités du Comité central

en 2001

Le Comité central s’était fixé pour 2001 cinqchamps d’activités (ou de réflexion), qui ont étéprésentés à l’Assemblée de Délégué(e)s 2000:Politique de la SSPES (cf. 2.3), Structures (cf.3.3), Concept des langues (cf. 2.3 + 2.4), Secon-daire II (cf. GH 4/01), Semaine d’études (cf. 3.7).

3.3 Organisation du Comité central,

structures, départements

Suite à des propositions de réformes des structu-res remontant à quelques années, le Comité cen-tral a créé en 2000 un groupe de travail tempo-raire «Structures» (formé de Roger Friche, Tho-mas Peter, Martin Rüegg et Michel Aubert),avec mandat d’étudier plusieurs variantes (nonexclusives) : mise en place de départements ausein du Comité central, instauration d’un postede directeur exécutif (ou de secrétaire général),renforcement de la présidence.

Le groupe de travail a procédé à une analyseapprofondie des tâches du Comité central et dusecrétariat, défini le profil et le cahier des char-ges d’un éventuel directeur exécutif et estimé lescoûts des diverses variantes.

En bout de compte, le Comité central, danssa séance des 3–5 mai 2001, a décidé de ne pasproposer de modifications des statuts visant àl’instauration d’un poste de directeur exécutif(essentiellement pour des raisons financières).Les travaux du groupe de travail seront par con-tre très utiles pour la mise en place des départe-ments du Comité central, qui est actuellementen cours.

3.4 Questions financières

L’étude des structures de la SSPES ne saurait êtredissociée de sa situation financière. On se référeraà ce propos aux comptes et budget présentés àl’Assemblée des Délégué(e)s 2001 par notre tré-sorier Roger Friche, qui tient toujours aveccompétence et efficacité les cordons de la boursede la SSPES.

L’augmentation des charges, de nouvellesstructures plus efficaces, mais aussi une certainediminution du nombre de nos membres, nousobligeront naturellement à repenser l’enveloppebudgétaire globale de la SSPES à l’avenir.

3.5 Recrutement

Chaque année, une (ou des) campagne(s) d’in-formation et de recrutement est (sont) lancée(s)auprès des enseignants de certains cantons ou decertaines disciplines. Nous constatons malgrécela que la SSPES, ainsi que ses sociétés affiliées,demeurent peu connues, spécialement auprès denos jeunes collègues.

Diverses mesures sont dès lors envisagéespour favoriser cette information et ce recrute-ment. Nous pensons entre autres réinstaller unréseau de correspondants d’écoles performant (cf.3.6), et aussi offrir de nouveaux avantages auxmembres de la SSPES, comme des prix préféren-tiels pour participer à une semaine d’études (cf.3.7) et éventuellement à des cours de perfec-tionnement de nos sociétés affiliées.

Par ailleurs, une information en connexionavec les actions promotionnelles du CPS est envi-sagée. M. Armand Claude, directeur du CPS, adéjà fait des présentations dans les départementsde didactique des universités suisses, où il a eul’occasion de mentionner l’existence de la SSPESet de ses sociétés affiliées.

3.6 Correspondants d’écoles

Le Comité central étudie la possibilité de trou-ver dans chaque gymnase ou lycée un correspon-dant de la SSPES et du CPS. Son rôle serait des’occuper de la promotion de la SSPES, éventu-ellement de l’association cantonale de son can-ton, des sociétés de branche de la SSPES, deleurs manifestations, des cours de perfectionne-ment du CPS. Il pourrait recevoir des informa-tions directes de la SSPES et du CPS et les tenirà disposition de ses collègues.

3.7 Semaine d’études

Après plusieures années où ce thème n’a plus étéabordé, le Comité central a décidé de relancer l’idée d’organiser une semaine d’études de laSSPES. La Conférence des Président(e)s du 19septembre 2001 déciderera du lancement de ceprojet, ainsi que de la création d’un groupe deplanification. Différents partenaires de laSSPES, dont le principal serait naturellement leCPS, pourraient être associés à ce groupe de pla-

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nification. Cette prochaine semaine d’études dela SSPES pourrait avoir lieu à Zurich en 2004 ouen 2005.

3.8 Argus de la presse

Le Comité central a renoncé à créer son propreArgus de la presse, mais a décidé de s’abonner àcelui que notre collègue Paul Strasser réaliserégulièrement à l’attention de TRI S2, encollectant des articles concernant l’enseigne-ment dans la presse suisse.

4. Contacts extérieurs

4.1 Rencontres CDIP–SSPES

Cette année, nous avons rencontré à deux re-prises M. Hans Ambühl, secrétaire général de la CDIP, et ses collaborateurs. Le 1er septembre2000, nous avons pu passer en revue les nou-veaux statuts du CPS et recevoir des informa-tions sur le projet de futur centre national de compétences. Le 30 mai 2001, lors de la tra-ditionnelle rencontre annuelle CDIP–SSPES,nous avons pu avoir de nombreux échanges sur des sujets aussi variés que le Secondaire II,la déclaration de Bologne, les prises de positionde la SSPES, l’état de la situation du CPS,l’éventuelle future semaine d’études de laSSPES, les évaluations de l’ORRM, le conceptdes langues.

4.2 CPS

Nos contacts et notre collaboration avec le CPSont été très intenses cette année, tant au plan denos rencontres avec sa direction qu’à celui, tradi-tionnel et régulier, des cours de perfectionne-ment que mettent sur pied nos sociétés affiliées.

Les nouveaux statuts du CPS prévoient quel’ancienne «Commission de surveillance» estremplacée par un «Conseil du CPS». La SSPESsera représentée dans ce nouveau Conseil pardeux membres du Comité central.

Le Comité central et quelques membres dela Commission F+P ont rencontré le 24 octobre2000 M. Armand Claude, directeur du CPS, etses collaborateurs, au siège du CPS à Lucerne,pour débattre des questions concernant le CPSet la SSPES.

Une proposition visant à offrir des conditionsde participation préférentielles aux membres de laSSPES (pour les activités de formation continuede la SSPES et de ses sociétés affiliées) a été faite à l’Assemblée des Délégué(e)s 2000 du

9 novembre 2000. Cette proposition est actuel-lement étudiée par la Direction du CPS et leComité central de la SSPES.

Par ailleurs, plusieurs membres du Comitécentral de la SSPES et de la Commission F+Pont participé le 24 janvier 2001 à un Hearingorganisé par la Conférence suisse des responsa-bles de la formation continue du corps ensei-gnant du secondaire II (comprenant le CPS), surle thème des «Perspectives de la formation conti-nue institutionnelle des enseignants du secon-daire II».

4.3 Contacts avec les associations cantonales

Selon sa pratique réinstaurée il y a quelquesannées, le Comité central a tenu ses séances dansdiverses villes de Suisse. Il a pu ainsi, presque àchaque fois, rencontrer les responsables des asso-ciations cantonales des cantons visités et aborderavec eux les questions spécifiques les concernant.

4.4 Sociétés de branches

Le Comité central se préoccupe actuellement deréactiver la «Société des professeurs d’allemand enSuisse romande et italienne» (SPASRI).

4.5 Contacts avec des parlementaires

Des contacts personnels avaient déjà été pris en2000 par certains membres du Comité centralavec des parlementaires fédéraux. Cette année,une délégation du Comité central a rencontré ungroupe de parlementaires des chambres fédéra-les, le 20 juin 2001 à Berne. A cette occasion, ila pu présenter son document «Politique de l’en-seignement gymnasial». Les thèmes cruciaux decette prise de position, ainsi que d’autres thèmes,y ont été l’objet d’un intéressant échange de vue.

De telles rencontres devraient être renou-velées ces prochaines années.

4.6 LCH, SER

Comme les années précédentes, la SSPES a étéreprésentée par des membres de son Comité cen-tral aux séances du comité, à la conférence desprésidents et à l’assemblée des délégués de LCH(Lehrerinnen und Lehrer Schweiz).

Plusieurs rencontres avec des membres ducomité du SER (Syndicat des enseignantsromands) ont été tenues en vue d’établir une con-vention de collaboration entre le SER et laSSPES: la SSPES ne peut pas devenir membrecollectif du SER (car les statuts du SER neprévoient pas cette possibilité).

gh 1• 0252

4.7 Peter-Hans-Frey-Stiftung

La fondation Peter-Hans Frey, dont le but estd’encourager les initiatives visant au développe-ment de l’enseignement gymnasial en Suisse etqui décerne chaque année un prix à une personneou à une institution, est traditionnellement prési-dée par un membre de la SSPES. Ces dernièresannées, c’est M. John Rufener, ancien présidentde la SSPES, qui en étaitle président. Le Comitécentral de la SSPES va être amené à désigner prochainement un nouveau président pour cette fondation.

4.8 Participation à des activités extérieures

Des membres de la SSPES, du Comité centralen particulier, ont participé à divers congrès,assemblées, séminaires, ... On citera par exem-ple le congrès de la «Deutscher Philologen-Ver-band» (DPhV), tenu à Berlin les 15–16 mars2001 et auquel a participé Anita von Arx; ou lecongrès «Gewalt an der Schule», le 5 juin 2001à Winterthour, à l’organisation duquel ThomasPeter a collaboré et auquel Christine Jacob-Hugon a participé; ou encore la rencontre desrecteurs des gymnases et des hautes écoles surle thème «Transition Gymnase-Hautes écoles»,du 31 août au 2 septembre 2001 au MonteVerità, à laquelle ont participé deux membres dela Commission CGU: Franziska Streit et Alois Kurmann.

4.9 Commissions

La SSPES est toujours représentée dans diversescommissions (autres que nos commissions per-manentes): le Conseil du CPS, la CSM (Com-mission suisse de maturité), la CFG (Commis-

sion Formation générale de la CDIP), l’AGYM(groupe Gymnase de la CDIP), la RDEM(Commission de reconnaissance des diplômesd’enseignement pour les écoles de maturité). Onnotera à ce propos qu’Urs Tschopp, vice-prési-dent de la SSPES, a été nommé présidentd’AGYM.

4.10 Contacts avec d’autres associations et

organisations

Durant cette année, la SSPES a gardé le contactavec de nombreuses associations ou organisa-tions, telles l’Association suisse des professeursd’université, l’Union des organisations d’étudi-ants, le Conseil de fondation du Fonds nationalsuisse, ch Echange de jeunes, FPS (Formationprofessionnelle suisse), Engineers Shape ourFuture (INGCH), la fondation contre le racis-me.

Je ne saurais conclure ce rapport sans réité-rer mes remerciements à mes collègues duComité central pour leur soutien et leur fructu-euse collaboration. Mes remerciements vontencore à tous les responsables des sociétés debranches affiliées, des associations cantonales,des commissions permanentes, aux rédacteurs duGymnasium Helveticum et au Secrétariat.

Michel Aubert, président

FORM

ATION

CON

T INU

EService de formation continue

Analyse de l’image: techniques et outils Cinéma et autres médias

Les 13, 20, 27 mars, 10, 17 et 24 avril 2002

RenseignementsService de formation continue

Université de Lausanne – Château de Dorigny1015 Lausanne – Tél. 021 692 22 90 – Fax 021 692 22 95

Internet: http://www.unil.ch/sfc/ e-mail: [email protected]

gh 1• 0254

■ Bildungsserver und ICT-Kompetenz

Mitte November 2001 ist der SchweizerischeBildungsserver (SBS, http://www.educa.ch)offiziell ans Netz gegangen. Er soll ein Por-tal für die Schweizer Schule sein, also jenerOrt, von dem aus Zugang zu den verschiede-nen Angeboten für Bildung, Unterrichtsma-terialien und schulrelevante Informationenbesteht. Betreut wird er von 2 hauptamtli-chen und 10 Teilzeitredaktor(en)/innen, diein den verschiedenen Regionen des Landesarbeiten. Für Anbieter von Inhalten bestehenverschiedene Möglichkeiten zur Zusammen-arbeit mit dem SBS. Mit einer Austausch-plattform für Unterrichtsmaterialien könnenauch einzelne Lehrpersonen ihre Ideen undArbeiten einbringen. Unter http://www.edu-canet.ch wurde auch ein Bereich eröffnet, indem man virtuelle Gruppen und Foren bil-den kann, in dem Zusammenarbeit zwischenLehrpersonen, Schulen und Klassen möglichsein soll.

■ Materialien und Informationen von gesicherter Qualität

Anlässlich der Generalversammlung desSVIA (Schweizerischer Verein für Informa-tik in der Ausbildung) am 23.11.2001 hatein Podium mit Francis Moret (SFIB), Wer-ner Hartmann (EducETH) und FortunatSchmid (HLM Höheres Lehramt Mittel-schulen der Universität Zürich) an der ETHin Zürich stattgefunden. Der zentrale Punktder Diskussion war die Frage, wer für Bil-dungsserver Inhalte von gesicherter Qualitätliefert und wer die Kosten trägt. Man warsich einig, dass eine grosse Menge von Infor-mationen und Materialien den Suchendennoch nicht viel bringt, wenn sie in der Fülledes Gefundenen dann die qualitativ wertvol-len mühsam heraussuchen müssen. Educ-ETH betreut jeden Fachbereich durch Fach-

master, die mit ihrem Namen zur Qualitätdes Angebots stehen. Ihre Arbeit leisten sieheute ohne finanzielle Entschädigung. Fürdie technische Arbeit steht EducETH nureine 50%-Stelle zur Verfügung. DieserZustand kann aber längerfristig nicht durch-gehalten werden. Hier ist dringend eine trag-fähige Dauerlösung gesucht, damit wir auchin Zukunft für den Unterricht auf derSekundarstufe II dieses grossartige Angebotnutzen können.

■ Vernetzung der ICT-Kompetenzen

«Use ICT to learn» ist ein Ziel, welches mitder Ausbildung in ICT in der Schule ange-strebt wird. Noch sind zu viele Hindernissebeim Lernen mit ICT da. Ungeeignete Soft-ware, fehlende Unterstützung, keine An-sprechpersonen für konkrete Fragen. Fortu-nat Schmid zeigte, dass eine Vernetzung vonkompetenten Lehrpersonen dringend nötigist. Am 12. September 2001 hat die Tagung«ICT und Gymnasialunterricht» 50 Teilneh-mende zusammengeführt, die den Willenbekundet haben, in einem Netzwerk mitzu-wirken. Eine Projektgruppe aus Vertreternvon WBZ, SVIA und HLM erarbeitet nunGrundlagen für die Organisation dieses ICT-Kompetenznetzes Sek II.

Das Netzwerk steht und fällt mit denLehrpersonen, die dabei mitmachen. Siemüssen unterstützt werden von den Institu-tionen, welche in der Aus- und Weiterbil-dung tätig sind, speziell von den Fachdidak-tiken, die wissenschaftliche Grundlagen bei-bringen können, und welche auch bei derErarbeitung von Unterrichtsmaterialien einewichtige Rolle spielen sollten. Dazu gehörtnatürlich auch die technische Vernetzung miteinem Schweizerischen Bildungsserver undInhaltsplattformen wie EducETH. Entschei-dend für die Zukunft der ICT in der Schulewird aber die Vernetzung der Menschen sein.

Hermann Knoll, SVIA-Präsident

SVIA – SSIE – SSII

Internetadressen: Schweizerischer Bildungsserver: http://www.educa.chSchulnetz im Schweizerischen Bildungsserver: http://www.educanet.chEducETH: http://www.educeth.chSchweizerischer Verein für Informatik in der Ausbildung SVIA:http://www.svia-ssie.ch

gh 1• 0255

Erstsprachen / Langues premières

01.01.04 Lyrik in Leukerbad 10.–14. 3. 2002 Leukerbad VS

01.01.06 Informations- und Kommunikationstechniken 20. 3. 2002 Luzernim Deutschunterricht

01.01.33 Journalistisches Schreiben 26.–28. 3. 2002 Degersheim

Zweitsprachen / Langues secondes

01.02.11 Atelier d'expression théâtrale 24.–26. 4. 2002 Tramelan, CIP

01.02.13 Nationalsozialismus – Stalinismus 23. 3. 2002 Basel

01.02.16 Creative Writing 17.–20. 4. 2002 Fribourg

01.02.17 Literatura y cine 14.–16. 3. 2002 Bönigen b. Interlaken

01.02.18 Literature Festival in Ireland 22.–26. 4. 2002 Galway / Ireland

01.02.62 Le rôle des aspects grammaticaux 16.–18. 4. 2002 Genèvedans la compréhension de textes

01.02.71 Enrichir son français… à distance Séance d'introduction: 12. 1. 2002 Domicile du participant

Physik / Physique

01.05.32 Physik und Anwendungen 6.–8. 3. 2002 Zürich und Rapperswilder Mathematik II

Biologie / Biologie

01.07.12 Biotechnologies: une approche pratique de 5.– 6. 3. 2002 Lausannequelques techniques en biologie moléculaire

01.07.71 Gentechnik – Grundlagen und Anwendungen 21.–22. 2. 2002 Zürich

Politik / Politique

01.10.31 Politische Bildung in Bewegung 11.–13. 03. 2002 Wabern-Bern

Wirtschaft und Recht / Economie et Droit

01.11.02 Marketing: Neue Trends in 18.–19. 3. 2002 ZürichWirtschaft und Unterricht

01.11.51 Anwenderkurs Finanzbuchhaltung 24.–25. 1. 2002 Zürichauf dem Computer

Geschichte / Histoire

01.12.32 Être migrant(e) en Europe 6.–9. 3. 2002 Neuchâtel

01.12.35 Geschichtsunterricht in 9.–11. 5. 2002 Ostschweizmultikulturellem Umfeld

01.12.36 La construction scolaire de l'histoire sociale 15.–17. 5. 2002 Genève

wbz Kurse Kurse Januar–Juli 2002 mit freien Plätzen!

Cours de janvier à juillet 2002 avec des places libres!

gh 1• 0256

Philosophie / Philosophie

01.13.11 Les nouvelles biotechnologies, une menace 20. 3. 2002 Lausannepour la dignité de l'homme?

Religion / Religion

01.14.01 Faszination Buddhismus 13.–15. 5. 2002 Gretzenbach

Musik / Musique

01.16.31 Oper in der Schule 7.–9. 3. 2002 Leuenberg/Hölstein BL

Kaderbildung / Formation des cadres

01.22.35 Qualitätsevaluation an Mittelschulen 1. Block: 27. 2.–2. 3. 2002 Schwarzenberg LU2. Block: 25.–27. 3. 20023. Block: 6.–8. 5. 20024. Block: 19.–21. 6. 20025. Block: 29.–31. 10. 20021 Tag im Februar 2003

Interdisziplinäre Projekte / Projets interdisciplinaires

01.23.32 Science et philosophie des sciences au XIXe 25.–26. 1. 2002 Lausanneet au début du XXe siècle

01.23.41 Unterrichtsexempel zu Mathematik/Physik/ 15.–17. 5. 2002 BernChemie/Deutsch aus der Berner Lehrkunstwerkstatt

01.23.51A EDK-Forum zur Interdisziplinarität / 4.–5. 4. 2002 Morat FRForum CDIP sur l'interdisciplinarité

01.23.51B EDK-Forum zur Interdisziplinarität / 22.–23. 4. 2002 Morat FRForum CDIP sur l'interdisciplinarité

01.23.71 Enseignement des droits de l'homme 7.–13. 7. 2002 Genèveet de la paix

Methodik und Didaktik / Méthodologie et didactique

01.24.32 Freispiel im Kindergarten: 23. 3. 2002 Brugg AGEigenaktives Spielen und Lernen

01.24.34 Geschlechtergerechter Unterricht 24. 1. 2002 Zollikofenan Gymnasien und Berufsschulen

01.24.64 Analyse des pratiques: 1ère partie: 12.–13. 3. 2002 LausanneDes compétences aux comportements 2ème partie: 15.–16. 5. 2002

Pädagogik und Psychologie / Pédagogie et psychologie

01.27.53 Chancengleichheit als Auftrag im Unterricht 1. Teil: 11. 5. 2002 Zollikofen2. Teil: 25. 5. 2002

01.27.66 Formation à la conduite de l'entretien 29. 4.–1. 5. 2002 Lausanne

Organisation und Entwicklung / Organisation et développement

01.28.21 Schulentwicklung durch Personalförderung 11.–12. 4. 2002 Leuenberg/Hölstein BL

01.28.22 Unterrichtsentwicklung Konkret 17.–18. 6. 2002 Rheinfelden

gh 1• 0257

Sind Sie interessiert…

■ …an ICT im Gymnasialunterricht? Wir suchen eine

Lehrperson, die Erfahrung im Einsatz neuer Informations-

und Kommunikationstechniken in ihrem Unterricht sowie

Kompetenzen in Projektmanagement und Sitzungsmode-

ration mitbringt. Sie wird im Umfang von etwa 20%

während ein bis zwei Jahren das WBZ-Projekt «ICT im

Gymnasialunterricht» leiten. Dabei geht es – im Rahmen

des Grossprojekts «Public Private Partnership (PPP)» von

Bund, Kantonen und Wirtschaft – um die Planung und

Gestaltung von Weiterbildungs- und Beratungsprojekten

zur Unterstützung der Gymnasien im Bereich der ICT.

■ …an Fragen der Geschlechterrollen und der Gleich-

stellung an Gymnasien? In unserer Projektgruppe

«Geschlechterrollen / Gleichstellung auf der Sekundarstu-

fe II», gemeinsam getragen von der WBZ und dem

Schweizerischen Institut für Berufspädagogik (SIBP), feh-

len zur Zeit aktive Gymnasiallehrerinnen und vor allem

-lehrer. Die Gruppe tagt vier Mal jährlich und führt jeweils

im Januar ein interkantonales Forum durch. Schnupper-

möglichkeit am nächsten Forum vom 24. Januar 2002 in

Zollikofen BE (WBZ-Projekt Nr. 01.24.34) oder an einer

nächsten Gruppensitzung.

■ …an fächerübergreifenden Themen? Dann kommt

das diesjährige EDK-Forum zum Thema «Interdisziplina-

rität» gerade richtig. Fachleute aus Gymnasien und Uni-

versitäten stellen Forschungen und Projekte vor; daneben

ist Raum für intensiven Gedanken- und Erfahrungsaus-

tausch. Das Forum 2002 findet zwei Mal statt: Donners-

tag/Freitag, 4./5. April 2002, und Montag/Dienstag, 22./23.

April 2002, beide Male im SBB-Ausbildungszentrum

Löwenberg bei Murten FR. Ihre Schulleitung hat eine Ein-

ladung erhalten. Erkundigen Sie sich dort oder melden Sie

sich direkt an unter der WBZ-Projektnummer 01.23.51A

(für das erste Datum) oder 01.23.51B (für das zweite

Datum).

➔ Selbstverständlich erteilen wir gern weitere Aus-

kunft zu diesen Projekten:

WBZ, Postfach, 6000 Luzern 7

Telefon 041 249 99 11

Fax 041 240 00 79

E-Mail: [email protected]

gh 1• 0258

Walter E. Laetsch

■ Hochschulförderung, -planung

Der Bundesrat schickt einen neuen Hoch-schulartikel in die Vernehmlassung. Ziel istes, die Kräfte zu bündeln, um die Qualitätvon Lehre und Forschung zu sichern und zusteigern. Bund und Kantone sollen gemein-sam Grundsätze für die Autonomie derHochschulen, für die Mobilität der Studie-renden und Lehrenden, für die Diplomaner-kennung und die Finanzierung festlegen.

■ Universitäten

Koordination

Die Universität Zürich und die ETH Zürichwollen gemäss einer Rahmenvereinbarungihre Zusammenarbeit verstärken. Die gegen-seitige Durchlässigkeit und Absprachen sollen noch verbessert, die gemeinsamen Projekte und Einrichtungen vermehrt wer-den. Als Beispiele werden genannt ein neuesZentrum für funktionelle Genomik sowie ab2002 ein Lehrerbildungsinstitut mit Beteili-gung der Pädagogischen Hochschule und einSprachenzentrum.

Die Universität Lausanne denkt über eineFusion mit der ETH Lausanne als «CampusLausanne» nach. Es liegt ein entsprechendesArbeitspapier vor.

Basel

Das erste Institut für klinische Epidemiolo-gie in der Schweiz ist in Basel eröffnet wor-den. Durch patientenorientierte Forschungsoll es dazu beitragen, dass namentlich in der inneren Medizin effiziente medizinischeMassnahmen angewendet werden.

Lausanne

Die Post und die ETH Lausanne wollen inForschung, Ausbildung und Wissenstransferzusammenarbeiten. Die Post finanziert einenLehrstuhl für «Management des Industriesde Réseau» an der neuen Fakultät «Environ-nement naturel et construit».

Luzern

Die Nachfrage nach Studienplätzen für das neugeschaffene Studium der Rechtswissenschaft ander Universität Luzern ist grösser als erwartet.160 Studierende beginnen im Oktober ihreAusbildung, 60 Prozent davon sind Frauen.

Mit einem Festakt wurde die Eröffnung derRechtswissenschaftlichen Fakultät begangen,womit die Universität Luzern nun als voll-wertige Universität gilt. In Luzern wird das«Bologna-Modell» mit standardisiertem Unter-richt, Bachelor- und Master-Abschluss undeinem effizienten System für studentischenAustausch zwischen verschiedenen europäi-schen Universitäten angewandt.

Neuenburg

Der Neuenburger Staatsrat will die Strukturder Universität verbessern, damit die Hoch-schule konkurrenzfähig bleibt. Das kollegialeDirektionssystem soll abgeschafft und dasRektorat gestärkt werden. Für das Winter-semester sind 3200 Studierende eingeschrie-ben, die Zahl stagniere allerdings seit dreiJahren.

■ Forschung

Das Institut für biomedizinische Technik – einegemeinsame Einrichtung der ETH und derUniversität Zürich – hat mit einem privatenUnternehmen eine Vereinbarung über einKompetenzzentrum geschlossen, an dem neue Techniken der Magnetresonanzabbildung(MRI) entwickelt werden sollen. Das Zentrumist im Universitätsspital untergebracht, aberprimär für die Forschung bestimmt und nichtfür Routineuntersuchungen an Patienten.

Mit einem Kredit von je 150 000 Frankenunterstützen die Regierungen von Basel-Stadtund -Landschaft eine Machbarkeitsprüfung fürein neues Institut, an dem Alterserkrankungenerforscht werden sollen. Weitere 200 000 Fran-ken hat der Universitätsrat Basel zugesagt. Derjährliche Finanzbedarf eines «Basel Institute forDiseases of Ageing» (BIDA) wird auf 30 bis 50 Mio. Franken geschätzt.

Bildungspolitische KurzinformationenPolitique de l’éducation

gh 1• 0259

Schweizerschule Rom

Auf Beginn des Schuljahres 2002/03 (1. Sep-tember 2002) ist die Stelle des/der

Direktors / Direktorin

neu zu besetzen. An der SchweizerschuleRom werden gegen 400 Schülerinnen undSchüler im Kindergarten, in der Primar- undSekundarschule sowie im Wirtschaftsgym-nasium von gegen 30 Lehrkräften unterrich-tet. Unterrichtssprache ist Deutsch.

Als Direktor oder Direktorin leiten Sie dieSchule. In dieser anspruchsvollen Aufgabewerden Sie vom Verwaltungsrat unterstützt.Wir wenden uns an Mittelschullehrkräfte mitmehrjähriger Lehrerfahrung und guten Italie-nischkenntnissen; falls Sie lediglich überGrundkenntnisse verfügen sollten, könntenSie diese bis Stellenantritt allenfalls in Inten-sivkursen erweitern. Die Dauer der Anstel-lung als Direktor oder Direktorin ist für min-destens vier Jahre vorgesehen. Die Kostenfür die Hin- und Rückreise sowie eine Pau-schale für die Umzugskosten werden von derSchweizerschule übernommen.

Für Auskünfte wenden Sie sich bitte an Thomas Gschwend, Leiter des Amtes fürMittelschulen und Lehrerbildung, Erzie-hungsdepartement des Kantons St. Gallen,Regierungsgebäude, 9001 St. Gallen, Telefon(071) 229 32 34. Dort können Sie auch dasAnmeldeformular beziehen. Für detaillierte Angaben steht Ihnen auch derderzeitige Stelleninhaber, Prof. BertramMogg, Via Marcello Malpighi 14, I-00161Roma (Telefon 0039 06 440 21 09, Telefax0039 06 440 42 13) gern zur Verfügung.

Ihre Bewerbungsunterlagen senden Sie bittebis 31. Januar 2002 an das Erziehungs-departement des Kantons St. Gallen, Amt fürMittelschulen und Lehrerbildung, Regie-rungsgebäude, 9001 St.Gallen.

LEHRERSEMINAR KREUZLINGENWir suchen auf Beginn des Schuljahres 2002/03 Lehrkräftefür:

Physik (Mathematik)(Vollpensum)

Biologie / Chemie(Vollpensum)

Geographie(8 Lektionen)

Wir suchen Stellvertreterinnen und Stellvertreter für

Deutsch (14 Lektionen, 12.8.02 – 24.1.03)

Biologie / Chemie (20 Lektionen, Mai/Juni 02)

(17 Lektionen, 12.8. – 4.10.02)

Alle Pensen sind aufteilbar.

Folgende Umstände ergeben besonders günstige Arbeits-bedingungen: eine grosse Freiheit bei der Gestaltung desUnterrichtes, eine überschaubare Schule, eine sehr schöneund grosszügige Schulanlage, eine Schülerschaft, die bereitist, den Unterricht und das Schulleben mitzugestalten.

Anforderungen: Abgeschlossenes Hochschulstudium (fürVertretungen mindestens höhere Semester).

Es ist eine Anstellung als Lehrbeauftragte(r) oder als Haupt-lehrkraft möglich.

Bitte richten Sie Ihre Bewerbung bis 9. Februar 2002 an dieDirektion des Thurgauischen Lehrerseminars, Hauptstr. 87,8280 Kreuzlingen.

Auskunft erteilt Armin Kuratle, Rektor Telefon Schule: 071 678 55 55; privat: 071 672 51 53e-mail: [email protected]

Weitere Stellenangebote findenSie im Internet unter: www.tg.ch

Druck / ImpressionTrüb-Sauerländer AGDammweg 39, CH-5000 Aarau, Tel. 062 834 13 13, Fax 062 834 13 53

Inserate / AnnoncesLenzin + Partner GmbH, Inserat-Agentur, Postfach, 5018 Erlinsbach Tel. 062 844 44 86, Fax 062 844 44 89, www.lenzinundpartner.ch

Preise für Inserate und Beilagen / Prix pour les annonces et Ies annexesVerlangen Sie das Mediablatt bei Lenzin + Partner GmbH

Redaktionsschluss Inseratenschluss Inseratenschluss StellenDélai rédactionnel Délai annonces Délai annonces offres d‘emploi

2/02 2. 1.02 5. 2. 02 7. 2. 023/02 4. 3.02 10. 4. 02 12. 4. 02

gh 1• 0260

Es handelt sich um unbefristete Stellen «mit besonderen Aufgaben» gemäss der zürcherischen Mittel- und Berufsschul-lehrerverordnung (vgl. www.kzo.ch).

Wir setzen voraus• ein abgeschlossenes Hochschulstudium • das zürcherische oder ein gleichwertiges Diplom für das

Höhere Lehramt • Unterrichtserfahrung auf Stufe Gymnasium

Unser Sekretariat erteilt gerne Auskunft über die Anstellungs-bedingungen und die nötigen Formalitäten: Tel. 01 933 08 16(Frau Glatz), Fax 01 933 08 10, E-mail [email protected].

Wir erwarten Ihre Bewerbung bis zum 15. Februar 2002 an die Kantonsschule Zürcher Oberland, Frau R. Glatz,Bühlstrasse 36, 8620 Wetzikon.

Kantonsschule Zürcher Oberland8620 Wetzikon

www.kzo.chDas Gymnasium im Zürcher Oberland

KZO

Wir führen eine gymnasiale Unterstufe (7./8. Schuljahr), allefünf zürcherischen MAR-Maturitätsprofile und eine Handels-mittelschulePlus.Wir suchen auf Mitte August 2002 oder nach Vereinbarungfür ca. 150 Stellenprozente

Mittelschullehrpersonen mbAfür Chemie

Aussergewöhnliche Schule sucht aussergewöhnliche Lehrer/innen

Das Schweizerische Sport-Gymnasium Davos (SSGD) sucht zurErgänzung seines Lehrerteams sportbegeisterte Lehrkräfte, dieeinen Hochschulabschluss und den Ausweis für das Höhere Lehr-amt besitzen.

Auf Beginn des neuen Schuljahres (19. August 2002) sind folgendeUnterrichtspensen zu besetzen:

Französisch mind. 12 Lektionen

Englisch mind. 7 Lektionen

Geschichte 10 Lektionen

Mit zusätzlichen Betreuungsaufgaben im Wohnheim können dieArbeitspensen ergänzt werden.

Wir bieten interessante Anstellungsbedingungen und die Heraus-forderung, eine junge und unkonventionelle Schule mitzutragenund weiterzuentwickeln. Ihre vollständige Bewerbung erwarten wirgerne bis am 24. Februar 2002 an die folgende Adresse:

Schweizerisches Sport-Gymnasium Davos, z. Hd. Herrn U. Winkler,Rektor, Grüenistrasse 1, 7270 Davos Platz

Für weitere Informationen wenden Sie sich bitte an Urs Winkler, Rektor SSGD, Tel. 081 410 01 70.

DIE SCHWEIZERSCHULE MADRID (CSM)

sucht auf den 1. September 2002 folgende Lehrpersonen mit deutscher Muttersprache:

1 Gymnasiallehrer/infür Geografie mit Zusatzqualifikation in Mathematik

und/oder Physik und/oder Chemie und/oder Biologie

und/oder als Sekundarlehrer/in phil. II (s. unten)

1 Gymnasiallehrer/infür Deutsch und evtl. Geschichte für den Unterricht mitFremdsprachigen

1 Sekundarlehrer/in phil. IIvorwiegend für Mathematik, Naturwissenschaften mitLizenziat/Doktorat in Geografie

Die Stellen für Geografie sowie Mathematik und Natur-wissenschaften auf der Sekundarstufe I können auch imJOBSHARING besetzt werden.

Wir erwarten:

– mehrjährige Unterrichtserfahrung– Anpassungs- und Integrationsfähigkeit– Teambereitschaft, überdurchschnittliches Engagement– Bereitschaft, bis zum Stellenantritt Spanisch zu lernen

Wir bieten:

– Gehalt gemäss Besoldungsordnung CSM– dreijährigen Anfangsvertrag– bezahlte Hin- und Rückreise sowie eine Übersiedlungs-

pauschale

Für Auskünfte sowie die Zustellung von Bewerbungs-

formularen und erste Informationen wenden Sie sichbitte an:

Colegio Suizo de Madrid Tel. 00 34 91 650 58 18E-mail: [email protected] Fax 00 34 91 650 59 89oder an Herrn Jakob Geier, Erziehungsdepartement desKantons Schaffhausen, Tel. 052 632 72 85,E-Mail: [email protected].

Wir freuen uns auf Ihre Kontaktaufnahme!

Nachdiplomkurs

Prozessbegleitungim Schulbereich

Berufsbegleitende Aus-/Weiterbildung für Personen mit beratenden Funktionenin pädagogischen Kontexten.

Universität ZürichFachstelle für WeiterbildungGloriastrasse 18a, 8006 ZürichTel. 01 634 29 94www.weiterbildung.unizh.ch

gh 1• 0261

Die SCHWEIZERSCHULE MEXIKO

sucht für das Schuljahr 2002/03:

eine Gymnasiallehrkraft für Mathematikund Physik und eine Sekundarlehrkraftphil. II für die Hauptschule in Mexiko-Stadt

Wir erwarten:• einige Jahre Unterrichtserfahrung• Anpassungs- und Integrationsfähigkeit• Bereitschaft, bis zum Stellenantritt (Ende August)

Spanisch zu lernen

Wir bieten:• Gehalt gemäss Besoldungsordnung der Schweizer-

schule Mexiko• einen dreijährigen Anfangsvertrag• bezahlte Hin- und Rückreise sowie eine Übersied-

lungspauschale

Weitere Auskünfte erteilt: Ambros Hollenstein, Direktor Schweizerschule Mexiko, Tel. 0052 55 43 78 65, E-Mail: [email protected]

Bewerbungsunterlagen und Informationsmaterial sinderhältlich bei: Wolf Wagner, Oberrenggstrasse 14a, 8135Langnau, Tel. 01 771 80 33, E-Mail:[email protected]

Die Bewerbungen sind bis spätestens 1. Februar einzureichen an: A. Hollenstein, c/o P. Oberson, Postfach, 9043 Trogen

Im Herbst 2002 wird die Internatsführung am Gymnasium Friedberg Gossau neu strukturiert. Aus

diesem Grund suchen wir per 1. August 2002 (oder früher) eine geeignete Person für die

Das Gymnasium Friedberg ist eine traditionsreiche, private Mittelschule katholischer Prägung, die etwa

200 Schülerinnen und Schüler zur eidgenössisch anerkannten Maturität führt. Das angeschlossene

Internat kann bis zu 15 Studierende aufnehmen und wird während 5 Wochentagen betreut (eine Wochen-

endbetreuung durch auswärtige Gasteltern wäre denkbar). Die ausgeschriebene Stelle als Internatsleiter

umfasst ein Halbpensum.

Interessiert? Sie verfügen über eine pädagogische Ausbildung mit einem für die Jugendbetreuung geeigneten

Abschluss. Ein Abschluss im Höheren Lehramt gibt Ihnen die Möglichkeit, ein Unterrichtspensum zu

übernehmen. Damit können Sie ein Vollpensum erreichen. Sie besitzen eine natürliche Autorität, die Sie

befähigt, mit den Jugendlichen zwischen 13 und 20 Jahren einen familiären Umgang zu pflegen, aber

auch das richtige Mass an Ordnung und Disziplin zu fordern. Sie freuen sich über die Möglichkeit, im

gleichen Haus wie die Internen zu wohnen und ihnen Studiumshilfe anbieten zu können. Selbstver-

ständlich arbeiten Sie in Ihrem Amt eng mit Ihrem Stellvertreter zusammen, sowie auch mit dem Seels-

orger. Interessiert?

Nun bitten wir Sie gerne um Ihre schriftliche Bewerbung mit den üblichen Unterlagen (inkl. Passbild) an

Gymnasium Friedberg Gossau, Postfach, 9201 Gossau. Unser Rektor, Herr Ewgeni Obreschkow, erteilt

Ihnen gerne nähere Auskünfte (071 388 53 53).

Internatsleitungam Gymnasium Friedberg Gossau

gh 1• 0262

Gymnasium Burgdorf

auf Beginn des Schuljahres 2002/2003ist eine Lehrstelle in

Geographie

zu besetzen (unbefristete Anstellung, 70 –100 %, Quarta bisPrima)

Auskünfte erteilt Dr. Jürg Wegmüller,Rektor (034 / 422 26 72)

Anmeldung bis 15. Februar 2002 an:Gymnasium Burgdorf

Rektorat3400 Burgdorf

Wir suchen auf Beginn des neuen Schuljahres (19. August 2002)

1 Hauptlehrer/-infür

Wirtschaftsfächer

mit abgeschlossener Hoch-schul-Ausbildung und HLA.

• Unterricht in den wirtschafts-wissenschaftlichen Fächernam Gymnasium und an derHandelsmittelschule(Vollpensum).

• Wir legen Wert auf einemenschlich ausgeglichenePersönlichkeit, die in unserLehrerteam (40 Lehrperso-nen) passt und Freude amUmgang mit Jugendlichen imAlter von 15 bis 20 Jahrenhat.

• Gehalt gemäss kantonaler Besoldungsverordnung.

Wir freuen uns auf Ihre Bewer-bung, die bis spätestens MitteFebruar 2002 in unserem Besitzsein sollte. Für zusätzliche Aus-künfte stehen wir Ihnen gernezur Verfügung (ab 7. 1. 2002).

Rektorat der Schweizerischen Alpinen Mittelschule7270 Davos PlatzTelefon 081 410 03 11Fax 081 410 03 12

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Zeitschrift für die schweizerische MittelschuleRevue de l’enseignement secondaire suisseRivista della scuola secondaria svizzera

56. Jahrgang 2002 ISSN 0017-5951

Erscheint 6x jährlich / Paraît tous les deux mois: 22. 1., 4. 3., 10. 5., 21. 6., 11. 9., 30. 10.

Herausgeber / ÉditeurVerein Schweizerischer Gymnasiallehrer (VSG)Société suisse des professeurs de l’enseignement secondaire (SSPES)Società svizzera degli insegnanti delle scuole secondarie (SSISS)

Sekretariat / SecrétariatVSG / SSPES, Postfach 8742, 3001 Bern, Tel. 031 311 07 79, Fax 031 311 09 82Internet: http://www.vsg-sspes.ch

Verlag / ÉditionVSG – SSPESPostfach 8742, CH-3001 Bern, Tel. 031 311 07 79, Fax 031 311 09 82

GymnasiumHelveticum

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tragen bzw. zufolge

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tierter Trägerschaft

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