Halbe und minimale Ringerweiterungen

E. WITT zum sechzigsten Geburtstag gewidmet

yon R~I~HARD M~uv~ aus KSln

Einleitung

Eine ffir das Studium algebraischer Ringerweiterungen grundlegende Frage ist die nach dem Zusammenhang zwischen den Primidealstrukturen im Grund- und im Erweiterungsring. FOr die F~lle, in denen eine ganze Erweiterung bzw. eine Quotientenringbildung vorliegt, l~13t sich diese Frage weitgehend beantworten (es tritt z.B. keine Dimensionserh5hung auf).

In dieser Arbeit wird eine Klasse yon algebraischen Ringerweiterungen aufgezeigt, for die sich sogar der Zusammenhang zwischen den beiden Prim~r- idealstrukturen als sehr einfach erweist. Zu dieser Klasse gehSren insbesondere die minimalen nicht-ganzen Ringerweiterungen, an denen auch die Beziehung unserer Betrachtungen zur Bewertungstheorie besonders deutlich wird. Das wiehtigste Ergebnis besagt for solche Erweiterungen S/R, dab die Prim~rideale in S durch die Schnittbildung mit R injektiv auf die Primiirideale in R ab- gebildet werden.

Der eigentliche Grund for diese Tatsache ist darin zu sehen, dab fOr minimale nieht-ganze Ringerweiterungen die Differenzmenge zwischen Grund- und Erweiterungsring multiplikativ abgeschlossen ist. Wir schicken daher im ersten Absehnitt einige allgemeine Bemerkungen fiber Ringerweiterungen mit dieser Eigensehaft voraus (vgl. [1]).

Unter einem Ring soll im folgenden ein kommutativer, unit~rer In~grit~ts- bereieh verstanden werden. Die MSgliehkeit, viele der Betrachtungen auf nieht notwendig nullteilerfreie, kommutative, unit~re Ringe auszudehnen, ist so naheliegend, dab die Beschr~nkung auf Integrit~tsbereiche im Interesse einer kfirzeren Darstellung gerechtfertigt erscheint. Ringerweiterungen sollen stets uniter sein, und der QuotientenkSrper zu einem Integrit~tsbereich R werde mit (R) bezeichnet.

w 1. Halbe Ringerweiterungen

In diesem Abschnitt sollen grundlegende Eigenschaften yon ,,halben Ring- erweiterungen" zusammengestellt werden. Dazu wird wie folgt definiert:

Halbe und minimale Ringerweiterungen 119

(1.1) Definition a) Eine unit~re Ringerweiterung S fiber R (S/R) heiBe halb, wenn S~R multi-

plikativ abgesehlossen ist. b) Eine unit~ire Ringerweiterung S fiber R heil~e minimal, wenn S minimal in

der Menge der echten, unit~ren Oberringe yon R ist.

B e m e r k u n g : Ein KSrper K ist halb (minimal) fiber einem Ring R genau dann, wenn R e i n Bewertungsring (vom Range 1) yon K ist. Alle folgenden Betrachtungen stellen daher eine Verallgemeinerung dieser bewertungs- theoretisehen Si tuat ionen dar.

{1.2) Satz Es sei S IR halb, dann gilt:

a) R ist ganz-abgeschlossen in S. (vgl. [1] S. 169) b) I s t S algebraisch fiber R, so haben S und R denselben QuotientenkSrper.

B e w e i s : zu a) Es sei x e S ganz fiber R und / ( X ) = X n + r , _ t X n - 1 + . . . -~- r o e R [ X ]

ein zugeh6riges Ganzheitspolynom mi t minimalem Grad. Dann gilt n -- 1, weil sonst x (x n-1 + r ,_lxn-~ + �9 �9 + rl) = r 0 e R w~re mi t x, x n-1 -t- r ,_ lxn-2 + � 9 + rl e S \ R , was der Voraussetzung , ,SIR halb" widersprieht.

z u b ) Sei x e S und f ( X ) - ~ r , X n + . . . + r o e R [ X ] mit / ( x ) = O . D a n n ist r ,x e S and ganz fiber R, also naeh a) r , x e R. Daher gilt (S) = (R).

(1.3) Satz Es sei S I R nicht ganz, dann gibt es zwei Ringe S' , R ' mit S D S ' D R ' D R

derart , daI~ S ' / R ' halb ist. B e w e i s : Es sei x e S und x nicht ganz fiber R. Dann gibt es einen Bewer-

tungsring S v yon (S) mi t Sv3_R und x ~ S . Man setze S ' = R [ x ] und R ' = S ' c ~ S v. Dann gilt S ' D R ' , und ffir z, y e S ' \ R ' hat man z, y e S ' \ S v,

also zy e S ' \ S v ~-S ' \R ' , weil S v Bewertungsring ist.

B e m e r k u n g e n : a) Naeh dem vorangehenden Satz ist eine minimale Ringerweiterung stets

entweder ganz oder halb. MAnimale Ringerweiterungen sind trivialerweise algebraisch. F/Jr nicht-ganze minimale Erweiterungen gilt daher nach (1.2) die Gleichheit der Quotientenk6rper.

b) Nach (1.2) ist ferner eine echte Ringerweiterung S]R genau dann nicht ganz, wenn es eine halbe Erweiterung S ' /R ' gibt mit S ~ S ' D R ' D R.

(1.4) Satz a) I s t S IR halb und H e i n e regul~re Halbgruppe in R, so ist auch SH/R H halb. b) S I R ist genau dann halb, wenn ffir je zwei maximale Ideale M1, M 2 aus R

die Erwei terung SR\(~Z~UM,)/RR\(M~UM, ) halb ist.

120 Reinhard Mauve

B e w e i s :

zu a) Es seien a/ix' y e S , mi t h, k e H und x, y e S. I s t d a n n hkX y_ = ~ e RH mit

r e R , l e H , so gilt ( l x ) y e R und daher l x e R oder y e R . Also ist

x e R H oder y ]~ [r eRH"

zu b ) E s sei SR\(MxtJM~) /RR\(MltJM~) halb fiir je zwei maximale Ideale Mr, M S aus R. Ware SIR nicht halb, so gabe es x, y e S \R mit xy e R. Wegen R = [3 R M gabe es also max imale Idea le M1, M s aus R mit

M m a x .

X ~ RMI , y r RM. D a n n ware x, y e ( S ~ \ ~ n S~\M2 ) \ (RM1 ~ RM~ ) = ~" ~q,R\(M2UM2) \ RR\(MIUM D, aber x y e R ~_~ RR\(M~UM, ) im Widerspruch zur Voraussetzung.

(1.5) Satz

Es sei SIR halb, und m a n setze fiir x e S \ R l ( x ) = R : R R x = R : s R x . D a n n gil t :

a) Vl(x) ist Pr imideal in R.

b) Die Ideale I(x) ffir x E S \R sind bzgl. der Ink lus ion l inear geordnet. c) [J I(x) und [7 I(x) sind Pr imideale in R ([1]).

x e S / R x e S/R

B e w e i s :

zu a) Es seien a, b e R und (a b) n e I (x) fiir ein n e N. D a n n gilt

a~nb ~n e (I (x)) 2 s (x~),

also a2nx b2nx e .R, und weil SIR halb ist, a ~n ~ I (x) oder

b~n e l ( x ) .

zu b) Es seien x, y e S\R, und es sei I (x) (~ I (y). D a n n g ib t es ein r e I (x) \ I (y),

d .h . rx e R und r y e S\R. I s t nun t e I (y ) , so gi l t (tx) (ry) = (rx) (ty) e R, also, weft SIR halb ist, tx e R u n d d a m i t t e I@).

zu e) Tr ivia l nach b).

B e m e r k u n g :

a) Es sei SIR halb und H eine regul~re H a l b g r u p p e in R. Genau d a n n ist S n R ~ = R , w e n n H ( ~ (J I ( x )=Ogi l t .

x e S ~ R

b) Es sei SIR halb und R noethersch. D a n n is t I.J I@) =I(z) ffir ein x l e S \ R

z e S\R. I s t ferner SIR algebraisch, so gilt n a c h (1.2) z = a mi t a, b e R, und b

daher ist d a n n (J l (x) = I (z) = (b) : R(a) = P n a c h (1.5) ein Primideal . x e S~R

Wegen P = (b) : a (a) ist sehlieiMich P v o m Grade 1 u n d ein zu (b) gehSriges

Halbe und minimale Ringerweiterungen 121

maximales Pr imideal in R (vgl. [3]). Es l i~ t sich sogar zeigen, dab R e Be- wer tungsr ing und daher P minimal ist.

w 2. Minimale und einfach-halbe Ringerweiterungen

Nach w 1 sind minimale n ich t -ganze Ringerwei terungen SIR halb, u n d es gilt die Gleichheit (S) = (R).

Da viele der folgenden Be t r ach tungen nieht nur f i r minimale n ich t -ganze Erwe i t e rungen gelten, definieren wir :

(2.1) Definition Eine halbe Ringerwei te rung SIR he i s t , ,einfach-halb mi t der E rzeugenden x",

wenn ffir ein x e S gil t : a) S = R[x] b) R [x] ---- R Ix ~] Man sagt ku rz : , ,R[x]/R ist e infach-halb" .

B e m e r k u n g e n : a) I n (2.5) werden wir zeigen:

I s t R [x]/R einfach-halb u n d R [x] = R [y], so ist auch R [y]/R einfach-halb. Also gilt insbesondere R [x] ---- R [x n] fiir a l l e n e N.

b) I s t R[x]/R einfach-halb, d a n n ist l~[x]/R algebraisch, also gilt n a c h (1.2)

(S) -- (R). c) Jede minimale n ich t -ganze Erwei te rung SIR ist nach (1.3) halb. Es gilt

daher S --- R [x] = R [x 2] fiir alle x e S\R, also ist SIR einfach-halb . d) I s t SIR halb und x - i e R ffir ein x e S, so ist trivialerweise R [x]/R einfach-

halb.

e)Ist R I b l / R h a l b m i t a , b ~ R u n d R e i n P r f i f e r r i n g , d a n n i s t R I b ] / R e i n -

fach-halb. Man beach te : I n R gilt (a, b) 2 = (a 2, b~). (vgl. [2]).

(2.2) Satz a) Es sei R[x]/R einfach-halb u n d R lokal, d a n n gilt: x e R oder x - i e R.

b) Es sei SIR minimal n ich t -ganz und R lokal, dann gilt fiir alle x e S : x e R oder x - i e R. (vgl. 5).

B e w e i s : zu a) Es sei x ~ R. Wegen R[x] = R[x ~] ha t man x=ao+asx2+ . . . + a s n x sn

fiir gewisse ao, a s . . . . . as, e R. Daher gilt (*) x ( - - 1 T x(a s Jr- . . . -I- a~xS(n-i))) = --a o e R. N u n ist R [x]/R halb u n d x e R, deshalb folgt - 1 + x(a s --b... -t-a~x 2(n-D) E R und hieraus wiederum

a2 -I- . . . -I- a ~ x 2(n- i ) e R .

122 Reinhaxd Mauve

D a m i t ergibt sich aus (*) x ( - 1 + r x ) = - a o ~ R f/ir ein r e R und mit

rx e R. Wegen x e R ist d a n n rx eine Einhe i t in R, denn sonst w~Lre

- - a 0 -- 1 + rx eine Einhei t in R u n d d a m i t x - e R. - -1 - t - rx

Also ist (rx) -1 e R und daher x -1 e R. zu b) Anwendung von a) un te r B e a c h t u n g yon B e m e r k u n g c) aus (2.1).

I s t R n ich t notwendig lokal, so gi l t :

(2.3) Satz Es sei R [x]/R einfach-halb und 9X das Maximalspek t rum von R, d a n n gibt

es eine Famil ie (HM) Me~ von regul~ren Ha lbg ruppen in R, so dal3 gil t :

R[x] = CI RHM m i t RHM ~- (R[X])R\ M = RM[X ]. Meg)?;

B e w e i s : Es gilt bekannt l ich R[x] = FI (R[x])R\M= CI RM[X ]. Fflr M e ~ M e ~

M egX ist RM[X]/R halb nach (1.4), u n d es gilt RM[X ] =RM[X~], also ist RM[X]/R M einfach-halb. D a R M lokal ist, grit nach (2.2) RM[x ] =(RM)H, fiir eine reguli~re Ha lbgruppe H ~ in R M. M

N u n ist aber (RM)H, der Quot ien tenr ing RuM von R nach der Ha lbg ruppe M

H M = u ~ _R/::I r, r ' s R \ M ^ t ~ R m i t u = r t ^ - , ~ H . I n s g e s a m t ist also r

_R[x] = n RH mit RHM = (R[x])R\ M fiir alle 31 e ~C~.

(2.4) Folgerungen

K o r o l l a r 1

I s t SIR einfach-halb und R normal , d a n n ist auch S normal .

B e w e i s : Mit R ist auch R H normal fiir jede Ha lbg ruppe H in R, und es ist der Durchschn i t t yon in (R) ganz-abgeschlossenen Ringen wieder in (R)

ganz-abgeschlossen. Also ist S nach (2.3) normal .

K o r o l l a r 2 Es sei SIR minimal n icht -ganz u n d R normal . D a n n gibt es eine Familie

y o n Bewer tungsr ingen (Vi) iezin (R) u n d ein i o e I , so dag gil t : R = N Vi, S = CI Vi. t~ I

i e I~{io}

K o r o l l a r 3

Es sei SIR einfach-halb und P ein Pr imideal in R, d a n n gibt es hSchstens ein Pr imidea l P' in S mi t P' • R = P.

B e w e i s : Es sei M e ~J~ (?rj~ Max ima l spek t rum von R) mi t P C__ M. Sind d a n n P', fiir i e {1, 2} Pr imideale in S mi t P~ n R = P , so grit (R \M) c~ P~ =f~.

D a h e r ergibt sich P~' : = SR\MP ~ # SR\ M und (*) P~' (~ R = P fiir i e {1, 2}.

Halbe und minimale Ringerweiterungen 1 2 3

Well aber gemal3 (2.3) SR\ M = RHM ein Quot ientenr ing y o n R ist, folgt aus

(*) P~' = P~' u n d somi t P~ = P ' 2"

Koronar 4

Es sei S I R einfach-halb, d a n n ist die durch ~p (Q) = Q n R definierte Ab- bi ldung ~o der Menge der Prims aus S in die der Pr im~rideale aus R injektiv.

B e w e i s : Es seien Qz, Q~ zwei Prim~rideale aus S mi t Qz n R = Q , c~ R.

D a n n gilt nach KoroUar 3 V ~ = V ~ , und m a n schlieBt wie im Beweis zu Korollar 3 Q1 = Q2.

( 2 . 5 ) S a t z

Es sei R [ x ] / R e infach-ha lb und y e R Ix] mit R[x] = R[y] , d a n n gilt : R [y] = R [y~], d .h . es ist R [y]/R einfach-halb.

B e w e i s : Es sei O . B . d . A . R[x] ~ R .

a) Es sei R = (R, P) lokal. Wegen x r R gil t n a c h (2.2) a) x - l = : r e R, also R[x] = R,r>, wobei <r> die von r erzeugte Ha lbg ruppe in R bezeichnet. Insbesondere ist also

U m i t u e R , heNS . Wegen R,r > = R , n > k a n n m a n O . B . d . A . n = l Y-- ~n

annehmen. Aus R,r ~ = R [ x ] = R [ y ] = R [ U l f o l g t a b e r

1 u u n - = a o + a 1 - + . . . + a - - m i t a 0 , al, . . a h e R . r r n Tn "~

Dami t gilt a~ u + . . . + a, ~-ff:2 ] = 1 - ao r - az u e R , u n d well R / R

halb ist, 1 -- aor - azu = u_ t mit t e R. Daher ha t man (*) r(1 - a o r ) e (u) in R. r

N u n ist r e P , d e n n r - z = x q~ R, u n d also ( 1 - a o r ) - Z e R. Mit (*) folgt

u 1 ftir ein v e R. Wegen y = vy2 e R [y~] gilt daher r e (u), u n d d .h . y - -- r ?)

R [y] = R [y2].

b) I s t R n ich t no twend ig lokal und ~ das Max ima l spek t rum yon R, so gilt :

_/~ [y] = LJ R M [y] = f~ R M [y~] = R [y~], denn ffir alle M e ~0~ ist Me~0~ M e ~

RM[X][R M e infach-ha lb u n d R n [ x ] -~RM[Y], also nach Beweis~oil a)

RM [y] = RM [y2].

B e m e r k u n g : I s t R [ x ] / R einfach-halb, so gilt R[x] = R [ x 2] = R [ x t ] fiir alle i e N.

124 Reinhard Mauve, Halbe und mhtimale Ringerweiterungen

(2.6) Satz

Es sei S i R einfach-halb, d a n n gilt ffir alte (a, b) e R x R m i t S = R | a | u n d alle n e N in R die Idealgleichhei t (a, b) n = (a n, bn). LoJ

Insbesonde re ist das Idea l (a, b) inve r t i e rba r .

B e w e i s : Es sei 9)~ das M a x i m a l s p e k t r u m von R. D a n n gilt (a,b) n = ~ (RM(a, b ) ) n = ~ .R•(a n, b n ) = ( a n , bn). Denn ffir alle M E ~

M e ~ MEW is t RM(a , b) n = R M a n oder R M (a, b) n = RMbn naeh (2.'2 a).

Die I n v e r t i e r b a r k e i t yon (a, b) folgt aus (a, b )2= (a 2, b ~) wie in ([2]).

Literaturhinweise

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Eingegangen am g. 5. 1971