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manuscripta math. 21, 315 - 327 (1977) by Springer-Verlag 1977 HOLOMORPHE FUNKTIONEN AUF GEBIETEN OBER BANACH- R UMEN ZU VORGEGEBENEN KONVERGENZRADIEN Martin Schotten!oher Given a function p: ~ ~+ on a domain ~ spread over an infinite dimensional complex Banach space E with a Schauder basis such that -log p is plurisub- harmonic and p ~ d ~d denotes the boundary distance on ~) one ~ c~ find a holomorphic function f: ~ ~ ~ with pf ~ p , where Pc is the radius of convergence of f . If, in addition~ p is locally Lipschitz continuous with constant I , f can be chosen so that (3M)-Ip ~ pf ~ p , where M is the basis constant of E. In the particular case of E = ~ there are holomorphic functions f on with I P = Pf Eine ganze Funktion auf ~n hat bekanntlich stets den Konvergenzradius ~ Dagegen gibt es nach IS] auf jedem unendlichdimensionalen Banachraum E fiber ~ eine holo- morphe Funktion f: E + ~ mit endlichem Konvergenzradius. f l~t sich sogar so w~hlen, da~ der Konvergenzradius pf yon f auf der Einheitskugel von E beliebig klein wird: inf(pf(x) I IlxH ~ I) = o [I]. Ankn~pfend an dieses Ergebnis stellt sich die Frage (vgl. [6]~[7]), ob es zu einer vorge- gebenen positiven Funktion p stets eine holomorphe Funk- tion f mit p = pf gibt. Da pf stets lokal lipschitz- stetig ist und -log pf plurisubharmonisch ist, mu~ p 315

Holomorphe Funktionen auf Gebieten über Banach-Räumen zu vorgegebenen Konvergenzradien

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manuscripta math. 21, 315 - 327 (1977) �9 by Springer-Verlag 1977

HOLOMORPHE FUNKTIONEN AUF GEBIETEN OBER BANACH-

R UMEN ZU VORGEGEBENEN KONVERGENZRADIEN

Martin Schotten!oher

Given a function p: ~ ~+ on a domain ~ spread over an infinite dimensional complex Banach space E with a Schauder basis such that -log p is plurisub- harmonic and p ~ d ~d denotes the boundary distance on ~) one ~ c~ find a holomorphic function f: ~ ~ ~ with pf ~ p , where Pc is the radius of convergence of f . If, in addition~ p is locally Lipschitz continuous with constant I , f can be chosen so that (3M)-Ip ~ pf ~ p , where M is the basis constant of E. In the particular case of E = ~ there are holomorphic functions f on with I P = Pf

Eine ganze Funktion auf ~n hat bekanntlich stets den

Konvergenzradius ~ Dagegen gibt es nach IS] auf jedem

unendlichdimensionalen Banachraum E fiber ~ eine holo-

morphe Funktion f: E + ~ mit endlichem Konvergenzradius.

f l~t sich sogar so w~hlen, da~ der Konvergenzradius pf

yon f auf der Einheitskugel von E beliebig klein wird:

inf(pf(x) I IlxH ~ I) = o [I]. Ankn~pfend an dieses Ergebnis

stellt sich die Frage (vgl. [6]~[7]), ob es zu einer vorge-

gebenen positiven Funktion p stets eine holomorphe Funk-

tion f mit p = pf gibt. Da pf stets lokal lipschitz-

stetig ist und -log pf plurisubharmonisch ist, mu~ p

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2 SCHOTTENLOHER

noch notwendige Bedingungen erfUllen, die wir im folgenden

gleich fur den Fall eines Gebietes ~ c E formulieren (d~

ist die Randdistanz in ~ : d~(x) = inf{llx - Yll I Y E a~} I

fur x ~ ~):

(I) -log p ist p'lurisubharmonisch und p ~ d~ .

(2) Es gibt eine Konstante c 6 ]O,1] mit

IP(x) - P(Y) I a cll x - yll fur x,y 6 ~ , Nx - yll < d~(x)

Nach einem Beispiel von Kiselman [6] gibt es positi-

ve Funktionen p auf E = c O oder E = gp , p > I , mit

(I) und (2) , so da~ pf * p fur alle holomorphen Funk-

tionen f: E ~ @ gilt.

Ziel dieser Note ist es, in Erg~nzung zu Resultaten

von Coeur@ [2] und Kiselman [8] , den folgende n Satz zu

beweisen und dann auf nichtschlichte Gebiete fiber E zu

verallgemeinern:

SATZ. Sei ~ c E ein Gebiet in einem unendlichdimensiona-

len, normierten Raum E Uber ~ mit einer endlichdimen-

sionalen Schauderzerlegung (~n)

I ~ Zu jeder Funktion p: e ~ ~+ mit (I) gibt e_ss

eine holomorphe Funktion f: ~ ~ ~ mit pf ~ p .

2 ~ E__~s gibt eine nut yon E und c abh~ngige Kon-

stante K = K(c) > O , so da~ zu jeder Funktion p: e + R+

mit (I) und (2) eine holomorphe Funktion f: ~ + ~ mit

Kp M p f M p

existiert. Im allgemeinen kann K(c)= suP{M--~ , L--~ }

gew~hlt werden, wobei M := supll~nl I und L := sup]In n- ~mJI.

Ist E eine gp-Summe ffr ein p ~ [1,oo[ , das heist, gilt

oo

Ilxll p = ~ H~n+1(x) - ~n(X) llP ffr alle x E E , n=1 I

I + I = I gew~hlt so kann K(c) = (I + cq) -~ mit ~

316

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SCHOTTENLOHER 3

werden. Insbesondere ~i~t es im Falle E = gl z u ~ mit

(]) und (2) stets eine holomorphe Funktion f auf

mit pf =

3 ~ FNr jede Funktion p: ~ ~ ~+ mit (I) ist die

Menge S(p) := {f ~ H(~) I pf ~ p} folgendicht im Raum

H(~) := {f I f: ~ ~ r holomorph} , wenn H(~) mit der

kompakt-offenen Topologie ZO versehen wird. Gilt au~erdem

noch (2) , so ist auch T(p) := {f E H(~) j Kp ~ ~f ~ p}

~olgendicht i__n_n (H(~),~O)

Unter einer endlichdimensionalen Schauderzerlegung yon

E wird eine Folge (~n) yon stetigen, linearen Projektio-

nen ~n: E ~ E mit den folgenden Eigenschaften verstanden:

dim~ n o~ = ~ f~r suplI~n] I < ~ , (E) < ~ und ~n m min{n,m}

alle n,m E ~ , x = lim ~n(X) = ~(nn+ I (x) - nn(X)) fGr

x E E Grundlegende Begriffe und Ergebnisse ~ber holomor-

phe und plurisubharmonische Funktionen in normierten R~umen

findet man z.B. in [9]

Beweis des Satzes: Unter den Voraussetzungen von ] ~ kon-

struieren wir zu einer geeignet gew~hlten Folge (Xn) aus

eine holomorphe Funktion f auf ~ mit ]f(Xn) I ~ n ,

n ~ ~ , so da~ dann pf ~ p folgt. Zugleich gilt

HfH V := sup{If(x) l I x E Vn} < ~ , n ~ ~ , n

f~r eine vorher definierte 0berdeckung (Vn) yon ~ F~r

den Fall, da~ auch (2) gilt, enth~it V fGr hinreichend n

gro~es n genOgend gro~e Kugeln B(x,r) = {y E E I fix -YJl < r},

woraus die Aussage 2 ~ des Satzes folgt.

Sei (Zn) eine in ~ dichte Folge mit ]iZnH + p(Zn) ~n

(das bedeutet keine Einschr~nkung der Allgemeinheit) und

z n E ~n := ~ N ~n(E) Sei e n E ~n(E) mit llenH = I. Seize

1 , �89 , , gl := 2P(Zl) gn+1 := P(Zn) Sn' P(Xn)} n E ~,

= + (p(Zn) - ~Sn) en+1 Im folgenden sei die wobei x n : z n

Schauderzerlegung (~n) zun~chst monoton, das heiBt

M = supll~nH = I . Die Oberdeckung (Vn) yon ~ werde

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4 SCHOTTENLOHER

definiert durch V I := {z I} und

>_ + I I ~ k ( x ) - ~m(X) ll u n d V n := {x ~ X n ] p OUk (X) Sn

~m(X) E L m f i i r a l l e m _> k >_ n} ,

n > I , wobei

X n := {x E a I "m (x) E ~ fur alle m~n} = ~ ~ N,~I (am) ' mcn

-I n { I , u n f l , m i t Z n + l := a n + l n g n ( a n ) = a n + l NX n ,

Ln+ 1 := {x ( ~ n + l 1 Ilxll ~ n u n d d Z n + l ( x ) e ~ n + l } ,

n ~ I . Es gilt

und ~m(Xn) = a m NX ffir m > n (3) X n Xn+ 1 n - '

und dann auch

(4) V n c Vn+ I und Sm(Vn) = a m NV n fur alle m ~ n,

wie sich unmittelbar aus den Definitionen ablesen lg~t.

Weiterhin gelten die folgenden Aussagen:

mit

(5) FUr alle x E a und r < da(x ) gibt es n E

B(x,r) c X n und mit Sm(B(x,r)) c L m fur m ~ n

(6) FOr alle x E a gibt es s > 0 und n E ~ mit

B(x,s) c V n

(7) Kn+ I "= ~n+1(Vn) ist kompakt und holomorph-kon-

vex in Zn+ I for n ~ I . Au~erdem gilt ~n(Kn+1) c Z n

Um (5) zu zeigen, seien x E ~ und r < da(x ) Es

gibt 6 > O mit r + 36 < d~(x) , und man findet n E I~

mit ~n < 6 , }IXll + r < n-1 und il~m(X) - ~n(X) II < 6 fQr

m > n-1 . Wegen ~m(B(~n(X),r + 26)) c B(x,r + 36) c a for

m > n-1 gilt B(~n(X ),r + 26) c Xn_ I c X m , also ist

dzm(~n(X)) >_ r +26 , m > n . FOr y E B(x,r) und m > n

d z _ > a u n d II~ ( y ) H < [lyll < ergibt sich mSm(y) >_ 6> s n _ m m - -

< IIxH + r _< m-1 , also B(x,r) c Xn_ I und ~m(B(x,r)) c L m

Xhnlich igfgt sich (6) nachprtifen: Zu x E ~ gibt es

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SCHOTTENLOHER 5

r > O mit 5r < p(x) Da p nach unten halbstetig ist,

gilt p(y) > 4r for llx - Yll < 26 mit einem geeigneten

6 > O . Es gibt n E ~ , so daft for s := min(r,6} gilt:

a n < s und ll~m(X) - ~k(X) H _ < s fQr alle m,k ~_ n . Es

sei n noch so gro~ gew~hlt, da~ B(x,s) c X n und

~m(B(x,r)) c L m fQr m ~ n gilt. FOr y E B(x,s) und

m,k ~ n folgt dann: PO~k(y ) > 4s wegen l]~k(y ) xH < Bs

< + 3s ~ a + H~k(y ) ~m(y) H ~ _ 26 und daher P~ (y) > an n

denn ll~k(y ) - nm(y) II ~ llwk(Y-X) l I + I[~m(Y-X)] I + ll~k-~m(X)l I

< 3s . Damit ergibt sich B(x,r) ~ V n , also ist (6) ge-

zeigt.

Um (7) zu beweisen, sei zun~chst einmal festgestellt,

daft ~ pseudokonvex ist: Denn aus (I) folgt f@r jede

kompakte Menge K ~ ~ , da~ inf{p(x) [ x E Kp(s I =

= inf{p(x) I x E K} > O ist, wenn Kp(~) die plurisubhar-

monisch-konvexe HQIIe von^ K bezeichnet. Wegen p ~ d~

folgt inf{d~(x) I x E Kp(s > O , und das bedeutet, da~

pseudokonvex ist. Damit ist auch Zn+1 = ~n+1 n ~n1(~n)

pseudokonvex. DaB Kn+ I kompakt ist, folgt direkt aus:

Kn+1 = ~n+] nv n = {x E Ln+ I n ~n1(Ln) I p(x) ~ a n und

pO~n(X) ~ s n + I I~n(X) - xH} = {x E Ln+ 1 n ~ n l ( L n ) I l o g a n

- log p(x) ~ O und -log PO~nfX) + log(s n +ll~n(XD-xllDs 0}.

An dieser Darstellung yon Kn+ I l~t sich aber auch erken-

nen, da~ Kn+~1 holomorph-konvex in Zn+ I ist. Denn

Denn Ln+ I n ~n (Ln) ist in Zn+ I holomorph-konvex, und

Kn+ I wird durch Funktionen beschrieben, die auf Zn+ I

plurisubharmonisch sind (vgl. [4, rhm. 4.3.4]) SchlieB-

lich gilt ~n(Kn+1) c L n c Z n , und (7) ist bewiesen.

Von entscheidender Bedeutung ist nun das folgende Lem-

ma (vgl. [3, Lemme] ) , fQr das wir die Eigenschaften

(4) - (7) bereitgestellt haben.

LEMMA. Zu ~eder holomorphen Funktion f auf Z n und zu

jedem s > O gibt es eine holomorphe Funktion g auf

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6 SCHOTTENLOHER

mit fig - f~ < o~ und Ilgll v < oo f~r alle m E IN n m

Beweis des Lemmas:

(fj)j ~ n mit

(8) fj ~ H(Zj)

d e f i n i e r t . S e i e n f n r e i t s g e g e b e n . Nach

Durch Induktion wird eine Folge

und Ilfj+ 1 f j o ~ j l l K j + l

�9 f . := f ' f n + l ' "" -1 J (7) i s t a j+ 1 Cl~j (Zj )

< g2 -j-l, j >-n,

mit (8) be-

eine Umge-

bung von Kj+ I . Nach dem Approximationssatz yon Oka-Weil

[4, Thm. 4.3.2] gibt es wegen (7) zu fjo~j eine holo-

morphe Funktion fj+1 E H(Zj+ I) mit (8) F~r

1 ~_ k _> m >_ n gilt jetzt:

i-] IIfko~ k - flO~lllV _< ~ IIfj+1~ 1 - fjo~jIIvj

m j--k

i-I

-< ~ IIfj+1 fD~ I(Vj) j=k

1-I < g2 -k -~ ~ I l f j + 1 - f ~

j=k J Kj+I

Also konvergiert (fk~ >_m gleichm~ig auf V m gegen

eine im Innern yon V m holomorphe Funktion g , und nach

(6) ist g auf ganz ~ definiert und dort holomorph. Aus

der Abschgtzung folgt mit m = k und 1 ~ co :

llg - fm~ < ~2-m m

Also gilt llg - f~ < n

- -< I] fmll + llg fm~ gm;IVm Km+]

bewiesen.

und Hgll V ~ llfmO~mH V + m m

+ ~ < ~ Damit ist das Lemma

Wir fahren jetzt mit dem Beweis des Satzes fort. Nach

Konstruktion von (Vn) und (Xn) gilt x n ( Vn+ I ~V n

Denn es ist

&n + ll~n(Xn) - Xn]I = &n + (P(Zn) - �89 ) > P(Zn) = P~ '

also Xn~ V n . Es ist x n (Zn+ I und mit (I) : dZn+1(Xn)

dZn+](Zn) [IZn-Xn]l a d~(Zn) - (p(Zn) -�89 ~ �89 ~ ~n+1'

320

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SCHOTTENLOHER 7

also "n+1(Xn) = Xn E Ln+ I , da ja IIXnl I s ilZn! I + p(Zn)~n.

Wegen p(Xn) ~ Sn+1 folgt x n ~ Vn+ I Nach (7) gibt es

dann wegen x n ~ Kn+ I = V n Nan+l eine holomorphe Funktion

fn auf Zn+ 1 mit

I f n ( X n ) I > 1 > n f n l I K n + l '

u n d n a c h dem Lemma f i n d e t man gn ~ H ( a )

f f i r a l l e m ( ~ u n d mit llgnlIV m <

- ~ < m i n { I f n ( X n ) I - 1 , 1 fig n In~

Es folgt

/I fn/I } Kn+ ]

[ g n ( X n ) l > 1 > !lgnll V n

und f~r geeignete Potenzen h n (H(~) yon gn gilt jetzt

llhnJIV < = f~r alle m,n E ~ , m

< 2 - n u n d Ilhnil v n

n-1 l h n(xn) I > n + I + ~ l hj (Xn) I

j=l fGr al!e n E ~ .

Aus diesen Ungleichungen ergibt sich, da~ die Reihe ~ h n

lokal gleichm~gig (vgl. (6)) gegen eine holomorphe

Funktion f = ~h n E H(~) mit If(Xn) I ~ n konvergiert.

Wir zeigen schlie~lich

es eine Teilfolge (Zn(j))j ~I

Wegen If(Xn(j)) I ~n(j) ist f

Radius r > lim inf fix - Xn(j)l]

pf(x) _ <

pf ~ p Zu jedem x ~ ~ gibt

von (Zn) mit Zn(j) * x.

auf jeder Kugel um x mit

unbeschr~nkt. Es folgt

lim infl]x - Xn(j)I I

_~ lira inf(IIx - Zn(j)[l + iJZn(j) - Xn(j)I[ )

�9 I lira inf(P(Zn(j) ) - ~Sn(j) )

~_ p(x)

Die letzte Ungleichung gilt, da p nach unten halbstetig

ist. Damit ist Teil I ~ des Satzes for den monotonen Fall

bewiesen. Der allgemeine Fall, das heist M ~ I , ergibt

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8 SCHOTTENLOHER

sich aus folgender 0berlegung: Durch fix[I*: = supII~n(X) I I ,

x E E , wird eine Norm auf E mit llxll s IIxlI*s MIlxll defi-

niert, so da~ (Wn) bez@glich II If* monoton ist. F@r die

entsprechenden Randdistanzen, bzw. Konvergenzradien, gilt:

(9) d~ s d~ s Md~

pf s p~ s Mpf

Z u p: ~ ~ ~+ mit (I) , also

holomorphe Funktion f auf

Damit ist die Aussage I ~

p ~ d~ , gibt es jetzt eine

mit p~ ~ p , also pf ~ p.

des Satzes vollst~ndig bewiesen.

Um 2 ~ zu zeigen, sei (,n) zun~chst wieder monoton.

Da die oben konstruierte Funktion f auf allen V m

m (IN , beschr~nkt ist, genfigt es, die folgende Behauptung

zu zeigen:

1 (10) Ffir alle x ~ ~ und s < 2--~p(x) gibt es ein

n E IN mit B(x,s) c V n

Wegen (5) mu~ dazu lediglich ein n ~ IN gefunden

>_ + ll~k(y ) - ,m(y) I I ffir alle werden, so da~ PO~k(y ) Cn

y E B(x,s) und m _> k > n gilt. Seien 6 > O und n

so gew~hlt, da$ (2 +c)s + 26 + a n < p(x) und

l]Uk(X ) ~m(X) IJ < 6 for alle m,k >_ n . Ffir y ~ B(x,s)

und m,k > n gilt dann II~k(Y) -xll < s + 6 , also folgt

aus (2) :

p o ~ k ( y ) _> p ( x ) - c ] r u k ( y ) - x] I

> (2 + c ) s + 26 + ~n - c ( s + 6 ) >_ ~n + 2s + 6

Dle,Behauptung ergibt sich au~ II~k(y) ~m(y) I I < 2s + 6

ErfOllt die Zerlegung (~m) sogar noch L = I , so

gilt statt der letzten Ungleichung ll~k(y ) - ~m(y) ll

II(~ k ~m)( x - y) l] + II~k(X) - ~m(X) ll < s + 6 , also l~t

] anstelle yon 1 beweisen, und es sich (10) mit I+c 2+c I

folgt i-g~p(x ) ~ pf(x)

Im allgemeinen Fall (M ~ I, L ~ I) 16st man die Aufga-

be zun~chst mit der neuen Norm llxll* := supNnn(X) I I (bzw.

322

Page 9: Holomorphe Funktionen auf Gebieten über Banach-Räumen zu vorgegebenen Konvergenzradien

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Page 10: Holomorphe Funktionen auf Gebieten über Banach-Räumen zu vorgegebenen Konvergenzradien

10 SCHOTTENLOHER

g i l t I f k ( X n ) I ~ 2 - k 2 n ( 1 + Ih (Xn) l) - Ih(Xn) I ~2 n - k , "n s

und damit ~ p , also fk E S(p) . Weiterhin gilt

fk E A U und pfk fk * h in A U , wenn A U mit der Topolo-

gie der gleichm~igen Konvergenz auf allen U E U verse-

hen wird. Es ist

lim ind A U = (H(~) ) h E H(~) (h) '~b '

wobei Zb die zu c ~ assoziierte bornologische Topologie auf

H(~) bezeichnet. Daher ist S(p) folgendicht in (H(~),Tb) ,

insbesondere also auch in (H(~),ZO)

Es sei jetzt au~erdem noch (2) erfOllt. Es soll ge-

zeigt werden, da~ T(p) folgendicht in (H(~),~O) ist.

Sei h E H(~) . Zu jedem k E ~ gibt es nach dem Lemma ein

h k E A V mit IIh k - h*~kllV k < 2 -k . Wie im Beweis zu I ~

findet man/ gk E \A V mit Igk(Xn) I ~ 2n(I + lhk(Xn) I). FOr

c k := 2-k[IIgklIV k)-1 und fk := hk + Ckgk gilt jetzt

fk E A V , also nach dem Beweis zu 2 ~ Kp - < Pfk , und

Ifk(Xn) l a ck2n for genGgend groSe n , also nach dem

Beweis zur Aussage I ~ < Pfk - p " Insgesamt folgt

fk E T(P) Zu jeder kompakten Menge L c ~ gibt es nach

(6) ein n E ~ mit L c V n . FOr k ~ n gilt dann

+ llh - fkHL -< llh - ho.kllL + llhon k - hkllVk [lh k fk;IVk

_< Ilh - ho~k[l L + 2 -k + 2 -k -~ O

IIh - ho~kIIL * O ist richtig, weil (~k) auf jeder kompak-

ten Menge L c E gleichm~ig gegen die Identit~t id E

konvergiert. Damit ist der Satz bewiesen.

Bemerkungen. I. Die anfangs erw~hnten Resultate von

Coeur6 [2] und Kiselman [8] sind die folgenden: Eine zu

2 ~ ~hnliche Aussage wird for den Fall ~ = E in [8] und

for polynomkonvexe Gebiete ~ c E in [2] bewiesen.

2. Der Satz ist auch richtig for komplementierte Un ~

terr~ume F eines Raumes E mit endlichdimensionaler

Schauderzerlegung, also nach [10] auch fGr Banachr~ume F

mit der Banach-Approximationseigenschaft.

324

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SCHOTTENLOHER 11

3. Aus dem Satz folgt die L6sung des Leviproblems:

Ist ~ c E pseudokonvex, also -log d~ plurisubharmonisch,

so findet man nach I ~ zu p = d~ ein f E H(~) mit

pf ~ p , das heist, ~ ist Existenzgebiet yon f . Tats~ch-

lich lehnt sich der Beweis des Satzes unmittelbar an den in

[11, S.62] gefQhrten Beweis an.

4. FQr Gebiete ~ c Cn und f ~ H(~) gilt stets

pf ~ d~. Der Satz hat also nur fNr Gebiete in unendlich-

dimensionalen Rgumen seine G@itigkeit.

5. Der Satz ist auch richtig fQr nichtschlichte Ge-

biete @ber E . Um den Beweis durchsichtiger zu machen, ha-

ben wir aber den Fall eines schlichten Gebietes ~ c E

vorangestellt und ausfOhrlich behandelt. Die notwendigen

~nderungen fQr die allgemeine Situation wollen wir ab-

schlieBend skizzieren. (vgl. [12]). Dazu sei an die folgen-

den Begriffe erinnert:

Ein Gebiet ~ber einem normierten Raum E ist ein zu-

sammenh~ngender Hausdorffraum ~ zusammen mit einer lokal-

topologischen Abbildung p: s ~ E Die Randdistanz d~

auf ~ ist definiert dutch

ds = sup{r > O I Es gibt eine Umgebung U yon x ,

so da~ piu: U ~ B(px,r) topologisch ist},

x ~ ~ , und die Kugel B(x,r) um x E 2 , r < d~(x) , ist

gerade diejenige Zusammenhangskomponente yon -I

p (B(px,r)) , die x enth~It. Die analytische Struktur

wird von E auf s durch p @bertragen. Analog werden

(nichtzusammenhgngende) Mannigfaltigkeiten @ber E defi-

niert.

KOROLLAR. Sei p: ~ ~ E ein Gebiet ~ber einem unendlich-

dimensionalen, normierten Raum E Qber ~ mit einer end-

lichdimensionalen Schauderzerlegung (~n) Dann gelten die

Aussagen I ~ , 2 ~ und 3 ~ des Satzes. Allerdings mu~ die

Bedingung (2) durch (2') ersetzt werden:

(2 ~) E__ss gibt c ~ ]O,1] mit IP(x) -P(Y) I ~ cllpx-pyll

fQr x,y ~ ~ , y 4 B(x,r)

3a5

Page 12: Holomorphe Funktionen auf Gebieten über Banach-Räumen zu vorgegebenen Konvergenzradien

12 SCHOTTENLOHER

Beweis: Sei (Zn) dicht in a mit z n E a n : p-1 = ( ~ n ( E ) ) , und sei wieder e n E ~n(E) mit Ilenll = I Die Folgen (~n)

und (Xn) werden wie oben definiert, nur ist jetzt x n

gerade der Punkt x E B(Zn,P(Zn) ) mit px n - pz n = I n

= (p(Zn) - g~n)en+1 Setze

Y n

:= {x ( a I Es g i b t e i n e z u s a m m e n h g n g e n d e Umgebung

U von x mit: Piu: U ~ pU ist topologisch

und {~n(PX) + X ( p x - ~ n ( P X ) ) I Ixl ~ 1} ~ U}

Dann ist Yn offen, und es gibt eine kanonische, stetige

Abbildung ~*:n Yn * an mit pO~*n = ~n ~ n Es ig~t sich

zeigen, da~ Yn pseudokonvex ist, indem man die Randdis-

tanzen in Richtung a E ~n(E) und b E (O) untersucht.

FOr X n := {x E ~Ym I ~x) E ~Ym fGr alle k ~ n 1

m~n n~m

gilt jetzt (3) und for

V n

:= {x E X n ] p o n ~ ( x ) >_ ~n + rl~k(PX) - ~m (px) ll und

n * ( x ) E L m f o r a l l e m >_ k _~ n} , n > 1 ,

gilt (4) wenn L m geeignet definiert ist. Dazu geht man

yon aufsteigenden, kompakten Oberdeckungen (Kn,j)j ~ I von

a n aus, die in a n fundamental sind: Sei L I := {z I} = V I

und es seien LI,L2,... ,L n bereits definiert. Es gibt

Jn E IN mit KI, n UK2, nU ... UKn, n UL n U {z n} c Kn,jn

Setze Sn+ I := {x E a I Es gibt y E Kn,jn mit

x E B(y,d~(y) - ~n+2) I . Dann ist Sn+ I in

Zn+1 := ~n+1NYn relativ-kompakt. Als Ln+ I wird jetzt

die holomorph-konvexe HOlle von Sn+ I bezfiglich Zn+ I ge-

nommen. Es gilt x n E Ln+ I und Ln+ I c ~n+iNYn = ~n+iNXn.

Jetzt lassen sich die Eigenschaften (4) - (7) nachprfifen,

um dann for den Rest des Beweises wie oben fortfahren zu

k6nnen.

Bemerkung. Zu jeder Folge (Wn) aus ~ Ig~t sich stets

f E A V konstruieren mit f(Xn) = w n for n E ~ �9

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Page 13: Holomorphe Funktionen auf Gebieten über Banach-Räumen zu vorgegebenen Konvergenzradien

SCHOTTENLOHER 13

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Martin Schottenloher

Mathematisches Institut der Universit~t NgJnchen

Theresienstrage 39

D 8OOOMONCHEN 2

(Eingegangen am 28. M~rz 1977)

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