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Michael Moser/Gerhard Müller/Harald Schlemmer/Hans Werner (Hrsg.)

HandbuchIngenieurgeodäsie

Walter Welsch / Otto Heunecke / Heiner Kuhlmann

Auswertung geodätischerÜberwachungsmessungen

Herbert Wichmann Verlag • Heidelberg

Inhaltsverzeichnis

1 Geodätische Überwachungsmessungen 15

1.1 Inhalt und Bedeutung 151.1.1 Aufgaben geodätischer Überwachungsmessungen 151.1.2 Gesetzlicher und normativer Rahmen 171.1.3 Abgrenzung des Aufgabenspektrums, Deformationsbegriff 201.1.4 Erfassung und Ermittlung von Deformationsvorgängen 221.1.5 Geodätische Überwachungsmessungen - Teil eines Überwa-

chungskonzeptes 23

1.2 Systemtheoretische Grundlagen, Terminologie und Klassifi-zierung 26

1.2.1 Dynamische Systeme 261.2.2 Charakterisierung von DeformationsVorgängen 291.2.2.1 Begriffe der Starrkörperbewegung und Verformung 301.2.2.2 Ursachen von Deformationsvorgängen 321.2.3 Grundtypen von Objektreaktionen 351.2.4 Klassifizierung der Auswertemodelle 371.2.5 Strukturmodelle und Verhaltensmodelle 41

1.3 Anforderungen an die Planung und Durchführung 451.3.1 Allgemeine Vorüberlegungen 451.3.2 Bezugssysteme 471.3.3 Geometrische Diskretisierung 511.3.4 Zeitliche Diskretisierung 541.3.5 Messtechnische Aspekte 561.3.6 Periodische und aperiodische Vorgänge 601.3.7 Geodätische Überwachungsnetze 64

1.4 Historischer Abriss und gegenwärtige Trends 67

1.5 Literaturhinweise 72

2 Mechanik 79

2.1 Klassifizierung der Mechanik, Materialgesetze 79

2.2 Grundlagen der Kinematik 82

2.3 Grundlagen der Statik 842.3.1 Spannungszustand und Materialgleichungen 842.3.2 Ermittlung von Biegelinien 86

2.4 Abriss der Methode der finiten Elemente 90

g Inhaltsverzeichnis

2.5 Setzungserscheinungen als bodenmechanische Problemstellung 95

2.6 Literaturhinweise 98

3 Statistik 101

3.1 Messgröße, Messwert, Messergebnis - Genauigkeit, Unsicher-heit, Toleranz 101

3.1.1 Eindimensionale Messgrößen und -ergebnisse 1023.1.2 Mehrdimensionale Messgrößen und -ergebnisse 1073.1.3 Funktionen eines Zufallsvektors - Kovarianzfortpflanzungs-

gesetz 1083.1.4 Verteilungsfunktion und Wahrscheinlichkeitsdichte 109

3.2 Wahrscheinlichkeitsverteilungen 1123.2.1 Normal Verteilung 1123.2.2 X1 -Verteilung 1143.2.3 Student- oder t-Verteilung 1153.2.4 FlSHER- oder F-Verteilung 1153.2.5 Beziehungen zwischen den Verteilungsfunktionen 116

3.3 Grundzüge der Testtheorie 1173.3.1 Null- und Alternativhypothese, Teststatistik, Hypothesentest 1173.3.2 Fehlentscheidungen 1. und 2. Art, Testgüte 1193.3.3 Praktische Durchführung eines Tests, Beispiele für den Test

eindimensionaler Zufallsgrößen 1223.3.3.1 Mittelwert und theoretische Standardabweichung 1223.3.3.2 Mittelwert und empirische Standardabweichung 1233.3.3.3 Differenz zweier unkorrelierter Messwerte 1233.3.3.4 Differenz zweier korrelierter Messwerte 1253.3.3.5 Differenz zweier Zufallsvektoren 1273.3.3.6 Empirische und theoretische Varianz 1273.3.3.7 Zwei empirische Varianzen 127

3.4 Konfidenzmaße 1283.4.1 Konfidenzintervalle 1293.4.1.1 Konfidenzintervall für den Erwartungswert 1293.4.1.2 Konfidenzintervall für die Varianz 1293.4.2 Konfidenzschätzung für mehrdimensionale Zufallsgrößen 1303.4.2.1 Globale Konfidenzmaße 1313.4.2.2 Optimalitätskriterien 1333.4.2.3 Lokale Konfidenzmaße 1343.4.3 Konfidenzmaße für Funktionen eines Zufallsvektors 1343.4.4 Theoretische Varianz und Standardkonfidenzmaße 135

Inhaltsverzeichnis g

3.5 Literaturhinweise 136

4 Ausgleichungsrechnung 139

4.1 Lineare Schätzmodelle 1404.1.1 Das GAUSS-MARKOV-Modell 1404.1.1.1 Parameterschätzung 1414.1.1.2 Rangdefekte Designmatrix A 1444.1.1.3 Elimination von Unbekannten 1504.1.2 Erweiterte Schätzmodelle 1524.1.2.1 Vermittelnde Ausgleichung mit Bedingungen 1534.1.2.2 Bedingte Ausgleichung 1554.1.2.3 Bedingte Ausgleichung mit Unbekannten 156

4.2 Lineare Hypothese und quadratische Formen 158

4.3 Sequentielle Ausgleichung 160

4.4 Varianzkomponentenschätzung 1654.4.1 Schätzung der Einheitsvarianz 165

4.4.2 Varianzkomponentenschätzung 167

4.5 Regressionsanalyse 169

4.6 Kollokation 178

4.7 Alternative Seh ätz verfahren 184

4.8 Literaturhinweise 188

5 Netzanalyse 197

5.1 Das geodätische Datum 1975.1.1 Begriff, Erläuterungen 1985.1.2 Das konventionelle geodätische Datum 2005.1.3 Freie Netzausgleichung 2025.1.3.1 Bedingungsgleichungen zur Verfügung über das Datum 2035.1.3.2 Freie Netzausgleichung mit varianzfreier Rechenbasis 2065.1.3.3 Freie Netzausgleichung mit Teilspurminimierung 2075.1.3.4 Freie Netzausgleichung mit Minimierung der Gesamtspur 2085.1.4 Netzausgleichung unter Zwang 2105.1.5 Das „schwache" Datum 2125.1.6 Datumstransformationen 2135.1.7 DatumsinVariante Größen 2165.1.8 Bedeutung des geodätischen Datums für Deformationsanalysen 217

10 Inhaltsverzeichnis

5.2 Genauigkeit 2185.2.1 Grundlagen, globale Genauigkeitsmaße 2195.2.2 Hauptkomponentenanalyse 2205.2.3 Zweidimensionale Genauigkeitsmaße 2225.2.4 Skalare Genauigkeitsmaße 226

5.3 Zuverlässigkeit 2285.3.1 Grundlagen 2285.3.2 Maße für die innere Zuverlässigkeit 2305.3.3 Maße für die äußere Zuverlässigkeit 2335.3.4 Hebelpunkte 234

5.4 Sensitivität 2365.4.1 Grundlagen, Sensitivitätsmaße 2365.4.2 Testen von Deformationsmodellen 2395.4.3 Sensitivität und Hauptkomponenten 242

5.5 Literaturhinweise 243

6 Transformationen 249

6.1 Ähnlichkeitstransformation 2506.1.1 HELMERT-Transformation 2536.1.2 Modifizierte HELMERT-Transformationen 2546.1.2.1 Gewichtete HELMERT-Transformation 2546.1.2.2 Netzverschmelzung 257

6.2 Affintransformation 2626.2.1 Die affine Abbildung 2626.2.2 Strecken Verzerrung 2686.2.3 Winkel Verzerrung 2696.2.4 Flächen Verzerrung 2716.2.5 Berechnung der Verzerrungsmatrix 2726.2.6 Weitere Verformungsparameter 2786.2.7 Auswirkung von Ähnlichkeits- und Datums trän sformationen 279

6.3 Literaturhinweise 281

7 KALMAN-Filterung 285

7.1 Das Problem des Navigators 286

7.2 Beziehungen zwischen KALMAN-Filterung und DIN 1319 2887.2.1 DIN 1319 - Grundnorm der Auswertung von Messungen 2887.2.2 Übertragung der Grundgedanken auf das KALMAN-Filter 292

Inhaltsverzeichnis ]}

13 Zustandsschätzung im GAUSS-MARKOV-Mode 11 2947.3.1 Ausgleichungsansatz und rekursive Filtergleichungen 2947.3.2 Statistische Innovationsbewertung und Filterredundanzen 297

7.4 Allgemeine Formulierung des KALMAN-Filters 3037.4.1 Formulierung der Systemgleichung 3037.4.2 Adaptive Erweiterung des Filteransatzes 306

7.5 Anwendungsmöglichkeiten bei Überwachungsmessungen 309

7.6 Literaturhinweise 316

8 Zeitreihenanalyse 319

8.1 Darstellungen einer Zeitreihe im Zeitbereich 3198.1.1 Autokovarianzfunktion 3218.1.2 Kreuzko varianzfunktion 3278.1.3 Füllen von Datenlücken 329

8.2 Darstellungen einer Zeitreihe im Frequenzbereich 3328.2.1 Grundlagen und Begriffe 3338.2.2 Leistungsspektrum 3368.2.2.1 Das WIENER-CHINTCHIN-Theorem 3378.2.2.2 Interpretation des LeistungsSpektrums 3398.2.2.3 Berechnung und Schwierigkeiten der Interpretation 3408.2.2.4 Fast-FOURIER-Transformation 3488.2.3 Periodogramm 3508.2.4 Spektrale Analyse langer Perioden 351

8.3 Filterung einer Zeitreihe 3538.3.1 Bedeutung der Filterung 3558.3.2 Grundlegende Beziehungen bei der Filterung von Zeitreihen 3578.3.2.1 Darstellungen im Zeitbereich 3578.3.2.2 Darstellung im Frequenzbereich 3588.3.3 Beispiel zur mathematischen Filterung einer Zeitreihe 3618.3.4 Physikalische Filter 364

8.4 Literaturhinweise 366

9 Das Kongruenzmodell zur Analyse geodätischer Über-wachungsnetze 369

9.1 Das Basismodell 370

9.2 Der Globaltest 3739.2.1 Ausgleichung der Einzelepochen 374

12 Inhaltsverzeichnis

9.2.2 Hypothesenformulierung und Testentscheid 3759.2.2.1 Explizite Hypothesenformulierung 3759.2.2.2 Implizite Hypothesenformulierung 3809.2.2.3 Datumsinvariante Funktionen 3819.2.2.4 Durchführung des Tests 383

9.3 Lokalisierung der Deformationen 3859.3.1 Prinzipielles Vorgehen 3859.3.2 KlaffungsZerlegung und Lokalisierung 3869.3.2.1 Näherungsweise Lokalisierung 3869.3.2.2 Lokalisierung durch Klaff ungs Zerlegung nach GAUSS 3889.3.2.3 Lokalisierung durch Klaff ungs Zerlegung nach CHOLESKY 3919.3.2.4 Klaffungszerlegung auf spektraler Basis 3939.3.2.5 Lokalisierung mit Hilfe datumsinvarianter Elemente 3939.3.2.6 Lokalisierung bei implizit formulierter Nullhypothese 3949.3.3 Stabilitätsanalyse von Punktgruppen und Teilnetzen 3949.3.3.1 Zweistufiger Netzaufbau 3959.3.3.2 Rückwärts- und Vorwärtsstrategie 3959.3.4 Deformationsanalyse bei mehreren Messepochen 3979.3.5 Endgültige Ausgleichung, graphische Darstellung und Bewer-

tung der Deformationsvektoren 3999.3.5.1 Endgültige Ausgleichung 3999.3.5.2 Deformationsellipsen 4009.3.5.3 Stochastische Bewertung der Deformationsvektoren 4019.3.5.4 Spektrale Betrachtung 402

9.4 Generalisierung des Deformationsfeldes und geometrische In-terpretation 403

9.4.1 Allgemeiner Ansatz 4049.4.1.1 Allgemeine Polynomentwicklung 4049.4.1.2 Schätzbarkeit der Polynomkoeffizienten 4069.4.1.3 Generalisierung durch Kollokation 4079.4.2 Rigide Blockbewegungen 4079.4.3 Strainanalyse 409

9.5 Literaturhinweise 412

10 Kinematische Modellierung 419

10.1 Das einfache kinematische Modell 42010.1.1 Kinematische Netzbetrachtung 42110.1.2 Das zeitliche Referenzsystem 42310.1.3 Erweiterte Modelle 424

10.2 Aufdatierung durch KALMAN-Filtertechniken 427

Inhaltsverzeichnis 73

10.2.1 Prädiktionsgleichung 42710.2.2 Messgleichung 42810.2.3 Aufdatierung im KALMAN-Filter 429

10.3 Aufbereitung von Messreihen 43110.3.1 Approximation durch geschlossene Polynome 43210.3.1.1 Gewöhnliche Polynomapproximation 43210.3.1.2 Approximation periodischer Vorgänge 43310.3.1.3 Polynomapproximation mit Kollokation 43410.3.2 Approximation durch stückweise Polynome 43610.3.2.1 Das Polygon 43610.3.2.2 Kubische Splines 43610.3.2.3 Rationale und ausgleichende Splines 438

10.4 Kinematische Anwendung der Zeitreihenanalyse 440

10.5 Literaturhinweise 445

11 Statische Modellierung 447

11.1 Prädiktionsgleichung 448

11.2 Messgleichung 451

11.3 Ein Beispiel 452

11.4 Aufdatierung, Modellbeurteilung 454

11.5 BackAnalysis 455

11.6 Strain- und Stressanalyse 456

11.7 Literaturhinweise 457

12 Dynamische Modellierung 461

12.1 Abgrenzung zum kinematischen und statischen Modellansatz 461

12.2 Systemtheoretische Grundlagen des dynamischen Systems 462

12.3 Nichtparametrischer Ansatz durch Verhaltensmodelle 464

12.4 Parametrischer Ansatz durch Strukturmodelle 468

12.5 Generalisierung 472

12.6 Literaturhin weise 472

14 Inhaltsverzeichnis

13 Hinweise auf Anwendungen und Ausblick 475

13.1 Möglichkeiten und Ziele geodätischer Überwachungsmes-sungen 475

13.1.1 Aktueller Stand der Messtechnik 47613.1.2 Aktueller Stand der Auswertetechnik 47613.1.3 Möglichkeiten und Ziele dynamischer Modellierungen 477

13.2 Hinweise auf Anwendungen 47913.2.1 Ingenieurbau werke 47913.2.2 Natürliche Phänomene 481

13.3 Interdisziplinäre Zusammenarbeit 485

13.4 Literatur 486

Anhang: Literaturhinweise - Abkürzungen 493

Sachverzeichnis 495