Hinweise zur Beurteilung von Messungen,Messergebnissen und Messabweichungen,

Fehlerbetrachtung

1. LiteraturW. Walcher, Praktikum der Physik, TeubnerD. Geschke, Physikalisches Praktikum, TeubnerH. Kuchling, Taschenbuch der Physik, Harri Deutsch

Deutsches Institut für Normung DIN 1319L.Sachs, Statistische Methoden, SpringerJ.R.Taylor, Fehleranalyse, VCHW.H.Gränicher, Messung beendet was nun, VDF

2. Gründe für Messabweichungen

Physikalische Messungen sind nur in sehr seltenen Fällen frei von Abweichungen vom "wah-ren" Wert. Um die Abweichungen abschätzen zu können, ist es notwendig sie nach formalenKriterien zu klassifizieren:Da sind zunächst Abweichungen, die auf dem Versagen des messenden Physikers oder seinerApparatur beruhen, etwa wenn man 1.50 V statt 1.05 V abliest oder aufschreibt. Man kannsie weder vollständig vermeiden noch mit einer auf Mathematik fußenden Theorie sinnvollbearbeiten. Ihr Auftreten und ihr Schaden wird jedoch begrenzt, wenn man sorgfältig arbeitetund wichtige Arbeitsgänge unabhängig wiederholt. Dieser Typ der Abweichungen, den wir alsgrobe Fehler bezeichnen wollen, sei im folgenden im Vorfeld durch eine visuelle Plausibilitäts-betrachtung der Messwerte erledigt. Diese Vereinbarung sei getroffen, nicht weil wir und unsereApparatur so gut sind, dass uns solche Fehler nicht unterlaufen könnten, sondern weil sie sicheiner vernünftigen physikalisch - mathematischen Behandlungsweise entziehen (nicht hingegeneiner wissenschaftlichen schlechthin; die Fehler etwa des Menschen am Arbeitsplatz spielen inder Ergonomie, der Lehre von den "richtigen" menschlichen Arbeitsbedingungen, eine wichtigeRolle).Die handhabbare Art von Abweichungen, und das sind in der Regel die meisten mit denenwir es im Praktikum oder die Physiker in Forschung und Anwendung zu tun haben, beru-hen auf Unvollkommenheiten unserer Messgeräte und unserem Umgang mit ihnen. Deshalbwerden sie treffender nicht als "Messfehler" sondern als Messabweichungen bezeichnet. Esist also einleuchtend, dass man bereits bei der Geräteauswahl darauf achten sollte, keine ge-wissermaßen "groben" Messinstrumente für empfindliche Messungen zu verwenden. So sindAnalog-Instrumente nicht beliebig genau abzulesen und Digital-Instrumente zur Beobachtungschnell veränderlicher Größen ungeeignet. Trotzdem gilt dass meist das genauere Messgeräteteurer sind.

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Neben der Genauigkeit der verwendeten Messgeräte spielt aber auch deren Einfluss auf dengemessenen Vorgang eine Rolle. So kann das Messinstrument z.B. als zusätzlicher "Verbrau-cher" elektrischer Energie auftreten, sein Einfluss muss dann rechnerisch eliminiert werden,was weitere Ungenauigkeiten nach sich ziehen kann. Dieser Typ von Mess-Abweichung istkein Mess-Fehler - der ermittelte Wert liegt ja zum Zeitpunkt der Messung real vor - trotz-dem ist es eine Abweichung von dem gewünschten Messergebnis, da man sich ja eigentlichfür den "ungestörten" Zustand interessiert. Diese Beeinflussung der Messung kann übrigens inden meisten makroskopischen Fällen fast beliebig klein gemacht werden, jedoch niemals zuNull. Die quantenmechanisch begründete HEISENBERG’sche Unschärferelation erzwingt eineBeeinflussung der Messung durch das Messgerät.Schließlich gibt es noch Schwankungen des Messwertes selbst. Dies sind im Grunde eigent-lich keine Mess-Abweichungen, da ja der momentan vorliegende Messwert korrekt ermitteltwird. Meist ist man jedoch an der zu Grunde liegenden physikalischen Größe, oft dem Mittel-wert, interessiert und nicht an der aktuellen Fluktuation. Das wohl wichtigste Beispiel dafür istdie Zerfallskonstante des radioaktiven Zerfalls. Die einzelnen gemessenen Zerfälle folgen per-fekt statistischen Gesetzen und schwanken dementsprechend. Die Messung einzelner Zerfällekann mit sehr hoher Präzision erfolgen und entsprechend ist es möglich aus wenigen Ereignis-sen eine scheinbar beliebig genaue Zerfallskonstante zu ermitteln. Eine neue Messserie lieferthingegen eine scheinbar genauso präzise jedoch abweichende Zerfallskonstante. Bei der Be-stimmung der Genauigkeit der aus den Messwerten errechneten Zerfallskonstante muss also diestatistische Natur des Prozesses berücksichtigt werden, die Messabweichung selbst - verursachtdurch die Genauigkeit der Zeitmessung - spielt praktisch keine Rolle.

3. Systematische und Statistische Fehler

Bei der Behandlung von Messabweichungen ist es zweckmäßig zwischen zwei Typen von Ab-weichungen zu unterscheiden, die eingangs beschriebenen groben Fehler des Messenden seiendabei bereits aussortiert:

Statistische Fehler

Dieser Typ von Abweichungen kann vermindert werden, indem man unter ”gleichen Bedin-gungen” die Messung wiederholt. Die Abweichung ist nicht durch einen dauerhaften falschenZustand des Messgerätes, z.B. eine falsche Eichung, hervor gerufen, sondern durch eine imaktuellen Messvorgang begründete sich zeitlich verändernde Abweichung.

Systematische Fehler

Diese Art von Abweichung verringert sich nicht, sooft man auch die Messung wiederholt. Ei-ne zumindest über den Zeitraum der Wiederholungen gleichbleibende abweichende Anzeigedes Messgerätes liegt vor. Detaillierte Kenntnisse der Messbedingungen und des Messgeräteserlauben manchmal ein Ersetzen der Abweichung durch eine Korrektur.

Hier ein Beispiel:

Mit einem Lineal als Messgerät soll die Länge eines Aluminiumquaders gemessen werden. Zudiesem Zweck legt man das Lineal mit dem Nullpunkt der Skala an das eine Ende des Quadersund liest am anderen Ende des Quaders auf der Skala den Messwert ab.

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Abbildung 1. Längenmessung

Fehlerquellen:

1. Das Anlegen des Lineals an den Quader (Nullposition) erfolgt mit einer gewissen Genau-igkeit die in das Ergebnis eingeht. Dieser Vorgang wird sicher zu einem anderen Ergebnisführen wenn man ihn wiederholt, ist also statistischer Natur.

2. Das Ablesen am anderen Ende des Lineals wird bei einer Wiederholung zu einem neuenErgebnis führen, ist also ebenfalls statistischer Natur.

3. Weitere Abweichungen liegen in der Eichung des "Messgerätes" begründet: Wurde bei derHerstellung des Lineals die Skala in "falschem Abstand" aufgedruckt, so werden alle Mes-sungen mit diesem einen Lineal ein spezifisches falsches Ergebnis liefern. Diese Abwei-chung ist von systematischer Natur. Ohne eine Wiederholung des Herstellungsprozesseswird sich an der falschen Eichung nichts ändern.

4. Schließlich kann die Eichung des Lineals zunächst mit nur geringer Abweichung erfolgtsein, aber das verwendete Material hat einen großen thermischen Ausdehnungskoeffizien-ten. Findet die Messung bei einer anderen Temperatur statt, so ergibt sich eine Abweichung,die für diese Temperatur reproduzierbar ist, also eine systematische Abweichung. Einenähnlichen Einfluss kann die Luftfeuchtigkeit haben oder Alterungsprozesse im Trägermate-rial.

Dabei wird sichtbar, wie die Genauigkeit eines so einfachen Vorgangs von den Details abhängt.So ist es möglich die Abweichungen vom Typ 1 und 2 durch eine entsprechend hohe Zahl vonVersuchen praktisch zu Null zu machen, aber es setzt voraus, dass man den gesamten Vorgangdes Anlegens des Lineals wiederholt. Liest man nur mehrfach hintereinander den Messwert ab,so wird zwar der Fehler 2 reduziert - vorausgesetzt man ist diszipliniert genug wirklich eineneue Schätzung bei der Ablesung vorzunehmen - aber der Fehler 1 bleibt bestehen. Hier wärees sehr nützlich, den Beobachter auszutauschen, damit dieser wirklich unvoreingenommen andie neue Messung herangeht.Die Abweichung vom Typ 4 ist sehr ambivalent. Hat man keine Informationen über den Zu-sammenhang zwischen Temperatur und Messwert, so gilt obige Beschreibung. Manchmal istjedoch der Temperaturgang eines Messgerätes vom Hersteller vermessen. Oder im einfachstenFall wie dem Lineal ist der Ausdehnungskoeffizient des Trägermaterials bekannt. Kennt mandann auch die Temperatur bei der Messung, kann man diese Abweichung durch eine Korrekturersetzen und von der Liste der Abweichungen streichen.Ist die Temperaturabhängigkeit des Messgerätes nicht bekannt, aber man hat die Möglichkeitdie Temperatur zu variieren, so kann man eine Mittelung über die Temperatur durchzuführen.Damit wird aus der systematischen Abweichung eine statistische die sich durch eine höhereZahl von Versuchen (hier bei wechselnden Temperaturen) reduzieren lässt.

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4. Zweck der Fehlerbetrachtung, Aufwand

Spätestens aufgrund des aufwendigen obigen Beispiels stellt sich die Frage wozu die Fehlerbe-trachtung dient:Handelt es sich bei obigem Quader um ein Verkleidungs-Blech dessen Länge und Breite sowie-so nur auf ±1mm genau sein muss, so erübrigt sich praktisch die gesamte Fehlerbetrachtung.Ist die Längenmessung jedoch Teil der Dichte-Bestimmung eines Quaders um zu testen obin einem Goldbarren billige Materialien enthalten sind, so gibt es Sinn obige Untersuchungenmöglichst genau durchzuführen, wobei als Messgerät in diesem Fall anstelle des Lineals ver-mutlich eine große Messleere sinnvoll ist.

Ein anderes Beispiel:Der Durchmesser eines Kolbens in einem Motor soll bestimmt werden, um sicherzu-stellen, dass er den vorgegebenen Toleranzbereich einhält. Werden die Abmessungen zuUnrecht als außerhalb der Toleranz bestimmt, so ist das teuer da der Kolben fälschlichweggeworfen wird. Wird hingegen der Kolben zu Unrecht als "gut" gekennzeichnet, soist vielleicht die Lebensdauer des Motors so stark reduziert, dass der Hubschrauber inden der Motor eingebaut wird abstürzt.

Man sieht an den Beispielen, dass Fehlerbetrachtungen ganz eng mit ökonomischen Gesichts-punkten verknüpft sind, und dass es meist nicht ausreicht - wie bei Physikern oft gängige Pra-xis eine ”obere Abschätzung” für die Abweichung zu machen. Das wird auch sofort sichtbarwenn man die Abweichung versucht durch eine höhere Zahl von Messungen zu reduzieren: einepräzise Fehlerabschätzung ermöglicht eine geringere Zahl von Messungen, da der "Sicherheits-spielraum" entfällt.Dieser Effizienzgesichtspunkt sollte auch in der Art der Fehlerbestimmung zum Tragen kom-men: es gibt keinen Sinn auszurechnen ob die Abweichung einer Längenmessung ±1% beträgtoder ±1,1%, Ausnahmen bestätigen hier allerdings die Regel.

5. Abschätzung der Fehler bei Einzelmessung

Bei der Längenmessung mit dem Lineal in unserem Quader-Beispiel ergebe sich als Messwert

l = 355,4mm

Zur Bestimmung der Genauigkeit von 1 kann man probeweise den Quader etwas verschiebenund betrachten, wie weit man in der Lage ist eine Verschiebung zu registrieren. Da in der linkenPosition die Papierkante mit einem Strich auf dem Lineal zusammenfällt, ist es sicher möglichAbweichungen in der Größenordnung der Strichdicke also von ±0.1 mm festzustellen.Die Bestimmung der Abweichung 2 ist schwieriger, da ein entsprechender Vergleichs-Strichnicht zur Verfügung steht. Man muss also die Skala zwischen zwei Millimeterstrichen inter-polieren. Eine Unterscheidung zwischen der Mittelposition also 1/2 und einer 1/4 Position,erscheint auch noch möglich. Wesentlich genauer - etwa die Unterscheidung ob der Strich eherbei 0.3 oder bei 0.4 liegt ohne einen Vergleichs-Strich bei 0.5 zur Verfügung zu haben - scheintkaum möglich.Also: geschätzte Genauigkeit ±0.2 mm.Die Abweichung von dem Messwert soll im folgenden mit dem Operator ∆ gekennzeichnetwerden. Also für die Länge l±∆l. Die geschätzte statistische Abweichung beträgt daher:

∆lstat1 = 0,1mm

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∆lstat2 = 0,2mm

Methoden zur Ermittlung der Gesamtabweichung, die auch den systematischen Anteil enthältwerden später diskutiert.

Grobe Anhaltspunkte für die statistische Genauigkeit einer Einzelmessung:

— Reaktionszeiten mit einer Stoppuhr liegen bei 0,2 bis 0,3 Sekunden, wenn Zeit-Differenzengemessen werden sind die Abweichungen kleiner, da sich bis auf die Schwankungen dieReaktionszeit herausmittelt.

— Die Position von zwei parallelen versetzten Strichen kann typisch mit einer Genauigkeit vonder halben bis ganzen Strichbreite bestimmt werden.

— Die Position eines Strichs zwischen zwei Endwerten kann durch Interpolation auf typisch20% bis 50% des Abstandes zwischen den Strichen bestimmt werden, bei kleiner Strich-breite geht es besser.

Zusätzliche Schwierigkeiten sind möglich durch Parallaxe-Probleme.Eine Abschätzung seiner persönlichen Fähigkeit bestimmte Strichpositionen zu ermitteln kannman Mehrfachablesung des gleichen Messwerts durch andere Personen erhalten. Optische Täu-schungen sind so allerdings nicht auszuschließen.Ein Abschätzung seiner persönlichen Reaktionszeit kann man erhalten, indem eine Personplötzlich ein Lineal fallen lässt - an der Wand aufgelegt -, das die andere Person mit dem Dau-men versucht am ”Durchfallen” zu hindern. Aus Fallstrecke und Erdbeschleunigung ergibt sichdie Reaktionszeit s = 1

2gt2 .

Schätzungen der statistischen Abweichungen gehen nur dann in die Berechnungder Gesamtabweichung ein wenn keine genaueren Informationen vorliegen, insbe-sondere wenn es nicht möglich oder zu aufwendig ist Mehrfachmessungen durch-zuführen.

6. Reduktion der statistischen Fehler durch Mehrfachmessung

6.1. Mittelwert und Erwartungswert

Wiederholt man Messungen an demselben Messobjekt mit demselben Messgerät unter gleichenBedingungen, so werden sich die einzelnen Messwerte xi trotzdem aufgrund der unterschiedli-chen statistischen Abweichung voneinander unterscheiden. Sie streuen um einen Mittelwert x,der sich mit wachsender Zahl n der Messungen dem wahren Wert xe (dem Erwartungswert derMessgröße) nähert.Wenn keine besonderen Umstände vorliegen die eine spezielle Wichtung der Abweichung not-wendig machen, verwendet man die einfachste Mittelung, das arithmetische Mittel:

x =1n·

n

∑i=1

xi

Betrachten wir wieder die Längenmessung in unserem Quader-Beispiel. Es werden nun 30 Ein-zelmessungen durchgeführt deren Ergebnisse in Tabelle 1 dargestellt sind. Für den Mittelwerterhalten wir l = 355,62mm.Bildet man die Abweichungen

∆xi = (xi− x)

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Pos. Messwert Abweichung

1 355,6 -0,022 355,8 0,183 355,5 -0,124 355,6 -0,025 355,6 -0,026 355,9 0,287 355,5 -0,128 355,4 -0,229 355,6 -0,0210 355,7 0,0811 355,6 -0,0212 355,9 0,2813 356,0 0,3814 355,6 -0,0215 355,3 -0,3216 355,7 0,0817 355,8 0,1818 355,6 -0,0219 355,4 -0,2220 355,5 -0,1221 355,6 -0,0222 355,7 0,0823 355,7 0,0824 355,5 -0,1225 355,4 -0,2226 355,5 -0,1227 355,7 0,0828 355,6 -0,0229 355,6 -0,0230 355,7 0,08

Tabelle 1. Messwert-Tabelle zur 30-fachen Längenmessung eines Quaders. Die Abweichung ist die Dif-ferenz des i-ten Messwertes vom Mittelwert li

(∆li = li− l

). Mittelwert l = 355,62mm, Standardabwei-

chung s = 0,16mm

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der einzelnen Messwerte vom Mittelwert, so hat das arithmetische Mittel x die Eigenschaft,dass die Summe dieser Abweichungen verschwindet

n

∑i=1

∆xi = 0

Da durch quadrieren alle Einzelabweichungen positive Vorzeichen haben, ist dagegen die Sum-me der Quadrate der Abweichungen nicht verschwindend solange auch nur einer der Einzel-Messwertevom Bezugswert abweicht:

n

∑i=1

(∆xi)2 =

n

∑i=1

(xi− x)2 6= 0

Eine weitere Eigenschaft dieser Summe ist, dass sie genau für den Mittelwert x als Referenzwertminimal wird, d.h. ersetzt man x durch einen anderen Bezugswert x , so wird die Summe größer.Diese Eigenschaften machen sie geeignet als Maß zu dienen für die Streuung der Messwerteum den Mittelwert, wie im nächsten Kapitel diskutiert.

6.2. Die Standardabweichung

Ein Maß für die Abweichung der einzelnen Messwerte vom Mittelwert ist die Standardabwei-chung s:

s =

√∑

ni=1 (xi− x)2

n−1

Die Standardabweichung s ist eine positive Größe die genau dann zu Null wird wenn alleMesswerte übereinstimmen.

Als Beispiel sei angenommen, dass die Messwerte nur die diskreten Zahlenwerte 5 und6 annehmen können, der wahre Wert aber genau in der Mitte bei 5,5 liegt. Man erwartetdann wenn man lange genug misst gleich viele Messwerte 5 wie 6, als Mittelwert also5,5. Die Standardabweichung des Einzelwertes s also die mittlere Abweichung jedeseinzelnen Messwertes vom Mittelwert - würde sich dann wie zu erwarten einpendelnbei s =

√0,52 = 0,5.

Dies gilt jedoch nur für n → ∞ . Insbesondere divergiert s für n = 1.! Das liegt daran, dass sdefiniert ist als die Abweichung vom Mittelwert und nicht vom wahren Wert xw. Der Faktor

1n−1 berücksichtigt genau diesen Unterschied. Es handelt sich daher genau genommen um eineSchätzung der Abweichung, die für eine einzelne Messung nicht durchführbar ist. Ersetzt manx durch xw so kann man auch den Faktor in 1

n korrigieren und es ergibt sich fürn = 1 die zu er-wartende Abweichung. Das Quadrat dieses Wertes wird in der Literatur als Varianz bezeichnet.Die Gleichung der Standardabweichung kann so umgeformt werden, dass der Mittelwert zu-nächst nicht benötigt wird. Da er zu Beginn meist unbekannt ist, bietet diese Notation rechen-technisch erhebliche Vorteile:

s =

√n ·∑n

i=1 x2i − (∑n

i=1 xi)2

n · (n−1)

Die Standardabweichung s des Einzelwerts beantwortet also die Frage:

— Wie weit weicht typisch ein einzelner Messwert xi vom Mittelwert x ab?

Dies ist zur Beurteilung des Messwertes von Interesse. Weit wichtiger ist hingegen die Frage-stellung die von der Standardabweichung des Mittelwerts beantwortet wird:

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Abbildung 2. Histogramm der Längenmessung mit zugehöriger Normalverteilung

— Wie weit weicht typisch der Mittelwert x aller Messungen vom wahren Wert xw ab?

Es ist ersichtlich, dass diese Abweichung mit zunehmender Zahl der Messungen immer kleinerwerden sollte, der Mittelwert nähert sich immer mehr dem wahren Wert an. Bei große Zahlengilt für die Standardabweichung des Mittelwerts:

∆x = x− xw = s · 1√n

Wie in obigem Beispiel deutlich gemacht, ist die Standardabweichung des Einzelwerts eineGröße die von Schwankungen abgesehen - von der Zahl der Messwerte unabhängig ist, währenddie Abweichung zwischen wahrem Wert und gemessenem Mittelwert, die Standardabweichungdes Mittelwerts, mit der Wurzel der Zahl der Messwerte sinkt.

6.3. Die Normalverteilung

Die Standardabweichung ist ein Maß für die mittlere Abweichung der Messwerte vom wah-ren Wert. Es gibt natürlich Messwerte die weniger abweichen und die mehr abweichen, ihreHäufigkeit ist unterschiedlich. Geht die Zahl der Messwerte n → ∞, so würde jeder einzelnenMesswert mit einer Häufigkeit h vorkommen, der Wahrscheinlichkeitsdichte. Im vorliegendenFall ist die Dichte durch die GAUSS’sche Normalverteilung gegeben:

h(x) =e−

(x−x)2

2·x2

s ·√

2 ·π

Der Verlauf wird oft als Glockenkurve bezeichnet. Die Gauß-Funktion ist symmetrisch um denMittelwert x und so normiert, dass alle Messwerte genau einmal auftauchen. Dies ist identischmit der Aussage, dass das Integral von h(x) zwischen −∞ und +∞gerade 1 ergibt.Abb. 2 zeigt eine solche Kurve, in die auch die einzelnen Messwerte des Quader-Beispiels ausTabelle 1 als Histogramm eingetragen sind.

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1−α = 68,26% 1−α = 90% 1−α = 95% 1−α = 99% 1−α = 99,5% 1−α = 99,73%n t t√

n t t√n t t√

n t t√n t t√

n t t√n

2 1,84 1,30 6,31 4,46 12,71 8,98 63,66 45,01 127,32 90,03 235,80 166,703 1,32 0,76 2,92 1,69 4,30 2,48 9,93 5,73 14,09 8,13 19,21 11,094 1,20 0,60 2,35 1,18 3,18 1,59 5,84 2,92 7,45 3,73 9,22 4,615 1,15 0,51 2,13 0,95 2,78 1,24 4,60 2,06 5,60 2,50 6,62 2,966 1,11 0,45 2,02 0,82 2,57 1,05 4,03 1,65 4,77 1,95 5,51 2,258 1,08 0,38 1,90 0,67 2,37 0,84 3,50 1,24 4,03 1,42 4,53 1,60

10 1,06 0,34 1,83 0,58 2,26 0,71 3,25 1,03 3,69 1,17 4,09 1,2913 1,05 0,29 1,78 0,49 2,18 0,60 3,05 0,85 3,43 0,95 3,76 1,0420 1,03 0,23 1,73 0,39 2,09 0,48 2,86 0,64 3,17 0,71 3,45 0,7730 1,02 0,19 1,70 0,31 2,05 0,37 2,76 0,50 3,04 0,56 3,28 0,6032 1,02 0,18 1,70 0,30 2,04 0,36 2,74 0,49 3,02 0,53 3,26 0,5850 1,01 0,14 1,68 0,24 2,01 0,28 2,68 0,38 2,94 0,42 3,16 0,4580 1,00 0,11 1,66 0,19 1,99 0,22 2,64 0,30 2,89 0,32 3,10 0,35100 1,00 0,10 1,66 0,17 1,98 0,20 2,63 0,26 2,87 0,29 3,08 0,31125 1,00 0,09 1,66 0,15 1,98 0,18 2,62 0,23 2,86 0,26 3,08 0,27200 1,00 0,07 1,65 0,12 1,97 0,14 2,60 0,18 2,48 0,20 3,04 0,21

Tabelle 2. Werte für die Studentfunktion t und t√n bei verschiedenen Vertrauensniveaus. n ist die Anzahl

der durchgeführten Messungen

Die Breite der Häufigkeitsverteilung wird bestimmt durch den Parameter s, der Standardabwei-chung. Je größer s desto breiter die Kurve. Im Abstand s vom Mittelwert aus gerechnet befindetsich der Wendepunkt der Kurve. Berechnet man die Fläche bis zu diesem Wert, so ergibt sich:

1s ·√

2 ·π·Z x+s

x−sexp

{−(x− x)2

2 · s2

}dx = 0,683

Die Wahrscheinlichkeit, einen Messwert im Intervall von x− s bis x + s zu finden beträgt also68.3 % für n→ ∞. Gebräuchliche Intervalle sind:1-fache Standardabweichung (x+ s) bis (x− s) 68,3 %2-fache Standardabweichung (x+2s) bis (x−2s) 95,5 %3-fache Standardabweichung (x+3s) bis (x−3s) 99,7 %

Für eine kleine Zahl von Messwerten muss man einen Korrekturfaktor t - die Studentfunktion -einführen. Für die Standardabweichung des Mittelwerts gilt dann:

∆x = s · t√n

Dieser Wert ist der Konfidenzbereich auf dem Vertrauensniveau 68,3%. Wie zu erwartenergibt sich z.B.für n→ ∞ und 68,3 % Vertrauensniveau t = 1 oderfür n→ ∞ und 99,7 % Vertrauensniveau t = 3,d.h. die Korrektur verschwindet. Für kleine Zahlen und hohe Vertrauensniveaus hingegen wirddie Korrektur erheblich:Für n = 2 und 99,7 % ist der Korrekturfaktor 236

3 = 79Andere Werte für t können der Tabelle 2 entnommen werden.

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Für unser Quader-Beispiel ergeben sich also folgende Werte:

n = 30x = 355,62

s = 0,16t = 1,02 für 68 %

∆x = 0,030 für 68 %

Mit einer Wahrscheinlichkeit von 68,3 % liegt der wahre Wert der Rechtecklänge l zwischen355,59mm und 355,68mm.Will man sicher gehen und setzt das Vertrauensniveau auf 99,7%, so gilt:

t = 3,29 für 99,7%∆x = 0,096 für 99,7%

Es sei hier noch betont, dass keineswegs jede zufällige Abweichung einer GAUSS’schen Nor-malverteilung folgen muss. Ob das im konkreten Fall zutrifft kann durch geeignete Testverfah-ren (z.B. den χ2 -Test) ermittelt werden, für die jedoch auf die Literatur verwiesen wird.

7. Systematische Fehler

7.1. Übersicht

In den beiden letzten Kapiteln wurden statistische Abweichungen behandelt, einerseits die Ab-weichungen der Einzelmessung die lediglich geschätzt werden können und andererseits Abwei-chungen bei Mehrfachmessungen soweit sie einer GAUSS’schen Normalverteilung gehorchen.Der mindestens ebenso wichtige Teil der systematischen Abweichungen folgt keiner allgemei-nen Regel, was jedoch nicht heißt, dass man ihn nicht doch beikommen kann. Folgende Ansatz-punkte sind ohne Anspruch auf Vollständigkeit aufgelistet:

— Fehlerangaben des Herstellers für das MessgerätToleranzklassen auf elektrischen MessinstrumentenEichkurven mit Fehlerangaben

— Nichtlineare Skalen, ungenaue Beschriftungen— Beeinflussung der Messung durch den Messvorgang

Innenwiderstand bei Amperemetern oder VoltmeternReibung bei DrehzahlmessernReibung bei Kraftmessern

— Einflüsse von UmgebungsparameternTemperaturLuftfeuchtigkeitAlterungelektrische FelderMagnetfelderStreulichtSchwerkraft

Grundsätzlich gehört jedoch viel Erfahrung zum Erkennen insbesondere der systematischenFehler:

Es gibt kein Kriterium festzustellen wann man alle Messfehler erkannt hat.

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aber

Durch systematische Analyse können die meisten Messfehler abgeschätzt werden.

Da grundsätzlich Messwerte nur einen Aussagewert haben wenn ihre Genauigkeit und der Gül-tigkeitsbereich bekannt sind, macht diese prinzipiell fehlende Ausschluss-Möglichkeit uner-kannter Messabweichungen physikalische Messungen zu Aussagen, die von der Erfahrung desMessenden und Auswertenden abhängen. Es ist daher gerade bei wenig experimenteller Erfah-rung wesentlich, verstärkt das Augenmerk auf das Erkennen systematischer Abweichungen zurichten.

Es ist eine wesentliche Aufgabe des Praktikums Erfahrung zu vermitteln bei der Bewer-tung von Messergebnissen.

7.2. Herstellerangaben

In vielen Fällen liegen Angaben des Messgeräte-Herstellers vor, aus denen direkt die Genauig-keit des Messgerätes hervorgeht. Dabei sind einige wichtige Begriffe zu beachten:

— Die Auflösung.Dies ist die offensichtlichste Eigenschaft eines Messgerätes.Wenn auf einer digitalen Skala, z.B. einer Uhr, nur 4 Stellen angegeben sind, dann ist esschlicht nicht möglich mehr Stellen abzulesen. Diese kleinste Einheit der letzten Stelle einesdigitalen Messgerätes wird auch als ”1 Digit” bezeichnet. Die Auflösung eines digitalenMessgerätes beträgt also im Normalfall ±1 Digit.Ein analoges Messgerät hat natürlich auch eine Auflösung, sie ergibt sich aus dem Abstandzwischen 2 Zeigerpositionen die mit dem Auge noch gut aufgelöst werden können.

— Die Reproduzierbarkeit.Wenn man mehrfach eine Messung unter absolut gleichen Bedingungen wiederholt, so istdies der maximale Unterschied dieser Messungen. Es ist sozusagen der (pseudo-) statisti-sche Anteil des systematischen Fehlers. Der statistische Beitrag des Messenden ist hier ab-getrennt. Ein typisches Beispiel ist die Reibung eines Zeigerinstrumentes. Es handelt sichnicht um einen statistischen Fehler, da nicht sichergestellt ist, dass eine Wiederholung derMessung ein anderes Ergebnis liefert: Wenn man sich dem Messwert immer von der ”klei-nen Seite” nähert wird immer der kleine Wert angezeigt. Trotzdem ist dieser Fehler norma-lerweise nicht reproduzierbar, wenn man andere im Prinzip äquivalente Messbedingungenwählt.Die Reproduzierbarkeit ist eigentlich die wichtigste Eigenschaft eines Messgerätes. Alleanderen Abweichungen kann man durch Eichen gegen ein genaueres Messgerät eliminieren.

Meist werden Messgeräte an 2 Punkten geeicht, bei Null und bei Vollausschlag. EntsprechendeFehler ergeben sich:

— Der Skalierungsfehler.Der wichtigste und am häufigsten abgegebene Fehler eines Messgerätes ist dessen Abwei-chung vom Sollwert bei Vollausschlag. Fehler des Eichnormals gehen hier ein, oder ungenaudefinierte Bauelemente. Dieser Fehlertyp trägt mit wachsendem Messwert proportional zurGesamt-Abweichung bei. Entsprechend wird er meist durch eine Prozentangabe beschrie-ben, also ein relativer Fehler (siehe nächstes Kapitel).

— Der Nullpunktsfehler.Da am Nullpunkt definitionsgemäß der Messwert 0 vorliegen soll, spielt das Eichnormalkeine Rolle mehr. Übrig bleibt z.B. die Temperatur- oder Alterungsdrift der Bauteile. Bei

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den meisten modernen Messgeräten ist diese Abweichung deutlich kleiner als die Abwei-chung bei Vollausschlag. Vom Typ her ist dies ein absoluter Fehler (siehe nächstes Kapitel).

— Die Fehlerklasse.Diese Art der Fehlerangabe ist typisch für alte analoge Messgeräte. Klasse 1 ist äquivalent zueinem prozentualen Fehler von Vollausschlag im entsprechenden Messbereich. Klasse 1 bei30 V Vollausschlag entspricht also einer absoluten Ungenauigkeit (siehe nächstes Kapitel)von 0,3 V in diesem Messbereich, unabhängig vom Messwert. Oft sind diese Angaben nochan eine Gebrauchslage des Gerätes gekoppelt.

— Die Nichtlinearität.Eichen am Nullpunkt und am Skalenendpunkt bietet natürlich noch nicht die Gewähr fürgeringe Abweichung dazwischen. Normalerweise berechnet sich der systematische Fehleraus Nullpunktsfehler + (Messwert Skalierungsfehler). Dies ist äquivalent zu einer linearenNäherung. Abweichungen von dieser einfachen Annahme werden als Nichtlinearitäten be-zeichnet.

— Die Beeinflussung des Messwertes.Dieser Anteil ist naturgemäß Messgrößenspezifisch. Ein Beispiel ist der Innenwiderstandeines Voltmeters oder Amperemeters.

8. Absoluter und relativer Fehler, Stellenzahl

Die Angabe von Fehlern kann auf mehrere Arten erfolgen. Die einfachste Art ist die Angabedes Fehlers als

— Absoluter Fehler z.B. 355,62±0,03mmDabei wird einfach an den ermittelten Wert der Größe mit einem ±-Zeichen die Abwei-chung in der gleichen Einheit angehängt.Oft erfolgt die Angabe der Abweichung als Anteil der Größe:

— Relativer Fehler z.B. 355,62mm±0,008%Die Vorteile der relativen Fehler-Angabe liegen auf der Hand:— Genauigkeitsangaben als relative Größe sind sehr anschaulich, Prozentzahlen unter∓0,1%

zeigen sofort kritische oder unrealistische Stellen auf.— Fehlerangaben werden benennungslos.— Die Fortpflanzung des relativen Fehlers erfolgt bei sehr vielen physikalischen Gesetzen

extrem einfach: Er bleibt bei Produkten und Quotienten gleich (wird noch gezeigt).Der zweite und dritte Punkt machen eine relative Fehler-Angabe zwingend, um die Bedeu-tung eines Einzel-Fehlers für das Gesamtergebnis beurteilen zu können.

In unserem Quader-Beispiel bedeutet es, dass die Messung auf wenigstens ±0,5K genau beider gleichen Temperatur durchgeführt werden muss bei der der (Eisen-)Maßstab geeicht wurde,sonst erhöht sich der Fehler um weitere 0,001 % durch thermische Ausdehnung. Alternativkann man natürlich aufwendigeres Material verwenden, aber das ist meist nicht realistisch. (fürTemperaturen sind relative Angaben schwierig, wegen des Nullpunktes der Celsiusskala.)In diesem Zusammenhang ist interessant, dass Präzisions-Mikrometerschrauben den Messbügelmit Plastik ummantelt haben um eine Aufheizung durch die Hand zu reduzieren.Schließlich ist es zweckmäßig den Fehler einer Messgröße auch implizit in Form von signifi-kanten Stellen einer Zahl anzugeben.

— Impliziter Fehler z.B. 355,62 mm und nicht 355,6 mm oder 355,620 mmDiese Form der Fehlerangabe sollte immer durchgeführt werden, insbesondere bei der Über-nahme von Werten vom Taschenrechner, sonst setzt man sich leicht der Lächerlichkeit aus:

12

Errors:

"Step inside, ladies and gentleman," said the museum attendant," and see the dinosaurierskeleton, which is 200.000.001 years old."

"How are you so certain of its age?" asked a visitor.

"Well," he replied, "last year when I started this job it was 200.000.000 years old."

Im Praktikum gilt:

— Größenangaben mit zu vielen insignifikanten Stellen sind falsch— Wo möglich sollen ”mathematische Vorsilben” verwendet werden.

Die Angabe 0,35562m ist gerade noch lesbar, besser wäre 35,562m (wenn der Wert wirklich sogenau ist). Angaben wie 4,66 ·10−7m für die Lichtwellenlänge hingegen sind zwar formal kor-rekt, aber ohne Gehirnakrobatik nicht mehr verarbeitbar. So wie man die Entfernung von Mün-chen nach Hamburg weder in Lichtjahren noch in Millimetern angibt sondern in km - auch weildann automatisch kein Problem mit insignifikanten Stellen entsteht - so sollte man Lichtwellen-längen in nm angeben→ 466nm. Völlig indiskutabel sind Schreibweisen wie 4,66E−7m oder466E− 9m (Wenn Sie Ihr Textverarbeitungs-Programm nicht im Griff haben, dann schreibenSie die Ausarbeitung mit der Hand !). Für andere Zahlen und Größen gilt das natürlich analog.

9. Vorgehen zum Aufspüren von Fehlerquellen

In Kapitel 7 wurden diverse mögliche Fehlerquellen diskutiert, aber auch gesagt, dass es keineverlässliche Methode gibt um systematische Abweichungen zu detektieren. Zur Sicherstellungeines Mindeststandards soll im Praktikum folgender Algorithmus bei der Fehleranalyse jederEinzelgröße durchlaufen werden:

Systematischer Fehler:

— Nähern Sie den Fehler durch einen festen Anteil (Nullpunkt) und einen skalierenden Anteil(Skala). Das entspricht einer linearen Näherung

— Eliminieren Sie den Nullpunktsfehler durch eine Eichprozedur. Zeigt z.B. ein Messgerätkonstant 0,1 V an, so ziehen Sie diesen Wert vom Messergebnis ab.

— Legen Sie für den Skalenfehler einen Wert fest, aus Herstellerangaben, aus der Praktikums-anleitung, durch Fragen des Betreuers, durch Schätzung.

Statistischer Fehler:

— Reduzieren Sie den statistischen Anteil des Fehlers durch eine ausreichende Zahl von Ver-suchen.

— Bilden Sie bei nicht abhängigen Größen Mittelwerte, verwenden Sie bei korrelierten Größeneine Regressionsgerade zur Verknüpfung der Einzelmessungen.

— Bestimmen Sie den statistischen Fehler aus der Standardabweichung des Mittelwerts, fallsSie mehrere Messungen zur Verfügung haben.

— Schätzen Sie den statistischen Fehler falls das Erheben vieler Einzelmessungen zu viel Auf-wand bedeutet.

13

10. Fehlerfortpflanzung

10.1. Größtfehlerbetrachtung

Bereits in dem ersten sehr simplen Beispiel in dem die Länge eines Quaders gemessen wurdezeigte sich, dass sich Messabweichungen aus einzelnen Beiträgen zusammensetzen. Man ist je-doch meist an der Gesamt-Genauigkeit einer Größe interessiert die sich mittels einer Formel auseinzelnen Mess-Größen ergibt und es stellt sich die Frage nach der Verknüpfung der einzelnenAbweichungen.Der einfachste Ansatz ist:

Alle Abweichung aller beteiligten Größen tragen voll zur Gesamt-Abweichung bei undbeeinflussen sich nicht gegenseitig.

Rechnerisch umgesetzt wird dies indem im ersten Schritt für jede einzelne Größe eine Gesamt-abweichung aus allen bekannten Abweichung durch Aufsummation gebildet wird. Im nächstenSchritt wird in der Formel aus der sich die resultierende Größe ergibt jede beteiligte Größe soeingesetzt, dass das Ergebnis maximal wird. Dieser Vorgang wird wiederholt mit dem Ziel dasErgebnis zu minimieren.Erweitern wir unser Quader-Beispiel:Statt einer Kantenlänge soll die Dichte bestimmt werden. Dazu misst man die Ausdehnung inden 3 Dimensionen und die Masse.

ρ =m

x · y · zUm die maximale Dichte zu erhalten muss man berechnen:

ρ+ =m+∆m

(x−∆x) · (y−∆y) · (z−∆z)

Die minimale Dichte ergibt sich aus

ρ− =m−∆m

(x+∆x) · (y+∆y) · (z+∆z)

Für die Abweichungen der Einzel-Größen wird dabei jeweils die Aufsummierung der Abwei-chungen eingesetzt (die Nummerierung entspricht der Aufzählung zu Beginn) :

∆x = ∆xstat1 +∆xstat2 +∆xsyst3 +∆xsyst4

Dieses Verfahren berücksichtigt weder bei der Aufsummierung noch bei der Fortpflanzungder Abweichung den statistischen Zusammenhang der einzelnen Beiträge wie er z.B. in derGAUSS’schen Normalverteilung zum Ausdruck kommt. Es liefert daher im Allgemeinen zugroße Werte.Darüber hinaus ergeben sich technische Probleme bei der Berechnung des größten oder klein-sten Wertes wenn z.B. die entsprechende Größe in einer Summe sowohl im Zähler als auchim Nenner steht. Es ist dann unklar ob ein Minus oder ein Plus-Zeichen den kleinsten bzw.größten Wert liefert. Dieses Verfahren ist daher nur für Notfälle geeignet, liefert jedoch oft einebrauchbare Abschätzung.

10.2. Fortpflanzung der Abweichungen mittels partieller Ableitungen

Im folgenden wird angenommen eine gesuchte physikalische Größe g werde nicht direkt ge-messen, sondern über einen gesetzmäßigen Zusammenhang aus mehreren direkt gemessenenGrößen x, y, z,.... berechnet:

g = g(x,y,z)

14

Weiter wird angenommen die Messgrößen1 x, y und z werden mittels normalverteilter Messse-rien bestimmt. Dann kann den Mittelwert g für die gesuchte Größe g bestimmt werden, indemdie einzelnen Mittelwerte in die Funktion g einsetzt werden:

g = g(x,y,z)

Weiter sollen die Messgrößen x, y und z voneinander statistisch unabhängig sein. Dann kanndie Gesamt-Abweichung aus folgender Formel bestimmt werden:

∆g =

√∆x2 ·

(∂g∂x

)2

+∆y2 ·(

∂g∂y

)2

+∆z2 ·(

∂g∂z

)2

Obige Formel ist unter der Bezeichnung ”GAUSS’sche Fehlerfortpflanzung” für den Spezialfallder Standardabweichung bekannt.Die Ausdrücke (∂g/∂x),(∂g/∂y) und (∂g/∂z) stehen für die partiellen Ableitungen der Funk-tion g(x,y,z), abgeleitet nach der jeweils im Nenner stehenden Variablen. Partielles Ableitenunterscheidet sich von ”normalem” Ableiten lediglich dadurch, dass die abzuleitende Größemehrere Variablen hat nach denen abgeleitet werden kann und jeweils eine dieser Variablenaktuell herausgegriffen wird.Diese Quadrate der Ableitungen bilden die Wichtungsfaktoren vor den einzelnen Messfehlern.Damit sie angewandt werden können müssen für alle noch vorkommenden Variablen nach demAbleiten die Werte einsetzen werden, bei denen der Vorgang stattgefunden hat. In den meistenFällen wird dies der zugehörige Mittelwert der Größe sein. Der resultierende Wichtungsfaktorbeschreibt den Einfluss der Einzel-Abweichung auf die Gesamt-Abweichung.Betrachten wir wieder unser Quader-Beispiel bei dem wir die Dichte bestimmen wollen:Die partielle Ableitung nach der Masse m lautet:

∂ρ

∂m=

1x · y · z

Die partielle Ableitung nach x lautet (die anderen Dimensionen entsprechend):

∂ρ

∂x=−1x· m

x · y · z

Damit ergibt sich für die Unsicherheit der Dichte:

∆ρ =

√∆x2

(−1x· m

x · y · z

)2

+∆y2(−1y· m

x · y · z

)2

+∆z2(−1z· m

x · y · z

)2

+∆m2(

mx · y · z

)2

In dieser Gleichung muss jetzt jeweils durch Einsetzen der Mittelwerte in die partiellen Ablei-tungen der quadratische Koeffizient zu den einzelnen Messabweichungen ermittelt werden. DerRest ist Fußarbeit. Im Folgenden wird noch eine elegantere Methode zur Lösung des Problemsgezeigt werden.

Wichtige Konsequenzen dieses Ansatzes:

— Zur Minimierung des Messaufwandes ist sollte man bei Verbesserungen an der Stelle anset-zen an der das Produkt aus Abweichung und Wichtungsfaktor am größten ist.

— Die Wichtungen sind nicht dimensionslos

1 Wegen der besseren Übersichtlichkeit beschränken wir uns im folgenden auf nur drei Größen x , y und z

15

Dieser letzte Punkt erscheint nebensächlich, hat jedoch massive Konsequenzen:Als Beispiel sei der Einfluss der Winkelabweichung eines Drehtellers auf eine Größe gegeben.Dabei trete in der Gleichung eine Winkelfunktion sin(α) auf. Leitet man diese Funktion nach aab, so ergibt sich cos(α). Der Messwert habe eine Unsicherheit von ∆α = 0,1◦. Setzt man jetztscheinbar völlig konsistent bei der Berechnung des Wichtungsfaktors und der Abweichung dieWerte jeweils in Grad ein, so ist das Ergebnis trotzdem um den Faktor 57 falsch!Der Grund, die Bildung der Ableitung erfolgte in rad! Hätte man in Grad rechnen wollen sowäre es notwendig gewesen bereits beim Ableiten sin(α) zu ersetzen durch sin

( 2π

360 · r), wobei

r die Repräsentation von α im Winkelmaß sei. Entsprechend hätte der Korrekturfaktor 2π

360 einenBeitrag beim Nachdifferenzieren geliefert.

Obige Fortpflanzung der Abweichung ersetzt die Größtfehlerbetrachtung in zweierlei Hinsicht:

— Man spart das primitive und manchmal nicht durchführbare Einsetzen in die Gleichungdurch Berechnung einer Wichtung durch partielles Ableiten.Dies ist in allen Anwendungsfällen sinnvoll.

— Man ersetzt das oft überbewertende ”lineare Addieren” durch ein ”quadratisches Addieren”,das die GAUSS’sche Normalverteilung berücksichtigt.Falls diese statistische Normalverteilung nicht vorliegt, muss man die Wichtung kombinie-ren mit einer linearen Addition.

10.3. Wichtige Spezialfälle bei der Fortpflanzung der Abweichungen

In der Praxis kann sich die Ermittlung der partiellen Ableitungen recht aufwendig gestalten.Vereinfachungen ergeben sich wenn der Zusammenhang zwischen der gesuchten Größe g undden direkt gemessenen Größen durch bestimmte einfache Funktionen gegeben ist:

— Die gesuchte Größe ist die Summe oder die Differenz der Messgrößen:

g =±x± y± z

Dann sind die partiellen Ableitungen +1 oder −1, also gilt:

∆g =√

(∆x)2 +(∆y)2 +(∆z)2

Alle Wichtungsfaktoren sind hier 1. Die Gesamtabweichung ist die quadratische Summeder absoluten Einzelabweichungen.

Ein wichtiges Beispiel:Auf einer Skala liest man an 2 Positionen den Messwert ab und ist an der Differenz in-teressiert: g(x) = x2− x1 Beide Messwerte haben die gleiche Genauigkeit ∆x. Dann gilt∆g =

√∆x2 +∆x2 =

√2 ·∆x .

— Die gesuchte Größe ist das Produkt oder der Quotient der Messgrößen:

g =x · y

zMit etwas Rechenakrobatik kann man zeigen:

∆gg

=

√(∆xx

)2

+(

∆yy

)2

+(

∆zz

)2

Alle Wichtungsfaktoren sind hier gx , g

y · · · Die Gesamtabweichung ist die quadratischeSumme der relativen Einzelabweichungen.

16

Wieder die Dichte in unserem Quader-Beispiel:Wir nehmen an, dass jede Kante des Quaders durch Ablesen eines beliebig aufgelegtenMaßstabs gemessen wird. Dann kann man dem absoluten Messfehler einer Kante wie in demletzten Beispiel aus den beiden Einzelmessungen bei Position 1 und 2 mit gleicher Messab-weichung zusammensetzen: ∆x =

√2 ·∆x1. Die relative Messabweichung einer Kante ergibt

sich aus den beiden Messungen zu:

∆xx

=√

2 · ∆x1

x2− x1

Die anderen Kanten entsprechend. Damit ergibt sich die Gesamtabweichung der Dichte:

∆ρ

ρ=

√2 ·

(∆x

x2− x1

)2

+2 ·(

∆yy2− y1

)2

+2 ·(

∆zz2− z1

)2

+(

∆mm

)2

Nehmen wir an die weiteren Kanten der Quader wären jeweils nur 1/2 bzw. 1/3 so lang, derrelative Fehler also entsprechend doppelt oder dreifach so groß:

∆xx

= 0,00008,∆yy

= 0,00016,∆zz

= 0,00024

Dann ergibt sich für den Anteil der Kantenmessung aus obigem Beispiel:

∆ρVolumenρ

=√

2 ·0,000082 +2 ·0,000162 +2 ·0,000242 = 0,00042

Das entspricht einem Fehler des Volumens von 0,04%. Dazu kommt jetzt der Fehler derMassenbestimmung. Unser Goldbarren hat ein Volumen von ca. 7,496 l. Die Dichte vonGold ist 19,320 kg/dm3 (die von Wolfram übrigens 19,350) . Der Klotz hat also stolze144,8 kg Masse. Damit scheidet eine Analysewaage eindeutig aus. Die Frage lautet: Wiegenau muss unsere Waage sein um zwischen Gold und Wolfram unterscheiden zu können ?Wir benötigen eine Genauigkeit der Dichte von 1− 19,350

19,320 = 0,0016 wenn wir annehmender ganze Quader bestünde aus Gold oder Wolfram. Also

∆mm

=

√(∆ρ

ρ

)2

−(

∆VV

)2

=√

0,00162−0,00042 = 0,0015

Eine Waage die deutlich genauer als 0,15% misst bei 150 kg Traglast ? Das scheint machbar,es entspricht 100 g Absolut-Genauigkeit. Eine normale Personenwaage, selbst eine geeichte,reicht allerdings dafür schon nicht mehr. Nimmt man hingegen an, der Fälscher hätte nur10% des Goldes durch Wolfram ersetzt, so müsste die Waage auf 10 g genau sein. Gelängedas nicht, würde der Verlust von 15 kg Gold mit etwa 150.000.- zu Buche schlagen (DerGoldpreis liegt bei typisch 10 Euro/g, der von Wolfram bei 7 Euro/kg).Aus dem obigen Beispiel kann man erkennen, dass es nichts bringt eine der Größen sehrgenau zu messen und die anderen nicht. Wir hatten jeweils 30 Messungen aller Kantendurchgeführt und das bei weniger als ±0.5 K Temperaturdifferenz, eine fast unlösbare Auf-gabe. Wenn wir dem keine entsprechend genaue Waage an die Seite stellen können war dieganze Mühe umsonst.Weiter kann man erkennen:

Soweit irgend möglich, ist es zweckmäßig die Fortpflanzung der Abweichungen inEinzelschritte aufzuspalten, die sich durch Addition der absoluten Fehler und durchAddition der relativen Fehler jeweils einfach durchführen lassen.

17

— Die gesuchte Größe ist ein Produkt von Potenzen der Messgrößen:

g = xa · yb · zc

wobei die a, b, c positiv oder negativ sein können.

∆gg

=

√a2

(∆xx

)2

+b2(

∆yy

)2

+ c2(

∆zz

)2

Die Gesamtabweichung ist dann diequadratische Summe der relativen Einzelabweichungen mit dem Quadrat der Expo-nenten gewichtet.

11. Verknüpfung von statistischen und systematischen Abweichungen

Bisher wurden in den meisten Beispielen statistische Abweichungen betrachtet. Die systemati-schen Abweichung spielen hingegen oft die wesentlichere Rolle. Prinzipiell ist es jedoch not-wendig zunächst beide Anteile zu bestimmen, um dann das weitere Vorgehen danach auszu-richten.

Systematische Abweichungen entziehen sich naturgemäß einer statistischen Behand-lung. So kann man insbesondere nicht von der Annahme ausgehen, dass es unwahr-scheinlich ist, alle Abweichungen der beteiligten Einzelgrößen seien gleichzeitig extre-mal.

Wieder unser Quader-Beispiel:Eine Veränderung der Umgebungstemperatur bei der Messung zieht eine Abweichung allerLängenmessungen gemeinsam nach sich, da der Maßstab natürlich bei jeder Messung ”falsch”geeicht ist. Man muss also in diesem Fall davon ausgehen, dass die Abweichungen nicht qua-dratisch addiert werden dürfen, sondern linear addiert werden müssen. Der Einfluss jeder Ein-zelabweichung muss voll auf die Gesamt- Abweichung durchschlagen.Im Fall einer systematischen Abweichung der Längenmessung durch einen nicht gleichmäßiggeteilten Maßstab erscheint es jedoch sinnvoll anzunehmen, dass je nach Position die Abwei-chung unterschiedlich ist. Entsprechend kann man auch davon ausgehen, dass nicht gerade alleAbweichungen zum gleichen Zeitpunkt in die gleiche Richtung gehen. Hier ist also eine qua-dratische Addition sinnvoll.Es hängt also vom Einzelfall ab welche Methode der Fortpflanzung bei einer systematischenAbweichung angewandt werden muss. Die lineare Addition bei potentiell statistisch gekoppel-ten Vorgängen oder die quadratische Addition bei definitiv statistisch unabhängigen Vorgängen.

LineareAddition∆g = ∆x+∆y+∆z

QuadratischeAddition∆g =√

(∆x)2 +(∆y)2 +(∆z)2

Im Einzelfall kann es sehr schwer sein zu entscheiden welche Methode die angemessene ist.Die gleiche Problematik gilt auch für die Verknüpfung von systematischer und statistischerAbweichung. Die FrageIst die statistische Abweichung von der systematischen Abweichung statistisch unabhängigist letztlich nicht beantwortbar. Entsprechend werden in der Literatur auch beide Meinungenvertreten.Hier im Praktikum soll aus Gründen der Vereinfachung folgender Algorithmus gelten:

18

1. Bestimmung der statistischen Abweichung aus allen Einzel-Größen mittels quadratischerAddition

2. Bestimmung der systematischen Abweichungen aus allen Einzel-Größen mittels linearerAddition

3. Verknüpfung der statistischen und der systematischen Abweichung mittels linearer Addition

So ist es einerseits möglich zu entscheiden ob eine Genauigkeitssteigerung durch Mehrfach-messungen oder Experimentverbesserung einen Sinn ergibt, andererseits werden Fehler ver-mieden, die auftreten, wenn gemischte Abweichungen anschließend in Mehrfachmessungenfortgepflanzt werden.In der folgenden grafischen Zusammenstellung des Algorithmus ist die Ermittelung der Ein-zelfehler ∆x, ∆y, ∆z getrennt nach statistischem und systematischem Anteil wie in Kapitel 9vorausgesetzt, einschließlich der anschließenden Zusammenfassung z.B. nach Kapitel 12.

12. Verknüpfung mehrerer gleicher Größen mit unterschiedlichenAbweichungen, der gewichtete Mittelwert

Hat man für eine Messgröße mehrere Werte zur Verfügung so scheint dies zunächst unproble-matisch, es ergibt sich die Möglichkeit der Mittelwertbildung, die egal welche Abweichungdominiert sicher ein genaueres Ergebnis zu liefern scheint als jeder der Einzelwerte. Die ein-fache Mittelwertbildung setzt jedoch voraus, dass jeder der Messwerte die gleiche Genauigkeitaufweist.Angenommen eine Person misst eine Länge einmal und eine weitere Person führt eine Messrei-he mit 100 Messungen durch. Bildet man in diesem Fall den einfachen Mittelwert, so weichtdas Ergebnis mit sehr hoher Wahrscheinlichkeit weiter vom wahren Wert ab als der Wert der100-fachen Mehrfachmessung. Es gilt also die Beiträge bei der Mittelwertbildung geeignet zuwichten. Dazu dient der gewichtete Mittelwert:

x = ∑ni=1 wi · xi

∑ni=1 wi

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mitwi =

1

(∆xi)2

also dem Abweichungsquadrat. Für die Genauigkeit des gewichteten Mittelwertes gilt:

∆x =1√

∑ni=1 wi

Sind alle Wichtungsfaktoren wi gleich, so geht der gewichtete Mittelwert wieder in den ”nor-malen” Mittelwert über und dessen Abweichung sinkt wieder mit der Wurzel der Zahl der Mes-sungen.Man kann den gewichteten Mittelwert streng herleiten für normalverteilte Abweichungen, erwird jedoch mangels Alternativen auch sinnvoll auf andere statistische und systematische Ab-weichungen angewandt. Vor einer Anwendung ist jedoch zu prüfen, ob die unterschiedlichenMesswerte mit den zugehörigen Konfidenzbereichen überlappen, ansonsten liegt eine nicht er-kannte zusätzliche Abweichung vor, z.B. ein grober Fehler.Erneut unser Quader- Beispiel.Wir zerlegen unsere 30 Messwerte in 2 Gruppen, Gruppe A von 1-20 und Gruppe B von 21-30.Damit ergeben sich folgende Werte:

Gemeinsam A B A+BZahl der Messwerte 30 20 10 30

Mittelwert [mm] 355,620 355,630 355,600 355,613Standardabweichung [mm] 0,16 0,18 0,11

Konfidenzbereich [mm] 0,030 0,042 0,035 0,027

Hier zeigt sich dass die Aussagen statistischer Natur sind. Die Spalte "Gemeinsam" ist diebekannte Auswertung, die Spalte "A+B" ist auf dem Umweg der Zerlegung der Messwerte inzwei Gruppen entstanden. Beide Spalten sollten das gleiche Ergebnis liefern wenn es sich umnormalverteilte Messwerte handelt. Durch die Zerlegung hat sich jedoch der Mittelwert um0,007 mm verkleinert und gleichzeitig ist der Konfidenzbereich geschrumpft.Offensichtlich sind die gebildeten Untergruppen aufgrund der kleinen Fallzahl nicht mehr hin-reichend gut normalverteilt. Dies ist bereits in der Standardabweichung der Gruppe A sichtbar,die deutlich "zu klein" ist. Man sieht jedoch auch, dass dies die Gesamtaussage nicht wirklichgefährdet. Alle Mittelwerte liegen in den entsprechenden Konfidenzbereichen.

13. Korrelierte Messwerte

13.1. Grafische Darstellung, Ausgleichsgerade

Alle bisherigen Betrachtung gehen von Messgrößen aus, die jeweils unabhängig voneinanderaufgenommen werden. Die Verknüpfung geschieht im nächsten Schritt bei der Auswertung.Alternativ kann der vermutete formelmäßige Zusammenhang jedoch auch in die Messung in-tegriert werden. Bei der Bestimmung der Dichte eines Körpers bedeutet dies, dass man nichtnur bei einem Volumen misst, sondern die Massen von verschiedenen Volumina bestimmt undjeweils den resultierenden Quotienten vergleicht. Der Vorteil dieser Methode gegenüber einerpunktuellen Messung liegt in einer Überprüfung des postulierten formelmäßigen Zusammen-hangs. Bestimmte Typen von Fehlern äußern sich bei dieser Methode auch in spezifischenAbweichungen, wodurch Aussagen über die Ursachen möglich werden. Ein weiterer Vorteilder Methode ist die Möglichkeit der grafischen Darstellung der Gesetzmäßigkeit die erheblichanschaulicher ist als reine Zahlen.

20

Abbildung 3. Konstruktion einer Ausgleichsgeraden (Erläuterung im Text)

Die einfachste denkbare Beziehung zwischen 2 Messgrößen ist die lineare Abhängigkeit. Ma-thematisch wird sie beschrieben durch ein Polynom 1. Ordnung mit 2 freien Parametern a0 unda1, eine Gerade:

y(x) = a0 +a1 · x

Nimmt man Messwerte auf, die einer solchen Gesetzmäßigkeit genügen, so ist es sinnvoll diesein einer graphischen Darstellung aufzutragen. Man trägt meist auf der horizontalen Achse (Ab-szisse) die unabhängigen Werte, also die x-Werte auf und auf der vertikalen Achse (Ordinate)die abhängigen Werte, also die y-Werte.Die Position der Messwertepaare xi, yi kennzeichnet man in der von den Achsen aufgespanntenFläche mit einem Symbol, z.B. einem kleinen Kreuz, einem Stern oder einem dicken Punkt.Dabei erhöht es die Übersichtlichkeit wenn man unterschiedliche Symbole für unterschiedli-che Messreihen verwendet, z.B. wenn verschiedene Personen Messungen durchgeführt haben.In Abb. 3 ist eine solche Messung gezeigt. Man kann deutlich erkennen, dass die Messwertevoneinander abhängig sind, dass sie also keine unstrukturierte Punktwolke bilden.In unserem Fall vermuten wir einen linearen Zusammenhang und passen daher zunächst gra-fisch eine Gerade an die Messwerte an, in Abb. 3 ist dies die durchgezogene Linie, die Aus-gleichsgerade. Als grober Anhaltspunkt für die Lage dieser Geraden sollte gelten, dass im Mit-tel auf beiden Seiten der Geraden eine ähnliche Zahl von Punkten vorliegt und diese Punktenatürlich möglichst nahe an der Geraden liegen.Aus dieser Geraden ermittelt man die beiden Koeffizienten a0 und a1 indem man an die Geradeein Steigungsdreieck anlegt und dieses ausmisst. Dabei sollte man ein möglichst großes Dreieckwählen, um die Messfehler bei der Auswertung klein zu halten. Das Dreieck liefert die Steigunga1 der Geraden, der Schnittpunkt mit der vertikalen Achse den Achsenabschnitt a0.Wenn für die Messwerte-Paare Informationen über die Genauigkeit vorliegen, so werden diesein der Zeichnung durch Fehlerbalken berücksichtigt. Ein Fehlerbalken kennzeichnet auf derZeichnung den Konfidenzbereich des Messwertes in der zugeordneten "Richtung". Ein Feh-lerkreuz entsteht durch das Anbringen von je einem Fehlerbalken für x- und y-Wert in ei-nem Mess-Punkt. Diese Fehlerkreuze sind ein wesentliches Hilfsmittel beim Einzeichnen der

21

Ausgleichs-Geraden. Für ein hohes Konfidenzniveau, z.B. die 3-fache Standardabweichung,muss gelten:

Die Ausgleichs-Gerade schneidet alle Fehlerbalken mit Standardabweichung 3s.

Gelingt es nicht eine solche Gerade zu finden, so kann dies heißen, dass

— kein linearer Zusammenhang vorliegt.

Das Auftragen der Position über die Zeit bei einer gleichmäßig beschleunigten Be-wegung führt natürlich zu einer Parabel und nicht zu einer Geraden. Entsprechenddarf es bei ausreichend hoher Messgenauigkeit nicht gelingen durch die Messwerteeine Gerade zu legen.

— Ausreißer, also grobe Fehler, vorliegen.

Dies erkennt man daran, dass einzelne Messwerte erheblich von der Geraden abwei-chen und alle anderen Messwerte gut innerhalb der Fehlerbalken mit der Geradenübereinstimmen. Ausreißer belässt man zwar in der Zeichnung, kennzeichnet sieaber und berücksichtigt sie nicht bei der Bestimmung der Geraden.

— nicht erkannte systematische Fehler einfließen.

Dann ist die Phantasie des Auswertenden gefragt.

— die Standardabweichung falsch ermittelt wurde.

Entweder liegt keine Normalverteilung der statistischen Abweichungen vor oder Siehaben sich einfach verrechnet.

Eine grobe Abschätzung für die Messunsicherheiten der Steigung a0 und des Achsenabschnittsa1 erhält man, durch zwei begrenzende (Fehler-)Geraden mit minimaler und maximaler Stei-gung, die etwa zwei Drittel der Punkteschar umfassen.

13.2. Lineare Regression

Neben der grafischen Auswertung die unabdingbar ist um Ausreißer zu entdecken, ist die rech-nerische Auswertung notwendig. Sie geht nach dem gleichen Prinzip vor, ist jedoch objektiver.Bei einer Regressions-Geraden wird unterschieden zwischen einer abhängigen und einer unab-hängigen Variablen. Von der abhängigen Variablen y wird angenommen, dass sie mit Abwei-chungen behaftet ist, die unabhängige Variable x wird als genau betrachtet. Der Abstand jedesMesspunktes von der Geraden in Richtung der abhängigen Variablen y wird ermittelt und qua-dratisch aufsummiert. Die Regressionsgerade ist diejenige, bei der diese Summe am kleinstenist. Das Prinzip heißt Methode der kleinsten Quadrate.Für einem Datensatz x,y gibt es somit immer 2 Regressions-Geraden, je nachdem welche Va-riable man als abhängig und welche als unabhängig betrachtet. Die beiden Geraden sind nurgenau dann identisch wenn sowieso alle Punkte auf der Geraden liegen.Zur Berechnung der Geraden (abhängige Variable y) benötigt man die Koeffizienten- Determi-nante

D = n ·∑x2i −

(∑xi

)2

Damit ergibt sich

a0 = ∑x2i ·∑yi−∑xi ·∑xiyi

D

a1 =n∑xiyi−∑xi ∑yi

D

22

Die Standardabweichung ist wie im Fall eines unabhängigen Messwertes definiert als die qua-dratische Summe der Abweichung des y-Messwertes zum y-Schätzwert. Der Schätzwert ergibtsich natürlich nicht mehr aus dem Mittelwert sondern aus der "Mittelwert"-Geraden.

sy =

√∑(yi− (a0 + xia1))

2

n−2

Da damit zusätzliche Unsicherheit hinzukommt, die verwendete Gerade ist ja nur ein Schätz-wert, wird aus dem Normierungs-Faktor 1

n ein 1n−2 .

Hier wird nochmal deutlich, dass die beiden Variablen keineswegs gleichwertig sind:

Nur der abhängigen Variablen y ist ein Fehler zugeordnet.

Für die Genauigkeit der Parameter ergibt sich:

∆a0 = sy

√∑x2

iD

∆a1 = sy

√nD

Hat man zu Beginn der Auswertung eine Punktwolke vorliegen, so ist zunächst die wesentlich-ste Fragestellung:

Liegt ein linearer Zusammenhang vor ?

Der Korrelationskoeffizient gibt bedingt darüber Auskunft:

r2 = a1 · a1

Er ist das geometrische Mittel der Steigung der Regressions-Geraden zur abhängigen Variableny und zur abhängigen Variablen x. Er kann Werte annehmen zwischen 0 und 1. Ohne das hiernäher zu begründen gilt:

r2 = 0 gar keine Korrelation, perfekte Unordnungr2 = 0,3 sehr geringe Korrelationr2 = 0,7 deutliche Korrelation, aber starke Schwankungenr2 = 0,8 gute Korrelation wenn nur statistische Abweichungenr2 = 0,9 schlechte Korrelation wenn keine stat. Abweichungenr2 = 1,0 alle Punkte auf einer Geraden, perfekte Korrelation

Ein Korrelationskoeffizient von r2 = 0,8 kann der zwingende Beweis eines linearen Zusam-menhangs sein, wenn die Abweichungen von der Gerade statistischer Natur sind. Aber einsogar noch höherer Korrelationskoeffizient von z.B. r2 = 0,9 der nicht durch statistische Ab-weichungen zustande kommt ist, ein Beweis für die Nichtlinearität des Zusammenhangs, danicht r2 = 1,0 gilt !! Fazit:

Ein Korrelationskoeffizient ist nutzlos ohne visuelle Bewertung des Datensatzes.

An dieser Stelle sei darauf hingewiesen, dass mit praktisch jedem PC-Auswerteprogramm obigeSummen berechnet werden können, als weit verbreitetes Programm sei EXCEL genannt. Auchfast jeder Taschenrechner mit wissenschaftlichen Funktionen stellt obige Statistikfunktionenzur Verfügung.

Das Berechnen der Summen per Hand ist im Praktikum nicht erwünscht!

23

13.3. Lineare Regression mit Wichtung

Bisher wurde stillschweigend davon ausgegangen, dass jeder Messpunkt die gleiche Bedeutunghat. Es gibt daher Sinn, die Summe der quadratischen Abweichungen aller Punkte zu minimie-ren. Wenn die Punkte hingegen je nach Position auf dem Datenfeld unterschiedlich genau sind,so ist es sinnvoll die genaueren Punkte bei der Berechnung der Summe stärker zu berücksichti-gen.Zwei Beispiele:

— In einem Messprotokoll wurde ein bestimmter Wert mehrfach nachgemessen und anschlie-ßend der entsprechende Mittelwert protokolliert, zusammen mit vielen einfach gemessenenWerten

— Die Messgenauigkeit der Spannung betrage 1% vom Messwert aufgrund eines schlecht ge-eichten Digitalvoltmeters.

Im 2. Fall ist es notwendig die Messwerte nahe Null stärker zu berücksichtigen als die bei hohenSpannungen, da sie absolut gesehen genauer sind.Dem wird wie beim gewichteten Mittelwert durch einen Wichtungsfaktorwi = 1

(∆yi)2 Rechnunggetragen:

D = ∑wi ∑wix2i −

(∑wixi

)2

Achsenabschnitt:

a0 = ∑wix2i ∑wiyi−∑wixi ∑wiyi

DSteigung:

a1 = ∑wi ∑wixiyi−∑wixi ∑xiyi

DFür einige Spezialfälle gelten folgende Wichtungsfaktoren:

Konstanter absoluter Fehler bei linearer Regression:z.B. Längenmessungen mit statistischem Fehler.Für die Abweichung gilt: ∆l = constFür den Wichtungsfaktor gilt: wi = 1

Konstanter relativer Fehler bei linearer Regression:z.B. Bestimmung des Widerstandes aus Spannung und Strom mit einem Messgerät das vernach-lässigbaren Nullpunktsfehler hat aber festen Skalierungsfehler.Die Abweichung ∆U ist damit proportional zu U . Es gilt: ∆U

U = constFür den Wichtungsfaktor gilt: wi = 1

y2i

Zur Vermeidung von unnötiger Rechenarbeit ist es in dem Beispiel jedoch sinnvoll, den sy-stematischen Fehler aus der Berechnung der Geraden herauszulassen und als Faktor mittelsFehlerfortpflanzung nach der Berechnung der Geraden zu berücksichtigen.

13.4. Nichtlineare Regression

Der lineare Zusammenhang ist mit Abstand die häufigste Beziehung zwischen zwei Größen.Weitere wichtige Relationen sind:

— Exponentieller Zusammenhang: Kondensator-Laden, unbegrenztem Wachstum, radioakti-ver Zerfall

— Quadratischer Zusammenhang: Beschleunigungsvorgänge, Fadenpendel

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Prinzipiell lassen sich alle nichtlinearen Zusammenhänge auf eine lineare Regression zurück-führen, indem zunächst eine geeignete Variablensubstitution durchgeführt wird.Da die Abweichungen natürlich genauso transformiert werden wie die Größen, kommt der Falleiner ungewichteten Regression nicht mehr vor. Besondere Bedeutung erlangt die Wichtungdabei im Fall des exponentiellen Zusammenhangs, insbesondere wenn die Regressions-Geradeüber mehrere Zehnerpotenzen geht. Entsprechend ändert sich auch die Genauigkeit über mehre-re Zehnerpotenzen. Es ist daher unerlässlich gewichtete Regression zu verwenden, um die sehrhohe relative Ungenauigkeit bei kleinen Messwerten zu berücksichtigen.Beispiel Kondensatorentladung:

U = U0 · e−1RC

U gegen t aufgetragen ergibt einen exponentiellen Abfall. Durch Logarithmieren der Gleichungergibt sich:

lnU = lnU0 + t · −1RC

Trägt man y = lnU gegen x = t auf, so ergibt sich eine Gerade mit der Steigung− 1RC . Durch die

Messpunkte lässt sich somit eine Regressions-Gerade legen.Für die Wichtung der Messpunkte gilt:

Konstanter absoluter Fehler bei logarithmischer Regression:z.B. Kondensatorentladung, Nullpunkts- und Rundungsfehler sei dominant.Für die Abweichung gilt: ∆U = const. Nach der Transformation ist damit ∆ lnU ∼ 1

UFür den Wichtungsfaktor gilt: wi = y2 (y vor Trafo)

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