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Helwig Hauser Teil 2: Kurven und Flächen Teil 2: Kurven und Flächen Parametrische Objekte

Helwig Hauser Teil 2: Kurven und Flächen Parametrische Objekte

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Helwig Hauser Teil 2: Kurven und Flächen

Teil 2: Kurven und Flächen

Parametrische Objekte

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Helwig Hauser Teil 2: Kurven und Flächen

Kurven und FlächenKurven: 1D-ObjekteFlächen: 2D-Objekte,

basierend auf Kurven

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Helwig Hauser Teil 2: Kurven und Flächen

KurvenWelche Form der Darstellung?

Beispiel: 2D-Linie Explizit: y = k·x + d x =

(x, y)T

Implzit: a·x + b·y + c = 0auch: x·n = p·n n = (a, b)T

p·n = – c

Parametrisch: x(t) = p + t·v v·n = 0

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Helwig Hauser Teil 2: Kurven und Flächen

Definition: x(t) – Punktdef. in Abh. von kontinuierlichen

Parameter t x(t) & t[a,b] parametrische Kurve Startpunkt x(a), Endpunkt x(b) Beispiel: x(t) = p + t·v (Linie)

Tangente in x(t): x(t) = d x(t) / d t = Ableitung von x nach t Beispiel: x(t) = v (Tangentenvektor)

Parametrische Kurven (1)

.

.

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Helwig Hauser Teil 2: Kurven und Flächen

Parametrische Kurven (2)2 Stetigkeitsqualitäten: mathematisch: x(t) restriktiver geometrisch: x(t) / | x(t) | schwächer

Attribute höherer Ordnung: Krümmung Torsion

.

. .

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Arten von KurvenInterpolierende Kurven: Kurve geht durch vorgegebene

Punkte pi

Approximierende Kurven: Kurve wird von Punkten pi

beeinflußt

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Helwig Hauser Teil 2: Kurven und Flächen

Attribute von KurvenKurvenpunkte: Startpunkt, Endpunkt Kurvenevaluation

Tangenten: Startrichtung, Endrichtung Tangenten an beliebigen Kurvenpunkt

Stetigkeit: geometrisch, mathematischGrad: Differenzierbarkeit, smoothness

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Spline-Kurven: Stetigkeiten

(a) C0-Stetigkeit

(b) C1-Stetigkeit

(c) C2-Stetigkeit

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Helwig Hauser Teil 2: Kurven und Flächen

PolynominterpolationGegeben: Anzahl von PunktenGesucht: Interpolierendes Polynom p(x) = a + b·x + c·x2 + … + q·xn

2 Punkte – Linie: n = 1 3 Punkte – Quadratisch Kurve: n = 2

Berechung: Lösung eines linearen Gleichungssystems

Beurteilung: Überschwingen (), nur gut, wenn n klein

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Spline-Kurven (1)Kombination aus TeilkurvenKontrollpunkte werden: approximiert interpoliert

Einfluß der Kontrollpunkte: global: Bézier-Kurve lokal: B-Spline-Kurve

Unterschiedlicher Grad

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Spline-Kurven: Beispiele2 Bsp. f. kubische Spline-Kurven

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Spline-Kurven (2)Ansatz: Zusätzlich zu Kontrollpunkten bi auch: Einflußfunktionen: Basis-Funktionen Bi,n

Definition: b(t) = 0in bi·Bi,n(t)

Beispiel: Bernstein-Polynome (Bézier-Kurve)

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Spline - convex hull property

Kurve bleibt i. d. konvexen Hülle

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Bézier-Kurven (1)Spline-Approximation:

Bernstein Polynome:

b(t) = 0in biBi,n(t) 0t1

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Kubische Bézier-Kurven – Bernsteinpolynome

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Bézier-Kurven: Beispiel

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Bézier-Kurven (2)Design mit Bézier-Kurven: closed Bézier

curves multiple control

points

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Bézier-Kurven (3)Design mit Bézier-Kurven Bézier verbinden (C0, C1 Stetigkeit)

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Bézier-Kurve: AlgorithmenDe Casteljau-Algorithmus: Evaluation bei Parameter t Rekursiver Ansatz

Degree elevation: Mehr Kontrollpunkte, selbe Kurve

Subdivision: Teilung der Kurve, bzw. Kurvenevaluation

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Helwig Hauser Teil 2: Kurven und Flächen

Nächste Stufe: B-Spline KurvenBézier-Kurven: globaler EinflußBrauchbarer: B-Spline Kurven: Jeder Kontrollpunkt hat nur lokalen Einfluß Grad unabhängig von Anzahl der Pkte.

Rationale Kurven: Erweiterung von Bézier-Kurven und

B-Spline Kurven Ein Gewicht pro Kontrollpunkt NURBS = „Standard“ in CAD, CAGD, etc.

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Bézier-Patch (1)Kartesisches Produkt v. Bézier-Kurven

(m+1)x(n+1) Kontrollpunkte

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Bézier-Patch (2)Eigenschaften wie Bézier-Kurve

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Quadric Surfaces (1)

Definition “quadrics”: Gleichung 2-ter

Ordnung

Beispiel: Kugel

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Quadric Surfaces (2)2. Beispiel: Ellipsoid

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Quadric Surfaces (3)3. Beispiel: Torus