Upload
martin-schottenloher
View
213
Download
1
Embed Size (px)
Citation preview
manuscripta math. 21, 315 - 327 (1977) �9 by Springer-Verlag 1977
HOLOMORPHE FUNKTIONEN AUF GEBIETEN OBER BANACH-
R UMEN ZU VORGEGEBENEN KONVERGENZRADIEN
Martin Schotten!oher
Given a function p: ~ ~+ on a domain ~ spread over an infinite dimensional complex Banach space E with a Schauder basis such that -log p is plurisub- harmonic and p ~ d ~d denotes the boundary distance on ~) one ~ c~ find a holomorphic function f: ~ ~ ~ with pf ~ p , where Pc is the radius of convergence of f . If, in addition~ p is locally Lipschitz continuous with constant I , f can be chosen so that (3M)-Ip ~ pf ~ p , where M is the basis constant of E. In the particular case of E = ~ there are holomorphic functions f on with I P = Pf
Eine ganze Funktion auf ~n hat bekanntlich stets den
Konvergenzradius ~ Dagegen gibt es nach IS] auf jedem
unendlichdimensionalen Banachraum E fiber ~ eine holo-
morphe Funktion f: E + ~ mit endlichem Konvergenzradius.
f l~t sich sogar so w~hlen, da~ der Konvergenzradius pf
yon f auf der Einheitskugel von E beliebig klein wird:
inf(pf(x) I IlxH ~ I) = o [I]. Ankn~pfend an dieses Ergebnis
stellt sich die Frage (vgl. [6]~[7]), ob es zu einer vorge-
gebenen positiven Funktion p stets eine holomorphe Funk-
tion f mit p = pf gibt. Da pf stets lokal lipschitz-
stetig ist und -log pf plurisubharmonisch ist, mu~ p
315
2 SCHOTTENLOHER
noch notwendige Bedingungen erfUllen, die wir im folgenden
gleich fur den Fall eines Gebietes ~ c E formulieren (d~
ist die Randdistanz in ~ : d~(x) = inf{llx - Yll I Y E a~} I
fur x ~ ~):
(I) -log p ist p'lurisubharmonisch und p ~ d~ .
(2) Es gibt eine Konstante c 6 ]O,1] mit
IP(x) - P(Y) I a cll x - yll fur x,y 6 ~ , Nx - yll < d~(x)
Nach einem Beispiel von Kiselman [6] gibt es positi-
ve Funktionen p auf E = c O oder E = gp , p > I , mit
(I) und (2) , so da~ pf * p fur alle holomorphen Funk-
tionen f: E ~ @ gilt.
Ziel dieser Note ist es, in Erg~nzung zu Resultaten
von Coeur@ [2] und Kiselman [8] , den folgende n Satz zu
beweisen und dann auf nichtschlichte Gebiete fiber E zu
verallgemeinern:
SATZ. Sei ~ c E ein Gebiet in einem unendlichdimensiona-
len, normierten Raum E Uber ~ mit einer endlichdimen-
sionalen Schauderzerlegung (~n)
I ~ Zu jeder Funktion p: e ~ ~+ mit (I) gibt e_ss
eine holomorphe Funktion f: ~ ~ ~ mit pf ~ p .
2 ~ E__~s gibt eine nut yon E und c abh~ngige Kon-
stante K = K(c) > O , so da~ zu jeder Funktion p: e + R+
mit (I) und (2) eine holomorphe Funktion f: ~ + ~ mit
Kp M p f M p
existiert. Im allgemeinen kann K(c)= suP{M--~ , L--~ }
gew~hlt werden, wobei M := supll~nl I und L := sup]In n- ~mJI.
Ist E eine gp-Summe ffr ein p ~ [1,oo[ , das heist, gilt
oo
Ilxll p = ~ H~n+1(x) - ~n(X) llP ffr alle x E E , n=1 I
I + I = I gew~hlt so kann K(c) = (I + cq) -~ mit ~
316
SCHOTTENLOHER 3
werden. Insbesondere ~i~t es im Falle E = gl z u ~ mit
(]) und (2) stets eine holomorphe Funktion f auf
mit pf =
3 ~ FNr jede Funktion p: ~ ~ ~+ mit (I) ist die
Menge S(p) := {f ~ H(~) I pf ~ p} folgendicht im Raum
H(~) := {f I f: ~ ~ r holomorph} , wenn H(~) mit der
kompakt-offenen Topologie ZO versehen wird. Gilt au~erdem
noch (2) , so ist auch T(p) := {f E H(~) j Kp ~ ~f ~ p}
~olgendicht i__n_n (H(~),~O)
Unter einer endlichdimensionalen Schauderzerlegung yon
E wird eine Folge (~n) yon stetigen, linearen Projektio-
nen ~n: E ~ E mit den folgenden Eigenschaften verstanden:
dim~ n o~ = ~ f~r suplI~n] I < ~ , (E) < ~ und ~n m min{n,m}
alle n,m E ~ , x = lim ~n(X) = ~(nn+ I (x) - nn(X)) fGr
x E E Grundlegende Begriffe und Ergebnisse ~ber holomor-
phe und plurisubharmonische Funktionen in normierten R~umen
findet man z.B. in [9]
Beweis des Satzes: Unter den Voraussetzungen von ] ~ kon-
struieren wir zu einer geeignet gew~hlten Folge (Xn) aus
eine holomorphe Funktion f auf ~ mit ]f(Xn) I ~ n ,
n ~ ~ , so da~ dann pf ~ p folgt. Zugleich gilt
HfH V := sup{If(x) l I x E Vn} < ~ , n ~ ~ , n
f~r eine vorher definierte 0berdeckung (Vn) yon ~ F~r
den Fall, da~ auch (2) gilt, enth~it V fGr hinreichend n
gro~es n genOgend gro~e Kugeln B(x,r) = {y E E I fix -YJl < r},
woraus die Aussage 2 ~ des Satzes folgt.
Sei (Zn) eine in ~ dichte Folge mit ]iZnH + p(Zn) ~n
(das bedeutet keine Einschr~nkung der Allgemeinheit) und
z n E ~n := ~ N ~n(E) Sei e n E ~n(E) mit llenH = I. Seize
1 , �89 , , gl := 2P(Zl) gn+1 := P(Zn) Sn' P(Xn)} n E ~,
= + (p(Zn) - ~Sn) en+1 Im folgenden sei die wobei x n : z n
Schauderzerlegung (~n) zun~chst monoton, das heiBt
M = supll~nH = I . Die Oberdeckung (Vn) yon ~ werde
317
4 SCHOTTENLOHER
definiert durch V I := {z I} und
>_ + I I ~ k ( x ) - ~m(X) ll u n d V n := {x ~ X n ] p OUk (X) Sn
~m(X) E L m f i i r a l l e m _> k >_ n} ,
n > I , wobei
X n := {x E a I "m (x) E ~ fur alle m~n} = ~ ~ N,~I (am) ' mcn
-I n { I , u n f l , m i t Z n + l := a n + l n g n ( a n ) = a n + l NX n ,
Ln+ 1 := {x ( ~ n + l 1 Ilxll ~ n u n d d Z n + l ( x ) e ~ n + l } ,
n ~ I . Es gilt
und ~m(Xn) = a m NX ffir m > n (3) X n Xn+ 1 n - '
und dann auch
(4) V n c Vn+ I und Sm(Vn) = a m NV n fur alle m ~ n,
wie sich unmittelbar aus den Definitionen ablesen lg~t.
Weiterhin gelten die folgenden Aussagen:
mit
(5) FUr alle x E a und r < da(x ) gibt es n E
B(x,r) c X n und mit Sm(B(x,r)) c L m fur m ~ n
(6) FOr alle x E a gibt es s > 0 und n E ~ mit
B(x,s) c V n
(7) Kn+ I "= ~n+1(Vn) ist kompakt und holomorph-kon-
vex in Zn+ I for n ~ I . Au~erdem gilt ~n(Kn+1) c Z n
Um (5) zu zeigen, seien x E ~ und r < da(x ) Es
gibt 6 > O mit r + 36 < d~(x) , und man findet n E I~
mit ~n < 6 , }IXll + r < n-1 und il~m(X) - ~n(X) II < 6 fQr
m > n-1 . Wegen ~m(B(~n(X),r + 26)) c B(x,r + 36) c a for
m > n-1 gilt B(~n(X ),r + 26) c Xn_ I c X m , also ist
dzm(~n(X)) >_ r +26 , m > n . FOr y E B(x,r) und m > n
d z _ > a u n d II~ ( y ) H < [lyll < ergibt sich mSm(y) >_ 6> s n _ m m - -
< IIxH + r _< m-1 , also B(x,r) c Xn_ I und ~m(B(x,r)) c L m
Xhnlich igfgt sich (6) nachprtifen: Zu x E ~ gibt es
318
SCHOTTENLOHER 5
r > O mit 5r < p(x) Da p nach unten halbstetig ist,
gilt p(y) > 4r for llx - Yll < 26 mit einem geeigneten
6 > O . Es gibt n E ~ , so daft for s := min(r,6} gilt:
a n < s und ll~m(X) - ~k(X) H _ < s fQr alle m,k ~_ n . Es
sei n noch so gro~ gew~hlt, da~ B(x,s) c X n und
~m(B(x,r)) c L m fQr m ~ n gilt. FOr y E B(x,s) und
m,k ~ n folgt dann: PO~k(y ) > 4s wegen l]~k(y ) xH < Bs
< + 3s ~ a + H~k(y ) ~m(y) H ~ _ 26 und daher P~ (y) > an n
denn ll~k(y ) - nm(y) II ~ llwk(Y-X) l I + I[~m(Y-X)] I + ll~k-~m(X)l I
< 3s . Damit ergibt sich B(x,r) ~ V n , also ist (6) ge-
zeigt.
Um (7) zu beweisen, sei zun~chst einmal festgestellt,
daft ~ pseudokonvex ist: Denn aus (I) folgt f@r jede
kompakte Menge K ~ ~ , da~ inf{p(x) [ x E Kp(s I =
= inf{p(x) I x E K} > O ist, wenn Kp(~) die plurisubhar-
monisch-konvexe HQIIe von^ K bezeichnet. Wegen p ~ d~
folgt inf{d~(x) I x E Kp(s > O , und das bedeutet, da~
pseudokonvex ist. Damit ist auch Zn+1 = ~n+1 n ~n1(~n)
pseudokonvex. DaB Kn+ I kompakt ist, folgt direkt aus:
Kn+1 = ~n+] nv n = {x E Ln+ I n ~n1(Ln) I p(x) ~ a n und
pO~n(X) ~ s n + I I~n(X) - xH} = {x E Ln+ 1 n ~ n l ( L n ) I l o g a n
- log p(x) ~ O und -log PO~nfX) + log(s n +ll~n(XD-xllDs 0}.
An dieser Darstellung yon Kn+ I l~t sich aber auch erken-
nen, da~ Kn+~1 holomorph-konvex in Zn+ I ist. Denn
Denn Ln+ I n ~n (Ln) ist in Zn+ I holomorph-konvex, und
Kn+ I wird durch Funktionen beschrieben, die auf Zn+ I
plurisubharmonisch sind (vgl. [4, rhm. 4.3.4]) SchlieB-
lich gilt ~n(Kn+1) c L n c Z n , und (7) ist bewiesen.
Von entscheidender Bedeutung ist nun das folgende Lem-
ma (vgl. [3, Lemme] ) , fQr das wir die Eigenschaften
(4) - (7) bereitgestellt haben.
LEMMA. Zu ~eder holomorphen Funktion f auf Z n und zu
jedem s > O gibt es eine holomorphe Funktion g auf
319
6 SCHOTTENLOHER
mit fig - f~ < o~ und Ilgll v < oo f~r alle m E IN n m
Beweis des Lemmas:
(fj)j ~ n mit
(8) fj ~ H(Zj)
d e f i n i e r t . S e i e n f n r e i t s g e g e b e n . Nach
Durch Induktion wird eine Folge
und Ilfj+ 1 f j o ~ j l l K j + l
�9 f . := f ' f n + l ' "" -1 J (7) i s t a j+ 1 Cl~j (Zj )
< g2 -j-l, j >-n,
mit (8) be-
eine Umge-
bung von Kj+ I . Nach dem Approximationssatz yon Oka-Weil
[4, Thm. 4.3.2] gibt es wegen (7) zu fjo~j eine holo-
morphe Funktion fj+1 E H(Zj+ I) mit (8) F~r
1 ~_ k _> m >_ n gilt jetzt:
i-] IIfko~ k - flO~lllV _< ~ IIfj+1~ 1 - fjo~jIIvj
m j--k
i-I
-< ~ IIfj+1 fD~ I(Vj) j=k
1-I < g2 -k -~ ~ I l f j + 1 - f ~
j=k J Kj+I
Also konvergiert (fk~ >_m gleichm~ig auf V m gegen
eine im Innern yon V m holomorphe Funktion g , und nach
(6) ist g auf ganz ~ definiert und dort holomorph. Aus
der Abschgtzung folgt mit m = k und 1 ~ co :
llg - fm~ < ~2-m m
Also gilt llg - f~ < n
- -< I] fmll + llg fm~ gm;IVm Km+]
bewiesen.
und Hgll V ~ llfmO~mH V + m m
+ ~ < ~ Damit ist das Lemma
Wir fahren jetzt mit dem Beweis des Satzes fort. Nach
Konstruktion von (Vn) und (Xn) gilt x n ( Vn+ I ~V n
Denn es ist
&n + ll~n(Xn) - Xn]I = &n + (P(Zn) - �89 ) > P(Zn) = P~ '
also Xn~ V n . Es ist x n (Zn+ I und mit (I) : dZn+1(Xn)
dZn+](Zn) [IZn-Xn]l a d~(Zn) - (p(Zn) -�89 ~ �89 ~ ~n+1'
320
SCHOTTENLOHER 7
also "n+1(Xn) = Xn E Ln+ I , da ja IIXnl I s ilZn! I + p(Zn)~n.
Wegen p(Xn) ~ Sn+1 folgt x n ~ Vn+ I Nach (7) gibt es
dann wegen x n ~ Kn+ I = V n Nan+l eine holomorphe Funktion
fn auf Zn+ 1 mit
I f n ( X n ) I > 1 > n f n l I K n + l '
u n d n a c h dem Lemma f i n d e t man gn ~ H ( a )
f f i r a l l e m ( ~ u n d mit llgnlIV m <
- ~ < m i n { I f n ( X n ) I - 1 , 1 fig n In~
Es folgt
/I fn/I } Kn+ ]
[ g n ( X n ) l > 1 > !lgnll V n
und f~r geeignete Potenzen h n (H(~) yon gn gilt jetzt
llhnJIV < = f~r alle m,n E ~ , m
< 2 - n u n d Ilhnil v n
n-1 l h n(xn) I > n + I + ~ l hj (Xn) I
j=l fGr al!e n E ~ .
Aus diesen Ungleichungen ergibt sich, da~ die Reihe ~ h n
lokal gleichm~gig (vgl. (6)) gegen eine holomorphe
Funktion f = ~h n E H(~) mit If(Xn) I ~ n konvergiert.
Wir zeigen schlie~lich
es eine Teilfolge (Zn(j))j ~I
Wegen If(Xn(j)) I ~n(j) ist f
Radius r > lim inf fix - Xn(j)l]
pf(x) _ <
pf ~ p Zu jedem x ~ ~ gibt
von (Zn) mit Zn(j) * x.
auf jeder Kugel um x mit
unbeschr~nkt. Es folgt
lim infl]x - Xn(j)I I
_~ lira inf(IIx - Zn(j)[l + iJZn(j) - Xn(j)I[ )
�9 I lira inf(P(Zn(j) ) - ~Sn(j) )
~_ p(x)
Die letzte Ungleichung gilt, da p nach unten halbstetig
ist. Damit ist Teil I ~ des Satzes for den monotonen Fall
bewiesen. Der allgemeine Fall, das heist M ~ I , ergibt
321
8 SCHOTTENLOHER
sich aus folgender 0berlegung: Durch fix[I*: = supII~n(X) I I ,
x E E , wird eine Norm auf E mit llxll s IIxlI*s MIlxll defi-
niert, so da~ (Wn) bez@glich II If* monoton ist. F@r die
entsprechenden Randdistanzen, bzw. Konvergenzradien, gilt:
(9) d~ s d~ s Md~
pf s p~ s Mpf
Z u p: ~ ~ ~+ mit (I) , also
holomorphe Funktion f auf
Damit ist die Aussage I ~
p ~ d~ , gibt es jetzt eine
mit p~ ~ p , also pf ~ p.
des Satzes vollst~ndig bewiesen.
Um 2 ~ zu zeigen, sei (,n) zun~chst wieder monoton.
Da die oben konstruierte Funktion f auf allen V m
m (IN , beschr~nkt ist, genfigt es, die folgende Behauptung
zu zeigen:
1 (10) Ffir alle x ~ ~ und s < 2--~p(x) gibt es ein
n E IN mit B(x,s) c V n
Wegen (5) mu~ dazu lediglich ein n ~ IN gefunden
>_ + ll~k(y ) - ,m(y) I I ffir alle werden, so da~ PO~k(y ) Cn
y E B(x,s) und m _> k > n gilt. Seien 6 > O und n
so gew~hlt, da$ (2 +c)s + 26 + a n < p(x) und
l]Uk(X ) ~m(X) IJ < 6 for alle m,k >_ n . Ffir y ~ B(x,s)
und m,k > n gilt dann II~k(Y) -xll < s + 6 , also folgt
aus (2) :
p o ~ k ( y ) _> p ( x ) - c ] r u k ( y ) - x] I
> (2 + c ) s + 26 + ~n - c ( s + 6 ) >_ ~n + 2s + 6
Dle,Behauptung ergibt sich au~ II~k(y) ~m(y) I I < 2s + 6
ErfOllt die Zerlegung (~m) sogar noch L = I , so
gilt statt der letzten Ungleichung ll~k(y ) - ~m(y) ll
II(~ k ~m)( x - y) l] + II~k(X) - ~m(X) ll < s + 6 , also l~t
] anstelle yon 1 beweisen, und es sich (10) mit I+c 2+c I
folgt i-g~p(x ) ~ pf(x)
Im allgemeinen Fall (M ~ I, L ~ I) 16st man die Aufga-
be zun~chst mit der neuen Norm llxll* := supNnn(X) I I (bzw.
322
t:~
Ph
~ H
,--m
~ ~
II
e-b
N ~
~ rT~
IV
�9 -
~ II
~ 0
+ l--
h ,-
,~
~--"
--
~ IV
o ..
~ ..
..
c+
Ph
II :I:
:: --
I'-,h
,--
-mE:
:::
~ --
H
.
�9 -
~ --
X
II :~
~
Ha
I=~
~ =
IA
+ ~
. ~
IX} I
A
{1)
~.
{}q
~ 8
o ~-
~ ~
:
~.
~-~
{p
{n
~.
~ r+
czq
Ph IV
0 Oq
("D
I ~.
I '~,
:=1
r'+
c+
c+
,--,
.
P'h
~
ED
~ IA
cr
r~
~ r~
%
n C
<
H,
-< I
-,
IA
II
+ ~
,,.<
C}
+ I
i
IV
b4
l-h
IA
0 c-I-
+ I~
~1~
o~
IV
+ ,.<
I
,.<
~ ~
, i.~
, IV
~
~ ~
0)
o o
IV
~ r-~
~
:m ~
~ +
i .~,
Oq
~ ~-~
IA
~ ~
,.o
11}
i ~.
~ --
IV
IV
~ ~
~ ~
~ 4-
= ,-Q
I ~
~ ~
I
~ ~-~'
A ~n
O
~ .D
=:
1
{'p
{'P
X
~ ~
~ II
o
0 ~ IA
X
X
,D
,.--
, ::
~ ,-.-m
+ ,,
-J
c~
I
+ ! I
~-
O~
+ 0-
. N
0.1
V
P'h
0
~:
+
iV
rF
= ~
-J
0 Pin
I
+ P
h
+ r
G'
N =1
A
rm
~ +
X +
~
~D
~ II
tD
rr
~ O
0 ~
~.
~-m
Cr]
n ~
X e'~
= 0
o ~
0 ;-
t '-
~ w.
~ /
~ ~
#m
[-~
n,,%
]~"
l:::r
G}
{1)
G1
(~
i ~ �9
IA
0
(9
GO
7D
Ph
IA
Fm
c+
0 cr
~
~:~
~-~
(I}
pa
r~
M:)
10 SCHOTTENLOHER
g i l t I f k ( X n ) I ~ 2 - k 2 n ( 1 + Ih (Xn) l) - Ih(Xn) I ~2 n - k , "n s
und damit ~ p , also fk E S(p) . Weiterhin gilt
fk E A U und pfk fk * h in A U , wenn A U mit der Topolo-
gie der gleichm~igen Konvergenz auf allen U E U verse-
hen wird. Es ist
lim ind A U = (H(~) ) h E H(~) (h) '~b '
wobei Zb die zu c ~ assoziierte bornologische Topologie auf
H(~) bezeichnet. Daher ist S(p) folgendicht in (H(~),Tb) ,
insbesondere also auch in (H(~),ZO)
Es sei jetzt au~erdem noch (2) erfOllt. Es soll ge-
zeigt werden, da~ T(p) folgendicht in (H(~),~O) ist.
Sei h E H(~) . Zu jedem k E ~ gibt es nach dem Lemma ein
h k E A V mit IIh k - h*~kllV k < 2 -k . Wie im Beweis zu I ~
findet man/ gk E \A V mit Igk(Xn) I ~ 2n(I + lhk(Xn) I). FOr
c k := 2-k[IIgklIV k)-1 und fk := hk + Ckgk gilt jetzt
fk E A V , also nach dem Beweis zu 2 ~ Kp - < Pfk , und
Ifk(Xn) l a ck2n for genGgend groSe n , also nach dem
Beweis zur Aussage I ~ < Pfk - p " Insgesamt folgt
fk E T(P) Zu jeder kompakten Menge L c ~ gibt es nach
(6) ein n E ~ mit L c V n . FOr k ~ n gilt dann
+ llh - fkHL -< llh - ho.kllL + llhon k - hkllVk [lh k fk;IVk
_< Ilh - ho~k[l L + 2 -k + 2 -k -~ O
IIh - ho~kIIL * O ist richtig, weil (~k) auf jeder kompak-
ten Menge L c E gleichm~ig gegen die Identit~t id E
konvergiert. Damit ist der Satz bewiesen.
Bemerkungen. I. Die anfangs erw~hnten Resultate von
Coeur6 [2] und Kiselman [8] sind die folgenden: Eine zu
2 ~ ~hnliche Aussage wird for den Fall ~ = E in [8] und
for polynomkonvexe Gebiete ~ c E in [2] bewiesen.
2. Der Satz ist auch richtig for komplementierte Un ~
terr~ume F eines Raumes E mit endlichdimensionaler
Schauderzerlegung, also nach [10] auch fGr Banachr~ume F
mit der Banach-Approximationseigenschaft.
324
SCHOTTENLOHER 11
3. Aus dem Satz folgt die L6sung des Leviproblems:
Ist ~ c E pseudokonvex, also -log d~ plurisubharmonisch,
so findet man nach I ~ zu p = d~ ein f E H(~) mit
pf ~ p , das heist, ~ ist Existenzgebiet yon f . Tats~ch-
lich lehnt sich der Beweis des Satzes unmittelbar an den in
[11, S.62] gefQhrten Beweis an.
4. FQr Gebiete ~ c Cn und f ~ H(~) gilt stets
pf ~ d~. Der Satz hat also nur fNr Gebiete in unendlich-
dimensionalen Rgumen seine G@itigkeit.
5. Der Satz ist auch richtig fQr nichtschlichte Ge-
biete @ber E . Um den Beweis durchsichtiger zu machen, ha-
ben wir aber den Fall eines schlichten Gebietes ~ c E
vorangestellt und ausfOhrlich behandelt. Die notwendigen
~nderungen fQr die allgemeine Situation wollen wir ab-
schlieBend skizzieren. (vgl. [12]). Dazu sei an die folgen-
den Begriffe erinnert:
Ein Gebiet ~ber einem normierten Raum E ist ein zu-
sammenh~ngender Hausdorffraum ~ zusammen mit einer lokal-
topologischen Abbildung p: s ~ E Die Randdistanz d~
auf ~ ist definiert dutch
ds = sup{r > O I Es gibt eine Umgebung U yon x ,
so da~ piu: U ~ B(px,r) topologisch ist},
x ~ ~ , und die Kugel B(x,r) um x E 2 , r < d~(x) , ist
gerade diejenige Zusammenhangskomponente yon -I
p (B(px,r)) , die x enth~It. Die analytische Struktur
wird von E auf s durch p @bertragen. Analog werden
(nichtzusammenhgngende) Mannigfaltigkeiten @ber E defi-
niert.
KOROLLAR. Sei p: ~ ~ E ein Gebiet ~ber einem unendlich-
dimensionalen, normierten Raum E Qber ~ mit einer end-
lichdimensionalen Schauderzerlegung (~n) Dann gelten die
Aussagen I ~ , 2 ~ und 3 ~ des Satzes. Allerdings mu~ die
Bedingung (2) durch (2') ersetzt werden:
(2 ~) E__ss gibt c ~ ]O,1] mit IP(x) -P(Y) I ~ cllpx-pyll
fQr x,y ~ ~ , y 4 B(x,r)
3a5
12 SCHOTTENLOHER
Beweis: Sei (Zn) dicht in a mit z n E a n : p-1 = ( ~ n ( E ) ) , und sei wieder e n E ~n(E) mit Ilenll = I Die Folgen (~n)
und (Xn) werden wie oben definiert, nur ist jetzt x n
gerade der Punkt x E B(Zn,P(Zn) ) mit px n - pz n = I n
= (p(Zn) - g~n)en+1 Setze
Y n
:= {x ( a I Es g i b t e i n e z u s a m m e n h g n g e n d e Umgebung
U von x mit: Piu: U ~ pU ist topologisch
und {~n(PX) + X ( p x - ~ n ( P X ) ) I Ixl ~ 1} ~ U}
Dann ist Yn offen, und es gibt eine kanonische, stetige
Abbildung ~*:n Yn * an mit pO~*n = ~n ~ n Es ig~t sich
zeigen, da~ Yn pseudokonvex ist, indem man die Randdis-
tanzen in Richtung a E ~n(E) und b E (O) untersucht.
FOr X n := {x E ~Ym I ~x) E ~Ym fGr alle k ~ n 1
m~n n~m
gilt jetzt (3) und for
V n
:= {x E X n ] p o n ~ ( x ) >_ ~n + rl~k(PX) - ~m (px) ll und
n * ( x ) E L m f o r a l l e m >_ k _~ n} , n > 1 ,
gilt (4) wenn L m geeignet definiert ist. Dazu geht man
yon aufsteigenden, kompakten Oberdeckungen (Kn,j)j ~ I von
a n aus, die in a n fundamental sind: Sei L I := {z I} = V I
und es seien LI,L2,... ,L n bereits definiert. Es gibt
Jn E IN mit KI, n UK2, nU ... UKn, n UL n U {z n} c Kn,jn
Setze Sn+ I := {x E a I Es gibt y E Kn,jn mit
x E B(y,d~(y) - ~n+2) I . Dann ist Sn+ I in
Zn+1 := ~n+1NYn relativ-kompakt. Als Ln+ I wird jetzt
die holomorph-konvexe HOlle von Sn+ I bezfiglich Zn+ I ge-
nommen. Es gilt x n E Ln+ I und Ln+ I c ~n+iNYn = ~n+iNXn.
Jetzt lassen sich die Eigenschaften (4) - (7) nachprfifen,
um dann for den Rest des Beweises wie oben fortfahren zu
k6nnen.
Bemerkung. Zu jeder Folge (Wn) aus ~ Ig~t sich stets
f E A V konstruieren mit f(Xn) = w n for n E ~ �9
326
SCHOTTENLOHER 13
Literatur
I �9
2.
3~
4 .
5.
6.
7.
8 .
9.
10.
11.
12.
ARON, R.: Entire functions of unbounded type on a Ba- nach space. Boll. Un. Mat. Ital. 9 , 28 - 31 (1974).
COEURE, G.: Sur le rayon de bornologie des fonctions holomorphes. Manuskript.
GRUMAN, L., KISELMAN, C.O.: Le probl~me de Levi dans les espaces de Banach ~ base. C. R. Acad. Sci. Paris, A 274, 1296-1299 (1972).
H~RMANDER, L. : An Introduction to Complex Analysis in Se- veral Variables. Princeton: Van Nostrand 1966.
JOSEFSON, B.: Weak sequential convergence in the dual of a Banach space does not imply norm convergence. Ark. Mat. 13, 79 -89 (1975).
KISELMAN, C.O.: On the radius of convergence of an entire function in a normed space. Ann. Polon. Math. 33, 39 - 55 (1976).
--: Geometric aspects of the theory of bounds for entire functions in normed spaces. In: Infinite Dimen- sional Holomorphy and Applications. Ed. M.C. Matos. Er- scheint beiNortn-Holland, Amsterdam.
--: Constructions de fonctions enti~res ~ rayon de convergence donn~. Manuskript.
NOVERRAZ, PH.: Pseudoconvexi~ convexitr polynomiale et do- maines d'holomorphie en dimension infinie. Amsterdam: North- Holland 1973.
PELCZYNSKI, A., WOJTASZCYK, P.: Banach spaces with finite dimensional expansions of identity and univer- sal bases of finite dimensional subspaces. Studia Math. 40, 91 - 108 (1971).
SCHOTTENLOHER, M. : Das Leviproblem in unendlichdimensiona- len R~umen mit Schauderzerlegung. Habilitationsschrift, Universit~t M~nchen 1974.
--: The Levi problem for domains spread over locally convex spaces with a finite dimensional Schauder de- composition. Ann. Inst. Fourier, Grenoble 26, 207-237(1976)
Martin Schottenloher
Mathematisches Institut der Universit~t NgJnchen
Theresienstrage 39
D 8OOOMONCHEN 2
(Eingegangen am 28. M~rz 1977)
327