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Höhere Experimentalphysik 1

Institut für Angewandte Physik

Goethe-Universität Frankfurt am Main

11. Vorlesung

03.02.2017

Höhere Experimentalphysik 1 IAP Goethe-Universität Frankfurt am Main

Was bisher geschah…

• Kinetische Gastheorie• Grundgleichung der kinetischen Gastheorie

• Geschwindigkeitsverteilung

• Mittlere freie Weglänge und mittlere Flugzeit

• Transportprozesse in Gasen (innere Reibung, Wärmeleitung, Diffusion)

• Wärmestrahlung

𝑚𝑣2

2=3

2𝑘𝑇


Tk

Tw

Der Carnot-ProzessEine Wärmekraftmaschine muss stets zwischen einem warmen und einem kalten Bad arbeiten. Die Umformung zwischen Wärme und Arbeit erfolgt am effizientesten über einen periodischen Kreisprozess.

Der Kreisprozess besteht aus vier Schritten:1. Isotherme (T=const=T0) Ausdehnung

vom Anfangszustand A mit (PA, VA, TW) auf den Zustand B mit (PB, VB, TW). Dabei ist der Behälter thermischen Kontakt mit dem Wärmebad TW.

2. Adiabatische (DQ=0) Ausdehnung vom Zustand B mit (PB, VB, TW) auf den Zustand C mit (PC, VC, TK). Dabei ist der Behälter thermisch isoliert, das Gas kühlt sich bei Expansion ab. Die Variablen PC, VC sind so gewählt, dass die Gastemperatur gerade Tk am Ende der Zustandsänderung erreicht.

Ideales Gas


Tk

Tw

Der Carnot-ProzessEine Wärmekraftmaschine muss stets zwischen einem warmen und einem kalten Bad arbeiten. Die Umformung zwischen Wärme und Arbeit erfolgt am effizientesten über einen periodischen Kreisprozess.

Der Kreisprozess besteht aus vier Schritten:3. Isotherme (T=const=T0) Kompression

vom Zustand C mit (PC, VC, TK) auf den Zustand D mit (PD, VD, Tk). Dabei ist der Behälter in thermischen Kontakt mit dem Wärmebad Tk.

4. Adiabatische (DQ=0) Kompression vom Zustand D mit (PD, VD, Tk) auf den Zustand A mit (PA, VA, TW). Bei der adiabatischen Kompression muss sich die Temperatur erhöhen. Die Variablen PC, VC sind so gewählt, dass die Gastemperatur gerade TW am Ende der Zustandsänderung erreicht.

Ideales Gas


Der Carnot-ProzessSchritt AB (isotherme Expansion):

Dabei wird aus TW die Wärmemenge DQwaufgenommen und die Arbeit DWABabgegeben.

Weil T=TW=const. ist, ist auch die innere Energie U=const.

Aus dem 1. Hauptsatz und dem idealen GG folgt für jeden infinitesimalen Schritt von A B:

Über den gesamten Weg integriert folgt

P-V-Zustandsdiagramm


Der Carnot-ProzessSchritt BC (adiabatische Expansion):

Es wird Arbeit DWBC abgegeben, die aus der inneren Energie stammt (da DQ=0).

Aus dem 1. Hauptsatz folgt für einen infinitesimalen Schritt:

Mit

für das ideale Gas (d.h. dass die innere Energie nur von der Temperatur abhängt).

Nach Integration folgt:



Der Carnot-ProzessSchritt CD (isotherme Kompression):

Es wird Wärme abgegeben DQK und Arbeit DWCD aufgenommen.

Analog zu AB folgt:

Schritt D A (adiabatische Kompression):

Es wird Arbeit DWDA aufgenommen und die innere Energie erhöht sich.

Analog zu BC folgt:



Der Carnot Prozess – Wirkungsgrad

Das Verhältnis vom insgesamt verrichtete Arbeit W gegeben durch

zur insgesamt aufgenommenen Wärmemenge DQW gibt den Wirkungsgrad an:

Für h=1 würde man ein Perpetuum Mobile 2. Art vorfinden, was nach dem 2. Hauptsatz der Thermodynamik verboten ist.

Für die Carnot-Maschine ergibt sich nach Einsetzen vonund

Wegen Tw > Tk ist ƞ <1


Der Carnot Prozess – WärmepumpeDer Carnot Prozess ist reversibel d.h. er kann auch in umgekehrterRichtung ablaufen. In diesem Fall wird dem unteren Wärmebad dieWärmemenge entzogen und in das obere Bad gebracht. Der Maschinemuss dabei die äußere Arbeit –W zugeführt werden denn in einemabgeschlossenen System läuft dieser Prozess nicht spontan ab.

Ein solche Maschine heißt Wärmepumpe und ihrWirkungsgrad ist definiert durch:

http://de.wikipedia.org/wiki/Datei:Carnot-Prozess.svg


Das Carnotsche TheoremDer Carnotsche Kreisprozess stellt die ideale Wärmekraftmaschinedar. Ihr Wirkungsgrad kann von keinem anderen Prozess überbotenwerden.

Gedankenexperiment: Supercarnot-Wärmekraftmaschine

Idee: Wärmekraftmaschine treibt eine Wärmepumpe anDie Wärmekraftmaschine arbeitet effektiver als dieWärmepumpe daher wirdvon der Kraftmaschine weniger Wärme aus dem oberenBad entzogen als von der Pumpe gefördert wird. Diesführt dazu, dass in diesem abgeschlossenen System TW

erhöht und TK erniedrigt werden würde, was dem 2.Hauptsatz widerspricht.


Der Carnot-Prozess – EntropieEs soll noch überprüft werden, ob der 2. Hauptsatz erfüllt ist.

Wegen der Reversibilität des Carnot Prozesses gilt:

d.h.

Die Schritte BC und D A sind reversible adiabatische Zustandsänderungen undsomit isentrop d.h. DSBC=DSDA=0. Es bleiben also nur die isothermen Schritte(T=const.):

Wenn man in

einsetzt folgt =


KreisprozesseObwohl der Carnot-Prozess den idealen Wirkungsgrad hat, ist er praktisch kaum zurealisieren. In praktischen Wärmekraftmaschinen geht Entropie verloren und ihrWirkungsgrad sinkt deutlich unter den der Carnot-Maschine.

Abgesehen vom Entropieverlust ist aber auch technisch der von Carnot definierteKreisprozess nicht zu verwirklichen ( An-und Abkopplung der Wärmebäder,thermische Isolierung)


Die Stirlingmaschine

Bei der isothermen Expansion A B wird dieWärmemenge Q1 bei der Temperatur T1

zugeführt, bei der isochoren Abkühlung B Cwird Q2 abgegeben, die Temperatur sinkt dabeiauf T2 < T1 .Nun wird von C D isotherm komprimiert,wobei die Wärmemenge Q3 abgegeben wird undschließlich wird isochor erwärmt, wobei Q4

zugeführt wird, um die Temperatur wieder vonT2 auf T1 zu erhöhen (Schritt D A).

In der Praxis durchführen lässt sich der Kreisprozess von Stirling. Die Stirling-Maschinebenutzt als Arbeitsmedium ein Gas, z. B. Luft, das in einem Kreisprozess aus zweiIsothermen und zwei Isochoren periodisch expandiert und komprimiert wird.

Q1

Q3

Q4

Q2



Arbeitsweise des Einzylinder-Stirling-Motor

Die Maschine besitzt einen Arbeitskolben Aund den Verdrängerkolben V, in dessenMitte sich Kupferwolle als Wärmespeicherbefindet. Diese beiden sind um 90°phasenverschoben an einem gemeinsamenSchwungrad befestigt und bewegen sichzwischen einem warmen und kalten Bereich.Takt 1: Das Gas ist im warmen Volumen. Esdehnt sich bei Tw isotherm aus und schiebtdabei durch die Schlitze in Kolben V denKolben A zurückTakt 2: Der Kolben V schiebt sich in daswarme Volumen und verdrängt das Gas inskalte. Der Speicher nimmt dabei dieWärmemange Q auf. Das Gas kühlt auf Tk ab.



Arbeitsweise des Einzylinder-Stirling-Motor

Takt 3: Kolben A komprimiert im kaltenVolumen das Gas isotherm bei der TemperaturTk

Takt 4: Der Kolben V schiebt das Gas inswarme Volumen zurück. Beim Durchströmendes Wärmespeichers erwärmt sich das Gaswieder auf Tw da vom Speicher Q wiederabgegeben wird.

Die Stirlingmaschine ist ein Beispiel für eine tatsächlich realisierbare Wärmekraftmaschine.


Der OttomotorDer Viertakt-Ottomotor geht auf die Entwicklungsarbeiten von Nicolaus August Otto indem Jahr 1876 zurück. Er durchläuft während einer Periode im p-V-Diagramm zweiisentrope und zwei isochore Prozesse.

Im Punkte 1 wird das Luft- Benzin-Gemisch angesaugt undverdichtet. Im Punkte 2 erfolgt die Zündung. Hierbeiverbrennt das Kraftstoff-Luft-Gemisch so schnell, dass sichdas Volumen praktisch nicht ändert. Die bei der Explosionfrei werdende Wärmemenge Q1 wird dem Systemzugeführt, und der Druck steigt steil an bis zum Punkt 3, bisdann die Expansion isentropisch (keine Änderung derWärmemenge) bis zum Punkt 4 erfolgt. Die Abgase werdendurch Öffnen des Auslassventils abgegeben, wodurch derDruck steil absinkt, während Q2 abgegeben und derAusgangspunkt 1 wieder erreicht wird.


Der Dieselmotor

Beim Dieselprozess werden zwei isentrope, ein isobarer und ein isochorer Prozess durchlaufen.

Im Punkt 1 wird die Luft angesaugt und bis zum Punkt 2isentropisch komprimiert.Jetzt wird Dieselkraftstoff eingespritzt, der nichtexplosionsartig verbrennt wie beim Otto-Motor,sondern langsamer (es gibt keine die Explosioninitiierende elektrische Zündkerzenentladung!), sodassdas Volumen bis zum Punkt 3 isobar expandiert, wo dieVerbrennung aufhört. Das Volumen expandiert nunisentropisch bis zum Punkt 4, wo das Auslassventilöffnet und sich damit der Druck p plötzlich aufAußendruck im Punkt 1 erniedrigt.


Phasen der MateriePhase: Als Phasen bezeichnet man die möglichen Zustandsformen einesmakroskopischen Systems im thermischen Gleichgewicht.Die Abhängigkeit der Phasenänderung bezüglich der betrachteten Zustandsgrößewird typischerweise in einem Phasendiagramm dargestellt.

Dabei lassen sich Einphasengebiete (fest, flüssig, gasförmig) identifizieren, indenen eine einzelne Phase im thermischen Gleichgewicht vorliegt. Innerhalbdieser Einphasengebiete lassen sich der Druck p und die Temperatur T freiwählen, ohne, dass sofort ein Phasenübergang stattfindet.


Phasen der Materie

• Wir betrachten eine Flüssigkeit mit angrenzendem Volumen dh. eingeschlossenes System.

• Die Flüssigkeitsteilchen besitzen eine kinetische Energie ein einzelnes Teilchengenug Energie besitzt, um die Flüssigkeit zu verlassen Ausbildung einesDampfes

• Wiederum können Moleküle, die aus dem Dampfraum auf die Oberflächeauftreffen, wieder in die Flüssigkeit eintreten

• Gleichgewicht besteht, wenn ebenso viele Moleküle ein- wie austreten

Sättigungsdampfdruck: Flüssigkeit und Dampf im Gleichgewicht

Koexistenz von Flüssigkeit und Dampf

Dampf

Flüssigkeit


Phasen der Materie

• Austritt aus der Flüssigkeit erfordert kinetische Energie

• Temperaturerhöhung hat zur Folge, dass mehr Moleküle die Austrittsarbeit aufbringen können, die Wahrscheinlichkeit dafür gibt die Boltzmann-Verteilung

• Damit lässt sich die Dampfdruckkurve darstellen als

wobei EV die Verdampfungdenergie ist

Koexistenz von Flüssigkeit und Dampf


Phasen der MaterieClausius-Clapeyron-Gleichung

(1): Der Kolben liegt auf der Flüssigkeitsfläche. (2): Die gesamte Flüssigkeit ist verdampft.(1)(2):Dabei wird die Arbeit pd(T)(V2 − V1) geleistet und dem Wärmereservoir die Energie Ld(T)

entzogen. Nun wird der Kolben verriegelt und das kleine Gewichtsstück auf die Plattform Bgeschoben. Dadurch sinkt der äußere Druck um dp. Der Zylinder wird in ein Wärmebad derTemperatur T − dT gesteckt, die so bemessen ist, dass pd(T − dT) = pd − dp ist.



(3) → (4): Der Kolben wird freigegeben und der Dampf bis zum Volumen V1 kondensiert. (4): Von der Plattform A wird ein neues Gewichtsstückchen auf den Kolben geschoben,

der Zylinder wird wieder in das Wärmereservoir der Temperatur T gebracht



Bei jedem Zyklus wird die Arbeit dp(V2 − V1) geleistet. Dem Wärmereservoir derTemperatur T wird die Wärmemenge Q = Ld +CVdT entzogen. Mit W=Q dT/T folgt fürsehr kleine CVdT

Dabei ist Ld die Verdampfungswärme und p der Dampfdruck bei der Temperatur T.Hieraus ergibt sich die Clausius-Clapeyronsche Gleichung

Sie gilt, wie die Ableitung zeigt, generell für Phasenumwandlungen, bei denen eineUmwandlungswärme und eine Volumenänderung auftritt. Mit ihr kann manentweder die Dampfdruckkurve berechnen für bekannetes Ld oder aber dieFunktion Ld(T) aus der experimentell bestimmten Dampfdruckkurve ableiten.


Phasen der Materie• Sieden und Siedetemperatur

Der Siedevorgang findet bei einer Temperatur Ts statt, bei der derSättigungsdampfdruck gleich dem von außen auf der Flüssigkeit lastendenLuftdruck ist. Die Siedetemperatur hängt demnach vom Außendruck ab. Nur bei1 013 mbar siedet das Wasser bei 100 ◦C, bei vermindertem Druck darunter, beierhöhtem darüber. (Beispiel: Druckanzug für Düsenpiloten)

• Verdunstung:Verdampfen einer Flüssigkeit, ohne dass der Sättigungsdampfdruck erreicht ist.Die zur Verdunstung notwendige Energie wird der Umgebung entzogen

Verdunstungskälte

• Luftfeuchtigkeit: Verhältnis aus tatsächlichem Dampfdruck und dem Sättigungsdampfdruck

• Taupunkt:Temperatur, wo p=pd. Bei plötzlicher Temperaturerniedrigung unter diesen Punktbildet sich Kondensat in der Luft


Phasen der Materie

Für das Schmelzen gelten ganz ähnliche Gesetze wie für das Sieden. Nur bei derSchmelztemperatur können Festkörper und Flüssigkeit im Gleichgewichtkoexistieren.

Auch die Schmelztemperatur ist druckabhängig wie die Siedetemperatur, nurweniger stark. Auch hier gilt die Clausius-Clapeyronsche Gleichung

Ein weiterer Unterschied besteht darin, dass es zwar unterkühlte Flüssigkeit, nicht aber überhitzte Kristalle gibt, d. h. nur für die Kristallisation, nicht aber für das Schmelzen ist Keimbildung erforderlich.

Info: Superreines Wasser gefriert erst bei -37 °C. (Paper: Ice-nucleating bacteriacontrol the order and dynamics of interfacial water, 2016)

Koexistenz von Festkörper und Flüssigkeit

Bei den meisten Stoffen ist Vfluid>Vsolid und daher muss die Schmelzdruckkurve steigen Außnahme: Wasser


Phasen der Materie

Im p, T-Diagramm hat die Grenzlinie flüssig-gasförmig, dieDampfdruckkurve, eine viel geringere Steigung als dieGrenzlinie fest-flüssig d.h. beide müssen sich irgendwotreffen.

Dieser Treffpunkt heißt Tripelpunkt. Unterhalb und linksvon ihm gibt es keinen flüssigen Zustand mehr, sondern esgeht von ihm die Sublimationskurve aus, die denunmittelbaren Übergang fest-gasförmig bezeichnet.

Nach Clausius-Clapeyron hat die Sublimationskurve immerpositive Steigung. Nur am Tripelpunkt können alle dreiPhasen im Gleichgewicht koexistieren. In diesem Gebietkönnen p und T innerhalb gewisser Grenzen beliebiggewählt werden.

Koexistenz dreier Phasen


Gibb‘sche PhasenregelDie Phase besitzt also zwei Freiheitsgrade. Dies wird durch die Gibb’schePhasenregel ausgedrückt:

f = N – P + 2

• f die Anzahl der Freiheitsgrade

• N die Anzahl der Komponenten des Systems (z.B. unterschiedlicheTeilchensorten)

• P die Anzahl der Phasen

Ebenso finden sich in einem Phasendiagramm Koexistenzkurven, in denen zweiPhasen gleichberechtigt vorliegen.

Hier bestimmt die Wahl des einen Parameters p oder T den anderen, wenn mansich im (p,T)-Diagramm auf der Koexistenzlinie bewegt d.h. es gibt einenFreiheitsgrad.

Existieren gleichzeitig drei Phasen (z. B. Wasser flüssig, gasförmig und fest), soverbleibt genau ein Punkt im Phasendiagramm, der Tripelpunkt, da keinFreiheitsgrad verbleibt (f=0).


Ursache von Phasenübergängen

Jedes thermodynamische System verfolgt das Ziel der Minimierung derfreien Energie F=U-TS bzw. der freien Enthalpie G=U-TS+pV.

Diese thermodynamischen Potentiale sind allgemein temperaturabhängigund der Minimierungsprozess verläuft entsprechend der vorherrschendenTemperatur:

• Niedrige Temperatur: Die innere Energie U einer Phase bestimmt dasMinimum, die Entropie S spielt eine untergeordnete Rolle.

• Hohe Temperatur: Der zweite Term überwiegt und die Entropie S spielt diedominante Rolle.

Man erwartet also für tiefe Temperaturen geordnete - also möglichstsymmetrische - Zustände, da diese eine geringe innere Energie besitzen undfür hohe Temperatur eine steigende Unordnung.


Klassifikation von Phasenübergängen nach Ehrenfest• Phasenübergang 1. Ordnung:

Ist mindestens eine der ersten Ableitungen der freien Enthalpie G(T,p) nach T bzw. p unstetig, so handelt es sich um einen Phasenübergang 1. Ordnung.

Beide sind beim Phasenübergang nicht stetig, sondern machen einen Sprung.


Klassifikation von Phasenübergängen nach Ehrenfest• Phasenübergang 2. Ordnung:

Bei einem Phasenübergang 2. Ordnung ist mindestens eine der zweiten Ableitungen der freien Enthalpie G unstetig.

Die thermodynamische Größen sind dann:

Wärmekapazität

Kompressibilität

Ausdehnungskoeffizient


Literaturverzeichnis• Mechanik der Gase, D. Richter, Springer-Verlag, 2010• Thermodynamik, Baehr & Kabelac, Springer-Verlag, 15. Auflage• Thermodynamik kompakt, Weigand, Köhler & von Wolfersdorf, Springer

Verlag• Experimentalphysik 1, W. Demtröder, Springer-Verlag, 5. Auflage, 2008• Experimentalphysik 3, W. Demtröder, Springer-Verlag, 4. Auflage, 2010• Physik I, K. Dransfeld, P. Kienle und G.M. Kalvius, Oldenbourg Verlag, 10.

Auflage, 2005• Kinetik der Gasreaktionen, E. Cremer und M. Pahl, Walter de Gruyter & Co.

Verlag, 1961• Grundkurs Theoretische Physik 6, W. Nolting, Springer Spektrum, 7. Auflage,

2014

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