Hahn-Ternärkörper mit speziellen Faktorsystemen

Hahn-TernÌrkÎrper mit speziellen Faktorsystemen

ERWIN SCHÚRNERMathematisches Institut der UniversitÌt MÏnchen, TheresienstraÞe 39, D^80333 Munich,Germany; e-mail: [email protected]

(Received: 19 March 1999)

Communicated by K. Strambach.

Abstract. In aHahn ternary ¢eld, we consider the properties of linearityanddistributivityandofassociativityand commutativity with respect to addition andmultiplication on the setofall formalpower series with ¢nite support and investigate their consequences for the generalized factorsystem and for the whole Hahn ternary ¢eld.

Mathematics Subject Classi¢cations (2000): 51A25, 12K99, 13F25.

Key words: Hahn ternary ¢eld, ternary ¢eld of formal power series, (generalized) factor system,skew¢elds of formal power series, ¢elds of formal power series.

Abstract. FÏr die in [5] kontruierten Hahn-TernÌrkÎrper werden die Auswirkungen derzusÌtzlichen Rechengesetze von LinearitÌt und Faktorisierbarkeit sowie AssoziativitÌt undKommutativitÌt von Addition und Multiplikation fÏr die Menge aller formalen Potenzreihenmit endlichem TrÌger auf das verwendete verallgemeinerte Faktorsystem und damit auf denganzen Hahn-TernÌrkÎrper untersucht.

Key words: Hahn-TernÌrkÎrper, TernÌrkÎrper formaler Potenzreihen, (verallgemeinertes)Faktorsystem, SchiefkÎrper formaler Potenzreihen, KÎrper formaler Potenzreihen.

Ausgehend von einem TernÌrkÎrper �K;S; 0; 1� und einer total geordneten Loop�G; �; e; W � wurde in [5] auf der Menge H aller formalen Potenzreihen eine ternÌreVerknÏpfung T derart erklÌrt, daÞ �H;T ; 0; 1� mit 0 � 0 te und 1 � 1 te einenTernÌrkÎrper bildet. Diese Arbeit versteht sich als Fortsetzung von [5] und stÏtztsich auch auf deren Bezeichnungsweisen.

Bekanntlich ist ein TernÌrkÎrper, der der LinearitÌts- und der Faktorisierungs-bedingung genÏgt und dessen Addition und Multiplikation sowohl assoziativ alsauch kommutativ sind, ein KÎrper; die Distributivgesetze folgen wegen derLinearitÌt und KommutativitÌt der Multiplikation aus der Faktorisierbarkeit. Indiesem Kapitel werden diese zusÌtzlichen algebraischen Eigenschaften bei demHahn-TernÌrkÎrperH � H�G;K;C� auf der total geordneten Loop �G; �; e; W � Ïberdem TernÌrkÎrper �K;S; 0; 1� mit dem verallgemeinerten FaktorsystemC � �Ca;b�a;b2G untersucht.

Eine entscheidende Rolle kommt dabei der Teilmenge

E � ff 2 H j Tr�f� endlichg � H

Geometriae Dedicata 80: 211^230, 2000. 211# 2000 Kluwer Academic Publishers. Printed in the Netherlands.

der formalen Potenzreihen mit endlichem TrÌger zu, die wegen Tr�T �m; x; c�� Tr�m�Tr�x� [ Tr�c� fÏr alle m, x, c 2 H T^invariant ist, fÏr alle m, x, c 2 E gilt alsoT �m; x; c� 2 E, und demnach ist, da 0 und 1 in E liegen, E gegenÏber der induziertenAddition und Multiplikation abgeschlossen.

Die erwÌhnten algebraischen Gesetze werden auch im Faktorsystem C ihrenNiederschlag ¢nden. FÏr alle a, b und g 2 G erklÌren wir zunÌchst durch

�g : K � K 3 �x; c� 7! x�g c � Ce;g�1; x; c� 2 K

und

ma;b : K � K 3 �m; x� 7! ma;b�m; x� � Ca;b�m; x; 0� 2 K

zwei binÌre VerknÏpfungen auf K , wobei �K;�g; 0� eine Loop und �K�; ma;b� eineQuasigruppe mit ma;b�m; 0� � Ca;b�m; 0; 0� � 0 und ma;b�0; x� � Ca;b�0; x; 0� � 0sowie ma;e�m; 1� � Ca;e�m; 1; 0� � m und me;b�1; x� � Ce;b�1; x; 0� � x fÏr alle m,x 2 K darstellen; ferner ist �e bzw. me;e die von S � Ce;e auf K induzierte Additionbzw. Multiplikation. Ein Faktorsystem C � �Ca;b�a;b2G heiÞe nun

. assoziativ, falls �K;�g� fÏr alle g 2 G assoziativ ist.

. abelsch, falls �K;�g� fÏr alle g 2 G abelsch ist.

. linear, falls Ca;b�m; x; c� � ma;b�m; x� �ab c fÏr alle a; b 2 G und m, x, c 2 K gilt.

. rechtsdistributiv, falls ma;b�m; x�b u� � ma;b�m; x� �ab ma;b�m; u� fÏr alle a, b 2 Gund m, x, u 2 K gilt.

. linksdistributiv, falls ma;b�m�a n; x� � ma;b�m; x� �ab ma;b�n; x� fÏr alle a, b 2 G undm, n, x 2 K gilt.

. homogen, falls mab;g�ma;b�m; x�; c� � ma;bg�m; mb;g�x; c�� fÏr alle a, b, g 2 G und m, x,c 2 K gilt.

. symmetrisch, falls ma;b�m; x� � mb;a�x;m� fÏr alle a; b 2 G und m, x 2 K gilt.

FÏr alle x �Pg xgtg und c �Pg cgt

g 2 H und g 2 G gilt wegen Sg�1; x� � f�e; g�g�x� c��g� � T �1; x; c��g� � Ce;g�1; xg; cg� � xg �g cg;

weswegen wir in suggestiver FormP

g xgtg �Pg cgt

g �Pg�xg �g cg�tg schreibenkÎnnen. Als unmittelbare Konsequenz erhalten wir

SATZ 1. FÏr einen Hahn-TernÌrkÎrper H � H�G;K;C� sind zum einen

(1) �E;T � besitzt eine assoziative Addition.(2) C ist assoziativ.(3) �H;T � ist ein TernÌrkÎrper mit assoziativer Addition.

und zum anderen

(1) �E;T � besitzt eine kommutative Addition.(2) C ist abelsch.(3) �H;T � ist ein TernÌrkÎrper mit kommutativer Addition.

jeweils untereinander Ìquivalent.

212 ERWIN SCHÚRNER

Die weiteren algebraischen Eigenschaften betreffen nicht mehr allein die Addition,sondern beziehen sich auf die Multiplikation oder auf das Zusammenspiel derTernÌrkÎrperverknÏpfung mit diesen induzierten Operationen. Wir beginnen mit

SATZ 2. FÏr einen Hahn-TernÌrkÎrper H � H�G;K;C� mit G 6� feg sind Ìquivalent:

(1) �E;T � ist linear.(2) C ist assoziativ und linear.(3) �H;T � ist eine Cartesische Gruppe.

Beweis. In `1. ) 2.' gilt zunÌchst fÏr alle m � ma1 ta1 �ma2t

a2 , x � xb1 tb1� xb2 t

b2

und c � cgtg 2 E mit a1 > a2 und a1b1 � a2b2 � g wegen T �m; x; c� � m � x� cund Sg�m; x� � f�a1; b1�; �a2; b2�g

Ca1;b1�ma1 ; xb1 ;Ca2;b2�ma2 ; xb2 ; cg�� Ca1;b1 �ma1 ; xb1 ; ma2;b2 �ma2 ; xb2 �� g cg:

FÏr a, b 2 G und m, x, c 2 K setzt man a1 � a, a2 2 G mit a2 < a1, b1 � b, b2 2 Gmit a2b2 � a1b1 sowie ma1 � m, ma2 � 0, xb1 � x, xb2 � 0 und cg � c und erhÌlt in

Ca;b�m; x; c� � ma;b�m; x� �g c

die LinearitÌt von C.Damit ergibt sich fÏr g 2 G undm, x, c 2 K mit derWahl von a1, a2 2 Gmit a1 > a2

und b1, b2 2 G mit a1b1 � a2b2 � g sowie ma1 � ma2 � 1, xb1 , xb2 2 K mitma1;b1 �1; xb1 � � m und ma2;b2�1; xb2� � x und cg � c wegen

ma1;b1 �1; xb1 � �g �ma2;b2�1; xb2� �g c� � �ma1;b1 �1; xb1 � �g ma2;b2 �1; xb2 �� g c;

also

m�g �x�g c� � �m�g x� �g c

auch die AssoziativitÌt von C.In `2.) 3.' ist �H;�� wegen Satz 1 assoziativ. Zum Nachweis der LinearitÌt von�H;T � seien m �Pa mata, x �Pb xbt

b und c �Pg cgtg 2 H und g 2 G sowie

Sg�m; x� � f�ai; bi� j 1W iW ng mit a1 > . . . > ai > . . . > an fÏr ein n 2N0. Dannfolgt mit

T �m; x; c��g� � ma1;b1�ma1 ; xb1 � �g � � � �g man;bn �man ; xbn � �g cg

� �ma1;b1 �ma1 ; xb1 � �g � � � �g man;bn �man ; xbn�� g cg

� �m � x��g� �g c�g�� m � x� c��g�

die Behauptung; `3. ) 1.' ist trivial. &

Demzufolge gibt es keinen linearen Hahn^TernÌrkÎrper, der nicht schon eineCartesische Gruppe wÌre. Als noch weitreichender erweist sich die Faktorisier-barkeit in

HAHN-TERNØRKÚRPER MIT SPEZIELLEN FAKTORSYSTEMEN 213


(1) �E;T � ist rechtsdistributiv.(10� �E;T � ist faktorisierbar.(2) C ist assoziativ, abelsch, linear und rechtsdistributiv.(3) �H;T � ist ein RechtsquasikÎrper.

Beweis. In `1. ) 2.' gilt fÏr alle m � ma1 ta1 �ma2t

a2 , x � xb1 tb1 � xb2 t

b2 undu � ub1 t

b1 � ub2 tb2 2 E mit a1 > a2 und a1b1 � a2b2 � g wegen m � �x� u� �

m � x�m � u und Sg�m; x� u� � Sg�m; x� [ Sg�m; u� � f�a1; b1�; �a2; b2�gCa1;b1�ma1 ; xb1 �b1 ub1 ; ma2;b2�ma2 ; xb2 �b2 ub2�� Ca1;b1�ma1 ; xb1 ; ma2;b2�ma2 ; xb2 �� g Ca1;b1�ma1 ; ub1 ; ma2;b2 �ma2 ; ub2��:

FÏr g 2 G und m, x, u, c 2 K ergibt sich bei der Wahl von a1 � e, a2 2 G mita2 < a1, b1 � g, b2 2 G mit a2b2 � g sowie ma1 � ma2 � 1, xb1 � m, xb2 2 K mitma2;b2 �1; xb2 � � u, ub1 � x und ub2 2 K mit ma2;b2 �1; ub2� � c

Ce;g�1;m�g x; ma2;b2 �1; xb2 �b2 ub2 �� Ce;g�1;m; u� �g Ce;g�1; x; c�;woraus mit u � 0, also auch xb2 � 0,

�m�g x� �g c � m�g �x�g c�und mit c � 0, also auch ub2 � 0, und m � 0

x�g u � u�g x

folgt; C ist demnach assoziativ und abelsch.FÏr a, b 2 G und m, x, u, c 2 K seien a1 � a, a2 2 Gmit a2 < a1, b1 � b, b2 2 Gmit

a1b1 � a2b2 sowie ma1 � m, ma2 2 K beliebig, xb1 � x, xb2 � 0, ub1 � u und ub2 2 Kmit ma2;b2 �1; ub2� � c, womit wir

Ca;b�m; x�b u; ma2;b2�ma2 ; ub2 �� ma;b�m; x� �ab Ca;b�m; u; ma2;b2 �ma2 ; ub2��erhalten, woraus mit ma2 � 1 und u � 0 in

Ca;b�m; x; c� � ma;b�m; x� �ab c

die LinearitÌt von C sowie mit ma2 � 0 in

ma;b�m; x�b u� � ma;b�m; x� �ab ma;b�m; u�die RechtsdistributivitÌt von C folgt.

In `10. ) 2.' gilt fÏr alle m � ma1 ta1 �ma2t

a2 , x � xb1tb1 � xb2t

b2 undu � ub1 t

b1 � ub2 tb2 2 E mit a1 > a2 und a1b1 � a2b2 � g wegen T �m; x;m � u� �

m � �x� u� und Sg�m; x� [ Sg�m; x� u� � f�a1; b1�; �a2; b2�gCa1;b1�ma1 ; xb1 ;Ca2;b2 �ma2 ; xb2 ;Ca1;b1 �ma1 ; ub1 ; ma2;b2 �ma2 ; ub2 ��

Ca1;b1�ma1 ; xb1 �b1 ub1 ; ma2;b2�ma2 ; xb2 �b2 ub2 ��;�I�

214 ERWIN SCHÚRNER

woraus fÏr xb1 � ub2 � 0

Ca2;b2�ma2 ; xb2 ; ma1;b1 �ma1 ; ub1�� Ca1;b1�ma1 ; ub1 ; ma2;b2 �ma2 ; xb2 �� II�sowie zum einen mit a1 � e und ma1 � 1

Ca2;b2�ma2 ; xb2 ; ua2b2 � � ua2b2 �a2b2 ma2;b2 �ma2 ; xb2 � �III1�und zum anderen mit a2 � e und ma2 � 1

Ca1;b1�ma1 ; ub1 ; xa1b1 � � xa1b1 �a1b1 ma1;b1�ma1 ; ub1 � �III2�folgt.

FÏr g 2 G und m, x, c 2 K erhÌlt man, indem man in (I) a1 � e, a2 2 Gmit a2 < a1,b1 � g, b2 2 G mit a2b2 � g sowie ma1 � ma2 � 1, xb1 � m, xb2 � 0, ub1 � x undub2 2 K mit ma2;b2�1; ub2 � � c setzt,

Ce;g�1;m;Ce;g�1; x; c�� Ce;g�1;m�g x; c�und damit in

m�g �x�g c� � �m�g x� �g c

die AssoziativitÌt von C.WÌhlt man fÏr g 2 G und x, u 2 K in (II) a1, a2 2 Gmit a1 > e > a2, b1, b2 2 Gmit

a1b1 � a2b2 � g sowie ma1 � ma2 � 1, xb1 � 0, xb2 2 K mit ma2;b2�1; xb2� � x, ub1 2 Kmit ma1;b1 �1; ub1� � u und ub2 � 0, so erhÌlt man

Ca2;b2�1; xb2 ; u� � Ca1;b1�1; ub1 ; x�;woraus sich dann mit (III1) und (III2) in

u�g x � x�g u

ergibt, daÞ C abelsch ist.Zum Nachweis der LinearitÌt von C seien a, b 2 G und m, x, c 2 K . Im Falle a < e

verwendet man (III1) mit a2 � a, b2 � b sowie ma2 � m, xb2 � x und ua2b2 � c sowieim Falle a > e (III2) mit a1 � a, b1 � b, ma1 � m, ub1 � x und xa1b1 � c und erhÌltjeweils

Ca;b�m; x; c� � c�ab ma;b�m; x� � ma;b�m; x� �ab c:

FÏr a � e setze man in (II) a1 � a, a2 2 Gmit a2 < a1, b1 � b, b2 2 Gmit a2b2 � a1b1sowie ma1 � m, ma2 � 1, xb2 2 K mit ma2;b2 �1; xb2 � � c und ub1 � x, wodurch sichunter Verwendung von (III1)

Ca;b�m; x; c� � Ca2;b2 �1; xb2 ; ma;b�m; x�� ma;b�m; x� �ab c

ergibt.AbschlieÞend seien a, b 2 G und m, x, u 2 K , und (I) liefert fÏr a1 � a, a2 2 G mit

a2 < a1, b1 � b, b2 2 G mit a2b2 � a1b1 sowie ma1 � m, xb1 � x, ub1 � u und


ma2 � xb2 � ub2 � 0

Ca;b�m; x; ma;b�m; u�� ma;b�m; x�b u�und damit

ma;b�m; x�b u� � ma;b�m; x� �ab ma;b�m; u�:

In `2.) 3.' ist �H;T �wegen Satz 2 eine Cartesische Gruppe, wodurch nur noch dieRechtsdistributivitÌt von �H;T � zu zeigen ist. Seien hierfÏr m �Pa mata,x �Pb xbt

b und u �Pb ubtb 2 H; fÏr g 2 G erhalten wir in

�m � �x� u��g� �Xab�g

gma;b�ma; xb �b ub�

�Xab�g

g�ma;b�ma; xb� �g ma;b�ma; xb��

�Xab�g

gma;b�ma; xb� �g

Xab�g

gma;b�ma; ub�

� �m � x��g� �g �m � u��g�� m � x�m � u��g�

die Behauptung.`3. ) 1.' ist trivial, und `3. ) 10:' ergibt sich wegen

T �m; x;m � u� � m � x�m � u � m � �x� u�fÏr alle m, x, u 2 H. &

Nach der Untersuchung der RechtsdistributivitÌt wenden wir uns nun der dualenForderung der LinksdistributivitÌt zu, die erwartungsgemÌÞ dieselben Auswir-kungen hat; dies geschieht in


(1) �E;T � ist linksdistributiv.(2) C ist assoziativ, abelsch, linear und linksdistributiv.(3) �H;T � ist ein LinksquasikÎrper.

Beweis. In `1. ) 2.' gilt fÏr alle m � ma1 ta1 �ma2 t

a2 , n � na1 ta1 � na2 t

a2 undx � xb1 t

b1 � xb2 tb2 2 E mit a1 > a2 und a1b1 � a2b2 � g wegen �m� n� � x �

m � x� n � x und Sg�m� n; x� � Sg�m; x� [ Sg�n; x� � f�a1; b1�; �a2; b2�g

Ca1;b1�ma1 �a1 na1 ; xb1 ; ma2;b2 �ma2 �a2 na2 ; xb2 �� Ca1;b1�ma1 ; xb1 ; ma2;b2�ma2 ; xb2�� g Ca1;b1�na1 ; xb1 ; ma2;b2 �na2 ; xb2 ��:

FÏr a, b 2 G und m, n, x, c 2 K seien a1 � a, a2 2 Gmit a2 < a1, b1 � b, b2 2 Gmita1b1 � a2b2 sowie ma1 � m, ma2 � 0, na1 � n, na2 � 1, xb1 � x, xb2 2 K mit

216 ERWIN SCHÚRNER

ma2;b2 �1; xb2 � � c, womit wir

Ca;b�m�a n; x; c� � ma;b�m; x� �ab Ca;b�n; x; c�erhalten, woraus mit n � 0 in


die LinearitÌt von C und mit c � 0 in

ma;b�m�a n; x� � ma;b�m; x� �ab ma;b�n; x�die LinksdistributivitÌt von C folgt.

Damit ergibt sich fÏr g 2 G und m, x, u, c 2 K bei der Wahl von a1, a2 2 G mita1 > a2, b1, b2 2 G mit a1b1 � a2b2 � g sowie ma1 , ma2 , na1 , na2 2 K mitma1;b1 �ma1 ; 1� � m, ma2;b2 �ma2 ; 1� � u, ma1;b1 �na1 ; 1� � x, ma2;b2�na2 ; 1� � c und xb1 �xb2 � 1 mit der LinearitÌt und der LinksdistributivitÌt von C

�ma1;b1 �ma1 ; 1� �g ma1;b1 �na1 ; 1�� g �ma2;b2�ma2 ; 1� �g ma2;b2 �na2 ; 1�� ma1;b1 �ma1 ; 1� �g ma2;b2 �ma2 ; 1�� g �ma1;b1 �na1 ; 1� �g ma2;b2�na2 ; 1��

und

�m�g x� �g �u�g c� � �m�g u� �g �x�g c�;woraus mit u � 0 in

�m�g x� �g c � m�g �x�g c�und mit m � c � 0 in

x�g u � u�g x

folgt, daÞ C assoziativ und abelsch ist.In `2.) 3.' ist �H;T � wegen Satz 2 eine Cartesische Gruppe. Zum Nachweis der

LinksdistributivitÌt von �H;T � seien m �Pa mata, n �P

a nata, x � P

b xbtb 2 H

und g 2 G; es folgt in

��m� n� � x��g� �Xab�g

gma;b�ma �a na; xb�

�Xab�g

g�ma;b�ma; xb� �g ma;b�na; xb��

�Xab�g

gma;b�ma; xb� �g

Xab�g

gma;b�na; xb�

� �m � x��g� �g �n � x��g�� m � x� n � x��g�

die Behauptung; `3. ) 1.' ist trivial. &

Im folgenden wollen wir uns mit den Rechenregeln der Multiplikation beschÌf-tigen, wobei sich die AssoziativitÌt als die folgenschwerste Eigenschaft erweist.


Ein Hahn-TernÌrkÎrper auf einer nichttrivialen Loop, der Ïber eine assoziativeMultiplikation verfÏgt, ist bereits ein SchiefkÎrper. Ein echter planarer FastkÎrper,also ein RechtsquasikÎrper mit assoziativer Multiplikation, der aber demLinksdistributivgesetz nicht genÏgt, lÌÞt sich demnach nicht als Hahn-TernÌrkÎrpermit nichttrivialer Werteloop darstellen.


(1) �E;T � besitzt eine assoziative Multiplikation.(2) C ist assoziativ, abelsch, linear, rechts- wie linksdistributiv und homogen; �G; �� ist

assoziativ.(3) �H;T � ist ein SchiefkÎrper.

Beweis. In `1. ) 2.' gilt zunÌchst fÏr alle a, b, g 2 G und m, x, c 2 K wegen��mta� � �xtb�� ctg� � �mta� � ��xtb� � �ctg��

mab;g�ma;b�m; x�; c� t�ab�g � ma;bg�m; mb;g�x; c�� ta�bg�;

woraus die HomogenitÌt von C und die AssoziativitÌt von �G; �� folgt.Ferner betrachten wir beliebige m � ma1t

a1 �ma2 ta2 , x � xb1 t

b1 � xb2 tb2 und

c � cg12 tg12 � cg0t

g0 � cg21 tg21 2 E mit a1 > a2, a1b1 � a2b2 � d0 und d12g12 � d0g0 �

d21g21 � p, wobei d12 � a1b2 und d21 � a2b1 bezeichnen, woraus sich b2 > b1 undd12 > d0 > d21 ergibt. Wegen Sp�m � x; c� � f�d12; g12�; �d0; g0�; �d21; g21�g mitSd12 �m; x� � f�a1; b2�g, Sd0 �m; x� � f�a1; b1�; �a2; b2�g und Sd21�m; x� � f�a2; b1�g sowieSp�m; x � c� � f�a1; a1np�; �a2; a2np�g mit Sa1np�x; c� � f�b2; g12�; �b1; g0�g undSa2np�x; c� � f�b2; g0�; �b1; g21�g erhalten wir aus �m � x� � c � m � �x � c�

Cd12;g12 ��m � x��d12�; cg12 ;Cd0;g0 ��m � x��d0�; cg0 ; md21;g21 ��m � x��d21�; cg21��

� Ca1;a1np�ma1 ; �x � c��a1np�; ma2;a2np�ma2 ; �x � c��a2np��

mit

�m � x��d12� � ma1;b2 �ma1 ; xb2�;�m � x��d0� � Ca1;b1 �ma1 ; xb1 ; ma2;b2 �ma2 ; xb2�� und�m � x��d21� � ma2;b1 �ma2 ; xb1� sowie�x � c��a1np� � Cb2;g12 �xb2 ; cg12 ; mb1;g0�xb1 ; cg0 �� und�x � c��a2np� � Cb2;g0 �xb2 ; cg0 ; mb1;g21 �xb1 ; cg21 ��:

Daraus folgt fÏr ein beliebiges d 2 K unter BerÏcksichtigung der schonbewiesenen HomogenitÌt von C zunÌchst mit ma2 � xb1 � 1, cg0 � 0 und cg21 2 Kmit ma2b1;g21�ma2;b1�1; 1�; cg21� � d

Ca1b2;g12 �ma1;b2�ma1 ; xb2�; cg12 ; d� � Ca1;b2g12 �ma1 ; mb2;g12 �xb2 ; cg12�; d�; �I�

218 ERWIN SCHÚRNER

dann mit ma2 � 0, xb1 � 1 und cg0 2 K mit mb1;g0 �1; cg0 � � d

Ca1b2;g12 �ma1;b2�ma1 ; xb2�; cg12 ; ma1;b1g0�ma1 ; d�� ma1;b2g12 �ma1 ;Cb2;g12�xb2 ; cg12 ; d��II�

und zuletzt mit ma2 � 1, xb2 2 K mit ma2;b2�1; xb2� � d und cg21 � 0

Ca1b2;g12 �ma1;b2 �ma1 ; xb2�; cg12 ; ma1b1;g0 �Ca1;b1 �ma1 ; xb1 ; d�; cg0 �� Ca1;b2g12 �ma1 ;Cb2;g12�xb2 ; cg12 ; mb1;g0 �xb1 ; cg0��; ma2b2;g0 �d; cg0 ��:

�III�

FÏr a, b 2 G undm, n, x, u, c 2 K erhÌlt man nun aus (I) fÏr a1 � e, b2 � a, g12 � bund ma1 � 1, xb2 � m, cg12 � x und d � c in


die LinearitÌt und damit aus (II) fÏr a1 � a, b1 2 Gmit b1 < e, b2 � e, g12 � b, g0 2 Gmit b1g0 � b sowie ma1 � m, xb2 � 1, cg12 � x und d � u in

ma;b�m; x� �ab ma;b�m; u� � ma;b�m; x�b u�

die RechtsdistributivitÌt sowie aus (III) fÏr a1 � a, a2 2 Gmit a2 < a1, b1 � e, b2 2 Gmit a1b1 � a2b2, g0 � b, g12 � bÿ12 b sowie ma1 � m, xb1 � xb2 � 1, cg0 � x, cg12 � 0und d � n in

ma;b�m�a n; x� � ma;b�m; x� �ab ma;b�n; x�

auch die LinksdistributivitÌt von C.FÏr g 2 G und m, x, u, c 2 K ergibt sich dann aus (III) fÏr a1 � e, a2 2 G mit

a2 < a1, b1 � g, b2 2 G mit a2b2 � g, g0 � e, g12 2 G mit b2g12 � g sowie ma1 � 1,xb1 � x, xb2 2 K mit mb2;g12 �xb2 ; 1� � m, cg0 � cg12 � 1 und d � c in

m�g �x�g c� � �m�g x� �g c

die AssoziativitÌt von C; schlieÞlich folgert man aus

x�g x�g u�g u � me;g�1�e 1; x� �g me;g�1�e 1; u� � me;g�1�e 1; x�g u�� me;g�1; x�g u� �g me;g�1; x�g u� � x�g u�g x�g u;

daÞ C auch abelsch ist.In `2.) 3.' ist �H;T �wegen Satz 3 und Satz 4 eine Divisionsalgebra, weswegen nur

noch die AssoziativitÌt der Multiplikation nachzuweisen ist, die sich daraus ergibt,


daÞ fÏr alle m �Pa mata, x �P

b xbtb und c �Pg cgt

g 2 H sowie p 2 G

��m � x� � c��p� �Xdg�p

p md;g��m � x��d�; cg�

�Xdg�p

p md;gXab�d

dma;b�ma; xb�; cg

!�Xdg�p

pXab�d

p md;g�ma;b�ma; xb�; cg�

�X�ab�g�p

p mab;g�ma;b�ma; xb�; cg�

�X

a�bg��p

p ma;bg�ma; mb;g�xb; cg��

�XaZ�p

pXbg�Z

p ma;Z�ma; mb;g�xb; cg��

�XaZ�p

pma;Z ma;Xbg�Z

Z mb;g�xb; cg� !

�XaZ�p

p ma;Z�ma; �x � c��Z��

� �m � �x � c��p�

erfÏllt ist; `3 ) 1' ist trivial. &

Zuletzt betrachten wir noch die KommutativitÌt der Multiplikation in


(1) �E;T � besitzt eine kommutative Multiplikation.(2) C ist assoziativ, abelsch, linear und symmetrisch; �G; �� ist abelsch.(3) �H;T � ist eine Cartesische Gruppe mit kommutativer Addition und Multiplikation.

Beweis. In `1. ) 2.' gilt zunÌchst fÏr alle a, b 2 G und m, x 2 K wegen�mta� � �xtb� � �xtb� � �mta�

ma;b�m; x� tab � mb;a�x;m� tba;

woran man abliest, daÞ C symmetrisch und �G; �� abelsch ist.Ferner gilt fÏr allem � ma1t

a1 �ma2 ta2 �ma3 t

a3 und x � xb1 tb1 � xb2t

b2� xb3 tb3 2 E

mit a1 > a2 > a3 und a1b1 � a2b2 � a3b3 � g wegen m � x � x �m sowieSg�m; x� � f�a1; b1�; �a2; b2�; �a3; b3�g und Sg�x;m� � f�b3; a3�; �b2; a2�; �b1; a1�g mitb3 > b2 > b1

Ca1;b1�ma1 ; xb1 ;Ca2;b2 �ma2 ; xb2 ; ma3;b3 �ma3 ; xb3�� Cb3;a3�xb3 ;ma3 ;Cb2;a2 �xb2 ;ma2 ; mb1;a1 �xb1 ;ma1��;

�I�

220 ERWIN SCHÚRNER

woraus wir zum einen mit b2 � e, ma3 � 0 und xb2 � 1

Ca1;b1�ma1 ; xb1 ;ma2 � � ma2 �a1b1 ma1;b1 �ma1 ; xb1� �II�und zum anderen fÏr ein beliebiges d 2 K mit b2 � e, ma1 � 1, ma2 � 0, xb1 2 K mitma1;b1 �1; xb1 � � d und xb2 � 1 unter Verwendung von (II)

Cb3;a3�xb3 ;ma3 ; d� � ma3;b3 �ma3 ; xb3� �a3b3 d �III�erhalten.

FÏr g 2 G und x, u 2 K folgt aus (I), indem man a1 2 G mit a1 > e, a2 � e, a3 2 Gmit a3 <Minfe; gg, b1, b2, b3 2 G mit a1b1 � a2b2 � a3b3 � g sowie ma1 � 0,ma2 � ma3 � 1, xb1 � 0, xb2 � x und xb3 2 K mit ma3;b3 �1; xb3 � � u wÌhlt,

x�g u � Cb3;a3�xb3 ; 1; x�und mit (III) wegen b3 > e

x�g u � u�g x;

damit ist C abelsch.FÏr a, b 2 G und m, x, c 2 K erhÌlt man aus (I) fÏr a1 � a, a2 2 G mit a2 < a1,

a3 2 G mit a3 <Minfab; a2g, b1 � b, b2, b3 2 G mit a1b1 � a2b2 � a3b3 sowiema1 � m, ma2 � 0, ma3 � 1, xb1 � x, xb2 � 0 und xb3 2 K mit ma3;b3�1; xb3 � � c

Ca;b�m; x; c� � Cb3;a3 �xb3 ; 1; ma;b�m; x��und daraus mit (III) wegen b3 > e in


die LinearitÌt von C.FÏr g 2 G undm, x, c 2 K liefert dann (I) fÏr a1, a2, a3 2 Gmit a1 > a2 > a3, b1, b2,

b3 2 G mit a1b1 � a2b2 � a3b3 � g sowie ma1 � ma2 � ma3 � 1 und xb1 , xb2 , xb3 2 Kmit ma1;b1 �1; xb1 � � m, ma2;b2 �1; xb2 � � x und ma3;b3 �1; xb3 � � c in

m�g �x�g c� � c�g �x�g m� � �m�g x� �g c

die AssoziativitÌt von C.In `2. ) 3.' ist �H;T � wegen Satz 1 und Satz 2 eine Cartesische Gruppe mit

kommutativer Addition. Aber auch die Multiplikation ist kommutativ, da fÏr allem �Pa mata und x �Pb xbt

b 2 H sowie g 2 G

�m � x��g� �Xab�g

gma;b�ma; xb� �Xba�g

gmb;a�xb;ma� � �x �m��g�

erfÏllt ist; `3 ) 1.' ist trivial. &

Angesichts der bislang bewiesenen SÌtze 1 bis 6 kÎnnen bei Hahn-TernÌrkÎrpernmit einer nichttrivialen Werteloop sowie ihren UnterternÌrkÎrpern, die die formalenPotenzreihen endlichen TrÌgers enthalten, nur die im folgenden Diagramm


aufgefÏhrten algebraischen Objekte auftreten. Dabei entspricht die Anzahl derStufen, die eine Struktur Ïber dem TernÌrkÎrper bzw. unter demKÎrper steht, genauder Anzahl der algebraischen Gesetze, die sie gegenÏber dem TernÌrkÎrperzusÌtzlich aufweist bzw. die ihr im Vergleich zum KÎrper fehlen. Von der Klasseder TernÌrkÎrper bis zu der der Cartesischen Gruppen mit kommutativer Additionsind dies die AssoziativitÌt und KommutativitÌt der Addition sowie die LinearitÌt,von dort ab bis zur Klasse der KÎrper handelt es sich um die RechtsdistributivitÌtbzw. Faktorisierbarkeit, die LinksdistributivitÌt sowie die AssoziativitÌt undKommutativitÌt der Multiplikation. Eine Verbindungslinie zwischen zwei Klassendeutet an, daÞ die weiter unten stehende die darÏber angeordnete enthÌlt; zuGunsten der Ûbersichtlichkeit wurde dabei auf eine transitive Fortsetzung desBeziehungsge£echtes verzichtet. Ein interessantes Detail dieses Diagramms istdas Auftreten einer Taille bei der Klasse der Cartesischen Gruppen mitkommutativer Addition. Diese Tatsache liefert eine natÏrliche Unterteilung beimNachweis, daÞ keine der aufgefÏhrten Klassen von Hahn-TernÌrkÎrpern mitnichttrivialer Werteloop leer ist; die konstruierten Hahn-TernÌrkÎrper sind alsojeweils echte ReprÌsentanten ihrer Klasse, sie weisen die geforderten Eigenschaftenauf, verletzen aber die weiteren Gesetze.

Betrachten wir zunÌchst die schwÌcheren Strukturen unterhalb der Taille undkombinieren zu diesem Zweck, wobei wir uns bezÏglich der Allgemeinheit aufdas in diesem Zusammenhang notwendige MaÞ beschrÌnken, die Konstruktionsemidirekter Produkte von Gruppen mit dem in [1, S. 35] angegebenen Verfahrenzur Konstruktion von Quasigruppenerweiterungen, wobei die erhaltenen Loopsdann unter Verwendung der Ergebnisse von Hughes in [2] als additive Loopsgeeigneter TernÌrkÎrper aufgefaÞt werden kÎnnen. Man veri¢ziert leicht

LEMMA 7. Seien �G; �; eG� und �H; �; eH � abelsche Gruppen, j : H 3 h 7! jh 2Aut�G� ein Homomorphismus und � fh1;h2 �h1;h22H eine Familie in G mit feH ;h �fh;eH � eG fÏr alle h 2 H. Dann ist �G�H; �� mit

�g1; h1� � �g2; h2� � �g1 jh1 �g2� fh1;h2 ; h1h2�

eine Loop mit neutralem Element �eG; eH �, und es gilt:

(a) �G�H; �� ist genau dann assoziativ, wenn jh1�fh2;h3�fh1;h2h3 � fh1;h2 fh1h2;h3 fÏr alleh1, h2, h3 2 H gilt.

(b) �G�H; �� ist genau dann abelsch, wenn jh � idG und fh1;h2 � fh2;h1 fÏr alle h, h1,h2 2 H gilt.

WÌhlen wir nun speziell �Z;�; 0� fÏr �G; �; eG� und �H; �; eH �, wobei s dennichttrivialen Gruppenautomorphismus von Z bezeichne, sowie fÏr alle x, y,z 2 Z zum einen jz als idZ oder sz und zum anderen fx;y als 0 oder x y2 oderx2 y2, so sind die Voraussetzungen des Lemmas stets erfÏllt und �Z�Z; �� istzumindest eine Loop mit neutralem Element �0; 0�. Im einzelnen gilt:

222 ERWIN SCHÚRNER


(i) Mit jz � idZ und fx;y � x y2 fÏr alle x, y, z 2 Z ist �1 wegen

fy;z � fx;y�z � yz2 � x�y� z�2 6� xy2 � �x� y�z2� fx;y � fx�y;z; f �ur x; y; z 6� 0

und

fx;y � x y2 6� y x2 � fy;x; f �ur x; y 6� 0 und x 6� y

weder assoziativ noch abelsch.(ii) Mit jz � sz und fx;y � 0 fÏr alle x, y, z 2 Z ist �2 o¡ensichtlich assoziativ (es

handelt sich um das Ïbliche semidirekte Produkt), aber wegen jz 6� idZ fÏrz 2 2Z� 1 nicht abelsch.

(iii) Mit jz � idZ und fx;y � x2 y2 fÏr alle x, y, z 2 Z ist �3 wegen

fy;z � fx;y�z � y2z2 � x2�y� z�2 6� x2y2 � �x� y�2z2� fx;y � fx�y;z; f �ur x; y; z 6� 0 und x 6� z

nicht assoziativ, aber wegen

fx;y � x2 y2 � y2 x2 � fy;x

fÏr alle x, y 2 Z abelsch.(iv) Mit jz � idZ und fx;y � 0 fÏr alle x, y, z 2 Z ist �4 o¡ensichtlich assoziativ und

abelsch (es handelt sich um das Ïbliche direkte Produkt).

FÏr alle 1W iW 4 wird mit Hilfe einer beliebigen Bijektion { : Z�Z! Q mit�0; 0�{ � 0 durch �i eine Addition �i auf Q induziert, und �Q;�i; 0� ist vermÎge{ zu �Z�Z; �i; �0; 0�� isomorph; sei zudem � die Ïbliche Multiplikation auf Q�.GemÌÞ [2, S. 973] existiert dann eine TernÌrkÎrperverknÏpfung Ti auf Q, sodaÞ �i bzw. � die von T induzierte Addition bzw. Multiplikation darstellt, weswegen

(i) �Q;T1� eine weder assoziative noch abelsche Addition,(ii) �Q;T2� zwar eine assoziative, aber keine abelsche Addition,(iii) �Q;T3� zwar eine abelsche, aber keine assoziative Addition,(iv) �Q;T4� eine sowohl assoziative als auch abelsche Addition

besitzt; ferner entnimmt man dem Beweis, daÞ die LinearitÌt von �Q;Ti� zerstÎrtwerden kann. DarÏber hinaus gibt es wegen [2, S. 978] eine lineare TernÌr-kÎrperverknÏpfung T5 auf Q, wobei die induzierte Addition mit �2 Ïbereinstimmt;demnach ist also

(v) �Q;T5� eine Cartesische Gruppe mit nichtabelscher Addition.

Bezeichne zuletzt T0 die zu den Ïblichen Operationen auf Q gehÎrende TernÌr-kÎrperverknÏpfung. Damit de¢nieren wir fÏr 1W iW 5 nichttriviale Faktorsysteme

224 ERWIN SCHÚRNER

Ci � �C�i�x;y�x;y2Z zu �Q;T0� und Z durch

C�i�x;y �Ti f �ur x 6� 0 und y 6� 0;T0 f �ur x � 0 oder y � 0

�und erhalten in H � H�Q;Z;Ci� im Hinblick auf die SÌtze 1, 2, 3, 4 und 6

(1) fÏr i � 1 einen echten TernÌrkÎrper,(2) fÏr i � 2 einen echten TernÌrkÎrper mit assoziativer Addition,(3) fÏr i � 3 einen echten TernÌrkÎrper mit kommutativer Addition,(4) fÏr i � 4 einen echtenTernÌrkÎrper mit assoziativer und kommutativer Addition,(5) fÏr i � 5 eine echte Cartesische Gruppe.

Zur Untersuchung der stÌrkeren Strukturen oberhalb der Taille im Diagrammverallgemeinern wir in dem hier benÎtigten Rahmen die Neumannsche Idee zurKonstruktion von formalen Potenzreihen Ïber SchiefkÎrpern [4, S. 209ff] infolgendem leicht zu veri¢zierendem

LEMMA 8. Seien �K;�; �� ein KÎrper, �G; �; e; W � eine total geordnete Loop sowie�sg�g2G und �tg�g2G zwei Familien in S�K� mit 0sg � 0tg � 0 und 1sg � 1tg � 1 fÏr alleg 2 G sowie se � te � idK. Dann de¢niert

Ca;b�m; x; c� � msb xta � c

fÏr a, b 2 G ein assoziatives, abelsches und lineares FaktorsystemC � �Ca;b�a;b2G zu Kund G, und es gilt:

(a) C ist genau dann rechtsdistributiv, wenn tg 2 Aut�K;�� fÏr alle g 2 G gilt.(b) C ist genau dann linksdistributiv, wenn sg 2 Aut�K;�� fÏr alle g 2 G gilt.(c) C ist genau dann homogen, wenn sg, tg 2 Aut�K�; �� sowie sgtd � tdsg, sgd � sgsd

und tgd � tdtg fÏr alle g, d 2 G gilt.(d) C ist genau dann symmetrisch, wenn sg � tg fÏr alle g 2 G gilt.

Betrachten wir nun konkret den FunktionenkÎrper K � Q�x� Ïber dem KÎrperQder rationalen Zahlen und die Gruppe G � Q>0 der positiven rationalen Zahlen mitihrer natÏrlichen Anordnung W sowie fÏr alle q 2 Q>0 die durch

wq : Q�x� 3 f 7! qGrad�f�f f �ur f 6� 00 f �ur f � 0

� �2 Q�x�

de¢nierte Abbildung wq 2 S�Q�x�� und jq, cq 2 Aut�Q�x�� mit

jq�x� � q x und cq�x� � x� qÿ 1;

damit ist 0wq � 0jq � 0cq � 0 und 1wq � 1jq � 1cq � 1 fÏr alle q 2 Q>0 sowie w1 �j1 � c1 � idQ�x�; wegen

�x� 1�wq � �ÿx�wq � q �x� 1� � q �ÿx� � q 6� 1 � 1wq


ist wq =2Aut�Q�x�;�� fÏr q 6� 1, und fÏr alle p, q 2 Q>0 gilt

xjp q � p q x � q p x � xjpjq ;

fÏr p, q 6� 1 aber

xcp q � x� p qÿ 1 6� x� p� qÿ 2 � xcqcp :

Im folgenden wÌhlen wir sq und tq als wq, jq, cq oder idQ�x� fÏr alle q 2 Q>0, so daÞC als verallgemeinertes Faktorsystem zuQ�x� undQ>0 assoziativ, abelsch und linearist; demnach ist H � H�Q�x�;Q>0;C� gemÌÞ den SÌtzen 1 und 2 stets eineCartesische Gruppe mit kommutativer Addition. Ferner gilt unter Verwendungder SÌtze 3, 4, 5 und 6 mit der folgenden Fallunterscheidung:

(1) Mit sq � wq und tq � wqÿ1 fÏr alle q 2 Q>0 ist C weder rechts- nochlinksdistributiv noch symmetrisch, weswegen H eine echte Cartesische Gruppemit kommutativer Addition ist.

(2) Mit sq � wq und tq � jq fÏr alle q 2 Q>0 ist C zwar rechtsdistributiv, aber nichtlinksdistributiv, weswegen H ein echter RechtsquasikÎrper ist.

(3) Mit sq � jq und tq � wq fÏr alle q 2 Q>0 ist C zwar linksdistributiv, aber nichtrechtsdistributiv, weswegen H ein echter LinksquasikÎrper ist.

(4) Mit sq � jq und tq � cq fÏr alle q 2 Q>0 ist C zwar rechts- und linksdistributiv,aber weder homogen noch symmetrisch, weswegenH eine echte Divisionsalgebraist.

(5) Mit sq � jq und tq � idQ�x� fÏr alle q 2 Q>0 ist C zwar rechts- undlinksdistributiv und homogen, aber nicht symmetrisch, weswegen H ein echterSchiefkÎrper ist.

(6) Mit sq � tq � wq fÏr alle q 2 Q>0 ist C zwar symmetrisch, aber nicht rechts- oderlinksdistributiv, weswegen H eine echte Cartesische Gruppe mit kommutativerAddition und Multiplikation ist.

(7) Mit sq � tq � cq fÏr alle q 2 Q>0 ist C zwar rechts- und linksdistributiv undsymmetrisch, aber nicht homogen, weswegen H eine echte KommutativeDivisionsalgebra ist.

(8) Mit sq � tq � jq fÏr alle q 2 Q>0 ist C sowohl rechts- und linksdistributiv alsauch homogen und symmetrisch, weswegen H ein KÎrper ist.

Insgesamt haben wir demnach fÏr jede im Diagramm aufgefÏhrte Klasse vonHahn-TernÌrkÎrpern einen echten ReprÌsentanten mit nichttrivialem Faktorsystemgefunden; konstruiert man nun Ïber diesem den Hahn-TernÌrkÎrper auf Z mit demtrivialen Faktorsystem, so ergibt sich offensichtlich wieder ein echter ReprÌsentantdieser Klasse. Zusammenfassend erhalten wir also den folgenden

SATZ 9. Im Diagramm kann zu jeder Klasse von TernÌrkÎrpern ein Hahn-TernÌr-kÎrper mit nichttrivialer Werteloop angegeben werden, der zwar zu dieser Klasse,

226 ERWIN SCHÚRNER

aber zu keiner Unterklasse davon gehÎrt. Dabei lÌÞt sich jeweils das verallgemeinerteFaktorsystem trivial oder auch nichttrivial wÌhlen.

AbschlieÞend untersuchen wir noch die Faktorsysteme von Hahn-KÎrpern undHahn-SchiefkÎrpern, wobei wir einsehen werden, daÞ die von Kaplansky ([3, S.315ff]) bzw. von Neumann ([4, S. 209ff]) betrachteten Faktorsysteme und die damitgebildeten KÎrper bzw. SchiefkÎrper formaler Potenzreihen bis auf eine sehrnatÏrliche Isomorphie die einzigen auftretenden FÌlle sind. Zur PrÌzisierung unseresIdenti¢zierungsbegriffs betrachten wir zwei verallgemeinerte FaktorsystemeC � �Ca;b�a;b2G und C0 � �C0a;b�a;b2G zu einem TernÌrkÎrper �K;S; 0; 1� und einertotal geordneten Loop �G; �; e; W � sowie die zugehÎrigen Hahn-TernÌrkÎrper�H;T � � H�G;K;C� und �H;T 0� � H�G;K;C0�. FÏr eine Familie r � �Rg�g2G inS�K� mit 0Rg � 0 und Re � idK sowie

C0a;b�mRa ; xRb ; cRab � � Ca;b�m; x; c�Rab

fÏr alle a, b, g 2 G und m, x, c 2 K ist

R : �H;T � 3 f �Xg

fgtg 7!Xg

fRgg tg � fR 2 �H;T 0�

wegen Tr�fR� � Tr�f� fÏr alle f 2 H als Abbildung wohlde¢niert und wertetreu; sie istoffensichtlich bijektiv mit 0R � 0 und 1R � 1. Zum Nachweis der Homomorphieseien m �Pa mata, x �Pb xbt

b, c �Pg cgtg 2 H; fÏr g 2 G ist Sg�m; x� �

f�ai; bi� j 1W iW ng fÏr ein n 2N0 mit a1 > . . . > ai > . . . > an, wodurch wir mityn�1 � cg aus

yn � Can;bn �man ; xbn ; yn�1�... ..

.

yi � Cai;bi �mai ; xbi ; yi�1�... ..

.

y1 � Ca1;b1 �ma1 ; xb1 ; y2�zunÌchst T �m; x; c��g� � y1 und sodann mit y

Rgn�1 � c

Rgg in

yRgn � C0an;bn �m

Ranan ; x

Rbnbn; y

Rgn�1�

..

. ...

yRgi � C0ai;bi �m

Raiai ; x

Rbibi; y

Rgi�1�

..

. ...

yRg1 � C0a1;b1 �m

Ra1a1 ; x

Rb1b1; y

Rg2 �

wegen Sg�mR; xR� � Sg�m; x� auch T 0�mR; xR; cR��g� � yRg1 � T �m; x; c�R�g� erhalten. In


diesem Falle nennen wir �H;T � zu �H;T 0� Ïber r kanonisch isomorph. Man erkenntvermÎge i � �idK �g2G sofort die Re£exivitÌt der kanonischen Isomorphie; sie ist aberauch symmetrisch und transitiv. Sind nÌmlich �H;T � zu �H;T 0� Ïber r � �Rg�g2Gund �H;T 0� zu �H;T 00� Ïber r0 � �R0g�g2G kanonisch isomorph, so auch �H;T 0�zu �H;T � Ïber rÿ1 � �Rÿ1g �g2G und �H;T � zu �H;T 00� Ïber rr0 � �RgR0g�g2G.

Offensichtlich wird zu einem verallgemeinerten Faktorsystem C � �Ca;b�a;b2G zu Kund G Ïber eine Familie r � �Rg�g2G in S�K� mit 0Rg � 0 fÏr alle g 2 G und Re � idK

durch

Cra;b : K � K � K 3 �m; x; c� 7! �Ca;b�mRÿ1a ; xR

ÿ1b ; cR

ÿ1ab ��Rab 2 K

fÏr alle a; b 2 G und m, x, c 2 K ein verallgemeinertes Faktorsystem Cr � �Cra;b�a;b2G

zu K und G de¢niert: wÌhrend (F1), (F2) und (F3) unmittelbare Konsequenzen derBijektivitÌt der Abbildungen Rg fÏr alle g 2 G sind, ist (F0) bzw. (F4) eine Folgevon Re � idK bzw. 0Rg � 0 fÏr alle g 2 G; beide Bedingungen zusammen liefern (F5).Dann ist �H;T � � H�G;K;C� zu �H;T r� � H�G;K;Cr� Ïber r kanonisch isomorph.

Nun sind wir in der Lage, den angekÏndigten Satz zu formulieren.

SATZ 10. FÏr einen Hahn-TernÌrkÎrper H � H�G;K;C� auf der total geordnetenLoop �G; �; e; W � Ïber dem TernÌrkÎrper �K;S; 0; 1� mit dem verallgemeinertenFaktorsystem C gilt:

(1) Ist H ein SchiefkÎrper, so ist H zu einem SchiefkÎrper formaler Potenzreihen miteinem Faktorsystem im Sinne Neumanns kanonisch isomorph.

(2) Ist H ein KÎrper, so ist H zu einem KÎrper formaler Potenzreihen mit einemFaktorsystem im Sinne Kaplanskys kanonisch isomorph.

Beweis. In 1. dÏrfen wir ohne BeschrÌnkung der Allgemeinheit

mg;e�1; x� � x �I�

fÏr alle g 2 G und x 2 K annehmen. De¢niert man nÌmlich fÏr g 2 G die AbbildungRg durch mg;e�1; xRg � � x fÏr alle x 2 K , so gilt Rg 2 S�K� mit 0Rg � 0 undRe � idK . Mit r � �Rg�g2G ist H Ïber r zu �H;T r� � H�G;K;Cr� kanonisch isomorph;�H;T r� ist wieder ein SchiefkÎrper, wobei wegen 1R

ÿ1g � 1 nun mrg;e�1; x� �

Crg;e�1; x; 0� � �Cg;e�1Rÿ1g ; xR

ÿ1e ; 0R

ÿ1g ��Rg � �Cg;e�1; x; 0��Rg � �mg;e�1; x��Rg � xR

ÿ1g Rg � x

fÏr alle g 2 G und x 2 K gilt. Nach Satz 5 ist C insbesondere linear, rechts- wielinksdistributiv und homogen.

FÏr alle g 2 G und m, x, u 2 K gilt wegen (I) zum einen

mg;e�m; x� � mg;e�mg;e�1;m�; x� � mg;e�1; me;e�m; x�� mx �II�

und zum anderen mit rg � mgÿ1;g�1; 1�

mgÿ1;g�1; x� � mgÿ1;g�1; mg;e�1; x�� me;e�mgÿ1;g�1; 1�; x� � rg x; �III�

228 ERWIN SCHÚRNER

woraus man wegen rg 6� 0 an

rg�x�g u� � mgÿ1;g�1; x�g u� � mgÿ1;g�1; x� �e mgÿ1;g�1; u�� rgx� rgu � rg�x� u�

abliest, daÞ die VerknÏpfung �g mit der SchiefkÎrperaddition � � �e auf KÏbereinstimmt.

Nun de¢nieren wir fÏr a, b 2 G die Abbildung la;b durch xla;b � ma;b�x; 1�, wobeiman la;b 2 S�K� mit 0la;b � 0 und la;e � idK erkennt, sowie ca;b � 1la;b undsb � le;b. FÏr alle a, b 2 G und m, x 2 K gilt wegen (II) und (III)

ma;b�m; x� � ma;b�mab;bÿ1 �mlÿ1ab;bÿ1 ; 1�; x�

� mab;e�mlÿ1ab;bÿ1 ; mbÿ1;b�1; x�� mlÿ1

ab;bÿ1 rbx;

und es ergibt sich unter Verwendung des Spezialfalls

mla;b � ma;b�m; 1� � mlÿ1ab;bÿ1 rb

die Gleichung

ma;b�m; x� � mla;b x;

woraus wir Ïber

mla;b � ma;b�m; 1� � ma;b�ma;e�1;m�; 1� � ma;b�1; me;b�m; 1�� 1la;bme;b�m; 1� � ca;bmsb

schlieÞlich

ma;b�m; x� � ca;b msb x

erhalten.Ferner gilt fÏr alle a, b, g 2 G und m, x, u 2 K zunÌchst ca;b � 1la;b 6� 0 mit

ca;e � 1la;e � 1 und ce;b � 1le;b � 1 sowie

�x� u�sb � me;b�x� u; 1� � me;b�x; 1� � me;b�u; 1� � xsb � usb

mit 1sb � 1 und se � idK , und die HomogenitÌtsbedingung mab;g�ma;b�m; x�; 1� �ma;bg�m; mb;g�x; 1�� schreibt sich als

cab;g �ca;b msb x�sg � ca;bg msbg cb;g xsg ;

woraus mit a � b � e

�mx�sg � msg xsg ;

mit a � e und x � 1

cb;g msbsg � msbg cb;g


und mit m � x � 1

cab;g csga;b � ca;bg cb;g

folgt. Damit ist c � �ca;b�a;b2G und s � �sg�g2G ein Faktorsystem im Sinne Neumanns,und wegen

Ca;b�m; x; c� � ca;b msb x� c

fÏr alle a, b 2 G und m, x, c 2 K ist 1. vollstÌndig bewiesen.Da C in 2. zusÌtzlich symmetrisch ist, gilt fÏr alle a, b 2 G und m 2 K

ca;b msb � ma;b�m; 1� � mb;a�1;m� � cb;a m;

woraus mit a � e

msb � m

und mit m � 1

ca;b � cb;a

folgt, weswegen c ein Faktorsystem im Sinne Kaplanskys darstellt. &Damit sind die klassischen Konstruktionen von KÎrpern bzw. SchiefkÎrpern for-

maler Potenzreihen mit Faktorsystemen von Kaplansky ([3, S. 315ff]) bzw.Neumann ([4, S. 209ff]) in den fÏr [5] gewÌhlten Rahmen eingeordnet.

References

1. Chein, O., P£ugfelder, H. O. and Smith, J. D. H. (Hrsg.):Quasigroups and Loops: Theoryand Applications, Heldermann, Berlin, 1990.

2. Hughes, D.: Additive and multiplicative loops of planar ternary rings, Proc. Am. Math.Soc. 6 (1955), 973^980.

3. Kaplansky, I.: Maximal ¢elds with valuations, Duke Math. J. 9 (1942), 303^321.4. Neumann, B. H.: On ordered division rings, Trans. Amer.Math. Soc. 66 (1949), 202^252.5. Scho« rner, E.: Zur Konstruktion von Hahn-TernÌrkÎrpern als TernÌrkÎrper formaler

Potenzreihen, Geom Dedicata. 80 (2000), 157^171.

230 ERWIN SCHÚRNER

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Hahn-Ternärkörper mit speziellen Faktorsystemen