Holger Brenner - Einführung in Die Algebra (Osnabrück 2009)Gesamtskript

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  • 7/24/2019 Holger Brenner - Einfhrung in Die Algebra (Osnabrck 2009)Gesamtskript

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    Einfuhrung in die Algebra

    Prof. Dr. Holger Brenner

    Universitat Osnabruck

    Fachbereich Mathematik/Informatik

    Sommersemester 2009

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    Inhaltsverzeichnis

    Vorwort 8

    1. Vorlesung 9

    1.1. Beispiele zu Symmetrien 9

    1.2. Der Gruppenbegriff 14

    2. Vorlesung 16

    2.1. Beispiele fur Gruppen 16

    2.2. Losbarkeit von Gleichungen 17

    2.3. Potenzgesetze 17

    2.4. Gruppenordnung und Elementordnung 18

    2.5. Untergruppen 18

    2.6. Zyklische Gruppen 20

    3. Vorlesung 21

    3.1. Division mit Rest 21

    3.2. Endliche zyklische Gruppen 23

    3.3. Teilbarkeitsbegriffe 24

    4. Vorlesung 254.1. Das Lemma von Bezout 25

    4.2. Der Euklidische Algorithmus 26

    4.3. Darstellung des groten gemeinsamen Teilers 28

    4.4. Gemeinsame Vielfache 29

    5. Vorlesung 31

    5.1. Gruppenhomomorphismen 31

    5.2. Gruppenisomorphismen 32

    5.3. Der Kern eines Gruppenhomomorphismus 345.4. Das Bild eines Gruppenhomomorphismus 35

    6. Vorlesung 35

    6.1. Relationen auf einer Menge 35

    6.2. Ordnungsrelationen 36

    6.3. Aquivalenzrelationen 37

    6.4. Aquivalenzklassen, Quotientenmenge, kanonische Abbildung 40

    7. Vorlesung 41

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    7.1. Nebenklassen 41

    7.2. Der Satz von Lagrange 427.3. Normalteiler 43

    7.4. Restklassenbildung 44

    8. Vorlesung 46

    8.1. Homomorphie- und Isomorphiesatz 46

    8.2. Permutationsgruppen 48

    8.3. Zykeldarstellung fur Permutationen 49

    9. Vorlesung 51

    9.1. Das Signum einer Permutation 51

    9.2. Die alternierende Gruppe 53

    9.3. Die Determinante 55

    9.4. Der Satz von Cayley 55

    10. Vorlesung 57

    10.1. Bewegungen 57

    10.2. Bewegungen in der Ebene 58

    10.3. Bewegungen im Raum 60

    10.4. Halbachsensysteme 61

    11. Vorlesung 63

    11.1. Numerische Bedingungen fur endliche Symmetriegruppen imRaum 63

    11.2. Geometrische Realisierungen der endlichen Symmetriegruppen 65

    12. Vorlesung 68

    12.1. Ringe 68

    12.2. Die Binomialkoeffizienten 70

    12.3. Nichtnullteiler und Integritatsbereiche 72

    12.4. Unterringe 72

    12.5. Endomorphismenringe 73

    13. Vorlesung 74

    13.1. Einheiten 74

    13.2. Korper 75

    13.3. Ringhomomorphismen 75

    13.4. Ideale 77

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    13.5. Ideale unter einem Ringhomomorphismus 79

    14. Vorlesung 7914.1. Restklassenbildung 79

    14.2. Die Homomorphiesatze fur Ringe 81

    14.3. Zist ein Hauptidealbereich 83

    14.4. Die Restklassenringe von Z 83

    15. Vorlesung 86

    15.1. Der Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie 86

    15.2. Produktringe 87

    15.3. Der Chinesische Restsatz fur Z 88

    15.4. Die Eulersche-Funktion 90

    16. Vorlesung 91

    16.1. Polynomringe 91

    16.2. Der Einsetzungshomomorphismus 92

    16.3. Der Grad eines Polynoms 94

    16.4. Polynomringeuber einem Korper 95

    17. Vorlesung 96

    17.1. Teilbarkeitsbegriffe 97

    17.2. Irreduzibel und prim 98

    17.3. Teilbarkeitslehre in Hauptidealbereichen 99

    18. Vorlesung 101

    18.1. Faktorielle Ringe 101

    18.2. Restklassenringe von Hauptidealbereichen 102

    18.3. Zerlegung in irreduzible Polynome 103

    18.4. Nullstellen von Polynomen 104

    19. Vorlesung 105

    19.1. Algebraisch abgeschlossene Korper 105

    19.2. Endliche Untergruppen der Einheitengruppe eines Korpers 106

    19.3. Endliche Korper 108

    20. Vorlesung 110

    20.1. Multiplikative Systeme 110

    20.2. Nenneraufnahme 111

    20.3. Der Satz von Gau 113

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    21. Vorlesung 115

    21.1. Algebren 11521.2. Rechnen inK[X]/(P) 116

    21.3. Endliche Korpererweiterungen 118

    21.4. Minimalpolynom 118

    22. Vorlesung 120

    22.1. Algebraische Korpererweiterung 120

    22.2. Algebraischer Abschluss 122

    22.3. Algebraische Zahlen 123

    22.4. Quadratische Korpererweiterungen 123

    22.5. Das Irreduzibilitatskriterium von Eisenstein 124

    23. Vorlesung 125

    23.1. Die Gradformel 125

    23.2. Zerfallungskorper 126

    23.3. Konstruktion endlicher Korper 128

    24. Vorlesung 130

    24.1. Konstruktionen mit Zirkel und Lineal 131

    24.2. Arithmetische Eigenschaften von konstruierbaren Zahlen 133

    24.3. Konstruktion von Quadratwurzeln 134

    25. Vorlesung 135

    25.1. Konstruierbare und algebraische Zahlen 135

    25.2. Das Delische Problem 138

    25.3. Die Quadratur des Kreises 138

    26. Vorlesung 140

    26.1. Einheitswurzeln 140

    26.2. Kreisteilungskorper 141

    26.3. Kreisteilungspolynome 143

    27. Vorlesung 145

    27.1. Konstruierbare Einheitswurzeln 145

    27.2. Winkeldreiteilung 147

    27.3. Fermatsche Primzahlen 148

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    Arbeitsblatter 150

    1. Arbeitsblatt 1502. Arbeitsblatt 151

    3. Arbeitsblatt 153

    4. Arbeitsblatt 155

    5. Arbeitsblatt 157

    6. Arbeitsblatt 159

    7. Arbeitsblatt 161

    8. Arbeitsblatt 162

    9. Arbeitsblatt 164

    10. Arbeitsblatt 166

    11. Arbeitsblatt 168

    12. Arbeitsblatt 170

    13. Arbeitsblatt 173

    14. Arbeitsblatt 176

    15. Arbeitsblatt 178

    16. Arbeitsblatt 180

    17. Arbeitsblatt 182

    18. Arbeitsblatt 184

    19. Arbeitsblatt 186

    20. Arbeitsblatt 188

    21. Arbeitsblatt 190

    22. Arbeitsblatt 192

    23. Arbeitsblatt 194

    24. Arbeitsblatt 196

    25. Arbeitsblatt 197

    26. Arbeitsblatt 199

    27. Arbeitsblatt 200

    Anhang A. Reflexionsaufgaben 202

    Anhang B. Probeklausur 203

    Anhang C. Probeklausur mit Losungen 207

    Anhang D. Klausur 216

    Anhang E. Klausur mit Losungen 220

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    Anhang F. Nachklausur 230

    Anhang G. Nachklausur mit Losungen 234Anhang H. Bildlizenzen 246

    Abbildungsverzeichnis 247

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    Vorwort

    Dieses Skript gibt die Vorlesung Einfuhrung in die Algebra wieder, die ichim Sommersemester 2009 an der Universitat Osnabruck gehalten habe. Eshandelt sich dabei im Wesentlichen um ausformulierte Manuskripttexte, dieim direkten Anschluss an die einzelnen Vorlesungen offentlich gemacht wur-den. Ich habe diese Veranstaltung zum ersten Mal durchgefuhrt, bei einemzweiten Durchlauf wurden sicher noch viele Korrekturen und Anderungendazukommen. Dies bitte ich bei einer kritischen Durchsicht wohlwollend zuberucksichtigen.

    Der Text wurde auf Wikiversity geschrieben und steht unter der Creative-Commons-Attribution-ShareAlike 3.0. Die Bilder wurden von Commons

    ubernommen und unterliegen den dortigen freien Lizenzen. In einem Anhangwerden die einzelnen Bilder mit ihren Autoren und Lizenzen aufgefuhrt. DieCC-BY-SA 3.0 Lizenz ermoglicht es, dass das Skript in seinen Einzelteilenverwendet, verandert und weiterentwickelt werden darf. Ich bedanke mich beider Wikiversity Gemeinschaft und insbesondere bei Benutzer Exxu fur diewichtigen Beitrage im Projekt semantische Vorlagen, die eine weitgehend au-tomatische Erstellung des Latexcodes ermoglichen, bei den Studierenden fureinzelne Korrekturen und erstellte Bilder und bei Frau Marianne Gausmannfur die Erstellung des Pdf-Files.

    Holger Brenner

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    1. Vorlesung

    1.1. Beispiele zu Symmetrien.

    Wir beginnen diese Vorlesung, indem wir am Beispiel der Symmetrien aneinem Wurfel den Gruppenbegriff in Erinnerung rufen.

    Beispiel 1.1. Wir betrachten einen Wurfel W R3 mit der Seitenlange 2und dem Nullpunkt als Mittelpunkt. Die Eckpunkte sind also

    (1, 1, 1) .

    Wir fragen uns, welche Moglichkeiten es gibt, den Wurfel in sich selbst zuuberfuhren. Dabei soll der Wurfel nicht in irgendeiner Form deformiert wer-

    den, es ist nur erlaubt, ihn als Ganzes zu bewegen, und zwar soll die Be-wegung wirklich physikalisch durchfuhrbar sein. Man spricht auch von einer(eigentlichen)Bewegungdes Wurfels. Bei einer solchen Bewegung verandertder Wurfelmittelpunkt seine Lage nicht, und es werden Seiten auf Seiten,Kanten auf Kanten und Ecken auf Ecken abgebildet. Ebenso werden Sei-tenmittelpunkte auf Seitenmittelpunkte abgebildet, und gegenuberliegendeSeitenmittelpunkte werden auf gegenuberliegende Seitenmittelpunkte abge-bildet. Die Seitenmittelpunkte sind die sechs Punkte

    (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) .

    Wenn der Punkt (1, 0, 0) auf den Seitenmittelpunkt S abgebildet wird, sowird (1, 0, 0) auf den gegenuberliegenden Punkt, also S, abgebildet. Hier-bei ist jede Vorgabe von S erlaubt, doch dadurch ist die Bewegung nochnicht eindeutig bestimmt. Fur den Seitenmittelpunkt (0, 1, 0) gibt es dannnoc