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Horst Lippmann Angewandte Tensorrechnung Für Ingenieure, Physiker und Mathematiker

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Horst Lippmann Angewandte Tensorrechnung

Für Ingenieure, Physiker und Mathematiker

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Springer Berlin Heidelberg NewYork Barcelona Budapest Hongkong London Mailand Paris SantaCiara Singapur Tokio

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Horst Lippmann

Angewandte Tensorrechnung Für Ingenieure, Physiker und Mathematiker

2. Auflage

Mit 61 Abbildungen

t Springer

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Professor Dr. rer. nat. Dr. mont. h.c. Horst Lippmann TUMUnehen Lehrstuhl A für Mechanik Areisstr.21 80333 MUnehen

Erschien unter der Reihe Weiterführendes Lehrbuch

ISBN-13:978-3-642-80293-5 e-ISBN-13:978-3-642-80292-8 001: 10.1007/978-3-642-80292-8

Die Deutsche Bibliothek - Cip-Einheitsaufnahme

Lippmann, Rorst: Angewandte Tensorrechnung fiIr Ingenieure, Physiker und Mathematiker I Horst Lippmann. - 2. Autl. - Berlin ; Heidelberg ; New York; Barcelona; Budapest; Hongkong; London; Mailand; Paris; Santa Clar ; Singpur ; Tokio: Springer, 1996

ISBN-13: 978-3-642-80293-5

Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Ühersetzung, des Nachdrueks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder Vervielfliltigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfliltigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutsch­land vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungsptlichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechts­gesetzes.

@ Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1996 Softeover reprint of the hardeover 2nd edition 1996

Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Buch berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, da« solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften.

Sollte in diesem Werk direkt oder indirekt aufGesetze, Vorschriften oder Richtlinien (z.B. DIN, VDI, VDE) Bezug genommen oder aus ihnen zitiert worden sein, so kann der Verlag keine Gewähr fiir die Richtigkeit, Vollständigkeit oder Aktualität übernehmen. Es empfiehlt sich, gegebenenfalls fiir die eigenen Arbeiten die vollständigen Vorschriften oder Richtlinien in der jeweils gültigen Fassung hinzuzuziehen.

Produktion: PRODUserv SpringerProduktions-Gesellschaft Einbandentwurf: Struve & Partner, Heidelberg; SPIN: 10541480 62./302.0 - 5 4 3 2. 1 0 - Gedruckt auf säurefreiem Papier

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Vorwort

Die Tensorrechnung ist ein formaler, programmierbarer Kalkül von speziellem Nutzen in der angewandten Mathematik, in der theoretischen Physik und in den theoretisch oder numerisch orientierten Ingenieurwissenschaften. Hier lernt man schon frühzeitig, beispielsweise mit mechanischen Spannungen und Verfor­mungen in festen, flüssigen oder gasfõrmigen Kõrpern sowie mit Trägheitsmo­menten, Flächenkrümmungen und anderen GrõBen umzugehen, welche sogar dann Tensoren sind, wenn man es verschweigt. Die Kristallkunde beruht in ganz besonderem MaBe auf der Tensorrechnung; der Leser sei auf die umfassende Darstellung in Nyes Lehrbuch [1] verwiesen. Auch viele numerische Methoden der Kontinuumsphysik werden erst bei tensorieller Darstellung durchsichtig.

Der nachfolgende Text ist als Einführung zu verstehen, und zwar für Inge­nieure, Physiker oder Angewandte Mathematiker. Er beruht auf einer Vorle­sung für Studenten hõherer Semester, die der Verfasser wiederholt an der Universität Karlsruhe (TH) sowie an der Technischen Universität München hielt, und setzt Vorkenntnisse entsprechend den üblichen Einführungskursen in Mathematik und Mechanik voraus. Da letztlich auch die Tensorrechnung ein Teilgebiet der Mathematik ist, lassen sich rein mathematische Betrachtungen und Beweise nicht ganz vermeiden. Der Leser mag sie nach eigenem Gutdünken überspringen.

Es werden Anwendungen der Tensorrechnung auf Probleme der Mechanik, der Elektrodynamik und anderer Bereiche behandelt. Hierzu oder als allgemei­ne Einführung gibt es bereits eine Reihe ausgezeichneter, teils mehr mathemati­scher, teils überwiegend anwendungsbezogener Werke, von denen an dieser Stelle nur einige jüngere deutschsprachige [2-4,6, 14] sowie, neben der umfas­senden und selbst unter heutigen MaBstäben noch nicht volI erschlossenen Monographie von J. A. Schouten [5], zwei englischsprachige [7, 8] erwähnt seien. Das vorliegende Buch ist durch das Zusammenwirken der folgenden Merkmale charakterisiert:

• n-dimensionaler Raum,

wobei n irgendeine natürliche Zahl (1, 2, 3 ... ) bedeutet. Während sich nämlich die meisten Anwendungen der Tensorrechnung auf den dreidimensionalen An­schauungsraum, kurz: auf den "Raum" beziehen, macht beispielsweise die innere Flächentheorie mit ihrer Realisierung in der mechanischen Schalentheorie vom zweidimensionalen, die (mathematische) Kurven- bzw. die (mechanische) Stab­oder Balkentheorie vom eindimensionalen und die Relativitätstheorie gar vom (allerdings nichteuklidischen) vierdimensionalen Kontinuum Gebrauch, dessen

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VI Vorwort

eine Koordinate die Zeit t ist. Ähnlich geht Lehmann [11] bei kontinuumsme­chanischen Untersuchungen vor. Im Phasenraum der Partikelmechanik oder in der kinetischen Gastheorie trägt man dreidimensionale Impulse über dreidi­mensionalen Lagekoordinaten auf; er ist dann (bis zu) 6-dimensional. Auch der von Kondo [22] zur geometrischen Deutung der Versetzungstheorie in Kristal­len benutzte Raum hat 6 Dimensionen. Die

• Einbeziehung nicht-orthogonaler gerad- und krummliniger Koordinatensysteme

ist ein MUSS im Hinblick auf numerische Anwendungen für groBe Form­änderungen des betrachteten Kõrpers, bei denen sich anfangs geradlinige Koor­dinatennetze in der Regel zu krummlinig schiefwinkeligen verziehen (Bild 0.1). Hierbei hilft die

• konsequente Anwendung der Ricci-Schoutenschen Kern-Index-Schreibweise,

Irrtümer oder MiBverständnisse zu vermeiden, die sich bei einer scheinbar einfacheren Symbolik einschleichen kõnnen. Wir haben sie durch geringfügige Modifikationen den Bedürfnissen dieses Buches angepaBt. Der grõBere formale Aufwand gegenüber den nur das Kemsymbol betonenden, weitgehend index­freien Tensordarstellungen wird durch den hõheren Informationsgehalt wettge­macht. Dieser spielt eine Rolle unter anderem bei der

• Behandlung verschiedener F ormen tensorieller Orts- und Zeitableitungen,

die zwar durch algebraische Zusatzglieder ineinander überführbar und daher vom rein mathematischen Standpunkt aus mehr oder minder gleichwertig sind, aber physikalisch eine unterschiedliche Bedeutung besitzen. Diese steht naturge­mäB bei den Anwendungen im Vordergrund, von denen wir hier beispielhaft die Begriffe

• Formänderung, Formänderungsgeschwindigkeit, Spannung, Spannungsge­schwindigkeit, Inkompatibilität im Zusammenhang mit Eigenspannungen und Versetzungen, Wärmeleitung, viskose und elastisch-plastische StoJfgesetze, M axwellsche Gleichungen auch für sich verformende Körper

Bild 0.1. Ein anfangs geradlinig rechtwinkeliges Koordinatennetz deformiert sich in ein krummlinig schiefwinkeliges

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Vorwort VII

aufzählen. Allerdings dienen sie hier nur zur Illustration der Tensorrechnung. Leser, die tiefer in die physikalischen Zusammenhänge eindringen mõchten, seien auf das jeweilige Fachschrifttum verwiesen.

Wenn mathematische Grenzwerte, insbesondere Integrale oder Differential­quotienten ("Ableitungen") auftreten, so setzen wir stillschyveigend deren Exi­stenz für die betrachteten Punkte der Argumentenbereiche voraus. Falls nichts anderes erwähnt oder aufgrund der jeweiligen Betrachtungen beziehungsweise Formeln offensichtlich ist, gelten Integranden und Ableitungen (bis zur betrach­teten Ordnung) sowie alle sonstigen Funktionen als stetig und beschränkt, an den Bereichsrändem als einseitig stetig.

Den einzelnen KapiteIn sind Übungsaufgaben angefügt1 die teilweise aufein­ander autbauen. Ihre Lõsungen werden in Kapitel 9 zusammengefaBt.

Gleichungen und als (Lehr-)Sätze formulierte Ergebnisse erhalten abschnitt­weise aufeinanderfolgende Nummem. So bedeuten Gleichung (2.3/4) oder Satz 2.2/1 die vierte Gleichung von Abschnitt 2.3 bzw. den ersten (Lehr-)Satz von Abschnitt 2.2. Demgegenüber werden Bilder kapitelweise gezählt: Bild 2.5 ist das fünfte Bild von Kapitel zwei .. Schrifttumsverweise in eckigen Klammem, z. B. [5], beziehen sich auf die entsprechend numerierte Quelle im Literaturverzeich­nis am Ende des Buchtextes.

AbschlieBend sei allen jenen Personen und Institutionen ganz herzlich ge­dankt, die in irgendeiner Form zum Entstehen dieses Buches beigetragen haben. Meine Frau Martina Lippmann hat den Text nebst allen seinen wirklich sehr sprõden Formeln in den Computer getippt. Frau Dr. Margit Kovacsne-Bende, Budape~t, arbeitete das Manuskript durch, überprüfte die Gleichungen und gab mir wertvolle Ratschläge zur Verbesserung des Inhaltes. Darüber hinaus berei­tete sie das Manuskript für den Verlag technisch aur. Herr Dipl.-Ing. Dieter Lachner, München, las gemeinsam mit Herm Nordin Smajlovic, dipl.im., München, die Korrekturen und bereitete das Sachverzeichnis vor.Der Springer­Verlag, stets um eine gute Zusammenarbeit bemüht, besorgte die Herausgabe in altbewährter Manier.

München, im November 1992 H. Lippmann

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InhaIt

1. Einleitung ............................................ 1

1.1 Raum, Zeit, Invarianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Indizierte GrÖBen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.3 Summationskonvention . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 Indiziertes Summenzeichen, Kroneekersymbol. . . . . . . . . . . . . . 9

2. Skalare und Vektoren im euklidischen Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1 Linearer und metriseher Vektorraum, Skalarprodukt . . . . . . . . 11 2.2 Raumdimension, Basis, Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3 Affine Basistransformation, Orientierung, Volumen. . . . . . . . . . 25 2.4 Metrisehe GrundgröBen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.5 Permutationssymbole. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.6 Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3. Tensoren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.1 Definition und Beispiele. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.2 Tensorkoordinaten; Transformations- und Ziehregel. . . . . . . . . 41 3.3 Reehenregeln und Ergänzungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.3.1 Horizontale Isomeren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.3.2 Direktes Produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.3.3 Summen und Differenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.3.4 Verjüngung und Übersehiebung, lineare Tensorabbildung 46 3.3.5 Vektorprodukt und Spatprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.3.6 Affine Punktkoordinaten, Ortsableitungen . . . . . . . . . . . . 53 3.3.7 Zeitableitungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.3.8 Physikalisehe MaBeinheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.4 Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4. Dyaden (Tensoren 2. Stufe). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.1 Beispiele........................................... 59 4.1.1 Nulldyade, Einsdyade, Permutationsdyade. . . . . . . . . . . . 59 4.1.2 Einige Stoffdyaden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.1.3 Trägheitsdyade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 4.1.4 Stoffunabhängige Dyaden der Kontinuumsmeehanik . . . . 62

4.1.4.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

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X Inhalt

4.1.4.2 Gesehwindigkeitsgradient, Gauss-Greenseher Integralsatz . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.1.4.3 Punktversehiebung und Versehiebungsgradient. . . 66 4.1.4.4 Cauehysehe Spannungsdyade und teehnisehe

Spannungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 4.2 Allgemeine Eigensehaften. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.2.1 Symmetrisehe Dyaden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 4.2.1.1 Dyadenquadrik........ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 4.2.1.2 Hauptaehsen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 4.2.1.3 Mohrseher Kreis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4.2.1.4 Skalarinvarianten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 4.2.1.5 Tensorfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.2.2 Antimetrisehe Dyaden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 4.2.3 Unitäre Dyaden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 4.2.4 Reguläre, singuläre, inverse, definite und

semidefinite Dyaden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 4.2.5 Dyadenzerlegungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

4.3 Anwendungen auf die Kontinuumsmeehanik. . . . . . . . . . . . . . . 93 4.3.1 Spannungen, Dreh- und Formänderungsgesehwindigkeiten 93 4.3.2 Formänderungsleistung, Formänderungsarbeit,

Gleiehgewicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 4.3.3 Formänderungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

4.4 Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

S. Krummlinige Koordinaten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

5.1 Mannigfaltigkeiten................................... 109 5.1.1 Parametermannigfaltigkeit .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 5.1.2 Grundmannigfaltigkeit (Körper, Fläehe, Kurve) und

Tangentialraum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 5.1.3 Metrik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 5.1.4 Ergänzungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

5.2 Beispiele. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 5.2.1 Affine Koordinaten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 5.2.2 Polarkoordinaten und Kreiszylinder. . . . . . . . . . . . . . . . . 120 5.2.3 Kugelkoordinaten und Kugeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 5.2.4 Tordierte (mitgesehleppte) Koordinaten,

tordierter Kreiszylinder. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 5.2.5 Sehalenkoordinaten, Sehalen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

5.3 Stokesseher Integralsatz und Anwendungen; Einbettbarkeit ... 131 5.4 Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

6. Christoffelsymbole. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

6.1 Abrollen und Abwiekeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 6.2 Beispiele. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

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Inhalt XI

6.2.1 Affine Koordinaten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 6.2.2 Polarkoordinaten und Kugelkoordinaten . . . . . . . . . . . . . 146 6.2.3 Tordierter, elastisch-plastischer Kreiszylinder unter

Eigenspannungen; Inkompatibilität. . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 6.3 Weitere Betrachtungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

6.3.1 Christoffelsymbole 1. und 2. Art. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 6.3.2 Transformationsregeln; Cartanscher Tensor,

Versetzungsdichte und Burgersvektor. . . . . . . . . . . . . . . . 152 6.3.3 Zusammenhang mit dem metrischen Grundtensor . . . . . . 155

6.4 Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

7. Tensorableitungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

7.1 Kovariante Ortsableitung, affiner Zusammenhang. . . . . . . . . . . 158 7.2 KrümmungsmaBe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

7.2.1 ÄuBere Krümmungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 7.2.2 Innere Krümmungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

7.3 Zeitableitungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 7.3.1 Punktgeschwindigkeit und Punktbeschleunigung in einer

starren Mannigfaltigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 7.3.2 PartieIle und totale Zeitableitungen in starren

Mannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 7.3.3 Anfangs- und Momentankonfiguration einer zeitIich

veränderlichen Mannigfaltigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 7.3.4 Punktgeschwindigkeit und Punktbeschleunigung in einer

zeitlich veränderlichen Mannigfaltigkeit . . . . . . . . . . . . . . 178 7.3.5 Zeitableitungen von Tensoren in veränderlichen

Mannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 '7.4 Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

8. Weitere Anwendungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

8.1 Vorbemerkungen..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 8.1.1 AIlgemeines. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 8.1.2 Differentialoperatoren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 8.1.3 Über die Formulierung von Gleichungen für veränderliche

Kontinua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 8.2 Ruhende Kontinua; bewegte Kontinua in

Eulerscher Betrachtungsweise. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 8.2.1 Elektromagnetische Felder in ruhenden Körpem. . . . . . . 192 8.2.2 Temperatur, Wärme, Entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 8.2.3 Mechanisches Spannungsgleichgewicht, Formänderungs-

geschwindigkeiten und Kompatibilitätsbedingungen. . . . . 197 8.2.4 Flüssigkeiten und Gase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 8.2.5 Starrplastisches Material. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

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XII Inhalt

8.3 Kontinua in der aktuellen (updated) Lagrangeschen Betrachtungsweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 8.3.1 Elektromagnetische Felder in veränderlichen Körpem . . . 207 8.3.2 Formänderungen, Formänderungs- und

Spannungsgesehwindigkeiten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 8.3.3 Elastisehes und reversibles Materialverhalten . . . . . . . . . . 214 8.3.4 Elastiseh-plastisehes Materialverhalten . . . . . . . . . . . . . . . 217

8.4 Kontinua in der bezogenen (total) Lagrangesehen Betraehtungsweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 8.4.1 Übertragungshypothesen.......................... 219 8.4.2 Parallelverschiebungshypothese und Piolaspannungen . . . 222 8.4.3 Mitsehlepphypothese und Kirehhoffspannungen. . . . . . . . 224 8.4.4 Gegensehlepphypothese. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 8.4.5 AbsehlieBende Bemerkungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

8.5 Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

9. Lösungen der Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261