Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, www.mathematik-verstehen.de 10 Mai 2008

Simulationen einer Bernoullikette, Würfeln sim(1/6,30,0.01,1) Ein echter Würfel

wird gewürfelt. k ist die absolute Anzahl der Sechsen. p=1/6 nach rechts ist die Zahl x der Würfe aufgetragen. sim(p,n,eps, deltay) Ordinate: Absoluter Abstand vom Erwartungswert k-x*p

Werte: -1/6,-2,6,-3/6,-4/6,-5/6,-6/6, 1-7/6, 1-8/6,......,1-17/6, 2-18/6,.......5-30/6

[30, 0], [30.0, 0.1666666667],0.1666666667

Ordinate: relative Häufigkeit k/i Gerade= Erwartungswert p

Bei diesem Experiment war die Wurffolge: aaaaaa6aaa aaaaaaa6aa 6aaaa6a6aa Die relativen Häufigkeiten waren also 0,0,0,0,0,0,1/7, 1/8, 1/9,....1/17, 2/18, 2/19, 2/20, 3/21, 3/22, 3/23, 3/24, 3/25, 4/26, 4/27, 5/28, 5/29, 5/30

6=Es war eine 6 a=Es war andere Z.

sim(1/6,300,0.01,0.1)

[300, -6], [300.0, 0.1466666667], 0.1666666667

Hier liegt man bei 300 Wurf noch um 2%-Punkte unter p

Wenn man hier den letzten Wert als im sinne einer frequentistischen Wahrscheinlichleit (sihe hier letzte Seite) als Näherung für die wahre Wahrscheinlichkeit einer Sechs genommen hätte, hätte man sich also um 2 % verschätzt. Es ist klar, dass man Experimente beim exakten Würfel nicht nötig hat, denn hier kann man die Laplace-Wahrscheinlichkeit als 1/6 bestimmen. Das heißt, es sind 6 Ereignisse gleichwahrscheinlich, also entfällt auf jedes Ergebnis 1/6. Mit der Methode: "Konfidenzintervall bestimmmen"

sim(1/6,3000,0.01,0.1)

Bei 3000 Wurf werden die absoluten Abweichungen vom Erwartungswert größer, hier bis -14

[3000, -8], [3000.0, 0.164], 0.1666666667

Die relativen Häufigkeiten pendeln sich aber schon ab etwa n=700 in einem 1%-Streifen ein.

sim(1/6,6000,0.01,0.1)

Bei diesem n=6000- Experiment kommen etwa bei 3500 Wurf Abweichungen von fast 40 zustande

[6000, -19], [6000.0, 0.1635], 0.1666666667

und der 1%-Streifen wird nach unten eine Weile lang verlassen

sim(1/6,30000,0.01,0.1)

Wenn man nun meint, bei 30000 Wurf ist nun endlich alles "sicher", so sieht man heit, dass die Abweichung auf 132 geklettert ist.

[30000, -132], [30000.0, 0.1622666667], 0.1666666667

Nun gut, aber die relative Häufigkeit benimmt sich dennoch "anständig" Hier ist der Streifen 0,5% breit. Aber merke: besser als 0,5% ist man auch bei 30000 Wurf noch nicht unbedingt.

Empirisches Gesetz der großen Zahl: Mit wachsender Versuchsanzahl stabilisiert sich die relative Häufigkeit. Man erhält so eine "freqentistische" Wahrscheinlichkeit, von der mann hoftt, dass sie der dem Versuch "innewohnenden", "objektiven" Wahrscheinlichkeit nahe kommt.

www.mathematik-verstehen.de Simulationen Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Okt 2011

simulationen-ti.tns 1 von: 3

Simulationen mit Verteilungen

1.1

Simulationen mit Verteilungen

1.2

Simulationen mit Verteilungen

1.3

Simulationen mit Verteilungen

1.4

Simulationen mit Verteilungen

1.5

Simulationen mit Verteilungen

1.6

Simulationen mit Verteilungen

1.7

Simulationen mit Verteilungen

1.8

www.mathematik-verstehen.de Simulationen Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Okt 2011

simulationen-ti.tns 2 von: 3

Simulationen mit Verteilungen

1.9

Simulationen mit Verteilungen

1.10

Simulationen mit Verteilungen

1.11

Simulationen mit Verteilungen

1.12

Simulationen mit Verteilungen

1.13

Simulationen mit Verteilungen

1.14

Simulationen mit Verteilungen

1.15

Simulationen mit Verteilungen

1.16

www.mathematik-verstehen.de Simulationen Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Okt 2011

simulationen-ti.tns 3 von: 3

Simulationen mit Verteilungen

1.17

Simulationen mit Verteilungen

1.18

Simulationen mit Verteilungen

1.19

Weitere Auswertungen

2.1

Weitere Auswertungen

2.2

Weitere Auswertungen

2.3

Weitere Auswertungen

2.4

Weitere Auswertungen

2.5

Erwartungswert einer Zufallsgröße Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Universität Lüneburg, 4. Juni 2007

Krüge für den Handwerkermarkt Toni plant, auf dem Handwerkermarkt im Herbst seine berühmten Krüge anzubieten. Bei der Kalkulation muss er allerlei fixe Kosten berücksichtigen, wie Standmiete, Unterkunft, Reise u.s.w.

Der Herstellungsprozess läuft bei Tonkrügen nicht völlig sicher ab. Im Wesentlichen entstehen unabhängig voneinander drei Arten von Fehlern:

1. Fo Formfehler, zusammengesunken, Henkel schief o.ä. Auftreten zu 25% 2. Gl Glasurfehler, Blasen bekommen, unglasierte Stellen o.ä. Auftreten zu 20% 3. Fa Farbfehler, verunreinigte Farbe, falscher Farbton, Flecken... Auftreten zu 15%

Krüge ohne Fehler kann er für 30 € verkaufen (I. Wahl). Krüge mit nur einem Fehler sind II. Wahl und bringen 20€ ein. Alle anderen kann er als III.Wahl (Ausschuss) noch zu 10€ loswerden. Nun will er erstmal herausbeommen, was er eigentlich pro Krug im Mittel einnimmt. Danach kann er seine Kalkulation zuende führen.

Zufallsgröße: Verdienst V in € (eigentlich Einnahme ohne Berücksichtigung der Kosten)

Erwertungswert E(V)=24,075 € Im Mittel kann er mit etwa 24 € Verdienst für jeden projektierten Krug rechnen. Glaubt er also, 200 Krüge absetzen zu können, muss er dafür Material kaufen u.s.w und kann mit einer Einnahme von 4800 € rechnen. Wenn der dann noch alle fixen Kosten berücksichtigt, kann er kalkulieren, ob sich die Teilnahme am Handwerkermarkt lohnt.

www.mathematik-verstehen.de Zwei-Variablen-Statistik Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Okt 2011

Zwei-Var-Statistik.tns 1 von: 3

Zwei-Variablen-Statistik, Vergleich

1.1

Zwei-Variablen-Statistik, Vergleich

1.2

Zwei-Variablen-Statistik, Vergleich

1.3

Zwei-Variablen-Statistik, Vergleich

1.4

Zwei-Variablen-Statistik, Vergleich

1.5

Lineare Regression

2.1

Lineare Regression

2.2

Lineare Regression

2.3

www.mathematik-verstehen.de Zwei-Variablen-Statistik Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Okt 2011

Zwei-Var-Statistik.tns 2 von: 3

Lineare Regression

2.4

Lineare Regression

2.5

Lineare Regression

2.6

Exponentielle Regression

3.1

Exponentielle Regression

3.2

Exponentielle Regression

3.3

Exponentielle Regression

3.4

Exponentielle Regression

3.5

www.mathematik-verstehen.de Zwei-Variablen-Statistik Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Okt 2011

Zwei-Var-Statistik.tns 3 von: 3

Potenz- Regression, doppellogarith.

4.1

Potenz- Regression, doppellogarith.

4.2

Potenz- Regression, doppellogarith.

4.3

Potenz- Regression, doppellogarith.

4.4

Potenz- Regression, doppellogarith.

4.5

Quadratische Regression

5.1

Quadratische Regression

5.2

Quadratische Regression

5.3